Εξαμηνιαία Εργασία Β

Transcript

1 1 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΦΙΛ- ΤΡΑ KALMAN ΑΣΠΑΙΤΕ Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολογίας Εργαστήριο Συλλογής και Επεξεργασίας Δεδομένων Διδάσκοντες: Σπύρος Αδάμ, Λουκάς Μιχάλης Εξαμηνιαία Εργασία Β Επαγωγική Στατιστική Θεώρημα Bayes Εφαρμογή στα Φίλτρα Kalman Η παράδοση και εξέταση των αποτελεσμάτων σας θα γίνει τη Παρασκευή 21 ΙΟΥ, Καμία εργασία δεν θα γίνει αποδεκτή μετά την καταληκτική ημερομηνία και δεν θα λαμβάνεται υπόψη στη διαμόρφωση της τελικής βαθμολογίας. Παραδοτέα: Πλήρης αναφορά με τις διαδικασίες, εκτυπώσεις των αποτελεσμάτων (γραφήματα, session windows), παρατηρήσεις σας κλπ. σε σχέση με κάθε υποερώτημα που τίθεται. Η παράδοση της αναφοράς θα πρέπει να γίνεται και ηλεκτρονικά (με usb stick) και έντυπα κατά την ημέρα παράδοσης της εργασίας. Οι χειρόγραφες αναφορές δεν θα γίνονται δεκτές. Ένα.zip αρχείο που θα περιέχει τα αρχεία που αντιστοιχούν στα ερωτήματα Α,Β της άσκησης. Βαθμολόγηση: 50%: υλοποίηση 50%: αναφορά με πλήρη και κατατοπιστικό σχολιασμό Επικοινωνία: Σπύρος Αδάμ (Θέμα: project 1) Λουκάς Μιχάλης 1

2 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σκοπός της Άσκησης Η λειτουργία του φίλτρου Kalman είναι να διορθώνει και να ελαχιστοποιεί το σφάλμα σε μία μέτρηση. Ένα φίλτρο δηλαδή διορθώνει μία μέτρηση x n+1, λαμβάνοντας υπόψη τις μετρήσεις x 1, x 2,, x n αυτής της μεταβλητής, στις προηγούμενες χρονικές στιγμές t = 1, 2, 3,, n, καθώς και τη τωρινή μέτρηση x n+1 που περιέχει ένα σφάλμα. Γι αυτό και το όνομα φίλτρο: εξαλείφει / αφαιρεί το σφάλμα από μία μέτρηση, ώστε να έχουμε μία ακριβέστερη εκτίμηση της μεταβλητής που μετρούμε. Όμως, τα φίλτρα Kalman έχουν μία ευρύτερη εφαρμογή και λειτουργία, από τη βασική λειτουργία του φίλτρου. Σε πολλές εφαρμογές, στη ρομποτική, την επεξεργασία σήματος και τις μετρήσεις, χρησιμοποιούμε τα φίλτρα Kalman για να προβλέπουμε επόμενες ή μελλοντικές τιμές x n+1 μίας μεταβλητής, στη βάση των προηγούμενων τιμών x 1, x 2,, x n που έχουμε μετρήσει. Η στατιστική ανάλυση έχει ακριβώς τον ίδιο σκοπό. Αναλύουμε δεδομένα για να διαπιστώσουμε σχέσεις ή τάσεις σ αυτά τα δεδομένα και να καταλήξουμε σε συμπεράσματα και προβλέψεις. Έτσι, δεν είναι συμπτωματικό που τα φίλτρα Kalman βασίζονται στη στατιστική και πιο συγκεκριμένα, στο θεώρημα Bayes. Σκοπός της άσκησης είναι να δούμε πως έννοιες, όπως οι τυχαίες μεταβλητές και οι κατανομές πιθανότητας που εξετάσαμε σε προηγούμενα μαθήματα, στη θεωρία και στο εργαστήριο, συνδέονται και οδηγούν στην ανάπτυξη ενός εργαλείου, του φίλτρου Kalman με πρακτική εφαρμογή σε αντικείμενα και περιοχές των Ηλεκτρολόγων που περιλαμβάνουν τη ρομποτική, την επεξεργασία σήματος και τα συστήματα μετρήσεων. Στην άσκηση, εξετάζουμε τη μορφή και τη λειτουργία του φίλτρου Kalman, για να προβλέπουμε μελλοντικές τιμές μίας μεταβλητής που μετρούμε. Φυσικά, αφού σχεδιάσουμε το φίλτρο Kalman, εξετάζουμε πως προγραμματίζουμε αυτό το φίλτρο, στον υπολογιστή. Το πλαίσιο που χρησιμοποιούμε για να εξετάσουμε αυτή τη λειτουργία, είναι τα δεδομένα παραγωγής ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο. Εισαγωγή Η θεωρία των πιθανοτήτων ξεκίνησε με σκοπό την ανάλυση και την ανάπτυξη τεχνικών και στρατηγικών, για τα τυχερά παιχνίδια. Σ αυτό το πλαίσιο, αναπτύχθηκαν σύνθετες έννοιες, όπως οι έννοιες της τυχαίας μεταβλητής, των διακριτών και συνεχών κατανομών πιθανότητας, των τυχαίων διαδικασιών. Οι έννοιες αυτές ξεπέρασαν τον αρχικό τους σκοπό, της συστηματικής ανάλυσης των τυχερών παιχνιδιών. Αποτέλεσαν και αποτελούν τη βάση τα βασικά εργαλεία της στατιστικής, στην ανάλυση δεδομένων και την εξαγωγή συμπερασμάτων και προβλέψεων, στη βάση αυτής της ανάλυσης. Σκοπός αυτής της άσκησης είναι να δούμε πως βασικές έννοιες που εξετάσαμε στη θεωρία και το εργαστήριο, όπως οι έννοιες της πιθανότητας, των τυχαίων μεταβλητών, των 2

3 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN κατανομών πιθανότητας συνδέονται και χρησιμεύουν σε μία βασική εφαρμογή των Η- λεκτρολόγων, τα Φίλτρα Kalman. Το πρόβλημα που εξετάζουμε σ αυτή την άσκηση, έχει μία πολύ απλή διατύπωση, αλλά ταυτόχρονα, αυτό το πρόβλημα έχει / εμφανίζεται σε πάρα πολλές εφαρμογές. Έστω, ότι τα δεδομένα αυτού του προβλήματος, το πλαίσιο δηλαδή μέσα στο οποίο εξετάζουμε αυτό το πρόβλημα, είναι τα δεδομένα παραγωγής ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο ισχύος P = 100 kw που αναλύσαμε στη προηγούμενη άσκηση. Το πρόβλημα που επιχειρούμε να λύσουμε είναι το εξής: Γνωρίζοντας τη παραγωγή ενέργειας Ε t σε Wh, ένα συγκεκριμένο τέταρτο t της ώρας, μίας ημέρας, έστω στο τέταρτο 09:00, στις 12 MAI, 2012, πως μπορούμε να προβλέψουμε τη παραγωγή ενέργειας Ε t+1 στο ίδιο τέταρτο, την επόμενη ημέρα? Αυτό το πρόβλημα είναι η προσαρμογή / εφαρμογή στο φωτοβολταικό πάρκο, ενός προβλήματος που πιο γενικά, μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Υποθέτουμε ότι μας δίνονται καταστάσεις y t ενός συστήματος. Σε σχέση με το φωτοβολταικό πάρκο, μπορούμε να φανταστούμε πως αυτές οι καταστάσεις αντιστοιχούν στη παραγωγή ενέργειας Ε t από το πάρκο, κάθε τέταρτο της ώρας. Εκτός από τις καταστάσεις y t, μας δίνεται ένα σύνολο μετρήσεων x t που είναι μετρήσεις των αντίστοιχων καταστάσεων y t του συστήματος. Παρατηρώντας δηλαδή το σύστημα απ έξω, μπορούμε να γνωρίζουμε τη κατάσταση y t του συστήματος, κατά τη χρονική στιγμή t, από τη μέτρηση x t. Σε σχέση πάλι με το φωτοβολταικό πάρκο, οι μετρήσεις x t αντιστοιχούν στις μετρήσεις παραγωγής ενέργειας, Εικόνα 1: Η λειτουργία ενός φίλτρου, απ όπου και το όνομά του, είναι να εξαλείφει το σφάλμα από μία μέτρηση, δίνοντας στην έξοδό του, τη μέτρηση που παίρνει στην είσοδο, όμως χωρίς το σφάλμα, σ αυτή τη μέτρηση. 3

4 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Εικόνα 2: Μπορούμε να γενικεύσουμε τη λειτουργία ενός φίλτρου, ώστε αντί να εξαλείφει το σφάλμα από τη πιο πρόσφατη μέτρηση y n, μίας μεταβλητής, να προβλέπει την επόμενη τιμή y n+1 στο χρόνο, αυτής της μεταβλητής. Αυτός είναι ο βασικός σκοπός αυτής της άσκησης. Να σχεδιάσουμε δηλαδή ένα φίλτρο, το φίλτρο Kalman που να προβλέπει επόμενες τιμές στο χρόνο, της παραγωγής ενέργειας, από το φωτοβολταικό πάρκο. κάθε τέταρτο της ώρας, στο αρχείο δεδομένων, χάρη στις οποίες, μπορούμε να γνωρίζουμε τη κατάσταση παραγωγή ενέργειας Ε t από το πάρκο, κάθε τέταρτο της ώρας. Η γενική μορφή του προβλήματος είναι να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο / μία μαθηματική σχέση που να μας επιτρέπει να προβλέπουμε με αρκετή ακρίβεια την επόμενη κατάσταση y t+1 του συστήματος, στη βάση των προηγούμενων καταστάσεων y t και μετρήσεων x t. Μαθηματικά, η πρόβλεψη της επόμενης κατάστασης y t+1 του συστήματος, στη βάση των προηγούμενων καταστάσεων y t και μετρήσεων x t παριστάνεται από μία σχέση της μορφής: y t+1 = f (y t, x t ) Σ αυτή την άσκηση, το μοντέλο που θα δημιουργήσουμε για να προβλέπουμε επόμενες καταστάσεις, στη βάση προηγούμενων καταστάσεων, βασίζεται / χρησιμοποιεί τα φίλτρα Kalman. Μέρος Α : Ένα Απλό Μοντέλο Πρόβλεψης Ξεκινάμε τη δημιουργία ενός μοντέλου πρόβλεψης για τη παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο για κάθε επόμενο ή για τα επόμενα τέταρτα της ώρας, μίας ημέρας, από ένα πολύ απλό μοντέλο. Μπορούμε εύκολα να περιγράψουμε αυτό το μοντέλο, χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα. 4

5 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προβλέψουμε τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, για το τέταρτο 09:30, στις 13 ΜΑΙ, Φυσικά, στο αρχείο δεδομένων, υπάρχει η μέτρηση της ενέργειας που παρήγαγε το πάρκο, στο συγκεκριμένο τέταρτο και είναι: Ε(13 MAI, 2012, 09:30) = Όμως, προς τα παρών, ας υποθέσουμε πως τα δεδομένα στο αρχείο δεδομένων περιλαμβάνουν μόνον τη περίοδο 3 ΜΑΙ 12 ΜΑΙ, 2012, παραβλέποντας όλα τα δεδομένα πέρα από τις 12 ΜΑΙ. Ο σκοπός είναι να χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα από τη περίοδο 3 12 ΜΑΙ, 2012, για να κάνουμε προβλέψεις για τις επόμενες ημέρες και μετά να ελέγξουμε αυτές τις προβλέψεις, συγκρίνοντάς τες με τις πραγματικές τιμές παραγωγής ενέργειας από 12 ΜΑΙ και μετά. Ένα πολύ απλό μοντέλο για να προβλέψουμε τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, για το τέταρτο 09:30, στις 13 ΜΑΙ, 2012, στη βάση των δεδομένων από 3 12 ΜΑΙ, είναι να χρησιμοποιήσουμε τις τιμές παραγωγής ενέργειας από το πάρκο, στο συγκεκριμένο τέταρτο (δηλαδή στο τέταρτο των 09:30), όλες τις προηγούμενες ημέρες. Δηλαδή, Απλά, η πρόβλεψη για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, για το τέταρτο 09:30, στις 13 ΜΑΙ, 2012, είναι ο μέσος όρος της ενέργειας που παρήγαγε το πάρκο στο συγκεκριμένο τέταρτο, όλες τις προηγούμενες ημέρες, για τις οποίες έχουμε μετρήσεις, δηλαδή από 3 ΜΑΙ 12 ΜΑΙ. Επειδή το πλήθος αυτών των ημερών είναι n = 10, διαιρούμε το άθροισμα των τιμών ε- νέργειας που παρήγαγε το πάρκο, στο τέταρτο 09:30, από 3 12 ΜΑΙ, δια 10, για να υ- πολογίσουμε τη μέση παραγωγή ενέργειας, σ αυτό το τέταρτο, για τις ημέρες 3 12 ΜΑΙ. Πιο γενικά, στη βάση του παραπάνω μοντέλου, εάν είχαμε δεδομένα όχι από 10, αλλά από n ημέρες λειτουργίας του πάρκου, τότε η πρόβλεψη για τη παραγωγή ενέργειας ένα οποιοδήποτε τέταρτο, έστω το τέταρτο 09:30, την επόμενη n+1 ημέρα, θα ήταν: 5

6 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ To καπέλο επάνω από τη μεταβλητή y n+1, στην αριστερή πλευρά του παραπάνω τύπου, συμβολίζει πως η τιμή y n+1 που υπολογίζουμε από αυτό το τύπο, δεν είναι η πραγματική παραγωγή ενέργειας, κατά τη χρονική στιγμή n+1, αλλά μία πρόβλεψη αυτής της τιμής ενέργειας, στη βάση των προηγούμενων τιμών ενέργειας y j. Μπορούμε να γράψουμε τη παραπάνω εξίσωση που απλά υπολογίζει το μέσο όρο των n προηγούμενων τιμών παραγωγής ενέργειας, για να προβλέψει τη παραγωγή ενέργειας την επόμενη χρονική στιγμή (το επόμενο τέταρτο) n+1, όπως παρακάτω: έτσι ώστε: Η εξίσωση (2) εκφράζει ότι ακριβώς και η εξίσωση (1). Ότι δηλαδή, η πρόβλεψη y n+1 για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, σ ένα οποιοδήποτε τέταρτο της ώρας (έστω στο τέταρτο 09:30), για την επόμενη ημέρα n+1, είναι ο μέσος όρος των τιμών παραγωγής ενέργειας, σ αυτό το τέταρτο, κατά τις προηγούμενες ημέρες 1, 2,, n. Η (2) είναι απλά ένας πιο γρήγορος τρόπος για να εκτελέσουμε τον υπολογισμό που περιγράφει η σχέση (1). Επειδή η σχέση (2) περιγράφει τη πρόβλεψη για την επόμενη τιμή της μετρούμενης μεταβλητής (την επόμενη τιμή παραγωγής ενέργειας), στη βάση της πρόβλεψης για τη τωρινή τιμή αυτής της μεταβλητής, χαρακτηρίζεται ως α- ναδρομική, δίνει δηλαδή τη πρόβλεψη για την επομένη τιμή μίας μεταβλητής, στη βάση μίας προηγούμενης πρόβλεψης, για τη τωρινή τιμή αυτής της μεταβλητής. Ανάλογα, μπορούμε να δημιουργήσουμε τον αναδρομικό τύπο για τη διακύμανση (σ 2 ) των τιμών παραγωγής ενέργειας. Η διακύμανση σ n 2 για n τιμές y i μίας μεταβλητής που σ ˆ ˆ 6

7 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN αυτή την άσκηση, παίρνουμε να είναι η παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο, είναι: Εάν μετά από n τιμές παραγωγής ενέργειας, πάρουμε μία ακόμα τιμή παραγωγής ενέργειας y n+1, τότε η διακύμανση σ 2 n+1 των n+1 τιμών, περιλαμβανομένης και της τελευταίας τιμής y n+1, είναι: επειδή αναδρομικά, από τη σχέση (2), ο μέσος μ n+1 σαν συνάρτηση του μέσου μ n των n πρώτων από τις n+1 τιμές, δίνεται από το τύπο: μ n+1 = μ n + K ( y n+1 μ n ) όπου K = 1 / (n+1). Αναπτύσσοντας το άθροισμα στη (3), παίρνουμε: Οι σχέσεις (2) και (4) αποτελούν ένα πολύ απλό μοντέλο, για να προβλέπουμε την ε- πόμενη τιμή μίας μεταβλητής, στο χρόνο, στη βάση του μέσου των προηγούμενων τιμών αυτής της μεταβλητής. Πολύ απλά, οι μαθηματικοί τύποι (2) και (4) δίνουν το μέσο και τη διακύμανση των n+1 τιμών μίας μεταβλητής, όμως αναδρομικά, δίνοντας δηλαδή το μέσο όρο και τη διακύμανση των n+1 τιμών αυτής της μεταβλητής, στη βάση 7

8 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ του μέσου όρου και της διακύμανσης των n χρονικά προηγούμενων τιμών αυτής της μεταβλητής. Το βασικό πλεονέκτημα αυτών των αναδρομικών σχέσεων σε σχέση με τους γνωστούς τύπους του μέσου και της διακύμανσης, είναι πως οι αναδρομικοί τύποι μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε το μέσο όρο και τη διακύμανση των τιμών μίας μεταβλητής, για παράδειγμα της παραγωγής ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο, online, δηλαδή καθώς μετρούμε κάθε επόμενη τιμή αυτής της μεταβλητής στο χρόνο. Μέσα από τα ερωτήματα στο A Μέρος της άσκησης, παρακάτω, επιχειρούμε να δοκιμάσουμε το απλό μοντέλο πρόβλεψης που περιγράφεται από τις εξισώσεις (2) και (4), στη πράξη, για να προβλέψουμε τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, σε επόμενες ή μελλοντικές ημέρες, στη βάση της παραγωγής ενέργειας από προηγούμενες ημέρες. Α- παντώντας σ αυτά τα ερωτήματα, θα επιχειρήσουμε να δούμε τόσο την εφαρμογή αυτού του μοντέλου, όσο και τη δυνατότητα και την ακρίβεια των προβλέψεων που μας επιτρέπει. Εφαρμογή του Απλού Μοντέλου Πρόβλεψης στα Δεδομένα του Φωτοβολταικού Πάρκου Τα δεδομένα παραγωγής ενέργειας για αυτή την άσκηση, βρίσκονται στο ίδιο αρχείο Excel, 100kW Park.xls που χρησιμοποιήσαμε και στη πρώτη εξαμηνιαία. Κατεβάστε αυτό το αρχείο από το e-class βρίσκεται στα Έγγραφα του εργαστηριακού μαθήματος, στο κατάλογο της Β εξαμηνιαίας εργασίας, Εξαμηνιαία Εργασία Β \100kW Park.xls. Εισάγετε τα δεδομένα από αυτό το Excel αρχείο, στο LabVIEW, χρησιμοποιώντας την εντολή: Programming File Ι/Ο Open worksheet ˆ 2 Ξεκινήστε με αρχικές προβλέψεις y 0 = 0 και σ 0 = 0, για τη παραγωγή ενέργειας και τη διακύμανση αυτής της παραγωγής, για κάθε τέταρτο της ώρας μίας ημέρας. Μη γνωρίζοντας εκ των προτέρων, τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, κάνουμε μία πολύ απλοϊκή ˆ ˆ αρχική εκτίμηση. Πως η παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, 2 κάθε τέταρτο της ώρας, από τις 00:00 23:45, μίας ημέρας, θα είναι: y 0 = 0 και σ 0 = 0. Χωρίστε / οργανώστε τα δεδομένα παραγωγής ενέργειας, από το αρχείο 100kW Park.xls, σε στήλες, όπου κάθε στήλη θα παριστάνει τα δεδομένα από μία ξεχωριστή ημέρα λειτουργίας του πάρκου, από 3 17 ΜΑΙ. Σ αυτό δηλαδή το ερώτημα, χρειάζεται να αποθηκεύσουμε τα δεδομένα παραγωγής ενέργειας σ ένα πίνακα με 15 στήλες, όσες δηλαδή και οι ημέρες, από τις οποίες έχουμε δεδομένα. Κάθε στήλη αυτού του πίνακα, θα περιέχει τα δεδομένα από μία ημέρα, από τη περίοδο 3 17 ΜΑΙ. ˆ 8

9 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN Καθώς παίρνουμε και εξετάζουμε δεδομένα από το πάρκο, ξεκινώντας από τις (ελλιπείς) μετρήσεις της 3 ΜΑΙ, 2012, μπορούμε να αναπροσαρμόζουμε και να βελτιώνουμε τη πρόβλεψη για τη παραγωγή ενέργειας, για κάθε τέταρτο της ώρας, για κάθε επόμενη ημέρα, μέχρι τις 17 ΜΑΙ που είναι η τελευταία ημέρα που έχουμε δεδομένα. Χρησιμοποιείστε μόνον τις μετρήσεις από τη παραγωγή ενέργειας στις 3 ΜΑΙ και τις σχέσεις (2) και (4), για να προβλέψετε τη παραγωγή ενέργειας, για κάθε τέταρτο της ώρας, στις 4 ΜΑΙ. Αποθηκεύστε αυτές τις προβλέψεις σε μία στήλη, ενός πίνακα που θα παριστάνει τις προβλέψεις για τη περίοδο 3 18 ΜΑΙ. (2) και (4). Στη βάση των προβλέψεων για τη παραγωγή ενέργειας, για κάθε τέταρτο της ώρας, στις 4 ΜΑΙ που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα και των πραγματικών τιμών παραγωγής ενέργειας για τις 4 ΜΑΙ, από το πίνακα δεδομένων, υπολογίστε προβλέψεις για τη παραγωγή ενέργειας, για κάθε τέταρτο της ώρας, για τις 5 ΜΑΙ, χρησιμοποιώντας τους τύπους Όπως στο προηγούμενο ερώτημα, προβλέψτε τη παραγωγή ενέργειας, για κάθε τέταρτο της ώρας, για κάθε ημέρα, στο διάστημα 6 17 ΜΑΙ. Για να προβλέψετε τη παραγωγή ενέργειας yˆ i+1, για i = 5, 6, 7,, 16, χρησιμοποιείστε τη πρόβλεψη yˆ i για τη παραγωγή ενέργειας, τη προηγούμενη ημέρα i, κάθε ημέρας i+1 και τη πραγματική παραγωγή ενέργειας y i, για την ημέρα i = 5, 6, 7,, 16, από την αντίστοιχη στήλη, στο πίνακα δεδομένων. ˆ Δηλαδή, πρώτα κάνουμε μία πρόβλεψη y i+1 για τη παραγωγή ενέργειας, κάθε τέταρτο της ώρας, για μία επόμενη ημέρα. Μετά, παίρνουμε τα δεδομένα, για τη πραγματική παραγωγή ενέργειας y i+1 από το πάρκο, για την ημέρα που κάναμε τη πρόβλεψη. Χρησιμοποιούμε τη πρόβλεψη και τα πραγματικά δεδομένα, για να κάνουμε μία πρόβλεψη yˆ i+2, για μία υστερότερη ημέρα, i = 5, 6, 7,, 16. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία, για να προβλέψουμε κάθε φορά, την παραγωγή της επόμενης ημέρας, στο διάστημα 6 17 ΜΑΙ, στη βάση προβλέψεων και πραγματικών δεδομένων από προηγούμενες ημέρες. Τόσο στα δύο προηγούμενα ερωτήματα, όσο κυρίως σ αυτό το ερώτημα, βλέπουμε το σκοπό και τη προγνωστική λειτουργία του απλού φίλτρου, σ αυτή την ενότητα, αλλά και του φίλτρου Kalman, στην επόμενη ενότητα που είναι να χρησιμοποιεί προηγούμενες προβλέψεις και δεδομένα, για να προβλέπει τη παραγωγή ενέργειας για την επόμενη ημέρα, πριν ακόμα πάρουμε μετρήσεις, για αυτή την ημέρα. Ουσιαστικά δηλαδή, το φίλτρο «κοιτάζει» μία ημέρα μπροστά. Συγκρίνετε τις τιμές παραγωγής που προβλέπουμε εκτιμούμε με το παραπάνω μοντέλο, για τη περίοδο 3 17 ΜΑΙ, 2012, με τις πραγματικές τιμές που έχουμε από τα δεδομένα. Υπολογίστε και παραστήστε το σφάλμα, δηλαδή τη διαφορά των προβλέψεων από τις πραγματικές τιμές, υπολογίζοντας: 9

10 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ A. Τη μέση παραγωγή ενέργειας, ανά τέταρτο της ώρας, για κάθε ημέρα στο διάστημα 3 17 ΜΑΙ, από το πίνακα δεδομένων παραγωγής ενέργειας, από το πάρκο. Μετά, υπολογίστε τη πρόβλεψη για τη μέση παραγωγή ενέργειας, ανά τέταρτο, για κάθε ημέρα, στο διάστημα 3 17 ΜΑΙ, από το πίνακα των προβλέψεων. B. Παραστήστε γραφικά, στο ίδιο γράφημα, τη μέση παραγωγή ενέργειας, για κάθε ημέρα, στο διάστημα 3 17 ΜΑΙ και τη πρόβλεψη για τη μέση παραγωγή, για κάθε ημέρα, στο ίδιο χρονικό διάστημα. ˆ Χρησιμοποιείστε τη πρόβλεψη y 17 για τη παραγωγή ενέργειας, κάθε τέταρτο της ώρας, στις 17 ΜΑΙ και τα πραγματικά δεδομένα παραγωγής ενέργειας y 17, από αυτή την ημέρα, για να προβλέψετε τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, για κάθε τέταρτο, στις 18 ΜΑΙ, Ενώ στα προηγούμενα ερωτήματα, μπορούσαμε να ελέγξουμε προβλέψεις, συγκρίνοντάς τες με τις πραγματικές μετρήσεις, η πρόβλεψη σ αυτό το ερώτημα, είναι για μία ημέρα που δεν έχουμε πραγματικά δεδομένα. Επομένως, σ αυτό το ερώτημα, βλέπουμε σαφέστερα τη λειτουργία ενός φίλτρου να προβλέπει τιμές, για ένα μελλοντικό διάστημα, για το οποίο δεν έχουμε ακόμα δεδομένα. Συνοψίζοντας, στα ερωτήματα αυτού του μέρους, εξετάζουμε τη λειτουργία ενός απλού φίλτρου που περιγράφεται από τις εξισώσεις (2) και (4), για να προβλέπει τη παραγωγή ενέργειας σε μία επόμενη ημέρα, συνδυάζοντας προβλέψεις και πραγματικά δεδομένα, από προηγούμενες ημέρες. Τόσο αυτό το μοντέλο, όσο και το φίλτρο Kalman, παρακάτω, περιορίζεται στη πρόβλεψη μίας μόνον επόμενης τιμής yˆ t+1, στη βάση προηγούμενων προβλέψεων και μετρήσεων. Δεν μπορεί δηλαδή να προβλέπει σ ένα απεριόριστα μεγάλο χρονικό διάστημα στο μέλλον. Όμως, πολλές φορές, δεν θα θέλαμε τίποτα περισσότερο από τη πρόβλεψη της αμέσως επόμενης τιμής y t+1 μίας μεταβλητής y, με ακρίβεια και εγκυρότητα (αρκετά μεγάλη πιθανότητα). Για παράδειγμα, θα γινόμασταν πάρα πλούσιοι, εάν είχαμε ένα φίλτρο που να προβλέπει με ακρίβεια πως θα κινηθεί το χρηματιστήριο την επόμενη ημέρα (επάνω ή κάτω), στη βάση της τάσης του, τις προηγούμενες ημέρες ή να μπορεί προβλέπει τις ισοτιμίες νομισμάτων, μία μόνον ημέρα μπροστά. Μέρος Β : Το πρωτογενές μοντέλο Ένας εναλλακτικός τίτλος για αυτή την ενότητα, θα μπορούσε να είναι: «Πως μπορούμε να προβλέψουμε τη παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πάρκο, χωρίς καθόλου δεδομένα». Το μοντέλο της παραπάνω ενότητας, χρησιμοποιεί δεδομένα για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, σε προηγούμενο ή παρελθόντα χρόνο, για να προβλέψει τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, σ ένα επόμενο ή μελλοντικό τέταρτο της ώρας. Επειδή αυτό το μοντέλο βασίζεται σε προηγούμενες μετρήσεις, για να προβλέπει μελ- 10

11 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN λοντικές τιμές παραγωγής ενέργειας, αναφερόμαστε σ αυτό το μοντέλο, ως υστερογενές μοντέλο πρόβλεψης. Μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο που να προβλέπει τη μελλοντική παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, χωρίς όμως να χρησιμοποιεί μετρήσεις παραγωγής ενέργειας από το πάρκο? Σε αντίθεση με το υστερογενές μοντέλο της παραπάνω ενότητας, το μοντέλο πρόβλεψης που θα περιγράψουμε σ αυτή την ενότητα, θα προβλέπει ή ακριβέστερα, θα δίνει εκτιμήσεις για τη μελλοντική παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, χωρίς να χρησιμοποιεί δεδομένα παραγωγής ενέργειας, από το πάρκο. Επειδή αυτό το μοντέλο, θα προϋπάρχει των πραγματικών δεδομένων, ονομάζεται πρωτογενές ή εκ των προτέρων μοντέλο παραγωγής ενέργειας Το φίλτρο Kalman θα συνδυάζει τα δύο αυτά μοντέλα, το πρωτογενές που θα περιγράψουμε σ αυτή την ενότητα και το υστερογενές της προηγούμενης ενότητας, για να προβλέπει τη μελλοντική παραγωγή ενέργειας από το πάρκο. Μπορούμε εύκολα να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο που να προβλέπει / να εκτιμάει τη παραγωγή ενέργειας από ένα φωτοβολταικό πάρκο, χωρίς καθόλου να χρησιμοποιεί δεδομένα από τη λειτουργία του πάρκου. Αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση της παραγωγής ενέργειας, στη βάση της ισχύος. Ανακαλώντας αυτό το τύπο, η ηλεκτρική ενέργεια που παράγει ένα φωτοβολταικό πάρκο, ισχύος P, είναι: Ε = P t cosθ όπου P είναι η ισχύς λειτουργίας του πάρκου, t είναι ο χρόνος λειτουργίας του πάρκου και θ είναι η γωνία που σχηματίζει ο ήλιος (η ευθεία ανάμεσα στο κέντρο ενός φωτοβολταικού πίνακα και στον ήλιο) με η κατακόρυφο από την επιφάνεια του φωτοβλταικού πίνακα. Όταν ο ήλιος είναι στη κατακόρυφο από την επιφάνεια του φωτοβολταικού πίνακα, δηλαδή όταν ο ήλιος είναι ακριβώς επάνω από το φωτοβολταικό πίνακα, τότε cosθ = cos0 = 1 και ο πίνακας παράγει τη μέγιστη δυνατή ηλεκτρική ενέργεια. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση του ήλιου από τη κατακόρυφο από το φωτοβολταικό πίνακα, όσο δηλαδή μεγαλύτερη είναι η γωνία θ, τόσο μικρότερη είναι η τιμή του συνημιτόνου, στην εξίσωση της ενέργειας. Άρα, τόσο μικρότερη είναι η παραγωγή ενέργειας από το φωτοβολταικό πίνακα που γίνεται 0, όταν η γωνία θ του ήλιου με τη κατακόρυφο από το πίνακα, γίνει θ = 90. Από την εξίσωση της ενέργειας, η παραγωγή ενέργειας από ένα φωτοβολταικό πάρκο ισχύος P = 100 kw, σε μία ώρα, είναι: Ε = P t cosθ = cosθ kwh = 11

12 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ = 100 cosθ kwh Επομένως, η παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, σε ένα τέταρτο της ώρας, είναι: Ε = ¼ 100 cosθ kwh O συντελεστής cosθ στη παραπάνω εξίσωση, εξηγεί τη συστηματική μεταβολή στη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, στη διάρκεια μίας ημέρας. Δηλαδή, η παραγωγή η- λεκτρικής ενέργειας από το πάρκο, ακολουθεί τη γωνία που σχηματίζει ο ήλιος με τη κοινή κατακόρυφο από τους φωτοβολταικούς πίνακες στο πάρκο που έχουν όλοι τον ίδιο προσανατολισμό. Έτσι, η παραγωγή ενέργειας από το πάρκο είναι σχετικά μικρή, νωρίς το πρωί, όταν η γωνία του ήλιου με τη κοινή κατακόρυφο από τους φωτοβολταικούς πίνακες, είναι σχετικά μεγάλη (θ >> 0 ). Σταδιακά, η παραγωγή ενέργειας αυξάνεται, όσο ο ήλιος κινείται / συγκλίνει προς τη κοινή κατακόρυφο από τους πίνακες, γίνεται μέγιστη στο διάστημα 12:00 15:00, όταν θ 0 και μετά σταδιακά μειώνεται, καθώς ο ήλιος απομακρύνεται από τη θέση της κατακορύφου. Επομένως, μπορούμε να προβλέψουμε τη συστηματική μεταβολή στη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, στη διάρκεια μίας ημέρας, χρησιμοποιώντας διαφορετική τιμή cosθ, για κάθε διάστημα μίας ημέρας. Οι τιμές cosθ, για τα διάφορα διαστήματα μίας ημέρας, παριστάνονται στο Πίνακα 1. Πέρα από τη συστηματική μεταβολή της παραγωγής ενέργειας από το πάρκο, που οφείλεται στη κίνηση του ήλιου, χρειάζεται να λάβουμε υπόψη σε κάθε πρόβλεψη εκτίμηση για τη παραγωγή ενέργειας, σ ένα μελλοντικό χρόνο, τη τυχαία συνιστώσα της παραγωγής ενέργειας που οφείλεται στις μικρές ή μεγάλες μεταβολές του καιρού, τόσο στο διάστημα μίας ημέρας, όσο και από ημέρα σε ημέρα. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη τυχαία μεταβολή στη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, εξαιτίας των μεταβολών στο καιρό, εκτιμώντας ότι το πάρκο δεν θα παράγει ενέργεια σε όλη τη διάρκεια ενός τετάρτου, αλλά μόνον, σε μέρος αυτού. Εκτιμούμε δηλαδή ότι σ ένα οποιοδήποτε τέταρτο της ώρας, το πάρκο μπορεί να παράγει ενέργεια για ένα οσοδήποτε μικρό ή μεγάλο διάστημα της συνολικής χρονικής διάρκειας αυτού του τετάρτου, από 0 μέχρι 15. Σε κάθε διάστημα, εκχωρούμε μία πιθανότητα. Έτσι, εκτιμούμε πως επειδή δεν θα έχουμε ήλιο κάθε ημέρα, 2 στις 10 φορές ή με πιθανότητα 0,2, το πάρκο θα παράγει ενέργεια μόλις για 5 από τα 15 λεπτά, ενός τετάρτου. Ανάλογα, επιχειρώντας να ποσοτικοποιήσουμε τις σχετικές συχνότητες των ημερών με ήλιο, συννεφιά ή βροχή και να αντιστοιχίσουμε / μετατρέψουμε αυτές τις σχετικές συχνότητες, σε πιθανότητες, εκτιμούμε πως το πάρκο θα παράγει ενέργεια για 10 από τα 12

13 13 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΦΙΛ- ΤΡΑ KALMAN Χρονικό Διάστημα cosθ Ε = ¼ 100 cosθ [kwh] μ [kwh] σ 2 = Σ[P(y i ) * (y i μ) 2 ] [kwh] Πριν τις 06: :30 08:45 0,2 5 0,2 * 1,66 + 0,4 * 3,33 + 0,4 * 5 = 3,66 09:00 09:45 0,5 12,5 0,2 * 4,16 + 0,4 * 8,33 + 0,4 * 12,5 = 9,16 10:00 10:45 0,7 17,5 0,2 * 5,83 + 0,4 * 11,66 + 0,4 * 17,5 = 12,83 11:00 11:45 0,9 22,5 O,2 * 7,5 + 0,4 * ,4 * 22,5 = 16,5 12:00 12: ,2 * 8,33 + 0,4 * 16,66 + 0,4 * 25 = 18,33 13:00 13:45 0,9 22,5 O,2 * 7,5 + 0,4 * ,4 * 22,5 = 16,5 14:00 14:45 0,7 17,5 0,2 * 5,83 + 0,4 * 11,66 + 0,4 * 17,5 = 12,83 15:00 15:45 0,6 15 0,2 * 5 + 0,4 * ,4 * 15 = 11 16:00 16:45 0,5 12,5 0,2 * 4,16 + 0,4 * 8,33 + 0,4 * 12,5 = 9,16 17:00 17:45 0,4 10 0,2 * 3,33 + 0,4 * 6,66 + 0,4 * 10 = 7,33 18:00 20:30 0,2 5 0,2 * 1,66 + 0,4 * 3,33 + 0,4 * 5 = 3,66 Μετά τις 20: Πίνακας 1: Εκτίμηση του μέσου (μ) και της διακύμανσης (σ 2 ) της κανονικής κατανομής πιθανότητας, για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, κάθε τέταρτο της ώρας. 13 1,55 9, ,5 38,9 31, ,9 9,72 6,22 1,55

14 14 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES ΦΙΛ- ΤΡΑ KALMAN 15 λεπτά ενός τετάρτου, με πιθανότητα 0,4 και πως θα παράγει ενέργεια σε όλη τη διάρκεια (σε όλα τα 15 ) ενός τετάρτου, με πιθανότητα 0,4. Στη βάση αυτών των πιθανοτήτων και της εξίσωσης παραγωγής ενέργειας μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, κάθε τέταρτο της ώρας. Γνωρίζουμε πως γενικά, η παραγωγή ενέργειας κάθε τέταρτο της ώρας α- κολουθεί τη κανονική κατανομή. Αρκεί να υπολογίσουμε τις παραμέτρους, δηλαδή το μέσο και τη τυπική απόκλιση αυτής της κατανομής, για κάθε τέταρτο της ώρας. Για να υπολογίσουμε μία εκτίμηση για το μέσο και τη τυπική απόκλιση της κανονικής κατανομής, για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, για κάθε τέταρτο της ώρας, πρώτα, χρησιμοποιούμε την εξίσωση παραγωγή ενέργειας και τη τιμή cosθ για να υπολογίσουμε την ενέργεια που μπορεί να παράγει το πάρκο, εάν λειτουργήσει για 5, 10 ή και για τα 15 της συνολικής χρονικής διάρκειας ενός τετάρτου. Μετά, πολλαπλασιάζουμε κάθε τιμή με την αντίστοιχή πιθανότητα και υπολογίζουμε το μέσο και τη τυπική α- πόκλιση της κανονικής κατανομής, για κάθε τέταρτο, από τον τύπο του μέσου και της τυπικής απόκλισης για τη κανονική κατανομή, όπως παρακάτω: και Μ αυτό τον τρόπο, υπολογίζουμε τις παραμέτρους της κανονικής κατανομής για κάθε τέταρτο της ώρας, μίας ημέρας. Η κατανομή, δηλαδή ο μέσος και η διακύμανση της κατανομής πιθανότητας, για κάθε τέταρτο, παριστάνονται στο Πίνακα 1. Από αυτό το πίνακα, μπορούμε να δούμε πως η παραγωγή ενέργειας, για το τέταρτο 09:30, ακολουθεί τη κανονική κατανομή με μέσο μ = 9,16 kwh και σ 2 = 9,72 kwh που συμβολίζεται από τη παράσταση: Παραγωγή ενέργειας στο τέταρτο 09:30 = N(μ = 9,16 kwh, σ 2 = 9,72 kwh) 14

15 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN Εικόνα 3: H παραγωγή ενέργειας στο τέταρτο 09:30 ακολουθεί τη κανονική κατανομή, με μέσο μ = 9,16 kwh και διακύμανση σ 2 = 9,72 kwh. Εικόνα 4: Το πρωτογενές μοντέλο ουσιαστικά περιλαμβάνει την εκτίμηση των παραμέτρων, δηλαδή του μέσου και της διακύμανσης της κανονικής κατανομής, για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, κάθε τέταρτο της ώρας, όπως παριστάνεται στο Πίνακα 1. Μετά, απλά χρησιμοποιούμε το μέσο της κατανομής πιθανότητας, για κάθε τέταρτο, για να προβλέψουμε τη παραγωγή ενέργειας, στο συγκεκριμένο τέταρτο. 15

16 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αυτή η κατανομή παριστάνεται στην Εικόνα 3. Παρόμοια, η κατανομή παραγωγής ενέργειας για το τέταρτο 12:00, είναι: Παραγωγή ενέργειας στο τέταρτο 12:00 = N(μ = 18,33 kwh, σ 2 = 38,9 kwh) H κανονική κατανομή για κάθε τέταρτο της ώρας περιγράφει / προσδιορίζει τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, για το συγκεκριμένο τέταρτο και αποτελεί το πρωτογενές μοντέλο για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο. Έχοντας δημιουργήσει ένα ακόμα μοντέλο, το πρωτογενές μοντέλο για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο, μπορούμε τώρα να αναπτύξουμε το φίλτρο Kalman. Μέρος Γ : Το φίλτρο Kalman Το φίλτρο Kalman είναι ένα βήμα από τη δημιουργία ενός πρωτογενούς και ενός υστερογενούς μοντέλου για τη μεταβλητή που μετρούμε που σ αυτή την άσκηση, είναι η παραγωγή ενέργειας, από το πάρκο. Όπως πάντα, όταν έχουμε δύο πληροφορίες, συνδυάζουμε τις δύο αυτές πληροφορίες. Το φίλτρο Kalman απλά συνδυάζει το πρωτογενές και το υστερογενές μοντέλο, σ ένα μοντέλο πρόβλεψης της παραγωγής ενέργειας, από το πάρκο. Με ποιο τρόπο? Κάθε μοντέλο, τόσο το πρωτογενές όσο και το υστερογενές περιγράφουν / δίνουν μία πρόβλεψη για τη παραγωγή ενέργειας από το πάρκο. Το φίλτρο Kalman συνδυάζει τις δύο αυτές ανεξάρτητες προβλέψεις σε μία τελική πρόβλεψη, εκχωρώντας / συνδέοντας σε κάθε πρόβλεψη, ένα συντελεστή αξιοπιστίας. Ο συντελεστής αξιοπιστίας της πρόβλεψης από κάθε μοντέλο το πρωτογενές και το υστερογενές καθορίζει / προσδιορίζει το βαθμό / το ποσοστό που η πρόβλεψη από το συγκεκριμένο μοντέλο, επιδρά / καθορίζει τη τελική πρόβλεψη. Έτσι, η πρόβλεψη από το φίλτρο Kalman, για τη παραγωγή ενέργειας, σε μία επόμενη χρονική στιγμή, παριστάνεται από το τύπο: όπου r 1 /(r1+r2) και r 2 /(r1 +r2) είναι οι συντελεστές αξιοπιστίας που εκχωρούμε στο υστερογενές και το πρωτογενές μοντέλο, αντίστοιχα. 16

17 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN Ο συντελεστής αξιοπιστίας είναι ένα μέτρο της σχετικής εγκυρότητας που αποδίδουμε στη πρόβλεψη από κάθε μοντέλο, το πρωτογενές και το υστερογενές. Ποσοτικοποιεί δηλαδή τη πίστη / την εμπιστοσύνη που έχουμε στη πρόβλεψη από κάθε μοντέλο. Επειδή ο συντελεστής αξιοπιστίας επιχειρεί να εκφράσει τη σχετική αξιοπιστία κάθε ενός από τα δύο μοντέλα, δηλαδή την αξιοπιστία του ενός σε σχέση με την αξιοπιστία του άλλου, έχουμε ότι: Μία ακραία τιμή για το συντελεστή αξιοπιστίας ενός μοντέλου, έστω r 1 /(r1+r2) = 0, υποδηλώνει ότι δεν έχουμε καμία εμπιστοσύνη στη πρόβλεψη από το υστερογενές μοντέλο και επομένως, η πρόβλεψη που κάνουμε βασίζεται αποκλειστικά στο πρωτογενές μοντέλο. Αντίθετα, εάν r 1 /(r1+r2) = 1, τότε έχουμε απόλυτη εμπιστοσύνη στη πρόβλεψη από το υστερογενές μοντέλο και η πρόβλεψη που επιχειρούμε, βασίζεται α- ποκλειστικά σ αυτό το μοντέλο. Ενδιάμεσες τιμές καθορίζουν το ποσοστό κάθε μοντέλου, στη πρόβλεψη yn+1 που κάνουμε. Μπορούμε πολύ απλά να καταλήξουμε σ ένα συντελεστή αξιοπιστίας για κάθε μοντέλο, στη βάση του σφάλματος, στις προβλέψεις, από αυτό το μοντέλο. Όσο μεγαλύτερο το σχετικό σφάλμα στις προβλέψεις από ένα μοντέλο, τόσο μικρότερος θα είναι ο συντελεστής αξιοπιστίας που θα εκχωρήσουμε σ αυτό το μοντέλο. Εφόσον, εκτός από εκτιμήσεις, έχουμε μετρήσεις της μεταβλητής που εξετάζουμε - χαρακτηριστικά, το υστερογενές μοντέλο προβλέπει επόμενες τιμές αυτής της μεταβλητής στο χρόνο, χρησιμοποιώντας, εκτός από προηγούμενες προβλέψεις και προηγούμενες μετρήσεις των πραγματικών τιμών αυτής της μεταβλητής μπορούμε να υπολογίσουμε το σφάλμα στις προβλέψεις από κάθε μοντέλο. Είναι η διαφορά της πρόβλεψης, από τη πραγματική τιμή που επιχειρούμε να προβλέψουμε. Δηλαδή, υ n = (y n - y nυ ), n = 0, 1, 2,, π n = (y n - y nπ ), n = 0, 1, 2,, όπου 17

18 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μπορούμε να υπολογίζουμε τη μέση τιμή του υστερογενούς σφάλματος, όπως και τη μέση τιμή του πρωτογενούς σφάλματος, online, από τον αναδρομικό τύπο του μέσου: Ανάλογα, μπορούμε να υπολογίσουμε τη διακύμανση του υστερογενούς και του πρωτογενούς σφάλματος στη βάση της σχέσης (4). Έτσι, η διακύμανση του πρωτογενούς και του υστερογενούς σφάλματος, δίνονται από τους τύπους: Η μέση τιμή και η διακύμανση τόσο του πρωτογενούς, όσο και του υστερογενούς σφάλματος προσδιορίζουν τη κατανομή πιθανότητας για τις τιμές κάθε σφάλματος, στη βάση των μετρήσεων που παίρνουμε. Κάθε σφάλμα ακολουθεί τη κανονική κατανομή με μέσο και διακύμανση που υπολογίζονται από τις σχέσεις (6) και (7), παραπάνω. Όπως, το σφάλμα που υπολογίζουμε στη βάση των μετρήσεων που διαθέτουμε, έτσι και το σύνολο των δυνατών τιμών σφάλματος θα ακολουθεί τη κανονική κατανομή. Μπορούμε να εκτιμήσουμε το μέσο και τη διακύμανση της κανονικής κατανομής για το πληθυσμό, από το μέσο και τη διακύμανση που υπολογίζουμε από τις σχέσεις (6) και (7), χρησιμοποιώντας τις μετρήσεις που διαθέτουμε. Έτσι, κάνουμε την εκτίμηση 18

19 ΕΠΑΓΩΓΙΚΉ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΦΙΛΤΡΑ KALMAN πως η κατανομή πιθανότητας για το πρωτογενές και το υστερογενές σφάλμα έχει μέσο και διακύμανση που δίνονται από τις σχέσεις (6) και (7). Έχοντας υπολογίσει μία εκτίμηση για τη κανονική κατανομή του πρωτογενούς και του υστερογενούς σφάλματος, στη βάση των μετρήσεων που διαθέτουμε, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε τον συντελεστή αξιοπιστίας του πρωτογενούς και του υστερογενούς μοντέλου. Η εμπιστοσύνη στη πρόβλεψη από ένα μοντέλο είναι αντιστρόφως ανάλογη του σφάλματος που παίρνουμε από αυτό το μοντέλο. Ως μέτρο του σφάλματος στη πρόβλεψη από ένα μοντέλο, παίρνουμε τη διακύμανση του σφάλματος από αυτό το μοντέλο. Όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση του σφάλματος, τόσο μεγαλύτερο θα είναι το σφάλμα στη πρόβλεψη, από αυτό το μοντέλο. Επειδή ο συντελεστής αξιοπιστίας θα πρέπει να είναι αντιστρόφως ανάλογος του σφάλματος και ως μέτρο σφάλματος παίρνουμε τη διακύμανση (σn υ ) 2 και (σn π ) 2 του υστερογενούς και του πρωτογενούς σφάλματος, αντίστοιχα, ο συντελεστής αξιοπιστίας για κάθε μοντέλο, μπορεί να υπολογίζεται από το τύπο: Αντικαθιστώντας τις (8) στη (5), παίρνουμε: 19

20 ΣΥΛΛΟΓΗ & ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Η σχέση (9) είναι το φίλτρο Kalman. Μπορούμε λοιπόν να διατυπώνουμε προβλέψεις, χρησιμοποιώντας το φίλτρο Kalman, με τη μορφή που δίνεται από τη σχέση (9). Εφαρμογή του Φίλτρου Kalman στα Δεδομένα του Φωτοβολταικού Πάρκου Γι αυτό το μέρος της άσκησης, επαναλάβετε τα ερωτήματα Α.1 Α.8 του Α Μέρους, όμως χρησιμοποιώντας το φίλτρο Kalman, όπως περιγράφεται από την (9), αντί του υστερογενούς μοντέλου, για να προβλέψουμε επόμενες τιμές παραγωγής ενέργειας, από τις 4 ΜΑΙ 18 ΜΑΙ, στη βάση προηγούμενων εκτιμήσεων και μετρήσεων πραγματικής παραγωγής ενέργειας. 20