ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12
Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για κάθε α, β, γ F. (Α2) υπάρχει ένα στοιχείο 0 F τέτοιο ώστε α + 0 = α για κάθε α F. (Α3) για κάθε α F, υπάρχει ένα στοιχείο ( α) F τέτοιο ώστε α + ( α) = 0. Αν επίσης ισχύει και ότι (Α4) α + β = β + α για κάθε α, β F. τότε είναι Αβελιανή Οµάδα. Είναι εκπληκτικό πόσα πολλά µπορούν να ειπωθούν και τί ϑεωρίες να ϑεµελιωθούν χρησιµοποιώντας µόνον αυτές τις ιδιότητες
Μαθηµατικό Σώµα (ή Πεδίο) Σώµα είναι ένα σύνολο F µαζί µε δυο πράξεις +, : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για κάθε α, β, γ F. (Α2) υπάρχει ένα στοιχείο 0 F τέτοιο ώστε α + 0 = α για κάθε α F. (Α3) για κάθε α F, υπάρχει ένα στοιχείο ( α) F τέτοιο ώστε α + ( α) = 0. (Α4) α + β = β + α για κάθε α, β F. (Μ1) α (β γ) = (α β) γ για κάθε α, β, γ F. (Μ2) υπάρχει ένα στοιχείο 1 F τέτοιο ώστε α 1 = α για κάθε α F. (Μ3) για κάθε α F, α 0, υπάρχει ένα στοιχείο α 1 F τέτοιο ώστε α α 1 = 1. (Μ4) α β = β α για κάθε α, β F. ( ) α (β + γ) = α β + α γ για κάθε α, β, γ F.
ιανυσµατικός χώρος Μια πρώτη ϑεώρηση Ονοµάζεται διανυσµατικός χώρος επί του σώµατος F ένα σύνολο V µαζί µε δυο πράξεις + : V V V και : F V V τέτοια ώστε (V1) το (V, +) είναι Αβελιανή οµάδα. (V2) (α β) v = α (β v) για κάθε α, β F και για κάθε v V. (V3) (α + β) v = α v + β v για κάθε α, β F και για κάθε v V. (V4) α (v + w) = α v + α w για κάθε α F και για κάθε v, w V. (V5) 1 v = v για κάθε v V (1 F). Ενας διανυσµατικός χώρος συµβολίζεται µε (V,F) ή απλά V, εφόσον δεν υπάρχει ϑέµα σύγχυσης ως προς το υποκείµενο σώµα.
Μετρικός χώρος: Χώρος στον οποίο µπορούµε να ορίσουµε απόσταση Ενα σύνολο στοιχείων u, v,... ονοµάζεται µετρικός χώρος και τα στοιχεία του αποκαλούνται σηµεία του χώρου αν για κάθε Ϲεύγος σηµείων u, v υπάρχει ένας µη αρνητικός αριθµός, π.χ. d(u, v) που αποκαλείται απόσταση µεταξύ των u, v τέτοιος ώστε να ισχύει ότι 1 d(u,v) = d(v,u) 2 d(u,v) 0 µε ισότητα ανν u = v, 3 για κάθε άλλο σηµείο w, d(u,v) d(u,w) + d(w,v)
Παράδειγµα Για κάθε (ενδεχοµένως άπειρη) ακολουθία (µιγαδικών ή πραγµατικών) αριθµών, a := (α 1,α 2,...), b := (β 1,β 2,...)µπορουµε να ορίσουµε συνάρτηση απόστασης 1 α j β j d(a,b) := j=1 2 j 1 + α j β j [Θεωρούµε ότι α) a = b µόνον αν a b = (0,0,...). ϐ) γ+δ 1+γ+δ γ 1+γ + δ 1+δ, γ,δ 0.
Νορµισµένος διανυσµατικός χώρος Ετσι ονοµάζεται ένας δ.χ. V στον οποίο ορίζουµε επιπλέον µια νόρµα, δηλαδή µια συνάρτηση που σε κάθε στοιχείοv V αντιστοιχεί ένα πραγµατικό µη αρνητικό αριθµό v που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: 1 v 0 µε ισότητα αν και µόνον αν v = 0 (ϑετική ορισιµότητα) 2 v + u v + u 3 αv = α v Παρατηρήσεις: Ενας νορµισµένος διανυσµατικός χώρος είναι µετρικός αν ϑέσουµε ως απόσταση d(u,v) = d(u,v).
Μια τοπογραφία µαθηµατικών χώρων
Προς τι η µαθηµατική «επιβάρυνση»;
Γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων ύο µη µηδενικά διανύσµατα u, v αποκαλούνται γραµµικά ανεξάρτητα αν αu + βv = 0 α = β = 0 Γραµµική ανεξαρτησία διανυσµάτων Ενα σύνολο µη µηδενικών διανυσµάτων U = {u 1,...,u s } του διανυσµατικού χώρου U αποκαλούνται γραµµικά ανεξάρτητα αν n j=1 α j u j = 0 α 1 = α 2 = = α s = 0. Αν ένα σύνολο διανυσµάτων δεν είναι γραµµικά ανεξάρτητα, αποκαλούνται «γραµµικά εξαρτηµένα».
Μητρώα Το είναι; Μαθηµατικά µεγέθη που µπορούν να αναπαρασταθούν ως πίνακες (αριθµών, µεταβλητών, συναρτήσεων,... ). Στη γενική περίπτωση ο πίνακας αποτελείται από m γραµµές και n στήλες, π.χ. α 1,1 α 1,2 α 1,n α 2,1 α 2,2 α 2,n A =................ α m,1 α m,2 α m,n Πολλές ϕορές χρησιµοποιούµε το συµβολισµό [α i,j ] m,n. Λέµε ότι το A είναι ένα µητρώο m γραµµών και n στηλών, ή ένα µητρώο µεγέθους m n. Οταν αναφερόµαστε στη ϑέση ενός στοιχείου στον πίνακα (π.χ. µε δείκτες), πρώτα αναφέρουµε τη γραµµή και µετά τη στήλη. Ετσι γίνεται και η δεικτοδότηση.
Μπορείτε να σκεφτείτε τα διανύσµατα ως «εκφυλισµένους» πίνακες. Μπορείτε να τους σκεφτείτε ως µια παράθεση διανυσµάτων n στηλών ή m γραµµών. Αν τα στοιχεία του A ορίζονται επί ενός σώµατος K, γράφουµε A K m n. Αν m = n το µητρώο λέγεται τετραγωνικό. Αν αριθµήσουµε τα στοιχεία µε τον κανονικό τρόπο, τα στοιχεία των οποίων η ϑέση τους στη γραµµή είναι ίδια µε τη ϑέση τους στη στήλη αποτελούν την «κύρια διαγώνιο» του µητρώου.
Μητρώα ως πίνακες τιµών Λογιστικά και πρακτική αριθµητική: συσχετίσεις ποσοτήτων: (ηλικία, ύψος, ϐάρος), ϐαθµολόγια. Παρουσία γονιδίων σε δείγµατα ΝΑ (microarrays), Οικονοµία: (πίνακες εισροών/εκροών. Μετεωρολογία: πίνακες ϐροχόπτωσης, Ανάκτηση πληροφορίας: Πίνακες όρων κειµένων. ιαδίκτυο: Πίνακες διασύνδεσης (µητρώα γειτνίασης). ως γραµµικοί µετασχηµατισµοί Αλλαγή συντεταγµένων. Μετακίνηση στο χώρο (περιστροφή, διολίσθηση). Προσοµοίωση (διακριτοποίηση παραγώγων και ολοκληρωµάτων). Σχεδόν όπου χρησιµοποιούµε πίνακες αριθµών για τα δεδοµένα µιας εφαρµογής.
Το ϐασικό ϐήµα του Arthur Cayley (1821-95)
James Joseph Sylvester (1814-97)
James Joseph Sylvester (1814-97)
James Joseph Sylvester (1814-97)
Σύνοψη
Παράδειγµα
Παράδειγµα
Παράδειγµα
Παράδειγµα
Αραιά µητρώα
Ισότητα, πρόσθεση και πολλαπλασιασµός µε αριθµό Παρόµοιες ιδιότητες που είχαµε και για τα διανύσµατα. Γραφή Με λατινικά (κεφαλαία), π.χ. για το µητρώο P, µπορούµε να συµβολίσουµε π i,j ή [P] i,j ή και P(i,j) για το στοιχείο στη ϑέση (i,j). Επίσης P = [π i,j ] m,n για το µητρώο. ύο µητρώα A,B είναι ίσα αν είναι σύµµορφα και έχουν τις ίδιες τιµές στις αντίστοιχες ϑέσεις. Αν σύµµορφα A,B τότε A + B τότε ορίζεται το C = A + B και είναι το µητρώο που έχει ως στοιχεία τα αθροίσµατα των στοιχείων των A,B στίς αντίστοιχες ϑέσεις, δηλ. [γ i,j ] = [α i,j + β i,j ]. Το µητρώο ξa είναι το [ξα i,j ]. Μπορούµε να πάρουµε το γραµµικό συνδυασµό C = ξa + ψb.
Εννοιες σχετικές µε την αναστροφή Το ανάστροφο ενός µητρώου A συµβολίζεται µε A. Το στοιχείο σε κάθε ϑέση (i,j) του A είναι ίδιο µε το στοιχείο στη ϑέση (j,i) του A, δηλ. (A ) ij = α ji. Αν A R m n, τότε A R n m. Αν A C m n, το ερµιτιανό ανάστροφό του (ή συζυγές ανάστροφο) συµβολίζεται A H (ή ενίοτε µε A ) και το στοιχείο στη ϑέση (i,j) είναι (A H ) ij = (a ji ), όπου η γραµµή δηλώνει το µιγαδικό συζυγές Ενα µητρώο A ονοµάζεται συµµετρικό αν A = A και ερµιτιανό αν A = A H.
Παραδείγµατα [ 5 7 1 Το µητρώο A = 7 2 [ 2 Το µητρώο A = όχι ερµιτιανό. [ 3 Το µητρώο A = συµµετρικό). ] 5 7 + j 7 + j 2 5 7 + j 7 j 2 είναι συµµετρικό (και ερµιτιανό). ] ] είναι µιγαδικό συµµετρικό αλλά είναι ερµιτιανό (αλλά όχι
Υποµητρώα Εστω µητρώο A µεγέθους m n και ϕυσικοί αριθµοί 1 i 1 < i 2 <... < i k m και 1 j 1 < j 2 <... < j l n. Τότε το µητρώο µεγέθους k l του οποίου το (µ,ν) στοιχείο είναι a iµ j ν αποκαλείται υποµητρώο του A. Αν k = l και i 1 = j 1,...,i k = j k τότε το µητρώο καλείται κύριο (principal). Αν i 1 = 1,...,i k = k τότε το µητρώο καλείται αρχικό (leading).
Συνηθίζεται να τεµαχίζουµε σε υποµητρώα µε διαδοχικές γραµµές/στήλες (πλοκάδες). Ενα µητρώο A µεγέθους m n λέγεται πως είναι τεµαχισµένο σε πλοκάδες (ή µπλοκ) όταν είναι γραµµένο ως A 11 A 12 A 1l A 21 A 22 A 2l A =........ A k1 A k2 A kl όπου A ij είναι m i n j υποµητρώο του A. Ισχύει το εξής: Αν δυο µητρώα είναι σύµµορφα τεµαχισµένα (conformally partitioned), τότε τα υποµητρώα που τα αποτελούν µπορούν να χρησιµοποιηθούν σαν ϐαθµωτοί στο πλαίσιο πράξεων µητρώων αρκεί να µην χρησιµοποιείται αντιµεταθετικότητα στον πολλαπλασιασµό µητρώων.
Αναστροφή σύνθετων µητρώων Προκειµένου για σύνθετα µητρώα, η αναστροφή ορίζεται όπως ϑα περιµέναµε. Για παράδειγµα, αν έχει γίνει σωστά ο διαχωρισµός σε µπλοκ A ij για το µητρώο A, τότε Παράδειγµα Στον πίνακα A 11 A 21 A l1 A A 12 A 22 A l2 =........ A 1k A 2k A lk
Θεµελιώδη προβλήµατα γραµµικών συνδυασµών Ενδιαφέροντα ερωτήµατα για µια δοθείσα συλλογή των διανυσµάτων {a 1,a 2,...,a n } Αµεσο πρόβληµα Αν γνωρίζουµε τους ϐαθµωτούς ξ 1,...,ξ n να υπολογίσουµε το γραµµικό συνδυασµό n j=1 ξ j a j. Αντίστροφο πρόβληµα οθέντος ενός διανύσµατος b, µπορούµε να το γράψουµε ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων του U; ηλ. να ϐρούµε τους συντελεστές x = [ξ 1,...,ξ n ] ;
Πολλαπλασιασµός µητρώου µε διάνυσµα A = [a 1,...,a n ] όπου a i και x = ξ 1 ξ 2.. ξ n Rn, Το πλήθος στηλών του A πρέπει να είναι ίσο µε το µέγεθος (πλήθος γραµµών) του x Το γινόµενο b του µητρώου A µε το διάνυσµα x, που γράφουµε απλά b = Ax µπορεί να ϑεωρηθεί (ισοδύναµα) ότι είναι: Παρένθεση/σχόλιο: Το σύµβολο «:» χρησιµοποιείται για να κατασκευάσουµε ή και να επιλέξουµε στοιχεία ενός πίνακα (µεπτοµέρειες σε επόµενη διάλεξη), Προς το παρόν να ϑεωρήσετε ότι A :,j είναι η στήλη j και A i,: είναι η γραµµή i του µητρώου A.
ύο ϑεωρήσεις 1η ϑεώρηση (κατά στήλες) µε γραµµικό συνδυασµό το διάνυσµα του γραµµικού συνδυασµού των στηλών του A µε συντελεστές τα στοιχεία του x b = ξ 1 a 1 + + ξ n a n R m, 2η ϑεώρηση (κατά γραµµές) µε εσωτερικά γινόµενα το διάνυσµα που περιέχει για στοιχεία στις ϑέσεις i = 1,...,m το εσωτερικό γινόµενο της γραµµής i του A µε το x Ax = A 1,: x A 2,: x. A m,: x
Και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσµα είναι α 11 ξ 1 + α 12 ξ 2 + + α 1n ξ n α 21 ξ 1 + α 22 ξ 2 + + α 2n b =. α m1 ξ 1 + α m2 ξ 2 + + α mn
Παράδειγµα ( 9 8 7 A = 6 5 4 ), x = Με γραµµικό συνδυασµό ( 9 3 6 Με εσωτερικά γινόµενα ( 50 Ax = 32 3 2 1, ) ( 8 + 2 5 ) ( 7 + 1 4 ). ) ( 9 3 + 8 2 + 7 1 = 6 3 + 5 2 + 4 1 )
Προσοχή Για να είναι έγκυρος ο πολλαπλασιασµός ενός µητρώου A επί B, δηλ. AB, πρέπει απαραίτητα το πλήθος στηλών του A να είναι ίδιο µε το πλήθος γραµµών του B. Αν πολλαπλασιάσουµε µητρώο m k επί µητρώο k n προκύπτει πάντα µητρώο m n: (m k)(k n) m n Γενικά, όταν γράφουµε γινόµενα AB ϑα πρέπει να ισχύει το παραπάνω, αλλιώς η πράξη δεν ορίζεται. Η σειρά και οι διαστάσεις των όρων έχουν σηµασία! Κατά τα άλλα, οι πράξεις µε µητρώα, διανύσµατα και ϐαθµωτούς ορίζονται όπως ϑα περιµέναµε για «πίνακες από αριθµούς».