9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z( t) R. = και την, δηλαδή την Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα πρώτου είδους της f κατά µήκος της ορίζεται ως ορ ( ) ' fs= f t t t= f x( t), y( t), z( t) ' t t. Μερικές φορές χρηιµοποιούµε και τον υµβολιµό f (,, ) x y z s Παρατηρήεις ) Ουιατικά αυτό που απαιτείται για να οριθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα µιας βαθµωτής ( δηλαδή πραγµατικής ) υνάρτηης f : U R R fo :, R κατά µήκος της καµπύλης είναι, το να είναι η [ ] ολοκληρώιµη υνάρτηη, ας πούµε να έχει πεπεραµένο πλήθος αυνεχειών και να είναι φραγµένη. Έτι αν η f είναι υνεχής και η κατά τµήµατα C καµπύλη τότε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα fs ορίζεται. )Αν η f ( ταθερά ίη µε ) τότε βέβαια ύµφωνα µε το θεώρηµα 9. βρίκουµε το µήκος της = = ' l t t. Παράδειγµα. Έτω :[ 0, π] R : ( t) ( os t,si t, t) (,, ) = + +. Να υπολογιτεί το f ( x, y, z) s f x y z x y z Λύη ( ) ( ) = = η έλικα και. '( t) = os' ( t) + si' t + t ' ( t) ( t) si t+ os t+ = Συνεπώς π π = si + os + = f ( x, y, z) s= f ( x( t), y( t), z( t) ) '( t) t= ( os t+ si t+ t ) t = π π 0 0 ( + t ) t= ( + t ) t = t+ = ( + 4π ) 0 0 π t π 0
0 Η ( t) = ( os t,si t, t) είναι µια δεξιότροφη έλικα, η οποία βρίκεται την επιφάνεια ενός κυλίνδρου Σηµειώνουµε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ( πρώτου είδους ) ορίζεται και για µια βαθµωτή υνάρτηη δύο µεταβλητών καθώς και για µια επίπεδη καµπύλη. Έτι έχουµε ότι αν f : U R R :, U κατά τµήµατα είναι ( υνεχής ) υνάρτηη και [ ] C καµπύλη τότε, (, ) ' fs= f x t y t t t ( Ο ίδιος οριµός µπορεί βέβαια να δοθεί και για µια βαθµωτή υνάρτηη µεταβλητών f : U R R :, U R ). και για µια καµπύλη [ ] Αξίζει να παρατηρήουµε ότι αν f (, ) 0 βαθµωτής υνάρτηης f ( x, y ) κατά µήκος της καµπύλης ( t) ( x( t), y( t) ) x y το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της = έχει µια γεωµετρική ερµηνεία. Έτι ( αν η κάνει µόνο µια φορά τον γύρο της εικόνας της) το ολοκλήρωµα f ( x ( t ), y ( t )) s παριτάνει το εµβαδόν ( της µιας πλευράς ) της «κορδέλας» που χηµατίζεται.
Επικαµπύλια ολοκληρώµατα β είδους Έτω U R ανοικτό, F : U R R υνεχής υνάρτηη ( διανυµατικό πεδίο) :, U µια κατά τµήµατα C καµπύλη. Θεωρούµε την υνάρτηη, και [ ] t [, ] F( ( t) ) '( t) R, όπου µε F( ( t) ) '( t) γινόµενο των διανυµάτων F( ( t) ) και '( t) του R. εννοούµε το εωτερικό Ορίζουµε ως επικαµπύλιο ολοκλήρωµα δευτέρου είδους της διανυµατικής υνάρτηης F κατά µήκος της καµπύλης τον αριθµό ορ ( ) ' F s= F t t t () Σηµείωη Με τον όρο διανυµατικό πεδίο θα εννοούµε µια υνάρτηη F : U R R, όπου U ανοικτό τον R η οποία είναι υνεχής ( και υνήθως της κλάης C ). Βέβαια για τον οριµό του ολοκληρώµατος µας αρκεί µόνο η υνέχεια =, της καµπύλης. της F επί του ίχνους [ ] [ ] Ένας άλλος υµβολιµός για το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα β είδους είναι και ο ακόλουθος F s= F x+ F y+ F z () όπου F, F, F είναι οι υνιτώες του διανυµατικού πεδίου F δηλαδή F = ( F, F, F). Η παράταη F x+ Fy+ F z () ονοµάζεται και διαφορική µορφή. Ορίζουµε ως ολοκλήρωµα της διαφορικής µορφής () αυτό που δίδεται από τον τύπο (), δηλαδή x y z F x+ F y+ F z= F + F + F t= F s t t t (,, ), [, ] Αν t = x t y t z t t, τότε υνδυάζοντας το παραπάνω παίρνουµε τους τύπους: = ( ) ' [,, ' F s F t t t = F x+ Fy+ F z = F ( x( t) y( t) z( t) ) x ( t) + F x( t), y( t), z( t) y ' t + F x t, y t, z t z ' t ]t. Μπορούµε φυικά να ορίουµε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ενός διανυµατικού F : U R R, F = F, F κατά µήκος µιας επίπεδης πεδίου δύο µεταβλητών ( ) καµπύλης :[, ] U, ( t) x( t), y( t) ( ) ' F s= F t t t= F x+ F y = =. Έτι έχουµε F ( x t, y t ) x '( t) + F( x( t), y( t) ) y '( t) t. = Εννοείται βέβαια ότι η F είναι υνεχής υνάρτηη τουλάχιτον πάνω το ίχνος =, της καµπύλης, η οποία υποτίθεται κατά τµήµατα υνεχώς [ ] [ ] διαφορίιµη. Ανάλογα µπορεί να οριθεί και το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F s
την περίπτωη ενός διανυµατικού πεδίου F : U R R πάνω ε µια καµπύλη :, U. [ ] (*) Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα διανυµατικού πεδίου ως έργο. Γνωρίζουµε από την τοιχειώδη Μηχανική ότι αν µια ταθερή δύναµη F µετατοπίζει ένα υλικό ηµείο κατά την διεύθυνή της, τότε το έργο Ε που παράγεται από την δύναµη F ιούται µε Ε= F όπου είναι η µετατόπιη του υλικού ηµείου και F το µέτρο της δύναµης. Η F µετατοπίζει το Μ από το ηµείο Α το ηµείο Β. Έτω τώρα F ένα διανυµατικό πεδίο το χώρο F : R R το οποίο υποθέτουµε ότι είναι ένα πεδίο δυνάµεων π.χ. το βαρυτικό πεδίο και m µια µικρή µάζα ( ή το ηλεκτρικό πεδίο και ένα µικρό ηλεκτρικό φορτίο ). Ας υποθέουµε ότι το ωµατίδιο µάζας m κινείται υπό την επίδραη της δύναµης F κατά µήκος της C καµπύλης :, R. Τότε το έργο το παραγόµενο από την F ευρίκεται µε τον τύπο: [ ] ( ) ' Ε= F t t t. Ο τύπος αυτός δικαιολογείται ως ακολούθως. Καθώς το t µεταβάλλεται ε ένα µικρό διάτηµα από το t έως το t t t t+ t +, το ωµατίδιο κινείται από το το και η µετατόπιη του δίνεται από το διάνυµα s= ( t+ t) ( t). Από τον οριµό της παραγώγου καµπύλης έχουµε την προέγγιη, s '( t) t. Έπεται ότι το έργο που παράγεται για τη µετακίνηη της µάζας m από τη θέη ( t) την θέη ( t+ t) είναι κατά προέγγιη F ( t) s F t ' t t. ( ) Αν υποδιαιρέουµε το διάτηµα [, ] ε N µικρά υποδιατήµατα π.χ. ία µεταξύ = < < < = και s = ( t ) ( t ), τότε το τους µε N πολύ µεγάλο, t0 t... tn k k+ k υνολικό έργο που παράγεται από την δύναµη F είναι κατά προέγγιη N N F( ( tk) ) sk = F( ( tk) ) '( tk) t () ( όπου t= tk+ tk = ) N k= 0 k= 0 Όταν το N, η προέγγιη µας διαρκώς βελτιώνεται, εποµένως είναι λογικό να ορίουµε ως έργο παραγόµενο από την F καθώς η µάζα m µετατοπίζεται από τη το όριο των παραπάνω ποοτήτων (). Αλλά από τον θέη την θέη οριµό του ολοκληρώµατος µε χρήη ενδιαµέων αθροιµάτων Riem ( η F υποτίθεται υνεχής και η κατά τµήµατα C ) το όριο αυτό υπάρχει και ιούται µε ( ) ' Ε= F t t t
Παραδείγµατα ) Έτω ( t) ( t, t, t) ( x( t), y( t), z( t) ), t [ 0,] F y z i yzj x k = + και = =. Να υπολογιθεί το F s Λύη '( t) ( t,,) = και ( ) ( ) ( ) F t t t 4 = i+ t t j t k = t i+ 4t j t k Έπεται ότι 4 4 F t ' t = t t+ 4t + t = 6t + 8t t και άρα 4 5 t t t 9 4 5 0 4 F s= ( 6t + 8t t ) t= 6 + 8 =. )Υπολογίτε το 0 0 0 0 x x+ xyy+ z, όπου ( t) ( t, t,) ( x( t), y( t), z( t) ), t [ 0,] Λύη '( t) ( x '( t), y '( t), z '( t) ) (, t,0) = (( x t ) x '( t ) + x ( t ) y ( t ) y '( t ) + z '( t )) t 4 = ( + ) = =. x x+ xyy+ z 0 5 t t + = 5 5 0 0 )Έτω F( x, y, z) ( x, y, z) = =. Εποµένως ( Εδώ η (,, ) (,,),(,, ) F x y z x xy x y z R = ). t t t = = διανυµατικό πεδίο δυνάµεων και ( t) = ( 0, os t, si t), t [ 0, π], όπου > 0. είξτε ότι το έργο που παράγεται από το πεδίο F καθώς ένα ωµατίδιο κινείται τον κύκλο κέντρου ( 0,0,0 ) και ακτίνας ( κύκλος του yz επιπέδου ) είναι µηδέν. Λύη '( t) = ( 0, si t, ost), υνεπώς ( ) ' = (,, ) ( ', ', ') = ( x( t) ), y( t), z( t) ( x ' t, y ' t, z ' t ) = ( x( t) ) x '( t) y( t) y '( t) z( t) z '( t) F t t F x t y t z t x t y t z t 0 os t si t+ si t ost= 0 για κάθε t [ 0,π] Παρατηρούµε ότι το F( ( t) ) εφαπτόµενο διάνυµα '( t) της το t [ 0,π]. + + = ανήκει το yz επίπεδο και είναι κάθετο το. Εποµένως δεν παράγει έργο. 0
4 Αυτό επαληθεύεται βέβαια και από τον τύπο του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος β είδους, π Ε= F s= x x+ yy+ zz= 0 ost si t+ os t si t t= 0. 0 Σχόλιο. ύο καµπύλες µε την ίδια γεωµετρική εικόνα ( δηλαδή το ίδιο ίχνος ) ενδέχεται για το ίδιο διανυµατικό πεδίο F να δίνουν διαφορετική τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος, όπως θα διαπιτώουµε µε παραδείγµατα. Σηµαία έχει η παραµέτρηη της καµπύλης. (Πρβλ. την άκηη (δ).) :, R :, R καµπύλες. Έτω. Οριµός ) Έτω [ ] και ρ [ ] ακόµη h :[, ] [, ] C υνάρτηη η οποία είναι και επί µε h h =, ( εποµένως h γνήια αύξουα ) ώτε = ρoh[, ] h ρ [, ] R = ρoh = και Η καµπύλη λέγεται τότε µια αναπαραµέτρηη τηςρ (Οι ρ και έχουν τον ίδιο προανατολιµό. Παρατηρούµε ότι '( t) = ρ ' h( t) h ' t. Επειδή h γνήια αύξουα και διαφορίιµη h κάθε t [, ] την καµπύλη ρ ]. ' t 0 για. Η h µεταβάλλει την ταχύτητα µε την οποία ένα ηµείο κινείται πάνω Αν επί πλέον η h :[, ] [, ] είναι και αυτή ιοδύναµες καµπύλες ( παρατηρήτε ότι ρ = oh ). C τότε λέµε ότι οι και ρ είναι :, R καµπύλη. Η καµπύλη ) Έτω [ ] :[, ] R :( t) ( t), t [, ]. Παρατηρούµε ότι = oh όπου h :[, ] [, ] : h( t) t, t [, ] = + ονοµάζεται αντίθετη καµπύλη της [ Η έχει αντίθετο προανατολιµό ε χέη µε την ]. [, ] h [, ] R = oh = +. Παρατηρήεις. ) Παρατηρούµε ότι αν η είναι αναπαραµέτρηη της ρ, ώτε ρoh = = και το = τότε και ρ έχουν προφανώς το ίδιο ίχνος [ ] [ ρoh] [ ρ] ίδιο µήκος = '( t) t= ρ '( t) t= ( ρ) l l. Πράγµατι για το µήκος παρατηρούµε ότι: l = '( t) t= ρ '( h( t) ) h' ( t) t = ρ '( ) ' h [, ] ) = ρ '( x) x= ρ '( x) x= l ( ρ). h t = x h h t h t t ( αφού h ' 0 το
5 ) Αν καµπύλη, τότε [ ] = [ ] και = ( ) l l. Παραδείγµατα: ) Έτω ( t) ( t, t ), ρ( t) ( t, t), t [ 0,] = =. Τότε η είναι αναπαραµέτρηη της ρ µε h( t) t, t [ 0,] ρ( h( t) ) ρ( t ) ( t, t ) ( t), t [ 0,] ευθύγραµµο τµήµα που υνδέει τα ηµεία ( 0,0 ) και (, ). =. Πράγµατι = = =. Εδώ το κοινό ίχνος των και ρ είναι το ) Έτω ( t) = ( os πt,si πt), t [ 0,] και ρ( t) ( os t,si t), t [ 0, π] ( t) = ρ( h( t) ) µε h( t) = πt, t [ 0,]. Πράγµατι, ρ( h( t) ) ρ( π t) ( os πt,si π t) ( t) =, τότε = = =. Εποµένως οι και ρ είναι ιοδύναµες καµπύλες. Εδώ το κοινό ίχνος των και ρ είναι ο µοναδιαίος κύκλος του xy επιπέδου. )Έτω ( t) ( t) z tω, t [ 0,] = +, όπου z, ω R µε z ω ( το προανατολιµένο ευθύγραµµο τµήµα από το z το ω ). t = 0+ t = t = t z+ t ω = t ω+ tz, t 0,, Τότε [ ] είναι το ευθύγραµµο τµήµα από το ω το z. 4)Έτω ( t) = ( os t,si t), t [ 0, π] τότε ( )( t) = ( π t) = ( os( π t),si( π t) ) = ( os ( t),si( t) ) Παρατηρούµε ότι η [ ] : 0, π R είναι ο µοναδιαίος κύκλος που διαγράφεται κατά την αντίθετη φορά από τον κύκλο ( t) ( os t,si t), t [ 0, π]. Οριµός: Έτω :[, ] R καµπύλη. )Η λέγεται κλειτή αν = )Η λέγεται απλή αν είναι υνάρτηη το [, ] της. =. δηλαδή δεν τέµνει τον εαυτό ) Η λέγεται απλή κλειτή καµπύλη, αν είναι κλειτή ( [, ) είναι. = ) και η Παραδείγµατα: ) Ο µοναδιαίος κύκλος µε την υνήθη παραµέτρηη : 0, π R : t = os t,si t, t 0, π είναι απλή και κλειτή καµπύλη. Η [ ] [ ] καµπύλη ρ :[ 0, π] R : ρ( t) ( os t,si t) ρ( π) = (,0) ρ( 0) = (,0). Παρατηρούµε ότι [ ] [ ρ] = δεν είναι κλειτή ούτε απλή, αφού =.
6 ) Έτω, R µε [ ] t + t, t 0,. Η καµπύλη ( t) = είναι ( t) + ( t ), t [, ] ρ ρ t = t + t, t 0,. κλειτή καµπύλη. Παρατηρούµε ότι [ ] = [ ], όπου [ ] ) Αν f :[, ] R R υνεχής υνάρτηη τότε η καµπύλη γ :[, ] R, γ( t) = ( t, f ( t) ), t [, ] είναι απλή. Αν η f είναι κατά τµήµατα C τότε η γ έχει µήκος, ( γ ) = + ( ') l f t t. ρ :, R και Παρατηρήεις ) Η έννοια της αναπαραµέτρηης καµπύλων [ ] :[, ] R, µπορεί να οριθεί και ως εξής: C απεικόνιη h :[, ] [, ] ώτε h και επί του [, ] θεωρούµε µια οι ρ και υνδέονται µέω της h ώτε ρoh R = [, ] h ρ [, ] = ρoh ώτε Επειδή η h είναι υνεχής και οριµένη ε διάτηµα έπεται ότι είναι είτε γνήια αύξουα ή γνήια φθίνουα και επειδή είναι διαφορίιµη θα έχουµε ότι είτε ' 0 t, h, h h ' t 0 για κάθε h ( t) για κάθε [ ] ( και άρα = = ) ή t [, ] ( και άρα h =, h = ). Στην πρώτη περίπτωη ( h '( t) 0 για κάθε t [, ] αναπαραµέτρηης που έχουµε ορίει. ' 0 ) έχουµε την έννοια της Στην δεύτερη περίπτωη ( h ( t) για κάθε t [, ] ϕ :[, ] [, ] : ϕ( t) t, t [, ] = ( ρoh) oϕ = ρo( hoϕ). Η υνάρτηη hoϕ :[, ] [, ] είναι ), θέτοµε = +, και παρατηρούµε ότι επί γνήια αύξουα και βέβαια C, άρα αναγόµατε την πρώτη περίπτωη. ( και οι δύο έννοιες αναπαραµέτρηης είναι ουιατικά οι ίδιες ) )Αποδεικνύεται ότι αν και ρ είναι απλές καµπύλες, (δηλαδή :[, ] R, και ρ :[, ] R κατά τµήµατα C καµπύλες οι οποίες είναι τα [, ] και [, ] αντίτοιχα, µε το ίδιο ίχνος δηλαδή [ ] = [ ρ] και επιπλέον '( t) 0, t [, ] και ρ '( t) 0, t [, ], τότε η µια αποτελεί αναπαραµέτρηη της άλλης από την έννοια της προηγούµενης παρατήρηης. ηλαδή υπάρχει h :[, ] [, ] C και επί ώτε = ρoh.
7 ) Έτω :[, ] R, κ,,..., N, ( N ) κ κ κ =, καµπύλες ώτε για κάθε κ =,,..., N, το τελικό ηµείο κ ταυτίζεται µε το αρχικό της κ + ( δηλαδή κ( κ ) = κ + ( κ + ) ). Έτι χηµατίζεται µια καµπύλη του R µε αρχικό ηµείο το και τελικό το N( N) f :[ ] R την οποία υµβολίζουµε µε = +... + N. Αν είναι υνεχής υνάρτηη τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι f s= f s+... + f s. N Ένας ανάλογος τύπος ιχύει και για τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα πρώτου είδους. ( Για την απόδειξη της παρατηρούµε ότι, µε µια αναπαραµέτρηη της κ που διατηρεί τον προανατολιµό µπορούµε να υποθέουµε ότι το πεδίο οριµού της είναι το διάτηµα [ κ, κ] και υνεπώς το πεδίο οριµού της είναι το [ ]. Θεώρηµα Έτω ρ :[, ] R καµπύλη και F :[ ] R διανυµατικό πεδίο. (ι) Αν είναι µια αναπαραµέτρηη της ρ τότε F s= F s (ιι) Αν [ ] ρoh. ρ 0, N.) κ ρ υνεχές ρ :, R είναι η αντίθετη καµπύλη της ρ τότε F s= F s :, Απόδειξη: (ι) Έτω [ ] = µε h :[, ] [, ], [, ] h ρ [, ] R h = ). Έπεται ότι, ρ Συνεπώς ρ ρ R µία αναπαραµέτρηη της ρ τότε βέβαια, [ ] = ρoh ' t = ' h t h ' t, t, ( κανόνας αλυίδας ) F s= F( ( t) ) '( t) t= F( ρ( h( t) )) ρ '( h( t) ) h '( t) t = ( ρ( )) ρ '( ) ' F h t h t h t t x= h( t) ( ρ) ρ ' F x x x= F s. (ιι) Έτω ρ ρoh Έπεται ότι, ρ h = ρ h ρ ' F x x x = και επί ( h ( ) = = όπου h :[, ] [, ] : h( t) t, t [, ] ( ) ' = +. F s= F s= F t t t = F ( t) ' t t = ρ F( ρ( h( t) )) ρ '( h( t) ) h '( t) t = ( ρ) ρ ' F x x x= F s ρ h h ' = και F ρ x ρ ' x t= F ρ x ρ x x=
8 Παρατήρηη. Παρατηρούµε ότι το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα β - είδους είναι ένα προανατολιµένο ολοκλήρωµα, υπό την έννοια ότι έχουµε αλλαγή του πρόηµου αν αντιτρέψουµε τον προανατολιµό της καµπύλης. Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα πρώτου είδους δεν έχει αυτή την ιδιότητα, όπως φαίνεται από το ακόλουθο:.4 Θεώρηµα. Έτω ρ :[, ] R καµπύλη και F :[ ] ρ R υνεχής ( πραγµατική ) υνάρτηη. (ι) Αν :[, ] R είναι αναπαραµέτρηη της ρ τότε Fs= Fs (ιι) Αν [ ]. ρ :, R είναι η αντίθετη καµπύλη της ρ τότε Fs= Fs ρ. ρ ρ Απόδειξη: (ι) Αποδεικνύεται µε τον ίδιο τρόπο όπως το (ι) του προηγουµένου θεωρήµατος. (ιι) Έτω ρ ρoh h :,, : h t = + t, t,, τότε = =, όπου [ ] [ ] [ ] ( t) = ( h( t) ) h ( t) = ( h( t) ) t [ ] ' ρ ' ' ρ ',, Έπεται ( ) ' Fs= Fs= F t t t = F ρ h( t) ρ ' h t h' t t = ρ ( ) ( ) F( ρ ( h( t) )) ρ '( h( t) ) t= F( ρ ( h( t) )) ρ '( h( t) ) h' ( t) t = x= h( t) h F( ρ( x) ) ρ '( x) x F( ρ( x) ) ρ '( x) x ρ = h ότι F( x ) ρ '( x) x Fs. = = Σηµείωη. Τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα µελετήθηκαν κατά τον 9 ο αιώνα ε χέη κυρίως µε προβλήµατα την Φυική, πιο υγκεκριµένα τον ηλεκτροµαγνητιµό, την ροή των ρευτών, ε προβλήµατα που εµπλέκουν δυνάµεις κτλ. Το επόµενο αποτέλεµα είναι ηµαντικό καθώς γενικεύει το Θεµελιώδες Θεώρηµα του Απειροτικού Λογιµού. Υπενθυµίζουµε ότι ένα διανυµατικό πεδίο F : U R R είναι πεδίο κλίεων αν υπάρχει f : U R R C υνάρτηη µε f f f F = f δηλαδή F( x) = ( x), ( x), ( x) x y z, (,, ) x = x y z U, U ανοικτό τον R. Αντίτοιχος οριµός δίδεται και για ένα διανυµατικό πεδίο κλίεων F : U R R,. Το αποτέλεµα που πρόκειται να αποδείξουµε διατυπώνεται και αποδεικνύεται, για λόγους απλότητας, για διανυµατικά πεδία F : U R R, αλλά βέβαια ιχύει και για διανυµατικά πεδία F : U R R.5 Θεώρηµα Έτω τµήµατα ) f : U R R, C καµπύλη. Τότε ιχύει f s= f f ( ) C υνάρτηη και :[, ] ρ U ( κατά
Απόδειξη: Θεωρούµε την ύνθετη υνάρτηη : [, ] 9 F t f t R. Από τον κανόνα αλυίδας έχουµε [, ] [ ] F ' t = f t ' t, t,, ( δηλαδή f f f F '( t) = ( t) x ' t + t y ' t + t z ' t x y z f U R R, F= fo ( ) ( ) ( ), t [, ] ( t) = x( t), y( t), z( t), t [, ] )., αν Η υνάρτηη F είναι υνεχής υνάρτηη πραγµατικής µεταβλητής οριµένη και κατά τµήµατα,. Έπεται από το θεµελιώδες Θεώρηµα του Απειροτικού C το [ ] Λογιµού ότι : F '( t) t= F F = f ( ) f ( ). Άρα, = ( ) ' f s f t t t = F '( t) t= f f. ( )