Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της λλγής μετβλητής στο ορισμένο ολοκλήρωμ ) Θέτουμε οπότε κι ενώ Άρ =, d = -d γι είνι, γι είνι d d d Με στη θέση του στο τελευτίο ολοκλήρωμ πίρνουμε d d β) Θέτουμε οπότε κι γι =, d = -d είνι,
ενώ Άρ ί d d d διότι G d G d G d d, Σο ονομ της μετβλητης δεν λλζει την τιμη του ορισμενου ολοκληρωμτος γ) Θέτουμε Σότε κι ενώ Επομένως γι γι = c d = d είνι c, είνι c c d cd c c c d c Οπου στο τελευτιο ολοκληρωμ θεσμε ντι το δ) Γι c = η ποδεικτέ είνι προφνής Γι c θέτουμε c Σότε d cd κι γι c είνι κι γι c είνι Έτσι, c c d c cd c c d c c d, Οπου στο τελευτιο ολοκληρωμ θεσμε ντι το ε) Η είνι περιττή, άρ γι κάθε,, τη συνέχει «σπάμε» το ολοκλήρωμ ως εξής:
3 d d d Θέτουμε I d κι γι τον υπολογισμό του Ι εκτελούμε το μετσχημτισμό Είνι κι ενώ ότν ότν d = -d είνι, είνι υνεπώς το ολοκλήρωμ Ι γράφετι d d I d, Οπου στο τελευτιο ολοκληρωμ θεσμε ντι το Σο ρχικό ολοκλήρωμ λοιπόν, γίνετι: d d d d, διότι = Σο συμπέρσμ που ποδείξμε θ διπιστώσουμε ότι είνι ιδιίτερ χρήσιμο στις εφρμογές στ) Η είνι άρτι, άρ γι κάθε,, Όπως πριν «σπάμε» το ολοκλήρωμ: κι θέτουμε d d I d d
4 Εκτελούμε το μετσχημτισμό, οπότε κι ενώ Άρ ότν ότν d = -d είνι, είνι d d d I d Σο ρχικό ολοκλήρωμ γίνετι: d d d d
5 Έστω :, ώστε R συνεχής συνάρτηση Αποδείξτε ότι υπάρχει s[,], s d s d Μπορούμε πάντ ν επιλέγουμε έν τέτοιο s στο (,); Απάντηση: Θεωρούμε τη συνάρτηση h d κι ρκεί ν ποδείξουμε ότι υπάρχει s[,] με h(s) = Η είνι συνεχής, άρ η h είνι συνεχής d Επιπλέον έχουμε δηλδή h d κι h h d, h d Εάν h h τότε h ή s ή γι s Εάν h h h κι το συμπέρσμ ισχύει γι, τότε πό το θεώρημ Bolzano υπάρχει s(,) με h(s) = ε κάθε περίπτωση λοιπόν έχουμε ότι υπάρχει s[,] με h(s) = Η πάντηση στη δεύτερη ερώτηση είνι «όχι, δε μπορούμε ν επιλέγουμε πάντ έν s στο (,)» Πράγμτι, ς πάρουμε γι πράδειγμ τη συνάρτηση, με = - κι = Eχουμε κι s d s s
6 s d s s Αφού ισχύει η ισότητ θ πρέπει s s ή s ή s, Δηλδη οι μονες τιμες του s είνι τ,-
7 3 Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις, :, d d Αποδείξτε ότι υπάρχει,, ώστε Απάντηση: Η δοσμένη σχέση γράφετι R, γι τις οποίες είνι d κι η συνάρτηση h είνι συνεχής στο [,] Εάν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει, με h, τότε είνι γι κάθε [,], άρ η h διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,] h, Εάν υποθέσουμε ότι είνι h γι κάθε [,], τότε θ έχουμε h d, που είνι άτοπο ε άτοπο κτλήγουμε κι ν υποθέσουμε ότι h γι κάθε [,] Επομένως υπάρχει,, με h ή
8 4 ) Έστω οι συνεχείς συνρτήσεις, :, Cauchy Schwarz: d d d β) Εάν :[,]R ολοκληρώσιμη συνάρτηση, ποδείξτε ότι d d R Αποδείξτε την νισότητ Απάντηση: ) Εάν d τότε, επειδή κι η είνι συνεχής, θ έχουμε ότι γι κάθε [,] κι η προς πόδειξη νισότητ θ είνι ισοδύνμη με την που ισχύει Σο ίδιο συμβίνει εάν d Μπορούμε συνεπώς ν υποθέσουμε ότι d κι d ος τρόπος Θέτουμε Γι [,] έχουμε: d κι N d, N N διότι γι κάθε p, qr έχουμε p q p q Από την τελευτί σχέση προκύπτει ότι N d, d N d
9 άρ N d Επειδη κι τ δυο μελη είνι θετικ προκυπτει N d ή d d d Επιπλέον d d d Από τις [], [] πιρνουμε d d d ος τρόπος Γι λr θέτουμε d λ λ h Προφνώς είνι λ h, γι κάθε λr κι d d λ d λ λ h Δηλδή το h(λ) είνι έν τριώνυμο γι κάθε λr, άρ η δικρίνουσά του είνι κτ νάγκη Όμως η δικρίνουσ του h(λ) είνι d d 4 d Δ κι η νισότητ [] []
δίνει την Δ d d d β) Έχουμε άμεση εφρμογή του προηγούμενου συμπεράσμτος Γι [,], θέτουμε κι η νισότητ του () δίνει d () = d d d d
5 Έστω,h:RR με την h συνεχή κι την πργωγίσιμη κι R Ορίζουμε F hd Αποδείξτε ότι F h Απόδειξη Πρόκειτι γι έν συμπέρσμ που στο εξής θ φνεί χρήσιμο Θέτουμε G h d κι τότε F G Η h είνι συνεχής, άρ η G είνι πργωγίσιμη με πράγωγο G h Αφού κι η είνι πργωγίσιμη, η F είνι σύνθεση πργωγίσιμων συνρτήσεων κι ή F G F h
6 Έστω :RR, συνεχής συνάρτηση κι δ > Εάν d δ δ, ποδείξτε ότι η είνι πργωγίσιμη κι βρείτε την Απόδειξη: Γι R, έχουμε d d d d δ δ δ δ Εφρμόζοντς το συμπέρσμ της άσκησης 5, έχουμε: δ δ δ δ δ δ
3 7 Έστω,h:RR, πργωγίσιμες συνρτήσεις κι Αποδείξτε ότι η G είνι πργωγίσιμη στο R κι βρείτε την G h G d Απόδειξη: Γι R, R, έχουμε G d h d h d d Χρησιμοποιώντς το συμπέρσμ της άσκησης 5, έχουμε: G h h, R
4 8 Έστω :[,+) R, συνεχής συνάρτηση κι F d Βρείτε την F Απάντηση Μι κίνηση που θ πλοποιούσε την κτάστση είνι ν «φύγει» ο πό την ολοκληρωτέ Θέτουμε λοιπόν οπότε κι Έτσι, γι u,, u d u du είνι u, ενώ γι είνι u F κι πργωγίζοντς πίρνουμε F u F u d u du u u du u u du u du F u u du
5 9 Αποδείξτε ότι υπάρχει μονδική συνεχής συνάρτηση :RR, με την ιδιότητ γι κάθε R Βρείτε τη d, Απόδειξη Η συνάρτηση είνι συνεχής, άρ η συνάρτηση κι συνεπώς η συνάρτηση d είνι πργωγίσιμη d, R [] είνι πργωγίσιμη Πργωγίζοντς, πίρνουμε:, πό την οποί προκύπτουν οι c, όπου c μι οποιδήποτε στθερά στο R Προκύπτει επομένως πως ν υπάρχει συνεχής συνάρτηση :RR που ικνοποιεί την [] κι υτή είνι της μορφής c,, Επιπλέον η [], γι =, δίνει ή c =
6 Άρ ν υπρχει συνάρτηση είνι η κι πράγμτι,, R d Οποτε ηζητουμενη συνρτηση είνι η
7 Έστω :[,+)R συνεχής συνάρτηση με, γι κάθε >, η οποί ικνοποιεί τη σχέση Αποδείξτε ότι Απόδειξη d, γι κάθε, γι κάθε Η συνάρτηση είνι συνεχής, άρ η συνάρτηση d είνι πργωγίσιμη Επομένως η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη Επειδή η είνι συνεχής κι, γι κάθε >, έπετι ότι η διτηρεί στθερό πρόσημο, άρ είτε είνι, είτε είνι, γι > Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη γι > κι > γι > Άρ σε κθεμιά πό τις πρπάνω περιπτώσεις, η είνι σύνθεση πργωγίσιμων συνρτήσεων κι άρ πργωγίσιμη συνάρτηση γι > Άρ γι >, μπορούμε ν πργωγίσουμε στη δοσμένη σχέση (Προσοχή: Είνι πρίτητο ν νφέρουμε όλ τ προηγούμεν πριν πργωγίσουμε) Έχουμε, > κι φού () γι >, πίρνουμε:, άρ c, γι κάποι στθερά cr
8 Όμως η δοσμένη σχέση γι =, δίνει, άρ ή c = Προκύπτει ότι, Η είνι συνεχής, άρ κι τελικά lim lim,,
9 Τποθέτουμε ότι η :[,]R, συνεχής κι ότι d [,] Αποδείξτε ότι () =, γι κάθε [,] d, γι κάθε Απόδειξη: Η είνι συνεχής στο [,], άρ οι συνρτήσεις πργωγίσιμες Θεωρούμε τη συνάρτηση F, με d κι d είνι Λόγω της υπόθεσης, είνι άρ d d d F d F, γι κάθε [,], F, [,] Απ την άλλη μεριά, έχουμε F κι κτά συνέπει, [,]
Έστω > κι :[,]R, συνεχής Αποδείξτε ότι γι κάθε [,] ισχύει η ισότητ: Απόδειξη: Αρκεί γι τη συνάρτηση F ν ποδείξουμε ότι ισχύει u u udu d du u udu F, γι κάθε [,] u d du, [,] Η είνι συνεχής, άρ η u είνι πργωγίσιμη με πράγωγο u είνι συνεχής κι συνεπώς η u udu udu u u du u udu udu u u udu u du du Η είνι συνεχής, άρ η u d είνι πργωγίσιμη κι επομένως u συνεχής Έτσι, η d du u πράγωγο u du είνι πργωγίσιμη με d du udu d udu u
Η F λοιπόν είνι πργωγίσιμη με F, udu udu οπότε F c, γι κάθε [,], όπου c στθερά στο R Γι =, πίρνουμε c F, άρ F, γι κάθε [,] που είνι το ζητούμενο
3 Έστω :[,]R, με () = Τποθέτουμε ότι η έχει συνεχή πράγωγο κι ότι, γι κάθε [,] Αποδείξτε ότι [ 3 ] d d Απόδειξη: Θεωρούμε τη συνάρτηση h d 3 [] d Θ ποδείξουμε ότι είνι h() <, γι < Έχουμε Είνι h 3 [] d d, άρ η είνι γνησίως ύξουσ κι () = Άρ Θ ποδείξουμε ότι, h, γι > Επειδή είνι () > γι >,ρκεί ν ποδείξουμε ότι Θετουμε d, > d, είνι κι
3 Επειδή, είνι κι άρ η είνι γνησίως φθίνουσ, οπότε, γι, υμπερίνουμε ότι h, γι,, δηλδή η h είνι γνησίως φθίνουσ κι επομένως h h, γι, ή h, γι, ή Γι =, πίρνουμε ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ [ 3 ] d d, γι, [ 3 ] d d Αν κι μς ζητηθηκε ν ποδειξουμε μι νισοτητ γι ορισμεν ολοκληρωμτ εμεις ποδειξμε μι γενικοτερη σχεσηαυτο εγινε γι ν μπορεσουμε ν πργωγισουμε
4 4 Ορίζουμε τη συνάρτηση G:RR, με Τπολογίστε τη G συν G d Απάντηση: Θέτουμε οπότε κι Έτσι κι γι u, u, d du είνι u, ενώ γι είνι u u συνu du G u u συνu du συνu du G ' u du u du u u u u du u u du Τπολογίζουμε το ολοκλήρωμ ως εξής: u I συνu du
5 I, ημ συν συνu du ημ συν du ημu ημu συν ημu du συν ημu du συν du συνu συνu συνu du συνu du I u u u u u u u u u άρ ημ συν I, οπότε ημ συν I Σελικά είνι: ' G
6 5 Ορίζουμε τη συνάρτηση :(,+) R, με d d Αποδείξτε ότι η είνι στθερή Απόδειξη: Θ ποδείξουμε ότι γι κάθε > είνι Πρτηρούμε ότι κι οπότε πράγμτι είνι d d, γι > κι άρ η είνι στθερή
7 lim ημ d 4 6 Βρείτε το όριο: Απάντηση: Θέτουμε F ημ d κι νζητούμε το όριο F lim 4 Η ημ είνι συνεχής, άρ η F είνι πργωγίσιμη κι ως εκ τούτου συνεχής Επίσης είνι: ' F '() Επομένως limf F κι άρ το όριο που ψάχνουμε οδηγεί σε προσδιοριστί Εφρμόζοντς τον κνόν d l Hospial, έχουμε διότι F lim 4 F lim 4 ημ lim 3 4 ημ lim, lim κι ημ φού lim ημ lim,
8
9 7 Τπολογίστε το όριο lim d Απάντηση: είνι γνησίως φθίνουσ συνάρτηση γι > Η Πράγμτι, Έτσι, με, γι κάθε > έχουμε κι συμπερίνουμε ότι d d d τ δύο κρί ολοκληρώμτ ολοκληρώνουμε ως προς κι το διάστημ ολοκλήρωσης έχει μήκος, άρ η προηγούμενη διπλή νισότητ γράφετι d ή Όμως πρτηρούμε ότι d lim lim κι lim lim lim, οπότε πό το κριτήριο πρεμβολής προκύπτει lim d =
3 8 Έστω > κι :[,]R πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο Ν ποδειχθεί ότι d d Απόδειξη: Προσπθούμε ν γράψουμε το d σε μι μορφή όπου θ εμφνίζετι η πράγωγος κι η τιμή () Έχουμε: d d d, d άρ Χρησιμοποιώντς την d d d d κι τις ιδιότητες της πόλυτης τιμής, έχουμε: d d ή Όμως γι d d είνι [], άρ d d d
3 Βάσει της [], πίρνουμε: d d
3 9 ) Έστω > κι :[-,]R συνεχής συνάρτηση με [-,] Ν ποδειχθεί ότι d β) Τπολογίστε το ολοκλήρωμ d d γι Απόδειξη: ) Θέτουμε κι έχουμε: το ολοκλήρωμ οπότε κι Άρ γι I d d I d d, εφρμόζουμε την λλγή μετβλητής, d d είνι, ενώ γι είνι Επειδή κι d d d, είνι d d d
33 κι τελικά I Οπου ντι θεσμε στο τελευτιο ολοκληρωμ d d d d β) Γι το ολοκλήρωμ d, εφρμόζουμε το συμπέρσμ του () με κι = Έχουμε d d 3 3 3
34 Έστω :, [,+) πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο κι Αποδείξτε ότι υπάρχει, 4 ξ d ξ τέτοιος, ώστε Απόδειξη: ος τρόπος Θέτουμε 4 d κι πρτηρούμε ότι ν δεν ισχύει το συμπέρσμ, τότε θ ισχύει ότι Έχουμε:, γι κάθε, κι επειδή, είνι κι d d d [] Άρ Προκύπτει d, γι, γι δηλδη d d,
35 8 d Επειδή d κι, έχουμε d Αλλά, οπότε κι επομένως d Έτσι, έχουμε, d d οπότε 8 d Η [], λόγω των [] κι [3], δίνει 8 8 d ή 4 d ή d 4, [] [3]
36 που είνι άτοπο διότι είνι Σελικά, υπάρχει ξ, τέτοιος, ώστε 4 d 4 ξ d ος τρόπος Η είνι πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο στο,, επομένως η είνι συνεχής στο, ελάχιστης τιμής Έστω λοιπόν ότι Μ είνι η μέγιστη τιμή της κι άρ ικνοποιεί το θεώρημ μέγιστης κι στο, υπάρχει ξ, με ξ, δηλδή ότι κι Εάν,, γι κάθε,, η ικνοποιεί το ΘΜΣ στο διάστημ,, Άρ υπάρχει ξ,, με ξ Είνι κι ξ ξ, άρ πίρνουμε Ομοίως, γι, κι λόγω του ΘΜΣ, υπάρχει ξ ή,,, με ξ ξ
37 Έχουμε συνεπώς ότι ξ, γι, Έτσι, d d d d d κι υπολογίζοντς, όπως πριν, τ ολοκληρώμτ d κι d, πίρνουμε 4 d ή ξ d 4, που είνι η ποδεικτέ
38 Έστω, : R δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή δεύτερη πράγωγο κι τέτοι, ώστε () = () = Εάν επιπλέον γι κάθε (,) ισχύουν οι () > κι ν ποδειχθεί ότι > π Απόδειξη: Ο ριθμός π σχετίζετι με τριγωνομετρικές συνρτήσεις Πρτηρούμε ότι ημ π, γι < <, διότι ότν < < Πολλπλσιάζοντς στην επί ημ π, πίρνουμε ημ ημ π π, γι < < Ολοκληρώνοντς στην τελευτί, έχουμε d ημ d ημ π π Γι το δεύτερο ολοκλήρωμ εργζόμστε με πργοντική ολοκλήρωση Έχουμε d συν ημ d ημ I π π π π κι επειδή η πράστση ημ π μηδενίζετι στ,, προκύπτει ότι d συν I π π Εφρμόζουμε εκ νέου την πργοντική ολοκλήρωση, πιρνουμε d ημ συν d συν π π π π, διότι ημ συν [] []
39 Αλλά είνι () = () =, οπότε η τελευτί δίνει d ημ d συν π π π κι ντικθιστώντς στη [] πίρνουμε d ημ I π π Επειδή είνι d ημ I π, η [] γίνετι d ημ π π Όμως ημ π, γι < <, οπότε πό την τελευτί έπετι ότι π ή > π
4 Έστω m θετικός κέριος κι :, οποί ισχύει d n () = έχει τουλάχιστον m + ρίζες στο, R συνεχής συνάρτηση γι την, γι n =,,, m Αποδείξτε ότι η εξίσωση Απόδειξη: Έστω ρ τ σημεί στ οποί η λλάζει πρόσημο, με,ρ,, ρk ρ ρ ρ Σ σημεί υτά προφνώς ντιστοιχούν σε ρίζες k της εξίσωσης, η οποί ενδέχετι ν έχει κι ρίζες στις οποίες όμως η δεν λλάζει πρόσημο Θεωρούμε το πολυώνυμο p ρ ρ ρk Σο p() είνι k βθμού με k δικεκριμένες ρίζες, άρ στ σημεί ρ,ρ,, ρk το p() λλάζει πρόσημο Προκύπτει ότι η p δεν λλάζει πρόσημο στο, οδηγεί στο ότι Όμως ισχύει p d n d, γι n =,,, m, άρ γι κάθε πολυώνυμο q με βθμό m ισχύει η Πράγμτι, έστω ότι q d, γεγονός που μς Σότε q τ τ τ τ
4 m τ γι, d d d d d q τ τ τ τ τ τ τ τ Εφόσον λοιπόν ισχύει η d p, δε μπορεί πρά ο βθμός του p ν είνι > m, δηλδή k > m ή k m + Έπετι πως η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον m + ρίζες στο,
4 3 Έστω > κι :, R συνεχής συνάρτηση, δύο φορές γι πργωγίσιμη στο (,) κι τέτοι, ώστε () = () = κι κάθε (,) Ν ποδειχθεί ότι ) κι 3 β) d Απόδειξη: ) τθεροποιούμε τον (,) κι θεωρούμε τη συνάρτηση :, R με Είνι κι διότι, διότι Η συνάρτηση ικνοποιεί το θεώρημ Roll σε κθέν πό τ διστήμτ [,] κι [,], άρ υπάρχουν ξ, κι, ξ κι ξ Η ικνοποιεί το θεώρημ Roll στο ξ τέτοιοι, ώστε ξ,, άρ υπάρχει ξ ξ, ξ ξ ξ, με Όμως είνι άρ κι συνεπώς Προκύπτει, ξ ξ ξ
43 κι φού ξ κι, έχουμε β) Λόγω του () έχουμε d d Όμως κι άρ 3 3 d d J 3 3 3 Επειδή 3 3 κι, είνι 6 6 6 6 3 6 3 6 6 3 6 3 J 3
44 Σελικά ή d J 6 3 d 3
45 4 Έστω :[,]R συνεχής με συνεχή πράγωγο κι () = Αποδείξτε ότι Απόδειξη: d d Θ χρειστεί ν χρησιμοποιήσουμε την νισότητ που ποδείξμε στην άσκηση 4 h d h d d [C_S] Σο ότι στην ποδεικτέ σχέση εμφνίζοντι πόλυτες τιμές στην ολοκληρωτέ συνάρτηση, δημιουργεί μι επιπλέον δυσκολί Εάν στο πρώτο μέλος της ποδεικτές είχμε το ολοκλήρωμ d, όλ θ ήσν ευκολότερ, τότε επειδή Ας προσπθήσουμε ν ποδείξουμε το συμπέρσμ γι την περίπτωση που δεν είχμε τις πόλυτες τιμές Έχουμε: διότι () = Όμως είνι άρ d d, d, d Εφρμόζοντς την νισότητ [C_S] γι h κι d κι λόγω της [] προκύπτει d d, πίρνουμε: d []
46 d d Ας δούμε τώρ πως θ τ κτφέρουμε με τις πόλυτες τιμές Έχουμε διότι () = Άρ d d d, οπότε Εάν θέσουμε τότε κι συνεπώς d dd q q d, κι q d q q d Αλλά κι q q d q q d q d Εργζόμενοι όπως κι στη λύση χωρίς πόλυτες τιμές, έχουμε: φού d d d d,
47 Με στη θέση του στο τελευτίο ολοκλήρωμ, έχουμε ότι κι τελικά q d d d