Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Πληροφορικής Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην 3 η Ενότητα: (Μέση Τιμή και Διακύμανση, Συναρτήσεις τυχαίων μεταβλητών) Άσκηση 1. Αποδείξτε ότι για μία διακριτή τ.μ. Χ που παίρνει ακέραιες μη-αρνητικές τιμές (Χ 0) ισχύει: X k E P( X k),. 0 Άσκηση 2. Υποθέστε ότι ρίχνεται ένα νόμισμα n φορές. α) Αν κάθε μία ρίψη του νομίσματος κοστίζει d μονάδες, ενώ το κέρδος να έρθει Χ φορές κορώνα είναι ax 2 +bx, ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του συνολικού κέρδους ; β) Αν το κέρδος να έρθει Χ φορές κορώνα είναι a X, όπου a>0, ποια είναι η αναμενόμενη τιμή του; Άσκηση 3. Βρείτε την μέση τιμή της g(x)=ba X, όπου a, b>0, όπου η τ.μ. X ακολουθεί Poisson κατανομή. Άσκηση 4. Βρείτε τη ροπογεννήτρια της Γεωμετρικής τ.μ. X και στη συνέχεια υπολογίστε την μέση τιμή Ε[Χ] και τηn διασπορά της VAR[X] με βάση αυτή. Άσκηση 5. Το παρακάτω πρόγραμμα σε γλώσσα C μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παραχθούνε δείγματα είτε της εκθετικής κατανομής (ρουτίνα expo(a)), είτε της κανονικής κατανομής (ρουτίνα gaussian(m, d)). Κάνοντας χρήση του κώδικα αυτού γράψτε 2 προγράμματα σε γλώσσα C τα οποία: α) να παράγει N=1000 δείγματα μίας εκθετικής κατανομής Exp(a) με παράμετρο a (τιμή της αρεσκείας σας). Στη συνέχεια και αφού διατάσει τα δείγματα που επιλέχθηκαν κατά αύξουσα σειρά, να βρίσκει την τιμή της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής πιθανότητας για μερικά σημεία του άξονα x (π.χ. με βήμα 0.1 από 0.1 έως 2.0) και να την συγκρίνει με την πραγματική τιμή της σ.κ.π., ως εξής: x X x Εμπειρική σ.κ.π. σ.κ.π. της εκθετικής κατανομής Exp(a) αριθμός δειγμάτων με x ax FX ( x) P( X x) 1 e β) να παράγει Ν=1000 δείγματα μίας κανονικής κατανομής N(m, s 2 ) με παραμέτρους m, s (τιμές της αρεσκείας σας), και να βρίσκει τον (εμπειρικό) μέσο όρο (Μ.Ο.) διασπορά N i1 N x i i1 1 N και την (εμπειρική) 2 1 N ( x M. O.) των Ν δειγμάτων, και να τον συγκρίνει με την πραγματική μέση τιμή i E[X]=m και διασπορά VAR[X]=s 2. Επίσης να υπολογίζει την εμπειρική σ.κ.π. στο σημείο x=m, όπως προηγουμένως, και να την συγκρίνει με την πραγματική τιμή της, που ως γνωστόν είναι 0.5.
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include <time.h> double rnd(),expo(double ), gaussian(double, double); main() { int i; srand ( time(null) ); for (i=0;i<1000;i++) printf("exponential value=%f\n",expo(1.00)); for (i=0;i<1000;i++) printf("normal value=%f\n",gaussian(0.00,1.00)); double rnd() /* παράγει μία τυχαία τιμή */ { /* (ομοιόμορφα) στο [0, 1] */ return((double) rand()/rand_max); double expo(double a) /* παράγει ένα δείγμα εκθετικής */ { /* κατανομής με παράμετρο a */ return(-log(rnd())/a); double gaussian(double m, double s) /* παράγει ένα δείγμα κανονικής */ { /* κατανομής με παραμέτρους m, s 2 */ static double t=0.0; double x, v1, v2, r; if (t==0) { do { v1 = 2.0 * rnd() - 1.0; v2 = 2.0 * rnd() - 1.0; r = v1*v1 + v2*v2; while(r>=1.0); r = sqrt((-2.0*log(r))/r); t = v2*r; return(m + v1*r*s); else { x = t; t = 0.0; return(m + x*s);
Άσκηση 6. α) Έστω ότι επιλέγεται με τυχαίο τρόπο (ισοπίθανα) μία κάρτα από ένα κουτί που περιέχει 9 κάρτες, αριθμημένες από 2 έως 10. Εάν επιλέξετε μία κάρτα με περιττό αριθμό τότε κερδίζεται ένα Ευρώ, ενώ αν επιλέξετε μία κάρτα με ζυγό αριθμό τότε χάνεται δύο Ευρώ. Ποια είναι η μέση τιμή και ποια η διακύμανση του κέρδους από την παραπάνω διαδικασία; β) Σε μία αίθουσα υπάρχουν 20 φοιτητές: 3 από αυτούς με ύψος 1.70 μ, 5 με ύψος 1.75 μ, 4 με ύψος 1.80 μ., 4 με ύψος 1.85 μ. και 4 με ύψος 1.90 μ. Έστω ότι επιλέγεται τυχαία ένας φοιτητής. Ποια είναι η μέση τιμή του ύψους των φοιτητών; Άσκηση 7. Έστω ότι έχετε στην τσέπη σας 80 Ευρώ και αποφασίζετε να παίξετε το ακόλουθο τυχερό παιχνίδι. Επιλέγεται μπάλες μία προς μία (χωρίς επανατοποθέτηση) από ένα κουτί που περιέχει 2 λευκές και 2 μαύρες μπάλες έως ότου αδειάσει το κουτί. Σε κάθε επιλογή που κάνετε ποντάρετε το μισό ποσό που έχετε στην τσέπη σας στην παρούσα χρονική στιγμή, ότι θα διαλέξετε λευκή μπάλα. Βρείτε το ποσό που αναμένεται ότι θα έχετε στην τσέπη σας μετά το τέλος του παιχνιδιού. Άσκηση 8. α) Να βρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση μιας τ.μ. που ακολουθεί την Αρνητική Δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους ρ, n. β) Να βρεθεί η ροπογεννήτρια της Γεωμετρικής κατανομής και στην συνέχεια κάνοντας χρήση της συνάρτησης να βρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση. Άσκηση 9. Αν η τ.μ. Χ ακολουθεί Κανονική κατανομή Ν(μ, σ 2 ) να βρείτε την Ε(Υ) και V(Y) με Y=e X (λογαριθμοκανονική lognormal τ.μ.). Άσκηση 10. Η διάρκεια ζωής ενός προϊόντος είναι τ.μ. Χ με σ.π.π. 1 1 x 1200 f e x,x>0. Tο 1200 προϊόν έχει κόστος 5000 χρημ. μονάδες και πωλείται 7000 χρημ. μονάδες με τις παρακάτω εγγυήσεις: Αν η διάρκεια ζωής είναι μικρότερη των 900 ωρών τα χρήματα αγοράς επιστρέφονται στον αγοραστή και το κομμάτι πωλείται ως παλαιό υλικό έναντι 2000 χρημ. μονάδων. α) Να βρεθεί το αναμενόμενο κέρδος ανά κομμάτι. β) Ποιον αριθμό ωρών (αντί των 900) πρέπει να προβλέπει εγγύηση ώστε το αναμενόμενο ανά κομμάτι κέρδος να υπερβαίνει τις 800 χρημ. μονάδες ; Άσκηση 11. α) Έστω η συνάρτηση g(x) = b a X όπου a, b θετικές παράμετροι και η τ.μ. Χ ακολουθεί την Poisson κατανομή με παράμετρο λ. Βρείτε την μέση τιμή και την διακύμανση της συνάρτησης g(x). t 4t β) Έστω τ.μ. Χ με ροπογεννήτρια Mt a be 2 ce, μέση τιμή 3 και διακύμανση 2. Βρείτε τις τιμές των παραμέτρων a, b, c, καθώς επίσης και την συνάρτηση μάζας πιθανότητας της τ.μ. Χ. Άσκηση 12. Κατά την μετάδοση ενός σήματος ενίσχυσης s=2 από έναν δορυφόρο υπάρχει αλλοίωσή του εξαιτίας της ύπαρξης θορύβου W και έτσι το σήμα που λαμβάνεται είναι X = s + W, όπου W είναι
ο θόρυβος. Όταν ο καιρός είναι καλός ο θόρυβος ακολουθεί την τυπική κανονική (μέσο 0 και διακύμανση 1), όταν ο καιρός είναι βροχερός ο θόρυβος είναι κανονική τ.μ. με μέσο 0 και διακύμανση 4, ενώ τέλος όταν ο καιρός είναι ομιχλώδης ο θόρυβος κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα [0, 2]. Γνωρίζεται ότι η πιθανότητα να είναι καλός ο καιρός είναι 0.5, ενώ η πιθανότητα να είναι βροχερός είναι 4πλάσια της αντίστοιχης πιθανότητας να είναι ομιχλώδης. α) Βρείτε για κάθε κατάσταση του καιρού την σ.π.π. της τ.μ. Χ. β) Υπολογίστε την πιθανότητα το σήμα που λαμβάνεται να είναι μεταξύ 1 και 3. γ) Αν το σήμα που λαμβάνεται είναι μεταξύ 1 και 3, τότε ποια είναι η πιθανότερη κατάσταση του καιρού να έχει συμβεί ; Άσκηση 13. Σε ένα κατάστημα παροχής υπηρεσιών Διαδικτύου (Internet café), ο ημερήσιος χρόνος χρήσης ενός Η/Υ έχει την εξής συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: 3 x 2 4 x 0 x 4 f x 64. 0 α) Αν το κόστος ενοικίασης της χρήσης του Η/Υ είναι 3 Ευρώ/ώρα, βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση του ημερήσιου κόστους. β) Πόση είναι η πιθανότητα ο Η/Υ να χρησιμοποιείται περισσότερο από 2,5 ώρες, αλλά όχι παραπάνω από 3,4 ώρες ; γ) Αν γνωρίζετε ότι ο Η/Υ χρησιμοποιήθηκε πάνω από 2,5 ώρες, πόση είναι η πιθανότητα να μην χρησιμοποιηθεί παραπάνω από 3,4 ώρες ; Άσκηση 14. Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τ.μ. Υ = tan X εάν η τ.μ. Χ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα (-π/2, π/2). Άσκηση 15. Η ροπές ν-τάξεως μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ είναι όλες 0.8 δηλ. E(X ν )=0.8 ν=1,2, Βρείτε την συνάρτηση ροπογεννήτριας M X (t) και υπολογίστε τις πιθανότητες P(X=0) και P(X=1). Άσκηση 16. Βρείτε την συνάρτηση ροπογεννήτριας της τυπικής κανονικής Ν(0, 1) και με βάση αυτήν υπολογίστε τις τρεις πρώτες (απλές) ροπές. Άσκηση 17. Η διάρκεια ζωής μίας ηλεκτρονικής συσκευής είναι μία εκθετική τυχαία μεταβλητή. Συγκεκριμένα, η διάρκεια ζωής του 10% των συσκευών έχει μία μέση τιμή 20,000 ώρες, ενώ οι υπόλοιπες 90% έχουν μέση τιμή 50,000 ώρες. Υπολογίστε το ποσοστό των συσκευών που δεν θα λειτουργούν μετά από 60,000 ώρες. Άσκηση 18. Σε ένα υπολογιστικό σύστημα υπάρχει εγκατεστημένο ένα πρόγραμμα που παράγει έναν αριθμό Χ ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα [0,10]. Στην οθόνη του συστήματος εμφανίζεται ένας ακέραιος αριθμός Υ που προέρχεται από την στρογγυλοποίηση του Χ στον πλησιέστερο ακέραιο. Βρείτε την συνάρτηση μάζας πιθανότητας (σ.μ.π.) της (ακέραιας) τυχαίας μεταβλητής Υ και στην συνέχεια βρείτε την μέση τιμή και την διακύμανσή της.
Άσκηση 19. Ένα διαγώνισμα πολλαπλών απαντήσεων (multiple choice) αποτελείται από έντεκα (11) ερωτήματα με τέσσερις δυνατές απαντήσεις το καθένα. Ένας διαγωνιζόμενος γνωρίζει τις απαντήσεις από τις τρεις πρώτες ερωτήσεις, αλλά δεν γνωρίζει καμία από τις επόμενες οκτώ οπότε αποφασίζει να τις απαντήσει στην τύχη (ομοιόμορφα). Έστω Χ ο αριθμός των απαντήσεων που ο διαγωνιζόμενος μάντεψε σωστά και Υ ο αριθμός συνολικά των σωστών απαντήσεων. α) Δώστε την σχέση των τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ. και βρείτε την κατανομή που ακολουθεί η τ.μ. Χ. β) Ποια είναι η μέση τιμή και η διακύμανση της μεταβλητής Υ; Υπολογίστε την πιθανότητα ο διαγωνιζόμενος να απαντήσει σωστά σε τουλάχιστον 5 ερωτήματα συνολικά. Άσκηση 20. Έστω μία τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση μάζας πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x 10 20 30 40 p X (x) 0.10 0.25 0.35 0.30 α) Βρείτε την πιθανότητα η τιμή της μεταβλητής Χ να είναι μεγαλύτερη από 20 και την πιθανότητα να είναι μεταξύ 26 και 44. β) Βρείτε την μέση τιμή και την διακύμανση της. γ) Υπολογίστε την ποσότητα E(X 3 2X + 1). Άσκηση 21. Η στατιστική μελέτη στο Τμήμα Πληροφορικής έδειξε ότι η λήψη του πτυχίου για τα επιπλέον έτη σπουδών από τα κανονικά (4 έτη) που απαιτούνται για να πάρει πτυχίο ένας φοιτητής ακολουθεί την Εκθετική τιμή με παράμετρο λ=1/0.35. Καθώς η Γραμματεία θέλει επιπλέον γνώση για το γεγονός αυτό, ζήτησε να καταγραφεί μία πρόβλεψη για τους τεταρτοετείς φοιτητές του τρέχοντος έτος σπουδών. Γράψτε ένα πρόγραμμα σε γλώσσα C το οποίο να παράγει 100 τυχαίους αριθμούς (όσοι και οι φοιτητές ανά έτος σπουδών) από την παραπάνω Εκθετική κατανομή και στη συνέχεια, αφού πρώτα στρογγυλοποιήσει τους αριθμούς στον πλησιέστερο ακέραιο, να υπολογίζει το πλήθος των φοιτητών (δηλ. το ποσοστό) που αναμένεται να πάρουν πτυχίο κανονικά (0 επιπλέον έτη), μετά από 1 επιπλέον έτος, μετά από 2 επιπλέον έτη, μετά από 3 επιπλέον έτη, μετά από 4 επιπλέον έτη και μετά από 5 ή και περισσότερα επιπλέον έτη. Σημείωση: για την παραγωγή τυχαίων αριθμών από μία Εκθετική με παράμετρο λ χρησιμοποιήστε την μέθοδο του αντίστροφου μετασχηματισμού, σύμφωνα με την οποία ένα δείγμα της κατανομής παράγεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: x=-1/λ * ln(u), όπου U ένας τυχαίος αριθμός στο [0, 1]. Άσκηση 22. Έστω μία τυχαία μεταβλητή X με σ.π.π. f X k ( x) x(1 x) 0 x 1. Βρείτε την 0 κατανομή που ακολουθεί η συνάρτηση Y X, και στην συνέχεια την μέση τιμή της E(Y). Άσκηση 23. Η διάρκεια ζωής μιας συσκευής Χ είναι μία τυχαία μεταβλητή που εξαρτάται από τον τύπο της. Συγκεκριμένα, αν είναι τύπου Α τότε η τ.μ. Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μ=4
(έτη) και σ 2 =1, ενώ αν είναι τύπου Β τότε ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα τιμών [3, 5]. Το κόστος κατασκευής της συσκευής είναι 1000 Ευρώ και πωλείται προς 1800 Ευρώ. Αν όμως η διάρκεια ζωής της είναι μικρότερη των 3.5 ετών τα χρήματα επιστρέφονται πίσω στον αγοραστή και η συσκευή πωλείται ως παλαιό υλικό έναντι 500 Ευρώ. Να βρεθεί το αναμενόμενο κέρδος της συσκευής. (υποθέστε ότι η συσκευή έχει την ίδια πιθανότητα να είναι τύπου Α ή Β) Άσκηση 24. Σε ένα διάστημα μίας ημέρας, ένα ηλεκτρονικό μηχάνημα παιχνιδιών αποδίδει συνολικό κέρδος γ ευρώ. Το μηχάνημα εμφανίζει βλάβες. Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός των βλαβών ακολουθεί την κατανομή Poisson με ρυθμό λ, και αν είναι ίσος με x τότε η ζημιά που προκαλείται είναι ίση με αx 2 +βx (α, β σταθερές >0). Βρείτε τον τύπο που θα δίνεται το κέρδος Κ από την λειτουργία του μηχανήματος (στο διάστημα μιας ημέρας) και στην συνέχεια το αναμενόμενο κέρδος λειτουργίας του μηχανήματος. Άσκηση 25. Έστω τ.μ. X ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [-1, β], με β>-1. Αν γνωρίζετε ότι V ( X ) 4, τότε να προσδιοριστεί η τιμή του β, και να υπολογιστεί η συνάρτηση πυκνότητας, η μέση E( X ) 3 τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Y= X. Άσκηση 26. α) Στο κύκλωμα του διπλανού σχήματος, η αντίσταση R είναι μία τυχαία μεταβλητή που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα από 900 έως 1100 Ω, ενώ το ρεύμα I = 0.01Α V και η αντίσταση r = 1000 Ω είναι σταθερές. Εάν ισχύει η γνωστή σχέση V=(R+r)I βρείτε την μέση τιμή και διακύμανση της τάσης V Ι r R β) Το ρίσκο R ενός οχήματος να προκαλέσει ατύχημα καθώς κινείται με μια ταχύτητα V δίνεται από R ae 2 b V c την σχέση:, όπου a, b, c είναι θετικές σταθερές. Δίδεται επίσης ότι η ταχύτητα V είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ v 1 και v 2. Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της μεταβλητής R στις περιπτώσεις όπου: α) (v 1, v 2 ) c και b) c=(v 1 + v 2 )/2 Άσκηση 27. Το μηνιαίο κόστος ζωής ενός φοιτητή είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 500 Ευρώ και τυπική απόκλιση 50 (Ευρώ). Κάθε μήνα οι γονείς του βάζουν στον λογαριασμό του 600 Ευρώ. Έχει παρατηρηθεί ότι τους μήνες από Οκτώβριο έως και Δεκέμβριο και από τον Απρίλιο έως και τον Ιούνιο το κόστος ζωής του φοιτητή αυξάνεται κατά 150 Ευρώ. α) Ποιο είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του ποσού που είναι αποταμιευμένο στον λογαριασμό του φοιτητή μετά από ένα έτος (υποθέστε ότι αρχικά ο λογαριασμός είναι κενός). β) Ποια είναι η πιθανότητα το συνολικό ποσό του λογαριασμού μετά από ένα έτος να είναι τουλάχιστον 500 Ευρώ; γ) Πόση πρέπει να είναι η τυπική απόκλιση (αντί του 50) ώστε μετά από ένα έτος να υπάρχουν τουλάχιστον 1000 Ευρώ αποταμιευμένα στον λογαριασμό του φοιτητή, με πιθανότητα 0.98;
Άσκηση 28. Έστω Χ μία συνεχής μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 3 x 2 1 f x 0 1 2 x 0 και Y=[3X+1], όπου με [ ] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του αντίστοιχου αριθμού. Να υπολογιστεί η κατανομή που ακολουθεί η διακριτή μεταβλητή Υ και στη συνέχεια η μέση τιμή και η διακύμανσή της. Άσκηση 29. Μία θετική τυχαία μεταβλητή Χ λέμε ότι ακολουθεί την λογαριθμοκανονική κατανομή αν και μόνο αν η τυχαία μεταβλητή Y=lnX ακολουθεί την κανονική με παραμέτρους μ και σ 2. 1 2 2 α) Να δειχθεί ότι οι ροπές της Χ δίνονται από τον τύπο: EX n exp n n, n 1,2,... 2 β) Να υπολογιστεί η μέρη τιμή και η διακύμανση της τ.μ. Χ συναρτήσει των παραμέτρων μ και σ 2. 2 V X γ) Να δειχτεί ότι ln 1. 2 E X Άσκηση 30. Ο χρόνος ζωής Χ (σε 100-άδες ώρες) ενός λαμπτήρα είναι μία συνεχής τ.μ. με 2 x συνάρτηση πυκνότητας f x xe, x 0, 0. α) Να υπολογιστεί η συνάρτηση κατανομής F(x) της τ.μ. Χ β) Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διακύμανση της τ.μ. Χ γ) Με βάση στατιστικά δεδομένα, έχει εκτιμηθεί ότι ο μέσος χρόνος ζωής των λαμπτήρων είναι 2000 ώρες. Ποια είναι η τιμή που πρέπει να θέσουμε στο λ για να περιγράψουμε το χρόνο ζωής με την παραπάνω κατανομή; Ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος ζωής ενός λαμπτήρα που επιλέγεται τυχαία να ξεπεράσει τις 2000 ώρες;