Κεφάλαιο 2: Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ

Κεφάλαιο : Μετάδοση θερμότητας με ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ. Συντελεστής όψεως Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε κυρίως τις ιδιότητες ακτινοβολίας που εκπέμπεται, απορροφάται και αντανακλάται από μία επιφάνεια. Τώρα εξετάζουμε την ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες επιφάνειες. Εξαρτάται από τις ιδιότητες και την θερμοκρασία των επιφανειών αλλά και από την γεωμετρία τους όπως και από τον μεταξύ τους προσανατολισμό. Εξετάζονται περιπτώσεις όπου το μέσο που βρίσκεται ανάμεσα στις επιφάνειες δεν εκπέμπει, απορροφά ή σκεδάζει την ακτινοβολία (nonparticipating medium) και επομένως δεν επιδρά στην μεταφορά ακτινοβολίας μεταξύ των επιφανειών. Οι συνθήκες αυτές ισχύουν απόλυτα όταν υπάρχει κενό και προσεγγιστικά στην περίπτωση των περισσοτέρων αερίων. Στο πλαίσιο αυτό είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε γεωμετρικά χαρακτηριστικά στη μελέτη ανταλλαγής ακτινοβολίας ανάμεσα σε επιφάνειες εισάγοντας τον ορισμό του συντελεστή όψεως (view factor, configuration factor, form factor or shape factor). Συντελεστής όψεως F ή για λόγους συντομίας απλώς με F είναι ο λόγος της ακτινοβολίας που απομακρύνεται από την επιφάνεια και προσπίπτει στην επιφάνεια προς την συνολική ακτινοβολία που απομακρύνεται από την επιφάνεια. Αντίστοιχα, F ή F είναι το κλάσμα της ακτινοβολίας που απομακρύνεται από την επιφάνεια και προσπίπτει στην επιφάνεια. Πρόκειται για καθαρά γεωμετρική ποσότητα που δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία ή τις ιδιότητες των επιφανειών. Έστω δύο επιφάνειες και οι οποίες είναι προσανατολισμένες τυχαία η μία προς την άλλη όπως φαίνεται στο Σχήμα... Σε κάθε επιφάνεια ορίζεται η στοιχειώδης η διαφορική επιφάνεια d και d οι οποίες απέχουν μεταξύ τους απόσταση μήκους S. Οι γωνίες και ορίζονται ως οι γωνίες που σχηματίζονται ανάμεσα στην ευθεία που συνδέει τις διαφορικές επιφάνειες και τα μοναδιαία διανύσματα n και n που είναι κάθετα στις επιφάνειες d και d. Από τον ορισμό της έντασης της ακτινοβολίας προκύπτει ότι η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνεται από την d και προσπίπτει στην d είναι dq I e r, cos d d d d, όπου cosd d (ο αριθμητής είναι η επιφάνεια κάθετα στην ακτινοβολία) S dq I coscos d d d e r, d S

Σχήμα..: Ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμεσα στις επιφάνειες και Υποθέτοντας ότι η επιφάνεια εκπέμπει και αντανακλά διαχυτικά τότε προκύπτει ότι dq J cos cos d d S I J d d (*) όπου / er, Σημειώνεται ότι η ολική ακτινοβόλος ισχύς J (radiosity) δίδεται από το ολοκλήρωμα / 0 0 0 J I d d d, er,, cossin Εάν η επιφάνεια εκπέμπει και αντανακλά διαχυτικά τότε I, er,, I, er και J I J I,er ή e r Τονίζεται ότι το J (όπως και το E ) σχετίζεται με τη πραγματική επιφάνεια ενώ το I με την επιφάνεια προβολής. Με βάση τον ορισμό του συντελεστή όψεως προκύπτει ότι dq d d cos cos cos dfd d d d Jd S Φαίνεται λοιπόν ότι ο διαφορικός συντελεστής όψεως εξαρτάται μόνο από το μέγεθος της επιφάνειας d και τον προσανατολισμό της σε σχέση με την επιφάνεια d.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι df d dq dd d Jd coscosd S και επομένως F d F d (**) d d d d Ολοκληρώνοντας ως προς την επιφάνεια για να βρούμε τη ενέργεια που φθάνει σε όλη την επιφάνεια και διαιρώντας με την ολική ενέργεια που φεύγει από την d έχουμε dqd d cos cos Fd d dfd d Jd S όπου τα όρια της ολοκλήρωσης προς την επιφάνεια εκτείνονται μόνο στο τμήμα που φαίνεται από την d. Επίσης από τον κανόνα της αμοιβαιότητας d Fd dfd d Η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνεται από όλη την επιφάνεια και προσπίπτει σε όλη την επιφάνεια προκύπτει ολοκληρώνοντας τη σχέση (*) ως προς τις επιφάνειες, δηλαδή cos cos q J dd S και με βάση τον ορισμό τον ορισμό του συντελεστή όψεως προκύπτει ότι coscos J dd S F J coscos F dd Fd d S Ομοίως cos cos F dd (***) και F F (**) S Οι σχέσεις (**) για τις επιφάνειες και, όπως και τις στοιχειώδεις επιφάνειες d και d είναι γνωστές ως ο κανόνας της αμοιβαιότητας (reciprocity rule).

Ένας άλλος σημαντικός κανόνας στη περίπτωση κλειστών κοιλοτήτων που αποτελούνται από i,,..., επιφάνειες είναι ο κανόνας του αθροίσματος (summation rule) που ισχύει για κάθε μία από τις επιφάνειες της κοιλότητας: Fi, i,,..., Άρα σε μία κοιλότητα με i,,..., επιφάνειες ορίζονται άγνωστοι συντελεστές όψεως και απαιτείται αντίστοιχος αριθμός εξισώσεων. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες της αμοιβαιότητας και του αθροίσματος ο αριθμός των αγνώστων συντελεστών όψεως μειώνεται σημαντικά. Συγκεκριμένα, από τον κανόνα της αμοιβαιότητας ορίζονται / εξισώσεις και εξισώσεις από τον κανόνα του αθροίσματος. Επομένως ο αριθμός των εξισώσεων που πρέπει να αγνώστων συντελεστών μειώνεται σε / / / / Fi i το οποίο βέβαια δεν ισχύει για F. Σε επίπεδες και κυρτές (convex) επιφάνειες 0 κοίλες (concave) επιφάνειες όπου 0 Παραδείγματα όπου δεν απαιτείται ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων Να βρεθούν οι συντελεστές όψεως στις παρακάτω διατάξεις: i i Παράδειγμα..: Ομόκεντροι κύλινδροι με την αξονική απόσταση ανάμεσα στις βάσεις να τείνει στο άπειρο (βλέπε Σχήμα..α) F F F και F 0 F F και F F F F F F Παράδειγμα..: Κύλινδρος με ακτίνες βάσεων r r r και ύψους L (βλέπε Σχήμα..β) Ν εξισώσεις από τον κανόνα αθροίσματος: F F F F F F F F F Ν(Ν-)/ εξισώσεις από τον κανόνα αμοιβαιότητας: F F F F F F F F Συμπληρωματικές σχέσεις συγκεκριμένης διάταξης: F 0, F 0 Έχουμε 9 αγνώστους με 8 εξισώσεις και επομένως ένας συντελεστής θα προκύψει από την βιβλιογραφία:

F S S 4 r r /, R S, R R r / L, R r / L Παράδειγμα..: Τρίγωνο με πλευρές L, L, L (βλέπε Σχήμα..γ) Κανόνας αθροίσματος: F F, F F, F F Κανόνας αμοιβαιότητας: F F, F F, F F Επιλύουμε το σύστημα των 6 εξισώσεων με τους 6 άγνωστους και βρίσκουμε:, F L L F F L L L L L L L L L, F L L LL L L L L L L, F, F L L L Σχήμα.. α (αριστερά), β (μέση), γ(δεξιά)

Σε πιο σύνθετες γεωμετρίες για τον υπολογισμό των συντελεστών όψεως είναι απαραίτητη η αριθμητική επίλυση των διπλών ολοκληρωμάτων (***). Τα ολοκληρώματα αυτά έχουν υπολογισθεί για διάφορες γεωμετρίες και οι αντίστοιχοι συντελεστές όψεως βρίσκονται στη βιβλιογραφία (βλέπε Σχήματα..,.. και..4 και σχετικό υλικό στο βιβλίο των Cengel και Ghaar). Όλα αυτά τα αποτελέσματα που είναι διαθέσιμα στη βιβλιογραφία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστούν συντελεστές όψεως σε πιο σύνθετες γεωμετρίες. Η διαδικασία αυτή γίνεται πιο αποτελεσματική εάν εισάγουμε τις εξής επιπλέον βασικές σχέσεις μεταξύ των συντελεστώ όψεων: Ο συντελεστής όψεως μιας επιφάνειας i προς μια επιφάνεια μπορεί να υπολογισθεί ως το άθροισμα των συντελεστών όψεως της επιφάνειας i προς τις επιμέρους μικρότερες επιφάνειες που συνθέτουν την επιφάνεια, δηλαδή εάν K K τότε Fi Fi Η παραπάνω σχέση, γνωστή ως ο κανόνας της υπέρθεσης, σημαίνει απλώς ότι η ακτινοβολία που προσπίπτει σε μια επιφάνεια ισούται με το άθροισμα της ακτινοβολίας που προσπίπτει στα επιμέρους τμήματα. Άρα μία σύνθετη επιφάνεια μπορεί να διασπαστεί σε επιμέρους απλούστερες επιφάνειες και να βρεθούν ευκολότερα οι επιμέρους συντελεστές όψεως. Πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω σχέση με αμοιβαιότητας προκύπτει ότι K F F i i i i F i F i i F i i... F i ik F F F F i i i... K Ki F F F i i i i K F i και εφαρμόζοντας τις σχέσεις i K F i Σε ιδιαίτερες σύνθετες γεωμετρίες όπου τα ολοκληρώματα δεν υπολογίζονται αναλυτικά αλλά αριθμητικά οι αριθμητικές λύσεις πιστοποιούνται ικανοποιώντας τις σχέσεις αμοιβαιότητας και διατήρηση ενέργειας. Τέλος, αρχές συμμετρίας όπου είναι εφαρμόσιμες μπορούν να χρησιμοποιηθούν.

Σχήμα..: Συντελεστής όψεως για ευθυγραμμισμένα παράλληλα ορθογώνια Σχήμα..4: Συντελεστής όψεως για ομόκεντρους παράλληλους δίσκους Σχήμα..5: Συντελεστής όψεως για κάθετα ορθογώνια με κοινή ακμή

Μαθηματικές τεχνικές για τον υπολογισμό των συντελεστών όψεως: Hottel s crossed - string method: βλέπε αμέσως παρακάτω Contour integration: pply Stoes theorem for reduction of the multiple integration over surface area to a single integration around the boundary of the area Differentiation of nown factors: Generation of view factors between differential elements by differencing nown factors between finite elements. Μέθοδος των διασταυρούμενων χορδών (Hottel s crossed - string method) Εφαρμόζεται σε διατάξεις όπου η μία διάσταση εκτείνεται στο άπειρο και η λύση δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη διάσταση. Με τη εφαρμογή του νόμου των διασταυρούμενων χορδών είναι δυνατόν να υπολογίσουμε την μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία σε απέναντι πλευρές τετραπλεύρων και σε περιπτώσεις όπου υπάρχει μερική παρεμπόδιση ανάμεσα σε επιφάνειες από την ύπαρξη άλλων σωμάτων. Μία τυπική διάταξη όπου εφαρμόζεται με επιτυχία η μέθοδος των διασταυρούμενων χορδών φαίνεται στο Σχήμα..6. Σχήμα..6: Τυπική διάταξη για την εφαρμογή της μεθόδου των διασταυρούμενων χορδών Τριγωνική κοιλότητα fgabcf: Τριγωνική κοιλότητα adefga: F F F agf abc agf agf def F agf abc F agf def agf abc cf agf agf def ad agf Fagf agf Fagf abc Fagf def Στη τελευταία σχέση αντικαθιστούμε τους συντελεστές όψεως και προκύπτει agf Fagf cf ad abc def Επίσης agf Fagf F agf F F F και επομένως agf cf ad abc def ύ έ ύ έ ά

. Εναλλαγή ακτινοβολίας σε μέλανες επιφάνειες Έστω ότι οι δύο διαφορικές επιφάνειες d και d του Σχήματος.. έχουν τα χαρακτηριστικά των μελανών επιφανειών σε θερμοκρασίες και. Τότε η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνεται από την d και προσπίπτει στην d είναι dq I cos cos cos cos cos d d I d d E d b d d b d b S S,,, Αντίστοιχα, η ισχύς ακτινοβολίας που απομακρύνεται από την d και προσπίπτει στην d είναι dq I cos cos cos cos cos d d I d d E d b d d b d b S S,,, Επομένως η καθαρή μεταφερόμενη ισχύ ακτινοβολίας ανάμεσα στις επιφάνειες και d είναι dq E E E coscos dd 4 4,,, T T cos cos d b b b dd d S S ή dq T 4 F d T 4 F d T 4 T 4 F d T 4 T 4 F d d d d dd dd dd dd Ολοκληρώνοντας ως προς τις επιφάνειες εύκολα προκύπτει ότι η καθαρή μεταφερόμενη ισχύ ακτινοβολίας ανάμεσα στις επιφάνειες και είναι Q T F T F T T F T T F 4 4 4 4 4 4 Στη συνέχεια, η παραπάνω προσέγγιση που ισχύει για δύο μέλανες επιφάνειες, γενικεύεται θεωρώντας τη μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία ανάμεσα στις επιφάνειες μίας κοιλότητας που αποτελείται από Ν μέλανες επιφάνειες (βλέπε Σχήμα..). Διατυπώνουμε το ισοζύγιο θερμότητας σε μία τυχαία επιφάνεια της κοιλότητας. Η θερμότητα που προσδίδεται στην επιφάνεια ώστε η θερμοκρασία της να παραμένει T είναι Q. Όταν Q 0 τότε η επιφάνεια θερμαίνεται, ενώ όταν το Q 0 τότε η επιφάνεια ψύχεται. 4 Η ισχύ εκπομπής είναι E T. Το ισοζύγιο θερμότητας περιγράφεται ως εξής: 4 4, Q T T F όπου το άθροισμα είναι ως προς όλες τις επιφάνειες της κοιλότητας.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αμοιβαιότητας και F έχουμε ότι 4 4 4 4 4 4 Q T T F T T F T F T F Q T T F 4 4 Σχήμα..: Ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμεσα σε μέλανες επιφάνειες μίας κοιλότητας Παράδειγμα..: Έστω μία τριγωνική κοιλότητα με πλευρές,, που διατηρούνται στις θερμοκρασίες T, T, T αντίστοιχα. Να υπολογισθούν οι θερμότητες Q, Q, Q που προσδίδονται στις επιφάνειες ώστε να διατηρηθούν στις δεδομένες θερμοκρασίες. Από τα ισοζύγια θερμότητας σε κάθε πλευρά της κοιλότητας έχουμε: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Q F T T F T T Q F T T F T T Q F T T F T T Από τις παραπάνω εξισώσεις εύκολα προκύπτουν οι ποσότητες Q, Q, Q.

Παρατηρούμε ότι το ισοζύγιο 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Q Q Q F T T F T T F T T F T T F T T F T T F T T F T T F T T F T T 0 F T T F T T Σχέσεις όπως η παραπάνω μπορούν να χρησιμοποιούνται για να ελέγχεται η ορθότητα των υπολογισμών. Εάν είναι γνωστές οι ποσότητες Q, Q, Q και πρέπει να υπολογίσουμε τις θερμοκρασίες T, T, T τότε είναι απαραίτητο να επιλύσουμε ένα μη γραμμικό σύστημα.

. Εναλλαγή ακτινοβολίας σε αδιαφανείς, διαχυτικές και γκρίζες επιφάνειες Έστω μία κοιλότητα που αποτελείται από Ν επιφάνειες (βλέπε Σχήμα..). Ο σκοπός είναι να μελετήσουμε τη μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία ανάμεσα στις επιφάνειες με τους εξής δύο τύπους οριακών συνθηκών: α) Προσδιορισμός του ποσού θερμότητας που προσδίδεται σε μία επιφάνεια όταν η θερμοκρασία είναι δεδομένη και β) Προσδιορισμός της θερμοκρασίας της επιφάνειας όταν η θερμότητα που προσδίδεται στην επιφάνεια είναι γνωστή. Σχήμα.... Άμεση μέθοδος: Θερμικά ισοζύγια Διατυπώνουμε το ισοζύγιο θερμότητας σε μία τυχαία επιφάνεια της κοιλότητας. Οι ποσότητες G και J δηλώνουν την ειδική ολική θερμορροή που προσπίπτει και που απομακρύνεται αντίστοιχα από την επιφάνεια. Όπως έχει αναφερθεί είναι γνωστές ως ακτινοβόληση (irradiation) και ακτινοβόλος ισχύ (radiosity). Η ποσότητα θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας που προσδίδεται στην επιφάνεια ώστε να διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία συμβολίζεται με q. Το ισοζύγιο θερμότητας περιγράφεται ως εξής: Q q J G (*) Η ακτινοβόλος ισχύς ισούται με την εκπεμπόμενη και την αντανακλώμενη ισχύ ακτινοβολίας, δηλαδή 4 J E G E G T G, όπου έχουν χρησιμοποιηθεί οι σχέσεις αδιαφανείς και γκρίζες επιφάνειες. που ισχύουν για

Επιλύοντας για την ακτινοβόληση βρίσκουμε G J E J E b Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στο ισοζύγιο ενέργειας (*) προκύπτει Q J J E b ή Q E J b (**) Για να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να γνωρίζουμε την ακτινοβόλο ισχύ J. Μία δεύτερη έκφραση για την ακτινοβόλο ισχύ J προκύπτει υπολογίζοντας την ακτινοβόληση G της επιφάνειας από όλες τις επιφάνειες της κοιλότητας: G JF J F... J F... J F... J F G F J F J F J Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στο ισοζύγιο ενέργειας (*) προκύπτει Q J F J (***) ή Q JF FJ FJ J Η ποσότητα Q είναι η θερμότητα που προσδίδεται στην επιφάνεια με αγωγή ή/και συναγωγή ή εναλλακτικά η απώλεια θερμότητας από την επιφάνεια λόγω ακτινοβολίας προς την κοιλότητα. Οι εξισώσεις (**) και (***) είναι ισοζύγια ενέργειας ανάμεσα στη καθαρή μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία και στη θερμότητα που προσδίδεται με αγωγή ή/και συναγωγή. Αρχικά γράφοντας τις εξισώσεις (**) και (***) για κάθε επιφάνεια προκύπτουν Ν εξισώσεις για τους Ν αγνώστους που αποτελούνται από τις Ν ακτινοβόλες ισχύς J και ανάλογα με τις οριακές συνθήκες τις Ν θερμοροές Q ή θερμοκρασίες T. Θα δείξουμε στη συνέχεια ότι τα J μπορούν να απαλειφθούν και να απομείνουν μόνο Ν εξισώσεις για τα Q ή T.

Παράδειγμα..: Έστω δύο πολύ μεγάλες παράλληλες πλάκες με θερμοκρασίες T και T ( T > T ). Να προσδιοριστεί η καθαρή θερμοροή ακτινοβολίας ανάμεσα στις πλάκες (Σχήμα..). Σχήμα.. Προφανώς F F. Οι εξισώσεις (**) και (***) γράφονται ως εξής: Q 4 Q Πλάκα : T J J J Q 4 Q Πλάκα : T J J J Q Q Από τις (***) προκύπτει ότι, ενώ από τις (**) έχουμε Q 4 Q 4 Q J T και J T T 4 4 4 Q Q T T Αντικαθιστώντας τις δύο παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε: Εναλλακτικά θα μπορούσε να γνωρίζουμε τη θερμοροή Q και θερμοκρασία T και να υπολογίσουμε από το παραπάνω αποτέλεσμα την άγνωστη θερμοκρασία T. Για παράλληλες πλάκες με πεπερασμένες επιφάνειες και εφαρμόζοντας την αντίστοιχη ανάλυση προκύπτει ότι: 4 4 T T Q Q F

Παράδειγμα..: Έστω τριγωνική κοιλότητα απείρου μήκους. Να υπολογισθούν οι θερμοροές επιφάνειες ώστε να παραμένουν στις θερμοκρασίες Q στις T,,, (Σχήμα..). Σχήμα.. Q Q Q 4 Πλευρά : T J 4 Πλευρά : T J 4 Πλευρά : T J Q J F J F J F J Q J FJ FJ FJ Q J F J F J F J Η πρώτη εξίσωση από τα ζευγάρια εξισώσεων επιλύεται για τις ποσότητες J, J και J και οι προκύπτουσες εκφράσεις αντικαθίστανται στην αντίστοιχη δεύτερη εξίσωση. Παίρνουμε το παρακάτω σύστημα τριών εξισώσεων για τα Q, Q και Q : Q Q Q F F F F T F T F T 4 4 4 Q Q Q F F F F T F T F T 4 4 4 Q Q Q F F F F T F T F T 4 4 4 Το γραμμικό σύστημα των τριών εξισώσεων επιλύεται για τους αγνώστους Q, Q και Q. Για οι παραπάνω εξισώσεις ανάγονται σε αυτές του μέλανος σώματος που δεν αποτελούν σύστημα και είναι σε ρητή μορφή. Όταν η επιφάνεια στη πίσω πλευρά της είναι καλά μονωμένη θεωρείται αδιαβατική και στη περίπτωση αυτή η καθαρή θερμοροή θεωρείται μηδενική, δηλαδή Q 0.

Αυτό συνεπάγεται ότι η επιφάνεια επανακτινοβολεί όλη την προσπίπτουσα ακτινοβολία και ονομάζεται επανακτινοβολούσα επιφάνεια (reradiating surface). 4 Στις περιπτώσεις αυτές φαίνεται από την εξίσωση (**) ότι J Eb T και η ακτινοβόλος ισχύ δεν εξαρτάται από την ικανότητα εκπομπής. Ολοκληρώνοντας τη μέθοδο των θερμικών ισοζυγίων σημειώνεται ότι εξισώνοντας τις δεξιές πλευρές των εξισώσεων (**) και (***) απαλείφονται οι θερμοροές και προκύπτει ένα σύστημα Ν εξισώσεων που περιλαμβάνει τις ακτινοβόλους ισχύς J και τις θερμοκρασίες T : 4 Eb J J F J J FJ T Στη περίπτωση αυτή επιλύεται το σύστημα πρώτα για τα υπολογίζονται τα Q J και μετά από την (***) Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να τονίσουμε ότι η μεθοδολογία βασίζεται στην υπόθεση ότι η ακτινοβόλος ισχύς J στις εξισώσεις (**) και (***) που απομακρύνεται από κάθε επιφάνεια κατανέμεται ομοιόμορφα, δηλαδή είναι σταθερή σε όλη την επιφάνεια. Πολλές φορές αυτό δεν ισχύει και τότε οι λύσεις είναι προσεγγιστικές.

.4 Ασπίδες ακτινοβολίας Οι ασπίδες ακτινοβολίας κατασκευάζονται από υλικά χαμηλής ικανότητας εκπομπής και υψηλή ικανότητα αντανάκλασης και χρησιμοποιούνται ώστε να ελαττώσουν την καθαρή θερμορροή ανάμεσα σε δύο επιφάνειες. Έστω δύο παράλληλες πλάκες μεγάλης επιφάνειας σε θερμοκρασίες T και T με ικανότητα εκπομπής και. Όπως ήδη γνωρίζουμε η καθαρή εναλλαγή θερμότητας με ακτινοβολία είναι 4 4 Q T T q q q Εάν τοποθετήσουμε ανάμεσα μία τρίτη πλάκα σε θερμοκρασία T με ικανότητα εκπομπής, προς τη πλάκα και αντίστοιχα τότε έχουμε: 4 4 4 4 T T T T q 4 4 T 4 4 T T T q B B 4 4 4 4 4 4 T T T T 4 T T q q T B B B B 4 4 T T 4 T B αντικαθιστούμε τη ποσότητα αυτή στο q : B 4 4 T T 4 4 4 4 4 T B T T T T q B B B B B q T 4 4 4 4 T T T Παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές των, η θερμοροή μειώνεται δραστικά. Για Ν ασπίδες ακτινοβολίας με όλα τα (και των πλακών) ίσα αποδεικνύεται ότι η ακτινοβολία μειώνεται Ν+ φορές.

Παράδειγμα.4.: Κρυογενικό ρευστό ρέει σε κυλινδρικό αγωγό μεγάλου μήκους και διαμέτρου D, του οποίου η εξωτερική επιφάνεια είναι διαχυτική και γκρίζα με και θερμοκρασία T. Ο αγωγός προστατεύεται από εξωτερικό ομόκεντρο κύλινδρο διαμέτρου D με και θερμοκρασία T Κ. Ο χώρος μεταξύ των δύο κυλίνδρων είναι σε πολύ χαμηλή πίεση (κενό) με αποτέλεσμα η μετάδοση θερμότητας να γίνεται μόνο με ακτινοβολία. Το ποσό θερμότητας ανά μονάδα μήκους που μεταφέρεται στον κρυογενικό σωλήνα είναι: q D 4 4 T T L D D Για να μειωθεί η θέρμανση του κρυογενικού αγωγού τοποθετείται κυλινδρική ασπίδα ακτινοβολίας διαμέτρου D και στη μέση της απόστασης ανάμεσα στον εσωτερικό και εξωτερικό κύλινδρο. Να υπολογισθεί η μειωμένη θερμορροή που προσδίδεται στον κρυογενικό σωλήνα. Η θερμοροή δίδεται από τη σχέση 4 4 q' T T L D DF D D F D D 4 4 T T q' L D D D D D D q' q D D D D D D D D Παρατηρούμε ότι για μικρές τιμές του η θερμορροή μειώνεται δραστικά. Επίσης, θα πρέπει ο λόγος D / D να είναι όσο πιο κοντά στη μονάδα, δηλαδή η ασπίδα προστασίας θα πρέπει να βρίσκεται όσο γίνεται πιο κοντά στον εσωτερικό αγωγό αυξάνοντας τη θερμική προστασία του κρυογενικού αγωγού.

.5 Γενίκευση σε επιφάνειες με μη ομοιόμορφη προσπίπτουσα, ανακλώμενη και εκπεμπόμενη ακτινοβολία Η μέχρι τώρα ανάλυση βασίζεται στην διαίρεση της κοιλότητας σε επιμέρους επιφάνειες πεπερασμένου εμβαδού και στη συνέχεια γίνεται η υπόθεση ότι η θερμοκρασία, η ακτινοβόληση και η ακτινοβόλος ισχύς παραμένουν ομοιόμορφες και σταθερές σε κάθε επιφάνεια της κοιλότητας. Εάν σε κάποια από τις επιμέρους επιφάνειες οι ποσότητες αυτές δεν είναι σταθερές η επιφάνεια θα πρέπει να διαιρεθεί σε μικρότερα τμήματα έτσι ώστε σε κάθε τμήμα οι ποσότητες αυτές να είναι σταθερές. Ακολουθώντας αυτή τη προσέγγιση οι επιφάνειες της κοιλότητας ή κάποιες από αυτές θα διαιρούνται σε απειροστά μικρά τμήματα και πλέον θα είναι δυνατόν να ληφθούν υπόψη μεγάλες αλλαγές στα μεγέθη T, Q, G και J. Η προσέγγιση αυτή μας οδηγεί στη διατύπωση των ισοζυγίων θερμότητας μέσω ολοκληρωτικών εξισώσεων που επιλύονται αναλυτικά και αριθμητικά. Θεωρούμε πάλι μία κοιλότητα που αποτελείται από Ν επιφάνειες πεπερασμένου εμβαδού και η κάθε μία διαιρείται σε διαφορικές επιφάνειες, δηλαδή σε επιφάνειες με απειροστά μικρό εμβαδόν (βλέπε Σχήμα.4.). Η υπόθεση ότι οι επιφάνειες είναι διαχυτικές και γκρίζες παραμένει. Ο επιπλέον περιορισμός είναι ότι οι ιδιότητες ακτινοβολίας είναι ανεξάρτητες της θερμοκρασίας. Σχήμα.4. Το ισοζύγιο θερμότητας στην επιφάνεια d περιγράφεται ως εξής: q J G r r r (*) Η ακτινοβόλος ισχύς ισούται με την εκπεμπόμενη και την αντανακλώμενη ισχύ ακτινοβολίας, δηλαδή 4 J E G E G T G Επιλύοντας για την ακτινοβόληση βρίσκουμε J E J Eb G r Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στο ισοζύγιο ενέργειας (*) προκύπτει

q J E b 4 r J ή q E b J T J r (**) Για να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να γνωρίζουμε την J r. ακτινοβόλο ισχύ Μία δεύτερη έκφραση για την ακτινοβόλο ισχύ J την ακτινοβόληση G r προκύπτει υπολογίζοντας r της επιφάνειας από όλες τις επιφάνειες της κοιλότητας: r r r r r r r d G J df, d J df, d... dd dd * J * * r dfd d r, r d... J r df r, r d... J dfd d, d d d r r r Εισάγοντας το κανόνα της αμοιβαιότητας J r dfdd r, r d J r dfdd r, r d d J r dfdd r, r στη παραπάνω σχέση βρίσκουμε r r r, r d G d J df d d Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στο ισοζύγιο ενέργειας (*) προκύπτει, q r J r J r df r r (***) d d coscos Υπενθυμίζουμε ότι με βάση τον ορισμό dfdd d ο συντελεστής S όψεως dfd d περιλαμβάνει την διαφορική επιφάνεια d. Συνηθίζεται η εξίσωση (***) να γράφεται στη πιο βολική μορφή r r r r, r q J J K d όπου K r, r dfd d r, r / d είναι ο πυρήνας (ernel) της ολοκληρωτικής εξίσωσης.

Γενικά έχουμε και πάλι δύο περιπτώσεις:. Όταν οι θερμοκρασίες και οι θερμοροές είναι σημαντικές τότε οι (**) και (***) συνδυάζονται και απαλείφονται οι ακτινοβόλος ισχύς, ώστε να προκύψει ένα σύστημα που να συνδέει τις θερμοκρασίες με τις θερμοροές.. Όταν οι ακτινοβόλος ισχύς είναι σημαντικές τότε οι (**) και (***) συνδυάζονται και απαλείφονται οι θερμοροές, ώστε να προκύψει ένα σύστημα που συνδέει τις θερμοκρασίες με τις ακτινοβόλους ισχύς. Στη δεύτερη περίπτωση το σύστημα έχει τη μορφή 4 r r r, r J J df T d d Παράδειγμα.5.: Έστω τριγωνική κοιλότητα που στην αξονική διεύθυνση εκτείνεται στο άπειρο. Η πλευρά θερμαίνεται ομοιόμορφα, η πλευρά είναι σε ομοιόμορφη θερμοκρασία και η πλευρά έχει χαρακτηριστικά μελανής επιφάνειας σε θερμοκρασία μηδέν. Να βρεθεί η ολοκληρωτική εξίσωση που περιγράφει τη κατανομή θερμοκρασίας της πλευράς. q ή q q r T 0 0 J r T r q Πλευρά : 4 4 Πλευρά : J r T q r Πλευρά : Πλευρά : J T q J 0 4 r r r, r r r, r q J J df J df dd dd q T q T q df 4 4 dd r, r

q q T T df q df r, r r, r 4 4 dd dd q T T df q df r 4 4 r, r r r, r dd dd Πλευρά : r r r, r r r, r q J J df J df dd dd 4 4 q T qr T q dfd d, r r r 4 4 q r T T df, d d q dfd d, r r r r r Πλευρά : Δεν χρειάζεται η αντίστοιχη εξίσωση αφού οι δύο παραπάνω δεν περιέχουν την θερμοροή q αφού και T 0. Οι παραπάνω εξισώσεις απλοποιούνται εάν εισάγουμε τις σχέσεις dfd dr, r Fd και df r, r Τα ισοζύγια θερμότητας ξαναγράφονται στη μορφή q T T F q df 4 4 r r r, r d dd q T T df q F 4 r r r, r 4 dd d F d d d Το σύστημα των δύο ολοκληρωτικών εξισώσεων επιλύεται για τους αγνώστους T r. q r και