ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για <<1 : 1
Γ. Αόριστα Ολοκληρώματα Δ. Ορθογώνιες Καρτεσιανές Συντεταγμένες (,,z) d = di + dj+ dzkˆ Στοιχειώδες μήκος : ˆ ˆ Στοιχειώδης όγκος: dv=dddz Στοιχειώδης επιφάνεια: σταθερα ddz, = [ + d, z z + dz] da = ddz, = σταθερα [ + d, z z + dz] dd, z = σταθερα [ + d, + d] Για μια βαθμωτή συνάρτηση Φ(,,z) και μια διανυσματική A = Aiˆ+ A ˆj + Akˆ z 2
Δ. Σφαιρικές Συντεταγμένες (r,θ,φ) ˆr ˆϕ ˆ ϑ = r sinθ cosφ = r sinθ sinφ z = r cosθ Στοιχειώδες Μήκος : d = drrˆ + rdθϑˆ+ r sinθdϕφˆ Στοιχειώδης όγκος [από r r+dr, θ θ+dθ, φ φ+dφ]: dv = r 2 Στοιχειώδης επιφάνεια : 2 r sin θ dθdϕ, r = σταθερα [ θ θ + dθ, ϕ ϕ+ dϕ] da = rsin θ drdϕθ, = σταθερα[ r r + dr, ϕ ϕ+ dϕ] rdrdθ, ϕ = σταθερα [ r r + dr, θ θ + dθ] sinθ dr dθ dφ ˆ ϑ ˆϕ ˆr Για μια βαθμωτή συνάρτηση Φ(r,θ,φ) και μια διανυσματική A = Arˆ + A ˆ θ + A ˆ φ r θ φ 3
Ε. Κυλινδρικές Συντεταγμένες (ρ,φ,z) ẑ ˆ φ ˆρ = ρcosφ = ρsinφ z = z Στοιχειώδες Μήκος : d = dρρˆ + ρdϕφˆ + dzzˆ Στοιχειώδης όγκος [από ρ ρ+dρ, φ φ+dφ, zz+dz] : dv = ρ dρ dφ dz Στοιχειώδης επιφάνεια : ρdϕdz, ρ = σταθερα [ ϕ ϕ + dϕ, z z+ dz] da = d ρdz, ϕ = σταθερα [ ρ ρ+ d ρ, z z + dz] ρ ρ ϕ σταθερα ρ ρ ρ ϕ ϕ ϕ d d, z = [ + d, + d ] Για μια βαθμωτή συνάρτηση Φ(ρ,φ,z) και μια διανυσματική A = A ˆ A ˆ ρρ + φφ + A z zˆ 4
ΣΤ. Βαθμίδα (Gradient) Βαθμωτής Συνάρτησης (1) Ορισμός : Θεωρούμε μια συνεχή και παραγωγίσιμη βαθμωτή συνάρτηση Φ(,,z) των συντεταγμένων, και z για την οποία ορίζονται οι μερικές παράγωγοί της Φ, Φ, Φ z. Στη Φυσική με βαθμωτές συναρτήσεις αναπαριστώνται τα μονόμετρα μεγέθη, όπως η θερμοκρασία, η πίεση, η πυκνότητα ρ(,,z) μάζας ή φορτίου κλπ. Σε κάθε σημείο του χώρου μπορούμε να κατασκευάσομε ένα διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι αντίστοιχες μερικές παράγωγοι της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Το διάνυσμα αυτό ονομάζεται βαθμίδα της Φ και συμβολίζεται ως : (, z, ) ˆ ( z,, ) ˆ ( z,, ) Φ = Φ i + Φ j+ Φ k ˆ z (2) Σημασία : Το διάνυσμα αυτό δίνει πληροφορίες για τον τρόπο μεταβολής της συνάρτησης στη γειτονιά ενός σημείου. Συγκεκριμένα η κατεύθυνση του διανύσματος αυτού (διεύθυνση και φορά) είναι αυτή που πρέπει να ακολουθήσομε ξεκινώντας από το συγκεκριμένο σημείο ώστε να παρακολουθήσομε την πιο απότομη χωρική μεταβολή της συνάρτησης. Το μέτρο του δίνει την κλίση της συνάρτησης κατά την κατεύθυνση αυτή. Παράδειγμα 1: Στην απλή περίπτωση που φαίνεται στο ακόλουθο Σχήμα παρίστανται δύο βαθμωτές συναρτήσεις. Όσο το χρώμα σκουραίνει, τόσο η τιμή τους σε ένα σημείο του χώρου αυξάνεται. Η βαθμίδα τους σε κάθε σημείο είναι ένα γαλάζιο διάνυσμα η κατεύθυνση του οποίου σε κάθε σημείο συμπίπτει με την κατεύθυνση κατά την οποία έχομε την μέγιστη χωρική αύξηση της τιμής κάθε συνάρτησης. Παράδειγμα 2 : Θεωρούμε μια βαθμωτή συνάρτηση δύο μεταβλητών f(,) που παριστάται σαν μια επιφάνεια στον χώρο, όπως στο Σχήμα (α), και ένα σημείο ( 1, 1 ) αυτής. Η βαθμίδα τη συνάρτησης στο σημείο ( 1, 1 ) θα είναι ένα διάνυσμα με φορά αυτήν της πιο απότομης ανωφέρειας (κλίσης) που παρουσιάζει η συνάρτηση ξεκινώντας από το σημείο αυτό και μέτρο την κλίση της συνάρτησης κατά την κατεύθυνση αυτή. Το Σχήμα (β) δείχνει την βαθμίδα της συγκεκριμένης συνάρτησης σε διάφορα σημεία στις δύο διαστάσεις συμπεριλαμβανομένου και του σημείου ( 1, 1 ). 5
2 2 Παράδειγμα 3: Για την συνάρτηση f (, ) = (cos + cos ) 2 θα έχομε ότι f(, ) 2 2 2 2 = 2(cos + cos )( 2 cos sin ) = 4 cos sin (cos + cos ) f(, ) 2 2 2 2 = 2(cos + cos )( 2 cos sin ) = 4 cos sin (cos + cos ) 2 2 ˆ 2 2 f(, ) = 4 cos sin (cos + cos ) i + 4 cos sin (cos + cos ) ˆj Στο Σχήμα φαίνεται η συνάρτηση στο χώρο και η βαθμίδα της σε κάθε σημείο του διδιάστατου χώρου. Προσοχή! Η βαθμίδα ορίζεται για βαθμωτές συναρτήσεις, ενώ η ίδια είναι διανυσματική συνάρτηση. (3) Βασικές Πράξεις : Εάν f και g βαθμωτές συναρτήσεις και λ σταθερά ισχύει ότι ( f + g) = f + g ( λ f) = λ f ( fg) = f g + g f f g f f g = 2 g g (4) Θεώρημα των βαθμίδων : Έστω καμπύλη που περικλείεται από τα σημεία α και b και f βαθμωτή συνάρτηση. Τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της βαθμίδας της (που είναι διανυσματική συνάρτηση) κατά μήκος της καμπύλης θα είναι : b a ( f ) d = f( b) f( a) α b 6
Ζ. Απόκλιση (Divergence) Διανυσματικής Συνάρτησης (1) Ορισμός : Θεωρούμε μια συνεχή και παραγωγίσιμη διανυσματική συνάρτηση A = A (,, ) ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ z i + A z j+ Az z k των συντεταγμένων, και z για την οποία A A Az ορίζονται οι μερικές παράγωγοί της,,. z Στη Φυσική με διανυσματικές συναρτήσεις αναπαριστώνται τα διανυσματικά μεγέθη, όπως η ταχύτητα, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου κλπ. Σε κάθε σημείο του χώρου μπορούμε να ορίσομε την τιμή μιας βαθμωτής συνάρτησης, που ονομάζεται απόκλιση της αντίστοιχης διανυσματικής, και ορίζεται ως : ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ A A Az A= i + j+ k Ai + A j+ Azk) = + + z z (2) Σημασία : Η τιμή της απόκλισης μιας διανυσματικής συνάρτησης σε ένα σημείο του χώρου αποτελεί ένα μέτρο του πόσο το αντίστοιχο διανυσματικό πεδίο τιμών αποκλίνει από (ή συγλίνει προς) το συγκεκριμένο σημείο. Θετική απόκλιση υποδηλώνει απόκλιση του πεδίου από το σημείο, το οποίο λειτουργεί ως πηγή. Αρνητική απόκλιση υποδηλώνει σύγκλιση του πεδίου προς το σημείο, το οποίο λειτουργεί ως καταβόθρα. Παράδειγμα 1: Η διανυσματική συνάρτηση παρουσιάζει σε κάθε σημείο θετική απόκλιση. A = A (, ) iˆ+ A (, ) ˆj του Σχήματος Y X Παράδειγμα 2 : Η διανυσματική συνάρτηση A = A (, ) ˆ j του Σχήματος παρουσιάζει σε κάθε σημείο μηδενική απόκλιση. Πράγματι το μέτρο του διανύσματος Y παραμένει πάντα σταθερό καθώς προχωρούμε κατά την κατεύθυνση που A δείχνει με = 0 X 7
Y Παράδειγμα 3: Η διανυσματική συνάρτηση A = A (, ) ˆ j του Σχήματος παρουσιάζει σε κάθε σημείο μη μηδενική θετική απόκλιση. Πράγματι το μέτρο του διανύσματος A μεταβάλεται (αυξάνεται) καθώς κινούμαστε κατά την κατεύθυνση που δείχνει με 0 X Προσοχή! Η απόκλιση ορίζεται για διανυσματικές συναρτήσεις, ενώ η ίδια είναι βαθμωτή συνάρτηση. (3) Βασικές Πράξεις : Εάν A και B διανυσματικές συναρτήσεις, f βαθμωτή συνάρτηση και λ σταθερά ισχύει ότι ( A+ B) = A+ B ( λa) = λ ( fa) = f A + A f A f A A f = 2 f f ( A) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) Θεώρημα των αποκλίσεων (Θεώρημα του Gauss): Θεωρούμε μια κλειστή επιφάνεια Α που περικλείει έναν όγκο V, όπως στο Σχήμα και μια διανυσματική συνάρτηση F = F (,, ) ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ z i + F z j+ Fz z k συνεχώς παραγωγίσιμη που ορίζεται στη γειτονιά του V. Τότε : A V ( FdV ) = F da A 8
Η. Στροβιλισμός ή Κυκλοφορία (Curl) Διανυσματικής Συνάρτησης Y (1) Ορισμός : Θεωρούμε μια συνεχή και παραγωγίσιμη διανυσματική συνάρτηση A = A (,, ) ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ z i + A z j+ Az z k των συντεταγμένων, και z για την οποία A A Az ορίζονται οι μερικές παράγωγοί της,,. z Σε κάθε σημείο του χώρου μπορούμε να ορίσομε την τιμή μιας επίσης διανυσματικής συνάρτησης, που ονομάζεται στροβιλισμός της A, και ορίζεται ως : iˆ ˆj kˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ A A z A ) ˆ A Az ˆ A A = i j k A ˆ + + i + A j+ Azk = = i + j+ z z z z k A A A z (2) Σημασία : Η ύπαρξη μη μηδενικού στροβιλισμού μιας διανυσματικής συνάρτησης σε ένα σημείο του χώρου αποτελεί ένα μέτρο του πόσο το αντίστοιχο διανυσματικό πεδίο «στροβιλιζεται» γύρω από το συγκεκριμένο σημείο. Όσο μεγαλύτερο το μέτρο του διανύσματος του στροβιλισμού σε ένα σημείο, τόσο πιο έντονα το διανυσματικό πεδίο στροβιλίζεται γύρω από αυτό. Παράδειγμα 1: Η διανυσματική συνάρτηση A = A (, ) ˆ i + A(, ) ˆj του Σχήματος παρουσιάζει σε κάθε σημείο μηδενικό στροβιλισμό. Αυτό είναι αναμενόμενο δεδομένου ότι παριστά ένα ακτινικά μεταβαλόμενο πεδίο. Παράδειγμα 2 : Η διανυσματική συνάρτηση A = A (, ) ˆ ˆ i + A (, ) j του Σχήματος παρουσιάζει σε κάθε σημείο μη μηδενικό στροβιλισμό κατά τη διεύθυνση του άξονα z. Y X 9 X
A A (, ) i A (, ) ˆj Παράδειγμα 3 : Η διανυσματική συνάρτηση = ˆ + παρουσιάζει μη μηδενικό στροβιλισμό κατά τη διεύθυνση του άξονα z. του Σχήματος Προσοχή! Η απόκλιση ορίζεται για διανυσματικές συναρτήσεις και η ίδια είναι διανυσματική συνάρτηση. (3) Βασικές Πράξεις : Εάν A και B διανυσματικές συναρτήσεις, f βαθμωτή συνάρτήση και λ σταθερά ισχύει ότι ( A+ B) = A+ B ( λa) = λ ( fa) = f A A f ( A) ( ) ( ) ( ) + ( ) A f A A f = 2 f f ( A B) = B A A B+ A B B A ( ) ( ) ( ) ( ) Θεώρημα των στροβιλισμών (Θεώρημα Stokes): Θεωρούμε μια κλειστή προσανατολισμένη καμπύλη C που περικλείει μια επιφάνεια Α, όπως στο Σχήμα και μια διανυσματική συνάρτηση F = F(,, ) ˆ (,, ) ˆ (,, ) ˆ zi+ F z j+ Fz zk συνεχώς παραγωγίσιμη που ορίζεται στη γειτονιά της Α. Τότε : F A F da= F d ( ) C ˆn Α C 10