Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Φώτης Πλέσσας fplessas@e-ce.uth.gr
Εισαγωγή Πολλά πραγματικά συστήματα, όπως οι μονάδες παραγωγής και τα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, οι τηλεπικοινωνίες κλπ., παράγουν και χρησιμοποιούν ημιτονοειδείς κυματομορφές. Από μαθηματική σκοπιά η μελέτη των κυκλωμάτων με ημιτονοειδή διέγερση είναι ευκολότερη. Σχεδόν κάθε σήμα μπορεί να παρασταθεί από ένα άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων. Έτσι, η γνώση της απόκρισης των κυκλωμάτων σε ένα ημιτονοειδές σήμα μπορεί να δώσει πληροφορίες για την απόκρισή του σχεδόν σε οποιοδήποτε σήμα.
Ολική απόκριση κυκλώματος (1/2) i (t ) s I συνωt νόμος ρευμάτων: i C(t ) i (t ) i s(t ), t Αντικαθιστώντας τις σχέσεις v-i των στοιχείων έχω τη διαφορική εξίσωση: 0 dv 1 C v( t ) Iσυνωt, t 0 dt λύση: t / C I v( t ) συνφe συν( ωt φ ) με 1 ( Cω) v ( t ) v ( t ) tr ss και 1 φ εφ Cω 2
Ολική απόκριση κυκλώματος (2/2) i (t ) s I συνωt tr t / C v( t ) συνφe συν( ωt φ ) v ( t ) v ( t ) ss Όταν μας ενδιαφέρει μόνο η μόνιμη κατάσταση ισορροπίας: t / C ss t t v ( t ) li v( t ) li[ συνφe συν( ωt φ ) συν( ωt φ ).
Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών (1/5) Αντικαθιστούμε την εξίσωση της απόκρισης του κυκλώματος στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση ισορροπίας στην διαφορική εξίσωση και προκύπτει: d dt C συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Iσυνωt ή ωcημ( ωt φ ) συν( ωt φ ) Iσυνωt Λύση; Προσδιορισμός των και φ με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών
, Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών (2/5) Η προηγούμενη εξίσωση γράφεται: [ συν( ωt φ ) ωcημ( ωt φ ) ] I συνωt Θέτουμε εφz Cω Οπότε: ( t ) z( t ) I t ή z ( t ) ( t ) z I t ή z z ( t ) z ( t ) I t
d C συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Iσυνωt dt Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών (3/5) Χρησιμοποιούμε την: ( A B) A B AB και: 2 2 z 1 (1 z) 1 1 ( C) Καταλήγουμε στην: 2 1 ( Cω) συν( ωt φ z ) Iσυνωt
d C συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Iσυνωt dt Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών (4/5) οπότε: I 1 v ss( t ) συν( ωt εφ ωc ) 2 1 ( Cω) Διαπιστώνουμε ότι η απόκριση του κυκλώματος στη μόνιμη κατάσταση ισορροπίας έχει την ίδια μορφή με τη διέγερση. Οι μόνες διαφορές ανάμεσα στη διέγερση και στην απόκριση του κυκλώματος εντοπίζονται στο πλάτος και στην αρχική φάση των σημάτων. Το συμπέρασμα αυτό είναι γενικό και ισχύει για κάθε χρονικά αμετάβλητο γραμμικό κύκλωμα.
d C συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Iσυνωt dt Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών (5/5) Τα σήματα συνηθίζεται να παριστάνονται γραφικά ως προς τη γωνία φάσης και όχι ως προς τον χρόνο, Εφαρμόζονται στο κύκλωμα οι νόμοι του Kirchhoff και προκύπτουν οι εξισώσεις του κυκλώματος, δηλαδή οι εξισώσεις κόμβων ή βρόχων ανάλογα με τον νόμο του Kirchhoff που εφαρμόζεται. Αντικαθίστανται στις εξισώσεις του κυκλώματος τα ρεύματα ή οι τάσεις των κλάδων με τις σχέσεις v- i των στοιχείων του κυκλώματος. Οι αλγεβρικές εξισώσεις κόμβων ή βρόχων γίνονται πλέον διαφορικές εξισώσεις ή γενικότερα ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις. Στις ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις αντικαθίσταται η απόκριση του κυκλώματος με ένα σήμα της μορφής A συν(ωt + φ). Μετά την εκτέλεση των πράξεων, προκύπτει μια τριγωνομετρική εξίσωση, που επιλύεται ως προς το πλάτος A και την αρχική φάση φ με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών.
jωt j( ωt φ ) i v(t s ) v Iss (t συνωt ) 1 συν( ejφ Iωt ejωt [ ] φ) e{ ejωt e{ ( jωc ) } e e } e{ Ie }, t 0 { } Μέθοδος των στρεφόμενων διανυσμάτων (1/2) dv 1 C v( t ) Iσυνωt, t 0 dt όμως: και jωt i (t ) I συνωt e{ I e } s j( ωt φ ) v(t ) v (t ) συν( ωt φ) e{ e } ss Αντικαθιστώντας 1 jφ jωt jωt e{ [( jωc ) e ] e } e{ Ie }, t 0 οπότε 1 jφ (jωc ) e I
jωt j( ωt φ ) i v(t s ) v Iss (t συνωt ) 1 συν( ejφ Iωt ejωt [ ] φ) e{ ejωt e{ ( jωc ) } e e } e{ Ie }, t 0 { } Μέθοδος των στρεφόμενων διανυσμάτων (2/2) e jφ I 1 jωc Γράφοντας τον παρανομαστή με εκθετική μορφή καταλήγουμε στην: I 1 ( Cω) 2 και φ 1 εφ Cω άρα v ( t ) ss I 1 ( Cω) 2 e 1 j( ωt εφ Cω )
Μετασχηματισμός στο πεδίο της συχνότητας Ο μετασχηματισμός (transfor) είναι μια διαδικασία στην οποία καταφεύγουμε συνήθως, όταν αντιμετωπίζουμε δυσκολίες κατά την αντιμετώπιση ενός προβλήματος Με τη διαδικασία αυτή κάποιες ποσότητες ίσως χάσουν τη φυσική τους σημασία Για να αποκτήσει το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού φυσική σημασία, πρέπει να επιστρέψουμε στο αρχικό πεδίο ορισμού. Αυτό επιτυγχάνεται με τον αντίστροφο μετασχηματισμό (inverse transfor).
Στρεφόμενα διανύσματα στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας (1/4) e j( ωt φ ) Ι I e j( ωt θ ) Ένας ακίνητος παρατηρητής βλέπει χρονικά μεταβαλλόμενες ποσότητες, ενώ ένας παρατηρητής που περιστρέφεται με γωνιακή συχνότητα ω, μαζί με τα στρεφόμενα διανύσματα, παρατηρεί χρονικά αμετάβλητες ποσότητες. Ο πρώτος παρατηρητής βρίσκεται στο πεδίο του χρόνου (tie doain), ενώ ο δεύτερος παρατηρητής βρίσκεται στο πεδίο της συχνότητας (frequency doain). Η μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας λέγεται μετασχηματισμός, ενώ η επιστροφή από το πεδίο της συχνότητας στο πεδίο του χρόνου αποτελεί τον αντίστροφο μετασχηματισμό.
Στρεφόμενα διανύσματα στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας (2/4) jφ j(ω t+φ ) e, αν ω o = ωv v T ω { o e }= δεν ορίζεται, αν ω ω o v j( ωvt + φ ), e αν ω ω T { e } 1 jφ o v ω o δεν ορίζεται, αν ωo ωv Ο μετασχηματισμός στο πεδίο της συχνότητας ω του γινομένου ή του πηλίκου δύο στρεφόμενων διανυσμάτων δεν ορίζεται
Στρεφόμενα διανύσματα στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας (3/4) Σε ημιτονοειδές σήμα όπου το σήμα περιγράφεται από συνημίτονο j(ω t+φ ) v T ω { v( t )} T o ω { o συν( ωvt φ )} T ω { o e } e, αν ω = ω = δεν ορίζεται, αν ω o ω jφ o v v T { e }= o j(ω t+n) j(ω t+n) -1 jn v ω v v e e{ e }= συν( ω t +φ ), δεν ορίζεται, αν ω = ω αν ω o o v ω v
Στρεφόμενα διανύσματα στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας (4/4) Σε ημιτονοειδές σήμα όπου το σήμα περιγράφεται από ημίτονο jθ o v I e, αν ω = ω T ω {i(t)}=t o ω {I o ημ( ωvt +θ)}= δεν ορίζεται, αν ω ω o v j( ωvt + θ ) j( ωvt θ ) 1 jθ Ie I{ Ie } Iημ( ωvt θ ), αν ωo ωv ωo δεν ορίζεται, αν ωo ωv T { I e }
v 2(t ) 3ημ( ω2t 15 ) Παράδειγμα Να εκφραστούν τα παρακάτω ημιτονοειδή σήματα: v 1(t ) 5συν( ω1t 30 ) v 2(t ) 3ημ( ω2t 15 ) με διανύσματα στο πεδίο της συχνότητας
Ο τελεστής Τ Ο τελεστής Τ είναι ο τελεστής που προκαλεί τον μετασχηματισμό στο πεδίο της συχνότητας. Γραμμικότητα: j( t ) j( t ) j j e e e e T 1 2 1 2 Διαφόριση ως προς τον χρόνο: d td T ω{ } jω dt fd Ολοκλήρωση ως προς τον χρόνο: T { dt } 1 jω ω td fd
Εκφράσεις του στρεφόμενου διανύσματος στα πεδία χρόνου και συχνότητας
Σχέσεις ανάμεσα στις ποσότητες που περιγράφουν τα στρεφόμενα διανύσματα
Πράξεις με στρεφόμενα διανύσματα Πρόσθεση και αφαίρεση (προσφέρεται η ορθογώνια έκφραση) Πολλαπλασιασμός & Διαίρεση (προσφέρονται η εκθετική και η πολική έκφραση) Ύψωση σε δύναμη (προσφέρονται η εκθετική και η πολική έκφραση) jφ Λογαρίθμηση (αν e τότε jφ n n( e ) n jφ ) Πολλαπλασιασμός επί j (χρησιμοποιώ τον τύπο του Euler) το φ σε ακτίνια
Συμβολισμοί Χρησιμοποιώ ακτίνια στους συμβολισμούς των ημιτονοειδών σημάτων Χρησιμοποιώ ενεργές τιμές στις εκφράσεις των ημιτονοειδών σημάτων και των στρεφόμενων διανυσμάτων Δεν χρησιμοποιώ μονάδες στις μιγαδικές ποσότητες (στρεφόμενα διανύσματα)
Οι νόμοι του Kirchhoff στο πεδίο της συχνότητας Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι νόμοι των τάσεων και των ρευμάτων του Kirchhoff στο πεδίο της συχνότητας. Εφόσον κάνουμε την υπόθεση ότι η πηγή ή οι πηγές του κυκλώματος παρέχουν ημιτονοειδή σήματα μιας μόνο συχνότητας ω. Κατά συνέπεια ο μετασχηματισμός ενός κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας ισχύει μόνο για μια συχνότητα.
Μετασχηματισμός της ολοκληροδιαφορικής εξίσωσης (1/2) v (t ) 2συν( ωt φ) s v L(t ) v (t ) v C(t ) v s(t ), t di 1 L + i(t)+ i(t)dt = v s(t), t dt C Εφαρμόζουμε και στα δύο μέλη τον μετασχηματισμό στο πεδίο της συχνότητας
Μετασχηματισμός της ολοκληροδιαφορικής εξίσωσης (2/2) Λόγω της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, di 1 LT ω{ }+ T ω{i(t)}+ T ω{ i(t)dt}=t ω{v s(t)} dt C Όμως σύμφωνα με τις ιδιότητες του μετασχηματισμού, προκύπτει: Της οποίας λύση είναι η: 1 jωli Ι I jωc s I s 1 j( ωl ) ωc
I T {i (t )} T { 2 συν( ωt φ )} φ ω ω 2 Μετασχηματισμός ωμικής αντίστασης v (t ) 2συν( ωt φ) v (t ) i (t ) 2 συν( ωt φ ) I T {v (t )} T { 2συν( ωt φ)} φ ω ω T ω{i (t )} T ω{ 2 συν( ωt φ )} φ Ο μετασχηματισμός της ωμικής αντίστασης (αγωγιμότητας G ) στο πεδίο της συχνότητας είναι η ίδια η ωμική αντίσταση (αγωγιμότητα G). Με άλλα λόγια, ο μετασχηματισμός στο πεδίο της συχνότητας αφήνει αναλλοίωτη την ωμική αντίσταση (αγωγιμότητα G).
Μετασχηματισμός της χωρητικότητας v (t ) 2συν( ωt φ) I C dvc π i C(t ) C 2Cωημ( ωt φ ) 2Cωσυν( ωt φ ) dt 2 T {v (t )} T { 2συν( ωt φ)} φ C ω C ω T {i ( t )} T {C d } jωc dt C C ω C ω C C 1 jωc I C 1/jωC: χωρητική αντίδραση (capacitive reactance) jωc: χωρητική επιδεκτικότητα (capacitive susceptance) Έχουν έννοια μόνο στο πεδίο της συχνότητας
Μετασχηματισμός της αυτεπαγωγής v (t ) 2συν( ωt φ) L 1 π i L(t)= v(τ)dτ = 2 ημ( ωt +φ )= 2 συν( ωt +φ ) L Lω Lω 2 I T {v (t )} T { 2συν( ωt φ)} φ L ω L ω 1 1 =T {i (t)}=t { v (τ)dτ}= L jlω L ω L ω L L L = jlωi L jωl: επαγωγική αντίδραση (inductive reactance) 1/jωL: επαγωγική επιδεκτικότητα (inductive susceptance). Έχουν έννοια μόνο στο πεδίο της συχνότητας
Διαδικασία μετασχηματισμού του κυκλώματος Τα σήματα των ανεξάρτητων πηγών του κυκλώματος εκφράζονται με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό, δηλαδή το ημίτονο ή το συνημίτονο. Τα σήματα των ανεξάρτητων πηγών μετασχηματίζονται στο πεδίο της συχνότητας σε διανύσματα. Οι τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων αντικαθίστανται με διανύσματα. Οι χωρητικότητες C αντικαθίσταται με χωρητικές αντιδράσεις 1/jCω ή χωρητικές επιδεκτικότητες jcω. Οι αυτεπαγωγές L αντικαθίστανται με επαγωγικές αντιδράσεις jlω ή επαγωγικές επιδεκτικότητες 1/jLω. Οι αντιστάσεις και οι αγωγιμότητες G μένουν ως έχουν.
Ερωτήσεις / Απορίες ;