Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 1 Σφαιρικά σώµατα και βαρύτητα q Χρησιµοποιήσαµε τις εκφράσεις F() =! GMm που ισχύουν για σηµειακές µάζες Μ και m. 2 και V () =! GMm q Ένα χαρακτηριστικό γεγονός, που κάνει τους υπολογισµούς πολύ πιο εύκολους είναι ότι αυτές οι εξισώσεις ισχύουν και για τις σφαίρες. Για τη βαρύτητα, σφαιρικά σώµατα µοιάζουν σαν υλικά σηµεία µε όλη τη µάζα τους στο κέντρο της σφαίρας. Η απόδειξη στο παράρτηµα αυτής της διάλεξης. q Προς το παρών δεχόµαστε δύο σηµαντικά γεγονότα: Ø Αν είστε ΕΞΩ από µια σφαιρική κοιλότητα, η κοιλότητα µοιάζει σαν υλικό σηµείο. Οι σφαίρες µοιάζουν να αποτελούνται από πολλές σφαιρικές κοιλότητες και άρα οι σφαίρες µοιάζουν επίσης σαν υλικά σηµεία Ø Αν είστε ΜΕΣΑ σε µια σφαιρική κοιλότητα, η κοιλότητα µοιάζει σαν τίποτα. Είναι σα να µην υπάρχει καµιά δύναµη.

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 2 Γραφική αναπαράσταση Για σφαιρικές κοιλότητες: M R mm m F g 0 R Μηδέν στο εσωτερικό Έξω από την κοιλότητα F g ανάλογη 1/ 2 Για σφαίρες: Άθροισµα σφαιρικών κοιλοτήτων Αθροίζουµε όλες τις σφαιρικές κοιλότητες για να δηµιουργήσουµε µια συµπαγή σφαίρα! F g =! GMm ˆ " R F g 1/ 2 2! F g =! Gm M " ˆ 2 < R όπου M είναι η µάζα που περιέχεται σε σφαίρα ακτίνας < R R M! M = " V! 4 "V = 3 #3 = 4 3 #R3 3 R 3 Για σφαίρα οµοιόµορφης πυκνότητας:! F g = " GMm 3 για < R! " 0 F R 3 g " 0

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 3 Μια απόδειξη για την περίπτωση των κοίλων σφαιρών κοίλη σφαίρα Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι δυνάµεις από τα τµήµατα των µαζών στις 2 απέναντι πλευρές του P αλληλοαναιρούνται. Ας υποθέσουµε για ευκολία ότι η περιοχή Α 1 είναι δύο φορές πιο µακριά από το P σε σχέση µε την περιοχή Α 2. Εποµένως το εµβαδό και άρα η µάζα του Α 1 θα είναι 4 φορές µεγαλύτερο από αυτό στο Α 2. Αυτός ακριβώς ο όρος, 4=2 2, στη µάζα αναιρεί το παράγοντα 2 2 =4 στο 2 του παρονοµαστή της δύναµης, καταλήγοντας σε ίσες και αντίθετες δυνάµεις στο P è ΣF=0 Σηµειώστε ότι το παραπάνω επιχείρηµα δεν δουλεύει για κυκλικά στεφάνια (αντί κοιλότητας) γιατί χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι τα Α 1 και Α 2 είναι εµβαδά, που είναι ανάλογα των τετραγώνων των αντίστοιχων µηκών.

Ένα απίθανο παράδειγµα Ανοίγουµε µια τρύπα στη γη από τη µια πλευρά στην άλλη και κατά µήκος µιας χορδής της. Αφήνουµε ένα σώµα να πέσει µέσα στην τρύπα αυτή. Αγνοώντας τριβές κ.λ.π. βρείτε το χρόνο που χρειάζεται για να περάσει από την άλλη άκρη. Λύση θ m R (Θυµηθείτε: η µάζα m δεν «βλέπει» τη µάζα που περικλείεται σε κοίλες σφαίρες έξω από την ακτίνα ). ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 4 O όγκος είναι ανάλογος του 3 και εποµένως Μ GM =M(/R) 3 3 F g = R m 3 = GMm 2 R 3 Θέλουµε µόνο την συνιστώσα της F κατά µήκος της χορδής που ανοίξαµε F x = ma = F sin! Η δύναµη στο m είναι GM m/ 2, προς το εσωτερικό, Μ είναι η µάζα που περικλείεται σε µια ακτίνα! = F x $ " # % & =! GMmx = m!!x!!!x = " GM x R 3 R 3 Εξίσωση αρµονικού ταλαντωτή µε συχνότητα! = Άρα θα χρειαστεί 42min για ένα one-way ταξίδι GM R 3 = 2"# => # ~ 84 min

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 5 Και ένα πιθανό... q Σύγχρονοι Δορυφόροι: Μένουν πάντοτε πάνω από το ίδιο σηµείο της γης. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ένα τέτοιο δορυφόρο πάνω από τον ισηµερινό. Άρα η περίοδος περιστροφής τους είναι Τ = 1 ηµέρα. Θέλουµε να βρούµε την ακτίνα της τροχιάς τους, και την γραµµική ταχύτητα v. GMm!"#. v 2 = m 2!"#. Αλλά! = 2" v = 1#µ.! v = 2" T Εποµένως GMm!"#. (2$) 2 = m 2!"#. T 2

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 6 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple q Θα υποθέσουµε ότι ο ήλιος είναι ακίνητος (σχεδόν σωστό αφού έχει τόσο µεγάλη µάζα και η γη δεν τον κινεί). q Οι τροχιές των πλανητών µοιάζουν κάπως σα τις παρακάτω ελλείψεις Θέλουµε να ξέρουµε το συναρτήσει της γωνίας θ. Η συνάρτηση αυτή θα µας δώσει το σχήµα της τροχιάς του πλανήτη. θ ήλιος Ο υπολογισµός είναι αρκετά πολύπλοκος και δεν θα τον προχωρήσουµε µέχρι το τέλος (ΦΥΣ 133) Άρα η στροφορµή του συστήµατος διατηρείται: # mv = L! m d" & $ % dt ' ( = L! m 2!" = L = )*+" Επίσης η ενέργεια του συστήµατος διατηρείται, και έχουµε: 1 2 mv2 + V() = E! ( 1 2 mv 2 + 1 2 mv 2 " ) # GMm = E! 1 2 m! 2 + 1 2 m!! ω 2 Η βαρύτητα είναι κεντρική δύναµη και εποµένως δεν δηµιουργεί ροπές (σχετικά µε τον ήλιο) ( ) 2 " GMm = E! 1 2 m! 2 + L2 2m " GMm = E 2

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 7 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple 1 Καταλήξαµε στην: 2 m! 2 + L2 2m! GMm 2 Από την τελευταία µπορούµε να γράψουµε:! " # d dt 2 $ % & = 2E m ' L2 m 2 2 + GM Αλλά!! = L m " # d! & 2 $ % dt ' ( " d % $ ' # d! & 2 = " d dt % $ ' # d! dt & 2 = 2Em 4 L 2 2 = L2 m 2 4 = E ( 2 + 2GM 2 m 2 3 ) F( ) L 2 Τις διαιρούµε για να διώξουµε την εξάρτηση από t d Με διαχωρισµό µεταβλητών έχουµε: " = " d! F( ) Αυτή η τελευταία σχέση µπορεί να ολοκληρωθεί για να δώσει τη θ συναρτήσει του και κατόπιν να αναστραφεί για να πάρουµε το συναρτήσει του θ. Ο υπολογισµός είναι πολύπλοκος. Τελικό αποτέλεσµα: η εξίσωση της τροχιάς, (θ), είναι έλλειψη µε τον ήλιο σε µια εστία της.

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 8 Διάγραµµα ενέργειας Είδαµε ότι από: E = 1 E = 1 2 m! 2 + L2 2m! GMm = 1 2 2 m! 2 + U!"!#$% 2 mv2! GMm πήραµε U() L 2 2m 2! GMm U() U!"!#$% () L 2 Ø για L 0 o όρος 2m 2 υπερισχύει για µικρά Ø o όρος! GMm υπερισχύει για µεγάλα ( ) Διαγράµµατα ενέργειας: U() min max E > 0 E = 0 E < 0 E = E min (i) E > 0 Μή δέσµια τροχιά. Tο σώµα πλησιάζει µέχρι κάποιο min (Ε = U ενεργό ) όπου Ε κιν =0 και µετά επιστρέφει εκεί απ όπου ήρθε H τροχιά είναι υπερβολή (ii) E = 0 Παρόµοια µε την περίπτωση (i) αλλά στο όριο µεταξύ δέσµιας και µή δέσµιας τροχιάς H τροχιά είναι παραβολή (iii) E < 0 H κίνηση περιορίζεται µεταξύ min και max H τροχιά είναι έλλειψη (iv) E = Ε min H κίνηση επιτρέπεται για µια µόνο τιµή του H τροχιά είναι κυκλική

Ταχύτητα διαφυγής Oρισμός: Ταχύτητα διαφυγής είναι η ταχύτητα που πρέπει να αποκτήσει ένα σώμα ώστε να φθάσει στο άπειρο (= ) με ταχύτητα 0. Ποια αρχική ταχύτητα v 0 απαιτείται ώστε ένα σώμα να ξεφύγει από την βαρυτική δύναμη της γης; Η μηχανική ενέργεια διατηρείται, και επομένως: i E µ!" f = E µ!" # U i + K i = U f + K f (1) Σύμφωνα με τον ορισμό της ταχύτητας διαφυγής:! f = 0.0m /s Αλλά ξέρουμε ακόμα ότι: U( =!) = 0 = U f Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε: 1 2 mv 2 0! GmM "# = 0 + 0 $ v 0 = 2GM "# "# "# Η ταχύτητα είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος. ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 9

Κυκλικές τροχιές Η µηχανική ενέργεια για δορυφόρο που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R κοντά στην γη θα είναι: E µ!" = U g + K! E µ"# = 1 2 m $% 2 & G M 'm $ R Αλλά για κυκλική τροχιά η βαρύτητα προσφέρει τη κεντροµόλο δύναµη: F g = F!"#$%. & G M 'm ( ) 2 = m R 2 ( R! " 2 = G M # (2) R Αντικαθιστώντας (2) στην (1) έχουµε: (1) ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 10 E µ!" = 1 2 m # GM $ R % G M m $ # R! E µ"# = $ 1 2 m % GM & R! E µ"# = 1 2 U g = $E %&' Η τελευταία σχέση ισχύει για όλες τις κυκλικές τροχιές

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 11 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Keple q Τρεις οι νόµοι του Keple: Ø Oι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές µε τον ήλιο σε µια εστία τους. Ø Η επιβατική ακτίνα ενός πλανήτη διαγράφει ίσα εµβαδά σε ίσους χρόνους Ø Το τετράγωνο της περιόδου ενός πλανήτη είναι ανάλογο του κύβου του µέγιστου ηµιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς του µε µια σταθερά αναλογίας που δεν εξαρτάται από την µάζα του πλανήτη: T 2 = 4! 2 GM a3

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 12 Σχετικά µε ελλείψεις Ø F 1 και F 2 είναι οι εστίες της έλλειψης Είναι σε απόσταση c από το κέντρο Ø Η µεγαλύτερη απόσταση διαµέσου του κέντρου ονοµάζεται κύριος άξονας της έλλειψης Ο α είναι ο µεγάλος ηµιάξονας. Ø Η µικρότερη απόσταση διαµέσου του κέντρου ονοµάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης Ο b είναι ο µικρός ηµιάξονας. Ø Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως: Για κυκλική τροχιά: e = 0 e = Η εκκεντρότητα παίρνει τιµές στο διάστηµα: 0 < e < 1 Ø Η εκκεντρότητα µιας παραβολικής τροχιάς (Ε = 0) είναι: e = 1 Ø Η εκκεντρότητα µιας υπερβολικής τροχιάς (E > 0) είναι: e > 1 c a

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 13 Σχετικά µε ελλειπτικές τροχιές πλανητών Ø Ο ήλιος είναι σε µια εστία της έλλειψης Η άλλη εστία είναι κενή Ø Αφήλιο ονοµάζεται το πιο αποµακρυσµένο από τον ήλιο σηµείο της έλλειψης. Η απόσταση του αφηλίου είναι: α + c Για µια τροχιά γύρω από την γη το σηµείο αυτό ονοµάζεται απόγειο. περιήλιο ήλιος αφήλιο Ø Περιήλιο ονοµάζεται το πιο κοντινό στον ήλιο σηµείο της έλλειψης Η απόσταση του περιηλίου είναι: α - c Για µια τροχιά γύρω από το γη το σηµείο αυτό ονοµάζεται περίγειο

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 14 Ο 1 ος νόµος του Keple Ø Μια κυκλική τροχιά είναι ειδική περίπτωση της γενικής ελλειπτικής τροχιάς. Ø Είναι αποτέλεσµα της εξάρτησης από το -2 της βαρυτικής δύναµης Ø Ελλειπτικές (και κυκλικές) τροχιές επιτρέπονται για δέσµια σώµατα Ένα σώµα είναι δέσµιο όταν περιφέρεται γύρω από το κέντρο έλξης Ένα σώµα µη δέσµιο θα περάσει αλλά δε θα επιστρέψει Αυτά τα σώµατα θα έχουν τροχιές που είναι παραβολές (e = 1) ή υπερβολές (e > 1) κύκλος έλλειψη παραβολή υπερβολή

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 15 Ο 2 ος Νόµος του Keple q Είναι αποτέλεσµα της διατήρησης της στροφορµής q Η βαρυτική έλξη δεν προκαλεί ροπή è L = σταθ. Ηλιος q Μπορούµε να τον αποδείξουµε εύκολα: Ήλιος κινείται πιό αργά εδώ Σε χρόνο dt, η ακτίνα σαρώνει το εµβαδό da!! που είναι το µισό του παραλληλογράµµου:! d Αλλά d! =!!dt = d" da = 1 2 ( d! ) " da dt = 1 2 d! 2 dt da dt = 1 2 2!! = m 2!! 2m = L 2m L = "#$!. % da dt = "#$!. κινείται πιο γρήγορα εδώ εµβαδική ταχύτητα = σταθ. Ο 2 ος νόµος του Κeple ισχύει για οποιαδήποτε κεντρική δύναµη ανεξάρτητα από το αν ακολουθεί το νόµο -2.

ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 16 Ο 3 ος Νόµος του Keple q Μπορεί να προβλεφθεί από το νόµο της παγκόσµιας έλξης και το 2 ο νόµο του Newton: G M m H!"#$ %!&'()( $ 2 = m 2 %!&'()( υποθέτοντας κυκλική τροχιά q Η βαρυτική δύναµη προκαλεί κεντροµόλο δύναµη και εποµένως q Λύνοντας ως προς Τ θα έχουµε: & T 2 = ' ( 4! 2 GM H"#$% ) * + 3 = K H 3! = 2" T Η σταθερά Κ Η εξαρτάται από τη µάζα του ήλιου και όχι του πλανήτη q Τα παραπάνω µπορούν να επεκταθούν και για ελλειπτικές τροχιές αντικαθιστώντας µε α (το µεγάλο ηµιάξονα της έλλειψης) & T 2 = ' ( 4! 2 GM H "#$% ) * + a3 = K H a 3 Ø Από την απόσταση ήλιου-γης και την περίοδο της γης βρίσκουµε Μ ήλιου

Παράδειγµα Ένας πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον ήλιο. Εάν γνωρίζετε την ταχύτητά του στο σηµείο του περιήλιου, υ π, υπολογίστε την ταχύτητά του στο σηµείο του αφήλιου, υ α. ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 17 περιήλιο ήλιος αφήλιο Η στροφορµή του πλανήτη σε σχέση! µε τον ήλιο διατηρείται.! Η στροφορµή δίνεται από τη σχέση L = m!"#$%&% '! ( Στα σηµεία του περιηλίου και αφηλίου η ακτίνα είναι κάθετη στην ταχύτητα: L! = m!"#$%&%! '! L! = m "#!$%&%! '! L! = L " m!"#$%&%! '! = m!"#$%&% # ' # ( ' # =! # '!

Μελανές Οπές Black Holes ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 18 q Μελανή οπή είναι το αποµεινάρι ενός αστέρα που συνεθλίβει κάτω από το δικό του βαρυτικό πεδίο q Είδαµε ότι η ταχύτητα διαφυγής δίνεται από την σχέση: v 0 = 2GM R Ø Η ταχύτητα διαφυγής για την περίπτωση µιας µελανής οπής είναι πολύ µεγάλη εξαιτίας της µεγάλης συγκέντρωσης µάζας µέσα σε µια σφαίρα πολύ µικρής ακτίνας. " Αν η ταχύτητα διαφυγής ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός τότε ακτινοβολία δεν µπορεί να διαφύγει και εµφανίζεται σα µελανό σώµα. Ø Από στη σχέση της ταχύτητας διαφυγής αντικαταστήσουµε όπου v 0 = c τότε παίρνουµε: R S = 2GM c 2 ακτίνα Schwazchild (1916) Για Μ ~ 3M Ήλιου ένας αστέρας µπορεί να γίνει µελανή οπή. Στην περίπτωση αυτή R s = 9 Km Η πυκνότητα αυτής της µελανής οπής είναι:! = 2M H"#$% = 2M H"#$% V 4& 3 R 3 S! = 6 "10 17 kg /m 3 '

Μελανές οπές και Γαλαξίες ΦΥΣ 131 - Διαλ.28 19 Υπάρχουν ενδείξεις ότι µελανές οπές πολύ µεγάλης µάζας υπάρχουν στο κέντρο των γαλαξιών Η θεωρία προβλέπει ότι πίδακες ύλης (jets) πρέπει να είναι ανιχνεύσιµοι κατά µήκος του άξονα περιστροφής της µελανής οπής Φωτογραφία του γαλαξία Μ87 από το τηλεσκόπιο Hubble. Ο πίδακας ύλης θεωρείται σαν ένδειξη ότι υπάρχει µια πολύ µεγάλης µάζας µελανή οπή Να σηµειώσουµε εδώ ότι οι σχέσεις που βρήκαµε στηρίζονται στους νόµους του Newton που δεν έχουν εφαρµογή σε ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Ωστόσο είναι από τις λίγες περιπτώσεις που τα αποτελέσµατα της σχετικιστικής δυναµικής συµφωνούν µε αυτά της κλασικής