2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

Γραυικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 3 2Δ & 3Δ Συστήματα Συντεταγμένων & Μετασχηματισμοί

Δηζαγσγή ηα γξαθηθά κε ππνινγηζηή ζπρλά πξέπεη λα κεηαβιεζεί: Ζ κνξθή ησλ αληηθεηκέλσλ Σν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Παξαδείγκαηα: ε κηα ζθελή, έλα ςεθηνπνηεκέλν απηνθίλεην κπνξεί λα ρξεζηκνπνηείηαη ζε δηαθνξεηηθά ζηηγκηόηππα: ζε δηάθνξα ζεκεία, θαηεπζύλζεηο θαη κεγέζε ηελ ζπλζεηηθή θίλεζε, έλα αληηθείκελν κεηαβάιιεηαη κεηαμύ ησλ θαξέ Καζώο αληηθείκελα δηαζρίδνπλ ηελ ζσιήλσζε γξαθηθώλ, αιιάδνπλ ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ηνπο: ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Αληηθεηκέλνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Κόζκνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Κόζκνπ ύζηεκα πληεηαγκέλσλ Παξαηεξεηή Μεηαζρεκαηηζκνί πληεηαγκέλσλ: - Δξγαιεία γηα κεηαβνιή αληηθεηκέλσλ - Σν ζεκαληηθόηεξν θνκκάηη ησλ γξαθηθώλ 2

Δηζαγσγή (2) 3Γ ζεκεία ζηνλ Δπθιείδεην ρώξν E 3 : 3 1 δηαλύζκαηα ζηήιεο p p p p x y z Γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί: - 3 3 πίλαθεο - πνιιαπιαζηάδνληαη από απιζηεπά κε ζεκείν, παξάγνληαο λέν ζεκείν p m m m p 1 2 3 p m m m p p x y z 4 5 6 m m m p 7 8 9 x y z 3

Δηζαγσγή (3) Αλ αλαπαξηζηνύζακε ηα ζεκεία ζαλ δηαλύζκαηα γξακκήο 1 3 p [ px py pz ] νη γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί ζα έπξεπε λα πνιιαπιαζηάδνληαη κε ην ζεκείν από δεξιά 1 4 7 p p p p p p m m m x y z x y z m m m 2 5 8 m m m 3 6 9 Υξεζηκνπνηνύκε δεμηόζηξνθα ζπζηήκαηα ζπληεηαγκέλσλ: 4

πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί - πλδπαζκνί Μαζεκαηηθά: Μεηαζχημαηιζμοί: απεηθνλίζεηο κε πεδίν νξηζκνύ θαη ηηκώλ ην ίδην ζύλνιν (π.ρ. E 3 E 3 ) Γξαθηθά Τπνινγηζηή & Οπηηθνπνίεζε: Συζχεηιζμένοι Μεηαζχημαηιζμοί: κεηαζρεκαηηζκνί πνπ δηαηεξνύλ αλαιινίσηεο ζεκαληηθέο γεσκεηξηθέο ηδηόηεηεο ησλ κεηαβαιιόκελσλ αληηθεηκέλσλ Οη πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί δηαηεξνύλ ηνπο πζρεηηζκέλνπο πλδπαζκνύο Παξαδείγκαηα ζπζρεηηζκέλσλ ζπλδπαζκώλ : Δπζύγξακκα ηκήκαηα, θπξηά πνιύγσλα, ηξίγσλα, ηεηξάεδξα δνκηθά ζπζηαηηθά ησλ κνληέισλ 5

πζρεηηζκέλνη πλδπαζκνί 3 πζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο ησλ ζεκείσλ p,p 1,...,pn E είλαη έλα 3 ζεκείν p E : n p a p όπνπ θαη a, a,..., an i 1 n a i 1 : ζπζρεηηζκέλεο ζπληεηαγκέλεο ηνπ p σο πξνο ηα Κπξηόο ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο: Αλ όια ηα a i, i =,1,,n i Ο ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο p βξίζθεηαη εληόο ηνπ θπξηνύ πεξηβιήκαηνο ησλ αξρηθώλ ζεκείσλ p,...,pn π.ρ. 1: Δπζ. Σκήκα κεηαμύ ησλ ζεκείσλ p 1 θαη p 2 είλαη ην ζύλνιν ζεκείσλ p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 κε a 1 1 θαη a 2 = 1 a 1 π.ρ. 2: Σξίγσλν κε θνξπθέο p 1, p 2, p 3 είλαη ην ζύλνιν ζεκείσλ p: p = a 1 p 1 + a 2 p 2 + a 3 p 3 κε a 1, a 2, a 3 1 θαη a 1 + a 2 + a 3 = 1 i i p,p 1,...,pn 6

πζρεηηζκέλνο Μεηαζρεκαηηζκόο: Μεηαζρεκαηηζκόο πνπ δηαηεξεί ηνπο ζπζρεηηζκέλνπο ζπλδπαζκνύο Γηαηεξεί ηε ζρέζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ 3 3 Έλαο κεηαζρεκαηηζκόο : E E είλαη ζπζρεηηζκέλνο αλ n n ( p) a ( p ) όπνπ p a p : ζπζρεηηζκέλνο ζπλδπαζκόο Ζ εθαξκνγή ελόο ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζην απνηέιεζκα p ζπζρεηηζκέλνπ ζπλδπαζκνύ πξέπεη λα είλαη ηζνδύλακε κε ηνλ ζπζρεηηζκέλν ζπλδπαζκό ηνπ ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ησλ ζεκείσλ νξηζκνύ κε ηα ίδηα βάξε a i π.ρ. πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί i i i i i i 7

πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί (2) Πξαθηηθή ζπλέπεηα: Σα εζσηεξηθά ζεκεία δεν ρξεηάδεηαη λα κεηαζρεκαηηζηνύλ Αξθεί ν κεηαζρεκαηηζκόο ησλ ζεκείσλ νξηζκνύ Π.ρ. εθαξκνγή ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζε ηξίγσλν: Μόλν ζηηο 3 θνξπθέο θαη όρη ζηα (άπεηξα) εζσηεξηθα ζεκεία Γεληθόο Σπζρεηηζκέλνο Μεηαζρεκαηηζκόο Απεηθόληζε κνξθήο ( p) A p t είλαη ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο ζην E 3. i i i i (1) όπνπ A έλαο 3 3 πίλαθαο έλαο 3 1 πίλαθαο Απόδεημε: Θα δείμνπκε όηη ε (1) δηαηεξεί ηνπο ζπζρεηηζκέλνπο ζπλδπαζκνύο n n n n ( a p ) A( a p ) t a Ap a t i i i i i i i i i i i n a ( A p t) a ( p ). n i t i 8

2Γ πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί Απνηειέζκαηα ζηηο 2Γ γεληθεύνληαη ζηηο 3Γ 4 βαζηθνί ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί: Μεταυορά Αλλαγή Κλίμακας Περιστρουή Στρέβλωση 9

Μεηαθνξά ζηηο 2Γ Οξίδεη θίλεζε ζπγθεθξηκέλεο απόζηαζεο θαη θαηεύζπλζεο, πνπ νξίδνληαη από ην δηάλπζκα κεηαθνξάο Ζ κεηαηόπηζε ζηηο 2Γ ελόο ζεκείνπ T p=[x,y] θαηά δηάλπζκα d [ d, ] T x dy T δίλεη έλα λεό ζεκείν p '=[x',y'] p p d Ζ κεηαθνξά είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ ( p) A p t όπνπ A I θαη t d (I είλαη ν ηαπηνηηθόο πίλαθαο 2 2) 1

Αιιαγή Κιίκαθαο ζηηο 2Γ Αιιάδεη ην κέγεζνο ησλ αληηθεηκέλσλ πληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο: νξίδεη κεηαβνιή δηάζηαζε 2Γ: s x & s y είλαη νη ζπληειεζηέο αιιαγήο θιίκαθαο πνπ πνιιαπιαζηάδνπλ ηηο αληίζηνηρεο ζπληεηαγκέλεο ηνπ p=[x, y] T Αιιαγή θιίκαθαο ζηηο 2Γ ζεκείνπ p=[x, y] T δίλεη ην p =[x, y ] T : p S( s, s ) p opou S( s, s ) x y x y Ζ αιιαγή θιίκαθαο είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ όπνπ A S( s, s ) θαη t x y s x s ( p) A p t y 11

Αιιαγή Κιίκαθαο ζηηο 2Γ (2) Αιιαγή θιίκαθαο ζε ζεκείν δελ είλαη παξαηεξήζηκε Αλ ν ζπληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο <1 ζπξξίθλσζε αληηθεηκέλνπ ν ζπληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο >1 κεγέζπλζε αληηθεηκέλνπ Παξελέξγεηα κεηαθνξάο (αλάινγε ζπληειεζηή αιιαγήο θιίκαθαο): Μεηαθίλεζε αληηθεηκέλνπ πξνο ηελ αξρή ηνπ άμνλα x (s x < 1) Μεηαθίλεζε αληηθεηκέλνπ καθξηά από ηελ αξρή ηνπ άμνλα y (s y > 1) Οκνηόκνξθε αιιαγή θιίκαθαο: Αλ όινη νη ζπληειεζηέο αιιαγήο θιίκαθαο είλαη ίζνη (ζηηο 2Γ s x = s y ) Γηαηεξεί ηηο αλαινγίεο ησλ αληηθεηκέλσλ Καηνπηξηζκόο: Δηδηθή πεξίπησζε: πληειεζηήο αιιαγήο θιίκαθαο -1 Γηα ηνλ άμνλα x: S(1,-1) θαη γηα ηνλ άμνλα y: S(-1,1) 12

Πεξηζηξνθή ζηηο 2Γ Πεξηζηξέθεη ηα αληηθείκελα γύξσ από ην θέληξν ζπληεηαγκέλσλ Αιιάδεη ν πξνζαλαηνιηζκόο αιιά όρη ε απόζηαζε ηνπ αληηθεηκέλνπ ζε ζρέζε κε ην θέληξν Ζ αξηζηεξόζηξνθε πεξηζηξνθή είλαη ζεηηθή (αληίζεηε δεηθηώλ ξνι.) p [ x, y ] T [ xy, ] T Σν κπνξεί λα ππνινγηζηεί από ην : x l cos( f q) l(cosf cosq sinf sin q) x cosq y sin q y l sin( f q) l(cosf sin q sinf cos q) x s in q y cosq p Έηζη: p R( q) p 13

Πεξηζηξνθή ζηηο 2Γ (2) Όπνπ: R( q) cosq sin q sin q cosq Ζ πεξηζηξνθή είλαη ζηηγκηόηππν ηνπ όπνπ A R( q) θαη t ( p) A p t 14

ηξέβισζε ζηηο 2Γ Απμάλεη κηα ζπληεηαγκέλε ηνπ αληηθεηκέλνπ θαηά πνζόηεηα ίζε κε κηα άιιε ζπληεηαγκέλε επί ηνλ παξάγνληα ζηξέβισζεο Παξάδεηγκα: ηξαπνπιόραξηα πνπ ηνπνζεηνύληαη επίπεδα πάλσ ζε έλα ηξαπέδη θαη έπεηηα ηνπο πξνζδίδνπκε θιίζε ρξεζηκνπνηώληαο έλα ζθιεξό βηβιίν 15

ηξέβισζε ζηηο 2Γ (2) [ x, y ] T Μπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ην από ην : ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x x ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα y x x x, ay, y y bx y y όπνπ α θαη b είλαη νη αληίζηνηρνη παξάγνληεο ζηξέβισζεο ε κνξθή πηλάθσλ: p p [ xy, ] T ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα y p SH ( a) p, όπνπ p SH ( b) p x y SH x ( a), όπνπ SH y ( b) 1 a 1 1 b 1 Ζ ζηξέβισζε είλαη έλα ζηηγκηόηππν ηνπ ζπζρεηηζκέλνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ( p) A p t, όπνπ A SH x ( a) ή A SH y ( b) θαη t 16

ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί Πξαθηηθά, νη κεηαζρεκαηηζκνί ζηα γξαθηθά θαη ζηελ νπηηθνπνίεζε ζπάληα απνηεινύληαη από έλαλ απιό ζπζρεηηζκέλν κεηαζρεκαηηζκό Οη κεηαζρεκαηηζκνί εθαξκόδνληαη ζε όια ηα αληηθείκελα ηεο ζθελήο Σα αληηθείκελα νξίδνληαη από ρηιηάδεο ή εθαηνκκύξηα θνξπθέο ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Πεξηζηξνθή 2Γ αληηθεηκέλνπ θαηά 45 o θαη έπεηηα ηζόηξνπε αιιαγή θιίκαθαο θαηά παξάγνληα 2 Δθαξκνγή πίλαθα πεξηζηξνθήο: R(45 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Έπεηηα εθαξκνγή ηνπ πίλαθα αιιαγήο θιίκαθαο: S(2,2) 2 2 17

ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί (2) Δθαξκνγή ησλ πηλάθσλ αθνινπζηαθά ζε θάζε θνξπθή p: S(2, 2) (R(45 o ) p) ΜΖ ΑΠΟΓΟΣΗΚΟ Δλαιιαθηηθά: Υξήζε ηεο πξνζεηαηξηζηηθήο ηδηόηεηαο ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ πηλάθσλ & εθαξκνγή ηνπ (πξνππνινγηζκέλνπ) απνηειέζκαηνο ζηηο θνξπθέο: (S(2, 2) R(45 o ) )p ΠΗΟ ΑΠΟΓΟΣΗΚΟ Ο ζύλζεηνο κεηαζρεκαηηζκόο ππνινγίδεηαη μόνο μια θοπά θαη εθαξκόδεηαη ζηηο θνξπθέο Ο πνιιαπιαζηαζκόο πηλάθσλ δελ είλαη αληηκεηαζεηηθόο ε ζεηξά πνιιαπιαζηαζκνύ ησλ πηλάθσλ έρεη ζεκαζία Έρνληαο επηιέμεη αλαπαξάζηαζε ησλ ζεκείσλ ζαλ ζηήιεο νη πίλαθεο κεηαζρεκαηηζκνύ πνιιαπιαζηάδνπλ από αξηζηεξά ηα ζεκεία ν ζύλζεηνο πίλαθαο ππνινγίδεηαη κε αληίζεηε ζεηξά από ηελ ζεηξά εθαξκνγήο 18

ύλζεηνη Μεηαζρεκαηηζκνί (3) Γειαδή γηα ηελ εθαξκνγή ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ T1,T2,...,Tm, ππνινγίδνπκε ηνλ ζύλζεην πίλαθα Tm... T2 T1 Πξόβιεκα κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό κεηαθνξάο: Ζ κεηαθνξά δελ κπνξεί λα πεξηγξαθεί από έλα πίλαθα γξακκηθνύ κεηαζρεκαηηζκνύ όπσο: x ax by y cx dy Ζ κεηαθνξά δελ κπνξεί λα είλαη κέξνο ζύλζεηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Λύζε ζην πξόβιεκα απηό νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο 19

Οκνγελείο πληεηαγκέλεο Οη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο ρξεζηκνπνηνύλ κηα επηπιένλ δηάζηαζε από ην ρώξν πνπ αλαπαξίζηαηαη x Υώξνο 2Γ : y, όπνπ w ε λέα ζπληεηαγκέλε πνπ αλαπαξηζηά ηελ w επηπιένλ δηάζηαζε. Ηζρύεη w Θέηνληαο w=1 δηαηεξνύκε ηελ αξρηθή καο ρσξηθή δηάζηαζε επηιέγνληαο ην «επίπεδν» w=1 ηηο 2Γ ρξεζηκνπνηείηαη ην επίπεδν w=1 αληί ηνπ επηπέδνπ xy 2

Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (2) εκεία ησλ νπνίσλ νη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο είλαη πνιιαπιάζηεο, είλαη ηζνδύλακα: π.ρ., ηα [1,2,3] T θαη [2,4,6] T παξηζηνύλ ην ίδην ζεκείν Σν αθξηβέο ζεκείν πνπ παξηζηάλνπλ δίλεηαη από ηελ κνλαδηθή βαζηθή αλαπαξάζηαζε, γηα ηελ νπνία ηζρύεη w = 1 θαη δίλεηαη από ηελ δηαίξεζε όισλ ησλ ζπληεηαγκέλσλ κε ην w: [x/w, y/w, w/w] T = [x/w, y/w, 1] T Γεληθά, ε βαζηθή αλαπαξάζηαζε ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ παξάζηαζε ζεκείσλ θαη εμαζθαιίδνπκε όηη νη κεηαζρεκαηηζκνί ηελ δηαηεξνύλ 21

Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (3) Πσο ιεηηνπξγεί ε κεηαθνξά κε νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο; Δθκεηαιιεπόκαζηε ην γεγνλόο όηη ηζρύεη w=1 γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηεο κεηαθνξάο ζεκείνπ p = [x, y, w] T θαηά δηάλπζκα d [ dx, dy] ζαλ γξακκηθό κεηαζρεκαηηζκό: x 1x y d w x d y x 1y d w y d w x y 1w 1 x y x y Ο κεηαζρεκαηηζκόο ηεο w ζπληεηαγκέλεο εμαζθαιίδεη όηη ην πξνθύπηνλ p [ x, y, w ] T ζεκείν έρεη w 1 22

Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (4) Οη παξαπάλσ γξακκηθέο εθθξάζεηο ζπλνςίδνληαη ζε κνξθή πίλαθα ε κεηαθνξά ιεηηνπξγεί αθξηβώο όπσο θαη νη άιινη ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί ηνπο κε νκνγελείο κεηαζρεκαηηζκνύο, ε αξρή ησλ αμόλσλ [, ] T είλαη ζηαζεξό ζεκείν: a c b d Άιιν πιενλέθηεκα νκνγελώλ ζπληεηαγκέλσλ: δελ ππάξρεη ζηαζεξό ζεκείν ζηνπο νκνγελείο ζπζρεηηζκέλνπο κεηαζρεκαηηζκνύο 23

Οκνγελείο πληεηαγκέλεο (5) Αξρή ησλ αμόλσλ ζηηο 2Γ είλαη [,, 1] T & δελ είλαη ζηαζεξό ζεκείν Σν ζεκείν [,, ] T είλαη εθηόο ηνπ επηπέδνπ w = 1 κε επηηξεπόκελν θαζόηη w = Από εδώ θαη ζην εμήο ηα ζεκεία ζα αλαπαξίζηαληαη κε ηηο νκνγελείο ηνπο ζπληεηαγκέλεο: 2Γ [x, y, 1] T 3Γ [x, y, z, 1] T 24

Οκνγελείο πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ Οκνγελήο πίλαθαο κεηαθνξάο ζηηο 2Γ: 1 Td ( ) 1 1 Υξήζε κεηαθνξάο όπσο θαη ησλ άιισλ βαζηθώλ ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: p T( d) p Ζ ηειεπηαία γξακκή ηνπ νκνγελνύο πίλαθα κεηαζρεκαηηζκώλ είλαη πάληα [,, 1] δηαηεξεί ηηκή ζπληεηαγκέλεο w (1) Οκνγελήο πίλαθαο αιιαγήο θιίκαθαο ζηηο 2Γ : d d x y S( s, s ) s s x y y x 1 25

Οκνγελείο πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (2) Οκνγελήο πίλαθαο πεξηζηξνθήο ζηηο 2Γ: cosq sin q R( q) sin q cosq 1 Οκνγελείο πίλαθεο ζηξέβισζεο ζηηο 2Γ: ηξέβισζε ζηνλ άμνλα x ηξέβισζε ζηνλ άμνλα y 1 a SH x ( a) 1 1 1 SH y ( b) b 1 1 26

Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ πρλά είλαη απαξαίηεηε ε αληηζηξνθή ελόο κεηαζρεκαηηζκνύ Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο κεηαθνξάο ζηηο 2Γ: 1-1 T ( d) T( -d) 1 1 Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο αιιαγήο θιίκαθαο ζηηο 2Γ: -1 S 1 s d d x y 1 1 1 ( sx, sy) S(, ) s s s x y y x 1 27

Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (2) Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο πεξηζηξνθήο ζηηο 2Γ: -1 R Αληίζηξνθνο νκνγελήο πίλαθαο ζηξέβισζεο ζηηο 2Γ: ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x cosq sin q ( q) R( q) sin q cosq SH -1 x 1 1 a ( a) SH ( a) 1 x 1 ζηξέβισζε ζηνλ άμνλα x SH -1 y 1 ( b) SH ( b) b 1 y 1 28

Αληίζηξνθνη Οκνγελείο Μεηαζρεκαηηζκνί ζηηο 2Γ (3) Ζ εθαξκνγή ελόο κεηαζρεκαηηζκνύ πάλσ ζε έλα αληηθείκελν είλαη ηζνδύλακε κε ηελ εθαξκνγή ηνπ αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ πάλσ ζην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ (κεηαζρεκαηηζκόο αμόλωλ) ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Ζ ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο ζε έλα αληηθείκελν θαηά ζπληειεζηή 2 είλαη ηζνδύλακε κε ηελ ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο ζηνπο άμνλεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ θαηά ζπληειεζηή ½ (ζπξξίθλωζε) 29

Ηδηόηεηεο Οκνγελώλ Πηλάθσλ Ηδηόηεηεο πηλάθσλ νκνγελώλ ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: T( d1) T( d2) T( d2) T( d1) T( d1 d2) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s, s ) S( s s, s s ) x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 x1 x2 y1 y2 R( q1) R( q2) R( q2) R( q1) R( q1 q2) S( sx, sy ) R( q) R( q) S( sx, sy ) κόλν γηα ηζνηξνπηθή αιιαγή θιίκαθαο (s x =s y ) 3

2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 1 Παξάδεηγκα 1: Πεξηζηξνθή γύξσ από ζεκείν Πξνζδηνξηζκόο ηνπ πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ R(ζ, p) πνπ απαηηείηαη γηα ηελ πεξηζηξνθή γύξσ από ζεκείν p θαηά γσλία ζ Λύζε: Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Πεξηζηξνθή θαηά ζ, R(ζ) Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) 1 p cosq sin q 1 p cosq sin q p p cosq p sin q x x x x y R( q, p) 1 p sin q cosq 1 p sin q cosq p p sin q p cosq y y y x y 1 1 1 1 31

Παξάδεηγκα 2: Πεξηζηξνθή ηξηγώλνπ γύξσ από ζεκείν Πεξηζηξνθή ηξηγώλνπ θαηά 45 o γύξσ από ζεκείν p=[-1,-1] T, όπνπ a=[,]t, b=[1,1] T θαη c=[5,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 2 abc Σν ηξίγσλν αλαπαξίζηαηαη κε ηνλ πίλαθα: Δθαξκνγή R(ζ, p) [Παξ. 1] ζην ηξίγσλν: 1 5 1 2 1 1 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 2 1 5 2 T 2 2 9 R(45,[ 1, 1] ) T 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Σν πξνθύπηνλ ηξίγσλν είλαη ην όπνπ a =[-1, ] T, b =[-1, ] T 3 9 2 2 1 θαη c =[ 2 1, 2 1] T 2 2 T abc 2 1 32

2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 3 Παξάδεηγκα 3: Αιιαγή θιίκαθαο σο πξνο ηπραίν ζεκείν Καηαζθεπή πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ S(s x,s y,p) γηα αιιαγή θιίκαθαο θαηά s x θαη s y σο πξνο ηπραίν (ζηαζεξό) ζεκείν p Λύζε: Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Αιιαγή θιίκαθαο θαηά s x θαη s y, S(s x,s y ) Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) 1 p s 1 p s p p s x x x x x x x S( s, s, p) 1 p s 1 p s p p s x y y y y y y y y 1 1 1 1 33

Παξάδεηγκα 4: Αιιαγή θιίκαθαο ηξηγώλνπ σο πξνο ζεκείν Γηπιαζηαζκόο ηνπ κήθνπο ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ θξαηώληαο ζηαζεξή ηελ θνξπθή c. Οη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ είλαη a=[,] T, b=[1,1] T, c=[5,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 4 abc Σν ηξίγσλν αλαπαξίζηαηαη από ηνλ πίλαθα T [Παξ. 2] Δθαξκνγή πίλαθα S(s x,s y,p) [Παξ. 3] ζην ηξίγσλν, ζέηνληαο ηνπο παξάγνληεο αιιαγήο θιίκαθαο =2 θαη p=c 2 5 1 5 5 3 5 T S(2,2,[5,2,1] ) T 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Σν λέν ηξίγσλν είλαη ην abcκε a =[-5,-2] T, b =[-3,] T c =[5,2] T 34

Παξάδεηγκα 5: Μεηαζρεκαηηζκόο άμνλα Έζησ όηη ην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ κεηαθέξεηαη θαηά δηάλπζκα v Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 5 [ v, v ] T x y. Καηαζθεπάζηε ηνλ πίλαθα πνπ πεξηγξάθεη ην παξαπάλσ Ο δεηνύκελνο πίλαθαο κεηαζρεκαηηζκνύ πξέπεη λα παξάγεη ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ αληηθεηκέλσλ σο πξνο ην λέν ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Απηό επηηπγράλεηαη κε εθαξκνγή ηηο αληίζηξνθεο κεηαθνξάο ζηα αληηθείκελα: 1 v T( v) 1 v 1 x y Όκνηα, γηα νπνηνδήπνηε κεηαζρεκαηηζκό άμνλα: Εεηνύκελν Δθαξκνγή αληίζηξνθνπ κεηαζρεκαηηζκνύ ζηα αληηθείκελα 35

Παξάδεηγκα 6: Καηνπηξηζκόο ζε ηπραίν άμνλα Καηαζθεπή πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ γηα θαηνπηξηζκό ζε ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη από ζεκείν p=[p x,p y ] T θαη θαηεύζπλζε Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 6 Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά p, T( p) Βήκα 2: Πεξηζηξνθή θαηά ζ (θνξά ξνινγηνύ), R(-ζ), ζ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ν άμνλαο x θαη ην δηάλπζκα vy vx sin q cosq 2 2 2 2 v v θαη: (Σα 2 παξαπάλσ βήκαηα ηαπηίδνπλ ηνλ ηπραίν άμνλα κε ηνλ x) Βήκα 3: Καηνπηξηζκόο ζηνλ άμνλα x, S(1, -1) Βήκα 4: Πεξηζηξνθή θαηά ζ, R(ζ) v x v y x y v v [ v, v ] T x y 36

2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 6 (2) Βήκα 5: Μεηαθνξά θαηά πλεπώο έρνπκε: p, T( p) M SYM 1 p cos q sin q 1 cos q sin q 1 x 1 p sin q cos q 1 sin q cos q 1 y 1 1 1 1 1 p p x y 2 2 2 2 cos sin 2sin cos px px(cos sin ) 2 py sin cos 2 2 2 2 2sin cos sin cos py py(sin cos ) 2 px sin cos q q q q q q q q q q q q q q q q 1 37

Παξάδεηγκα 7: Καηνπηξηζκόο Πνιπγώλνπ Γνζέληνο ελόο πνιπγώλνπ, θαηαζθεπάζηε ηνλ θαηνπηξηζκό ηνπ σο πξνο α) ηελ γξακκή y=2 θαη (β) ηνλ άμνλα πνπ νξίδεηαη από ην ζεκείν p=[,2] T θαη ην δηάλπζκα v [1,1] T. Σν πνιύγσλν δίλεηαη από ηηο θνξπθέο ηνπ a=[-1,] T, b=[,-2] T, c=[1,] T θαη d=[,2] T Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 7 Σν πνιύγσλν αλαπαξίζηαηαη από ηνλ πίλαθα: ηελ πεξίπησζε (α) p=[,2] T θαη v [1,] T έηζη ζ= ν, sinζ=, cosζ=1 θαη έρνπκε: MSYM Π 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Π 1 4 2 2 4 6 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 38

2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 7 (2) ηελ πεξίπησζε (β) p=[,2] T θαη, έηζη sinζ = cosζ = v [1,1] T 1 2 θαη έρνπκε: MSYM 1 2 1 1 2 4 2 Π 1 2 2 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 όπνπ M SYM είλαη ν πίλαθαο ηνπ [Παξ. 6] 39

Παξάδεηγκα 8: Μεηαζρεκαηηζκόο Παξάζηαζεο Σα πεξηερόκελα ελόο 2Γ παξαζύξνπ πξέπεη λα κεηαθεξζνύλ ζε έλα 2Γ πεδίν παξάζηαζεο. Σν παξάζπξν θαη ην πεδίν παξάζηαζεο είλαη νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα κε πιεπξέο παξάιιειεο ζηνπο άμνλεο x, y. Πξνζδηνξίζηε ηνλ πίλαθα κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο. Δπίζεο πξνζδηνξίζηε ηελ παξακόξθσζε ησλ αληηθεηκέλσλ κε βάζε ηνλ Μεηαζρεκαηηζκό απηό. Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 Έζησ όηη ην παξάζπξν θαη ην πεδίν παξάζηαζεο νξίδνληαη από δπν T T T T θνξπθέο [ w, w ],[ w, w ] θαη [ v, v ],[ v, v ] xmin ymin xmax ymax xmin ymin xmax ymax Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ [ w, ] T ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, xmin wymin ρξεζηκνπνηώληαο T( w min) κε w [, ] T min wxmin wymin 4

Βήκα 2: Αιιαγή θιίκαθαο ηνπ παξαζύξνπ ζην κέγεζνο ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο, κε S(s x, s y ) όπνπ vxmax v v xmin ymax vymin sx sy w w w w Βήκα 3: Μεηαθνξά ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο θαηά ηελ θνξπθή κε 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (2) xmax Tv, όπνπ [ v, v ] T ( ) min πλεπώο έρνπκε: v min xmin xmin ymin M T( v ) S( s, s ) T( w ) WV min x y min ymax ymin vxmax vxmin wxmax wxmin 1 vxmin 1 w vymax vymin 1 vymin 1 w wymax wymin 1 1 1 [ v, v ] T xmin ymin xmin ymin 41

Σειηθά: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (3) M WV v v v v vxmin wxmin w w w w xmax xmin xmax xmin xmax xmin xmax xmin v v v v v w w w w w ymax ymin ymax ymin ymin ymin ymax ymin ymax ymin 1 42

2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 8 (4) M WV εθθξάδεη κε ηζόηξνπε αιιαγή θιίκαθαο (s x s y ) παξακόξθσζε αληηθεηκέλσλ. Ο θύθινο κεηαηξέπεηαη ζε έιιεηςε θαη ην ηεηξάγσλν ζε νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν. Οη ιόγνη εηθόλαο ηνπ παξαζύξνπ θαη ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο νξίδνληαη ζαλ νη ιόγνη ησλ δηαζηάζεώλ ηνπο x, y: a w w w v v, av w w v v xmax xmin xmax xmin ymax ymin ymax ymin Αλ a w a v ηόηε ηα αληηθείκελα παξακνξθώλνληαη. Λύζε ρξήζε ηνπ κεγαιύηεξνπ δπλαηνύ πεδίνπ παξάζηαζεο κε ηνλ ίδην ιόγν εηθόλαο κε απηόλ ηνπ παξαζύξνπ: Πρ: αιιαγή ηνπ ζπλόξνπ v xmax ή v ymax ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο σο εμήο: Αλ (a v >a w ) ηόηε v xmax = v xmin + a w *(v ymax v ymin ) Αιιηώο αλ (a v <a w ) ηόηε ( vxmax vxmin ) vymax vymin a w 43

Παξάδεηγκα 9: Πεξίπησζε Μεηαζρεκαηηζκνύ Παξάζηαζεο Πξνζδηνξηζκόο ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο από ην παξάζπξν: [ w, ] T [1,1] T,[, ] T [3,5] T xmin wymin wxmax wymax ζην πεδίν παξάζηαζεο: [ v, v ] T [,] T,[ v, v ] T [1,1] T Αλ ππάξρεη παξακόξθσζε, πσο κπνξεί λα δηνξζσζεί; Λύζε: 2Γ Μεηαζρεκαηηζκνί: Παξάδεηγκα 9 xmin ymin xmax ymax Άκεζε εθαξκνγή ηνπ M WV [Παξ. 8] Γηα ηα παξαπάλσ δεδνκέλα έρνπκε: 1 1 Ηζρύεη a w θαη a 2 v ππάξρεη παξακόξθσζε θαζώο ( av aw). 1 Μπνξεί λα δηνξζσζεί κεηώλνληαο ην κέγεζνο ηνπ πεδίνπ παξάζηαζεο σο εμήο: 1 vxmax vxmin aw *( vymax vymin) 2 44 M WV 1 1 2 2 1 1 4 4 1

Μεηαζρεκαηηζκνί 2Γ: Παξάδεηγκα 1 Παξάδεηγκα 1: Μεηαζρεκαηηζκόο Παξάζηαζεο κε Κιίζε Τπνζέζηε όηη ην παξάζπξν έρεη θιίζε θαη δίλεηαη από ηηο 4 θνξπθέο ηνπ a=[1,1] T, b=[5,3] T, c=[4,5] T θαη d=[,3] T. Τπνινγίζηε ην κεηαζρεκαηηζκό TILT M WV ΛΤΖ πνπ ην απεηθνλίδεη ζην πεδίν παξάζηαζεο [ v, v ] [,],[ v, v ] [1,1] T T T T xmin ymin xmax ymax Βήκα1: ηξνθή ηνπ παξαζύξνπ θαηά γσλία ζ κε ζηαζεξό ην ζεκείν a. Πίλαθαο κεηαζρεκαηηζκνύ R(-ζ, a) [Παξ. 1] όπνπ 1 2 sin q cosq 5 5 Βήκα 2: Δθαξκνγή ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ παξάζηαζεο M WV [Παξ. 8] 45

Μεηαζρεκαηηζκνί 2Γ: Παξάδεηγκα 1 (2) Πξηλ ην Βήκα 2 πξέπεη λα θαζνξηζηνύλ νη κέγηζηεο x- θαη y- ζπληεηαγκέλεο ηνπ πεξηζηξεθόκελνπ παξαζύξνπ, ππνινγίδνληαο: Έηζη 1 2 5 c R( q, a) c 1 5 T [ w, w ] a,[ w, w ] xmin ymin xmax ymax T 1 c, θαη έρνπκε: 1 1 2 1 3 1 1 1 3 2 5 2 5 5 5 5 5 1 1 TILT 1 1 1 2 1 1 2 1 M WV M WV R( q, a) 1 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 46

πζρεηηζκέλνη Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ Οκνγελείο ζπληεηαγκέλεο 3Γ παξόκνηεο κε 2Γ 1 επηπιένλ ζπληεηαγκέλε [x, y, z, w] T όπνπ w αληηζηνηρεί ζηελ επηπιένλ δηάζηαζε εκεία ησλ νπνίσλ νη νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο είλαη πνιιαπιάζηα είλαη ηζνδύλακα π.ρ. [1, 2, 3, 2] T θαη [2, 4, 6, 4] T Βαζηθή παξάζηαζε Μνλαδηθή Έρεη w = 1 Βξίζθεηαη κε δηαίξεζε κε w : [x/w, y/w, z/w, w/w] T = [x/w, y/w, z/w, 1] T, w Παξάδεηγκα: 1 2 3 2 2 4 6 4 1 3 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 T T T [,,, ] [,,, ] [,1,,1] Έρνπκε 3Γ πξνβνιή ελόο 4Γ ρώξνπ ζέηνληαο w=1 εκεία: δηαλύζκαηα 4x1. Μεηαζρεκαηηζκνί: πίλαθεο 4x4 47

3Γ Οκνγελήο Μεηαθνξά Οξίδεηαη κε 3Γ δηάλπζκα Μνξθή πίλαθα: Td ( ) d [ d, d, d ] 1 1 1 x y z d d d 1 x y z T Td ( ) κπνξεί λα ζπλδπαζηεί κε άιινπο ζπζρεηηζκέλνπο κεηαζρεκαηηζκνύο κε πνιιαπιαζηαζκό πηλάθσλ. Αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο κεηαθνξάο: T 1 ( d) T( d) 48

3Γ Οκνγελήο Αιιαγή Κιίκαθαο 3 παξάγνληεο αιιαγήο θιίκαθαο: s x, s y, s z Αλ παξάγνληαο < 1 ζκίθξπλζε αληηθεηκέλνπ ζηελ αληίζηνηρε δηάζηαζε παξάγνληαο > 1 κεγέζπλζε αληηθεηκέλνπ Με κνξθή πίλαθα: S( s, s, s ) x y z s x s y s 1 z Ζ αιιαγή θιίκαθαο έρεη ζαλ παξελέξγεηα ηε κεηαθίλεζε ηνπ αληηθεηκέλνπ, αλάινγα κε ηνλ παξάγνληα αιιαγήο θιίκαθαο 49

3Γ Οκνγελήο Αιιαγή Κιίκαθαο (2) Ηζνηξνπηθή Αιιαγή Κιίκαθαο: Αλ s x = s y = s z Γηαηεξεί ην ζρήκα ησλ αληηθεηκέλσλ (γσλίεο) Καηνπηξηζκόο: ε έλα από ηα θύξηα επίπεδα (xy, xz, yz) Υξήζε ηνπ -1 ζαλ παξάγνληα αιιαγήο θιίκαθαο Π.ρ. θαηνπηξηζκόο ζην επίπεδν xy : S(1, 1, -1) Αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο αιιαγήο θιίκαθαο: S 1 1 1 1 ( sx, sy, sz ) S(,, ) s s s x y z 5

3Γ Οκνγελήο Πεξηζηξνθή Γηαθνξεηηθή από ηελ πεξηζηξνθή 2Γ: πεξηζηξνθή γύξσ από άξονα Βαζηθνί κεηαζρεκαηηζκνί πεξηζηξνθήο: γύξσ από ηνπο 3 θύξηνπο άμνλεο x, y, z Πεξηζηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα: ζπλδπαζκόο βαζηθώλ πεξηζηξνθώλ Θεηηθή πεξηζηξνθή γύξσ από άμνλα α: ζε δεμηόζηξνθα ζπζηήκαηα είλαη ε πεξηζηξνθή κε θαηεύζπλζε αληίζηξνθε ηεο θνξάο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ θνηηώληαο από ηνλ ζεηηθό άμνλα πξνο ην θέληξν Θετική Περιστρουή γύρω από τον y 51

3Γ Οκνγελήο Πεξηζηξνθή(2) Γελ αιιάδεη ε απόζηαζε από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Γελ επεξεάδεηαη ε ζπληεηαγκέλε πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο Πίλαθεο πεξηζηξνθήο γύξσ από ηνπο θύξηνπο άμνλεο: R x ( q) 1 cosq sin q sin q cosq 1 R y ( q) cosq sin q 1 sin q cosq 1 R z ( q) cosq sin q sin q cosq 1 1 Αληίζηξνθε πεξηζηξνθή : -1-1 -1 R ( ) R ( ), R ( ) R ( ) θαη R ( ) R ( ) x x y y z z Πεξηζηξνθέο γίλνληαη θαη κε ηε βνήζεηα ησλ quaternions 52

3Γ Οκνγελήο ηξέβισζε ηξέβισζε αληηθεηκέλνπ ζε έλα από ηα θύξηα επίπεδα Απμάλεη 2 ζπληεηαγκέλεο αλάινγα κε ηελ 3 ε ζπληεηαγκέλε επί ηνλ αληίζηνηρν παξάγνληα ζηξέβισζεο 3 είδε ζηξέβισζεο ζηηο 3Γ: xy, xz, yz ηξέβισζε ζην xy επίπεδν: αύμεζε ηεο x-ζπληεηαγκέλεο θαηά αύμεζε ηεο y-ζπληεηαγκέλεο θαηά Όκνηα γηα xz & yz : SH xy ( ab, ) 1 a 1 b 1 1 SH xz ( ab, ) 1 a 1 b 1 1 SH yz ( ab, ) 1 a b 1 1 1 a z b z Αληίζηξνθε ζηξέβισζε: SH SH SH -1 xy -1 xz -1 yz ( a, b) SH ( a, b), xy ( a, b) SH ( a, b), xz ( a, b) SH ( a, b) yz 53

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 11 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 11: ύλζεηε Πεξηζηξνθή - Κακπή Τπνινγίζηε ηνλ πίλαθα θακπήο: Πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ x γύξσ από x-άμνλα Πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ y γύξσ από y-άμνλα Παίδεη ξόιν ε ζεηξά πνπ γίλνληαη νη πεξηζηξνθέο; ΛΤΖ 1. 2. Τπνινγηζκόο κε ηελ αληίζηξνθε ζεηξά: cosq sinq 1 cosq sinq sinq cosq sinq y y y x y x y 1 cosqx sinqx cosqx sinqx MBEND Ry ( qy) Rx ( qx) sin q cosq sinq cosq sinq sinq cosq cosq cosq y y x x y x y x y 1 1 1 1 cosq sinq cosq sinq y y y y cosqx sinqx 1 sinqx sinqy cosqx sinqx cosq y MBEND Rx( qx) Ry ( qy) sinq cosq sinq cosq cosq sinq sinq cosq cosq M BEND M' x x y y x y x x y 1 1 1 BEND νπόηε ε ζεηξά πνπ εθηεινύληαη νη πεξηζηξνθέο παίδεη ξόιν 54

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 12: Δπζπγξάκκηζε Γηαλύζκαηνο κε Άμνλα Τπνινγίζηε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό v [ abc,, ] T ΛΤΖ Av ( ) κε ην κνλαδηαίν δηάλπζκα πνπ επζπγξακκίδεη ην δηάλπζκα ˆk θαηά κήθνο ηνπ ζεηηθνύ άμνλα z v Αρχικά Βήμα 1 Βήμα 2 Υξεζηκνπνηνύκε 2 πεξηζηξνθέο: Βήκα 1: ηξνθή γύξσ από x-άμνλα θαηά ζ 1 έηζη ώζηε ην v λα απεηθνλίδεηαη ζην πάλσ ζην επίπεδν xz, R x (ζ 1 ) v 1 Βήκα 2: ηξνθή ηνπ v 1 γύξσ από ηνλ y-άμνλα θαηά ζ 2 έηζη ώζηε λα ηαπηηζζεί κε ην ˆk, R y (ζ 2 ) 55

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (2) Πίλαθαο επζπγξάκκηζεο ( ) : Τπνινγηζκόο γσλίαο ζ 1 : Av A v Ry q2 Rx q1 ( ) ( ) ( ) ζ 1 ηζνύηαη κε ηε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε πξνβνιή ηνπ v πάλσ ζην επίπεδν yz κε ηνλ άμνλα z Ζ θνξπθή p ηνπ v είλαη p=[a, b, c] T Ζ θνξπθή ηεο πξνβνιήο πάλσ ζην yz είλαη p =[, b, c] T Έζησ όηη ηα b, c δελ είλαη ηαπηόρξνλα : sin q b c, cos q b c b c 1 2 2 1 2 2 Οπόηε, R x ( q ) 1 1 cosq sin q 1 1 sin q cosq 1 1 1 1 c b 2 2 2 2 b c b c b c 2 2 2 2 b c b c 1 56

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (3) Δπηδξώληαο κε ηνλ R x (ζ 1 ) ζην v, πξνθύπηεη ε πξνβνιή ηνπ ζην xz εκείσζε: Τπνινγηζκόο ζ 2 : sin q Οπόηε R y a a b v1 Rx( q1) v Rx( q1) c b c 1 1 v v a b c 1 2 2 2 2 2 a 2 2, cosq b c a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 2 ( q ) 2 2 2 2 2 b c a 2 2 2 2 2 2 cosq2 sin q2 a b c a b c 1 1 sin q cosq 1 2 2 a b c 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 1 v 1 57

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 12 (4) Τπνινγηζκόο ηνπ Av ( ): l ab ac v l v l v c b A( v) Ry( q2) Rx( q1) l l a b c v v v 1 opou v 1 Τπνινγηζκνύ ηνπ Av ( ) (ρξήζηκν γηα επόκελν παξάδεηγκα): Αλ b=c= ηόηε ην v ηαπηίδεηαη κε ηνλ άμνλα x ζηξνθή γύξσ από y θαηά 9 ή -9 ζύκθσλα κε ην πξόζεκν ηνπ α a b c kai l b c 2 2 2 2 2 1 A ( v) ( R ( q ) R ( q )) R ( q ) R ( q ) R ( q ) R ( q ) 1 1 1 y 2 x 1 x 1 y 2 x 1 y 2 A( v) R y ( q2 ) l a v v ab c b l v l v ac b c l v l v 1 a a 1 a a 1 58

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 13 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 13: ηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα κε 2 Μεηαθνξέο & 5 ηξνθέο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό πνπ εθηειεί πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ σο πξνο ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη από δηάλπζκα v θαη ζεκείν p. ΛΤΖ Av ( ) Ο κεηαζρεκαηηζκόο [Π.ρ. 12] : Δπζπγξακκίδεη έλα ηπραίν δηάλπζκα κε ηνλ άμνλα z Σνλ ρξεζηκνπνηνύκε γηα λα κεηαζρεκαηίζνπκε ην π.ρ. ζε ζηξνθή γύξσ από ην z Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ p ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηνπ v κε ηνλ άμνλα z, Βήκα 3: ηξνθή γύξσ από z θαηά γσλία ζ, ( q) Βήκα 4: Αληηζηξνθή ηεο επζπγξάκκηζεο, Βήκα 5: Αληηζηξνθή ηεο κεηαθνξάο, R z -1 A Tp ( ) M -1 T( p) A ( v) R ( q) A( v) T( p) ROT-AXIS z Av ( ) ( v) T( p) 59

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 14:Μεηαζρεκαηηζκόο πληεηαγκέλσλ κε 1 κεηαθνξά & 3 ζηξνθέο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό ζπλ/λσλ κε δηαλύζκαηα βάζεο δηαλύζκαηα βάζεο ( ˆˆ i, j, kˆ ). πνπ επζπγξακκίδεη έλα 3Γ ζύζηεκα κε ην ζύζηεκα ζπλ/λσλ xyz κε Ζ αξρή ησλ αμόλσλ ηνπ 1 νπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ην xyz είλαη O lmn. ΛΤΖ M ALIGN ( ˆl, mˆ, nˆ) Μεηαζρεκαηηζκόο άμνλα: επζπγξάκκηζε ηεο βάζεο ( ˆl, mˆ, nˆ) κε ηε βάζε ( ˆˆ i, j, kˆ ) αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο αμόλσλ ηνπ αληηθεηκέλνπ από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε Ζ ιύζε είλαη επέθηαζε ηνπ Av ( )[Παξ. 12] ( ˆl, mˆ, nˆ) 6

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (2) Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά -O lmn γηα ηαύηηζε ησλ 2 θέληξσλ, T( O ) lmn Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηνπ δηαλύζκαηνο βάζεο ˆn κε ην δηάλπζκα βάζεο ˆk, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ Av ( ) ηνπ [Παξ. 12], An ( ˆ) Βήκα 3: Πεξηζηξνθή θαηά θ γύξσ από ην άμνλα z γηα λα επζπγξακκηζηνύλ νη 2 άιινη άμνλεο, R z ( j) M R ( j) A( nˆ ) T( O ) ALIGN z lmn ˆl Μεηαζρεκαηηζκόο ηνπ ή ηνπ ˆm κε An ( ˆ) γηα ππνινγηζκό ηεο γσλίαο θ. Π.ρ. mˆ A( nˆ ) mˆ : ηα sinθ θαη cosθ ζα είλαη ηα x θαη y ηνπ ˆm 61

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14(3) ΤΓΚΔΚΡΗΜΔΝΟ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ: Σα δηαλύζκαηα ηεο νξζνθαλνληθήο βάζεο ησλ 2 ζπζηεκάησλ αμόλσλ : 1 ˆi, ˆj 1, kˆ 1 3 32 2 29 1653 57 ˆ 4 25 2 l, mˆ, nˆ 29 1653 57 2 2 7 29 1653 57 Ζ αξρή ησλ αμόλσλ γηα ηα 2 ζπζηήκαηα ηαπηίδεηαη ( O lmn = [..] T ). Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό. M ALIGN Σα δηαλύζκαηα βάζεο ηνπ 2 νπ ζπζηήκαηνο εθθξάδνληαη σο πξνο ην 1 ν Από ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ˆn [Παξ. 12] έρνπκε: 2 2 7 2 7 a, b, c θαη ι b c ( ) ( ) 57 57 57 57 57 ; 2 2 2 2 62

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (4) Τπνινγηζκόο An ( ˆ) : Τπνινγηζκόο ˆm : 53 4 14 57 321 321 7 2 An ( ˆ) 53 53 2 2 7 57 57 57 1 32 1653 25 mˆ A( nˆ ) mˆ A( nˆ ) 1653 2 1653 1 32 1537 57 3 1537 1 32 57 Οπόηε sinj θαη cosj 3 1537 1537 63

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 14 (5) Τπνινγηζκόο ( ): Τπνινγηζκόο T( O ) : νη αξρέο ησλ αμόλσλ ησλ 2 ζπζηεκάησλ lmn ζπληεηαγκέλσλ ηαπηίδνληαη Άξα, R z R z M R ( j) A( nˆ ) T( O ) ALIGN z lmn 57 32 3 1537 1537 32 57 ( j) 3 1537 1537 1 1 T( O ) lmn ID 53 4 14 3 4 2 57 32 3 57 321 321 29 29 29 1537 1537 7 2 32 25 2 32 57 M ( ) ( ˆ ALIGN Rz j A n) ID 3 53 53 1653 1653 1653 1537 1537 2 2 7 2 2 7 1 57 57 57 57 57 57 1 1 1 64

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 15 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 15: Αιιαγή Βάζεο Βξείηε ην κεηαζρεκαηηζκό M BASIS πνπ ρξεηάδεηαη γηα ηελ αιιαγή ηεο νξζνθαλνληθήο βάζεο ελόο ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ B1 ( ˆi ˆ ˆ 1, j1, k1) ζηελ 2 ( ˆi, ˆj, kˆ ) θαη αληίζηξνθα. ΛΤΖ B 2 2 2 Έζησ όηη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ίδηνπ δηαλύζκαηνο ζηηο 2 βάζεηο είλαη v θαη v B1 B2 Αλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ δηαλπζκάησλ βάζεο a d p ˆi b ˆj e kˆ q 2, B1 2, B1 2, B1 Σόηε εύθνια απνδεηθλύεηαη όηη: c f r v a d p b e q ˆi, ˆj,kˆ 2 2 2 v B1 B2 c f r ζηελ B1 είλαη: 65

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 15 (2) Έηζη, 1 M BASIS a d p b e q c f r B2 είλαη νξζνθαλνληθή βάζε 1 M BASIS είλαη νξζνθαλνληθόο πίλαθαο M BASIS 1 ( M ) BASIS Σ a b c d e f p q r ε νκνγελή κνξθή: M BASIS a b c d e f p q r 1 66

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 16 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 16: Μεηαζρεκαηηζκόο ζπληεηαγκέλσλ κε ηελ αιιαγή βάζεο Υξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή βάζεο ηνπ παξ. 15 γηα λα επζπγξακκίζεηε ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ κε δηαλύζκαηα βάζεο ζπληεηαγκέλσλ xyz κε δηαλύζκαηα βάζεο ( ˆˆ i, j, kˆ ) κε ην ζύζηεκα Ζ αξρή ησλ αμόλσλ ηνπ 1 νπ ζπζηήκαηνο ζε ζρέζε κε ην xyz είλαη O lmn. ΛΤΖ ( ˆl, mˆ, nˆ) Δίλαη κεηαζρεκαηηζκόο άμνλα: Αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε ( ˆl, mˆ, nˆ) Ζ αιιαγή βάζεο αληηθαζηζηά ηηο 3 πεξηζηξνθέο ηνπ παξ. 14 Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά O lmn γηα λα ηαπηηζηνύλ ηα 2 θέληξα: Βήκα 2: Υξήζε ηνπ γηα αιιαγή ηεο βάζεο από ( ˆˆ i, j, kˆ ) ζε M BASIS ( ) T O lmn ( ˆl, mˆ, nˆ) 67

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 16 (2) M M T( O ) ALIGN2 BASIS lmn a b c ( a o b o c o ) d e f ( d o e o f o ) p q r ( p o q o r o ) 1 x y z x y z x y z ˆˆ ˆ Όπνπ ηα δηαλύζκαηα βάζεο (l,m,n) ˆ ˆ ˆ εθθξαζκέλα ζηε βάζε (i, j,k) είλαη: ˆl [ a, b, c] T, mˆ [ d, e, f ] T, nˆ [ p, q, r] T θαη O lmn [ ox, oy, oz] ΤΓΚΔΚΡΗΜΔΝΟ ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ [Παξ. 14]: Ορη κεηαθνξά αθνύ ηαπηίδνληαη ηα 2 θέληξα. M BASIS 3 4 2 29 29 29 32 25 2 1653 1653 1653 2 2 7 57 57 57 ζε νκνγελή κνξθή M BASIS 3 4 2 29 29 29 32 25 2 1653 1653 1653 2 2 7 57 57 57 68 1

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 17 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 17: ηξνθή γύξσ από ηπραίν άμνλα κε Αιιαγή Βάζεο Υξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή βάζεο ηνπ παξ.15 γηα λα βξείηε έλαλ ελαιιαθηηθό κεηαζρεκαηηζκό γηα πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ γύξσ από ηπραίν άμνλα πνπ νξίδεηαη κε δηάλπζκα v θαη ζεκείν p. ΛΤΖ Έζησ a v b θαη p c Σν επίπεδν πνπ είλαη θάζεην ζην v κέζσ ηνπ p: α(x-x p )+b(y-y p )+c(z-z p )= Έζησ q έλα ζεκείνπ ηνπ επηπέδνπ απηνύ: q p θαη m q p l m v Καλνληθνπνίεζε ησλ l,m, v γηα εύξεζε βάζεο (l,m, ˆ ˆ v) ˆ κε έλαλ άμνλα ηνλ v θαη ηνπο άιινπο 2 άμνλεο πάλσ ζην δνζέλ επίπεδν M BASIS Υξήζε ηνπ γηα επζπγξάκκηζε κε ην xyz-ζύζηεκα Δθηέιεζε ηεο πεξηζηξνθήο θαηά ζ γύξσ από ηνλ z x y z p p p 69

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 17 (2) Βήκα 1: Μεηαθνξά ηνπ p ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ, T( p) Βήκα 2: Δπζπγξάκκηζε ηεο βάζεο (l,m, ˆ ˆ v) ˆ κε ηε βάζε (i, ˆˆj,k) ˆ, Βήκα 3: Πεξηζηξνθή σο πξνο z θαηά γσλία ζ, Βήκα 4: Αληηζηξνθή ηεο επζπγξάκκηζεο, Βήκα 5: Αληηζηξνθή ηεο κεηαθνξάο, Tp ( ) -1 M BASIS 1 M T( p) M R ( q) M T( p) ROT AXIS2 BASIS z BASIS R z ( q) M BASIS Ο αιγεβξηθόο ππνινγηζκόο ηνπ M ROT AXIS2 είλαη πην απιόο από ηνλ M ROT AXIS 7

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 18: Πεξηζηξνθή Ππξακίδαο T T Πεξηζηξέςηε ηελ ππξακίδα πνπ νξίδεηαη από ηηο θνξπθέο a [,,], b [1,,], [,1,] T T c θαη d [,,1] θαηά γσλία 45 γύξσ από ηνλ άμνλα πνπ νξίδεηαη από ην ζεκείν c θαη ην δηάλπζκα ΛΤΖ T [,1,1] Ζ ππξακίδα αλαπαξίζηαηαη κε ηνλ πίλαθα P : v P a b c d 1 1 1 1 1 1 1 71

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 (2) Πεξηζηξνθή ηεο ππξακίδαο κε ρξήζε ηνπ πίλαθα -1 M T( p) A ( v) R ( q) A( v) T( p) ROT-AXIS Οη ππνπίλαθεο: z M ROT-AXIS 1 1 1 1 1 1 2 2 T( c) A( v) 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 Rz (45 ) A ( v) 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 Tc () 1 1 72

Μεηαζρεκαηηζκνί 3Γ: Παξάδεηγκα 18 (3) πλδπαζκόο ησλ ππνπηλάθσλ: M ROT AXIS Τπνινγηζκόο ηεο λέαο ππξακίδαο: 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 2 2 2 Οη θνξπθέο ηεο λέαο ππξακίδαο είλαη: 1 2 2 4 2 2 2 1 P MROT AXIS P 4 4 2 2 2 2 4 2 4 4 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 4 2 2 4 2 2 2 a [,, ], b [,, ], c [,1,] θαη d [1,, ] 2 4 4 2 4 4 2 2 T T T T 73

Quaternions Δλαιιαθηηθόο ηξόπνο γηα λα εθθξάζνπκε ηηο πεξηζηξνθέο Υξήζηκα γηα ηηο πεξηζηξνθέο ζηε ζπλζεηηθή θίλεζε (animation) Έλα quaternion απνηειείηαη από 4 πξαγκαηηθνύο : q = (s, x, y, z) s βαζκσηό θνκκάηη ηνπ quaternion q v ( x, y, z) δηαλπζκαηηθό θνκκάηη quaternion q Έηζη ν ελαιιαθηηθόο ηξόπνο αλαπαξάζηαζεο είλαη: Δίλαη ζαλ πξνέθηαζε ησλ ζύλζεησλ αξηζκώλ ζηηο 4 δηαζηάζεηο: Υξεζηκνπνηώληαο θαληαζηηθέο κνλάδεο i, j θαη k: i 2 =j 2 =k 2 =-1 & ij=k, ji=-k θηι κέζσ θπθιηθήο κεηάζεζεο, ην quaternion q γξάθεηαη: q = s+ xi+ yj+ zk Έλαο πξαγκαηηθόο u εθθξάδεηαη ζαλ quaternion: q = v Έλα δηάλπζκα εθθξάδεηαη ζαλ quaternion: q = (, ) Έλα ζεκείν p γξάθεηαη ζαλ quaternion: q = (, p) q ( u, ) v ( s, v) 74

Quaternions (2) Πξόζζεζε ησλ quaternions: q q ( s, v ) ( s, v ) ( s s, v v ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Πνιιαπιαζηαζκόο ησλ quaternions: q q ( s s v v, s v s v v v ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ( s s x x y y z z, s x x s y z z y, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 s1 y2 y1s2 z1x2 x1 z2, s1z 2 z1s2 x1 y2 y1x2 ) Ο πνιιαπιαζηαζκόο είλαη πξνζεηαηξηζηηθή πξάμε Ο πνιιαπιαζηαζκόο δεν είλαη αληηκεηαζεηηθή πξάμε Σν ζπδπγέο quaternion ηνπ q νξίδεηαη σο: Ηζρύεη όηη: q q q q 1 2 2 1 Σν κέηξν ηνπ q νξίδεηαη σο: 2 2 2 2 2 2 2 q q q q q s v s x y z q ( s, v) 75

Quaternions (3) Ηζρύεη όηη: q1 q2 q1 q2 Μνλαδηαίν quaternion νλνκάδεηαη εθείλν γηα ην νπνίν ηζρύεη: q 1 Σν αληίζηξνθν quaternion ηνπ q νξίδεηαη σο: q 1 1 q 2 q Ηζρύεη όηη: 1 1 q q q q 1 q 1 Αλ ηόηε q 1 q 76

Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions Έζησ πεξηζηξνθή θαηά γσλία ζ γύξσ από άμνλα πνπ πεξλάεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη ε θαηεύζπλζή ηνπ δίλεηαη από ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ˆn. Ζ πεξηζηξνθή εθθξάδεηαη από ην κνλαδηαίν quaternion: q q q (cos, sin n ˆ) 2 2 Σν κνλαδηαίν quaternion εθαξκόδεηαη ζε έλα ζεκείν p πνπ έρεη 1 γξαθεί ζαλ quaternion p = (, p) : p q p q q p q Έηζη: όπνπ ( ) p s s 2, ( v v) p 2 v( v p) 2 ( v p). s q q cos and v sin nˆ 2 2 Σν quaternion p είλαη ην ζεκείν p αθνύ ην βαζκσηό κέξνο είλαη Σν p είλαη αθξηβώο ε πξνβνιή ηνπ αξρηθνύ ζεκείνπ p κεηά από ηελ πεξηζηξνθή ηνπ θαηά ζ γύξσ από ηνλ άμνλα 77

Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (2) 2 δηαδνρηθέο πεξηζηξνθέο: q ( q p q ) q ( q q ) p ( q q ) ( q q ) p ( q q ) 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 Ζ ζύλζεηε πεξηζηξνθή δίλεηαη κε ην κνλαδηαίν quaternion: q = q 2 q 1 Ο πνιιαπιαζηαζκόο quaternions είλαη απιόο, έρεη ιηγόηεξεο πξάμεηο θαη είλαη αξηζκεηηθά πην ζπλεπήο από ηελ πεξηζηξνθή κε πνιιαπιαζηαζκό πηλάθσλ. Απόδεημε γηα ηελ πεξηζηξνθή quaternions: Έζησ ην κνλαδηαίν δηάλπζκα ˆv, ν άμνλαο πεξηζηξνθήο ˆn θαη νη πξνβνιέο ˆv 1, ˆv 2 ηνπ ˆv κεηά από 2 δηαδνρηθέο πεξηζηξνθέο θαηά γσλία ζ/2 γύξσ από ην ˆn Σα αληίζηνηρα quaternions είλαη: p (, vˆ ), p (, vˆ ), p (, vˆ ) Παξαηεξνύκε όηη: Άξα : q Όκνηα: q q q cos vˆ vˆ θαη sin nˆ vˆ vˆ 2 2 ( vˆ vˆ, vˆ vˆ ) p p 1 1 1 p p 2 1 1 1 2 2 1 1 78

Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (3) Ηζρύεη: q p q ( p p ) p ( p p ) ( p p ) p p p p p p p αθνύ p p ( 1,) 1 επεηδή 1 1 θαη ( 1) p (, vˆ ) (, vˆ ) 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 v 2 2 2 p2 Άξα κε q p q πξνθύπηεη ε πεξηζηξνθή ηνπ ˆv θαηά γσλία ζ γύξσ από ην ˆn Όκνηα ε πξάμε, q p1 q πεξηζηξέθεη ην ˆv, επεηδή q (, nˆ ) q 1 είλαη ίζν κε ˆn, ην νπνίν ζπκθσλεί κε ην όηη ν ˆn είλαη άμνλαο πεξηζηξνθήο. 79

Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε quaternions (4) Γεληθεύνληαο γηα ηπραίν δηάλπζκα: ˆv, ˆv, είλαη γξακκηθά αλεμάξηεηα. Άξα ην δηάλπζκα γξάθεηαη 1 ˆn p ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο: p vˆ ˆ 1vˆ1 n Έηζη: q (, p) q q (, vˆ vˆ nˆ ) q 1 1 q (, vˆ ) q q (, vˆ ) q q (, nˆ ) q 1 1 ( q (, vˆ ) q) ( q (, vˆ ) q) ( q (, nˆ ) q) 1 1 πνπ είλαη έλα quaternion κε βαζκσηό κέξνο θαη δηαλπζκαηηθό κέξνο από ζπληζηώζεο ηνπ p πνπ έρνπλ πεξηζηξαθεί. 8

Μεηαηξνπή Quaternions -- Πίλαθεο Πεξηζηξνθήο Ο πίλαθαο πεξηζηξνθήο πνπ αληηζηνηρεί ζε κηα πεξηζηξνθή πνπ νξίδεηαη κε ην κνλαδηαίν quaternion q = (s, x, y, z) είλαη : R q Αλ ν παξαθάησ πίλαθαο m m m R 2 2 1 2y 2z 2xy 2sz 2xz 2sy 2 2 2xy 2sz 1 2x 2z 2yz 2sx 2 2 2xz 2sy 2yz 2sx 1 2x 2y παξηζηάλεη κηα πεξηζηξνθή ηόηε ην αληίζηνηρν quaternion q = (s, x, y, z) ππνινγίδεηαη σο εμήο: 1 1 2 m m m 1 11 12 m m m 2 21 22 1 81

Μεηαηξνπή Quaternions -- Πίλαθεο Πεξηζηξνθήο (2) Βήκα 1: 1 s m m m 2 11 22 Βήκα 2: m21 m12 m m m m x, y, z 4s 4s 4s 1 2 2 1 1 Αλ s = (ή θνληά ζην ), ρξεζηκνπνηνύληαη δηαθνξεηηθέο ζρέζεηο: ηόηε 1 m m x m m11 m22 y 2 4x m2 m2 m21 m12 z, s 4x 4x 1 1 1,, 82

Παξάδεηγκα ΠΑΡΑΓΔΗΓΜΑ 19: Πεξηζηξνθή κηαο ππξακίδαο Δπαλεμέηαζε παξαδείγκαηνο 18, ρξεζηκνπνηώληαο quaternions. ΛΤΖ Βήκα 1: Μεηαθνξά θαηά c, T( c) ώζηε ν άμνλαο λα πεξλάεη από ην θέληξν ζπληεηαγκέλσλ Βήκα 2: Πεξηζηξνθή κε ηε ρξήζε ηνπ R q. Σν quaternion πνπ εθθξάδεη ηελ πεξηζηξνθή θαηά 45 o γύξσ από έλαλ άμνλα κε θαηεύζπλζε ˆv είλαη: όπνπ q 45 45 sin 22.5 sin 22.5 cos,sin vˆ (cos 22.5,,, ) 2 2 2 2 ( ) 2 1 cos 45 2 2 2 1 cos 45 2 2 cos 22.5,sin 22.5 2 4 2 4 83

Έλα Παξάδεηγκα (2) Οπόηε: R q 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 4 1 2 2 2 2 2 4 4 1 Βήκα 3: Μεηαθνξά θαηά c, T( c) Ο ηειηθόο κεηαζρεκαηηζκόο είλαη: M 3 T() c R T( c) M ROT AXIS q ROT AXIS [Πρ. 18] 84

Γεσκεηξηθέο Ηδηόηεηεο Οη ζπζρεηηζκέλνη κεηαζρεκαηηζκνί δηαηεξνύλ ζεκαληηθά γεσκεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά ησλ αληηθεηκέλσλ. Γη απηό ρξεζηκνπνηνύληαη ζηα Γξαθηθά θαη ζηελ Οπηηθνπνίεζε Π.ρ. έζησ Φ έλαο ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο θαη p, q ζεκεία, ηόηε: ( l (1 l) ) l ( ) (1 l) ( ), πνπ δείρλεη όηη ν ζπζρεηηζκέλνο κεηαζρεκαηηζκόο ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο κε ην Φ είλαη επίζεο επζύγξακκν ηκήκα Αλαινγίεο θαη απνζηάζεηο ηνπ ηκήκαηνο ( ι / (1-ι) ) δηαηεξνύληαη Καηεγνξίεο ζπζρεηηζκέλσλ κεηαζρεκαηηζκώλ: Γξακκηθνί Οκνηόηεηαο Σηεξενί p q p q l [,1] 85