Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Τμήμα Πληροφορικής Προπτυχιακό Μάθημα: Πιθανότητες (Διδάσκων: Κων/νος Μπλέκας) Διάφορες Ασκήσεις πάνω στην 2 η Ενότητα: (Τυχαίες μεταβλητές, Συναρτήσεις πυκνότητας και κατανομής πιθανότητας, Γνωστές διακριτές και συνεχείς κατανομές) Άσκηση 1. f X (x) c -a 0 a Έστω τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) f X (x) που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. α) Βρείτε την μορφή της f X (x). β) Βρείτε την μορφή της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F X (x) της τ.μ. Χ. γ) Βρείτε το σημείο b για το οποίο συμβαίνει P( X < b) = 0.5. x Άσκηση 2. Έστω μια τυχαία μεταβλητή X η οποία ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ. α) Για d>0 και k έναν θετικό ακέραιο αριθμό, βρείτε τις επόμενες πιθανότητες: P( X d), P( kd X ( k 1) d), P( X kd) β) Χωρίστε τον θετικό ημιάξονα σε 5 ισοπίθανα ξένα μεταξύ τους διαστήματα. Άσκηση 3. Έστω Χ μία Διωνυμική τυχαία μεταβλητή ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης n πειραμάτων Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας ρ. α) Αν υποθέσουμε ότι Χ=1, ποια η πιθανότητα η μοναδική επιτυχία να παρουσιάστηκε στο k-οστό πείραμα; β) Έστω Χ=2. Ποια η πιθανότητα οι 2 επιτυχίες να παρουσιάστηκαν στο j-οστό και k-οστό πείραμα αντίστοιχα, θεωρώντας j<k. γ) Με βάση τις απαντήσεις σας στα α) και β) υποερωτήματα, πως κατανέμονται οι επιτυχίες στα n πειράματα Bernoulli, δηλ. πως επιλέγονται τυχαία οι θέσεις των επιτυχιών;
Άσκηση 4. Για το r-οστό ποσοστό π(r) των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής X είναι γνωστό ότι ισχύει r P( X ( r)). 100 α) Αν υποθέσετε ότι η τ.μ. X ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ, βρείτε τα ποσοστά π(r) για τις τιμές r=90, 95, και 99. β) Επαναλάβετε αν η τ.μ. Χ ακολουθεί κανονική κατανομή N(μ=0,σ 2 ). Άσκηση 5. Ένα κανάλι επικοινωνίας δέχεται στην είσοδό του μία τάση (u=+-1) και εξάγει μία τιμή τάσης (με θόρυβο) Y=u+N, όπου Ν είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ=0, σ 2 =1). Υποθέστε επίσης ότι το κανάλι χρησιμοποιείται για την μετάδοση δυαδικής πληροφορίας ως εξής: Είσοδος u = -1 μετάδοση 0 Είσοδος u = +1 μετάδοση 1 Το ψηφίο 0 στέλνεται αν η τάση εξόδου έχει αρνητική τιμή και 1 στην αντίθετη περίπτωση. Βρείτε την πιθανότητα σφάλματος αν μεταδοθεί 0 και αν μεταδοθεί 1. (Υπόδειξη: σκεφτείτε απλά πότε γίνεται σφάλμα για την περίπτωση μετάδοσης 0 και πότε για 1). Άσκηση 6. Μηνύματα φτάνουν σε ένα δίκτυο εξυπηρέτησης με ρυθμό 1 μήνυμα ανά sec. Έστω Χ ο χρόνος (σε secs) που απαιτείται για την άφιξη 5 μηνυμάτων. Βρείτε τις πιθανότητες P(X<6) και P(Χ>8). Υπόδειξη: κάντε όποιες βολικές υποθέσεις νομίζετε. Άσκηση 7. Ο αριθμός Χ των ατελειών σε υαλοπίνακες των 20m 2 ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο λ=0.2 ατέλειες/m 2. Ηλεκτρονική συσκευή καταγράφει τις ατέλειες με πιθανότητα αναγνώρισης ρ=0.9. Να υπολογιστεί: α) η κατανομή του αριθμού Υ των καταγραφομένων ατελειών, β) η πιθανότητα P(X>3 Y=2) Άσκηση 8. Έστω Χ ο αριθμός των ατόμων που περιμένουν ένα λεωφορείο. Υποθέστε ότι η τ.μ. Χ ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με παράμετρο ρ. Το λεωφορείο μπορεί να πάρει μέχρι Μ επιβάτες. Βρείτε την συνάρτηση μάζας πιθανότητας (σ.μ.π.) της μεταβλητής Υ=(Χ-Μ) +, που εκφράζει τον αριθμό των ατόμων που δεν ανέβηκαν στο λεωφορείο. Άσκηση 9. Η διάρκεια ζωής T σε ώρες ενός λαμπτήρα είναι τ.μ. με συνάρτηση κατανομής πιθανότητας k 1, x 1000 F x x. 0, x 1000 Να προσδιοριστεί η σταθερά k και η σ.π.π. της τ.μ. Χ. Ποια η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής να είναι μεγαλύτερη των 2000 ωρών δεδομένου ότι υπερέβη τις 1500 ώρες ;
Άσκηση 10. Αν ένα ανταλλακτικό προέρχεται από τη μονάδα παραγωγής Α τότε η διάρκεια ζωής του υπερβαίνει τις 200 h ενώ αν προέρχεται από τη μονάδα παραγωγής Β η διάρκεια ζωής του είναι μία τ.μ. X με σ.π.π. f 1 1 300 x x e, x 0. 300 Στο σύνολο των χρησιμοποιημένων εξαρτημάτων παρατηρήθηκε ότι το ποσοστό που υπερβαίνει τις 200 h (δηλ. είναι τύπου Α) είναι 90%. Να βρεθεί το ποσοστό των εξαρτημάτων που προέρχεται από την μονάδα Α. Άσκηση 11. Έστω η σ.κ.π. F(x) μιας τ.μ. Χ που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: F(x) 1 1/2 1/4 0 1 x α) Τι τύπου είναι η τυχαία μεταβλητή X ; β) Βρείτε τις ακόλουθες πιθανότητες με βάση την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F(x). PX 1/ 2 PX 0 PX 0 P1/ 4 X 1 P1/ 4 X 1 PX 1/ 2 PX 5 PX 5 4 c 1 x, 1 x 1 Άσκηση 12. Μια τυχαία μεταβλητή Χ έχει σ.π.π. f x. 0, α) Βρείτε την τιμή της σταθεράς c. β) Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας F(x). γ) Βρείτε την πιθανότητα P( X < ½ ). Άσκηση 13. Ένα κρουαζιερόπλοιο έχει χωρητικότητα 2000 θέσεων, για τις οποίες γίνεται κράτηση από τις προηγούμενες ημέρες για το επόμενο δρομολόγιο. Η πιθανότητα να μην εμφανιστεί ένας επιβάτης που έχει κάνει κράτηση είναι 0.001. Ποια είναι η πιθανότητα στο επόμενο δρομολόγιο να μην εμφανιστούν ένας αριθμός επιβατών μεταξύ 16 και 28 ; Υπόδειξη: Να λύσετε την Άσκηση με 2 τρόπους (δεν είναι απαραίτητο να βρείτε ακριβές τελικό αποτέλεσμα). Άσκηση 14. Υποθέστε ότι το ύψος των ατόμων ηλικίας 20 ετών είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή με παραμέτρους μ=180 cm και σ 2 =25. Ποιο είναι το ποσοστό των
ατόμων με ύψος άνω από 175 cm ; Ποιο είναι το ποσοστό των ατόμων με ύψος άνω των 180 cm, μεταξύ αυτών που είναι άνω των 175 cm ; Άσκηση 15. Οι μηχανικοί ενός εργοστασίου περιγράφουν την αξιοπιστία μιας μηχανής ως μία τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί μία κατανομή με την εξής συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: 0, x 1 2 3x f x,1 x 5 124 0 x 5 α) Βρείτε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F(x) της τ.μ. Χ. β) Υπολογίστε την πιθανότητα ο χρόνος λειτουργίας της μηχανής να είναι περισσότερος από 2 ώρες αλλά λιγότερος από 4 ώρες. Άσκηση 16. Έστω μία τ.μ. Χ με την εξής σ.π.π. f(x) 2a 2a 1/4 2 3 5 6 α) Βρείτε την τιμή της σταθεράς a. β) Βρείτε τη μορφή της συνάρτησης κατανομής πιθανότητας F(x) της τ.μ. Χ. x Άσκηση 17. Ένα σύστημα αποτελείται από 2 επεξεργαστές και 3 περιφερειακές μονάδες. Το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση λειτουργίας όταν τουλάχιστον ένας επεξεργαστής και τουλάχιστον 2 περιφερειακές μονάδες βρίσκονται σε κατάσταση λειτουργίας. Βρείτε τη συνάρτηση αξιοπιστίας του συστήματος αν η διάρκεια ζωής κάθε επεξεργαστή και κάθε περιφερειακής μονάδας ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο 0.2 και 0.1, αντίστοιχα. Άσκηση 18. Ένα δυαδικό στοχαστικό σήμα Χ, με πιθανότητα ίση με 1/3 (2/3) να είναι 0 (1), μεταδίδεται μέσω ενός καναλιού. Στο κανάλι υπάρχει (λευκός) θόρυβος Ζ που ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή, Ν(μ=0,σ 2 =1). Έτσι το σήμα που λαμβάνεται στην έξοδο τελικά είναι το Υ=Χ+Ζ, και στη συνέχεια αποκωδικοποιείται ως εξής: αν Υ<α τότε το σήμα εξόδου είναι 0, ενώ αν Υ α τότε 1, όπου α μία σταθερά. Βρείτε την πιθανότητα σφάλματος της μετάδοσης του σήματος, δηλ. στην έξοδο να λάβουμε 0 (1) ενώ στην είσοδο εισέρχεται το 1 (0), αν α=0.6. x e, x 0 Άσκηση 19. Η τ.μ. Χ ακολουθεί την (τυπική) εκθετική κατανομή με σ.π.π. f x. 0, x 0 Βρείτε τις συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας των ακόλουθων συναρτήσεων: α) Υ 1 = e -X, β) Y 2 = 2 X, γ) Y 3 = ln(x), δ) Y 4 = (X-1) 2
Άσκηση 20. Μία μηχανή ενός εργοστασίου γεμίζει αυτόματα μια παρτίδα από φιάλες με ένα υγρό. Η πραγματική ποσότητα υγρού που αποθηκεύεται στις φιάλες είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μ=360 ml και τυπική απόκλιση σ=4 ml. α) Σε τι ποσοστό από τις φιάλες ο όγκος του υγρού που θα αποθηκευτεί είναι λιγότερος από 355 ml ; β) Ποιο πρέπει να είναι η τιμή της παραμέτρου μ της κατανομής της μηχανής ώστε μόλις στο 2.5 % των φιαλών να αποθηκευθεί υγρό μικρότερο από 355 ml ; Άσκηση 21. Μία πηγή παράγει στοχαστικά διγράμματα (δηλ. ζεύγη χαρακτήρων π.χ. ab, ac κλπ.) από ένα αλφάβητο αποτελούμενο από 4 χαρακτήρες {a, b, c, d}. Στο δίγραμμα καθένας από τους 2 χαρακτήρες παράγεται ανεξάρτητα, ενώ η πιθανότητά τους είναι: P(a)=1/2, P(b)=1/4, P(c)=P(d)=1/8. Στη συνέχεια εφαρμόζεται μία μέθοδο κωδικοποίησης των διγραμμάτων σε δυαδικούς αριθμούς με βάση το ακόλουθο σχήμα: a 0 b 10 c 110 d 111 Έτσι για παράδειγμα το δίγραμμα {ac} κωδικοποιείται ως 0110. Έστω ότι συμβολίζουμε με X την τυχαία μεταβλητή που περιγράφει το μήκος (σε bits) του δυαδικού κώδικα ενός διγράμματος. α) Ποιο είναι το σύνολο τιμών Ω Χ της τυχαίας μεταβλητής Χ; β) Βρείτε την συνάρτηση μάζας πιθανότητας σ.μ.π. της τ.μ. Χ. γ) Υπολογίστε και σχεδιάστε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας σ.κ.π. δ) Υπολογίστε τις πιθανότητες P(X > 1) και P(1 < X 4). kx 0 x 1 Άσκηση 22. Έστω συνεχής τ.μ. Χ με σ.π.π. f x, όπου k μία σταθερά. Βρείτε και 0 σχεδιάστε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας F X (x) και στη συνέχεια υπολογίστε την πιθανότητα P(1/4< X 2). 1 2 Άσκηση 23. Βρείτε την τιμή της σταθεράς a της συνάρτησης x xa f x e ώστε να είναι σ.π.π. - x Άσκηση 24. α) Έστω συνεχής τ.μ. Χ με σ.κ.π. F X (x) και έστω ότι συμβολίζουμε με Y= F X (X). Δείξτε ότι η τ.μ. Υ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο (0, 1). x e, x 0 β) Έστω συνεχής τ.μ. Χ που ακολουθεί την τυπική εκθετική, δηλ. έχει σ.π.π. f x. 0, x 0 Βρείτε τον κατάλληλο μετασχηματισμό Y=g(X) ώστε η σ.π.π. της τ.μ. Υ να είναι η 1,0 y 1 y f 2 y. 0,
Άσκηση 25. Βρείτε την συνάρτηση αξιοπιστίας ενός συστήματος 8 συσκευών με την παρακάτω συνδεσμολογία, όπου ο χρόνος ζωής των συσκευών ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ 1 =2 για τις λευκές και λ 2 =1 για τις γκρίζες συσκευές. Άσκηση 26. Σε ένα νοσοκομείο γεννήθηκαν μία συγκεκριμένη ημέρα 20 παιδιά. Αν είναι γνωστό ότι από τα 20 παιδιά τα 9 είναι αγόρια, ποια είναι η πιθανότητα τα αγόρια να γεννήθηκαν στις 9 τελευταίες γεννήσεις; Άσκηση 27. Ένας πύραυλος εδάφους-αέρος προκαλεί καίρια βλάβη σε ένα πολεμικό αεροπλάνο με πιθανότητα 1/4, του προκαλεί σοβαρή βλάβη με πιθανότητα 1/4, και αστοχεί με πιθανότητα 1/2. Το αεροσκάφος καταρρίπτεται αν υποστεί καίρια βλάβη ή αν υποστεί τουλάχιστον 2 σοβαρές βλάβες. Να υπολογιστεί η πιθανότητα κατάρριψης του πολεμικού αεροσκάφους αν εκτοξεύσουμε εναντίον του 4 πυραύλους. Άσκηση 28. Σε ένα τουρνουά 2 ομάδες Α και Β αγωνίζονται μεταξύ τους και η ομάδα που θα συμπληρώσει 4 νίκες κατακτά το κύπελλο. Έστω ότι κάθε ομάδα έχει πιθανότητα 1/2 να κερδίσει σε ένα αγώνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει το κύπελλο η ομάδα Α; β) Ποια η πιθανότητα το τουρνουά να διαρκέσει k αγώνες (k = 4, 5, 6, 7); γ) Αν διεξήχθησαν k αγώνες, ποια είναι η πιθανότητα να κατακτήσει το κύπελλο η ομάδα Α; Άσκηση 29. Ο αριθμός των γεννήσεων σε ένα μικρό νοσοκομείο σε μία μέρα ακολουθεί την κατανομή Poisson. Αν η πιθανότητα να συμβεί το πολύ μία γέννηση (σε μία ημέρα) είναι 4πλάσια της πιθανότητας να συμβούν ακριβώς 2 γεννήσεις (σε μία ημέρα), να υπολογιστεί η πιθανότητα α) να μην συμβεί γέννηση σε μία ημέρα β) να συμβούν το πολύ δύο γεννήσεις σε μια ημέρα. Άσκηση 30. Ένα ραντάρ εκτιμά την απόσταση ενός αεροσκάφους. Το σφάλμα εκτίμησης ακολουθεί μία κανονική κατανομή με μέση τιμή 50 μέτρα και τυπική απόκλιση 100 μέτρα. Ποια είναι η πιθανότητα η εκτιμούμενη απόσταση να είναι μικρότερη της πραγματικής απόστασης; Άσκηση 31. Η διάρκεια ζωής ενός μικροεπεξεργαστή (σε μήνες) ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(50, 5 2 ) αν είναι τύπου Α και Ν(30, 5 2 ) αν είναι τύπου Β. Γνωρίζουμε ότι σε ένα μεγάλο
υπολογιστικό κέντρο, το 25% των μικροεπεξεργαστών είναι τύπου Α ενώ το 75% τύπου Β. Να βρεθεί η πιθανότητα μια υπολογιστική μονάδα να έχει μικροεπεξεργαστή τύπου Β αν η διάρκεια ζωής της ήταν μικρότερη από 40 μήνες. Άσκηση 32. Η διάρκεια ζωής (σε έτη) των κατοίκων μιας χώρα είναι μια εκθετική τυχαία μεταβλητή με παράμετρο λ=1/70. Να βρεθεί η πιθανότητα: α) να πάρει σύνταξη ένα νεογέννητο όταν το όριο ηλικίας συνταξιοδότησης είναι το 67 ο έτος. β) να συνταξιοδοτηθεί ένας κάτοικος ο οποίος είναι σήμερα σε ηλικία 47 ετών. Άσκηση 33. f(x) 2a a 1 3 5 8 x Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Βρείτε και σχεδιάστε την συνάρτησης κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) και στην συνέχεια υπολογίστε τις επόμενες πιθανότητες P(1<X 3), P(X 5), P(X 6), P(X 8). Άσκηση 34. Οι ημερήσιες παραγγελίες (σε 100-άδες χιλιάδες τεμάχια) που δέχεται ένα εργοστάσιο το οποίο κατασκευάζει CD περιγράφονται από μία τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση κατανομής: 0, x 0 2 1 ax, 0 x F 2 X x 2 1 ax x, x 1 2 1, x 1 όπου a είναι μία πραγματική σταθερά. Υποθέτουμε ότι οι ημερήσιες παραγγελίες είναι λιγότερες από 100000 τεμάχια. Να υπολογιστούν: α) η τιμή της σταθεράς a. β) οι πιθανότητες σε μία ημέρα να παραγγελθούν : i) τουλάχιστον 25000 τεμ., ii) το πολύ 75000 τεμ., iii) περισσότερα από 50000 τεμ., iv) ακριβώς 50000 τεμ., v) ακριβώς 75000 τεμ. γ) Αν κάποια ημέρα οι παραγγελίες έχουν ξεπεράσει τα 25000 τεμ., ποια η πιθανότητα να υπερβούν και τα 75000 τεμ. Άσκηση 35. Η πιθανότητα να δεχτεί μία ασφαλιστική εταιρεία μία τουλάχιστον αίτηση αποζημίωσης σε μία ημέρα είναι σταθερή και ίση με ρ. Έχει παρατηρηθεί ότι σε 10 ημέρες η πιθανότητα να συμβούν 5 αιτήσεις είναι εξαπλάσια της πιθανότητας να συμβούν 4 αιτήσεις. α) Να υπολογιστεί η τιμή του ρ. β) Να υπολογιστεί η πιθανότητα σε 8 ημέρες να συμβούν i) τουλάχιστον 1 αίτηση και ii) το πολύ 7 αιτήσεις.
γ) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ημερών στις οποίες η εταιρεία θα δεχτεί τουλάχιστον μία αίτηση με πιθανότητα 90% ; Άσκηση 36. Ο έλεγχος parity (parity check) είναι ο συνήθης έλεγχος που γίνεται κατά την μετάδοση πληροφορίας σύμφωνα με τον οποίο, αν υποθέσουμε ότι ο υπολογιστής χρησιμοποιεί λέξεις με n δυαδικά ψηφία (bits), τότε δίπλα σε κάθε μεταδιδόμενη λέξη τοποθετείται άλλο ένα bit (parity digit) ώστε το σύνολο των 1 στις n+1 θέσεις να είναι άρτιο. Όταν η λέξη με τα n+1 bits ληφθεί από τον παραλήπτη, γίνεται έλεγχος στο πλήθος των 1 και αν αυτό δεν βρεθεί άρτιο γίνεται δήλωση λανθασμένης μετάδοσης δεδομένων. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα να μεταδοθεί σωστά ένα bit είναι ρ (0<ρ<1), ενώ ότι το parity digit μεταδίδεται πάντα σωστά (με πιθανότητα 1). α) Να βρεθεί η κατανομή του αριθμού Χ των bits που μεταδίδονται σωστά. β) Ποια είναι η πιθανότητα μία λέξη να μεταδοθεί λανθασμένα αλλά να μην ανιχνευτεί; γ) Να γίνει εφαρμογή για ρ=0.98, n=3 και n=7. Άσκηση 37. Μία αθλήτρια του άλματος εις ύψος, επεξεργαζόμενη στοιχεία από τις προπονήσεις της, ανακαλύπτει ότι κατόρθωσε να ξεπεράσει τα 1.85 μ στο 20% των προπονήσεών της, ενώ τα 1.70 στο 90% των προπονήσεών της. Υποθέτοντας ότι το ύψος Χ που μπορεί να υπερπηδήσει η αθλήτρια είναι μία τ.μ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή, α) να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων μ, σ 2 της κατανομής. β) Να υπολογίσετε επίσης το ύψος που αναμένεται να ξεπεράσει τουλάχιστον μία φορά σε 1000 προπονήσεις. γ) Εάν παρατηρήθηκε ότι στο 10% των προπονήσεων η αθλήτρια υπερπηδά το ύψος 1.90, πόσες προπονήσεις πρέπει να περάσουν από την έναρξης της αθλητικής χρονιάς, ώστε με πιθανότητα 80% να φτάσει σε αυτόν τον στόχο; Άσκηση 37 (θέμα εξεταστικής Φεβρουαρίου 2012). Δίνεται η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ: 0 x 0 b 0 x 1 4 1 b 1 F ( x) 1 x 2. 2 4 11 2 x 3 12 1 x 3 α) Να βρείτε τις πιθανότητες P(X=i), i=1,2,3. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P(1/2 < X < 3/2), P(1 X <3).\ Άσκηση 38. (θέμα εξεταστικής Φεβρουαρίου 2012) Έστω τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση 2 ax bx 0 x 1 πυκνότητας: f ( x) με μέση τιμή E(X)=0.6. 0 α) Βρείτε τις τιμές των σταθερών a, b. β) Υπολογίστε την πιθανότητα P(X<1/2). γ) Υπολογίστε την διακύμανση V(X).
Άσκηση 39. (θέμα εξεταστικής Σεπτεμβρίου 2012) α) Έστω μια συνεχής τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.): x 0 x 2 f x. 0 Να βρεθεί η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.), η μέση τιμή και η διακύμανση της τ.μ. Χ. 2 bx β) Η ταχύτητα X ενός σωματιδίου με μάζα m είναι τ.μ. με σ.π.π. f ( x) ax e, x 0, όπου b μια 1 2 σταθερά. Βρείτε την σ.π.π. της κινητικής ενέργειας W, που δίνεται από το γνωστό τύπο W mx. 2 Άσκηση 40. Ένας πωλητής έχει προγραμματίσει δύο ραντεβού για να πουλήσει εγκυκλοπαίδειες. Το πρώτο ραντεβού θα καταλήξει σε πώληση με πιθανότητα 0.3, και το δεύτερο θα καταλήξει σε πώληση (ανεξάρτητα από το πρώτο) με πιθανότητα 0.6. Κάθε πώληση έχει την ίδια πιθανότητα να αφορά είτε την πολυτελή έκδοση που κοστίζει 1000 Ευρώ, είτε την βασική έκδοση που κοστίζει 500 Ευρώ. Υπολογίστε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας (διακριτής) μεταβλητής που εκφράζει την συνολική αξία όλων των πωλήσεων σε ευρώ. Άσκηση 41. Ένα κουτί έχει 5 κόκκινους και 5 μπλε βόλους. Αφαιρείται 2 βόλους στην τύχη. Αν έχουν το ίδιο χρώμα, κερδίζετε 1,10 ευρώ, ενώ αν έχουν διαφορετικό χρώμα, κερδίζετε -1,00 ευρώ (δηλ. χάνετε 1,00 ευρώ). Υπολογίστε: α) τη μέση τιμή του ποσού που κερδίζετε, και β) τη διακύμανση του ποσού που κερδίζετε. Άσκηση 42. (θέμα προόδου Δεκεμβρίου 2011) α) (10%) Αν η τ.μ. X ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 0.5, να βρεθεί η κατανομή της Y=e - X και στη συνέχεια η μέση τιμή και η διακύμανσή της. β) (10%) Υπολογίστε την μέση τιμή και την διακύμανση της τ.μ. Χ στις επόμενες περιπτώσεις: i) Χ είναι ο αριθμός των άσσων (1) σε n ζαριές. ii) Χ μετρά το πλήθος των ζαριών μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά ο άσσος (1). iii) Χ έχει σ.π.π. f(x) = 4 e -4x, x>0 2 ( x1) 1 4 iv) Χ έχει σ.π.π. f ( x) e 2, - < x < + Άσκηση 43. (θέμα προόδου Δεκεμβρίου 2011) Το βάρος (σε κιλά) ενός ζώου είναι μία τ.μ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 100 και τυπική απόκλιση 16. α) Βρείτε την πιθανότητα το βάρος του να είναι μεταξύ 50 και 80 κιλά. β) Βρείτε την πιθανότητα το βάρος του να είναι περισσότερο από 130 κιλά. γ) Αν υποθέσετε ότι επιλέχτηκαν τυχαία 10 ζώα για μια μελέτη, βρείτε την πιθανότητα τουλάχιστον 2 από αυτά να έχουν βάρος περισσότερο από 130 κιλά. Άσκηση 44. (θέμα προόδου Δεκεμβρίου 2011) Η θερμοκρασία ενός υγρού είναι τ.μ. Χ με σ.π.π.
c 0 x 10 f ( x) 1 c3 x 10 x 30. 10 α) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου c. β) Να βρείτε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) γ) Να υπολογιστεί η πιθανότητα η θερμοκρασία του υγρού να είναι τουλάχιστον 20. Άσκηση 45. Να βρείτε την συνάρτηση ροπογεννήτριας της Γεωμετρικής και της Κανονικής κατανομής και στη συνέχεια να βρείτε την μέση τιμή και διακύμανση χρησιμοποιώντας την συνάρτηση αυτή.