ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματ

ΚΥΡΙΑΚΗ Σ. ΓΕΩΡΓΙΑΔΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Μεταπτυχιακη Διατριβη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διατμηματικο Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαηματικα των Υπολογιτων και των Αποφαεων» ΠΑΤΡΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 03

ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ Κωνταντινος Πετροπουλος Επικουρος Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων ΕΠΙΤΡΟΠΗ Φιλιππος Αλεβιζος Αναπληρωτης Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων Σταυρος Κουρουκλης Καηγητης Τμημα Μαηματικων Πανεπιτημιου Πατρων

Περιεχόμενα Ειαγωγή 4 Βαικοί Οριμοί και Θεωρήματα 5. Ειαγωγή-Αμερόληπτοι Εκτιμητές.................... 5. Συνάρτηη Ζημίας Loss Function- Συνάρτηη Κινδύνου Risk Function.................................. 7.3 Αύμμετρη υνάρτηη ζημίας LINEX.................. 8.4 ΑΟΕΔ Εκτιμητές............................. 9.5 Επάρκεια...................................6 Πληρότητα................................. 4.7 Συνέπεια.................................. 6.8 Εκτίμηη με την μέοδο Μέγιτης Πιανοφάνειας........... 6.9 Εκτιμητές Bayes.............................. 8.0 Αναλλοίωτο Πρόβλημα Εκτίμηης..................... Εκτιμητές Pitman............................. 3 Εκτίμηη των παραμέτρων έεως δύο κανονικών πληυμών με κοινή γνωτή διαπορά 4. Επάρκεια και Πληρότητα......................... 4. ΑΟΕΔ Εκτιμητές............................. 5.3 Εκτιμητές Μεγίτης Πιανοφάνειας................... 6.4 Εκτιμητές Bayes.............................. 7 3

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 4.5 Εκτιμητής Pitman............................. 9 3 Εκτίμηη της μέης τιμής του επιλεγμένου πληυμού ως προς το τετραγωνικό φάλμα 3 3. Εκτίμηη της μέης τιμής......................... 3 3. Υπολογιμός της Μεροληψίας...................... 4 4 Εκτίμηη της μέης τιμής ως προς τη υνάρτηη ζημίας LI- NEX 49 4. Εκτίμηη της μέης τιμής......................... 50 4. Εναλλακτικοί τρόποι υπολογιμού της Μεροληψίας........... 67 5 Συνάρτηη κινδύνου και αριμητικά αποτελέματα 79 5. Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα....................... 79 5. Συνάρτηη κινδύνου ως προς την LINEX................ 8 5.3 Αριμητική Σύγκριη μέω της μεροληψίας και του Μ.Τ.Σ....... 97 5.4 Αριμητική Σύγκριη μέω της Μεροληψίας και της Μέης Συνάρτηης ζημίας Linex................................ 03 6 Παράρτημα 5

Ειαγωγή Η παρούα μεταπτυχιακή διατριβή εντάεται ερευνητικά το επιτημονικό πεδίο της Στατιτικής Θεωρίας Αποφάεων και αποκοπεί την εκτίμηη της μέης τιμής ενός πληυμού, ο οποίος επιλέγεται από δύο κανονικούς πληυμούς με άγνωτες μέες τιμές και κοινή γνωτή διαπορά ως προς το τετραγωνικό φάλμα και ως προς την αύμμετρη υνάρτηη ζημίας LINEX. Η μελέτη του προβλήματος της εκτίμηης της μέης τιμής ενός πληυμού ως προς το τετραγωνικό φάλμα, παρουιάτηκε την εργαία του Dahiya974 ενώ το αντίτοιχο πρόβλημα ως προς την αύμμετρη υνάρτηη ζημίας LINEX μελετήηκε από τους Parsian and Farsipour999. Στην παρούα εργαία, έγινε μια προπάεια ύγκριης των αποτελεμάτων της υνάρτηης μεροληψίας, κινδύνου καώς και του μέου τετραγωνικού φάλματος προκειμένου να διαπιτωεί ο βέλτιτος εκτιμητής. Η εύρεη εκτιμητών της μέης τιμής από επιλεγμένο κανονικό πληυμό προϋποέτει τη γνώη βαικών μαηματικών εργαλείων. Κρίνεται, λοιπόν, αναγκαίο να μελετήουμε βαικές έννοιες της Μαηματικής Στατιτικής, οι οποίες α μας βοηήουν να επιτύχουμε το τόχο μας. Στο Κεφάλαιο παρατίενται απαραίτητα εωρήματα και οριμοί. Στο Κεφάλαιο, περιλαμβάνονται αποτελέματα αναζήτηης εκτιμητών μεγίτης πιανοφάνειας, Α.Ο.Ε.Δ εκτιμητών καώς και εκτιμητών Bayes από κανονική κατανομή καώς και εκτιμητών την περίπτωη που έχουμε δείγματα. Στο Κεφάλαιο 3 παρουιάζουμε τους εκτιμητές της μέης τιμής του επιλεγμένου κανονικού πληυμού, τους οποίους πρότεινε ο Dahiya974 καώς και τις αντίτοιχες υναρτήεις μεροληψίας. 5

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 6 Στο Κεφάλαιο 4 γίνεται εκτενής ανάλυη των εκτιμητών μέης τιμής από κανονικούς πληυμούς, τους οποίους πρότειναν οι Parsian and Farsipour999 καώς και οι αντίτοιχες υναρτήεις μεροληψίας. Στο Κεφάλαιο 5 παραέτουμε τη υνάρτηη κινδύνου για καένα από τους εκτιμητές που παρουιάτηκαν την εργαία των Parsian and Farsipour999 καώς και αριμητικά αποτελέματα για το μέο τετραγωνικό φάλμα των εκτιμητών που παρατέηκαν την εργαία του Dahiya974. Κ. Γεωργιάδου, Πάτρα 03

Κεφάλαιο Βαικοί Οριμοί και Θεωρήματα Σε αυτό το κεφάλαιο α αναφερούμε ε οριμένους βαικούς οριμούς και Θεωρήματα της Μαηματικής Στατιτικής χωρίς τις αποδείξεις τους, οι οποίες εμπεριέχονται ε βιβλία Μαηματικής Στατιτικής.. Ειαγωγή-Αμερόληπτοι Εκτιμητές Ετω τυχαίο δείγμα X = X, X,..., X n που αποτελείται από ανεξάρτητες και ιόνομες τυχαίες μεταβλητές X i, i =,,..., n, με από κοινού υνάρτηη πυκνότητας πιανότητας f X x; που εξαρτάται από μια άγνωτη αριμητική παράμετρο, η οποία ανήκει ε κάποιο ύνολο Θ. Τότε το λέγεται άγνωτη παράμετρος και το Θ καλείται παραμετρικός χώρος. Δύο από τα πιο υχνά εμφανιζόμενα είδη παραμέτρων είναι η παράμετρος έης location parameter και κλίμακος scale parameter. Σκοπός μας είναι να εκτιμήουμε μια υνάρτηη του, έτω g : Θ R k, με k η οποία ονομάζεται παραμετρική υνάρτηη. Ο προδιοριμός των παραμέτρων μας παρέχει πλήρη γνώη για τον τύπο της υνάρτηης για αυτό και αποτελεί έναν από τους βαικούς τόχους μας κατά την εκτέλεη μιας τατιτικής μελέτης. Οριμός... Μια υνάρτηη του δείγματος με πραγματικές τιμές ή με τιμές που δεν περιέχουν την άγνωτη παράμετρο καλείται τατιτική υνάρτηη. 7

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 8 Οριμός... Μια τατιτική υνάρτηη δx που χρηιμοποιείται για την ε- κτίμηη της τιμής της άγνωτης παραμέτρου ή γενικότερα για την εκτίμηη της παραμετρικής υνάρτηης g, όπου g : Θ R k, με k αναφέρεται αν εκτιμητής του. Οριμός..3. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ είναι απολύτως υνεχής και έχει πυκνότητα πιανότητας της μορφής, f x µ, τότε η παράμετρος μ καλείται παράμετρος έης. Η τιμή της καορίζει την μετατόπιη της κατανομής. Οριμός..4. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ είναι απολύτως υνεχής και έχει πυκνότητα πιανότητας της μορφής, f x με > 0, τότε η παράμετρος καλείται παράμετρος κλίμακος. Η τιμή της καορίζει την κλίμακα της κατανομής δηλαδή την εξάπλωη των ουρών της κατανομής. Οριμός..5. Ο εκτιμητής T X ονομάζεται αμερόληπτος εκτιμητής της παραμετρικής υνάρτηης g αν και μόνο αν, E Θ T X = g, Θ. Ενα από τα πιο υνηιμένα κριτήρια επιλογής εκτιμητών που λαμβάνεται είναι το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα. Οριμός..6. Το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα ΜΤΣ του εκτιμητή T X ορίζεται από την ακόλουη χέη, MT ΣT, = E Θ T X g Πρόταη... Για το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα του εκτιμητή T X ιχύει η ακόλουη χέη, MT ΣT, = V art X + EΘ T X g όπου E Θ T X g καλείται μεροληψία bias του εκτιμητή T X. Παρατήρηη... Αν T X είναι αμερόληπτος εκτιμητής της παραμετρικής υνάρτηης g, δηλαδή biast X = 0 τότε α ιχύει, MT Σ T, = V art X

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 9 Οριμός..7. Ο εκτιμητής T ονομάζεται καλύτερος από τον T ως προς το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα για την εκτίμηη της g όταν α ιχύει η χέη, και επιπλέον, MT Σ T, MT Σ T,, Θ MT Σ T, 0 < MT Σ T, 0, για κάποιο 0 Θ. Παρατήρηη... Αν ο εκτιμητής T είναι καλύτερος από τον εκτιμητή T ως προς το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα για την g, τότε ο εκτιμητής T λέγεται μη αποδεκτός για την εκτίμηη της παραμετρικής υνάρτηης g. Οριμός..8. Ο εκτιμητής T X ονομάζεται βέλτιτος εκτιμητής της g ως προς το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα αν είναι καλύτερος ε ύγκριη με οποιονδήποτε άλλον εκτιμητή της παραμετρικής υνάρτηης g. Πρόταη... Ετω X, X,..., X n τυχαίο δείγμα από μια κατανομή με υνάρτηη πυκνότητας πιανότητας f x; με Θ και g = µ, η μέη τιμή της n κατανομής, τότε ο δειγματικός μέος X = n X i αποτελεί αμερόληπτο εκτιμητή της μέης τιμής μ. Πρόταη..3. Ετω X, X,..., X n τυχαίο δείγμα από μια κατανομή με υνάρτηη πυκνότητας πιανότητας f x; με Θ και g =, η διαπορά της n κατανομής τότε ο δειγματική διαπορά S = n Xi X αποτελεί αμερόληπτο εκτιμητή της διαποράς. i= i=. Συνάρτηη Ζημίας Loss Function- Συνάρτηη Κινδύνου Risk Function Γενικά η εκτίμηη της παραμετρικής παράταης g από μια τιμή d μετριέται από την υνάρτηη ζημίας Loss Function L d, για την οποία ιχύουν, L d, 0, για όλα τα, d και L [g, ] = 0, για όλα τα

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 0 έτι ώτε η ζημιά να είναι μηδέν, όταν η παράμετρος εκτιμάται από τη ωτή τιμή. Οριμός... Η ακρίβεια ή η μη ακρίβεια ενός εκτιμητή δ, μετριέται από την υνάρτηη κινδύνου Risk Function που ορίζεται ως R δ, = E { L [δx, ]} Το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα είναι μια υνάρτηη κινδύνου. Συνεπώς μπορούμε να επαναδιατυπώουμε τους παραπάνω οριμούς, αντικαιτώντας το Μέο Τετραγωνικό Σφάλμα με οποιαδήποτε υνάρτηη κινδύνου Rick Function R δ,. Παρατήρηη... Υπάρχουν διάφορες υναρτήεις ζημίας Loss Function, οι οποίες μπορούν να χρηιμοποιηούν ανάλογα με το περιεχόμενο κάε προβλήματος. Οριμένες απο αυτές είναι οι παρακάτω: Τετραγωνική υνάρτηη ζημίας squared error loss L d, = d Συνάρτηη ζημίας απολύτου φάλματος Absolute error loss L d, = d Συνάρτηη ζημίας LINEX LINear EXponential L d, = be αd αd όπου α 0, b > 0 ταερές..3 Αύμμετρη υνάρτηη ζημίας LINEX Σε οριμένα προβλήματα εκτιμητικής η χρήη υμμετρικής υνάρτηης ζημίας μπορεί να είναι ακατάλληλη. Υπερεκτίμηη της παραμέτρου μπορεί να οδηγήει ε περιότερο ή λιγότερο οβαρές υνέπειες από την υποεκτίμηη ή το αντίτροφο. Ο Varian 975 ειήγαγε μια πολύ χρήιμη αύμμετρη υνάρτηη ζημίας, την LINEX LINear EXponential. Πρόκειται για μια κυρτή υνάρτηη η οποία αυξάνεται περίπου εκετικά από την μία πλευρά του μηδενός και περίπου γραμμικά από την άλλη. Ετω = d είναι το φάλμα εκτίμηης, όπου d ο εκτιμητής του. Τότε η υνάρτηη ζημίας LINEX ορίζεται ως εξής:

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ L = be α α όπου α 0, b > 0 Η παράμετρος α είναι αυτή που καορίζει το χήμα της υνάρτηης. Για α= η υνάρτηη είναι αρκετά αύμμετρη με την υπερεκτίμηη να είναι πιο δαπανηρή απο την υποεκτίμηη. Από την άλλη για α=- η υνάρτηη παραμένει έντονα αύμμετρη με την διαφοροποίηη ότι η υποεκτίμηη είναι πιο δαπανηρή από την υπερεκτίμηη. Οταν α < 0 και < 0 η υνάρτηη, αυξάνεται χεδόν εκετικά ενώ αν > 0 αυξάνεται χεδόν γραμμικά. Στην περίπτωη που α λαμβάνει πολύ μικρές τιμές η υνάρτηη ζημίας είναι χεδόν υμμετρική και δεν διαφέρει πολύ από την τετραγωνική υνάρτηη ζημίας. Ωτόο όταν η παράμετρος α λαμβάνει αξιόλογες τιμές, η βέλτιτη ημειακή εκτίμηη α διαφέρει αρκετά από την εκτίμηη που α λάβουμε με την χρήη υνάρτηης ζημίας του τετραγωνικού φάλματος..4 ΑΟΕΔ Εκτιμητές Εξαιτίας της δυκολίας προδιοριμού του βέλτιτου εκτιμητή την κλάη όλων των εκτιμητών, περιοριζόματε αρχικά, ε αυτή των αμερόληπτων εκτιμητών. Οριμός.4.. Η τατιτική υνάρτηη T X α καλείται Αμερόληπτος Εκτιμητής Ελάχιτης Διαποράς ΑΟΕΔ για την g εάν, Α. T X είναι αμερόληπτος, δηλαδή E Θ T X = g, Θ Β. V ar Θ T X V ar Θ T, Θ και κάε άλλο αμερόληπτο εκτιμητή του g Από τον παραπάνω οριμό, γίνεται αντιληπτό ότι ο προδιοριμός ΑΟΕΔ εκτιμητών έγκειται το να ελαττώουμε όον το δυνατόν τη διαπορά μίας τατιτικής υνάρτηης ε χέη με την προς εκτίμηη ποότητα, δηλαδή είναι επιυμητό να βρούμε ένα κάτω φράγμα για τη διαπορά των αμερόληπτων εκτιμητών αυτής της ποότητας. Αυτό το κάτω φράγμα μας προφέρει το Θεώρημα Cramer-Rao το οποίο ιχύει όταν επαληεύονται οι παρακάτω υνήκες,

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ Ι. Ο παραμετρικός χώρος Θ είναι ανοικτό υπούνολο του R Ι. Το υνόλο S = {x ; f X x ; ϑ > 0} δεν εξαρτάται από το. Ι3. R n ϑ f Xx; dx = ϑ fx; dx R n Ι4. T x R n ϑ f Xx; dx = ϑ T xfx; dx, Θ, T x R n Ι5. Αν I = E lnf X x ; τότε 0 < I <, Θ Η ποότητα I ονομάζεται αριμός ή μέτρο πληροφορίας Fisher. Θεώρημα.4.. Θεώρημα Cramer-Rao Ετω ένα δείγμα X, X,..., X n με από κοινού υνάρτηη πυκνότητας πιανότητας f X x ; για κάε Θ. Εάν T X τατιτική υνάρτηη με E T X = g και ιχύουν οι παραπάνω υνήκες I I5 τότε η διαπορά του εκτιμητή α παρουιάζει το ακόλουο κάτω φράγμα, V art X g, Θ. I Το κάτω φράγμα για την διαπορά των αμερόληπτων εκτιμητών του g ονομάζεται Cramer-Rao Κάτω Φράγμα C.R.-Κ.Φ., ενώ για τον υπολογιμό του αριμού πληροφορίας Fisher χρηιμοποιούμε υνήως κάποιες βοηητικές ιδιότητες, Α. I = E lnf X x ;. Β. Αν το δείγμα X, X,..., X n αποτελείται από n ανεξάρτητες και τυχαίες μεταβλητές όπου η κάε μία από τις X i ακολουεί μια κατανομή με πυκνότητα πιανότητας f Xi x i ; με i =,,..., n τότε όπου I i = E lnf Xi x i ; I = n I i i= Γ. Αν το δείγμα X, X,..., X n είναι τυχαίο και με I I υμβολίω τον αριμό πληροφορίας του Fisher για κάε μια από αυτές τότε, I = n I I Η δυκολία του Θεωρήματος Cramer-Rao έγκειται την επαλήευη των υνηκών

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 3 Ι-Ι5, η οποία άρεται όταν η οικογένεια του τυχαίου διανύματος X, ανήκει την Μονοπαραμετρική Εκετική Οικογένεια Κατανομών ΜΕΟΚ. Οριμός.4.. Η οικογένεια κατανομών {f X x;, Θ} ανήκει τη Μονοπαραμετρική Εκετική Οικογένεια Κατανομών ΜΕΟΚ αν:. Το ύνολο S = {x; f X x; > 0} δεν εξαρτάται απο το Θ..f X x; = e A+Bx+cDx x S, Θ Θεώρημα.4.. Αν το δείγμα X = X, X,..., X n έχει κατανομή με πυκνότητα πιανότητας f X x; η οποία ανήκει την ΜΕΟΚ και η c που εμφανίζεται τον τύπο της f X x; έχει υνεχή και μη μηδενική παράγωγο Θ, τότε οι υνήκες Ι, Ι3 και Ι4 του Θεωρήματος Cramer-Rao ιχύουν και η Ι4 ιχύει για κάε τατιτική υνάρτηη T = T X. Η παρακάτω πρόταη δίνει ένα τρόπο εύρεης του ΑΟΕΔ εκτιμητή, για μια παραμετρική υνάρτηη g και γραμμικούς υνδυαμούς αυτής. Πρόταη.4.. Αν το δείγμα X = X, X,..., X n έχει κατανομή με πυκνότητα πιανότητας f X x η οποία ανήκει την ΜΕΟΚ f X x; = e A+Bx+cDx και ιχύουν: α Το ύνολο Θ είναι ανοιχτό υπούνολο του R β Το c έχει υνεχή και μη μηδενική παράγωγο Θ γ 0 < I < Τότε:. Η τατιτική υνάρτηη DX είναι ΑΟΕΔ εκτιμητής της g = E DX. Η τατιτική υνάρτηη c DX + c, με c, c ταερές και c 0 είναι Α- ΟΕΔ εκτιμητής της c g + c Ιχύει επίης η παρακάτω πρόταη:

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 4 Πρόταη.4.. Ετω ότι ιχύουν οι υνήκες Ι, Ι, Ι3 και Ι5 του Θεωρήματος Cramer-Rao και η Ι4 ιχύει για κάποια τατιτική υνάρτηη T X, αμερόληπτο εκτιμητή του g. Ετω ακόμα, η g να μην είναι ταερά αν υνάρτηη του και η T X επιτυγχάνει το C-R.- Κ.Φ., δηλαδή V ar T X = g, Θ I τότε, f X x; = e A+Bx+cT x x S, Θ, δηλαδή η κατανομή του δείγματος X ανήκει την ΜΕΟΚ. Παρατήρηη.4.. Οι Προτάεις.4. και.4.. υνεπάγονται το γεγονός ότι η εύρεη του εκτιμητή για κάποια παραμετρική υνάρτηη g είναι δυνατή με τη χρήη του Θεωρήματος Cramer-Rao αν και μόνο αν η κατανομή του δείγματος X = X, X,..., X n ανήκει τη ΜΕΟΚ και η g έχει μια υγκεκριμένη μορφή g = E DX ή κάποιος γραμμικός μεταχηματιμός της E DX Απο την παραπάνω παρατήρηη γίνεται αντιληπτό ότι η μέοδος εύρεης ΑΟΕΔ εκτιμητή με την χρήη του Θεωρήματος Cramer-Rao μας περιορίζει τόο ως προς την οικογένεια του δείγματος, όο και ως προς την μορφή των παραμετρικών υναρτήεων για τις οποίες βρίκουμε ΑΟΕΔ εκτιμητές, υνεπώς απαιτείται μια μέοδος διαφορετική απο την προηγούμενη η οποία να μην παρουιάζει τέτοιου είδους προβλήματα. Αρχικά ειάγουμε τις έννοιες της επάρκειας και της πληρότητας προς αυτή την κατεύυνη..5 Επάρκεια Οριμός.5.. Ετω το δείγμα X = X, X,..., X n έχει κατανομή με πυκνότητα πιανότητας f X x;, Θ, τότε η τατιτική υνάρτηη T = T X α καλείται επαρκής αν η δεμευμένη κατανομή του X δοέντος ότι T = t δεν εξαρτάται από το, για κάε δυνατή τιμή t του T για την οποία μπορεί να οριτεί η δεμευμένη κατανομή.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 5 Ενας τρόπος εύρεης μιας επαρκούς τατιτικής υνάρτηης, εκτός του οριμού, δίνεται από την παρακάτω πρόταη, η οποία αναφέρεται και ως παραγοντικό κριτήριο των Neyman-Fisher. Θεώρημα.5.. Παραγοντικό Κριτήριο Neyman-Fisher. Η τατιτική υνάρτηη T = T X είναι επαρκής αν και μόνο αν f X x ; = qt X ; hx x και Θ όπου q και h είναι υναρτήεις. Παρατήρηη.5.. Ιχύουν οι παρακάτω ιδιότητες για τις επαρκείς τατιτικές υναρτήεις: Το δείγμα X = X, X,..., X n είναι τετριμμένα επαρκής τατιτική υνάρτηη. Η τατιτική υνάρτηη T X = X, X,..., X n, είναι επαρκής, όπου X i, i =,,..., n είναι οι διατεταγμένες παρατηρήεις. 3 Ετω T = T X έιναι επαρκής τατιτική υνάρτηη και T = KT X, όπου K. είναι υνάρτηη, τότε η T X έιναι επαρκής. Συνήως όταν μιλάμε για επαρκή τατιτική υνάρτηη αναφερόματε την ελάχιτη επαρκή. Οριμός.5.. Ελάχιτη επαρκής τατιτική υνάρτηη είναι μια επαρκής τατιτική υνάρτηη, η οποία προέρχεται από την μεγαλύτερη δυνατή ύμπτηξη δηλαδή έχει την μικρότερη δυνατή διάταη. Παρατήρηη.5.. Σχεδόν πάντα, η διάταη της παραμετρικής υνάρτηης g υμπίπτει με την διάταη της ελάχιτης επαρκούς τατιτικής υνάρτηης. Θεώρημα.5.. Rao-Blackwell Ετω T = T X μια επαρκής τατιτική υνάρτηη και S = SX είναι εκτιμητής της παραμετρικής υνάρτηης g. Θέτουμε S = E S T. Τότε Η S είναι τατιτική υνάρτηη.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 6 E S = E S, Θ, έτι αν S είναι αμερόληπτος εκτιμητής για την g, τότε S είναι αμερόληπτος εκτιμητής για την g 3 V ar S V ar S, Θ και ιχύει αυτηρή ανιότητα, εκτός αν S είναι υνάρτηη της τατιτικής υνάρτηης T, οπότε S = S 4 MT ΣS, MT ΣS,, Θ και ιχύει αυτηρή ανιότητα, εκτός αν S είναι υνάρτηη της τατιτικής υνάρτηης T, οπότε S = S Επομένως, αν S είναι ένας εκτιμητής της g ο οποίος δεν είναι υνάρτηη της ε- παρκούς τατιτικής υνάρτηης T, τότε ο S είναι μη αποδεκτός και βελτιώνεται από τον S = E S T που ονομάζεται βελτίωη του S κατα Rao-Blackwell ή Rao- Blackwell βελτίωη του S. Παρατήρηη.5.3. Ετω T, T είναι επαρκείς τατιτικές υναρτήεις και S είναι αμερόληπτος εκτιμητής της g. Τότε S = E S T είναι η Rao-Blackwell βελτίωη του S μέω της T και S = E S T είναι η Rao-Blackwell βελτίωη του S μέω της T. Ομως μέω του Θεωρήματος.4.. δεν μπορούμε να υγκρίνουμε αυτές τις δύο βελτιώεις. Η έννοια της πληρότητας α βοηήει ε αυτή την ύγκριη..6 Πληρότητα Οριμός.6.. Η τατιτική υνάρτηη T = T X α καλείται πλήρης αν για κάε Θ ιχύει η ακόλουη χέη, E φt = 0 φt = 0 για κάε δυνατή τιμή t της T δηλαδή φt = 0 Θεώρημα.6.. Lehmann-Scheffe Ετω T = T X είναι επαρκής και πλήρης τατιτική υνάρτηη και S είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του g. Τότε S = E S T είναι μοναδικός ΑΟΕΔ εκτιμητής της g.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 7 Άρα με την βοήεια του Θεωρήματος Lehmann-Scheffe μπορούμε να βρούμε ΑΟΕΔ εκτιμητή με την χρήη επαρκούς και πλήρους τατιτικής υνάρτηης, και μάλιτα αν υπάρχει αυτός ο ΑΟΕΔ εκτιμητής, είναι μοναδικός. Πόριμα.6.. Lehmann-Scheffe Ετω T = T X είναι επαρκής και πλήρης τατιτική υνάρτηη και S είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της g, ο οποίος είναι υνάρτηη της επαρκούς και πλήρους T. Τότε S είναι ο μοναδικός ΑΟΕΔ εκτιμητής της g. Οπως καταλαβαίνουμε, ε αυτή την μεοδολογία είναι ημαντική η εύρεη μιας ε- παρκούς και πλήρους τατιτικής υνάρτηης και μέω του οριμού δεν είναι πάντα εύκολο, αλλά αν η κατανομή του δείγματος X ανήκει την Πολυπαραμετρική Εκετική Οικογένεια Κατανομών ΠΕΟΚ τα πράγματα απλοποιούνται. Οριμός.6.. Η οικογένεια κατανομών {f X x;, Θ} ανήκει τη Πολυπαραμετρική Εκετική Οικογένεια Κατανομών ΠΕΟΚ διάταης k αν:. Το ύνολο S = {x; f X x; > 0} δεν εξαρτάται απο το.. f X x ; = e A+Bx + k j= c jd j x x S, Θ. Παρατήρηη.6.. Η ΠΕΟΚ διάταης υμπίπτει με την ΜΕΟΚ. Πρόταη.6.. Ετω ότι το δείγμα X = X, X,..., X n έχει κατανομή η οποία ανήκει την ΠΕΟΚ διάταης k, τότε ιχύουν τα εξής:. Η τατιτική υνάρτηη T X = D X, D X,..., D k X είναι επαρκής.. Αν το πεδίο τιμών του διανύματος c, c,..., c k περιέχει ανοιχτό υπούνολο του R k, τότε T X είναι πλήρης. Το παρακάτω εώρημα, γνωτό και ως Θεώρημα Basu, πιτοποιεί και άλλη μια χρήη της επάρκειας και της πληρότητας, αυτής της απόδειξης ανεξαρτηίας μεταξύ τατιτικών υναρτήεων δηλαδή τυχαίων μεταβλητών. Θεώρημα.6.. Basu Ετω T X επαρκής και πλήρης τατιτική υνάρτηη

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 8 και SX είναι μια άλλη τατιτική υνάρτηη, η κατανομή της οποίας δεν εξαρτάται απο το, τότε οι τατιτικές υναρτήεις T X και SX είναι ανεξάρτητες..7 Συνέπεια Οριμός.7.. Ετω T n = T X, X,..., X n, n =,,... ένας εκτιμητής της παραμετρικής υνάρτηης g. Τότε ο εκτιμητής T n ονομάζεται υνεπής αν: lim P T n g > ε = 0, ε > 0. n Η παρακάτω πρόταη δίνει ικανές υνήκες έτι ώτε ένας εκτιμητής για την g να είναι υνεπής. Πρόταη.7.. Ετω ότι ο εκτιμητής T n ικανοποιεί τις παρακάτω υνήκες:. V ar T n 0, n. bt n, = E T n g 0, n Τότε ο T n είναι υνεπής εκτιμητής της παραμετρικής υνάρτηης g..8 Εκτίμηη με την μέοδο Μέγιτης Πιανοφάνειας Οριμός.8.. Θεωρούμε το δείγμα X = X, X,..., X n με υνάρτηη πυκνότητας πιανότητας f X x; τότε η υνάρτηη πιανοφάνειας ή απλά πιανοφάνεια του ορίζεται από τη χέη, L = L x = f x x; Οριμός.8.. Ο εκτιμητής = x που ικανοποιεί τη χέη, L = sup Θ L ονομάζεται Εκτιμητής Μεγίτης Πιανοφάνειας Ε.Μ.Π. του.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 9 Παρατήρηη.8.. Από τον παραπάνω οριμό φαίνεται ότι ο ΕΜΠ του είναι εκείνη η τιμή του η οποία μεγιτοποιεί τη υνάρτηη πιανοφάνειας. Επειδή η υνάρτηη ln x είναι γνηίως αύξουα υνάρτηη του x, η τιμή του που μεγιτοποιεί την L είναι η ίδια με αυτήν που μεγιτοποιεί την lnl. Συνήως ακολουούμε αυτήν την διαδικαία όταν το μέγιτο μπορεί να βρεεί με παραγώγιη. Παρατήρηη.8... Η μέοδος Μέγιτης Πιανοφάνειας ιχύει και για το διάνυμα =,,..., k. Είναι δυνατόν ο εκτιμητής να μην μπορεί να βρεεί ε αναλυτική μορφή, τότε η τιμή του για την οποία επιτυγχάνεται η μεγιτοποίηη της L βρίκεται με μεόδους αριμητικής ανάλυης. 3. Οριμένες φορές υπάρχουν παολογικές κατατάεις με την έννοια ότι είτε δεν υπάρχει τιμή του η οποία να μεγιτοποιεί τη υνάρτηη πιανοφάνειας, είτε υπάρχουν περιότερα μέγιτα για την L και υνεπώς περιότεροι του ενός Ε.Μ.Π. Παρατήρηη.8.3. Σε αυτό το ημείο α αναφέρουμε οριμένες ιδιότητες των Ε.Μ.Π.. Από τον οριμό.7.. προκύπτει ότι ο Ε.Μ.Π. αν υπάρχει παίρνει τιμές μέα τον παραμετρικό χώρο Θ.. Αν ο Ε.Μ.Π. του είναι μοναδικός, τότε είναι υνάρτηη της επαρκούς τατιτικής υνάρτηης. 3. Αν = X είναι Ε.Μ.Π. του, τότε ο Ε.Μ.Π. της παραμετρικής υνάρτηης g είναι ο g 4. Οι Ε.Μ.Π. είναι υπό οριμένες υνήκες υνεπείς εκτιμητές. Παρατήρηη.8.4. Οι Ε.Μ.Π. έχουν υπο οριμένες υνήκες κάποιες αυμπτωτικές ιδιότητες. Αν X, X,...X n ένα τυχαίο δείγμα απο κατανομή με πυκνότητα πιανότητας f x; και υμβολίζουμε με τον Ε.Μ.Π. του, τότε. Η κατανομή του είναι κατά προέγγιη n κανονική κατανομή, δηλαδή

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 0 N, I όπου I ο αριμός πληροφορίας του Fisher.. Ο είναι αυμπτωτικά αποτελεματικός εκτιμητής, αν κάποιος άλλος εκτιμητής του, έτω s n, έχει κατά προέγγιη κανονική κατανομή N,, τότε I. Οι παραπάνω ιδιότητες των Ε.Μ.Π. υνεπάγονται ότι είναι αυμπτωτικά ΑΟΕΔ για το, δηλαδή αν υπάρχουν ΑΟΕΔ και Ε.Μ.Π. για κάποια g, τότε αυτοί δεν διαφέρουν αυμπτωτικά..9 Εκτιμητές Bayes Η εκτίμηη κατά Bayes γίνεται από μια διαφορετική κοπιά ε χέη με το τι έχουμε αντιμετωπίει μέχρι τώρα, που αντιλαμβανόματαν το απλά αν ένα πραγματικό αριμό χωρίς καμία ιδιότητα. Αν π.χ. εωρήουμε μια βιομηχανία η οποία παράγει ηλεκτρικούς λαμπτήρες, τότε ο χρόνος αυτών των λαμπτήρων ακολουεί εκετική κατανομή με άγνωτη παράμετρο που εκφράζει τον μέο χρόνο ζωής των λαμπτήρων. Επομένως, δεν πρέπει να αναμένουμε μεγάλες τιμές για το αλλά ούτε και μικρές. Δηλαδή ε χέη με το πρόβλημα και την εμπειρία που διαέτουμε πρέπει να δώουμε διαφορετική βαρύτητα τις διάφορες τιμές του για να εκμεταλλευτούμε αυτή την εμπειρία ώτε να δώουμε καλύτερη εκτίμηη για το. Οπότε εωρούμε το αν μια τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα πιανότητας π, Θ και τις εξής ιδιότητες iπ 0, Θ και ii πd = ή π =. Θ Η υνάρτηη π ονομάζεται εκ των προτέρων κατανομή του και εκφράζει είτε την προωπική μας αντίληψη για την πιανή τιμή του είτε υνοψίζει κάποιες εκ των προτέρων δηλαδή πριν την υλλογή των δεδομένων πληροφορίες για το.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ Θεωρούμε μια υνάρτηη ζημίας Lt, και προπαούμε να ελαχιτοποιήουμε την υνάρτηη κινδύνου RT, = E LT X,. Επειδή έχουμε εωρήει ότι το είναι μια τυχαία μεταβλητή, προφανώς, η υνάρτηη κινδύνου είναι και αυτή μια τυχαία μεταβλητή, επομένως είναι λογικό ε αυτή την περίπτωη, να προπαούμε να ελαχιτοποιήουμε την μέη τιμή της, δηλαδή BRT = ERT, = RT, πd Θ η οποία ονομάζεται κίνδυνος Bayes του εκτιμητή T. Συνεπώς, βέλτιτος εκτιμητής είναι αυτός που ελαχιτοποιεί τον κίνδυνο Bayes, οπότε καταλήγουμε τον εξής οριμό για τον εκτιμητή Bayes. Οριμός.9.. Ο εκτιμητής T = T x ονομάζεται εκτιμητής Bayes του g, ως προς την υνάρτηη ζημίας Lt, και την εκ των προτέρων κατανομη π, αν RT, πd Θ RT, πd Θ για κάε εκτιμητή T = T X. Συνήως, για να υπολογίουμε αυτό τον εκτιμητή Bayes πρέπει να βρούμε πρώτα την εκ των υτέρων κατανομή του π x = fx ; π fx όπου fx = Θ fx ; πd. Η εκ των υτέρων κατανομή υνοψίζει την πληροφορία για το μετά την υλλογή των δεδομένων και έχει τις ιδιότητες της υνάρτηης πυκνότητας πιανότητας. Παρατήρηη.9.. Είναι ημαντικό να τονίουμε ε αυτό το ημείο ότι δεν μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα η ακριβής υνάρτηη π x, αλλά η μορφή της εκ των υτέρων κατανομής, για την οποία διαπιτώνουμε, υνήως, ότι ακολουεί κάποια απο τις γνωτές κατανομές.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ Στο επόμενο εώρημα δίνεται ένας διαφορετικός τρόπος υπολογιμού του εκτιμητή Bayes. Θεώρημα.9.. Για X = x ο εκτιμητής Bayes T = T X της παραμετρικής υνάρτηης g ως προς την υνάρτηη ζημίας Lt, και την εκ των προτέρων κατανομή π έχει τιμή T x = t, όπου t είναι η τιμή του t που ελαχιτοποιεί την υνάρτηη h t = Lt, π xd. Θ Αν επιπλέον, η υνάρτηη ζημίας είναι το τετραγωνικό φάλμα, δηλαδή Lt, = t g τότε η εύρεη του εκτιμητή Bayes, γίνεται πιο απλά όπως φαίνεται το παρακάτω Θεώρημα. Θεώρημα.9.. Ετω ότι η υνάρτηη ζημίας για την εκτίμηη του g είναι το τετραγωνικό φάλμα Lt, = t g. Τότε για X = x ο εκτιμητής Bayes T = T X της παραμετρικής υνάρτηης g έχει τιμή T x = E gy, όπου Υ είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή την εκ των υτέρων π x. Θεώρημα.9.3. Ετω ότι η υνάρτηη ζημίας για την εκτίμηη του g είναι η υνάρτηη ζημίας LINEX Lt, = b{e αt g αt g }.Τότε για X = x ο εκτιμητής Bayes T = T X της παραμετρικής υνάρτηης g έχει τιμή T x = α ln Ee αgy, όπου Υ είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή την εκ των υτέρων π x. Απόδειξη. Η τιμή t του Bayes ελαχιτοποιεί την ht, όπου ht = Lt, π xd = e αt g αt g π xd h t = 0 t = α ln e αg π x d = α ln Ee αgy όπου Υ είναι μια τυχαία μεταβλητή με κατανομή την εκ των υτέρων π x. Οριμός.9.. Ετω ένα τυχαίο δείγμα X, X,..., X n N, με Θ =, +. Αν π = c δηλαδή δίνω ίη πιανότητα για όλες τις τιμές του να υμβούν, τότε

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 3 + πd = + cd = + Η π ονομάζεται improper prior και έχει τις ακόλουες ιδιότητες iπ 0, Θ και ii πd = + ή π = + Θ Οι εκτιμητές Bayes που βαίζονται τις improper priors ή non-informative priors ονομάζονται γενικευμένοι εκτιμητές Bayes.0 Αναλλοίωτο Πρόβλημα Εκτίμηης Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή X η οποία παίρνει τιμές ε ένα δειγματικό χώρο X, ύμφωνα με μια πυκνότητα πιανότητας απο την οικογένεια κατανομών P = {P, Θ}. Ορίζουμε αν E μια κλάη - μεταχηματιμών g : X X. Οριμός.0.. i Ετω g : X X είναι - μεταχηματιμός. Αν επίης για κάε Θ, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής X = gx είναι μέλος της κλάης P, έτω P, όπου Θ, τότε η οικογένεια κατανομών της χέης. ονομάζεται αναλλοίωτη ως προς τον μεταχηματιμο g. ii Αν η i ιχύει για κάε μέλος της κλάης των μεταχηματιμών E, τότε η οικογένεια κατανομών P είναι αναλλοίωτη ως προς την E. Παρατήρηη.0.. Μια κλάη μεταχηματιμών, η οποία αφήνει μια οικογένεια κατανομών αναλλοίωτη μπορεί πάντα να εωρηεί ότι είναι μια ομάδα G = GE η οποία γεννιέται απο την κλάη E. Ετω {gx, g G} είναι μια ομάδα μεταχηματιμών του δειγματικού χώρου, η οποία αφήνει την οικογένεια κατανομών αναλλλοίωτη. Αν η τ.μ. gx έχει κατανομή P,

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 4 τότε = ḡ είναι μια υνάρτηη ḡ : Θ Θ και ο μεταχηματιμός ḡ είναι -, δεδομένου ότι οι κατανομές P, Θ είναι διαφορετικές. Επιπλέον οι μεταχηματιμοί ḡ δημιουργούν μια ομάδα μεταχηματιμών, η οποία α αναφέρεται ως τον οριμό της ḡ, έπεται ότι: Ḡ. Απο P gx A = Pḡ gx A. Θεωρούμε το γενικό πρόβλημα εκτίμηης μιας παραμετρικής υνάρτηης τ την οικογένεια κατανομών., η οποία εωρείται αναλλοίωτη ως προς τους μεταχηματιμούς X = gx, = ḡ, g G Μια επιπλέον υνήκη που απαιτείται είναι ότι για κάε ḡ, η τḡ εξαρτάται απο το Θ, μόνο μέω της τ, δηλαδή ιχύει ότι τ = τ τḡ = τḡ..3 Η κοινή τιμή του τḡ, για όλα τα για τα οποία η τ. παίρνει την ίδια τιμή α ορίζεται απο την χέη gτ = τḡ..4 Αν H είναι το ύνολο των τιμών της τ, Θ, οι μεταχηματιμοί g : H H δημιουργούν μια ομάδα μεταχηματιμών G. Η εκτιμώμενη τιμή d της τ, όταν εκφρατεί τις καινούργιες υντεταγμένες γίνεται d = gd..5 Αφού τα προβλήματα εκτίμηης είτε της τ ε χέη με την τριάδα X,, d είτε της τ ε χέη με την τριάδα X,, d αναπαριτά την ίδια φυική κατάταη

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΘΕΩΡ ΗΜΑΤΑ 5 εκφραμένη ε καινούργιο ύτημα υντεταγμένων, η υνάρτηη ζημίας α πρέπει να ικανοποιεί την χέη Ld, = Ld,. Οριμός.0.. Αν η οικογένεια κατανομών. είναι αναλλοίωτη ως προς την g, η υνάρτηη ζημίας L.,. ικανοποιεί την χέη L gd, ḡ = Ld,.6 και η τ ικανοποιεί την χέη.3, τότε το πρόβλημα εκτίμηης της τ με υνάρτηη ζημίας L.,. είναι αναλλοίωτο ως προς την g. Οριμός.0.3. Σε ένα αναλλοίωτο πρόβλημα εκτίμηης ένας εκτιμητής δx ονομάζεται αναλλοίωτος equivariant αν δgx = gδx, g G. Εκτιμητές Pitman Οριμός... Pitman937 Ετω τυχαίο δείγμα X = X, X,..., X n, με πυκνότητα πιανότητας fx, x,..., x n, όπου είναι η πρός εκτίμηη παράμετρος, και υνάρτηη ζημίας L α. Το πρόβλημα εκτίμηης της παραμέτρου είναι αναλλοίωτο με τις παρακάτω ομάδες μεταχηχατιμών, G = {g c : g c x = x + c,..., x n + c, c R } Ḡ = {g c : g c = + c, c R } G = {g c : g c α = α + c, c R } Ο καλύτερος αναλλοίωτος εκτιμητής δx, είναι αυτός που ελαχιτοποιεί την ποότητα, και ονομάζεται εκτιμητής Pitman. Lδx fx,..., x n d fx,..., x n d

Κεφάλαιο Εκτίμηη των παραμέτρων έεως δύο κανονικών πληυμών με κοινή γνωτή διαπορά Σε αυτό το κεφάλαιο α αναφέρουμε αποτελέματα που αφορούν την εκτίμηη των παραμέτρων έεως όταν έχουμε δύο τυχαία δείγματα, τα οποία προέρχονται από κανονικές κατανομές, με κοινή γνωτή διαπορά.. Επάρκεια και Πληρότητα Ετω X i, X i,..., X in, i =,, ζεύγος ανεξάρτητων, τυχαίων δειγμάτων από κανονικούς πληυμούς με άγνωτη μέη τιμή i και κοινή γνωτή διαπορά τ. Ετω X i. ο δειγματικός μέος τον i οτό πληυμό,i =,. Πρόταη... Η τατιτική υνάρτηη X., X. είναι επαρκής και πλήρης. 6

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 7 Απόδειξη. Ετω X = X, X,..., X n και X = X, X,..., X n ανεξάρτητα δείγματα. fx, X = n n fx i ; fx j ; i= j= = π n τ n e n τ i= x i π n τ n e n τ j= x j = π n τ n e τ n i= x i + n j= x j n ln π n ln τ = e n τ i= x i + n j= x j+ nx. +nx. τ + τ Η fx, X ανήκει την Π.Ε.Ο.Κ διάταης. Η ποότητα T X = X., X. είναι επαρκής τατιτική υνάρτηη και επειδή το πεδίο τιμών της n, n τ τ περιέχει ανοικτό υπούνολο του R, είναι και πλήρης. Παρατήρηη... Είναι εύκολο να αποδειχτεί ότι X. N, και X. N,, όπου = τ n.. ΑΟΕΔ Εκτιμητές Στην ενότητα αυτή, υπολογίζουμε τους ΑΟΕΔ εκτιμητές των αγνώτων παραμέτρων, και, όταν η κοινή διαπορά είναι γνωτή. Πρόταη... Η τατιτική υνάρτηη X i. είναι ΑΟΕΔ εκτιμητής για την ά- γνωτη παράμετρο i, i =,. Απόδειξη. Λόγω της Παρατήρηης.., EX i. = i, i =,. Στην Πρόταη.. δείξαμε ότι η τατιτική υνάρτηη X., X. είναι επαρκής και πλήρης, επομένως, εφαρμόζοντας το Πόριμα των Lehmann Schef f eπόριμα.6., προκύπτει ότι X i. είναι ο μοναδικός ΑΟΕΔ της παραμέτρου i, i =,.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 8 Πρόταη... Η τατιτική υνάρτηη X = X. X. είναι ΑΟΕΔ εκτιμητής της παραμέτρου =. Απόδειξη. Από την Πρόταη.. προκύπτει ότι, EX. X. =. Στην Πρόταη.. δείξαμε ότι η τατιτική υνάρτηη X., X. είναι επαρκής και πλήρης, οπότε εφαρμόζοντας το Πόριμα των Lehmann Schef f eπόριμα.6. προκύπτει ότι η τατιτική υνάρτηη X = X. X. είναι ο μοναδικός ΑΟΕΔ εκτιμητής της παραμέτρου =..3 Εκτιμητές Μεγίτης Πιανοφάνειας Σε αυτή την ενότητα, υπολογίζουμε τους ΕΜΠ των αγνώτων παραμέτρων,, καώς και υναρτήεων αυτών των παραμέτρων. Πρόταη.3.. Η τατιτική υνάρτηη X i. είναι ΕΜΠ της παραμέτρου i, i =,. Απόδειξη. Λόγω της Παρατήρηης.., εωρούμε ως υνάρτηη πιανοφάνειας, L i = π τ n e n τ X i., i =,. Χρηιμοποιώντας την Παρατήρηη.8. διαπιτώνουμε ότι, ln L i = lnπ τ ln n Xi n τ. i i ln L i = X i. i ˆi = X i. Ενώ, i ln L i = < 0. Δηλαδή ˆ i είναι ο ΕΜΠ του i, i =,. Πρόταη.3.. Η τατιτική υνάρτηη X = X. X. είναι ΕΜΠ της παραμέτρου =.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 9 Απόδειξη. Από την Πρόταη.3., γνωρίζουμε ότι ο X i. είναι ΕΜΠ της παραμέτρου i, i =,, επομένως, λόγω της Παρατήρηης.8.3, ο ΕΜΠ του α είναι ο ˆ = ˆ ˆ = X. X.. Παρατήρηη.3.. Ο ΕΜΠ του, ˆ = X. X., υμπίπτει με τον ΑΟΕΔ εκτιμητή του = βλ.πρόταη... Οταν διαέτουμε δύο δείγματα από κανονικούς πληυμούς, επιλέγουμε έναν πληυμό και έτω Μ η μέη τιμή του. Η παράμετρος Μ μπορεί να εκφρατεί ως,, αν X. > X. M = I + I όπου =, I = I και I = 0, αν X. X. Πρόταη.3.3. Η τατιτική υνάρτηη X max = max{x., X.} είναι ΕΜΠ της παραμέτρου M = I + I. Απόδειξη. Η παράμετρος Μ μπορεί να γραφεί ως, M = I + I = + I. Επομένως, χρηιμοποιώντας την Πρόταη.3. και την Παρατήρηη.8.3, ο ΕΜΠ του Μ, α είναι η τατιτική υνάρτηη ˆM = ˆ + ˆ ˆ I = X. + X. X.I ή διαφορετικά, X., αν X. > X. ˆM = X., αν X. X. = maxx., X. = X max..4 Εκτιμητές Bayes Σε αυτή την ενότητα, υπολογίζουμε τον εκτιμητή Bayes της μέης τιμής του επιλεγμένου πληυμού, Μ, τις περιπτώεις όπου είτε η υνάρτηη ζημίας είναι το τετραγωνικό φάλμα, είτε η LINEX.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 30 Πρόταη.4.. Ο γενικευμένος εκτιμητής Bayes για το M = I + I με υνάρτηη ζημίας το τετραγωνικό φάλμα και εκ των προτέρων κατανομή π =, R, π =, R είναι δ B = X max = maxx, X Απόδειξη. Αρχικά βρίκουμε την εκ των υτέρων κατανομή των i, i =,. π i x i = fx i ; i π i fx i = fx i π n τ e n = fx i π n τ e n n τ j= x ij i τ { n j= x ij +n[ i ix i.+x i. ] nx i. } = αe n τ [ i x i.] Επομένως, i X i NX i., τ n, i =,. Αφού η υνάρτηη ζημίας είναι το τετραγωνικό φάλμα, χρηιμοποιούμε το Θεώρημα.9., επομένως ο εκτιμητής Bayes του Μ α είναι, δ B = EY I + Y I.. όπου Y NX., τ n και Y NX., τ n. Οπότε η Σχέη. γίνεται, X., αν X. > X. δ B = X.I + X.I = = maxx., X. = X max. X., αν X. X. Παρατήρηη.4.. Ο εκτιμητής Bayes του Μ, δ B, υμπίπτει με τον ΕΜΠ του Μ, ˆM, όπως φαίνεται την Πρόταη.3.3. Πρόταη.4.. Ο γενικευμένος εκτιμητής Bayes του M = I + I ως προς την εκ των προτέρων κατανομή π =, R, π =, R

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 3 και υνάρτηη ζημίας τη Linex είναι ο δ GB = X max ατ n,. όπου X max = max{x., X.} Απόδειξη. Στην Πρόταη.4. υπολογίαμε την εκ των υτέρων κατανομή των i, i =,, δηλαδή i x i NX i., τ..3 n Χρηιμοποιώντας το Θεώρημα.9.3 ο γενικευμένος εκτιμητής Bayes του Μ, είναι Ομως, δ GB = α ln Ee αm.4 Ee αm = Ee α I + I = Ee αi αi = Ee αi Ee αi e X. αi + τ n αi e X. αi + τ n αi = e α[x.i +X.I ]+ α τ n [I +I ] Οπότε, η Σχέη.3 γίνεται, δ GB = X.I + X.I α τ [ I n + I] = Xmax α τ n, αφού I + I =..5 Εκτιμητής Pitman Σε αυτήν την ενότητα υπολογίζουμε τον εκτιμητή Pitman του Μ, όπως αυτός ορίζεται την Ενότητα.. Πρόταη.5.. Ο εκτιμητής Pitman του Μ, δίνεται από τη χέη δ p = X max = max{x., X.} όταν η υνάρτηη ζημίας είναι το τετραγωνικό φάλμα.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 3 Απόδειξη. Από τον Οριμό.. προκύπτει ότι ο εκτιμητής Pitman, δίνεται από τη Σχέη + Mfx ; fx ; d d δ p = + fx ; fx ; d d = = + I + I + n π n τ e n τ j= x j π n τ e n τ n j= x j d d n π n τ e n τ j= x j n π n τ e n τ j= x j d d + I + I π n τ n n e n τ [ X.] π n τ n n e n τ [ X.] d d + π n τ n n e n τ [ X.] π n τ n n e n τ [ X.] d d = I + π n τ n e n n τ [ X.] d + I + π n τ n e n n τ [ X.] d = X.I + X.I = X max. Παρατήρηη.5.. Οταν υνάρτηη ζημίας είναι το τετραγωνικό φάλμα, ο ε- κτιμητής Pitman του Μ, υμπίπτει με το γενικευμένο εκτιμητή Bayes, όταν π =, R και π =, R, όπως αποδεικνύεται την Πρόταη.4.. Πρόταη.5.. Ο εκτιμητής Pitman του Μ, δίνεται από τη χέη, δ p = X max ατ n όταν η υνάρτηη ζημίας είναι η Linex. Απόδειξη. Από τον Οριμό.. προκύπτει ότι ο εκτιμητής Pitman, δίνεται από τη Σχέη + δ p = α ln e αm fx ; fx ; d d + fx ; fx ; d d

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜ ΕΤΡΩΝ Θ ΕΣΕΩΣ Δ ΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚ ΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜ ΩΝ 33 = α ln + e αm + n π n τ e n τ j= x j π n τ e n τ n j= x j d d n π n τ e n τ j= x j n π n τ e n τ j= x j d d + = α ln e α I + I π n τ n n e n τ [ X.] π n τ n n e n τ [ X.] d d + π n τ n n e n τ [ X.] π n τ n n e n τ [ X.] d d + = α ln e α I e α I π n τ n n e n τ [ X.] π n τ n n e n τ [ X.] d d α ln + + π n τ n n e n τ [ X.] π n τ n n e n τ [ X.] d d e α I π n τ n e n n τ [ X.] d + e α I π n τ n e n n τ [ X.] d = ln{a B}, α όπου A = Ee α I, NX., τ Επομένως, n και B = Ee α I, NX., τ n. δ p = α ln e α[x.i +X.I ]+ α τ n I +I = X.I + X.I α τ = X max α τ n, αφού I + I = n I + I Παρατήρηη.5.. Οταν υνάρτηη ζημίας είναι η Linex, ο εκτιμητής Pitman του Μ, υμπίπτει με το γενικευμένο εκτιμητή Bayes, όταν π =, R και π =, R, όπως αποδεικνύεται την Πρόταη.4..

Κεφάλαιο 3 Εκτίμηη της μέης τιμής του επιλεγμένου πληυμού ως προς το τετραγωνικό φάλμα Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουιάζει ήμερα η εκτίμηη της μέης τιμής ενός επιλεγμένου πληυμού με κοπό την αξιολόγηη της επιλογής. Μια εφαρμογή αυτής της μεόδου μπορεί να γίνει για τις ανάγκες πώληης ενός αγροτικού μηχανήματος. Ο υποψήφιος αγορατής επιλέγει το μηχάνημα που α του εξαφαλίει τη μέγιτη οδειά και για αυτό το λόγο χρειάζεται μια εκτίμηη της μέης τιμής της οδείας που α παρέχει κάε μηχάνημα. 3. Εκτίμηη της μέης τιμής Ετω X i, X i,..., X in, i =,, ζεύγος ανεξάρτητων, τυχαίων δειγμάτων από κανονικούς πληυμούς με άγνωτη μέη τιμή i και κοινή γνωτή διαπορά τ. Ετω X i. ο δειγματικός μέος τον i οτό πληυμό,i =,. Σκοπός μας είναι να εκτιμήουμε τη μέη τιμή του πληυμού που έχουμε επιλέξει ως προς το τετραγωνικό φάλμα. Στην παρούα ενότητα, παρουιάζονται οι διαφορετικοί τρόποι εκτίμηης, 34

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 35 όπως δόηκαν την εργαία του Dahiya974, και τους οποίους υγκρίνουμε με κριτήριο τη μεροληψία και το μέο τετραγωνικό φάλμα, όπως φαίνεται το Κεφάλαιο 5. Ετω M η μέη τιμή του επιλεγμένου πληυμού. Δεδομένου ότι η M εξαρτάται από τις τιμές των τυχαίων μεταβλητών X., X., αποτελεί και η ίδια τυχαία μεταβλητή με διακριτή κατανομή και υνάρτηη πιανότητας, P M = i = P X max = X i = P { X i. > X j.; i j } Η παράμετρος Μ μπορεί να εκφρατεί ως, M = I + I, όπου =, I = I, αν X. > X. και I = 0, αν X. X. Για την εκτίμηη του Μ, την εργαία των Putter and Rubinstein968 προτάηκε ο εκτιμητής ˆM λ = X max X λφ 3. όπου λ 0 αυαίρετη ταερά, X = X. X., = V arx i. = τ n και φx είναι η υνάρτηη πιανότητας της τυπικής κανονικής κατανομής που δίνεται από τη χέη, φx = π e x 3. Πρόταη 3... Ο εκτιμητής ˆM λ του Μ, όπως δίνεται την Σχέη 3., υπολογίζεται ως εξής, ˆM λ = X max λ ˆBX max 3.3 όπου Β υμβολίζουμε τη μεροληψία του εκτιμητή. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι ˆBXmax = φ X

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 36 BX max = EX max M = EX max EM 3.4 y y EX max = y f X. y f X. y dy dy + y f X. y f X. y dy dy = A + B y A = y e y e y dy dy π π Χρηιμοποιώντας το μεταχηματιμό x = y, και x = y A = = + x Φ x + φx dx x + x + φx dx + φx dx = Φ x + + x + φx dx Φ φx dx καταλήγουμε ότι x + Λόγω των Προτάεων 6.0. και 6.0., A = φ + Φ 3.5 Επίης, y B = y e y e y dy dy π π Αν κάνουμε το μεταχηματιμό x = y και x = y προκύπτει ότι, B = = + x Φ x + φx dx x x + φx dx + φx dx = Φ x + x + φx dx Φ φx dx x Λόγω των Προτάεων 6.0. και 6.0., B = φ + Φ 3.6

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 37 Άρα από τις Σχέεις 3.5 και 3.6, προκύπτει ότι EX max = + φ + Φ 3.7 Επιπλέον, EM = E + I = E + EI = + EI 3.8 Ομως, EI = P I = + 0P I = 0 = P X. > X. y y = f X. y f X. y dy dy = e y e y dy dy π π Κάνουμε τους μεταχηματιμούς x = y EI = + φx x + φx dx = + και x = y, επομένως, φx Φ Χρηιμοποιώντας την Πρόταη 6.0., προκύπτει ότι EI = Φ x + dx 3.9 Οπότε αντικαιτώντας τη Σχέη 3.9 τη Σχέη 3.8, έχουμε EM = + Φ 3.0 Ακολούως, αντικαιτούμε τις Σχέεις 3.7 και 3.0 τη Σχέη 3.4, οπότε BX max = φ 3. Άρα, η εκτίμηη της μεροληψίας, που δίνεται τη Σχέη 3. είναι, ˆBX max = X φ 3. Παρατήρηη 3... Η κλάη των εκτιμητών, που κατακευάζεται την Πρόταη 3..., έχει ως κοπό τη μείωη της μεροληψίας Bias Reducing, του ΕΜΠ της παραμέτρου Μ, X max,βλ. Πρόταη.3.3.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 38 Παρατήρηη 3... Ο εκτιμητής ˆM λ, για λ = 0, υμπίπτει με το γενικευμένο εκτιμητή Bayes, δ B,ο οποίος δίνεται την Πρόταη.4.. Ο Sarkadi 967 εώρηε το πρόβλημα επιλογής ενός πληυμού, ο οποίος έχει το μικρότερο δειγματικό μέο και κατόπιν πρότεινε έναν εκτιμητή για το Μ ως εξής, cx cx t c = X. + XΦ cφ 3.3 όπου c > 0 μια αυαίρετη ταερά και Φx η υνάρτηη κατανομής της τυπικής κανονικής κατανομής. Πρόταη 3... Ο εκτιμητής t c είναι αμερόληπτος εκτιμητής της παραμετρικής c υνάρτηης g, = + Φ, =. + c Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι Et c = + Φ Ιχύει ότι, Et c = E X. + E XΦ c + c cx cx E cφ. 3.4 Ομως, EX. = και E XΦ cx = E X.Φ cx E X.Φ όπου y cx cy y E X.Φ = y Φ f y y f y y dy dy y cy y = y Φ e y e y dy dy π π cx Με το μεταχηματιμό x = y προκύπτει ότι, E X.Φ y cx = y Φ y x c π e y φx dx dx

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 39 = y y y e π Θέτοντας όπου u = x, έχουμε Φ x + y φx dx dy c E X.Φ ή διαφορετικά, E X.Φ cx = cx = y φ y φ y y y y Φ Φ u + y φ ududy c u + y φududy c Χρηιμοποιώντας την Πρόταη 6.0., E X.Φ cx = y y y φ Φ + dy 3.5 c Θέτουμε τη Σχέη 3.5 x = y E X.Φ cx = οπότε, x + φx Φ x + + c dx ή διαφορετικά, E X.Φ cx = x + x φx Φ + dx + c x + φx Φ + c 3.6 dx

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 40 Λόγω των Προτάεων 6.0. και 6.0., η Σχέη 3.6 γίνεται E X.Φ cx = φ + c + + Φ c + c 3.7 Επιπλέον, y cx cy y E X.Φ = y Φ fy y fy y dy dy y = y Φ y y c π e y y e dy dy π οπότε, κάνοντας τους ίδιους υπολογιμούς όπως και προηγουμένως, E X.Φ cx = φ + c + + Φ c + c 3.8 Επίης, E φ cx = cx φ f X xdx = x e c π π e 4 x dx = π e 4 c x +x x+ Εκτελώντας πράξεις τους εκέτες, προκύπτει ότι E φ cx = π π e c + x c + e c c + dx = c π c + e c + π c + e c + x c + dx

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 4 ή διαφορετικά, E φ cx = c π c + e c + = c + φ + c Οπότε από τις Σχέεις 3.7, 3.8 και 3.9, η Σχέη 3.4 γίνεται 3.9 Et c = + φ + c + + Φ c + + φ c + c + c Φ + φ c + c + = c + Φ c. + c Παρατήρηη 3..3. Για μεγάλες τιμές του c, g, = + Φ = EM. Αυτό ημαίνει ότι, ο εκτιμητής t c είναι αυμπτωτικά αμερόληπτος για το Μ, αφού Et c = EM Et c M = 0 Bt c = 0 Στην εργαία του Dahiya974 προτάηκε ο εκτιμητής της ΕΜ, X T = X. + XΦ 3.0 και χρηιμοποιήηκε για την εκτίμηη του Μ. Παρατήρηη 3..4. Ο Τ είναι εκτιμητής μεγίτης πιανοφάνειας της EM = + Φ Επιπλέον, η μεροληψία παραμένει ίδια, αν χρηιμοποιήουμε τον Τ για την εκτίμηη είτε της Μ, είτε της ΕΜ. Ενας πιο γενικός εκτιμητής για το Μ είναι της μορφής { X X T λ = T λ φ + X Φ Φ X } 3.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 4 όπου λ 0 αυαίρετη ταερά. Το κίνητρο για να χρηιμοποιήουμε τον T λ ως εκτιμητή του Μ είναι παρόμοιο με αυτό για τον εκτιμητή ˆM λ, ο οποίος δίνεται τη Σχέη 3.3. Πρόταη 3..3. Ο εκτιμητής T λ προκύπτει από τη χέη T λ = T λ ˆBT 3. όπου BT είναι η μεροληψία του εκτιμητή Τ. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι ˆBT = φ X Ιχύει ότι + X { Φ } X X Φ BT = ET M = ET EM 3.3 όπου, λόγω της Σχέης 3.0, ET = E X. X X + E XΦ = + E XΦ 3.4 Ομως, από τις Σχέεις 3.7 και 3.8, για c = προκύπτει E XΦ X X X = E X.Φ X.Φ = φ + Φ 3.5 Επιπλέον, από τη Σχέη 3.0, έχουμε EM = + Φ. 3.6 Άρα χρηιμοποιώντας τις Σχέεις 3.4, 3.5 και3.6, η Σχέη 3.3 γίνεται BT = φ + Φ Φ 3.7 Επομένως, έτοντας τη Σχέη 3.7 την εκτίμηη του, ˆ = X, παίρνουμε X X X ˆBT = φ + XΦ XΦ 3.8 οπότε προκύπτει ο εκτιμητής T λ, όπως αυτός δίνεται τη Σχέη 3..

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 43 Ενας ακόμη εκτιμητής, που προτάηκε από τον Dahiya974 για την εκτίμηη του Μ είναι X. + X. δ H c = X max, αν X. X. < c, αν X. X. c 3.9 όπου c o αυαίρετη ταερά. Οι Blumental and Cohen968 είχαν προτείνει τον δ H c ως εκτιμητή του max,. Παρατήρηη 3..5. Για c = 0, ο δ H c υμπίπτει με τον εκτιμητή X max. Ο εκτιμητής δ H c, υνήως, καλείται υβριδικός εκτιμητής. Αυτός ο εκτιμητής προκύπτει κάνοντας έναν προκαταρκτικό έλεγχο, αν η απόταη των δειγματικών μέων X., X. είναι μικρή, ο υβριδικός εκτιμητής υμπίπτει με το μέο όρο τους, διαφορετικά με τον X max = max{x., X.}. 3. Υπολογιμός της Μεροληψίας Οριμός 3... Η υνάρτηη μεροληψίας B ˆM ενός εκτιμητή ˆM, δεδομένου ότι M είναι τυχαία μεταβλητή, δίνεται από τη χέη B ˆM = E ˆM M = E ˆM EM 3.30 Η μεροληψία του εκτιμητή ˆM λ, ο οποίος δίνεται τη Σχέη 3., υπολογίζεται το παρακάτω εώρημα. Θεώρημα 3... B ˆM λ = φ λφ 3.3 Απόδειξη. E ˆM λ = E X max λφ X 3.3 όπου, από τη Σχέη 3.7, E X max = + φ + Φ

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 44 και από τη Σχέη 3.9, για c = προκύπτει ότι X E φ = φ. Οπότε η Σχέη 3.3 γίνεται E ˆM λ = + φ + Φ λφ Επίης, λόγω της Σχέης 3.0, EM = + Φ 3.33 3.34 Οπότε υνδυάζοντας τις Σχέεις 3.33 και 3.34, έχουμε B ˆM λ = E ˆM λ EM = φ λφ. Η μεροληψία του εκτιμητή t c, βλ. Σχέη 3.3 δίνεται το παρακάτω εώρημα. Θεώρημα 3... Bt c = Φ Φ c + 3.35 Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι Bt c = Et c M = Et c EM 3.36 Επίης, από την Πρόταη 3.. έχουμε, c Et c = + Φ + c Επιπλέον, λόγω της Σχέης 3.0 EM = + Φ 3.37 3.38 Αντικαιτώντας τις Σχέεις 3.37 και 3.38 τη Σχέη 3.36 προκύπτει ότι Bt c = Φ Φ. c +

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 45 Ο εκτιμητής Τ βλ. εώρημα. Σχέη 3.0 έχει μεροληψία, η οποία δίνεται το παρακάτω Θεώρημα 3..3. BT = φ + Φ Φ 3.39 Απόδειξη. Από την απόδειξη της Πρόταης 3..3 βλ. Σχέη 3.7. Η μεροληψία του εκτιμητή T λ, της Σχέης 3. υπολογίζεται ως εξής Θεώρημα 3..4. BT λ = + λφ 6 3 λφ + + λφ 6 Φ λφ 6 3.40 Απόδειξη. BT λ = ET λ M = ET λ EM 3.4 όπου ET λ = E T λ φ { } X X X + X Φ Φ Ομως, από τις Σχέεις 3.4 και 3.5 προκύπτει ότι, ET = + φ + Φ και από τη Σχέη 3.9, για c =, έχουμε E φ X = 3 φ 6 3.4 3.43 3.44 Επίης, λόγω των Σχέεων 3.7 και 3.8, για c = X E XΦ = φ + Φ 6 6 6 προκύπτει ότι, 3.45

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 46 ενώ για c =, έχουμε E XΦ X = φ + Φ 3.46 Επομένως, αντικαιτώντας τις Σχέεις 3.43 3.46 τη Σχέη 3.4, βρίκουμε την ET λ. Επιπλέον, έχουμε ήδη αποδείξει βλ. Σχέη3.0 ότι EM = + Φ. Συνεπώς, η BT λ = ET λ EM υπολογίζεται, όπως ακριβώς αυτή δίνεται τη Σχέη 3.40. Υπολογίζουμε και τη μεροληψία του υβριδικού εκτιμητή, δ H c, της Σχέης 3.9. Θεώρημα 3..5. [ Bδ H c = φc + + φc }] {Φ Φ + c Φ c 3.47 Απόδειξη. Bδ H c = Eδ H c M = Eδ H c EM 3.48 y +c y c y + y Eδ H c = f y y f y y dy dy + y f y y f y y dy dy y y +c y c y + y + f y y f y y dy dy + y f y y f y y dy dy y = A + B + Γ + 3.49 όπου y +c A = y + y π e y e y dy dy = A c A c π

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 47 y + c με A c = y + y φ y y φ dy dy y και A c = y + y y φ y φ dy dy = A 0 Ομως A c = A + A y + c y y με A = y φ φ dy dy y y y και A = y φ φ dy dy Κάνοντας το μεταχηματιμό x = y και x = y, έχουμε, x + c A = x + φx dx φx dx Με μια αλλαγή μεταβλητών η παραπάνω χέη, γίνεται + A = x + φx dx φx dx x + c = x Φx + cφx dx + Φx + cφx dx. Επιπλέον, χρηιμοποιώντας τις Προτάεις 6.0. και 6.0. καταλήγουμε το υμπέραμα ότι, A = φ c Φ c 3.50 Ομοίως, x + c A = x + φx dx φx dx = = x Φx + cφx dx + Φx + cφx dx.

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 48 Από τις Προτάεις 6.0. και 6.0. υμπεραίνουμε ότι A = φ + c + Φ + c 3.5 Συνδυάζοντας τις Σχέεις 3.50 και 3.5 και τις ιδιότητες της τυπικής κανονικής κατανομής, φx = φ x και Φx + Φ x =, προκύπτει ότι A c = A + A = + + Φ + c Επομένως, A c = A 0 = + + Φ Άρα A = A c A c = + Επίης, y c B = Φ + c Φ y π e y π e y dy dy 3.5 Θέτουμε x = y B = = x + x φx Φ και x = y x + c x c + οπότε, φx dx φx dx = dx + φx Φ x c + dx Λόγω των Προτάεων 6.0. και 6.0., προκύπτει ότι B = φ c + Φ c 3.53 Ακόμη, y +c Γ = y όπου, y +c Γ c = y + y e y π y + y φ e y dy dy = Γ c Γ c π y y φ dy dy

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 49 y και Γ c = y + y y φ y φ dy dy = Γ 0 Ομως Γ c = Γ + Γ y +c y y με Γ = y φ φ dy dy y +c y y και Γ = y φ φ dy dy Κάνοντας το μεταχηματιμό x = y και x = y έχουμε, x + + c Γ = x + φx φx dx dx = = x Φ x + + c φx dx + Φ x + + c φx dx Χρηιμοποιώντας τις Προτάεις 6.0. και 6.0., η παραπάνω χέη παίρνει τη μορφή, Γ = φ + c + Φ + c 3.54 Ομοίως, x + + c Γ = x + φx φx dx dx = Κάνοντας μία αλλαγή μεταβλητών, προκύπτει ότι + Γ = x + φx φx dx dx = x c = x Φ x c φx dx + Φ x c φx dx Λόγω των Προτάεων 6.0. και 6.0. καταλήγουμε το υμπέραμα ότι, Γ = φ + c + Φ + c 3.55

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΤΣ 50 χρηιμοποιώντας, παράλληλα, τις ιδιότητες της τυπικής κανονικής κατανομής, φx = φ x και Φx + Φ x =. Οπότε, υνδυάζοντας τις Σχέεις 3.54 και 3.55 προκύπτει ότι, Γ c = + Φ + c Επομένως, Γ c = Γ 0 = + Φ Άρα Γ = Γ c Γ c = + Φ + c Φ 3.56 Τέλος, y c = y π e y π e y dy dy Κάνοντας το μεταχηματιμό x = y και x = y, έχουμε = = x + x c φx dx φx dx x φx Φ x c dx + φx Φ x c dx Λόγω των Προτάεων 6.0. και 6.0. και των των ιδιοτήτων της τυπικής κανονικής κατανομής,φx = φ x και Φx + Φ x =, προκύπτει ότι = φ + c + Φ + c 3.57 Με αντικατάταη των Σχέεων 3.5, 3.53, 3.56 και 3.57 τη Σχέη 3.49, υπολογίζουμε τη Eδ H c. Επιπλέον, λόγω της Σχέης 3.0, EM = + Φ. Τελικά, υμπεραίνουμε ότι η μεροληψία του εκτιμητή δ H c, Bδ H c, υπολογίζεται, όπως ακριβώς αυτή δίνεται τη Σχέη 3.47.

Κεφάλαιο 4 Εκτίμηη της μέης τιμής ως προς τη υνάρτηη ζημίας LINEX Η εκτίμηη της μέης τιμής από επιλεγμένο πληυμό είναι ένα ημαντικό πρακτικό πρόβλημα. Τα τατιτικά προβλήματα που αφορούν αυτό το έμα χρήζουν ιδιαίτερης ημαίας χάρη τις εφαρμογές τους την καημερινή ζωή. Μερικά παραδείγματα εφαρμογών είναι τα εξής: Ενας αγρότης επιυμεί όχι μόνο να επιλέξει τον κατάλληλο τύπο λιπάματος από κ διαφορετικούς τύπους, ο οποίος μεγιτοποιεί την παραγωγή του, αλλά και να εκτιμήει τη μέη τιμή του λιπάματος που έχει επιλέξει. Ενας γιατρός δεν επιυμεί μόνο να επιλέξει ένα φάρμακο από μία λίτα κ άλλων φαρμάκων, που α αξιολογήει την αποτελεματικότητά του και τελικά α επιλέξει το πιο δρατικό, αλλά επιυμεί να εκτιμήει την δρατικότητά του, τηριζόμενος τα ίδια τα δεδομένα. Ο Varian 975, πρότεινε μία πολύ χρήιμη αύμμετρη υνάρτηη ζημίας γνωτή ως LINEX, η οποία αυξάνεται εκετικά από τη μία μεριά του μηδενός και χεδόν γραμμικά από την άλλη μεριά του μηδενός. Η προτεινόμενη υνάρτηη ζημίας LINEX δίνεται από την παρακάτω χέη, 5

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΕΚΤ ΙΜΗΣΗ ΤΗΣ Μ ΕΣΗΣ ΤΙΜ ΗΣ ΤΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜ ΕΝΟΥ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Υ ΩΣ ΠΡΟΣ LINEX 5 L, δ = be αδ αδ 4. όπου α 0 και b > 0. Στην παρούα εργαία, εξετάζουμε τους εκτιμητές της μέης τιμής του επιλεγμένου πληυμού από δύο κανονικούς πληυμούς με άγνωτη μέη τιμή και κοινή, γνωτή διαπορά με τη χρήη της υνάρτηης ζημίας LINEX, τους οποίους πρότειναν οι Parsian and Farsipour999. 4. Εκτίμηη της μέης τιμής Ετω X i, X i,..., X in, i =,,.., n ζεύγος ανεξάρτητων, τυχαίων δειγμάτων από κανονικούς πληυμούς με άγνωτη μέη τιμή i και κοινή γνωτή διαπορά τ. Ετω X i. ο δειγματικός μέος τον i οτό πληυμό, i =,. Για την επιλογή του πληυμού με το μεγαλύτερο μέο όρο, λαμβάνουμε υπόψην το φυικό κανόνα ύμφωνα με τον οποίο, επιλέγεται ο πληυμός με το μεγαλύτερο δειγματικό μέο. Επιυμούμε να εκτιμήουμε το μέο M του επιλεγμένου πληυμού, ο οποίος μπορεί να εκφρατεί ως εξής M = I + I = + I, =, I = I και, αν X. > X. I = 0, αν X. X. Προφανώς η M είναι τυχαία μεταβλητή με διακριτή υνάρτηη πιανότητας P M = i = P X max = X i = P { X i. > X j.; i j } 4. για i =, όπου X max = maxx., X.. Σύμφωνα με τον Lehmann95, ένας εκτιμητής δ της τιμής είναι αμερόληπτος, αν