III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης

III.5 Μέθοδοι Παραγοντοποίησης III.5. Μέθοδος διάσπασης LU Η µέθοδος πραγµατοποίησης η διάσπασης διάσπασης ενός πίνακα Α στη µορφή LU αναφέρεται στο πρόβληµα της A=LU (III.5.) Όπου Ο L είναι κάτω τριγωνικός (l ij =0, j>i) και ο U πάνω τριγωνικός πίνακας (l ij =0 για i>j). Αν ο πίνακας Α ενός γραµµικού συστήµατος Ax=b µπορεί να διασπαστεί µε τον τρόπο αυτό, τότε το σύστηµα γράφεται LUx=b και όπως είναι φανερό η επίλυσή του ανάγεται στην επίλυση δυο απλών συστηµάτων: του Ly=b ως προς y µε εµπρός αντικατάσταση και του Ux=y ως προς x µε πίσω αντικατάσταση. Η µέθοδος αυτή είναιαποδοτική στη περίπτωση πολλών συστηµάτων µε κοινό Α και διαφορετικά δεύτερα µέλη b, οπότε η παραγοντοποίηση γίνεται µια µόνο φορά. Βάση για την ανάπτυξη της µεθόδου διάσπασης LU είναι η µέθοδος Gauss. Όταν η διάσπαση είναι δυνατή, ο πίνακας L περιέχει τους πολλαπλασιαστές της µεθόδου Gauss και ο U είναι ο τελικός πάνω τριγωνικός πίνακας Α n-. Συγκεκριµένα, έχουµε τα παρακάτω αποτελέσµατα. Θεώρηµα ΙΙΙ.5. Αν κατά την τριγωνοποίηση ενός αντιστρεπτού πίνακα Α δεν γίνει καµία αντιµετάθεση γραµµών, τότε ο Α παραγοντοποιείται στη µορφή (ΙΙΙ.5.). Απόδειξη: αφού δεν γίνεται καµία αντιµετάθεση γραµµών θα είναι P i= I n, i=,,n- οπότε η (ΙΙΙ.3.4) γίνεται : U = M n- M A (III.5.2) Το γινόµενο M n- M είναι αντιστρέψιµο, αφού οι M i είναι αντιστρέψιµοι. Από την (ΙΙΙ.5.2 ) Έχουµε Α =( M n- M ) - U=M - M n- - U. Θέτουµε οπότε A=LU.οι πίνακες M i δίνονται από την (ΙΙΙ.5.2) και επαληθεύονται εύκολα L = M - M 2 - M n- - = 0... 0 -P2... 0 -P3 - P32... 0............ -Pn - Pn 2... (III.5.3) Άρα ο πίνακας A=LU όπου L είναι κάτω τριγωνικός µε διαγώνια στοιχεία. Εξετάζουµε τώρα τη περίπτωση που έχουµε ανταλλαγές γραµµών κατά την τριγωνοποίηση. Το Θ(ΙΙΙ.5.) γενικεύεται από το εξής αποτέλεσµα: Θεώρηµα ΙΙΙ.5.2 Για κάθε αντιστρέψιµο πίνακα A n n κάτω τριγωνικός πίνακας L, ένας πάνω τριγωνικός πίνακας U και ένας µεταθετικός πίνακας P τέτοιοι ώστε PA=LU (ΙΙΙ.5.4) Απόδειξη. θεωρούµε τους στοιχειώδεις πίνακες M,M 2,..,M n- και P,P 2, P n- που προκύπτουν κατά τη διαδικασία απαλοιφής, Θεωρούµε επίσης τους πίνακες : L =M, L 2 =M 2 (P 2 L P 2 ),.,L n- =M n- (P n- L n- P n- ) (ΙΙΙ.5.5)

Που είναι αντιστρέψιµο σαν γινόµενο αντιστρέψιµων πινάκων. επίσης µπορούµε να δείξουµε ( άσκηση ΙΙΙ.5.4(α)) ότι είναι κάτω τριγωνικός. επειδή ο αντιστρέψιµος ενός κάτω τριγωνικού είναι κάτω τριγωνικός ( άσκηση ΙΙΙ.5.4(β)),άρα και ο L=L n- - είναι κάτω τριγωνικός,τώρα,έχοντας υπόψη ότι P k =P k - ή P κ 2 =I ο U εκφράζεται U = M n- P n- M 2 P 2 M P A= M n- P n- M 2 (P 2 M P 2 ) P 2 P A = M n- P n- M 3 P 3 L 2 (P 2 P A) = M n- P n- M 4 P 4 M 3 P 3 L 2 P 3 (P 3 P 2 P 2 A) = M n- P n- M 4 P 4 L 3 (P 3 P 2 P A)= =L n- P n- P A=L n- PA Όπου ο P=P n-.p µεταθετικός πίνακας που αντιστοιχεί στις αντιµεταθέσεις γραµµών της µεθόδου Gauss άρα, U=L n- PA=PA=l n- - U δηλαδή PA=LU. Σηµείωση :αν δεν γίνουν εναλλαγές είναι P I n,,.n-,άρα P=I n, και L =M,L 2=M 2M, L n-=m n-.m και άρα A=LU όπου L=L n- - δηλ επαληθεύεται to ΘΙΙΙ.5. Σαν εφαρµογή των ΘΙΙΙ.5.2 δίνουµε τα παρακάτω παραδείγµατα: Παράδειγµα ΙΙΙ5.. Θα υπολογίσουµε τα L,U και P για το πίνακα A= 0 2 2 4 4 2 τέτοια ώστε PA=LU. Στο παράδειγµα ΙΙΙ.2.2 βρήκαµε 0 0 P = P 2 =, P 0 0 2 =P 22 =I 3 0 0 0 0 0 0 M = M 2 = 0 0 0 0 4 0 0 7 / 2 Λαµβάνουµε P=P P 2 =P, L =M, L 2 = M 2 (P 2 L P 2 )=M 2 M και L = M - - M 2 = 2 4 0 0 = 0 2 0 0 = 0 0 0 0 0 0 35 / 2 0 P32 4 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 7 / 2 4 7 / 2 Επίσης στο παράδειγµα ΙΙΙ.2. βρήκαµε U= 2 4 0 2 0 0 35 / 2 Και επαληθεύσουµε εύκολα ότι PA = LU. Παράδειγµα στο MATLAB : Στο MATLAB ορίζουµε πρώτα τον πίνακα Α: >> A=[0 2 ; -2 4;4-2] A= 0 2-2 4 4-2 Τώρα υπολογίζουµε τα L,U και P:

>>[L,U,P]=lu(A) L=.0000 0 0 0.0000 0 0.2500-0.8750.0000 U= 4.0000 -.0000 2.0000 0 2.0000.0000 0 0 4.3750 P= 0 0 0 0 0 0 Και επαληθεύουµε >>P*A== ==L*U Ans= Στην παραπάνω σύγκριση ο πίνακας που προκύπτει έχει στις θέσεις όπου τα στοιχεία είναι ίσα και 0 όπου ισχύει το αντίθετο. Η απουσία µηδενικών δείχνει ότι PA=LU. Παράδειγµα ΙΙΙ.5.2 Στο παράδειγµα ΙΙΙ.3.2 βρήκαµε ότι,κατά τη διαδικασία απαλοιφής χωρίς οδήγησης για τον πίνακα Α= 2 3 4 2 6 εν έγιναν αντιµεταθέσεις γραµµών και P 2 =-2, P 3 =-4, P 32 =-6 από την (ΙΙΙ.5.3) Έχουµε Και U= L=M - M 2 - = 2 0 3 0 0 6 0 0 P 0 P3 P32 Εύκολα τώρα επαληθεύουµε ότι LU=A. = 0 0 2 0 4 6 Το συµπέρασµα που εξάγουµε από το Θ(ΙΙΙ.5.2) είναι ενδιαφέρον :ένας οµαλός πίνακας Α είναι είτε άµεσα παραγοντοποίησιµος στη µορφή LU (όταν η φάση της απαλοιφής δεν απαιτεί ανταλλαγές γραµµών), είτε έµµεσα κάτω από τη µορφή (PA) µιας µετάθεσης (P) των γραµµών του.εποµένως κάθε οµαλό σύστηµα Ax=b µπορεί να τεθεί στη µορφή PAx=Pb ή LUx=Pb και να λυθεί σε δυο φάσεις : αρχικά λύνεται το σύστηµα Ly=Pb µε εµπρός αντικατάσταση και κατόπιν το Ux=y µε πίσω αντικατάσταση. Αρκεί για αυτό να γίνουν οι απαραίτητες αντιµεταθέσεις γραµµών, ή ισοδύναµα, να υπολογισθεί ο µεταθετικός πίνακας P, ή (όπως είδαµε στην ΙΙΙ.2) το αντίστοιχο διάνυσµα µετάθεσης P. Ο υπολογισµός του τελευταίου απαιτεί παρόµοια διαδικασία µε αυτήν της απαλοιφής: θα πρέπει να βρεθούν οι γραµµές οδηγοί δια µέσου του προσδιορισµού των πολλαπλασιαστών P ik. Και στη περίπτωση αυτή είναι σκόπιµη για τους γνωστούς λόγους η εφαρµογής µερικής οδήγησης. Γενικά η διάσπαση LU και γενικότερα η PA=LU επιδιώκεται για οποιαδήποτε πίνακα. Οι πίνακες L και U µπορούν να υπολογιστούν απ ευθείας ως εξής.

Αναπτύσσοντας την A=LU, για τον προσδιορισµό των l ij και u ji παρατηρούµε ότι υπάρχουν n παραπάνω άγνωστα σε σχέση µε τις εξισώσεις και έτσι µπορούµε να θέσουµε αυθαίρετα l ij = για i=,,n Ας σηµειωθεί άλλωστε ότι η επιλογή αυτή συµφωνεί µε την (ΙΙΙ.5.3) και δεν απαιτεί διαιρέσεις στην πίσω αντικατάσταση (που πιθανότητα θα προκαλέσουν σφάλµατα στρογγύλευσης ). Τώρα από την ταχύτητα A=LU έχουµε : a ij = l i T u j ή a ij = min( i, j) ik kj και υπολογίζουµε αµέσως την πρώτη γραµµή του U και την πρώτη στήλη του L: a j = u j u j = a j, j=,.,n a u i a j =l i u l i = i i=2,.,n Στην συνέχεια υπολογίζουµε σταδιακά τις υπόλοιπες γραµµές του U και στήλες του Lγια και j=m,,n έχουµε: m=2,,n Επίσης m a mj = likukm+ limumm = m m u mj = a mj - lmkukj, j=m,,n a im = m + ik km im mm +. u mk kj mj, i=m+,,n από όπου, αν u nm =0, προκύπτει ότι η διάσπαση είναι αδύνατη και ο πίνακας Α είναι µη οµαλός ενώ αν u nm 0 l im = u nm a m mj mk kj, i=m+,,n Ανάλογα διατυπώνεται και η διαδικασία υπολογισµού των P, L και U για την διάσπαση (ΙΙΙ.5.4) (άσκηση ΙΙΙ.5.6). Από τον τρόπο υπολογισµού των L και U είναι φανερό ότι (α) για να είναι η διάσπαση δυνατή πρέπει u iι 0, i=,,n, δηλ πρέπει ο πίνακας Α να είναι οµαλός και (β)η διάσπαση ως προς τον περιορισµό l iι =, i=,,n (ή και οποιοδήποτε άλλον) είναι µοναδική. Ο παρακάτω αλγόριθµος συνοψίζει την µέθοδο αυτή:

Αλγόριθµος Παραγοντοποίησης LU Input: Πίνακας Α(nxn),n. Output: κάτω τριγωνικός πίνακας L (nxn) πάνω τριγωνικός πίνακας U (nxn).µε LU=A. Begin if a =0 then [ write( ιάσπαση αδύνατη );exit]; u := a ; l :=; for j:=2 to n do {υπολογισµός ης γραµµής του U και ης στήλης του U } [u j := a j ; l j := a j / u ]; for i:=2 to n- do [l ii :=; ]; i u ii =a ii - likuki ; if u jj =0 then [write( ιάσπαση αδύνατη ); exit]; for j:=i+ to n do [ u ij =a ij - l ji = i ik ki i a / u ji jk ki ii ; {υπολογισµός i γραµµής του U } ] {υπολογισµός i στήλης του U } u nn = a nn - n nk write( L,U); end ιάσπαση LU kn n lnkukn ; Θα αναζητήσουµε τώρα διασπάσιµους πίνακες στη µορφή LU. Μπορούµε να δείξουµε ότι τέτοια διάσπαση επιδέχονται δυο ενδιαφέρουσες κατηγορίες πινάκων: οι πίνακες µε αυστηρή διαγώνια κυριαρχία και οι θετικά ορισµένοι πίνακες. Ορισµός ΙΙΙ.5. (α) Ένας πίνακας Α n n έχει αυστηρή διαγώνια κυριαρχία, όταν n a ii > ii j= j i a για κάθε i=,.,n (β) Ένας πίνακας Α λέγεται θετικά ορισµένος, όταν για κάθε n διάνυσµα x 0 είναι x T Ax>0. Ας δούµε εδώ µερικές ιδιότητες των πινάκων αυτών: (i) Αν ο Α έχει α.δ.κ. τότε είναι αντιστρεπτός. Απόδειξη: Η απόδειξη µπορεί να ληφθεί από το Θ(ΙΙΙ.6.)(κύκλοι Gershgorin) και αφήνεται σαν άσκηση. (ii) Αν ο Α είναι θετικά ορισµένος τότε είναι αντιστρεπτός. Απόδειξη: Αν ο Α δεν ήταν αντιστρεπτός θα είχαµε AX=0 για x 0 δηλαδή x T A x = 0 για x 0, άτοπο. (iii) Τα διαγώνια στοιχεία των θετικά ορισµένων πινάκων είναι θετικά. Απόδειξη: Αν επιλέξουµε x=i i Τ, τότε έχουµε 0<i i Τ Αi i =a ii, i=,,n.

Θεώρηµα ΙΙΙ.5.3 Αν ο Α έχει α.δ.κ., τότε η µέθοδος Gauss για κάθε σύστηµα Ax=b µπορεί να εφαρµοσθεί χωρίς ανταλλαγές γραµµών δηλαδή υπάρχουν ένας πάνω τριγωνικός πίνακας U και ένας κάτω τριγωνικός πίνακας L ώστε A=LU. Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση Θεώρηµα ΙΙΙ.5.4 Αν ο Α είναι θετικά ορισµένος, τότε επιδέχεται διάσπαση LU. Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση Ειδικότερα αν ένας πίνακας Α, εκτός από θετικά ορισµένος είναι και συµµετρικός καταλήγουµε σε απλούστερη µορφή διάσπασης. Παράδειγµα σε MATLAB : Στο MATLAB ορίζουµε πρώτα τον πίνακα Α: >> A=[4 0 0; 4 0;0 4 ;0 0 4 ] A= 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 Τώρα υπολογίζουµε τα L,U και P: >> [L,U,P]=lu(A) L =.0000 0 0 0 0.2500.0000 0 0 0 0.2667.0000 0 0 0 0.2679.0000 U = 4.0000.0000 0 0 0 3.7500.0000 0 0 0 3.7333.0000 0 0 0 3.732 P = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Και επαληθεύουµε >> P*A==L*U ans =

ΙΙΙ.5.2 Μέθοδος Cholesky Η µέθοδος Cholesky αναφέρεται στην ειδική διάσπαση που χαρακτηρίζει τους συµµετρικούς (Α Τ =Α) και θετικά ορισµένους πίνακες. Για τους πίνακες αυτούς ισχύει U=L T, δηλαδή: A=L L T (IΙΙ.5.6) Συγκεκριµένα ισχύει το θεώρηµα : Θεώρηµα ΙΙΙ.5.5 [ ιάσπαση Cholesky] Ένας συµµετρικός πίνακας Α µπορεί να τεθεί στη µορφή A=L L T όπου L κάτω τριγωνικός, µε l ii >0, i=,,n, αν και µόνο αν είναι θετικά ορισµένος. Απόδειξη είχνουµε το ζητούµενο κατασκευαστικά. Έστω A θετικά ορισµένος πίνακας, Θέτουµε: A=L L T Από όπου λαµβάνουµε : i i a ij = likl jk = likl jk + liil ji, j=,,n (III.5.7) Υπολογίζουµε αρχικά τα διαγώνια στοιχεία του L από την όπως είδαµε για θετικά ορισµένους πίνακες είναι a >0, και i l 2 2 ii=a ii - l ik, i=2,,n (III.5.7). βρίσκουµε l = a, αφού (III.5.8) Μπορούµε να δείξουµε τώρα µε επαγωγή ως προς i, ότι a ii - i το ότι ο Α είναι θετικά ορισµένος και συµµετρικός (άσκηση ). Άρα l 2 ik > 0, i=,,n, εκµεταλλευόµενοι l ii = a ij i 2 l ik i=,,n (III.5.8) Στη συνέχεια υπολογίζουµε διαδοχικά τα υπόλοιπα στοιχειά των στηλών του L και βρίσκουµε: l ji = lii n liku jk, j=i+,,n (III.5.9) Αντίστροφα, αν υπάρχει κάτω τριγωνικός πίνακας L που ικανοποιεί A=L L T, µε l ij >0, i=,,n, τότε x 0 για x T Ax=x T LL T x=(l T x) T (L T x) > 0, άρα ο Α είναι θετικά ορισµένος. Για τη λύση του συστήµατος Ax=b, η µέθοδος Cholesky αρχικά υπολογίζει τον πίνακα διάσπασης L µε τις σχέσεις (III.5.8) και (III.5.9) καi στη συνέχεις επιλύει εύκολα τα συστήµατα L T y=b και L T x=y µε εµπρός και πίσω αντικατάσταση αντίστοιχα. Λαµβάνοντας τώρα υπόψη τις (III.5.8) και (III.5.9), ο αλγόριθµος για τον υπολογισµό του L για θετικά ορισµένους και συµµετρικούς πίνακες διατυπώνεται ως εξής: Αλγόριθµος ιάσπασης Cholesky Input: Θετικά ορισµένος και συµµετρικός πίνακας Α (nxn), n Output: Κάτω τριγωνικός πίνακας L (nxn),τέτοιος ώστε LL T =A Begin a ; l = for i:=2 to n do l i := a i/ a ; {υπολογισµός πρώτης στήλης }

if n>2 then {υπολογισµός στηλών j=2,,n-} [for j:=2 to n- do [l jj= a j 2 jj l jk ; for i :=j+ to n do l ij= aij j l a ik jk / l jj; ]; l nn = ] a nn ; n l 2 nk write(l); end ιάσπαση Cholesky {υπολογισµός τελευταίου διαγωνίου στοιχείου} Εύκολα βρίσκουµε ότι η εφαρµογή του αλγορίθµου Cholesky για την επίλυση ενός συστήµατος nxn απαιτεί: n τετραγωνικές ρίζες /6(n 3 +9n 2 +2n) πολλαπλασιασµούς και /6(n 3 +6n 2 +7n) προσθέσεις και αφαιρέσεις Παρατηρούµε ότι η µέθοδος Cholesky απαιτεί περίπου τους µισούς υπολογισµούς από ότι η µέθοδος απαλοιφής Gauss. ΙΙΙ.5.3 Παραγοντοποίηση Ταινιακών πινάκων Η µέθοδος διάσπασης LU απλοποιείται σηµαντικά στη περίπτωση των ταινιακών πινάκων. Ένας πίνακας λέγεται ταινιακός όταν υπάρχουν ακέραιοι k, l, l<k, l<n, ώστε a ij =0 για i+k <j ή j+l>i. Η µορφή του είναι 0 k 0 Αν l=0 ο Α είναι διαγώνιος πίνακας, ενώ αν l=, ο Α είναι τριδιαγώνιος πίνακας. Εξετάζουµε εδώ τη µορφή διάσπασης για τους τριδιαγώνιους πίνακες. Ένας τρισδιγώνιος πίνακας έχει την µορφή A= u a2 0... 0 0 0 u22 a23... 0 0.................. 0 0......... unn Ας τονιστεί ότι τα κριτήρια παραγοντοποίησης των ταινιακών πινάκων είναι τα ίδια µε αυτά των απλών πινάκων. Όµως, αν ένας ταινιακός πίνακας είναι παραγοντοποιήσιµος, τότε η διάσπασή του είναι πιο απλή, και αυτό φαίνεται πιο κάτω. Αν ο Α µπορεί να διασπαστεί σε µορφή LU (αυτό π.χ. µπορεί να γίνει, όπως έχουµε δει, όταν ο Α είναι αυστηρά διαγώνια κυρίαρχος ή θετικά ορισµένος), τότε το σύστηµα A=LU προφανώς έχει n 2 εξισώσεις και n 2 +n αγνώστους (l ij και u ij ), οπότε µπορούµε να θέσουµε αυθαίρετα, l ii = για i=,,n. Αυτό προφανώς διευκολύνει τους υπολογισµούς και ειδικότερα τις διαιρέσεις. Συνεπώς σαν άγνωστοι

αποµένουν τώρα τα στοιχεία l ij (κάτω διαγώνια) και u ij (άνω διαγώνια). Τότε µπορούµε να δείξουµε εύκολα ότι οι L και U θα έχουν τις εξής τελικές µορφές: 0 0... 0 0 l 0... 0 0.................. 0 0...... a n, n L= 2, U= u a2 0... 0 0 0 u22 a23... 0 0.................. 0 0......... unn (ΙΙΙ.5.0) Απόδειξη : βλέπε άσκηση ΙΙΙ.5.5 Για την διατύπωση του αλγορίθµου υπολογισµού των U και L ξεκινάµε από τις παρακάτω σχέσεις που προκύπτουν από την (ΙΙΙ.5.0): α = u u i-,j = α i-,i, i 2 α ii = l i,i- u i-,i + u ii, i 2 α i+i = l i+,i u ii, i (ΙΙΙ.5.) Επιλύοντας τώρα το σύστηµα (ΙΙΙ.5.), βρίσκουµε πρώτα τα u ii από τη τρίτη εξίσωση, και κατόπιν τα l i+,i από την τέταρτη. Ο αλγόριθµος παραγοντοποίησης διατυπώνεται τελικά: Αλγόριθµος Παραγοντοποίησης τριδιαγώνιου πίνακα Input : τριδιαγώνιος πίνακας Α (nxn), n, διάνυσµα b (nx) Output: λύση x του συστήµατος Ax=b Begin u := a ; {παραγοντοποίηση-υπολογισµός των u ij l ij } l 2 := a 2 / u ; for i:= 2 to n- do [u i-,i := u i-,i ; U ii ;= a ii - l i,i- * u i-,i ; l i+,i := a i+,i / u ii ]; u n-,i := a n-,i ; u nn := a nn - l n,n- * u n-,i ; y := b / l ; {επίλυση του Ly=b} for i :=2 to n do y := b -l i,i- * y i ; x n ;= y ; {επίλυση του Ux=y} for i :=n- downto do x i :=( y i := u i,i+ * x i+ )/ u ii ; write(x) end Είναι φανερό, ότι για την υλοποίηση του παραπάνω αλγορίθµου µπορεί να επιτευχθεί εξοικονόµηση µνήµης αφού τα δεδοµένα a ij, l ij και u ij µπορούν να αναπαρασταθούν από τους πίνακες (arrays) A[..n,3], L[..2,2] και U[..n,2]. Αρκεί για αυτό να γίνει αναπαράσταση των δεικτών των πινάκων (άσκηση ΙΙΙ.5.4). Αξίζει να αναφερθεί επίσης ότι για τους θετικά ορισµένους και συµµετρικούς ταινιακούς πίνακες ο παραπάνω αλγόριθµος απλουστεύεται σηµαντικά, αφού καταλήγουµε σε διάσπαση (άσκηση ΙΙΙ.5.2). Τέλος, ανάλογα µπορεί να λυθεί το πρόβληµα της διάσπασης και για άλλους ταινιακούς πίνακες (άσκηση ΙΙΙ.5.3).

Ασκήσεις ΙΙΙ.5. Να εφαρµοσθεί η µέθοδος Gauss µε απλή οδήγηση και µε ακρίβεια 3 σ.ψ για την επίλυση του συστήµατος {3x+y-z=0,-2x-6y+3z=2, 4x-2y+8z=}. III.5.2 Τροποποιείστε τον αλγόριθµο Gauss χρησιµοποιούντος ένα διάνυσµα µετάθεσης P που αποθηκεύει τις µεταθέσεις γραµµών. Ο αλγόριθµος δεν θα ανταλλάσσει έτσι άµεσα τις γραµµές του συστήµατος ΙΙΙ.5.3 Να υπολογιθεί η ορίζουσα και ο αντίστροφος πίνακας Α του συστήµατος της άσκησης ΙΙΙ.5. ΙΙΙ.5.4 Να δειχθεί ότι (α) ο αντίστροφος ενός πάνω (κάτω) τριγωνικού πίνακα είναι πάνω (κάτω) τριγωνικός (β) το γινόµενο n> άνω (κάτω) τριγωνικών πινάκων είναι άνω (κάτω) τριγωνικός ΙΙΙ.5.5 Να εφαρµοσθεί η µέθοδος παραγοντοποίησης για την επίλυση του συστήµατος της άσκησης ΙΙΙ.5. ΙΙΙ.5.6 ώστε ένα γενικό αλγόριθµο για τη παραγοντοποίηση PA=LU, όπου P µεταθετικός πίνακας. Ο αλγόριθµος θα υπολογίζει τους πίνακες P, L και U (Υπόδειξη: να γίνει χρήση του διανύσµατος µετάθεσης). Κατόπιν, µε βάση τον αλγόριθµο αυτό, δώστε ένα αλγόριθµο solvelu(a, b) για την επίλυση ενός συστήµατος Ax=b. ΙΙΙ.5.7 Υπολογείστε τον αριθµό πράξεων που απαιτούνται για τις µεθόδους διάσπασης LU. συγκρίνετέτον µε αντίστοιχο αριθµό της µεθόδου Gauss και αναφέρετε τα συµπεράσµατα σας, ΙΙΙ.5.8 Εξετάστε αν ο παρακάτω συµµετρικός πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος. Αν είναι εφαρµόστε τον αλγόριθµο Cholesky για την παραγοντοποίηση του. Α= 3 3 2 4 0 4 3 5 0 5 2 ΙΙΙ.5.9 Να παραγοντοποιηθεί µε τη µέθοδο Cholesky ο πίνακας Α= 3 0 0 3 4 0 0 4 3 2 0 0 2 6 Και στη συνέχεια να λυθεί το σύστηµα Ax=b,όπου b=(-2, 6,, 3) T. ΙΙΙ.5.0 Να διασπασθεί ο ταινιακός πίνακας α µε εφαρµογή του αλγορίθµου της ΙΙΙ.5.3 Α= 6 0 0 3 2 2 0 0 9 3 4 0 0 7

ΙΙΙ.5. Να αποδειχθεί το θεώρηµα ΙΙΙ.5.3 ΙΙΙ.5.2 Αν Α τριδιαγώνιος συµµετρικός και αριστερά θετικός πίνακας διατυπώστε ένα απλουστευµένο αλγόριθµο για την παραγοντοποίησή του. Εφαρµόστε τον αλγόριθµο αυτό για την επίλυση του συστήµατος της άσκησης ΙΙΙ.5.9 ΙΙΙ.5.3 ιατυπώστε και υλοποιείστε ένα αλγόριθµο που να διασπά σε µορφή LU ένα πενταδιαγώνιο πίνακα (=2). III.5.4 Επαναδιατυπώστε τον αλγόριθµο της ΙΙΙ.5.3, χρησιµοποιώντας την ελάχιστη δυνατή µνήµη για την αποθήκευση των αρχικών και ενδιάµεσων δεδοµένων ΙΙΙ.5.5 Να αποδείξετε ότι, αν ένας τριδιαγώνιος πίνακας Α µπορεί να διασπαστεί σε µορφή LU, τότε οι L και U θα έχουν τις εξής µορφές 0 0... 0 0 l 0... 0 0.................. 0 0...... a n, n L= 2, U= u a2 0... 0 0 0 u22 a23... 0 0.................. 0 0......... unn