ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ

Κεφάλαιο 6 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΜΕ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Εισαγωγή Μια σηµαντική υπόθεση του απλού νεοκλασικού υποδείγµατος ήταν ότι ο ρυθµός αποταµίευσης είναι σταθερός και εξωγενώς δεδοµένος. Η υπόθεση αυτή συµβάλλει αποφασιστικά στην απλοποίηση της διαδικασίας επίλυσης του υποδείγµατος. Όµως µια πιο ρεαλιστική προσέγγιση είναι ότι ο ρυθµός αποταµίευσης σε µια οικονοµία είναι ενδογενής και προσδιορίζεται από την αριστοποιητική συµπεριφορά των ατόµων. Στο Κεφάλαιο αυτό επεκτείνεται το απλό νεοκλασικό υπόδειγµα υιοθετώντας µια προσέγγιση όπου τα νοικοκυριά επιλέγουν διαχρονικά την κατανάλωση και την αποταµίευση µεγιστοποιώντας τη συνάρτηση χρησιµότητάς τους κάτω από ένα διαχρονικό εισοδηµατικό περιορισµό. Οι επιχειρήσεις από την άλλη πλευρά επιλέγουν τις ποσότητες φυσικού κεφαλαίου και εργασίας που θα χρησιµοποιήσουν για την παραγωγή του προϊόντος τους έτσι ώστε να µεγιστοποιήσουν τα κέρδη τους. Το νεοκλασικό υπόδειγµα µε διαχρονική αριστοποίηση συµπεριφοράς αναπτύχθηκε αρχικά από τον Ramsey 1928 και για το λόγο αυτό έχει µείνει γνωστό στη βιβλιογραφία σαν το υπόδειγµα Ramsey. Στη γενική του µορφή το πρόβληµα της αποκεντρωµένης ανταγωνιστικής οικονοµίας αναφέρεται στην περίπτωση όπου η αλληλεπίδραση της αριστοποιητικής συµπεριφοράς των διαφόρων φορέων της οικονοµίας προσδιορίζει την ισορροπία του συστήµατος. Έτσι στο υπόδειγµα αυτό η δυναµική εξέλιξη των συνολικών µεγεθών της οικονοµίας προσδιορίζεται από αποφάσεις των ατόµων και των επιχειρήσεων σε µικροοικονοµικό επίπεδο. Τα νοικοκυριά προσδιορίζουν τη ζήτηση για το προϊόν της οικονοµίας µεγιστοποιώντας τη χρησιµότητά τους ενώ οι επιχειρήσεις προσδιορίζουν την προσφορά του προϊόντος µεγιστοποιώντας τα κέρδη τους. Η αλληλεπίδραση µεταξύ προσφοράς και ζήτησης προσδιορίζει την ισορροπία στην αγορά προϊόντος. Αποφεύγοντας τυχόν ατέλειες που πιθανώς να υπάρχουν σε ένα τέτοιο σύστηµα αποκεντρωµένης οικονοµίας το υπόδειγµα του Ramsey

106 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης προσδιορίζει µια ισορροπία η οποία είναι άριστη κατά Pareo. Αυτό σηµαίνει ότι εάν κάποιος ανεξάρτητος προγραµµατιστής κοινωνικός σχεδιαστής είχε την εξουσία και τη δυνατότητα να διαχειρίζεται όλους τους πόρους της οικονοµίας µε σκοπό την µεγιστοποίηση της ευηµερίας των ατόµων δεν θα µπορούσε να επιτύχει καλύτερο αποτέλεσµα από αυτό της αποκεντρωµένης οικονοµίας. Σύµφωνα µε τα παραπάνω οι βασικοί στόχοι του Κεφαλαίου είναι: Η επίλυση του προβλήµατος της διαχρονικής µεγιστοποίησης της χρησιµότητας των νοικοκυριών µε τη χρήση της µεθόδου του Hamilon για την επίλυση δυναµικών προβληµάτων αριστοποίησης. Η εισαγωγή στην ανάλυση της κοινωνικής ευηµερίας µε τη σύγκριση των λύσεων των προβληµάτων της αποκεντρωµένης οικονοµίας και του κοινωνικού σχεδιαστή. Η συµπεριφορά των νοικοκυριών στην αποκεντρωµένη οικονοµία Έστω ότι στην πλευρά της ζήτησης η οικονοµία αποτελείται από νοικοκυριά τα οποία ζουν απεριόριστα. Τα νοικοκυριά αυτά λαµβάνουν µισθούς για την εργασία που προσφέρουν και τόκους για τα περιουσιακά στοιχεία που συσσωρεύουν ενώ αγοράζουν αγαθά για κατανάλωση και αποταµιεύουν συσσωρεύοντας καινούργια περιουσιακά στοιχεία. Τα νοικοκυριά δηλαδή υπόκεινται στον παρακάτω εισοδηµατικό περιορισµό: B = w L + r B C 6.1 όπου B είναι τα περιουσιακά στοιχεία w ο µισθός και r το επιτόκιο. Η εξίσωση 6.1 δηλώνει ότι η µεταβολή των περιουσιακών στοιχείων των νοικοκυριών ισούται µε το εισόδηµα από εργασία και τόκους µείον την κατανάλωση. Εάν υποτεθεί όπως και στο απλό νεοκλασικό υπόδειγµα ότι ο ρυθµός αύξησης του πληθυσµού είναι σταθερός και ίσος µε n τότε ο συνολικός πληθυσµός αφού υποτεθεί επίσης για λόγους απλούστευσης ότι στην αρχική περίοδο =0 η οικονοµία αποτελείται από ένα µόνο άτοµο L 0 = 1 δίνεται ανά πάσα χρονική στιγµή από την εξίσωση: n L = e 6.2 Η εξίσωση 6.1 µπορεί τότε να γραφεί σε κατά κεφαλήν όρους ως εξής:

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 107 b = w + r b nb 6.3 B C όπου b = και =. L L Ένα σηµαντικό σηµείο στα προβλήµατα που εξετάζουν διαχρονικά τη συµπεριφορά των νοικοκυριών είναι ότι για να εξασφαλιστεί η ύπαρξη συνεπούς λύσης πρέπει να αποκλειστεί η περίπτωση τα νοικοκυριά να δανείζονται υπερβολικά επ άπειρον για να χρηµατοδοτούν τις δαπάνες τους. Για το σκοπό αυτό πρέπει να εισαχθεί ο διαχρονικός περιορισµός ότι η παρούσα αξία των τρεχουσών και µελλοντικών περιουσιακών στοιχείων των νοικοκυριών είναι ασυµπτωτικά µη αρνητική. Αυτή η συνθήκη συνεπάγεται ότι τα νοικοκυριά δεν µπορούν να δανείζονται τόσο ώστε στο τέλος της οικονοµικής ζωής τους να βρίσκονται µε χρέος ή ισοδύναµα ότι το χρέος των νοικοκυριών δεν αυξάνει ασυµπτωτικά µε ρυθµό µεγαλύτερο από το επιτόκιο. Σε µαθηµατικούς όρους πρέπει δηλαδή να ισχύει ο περιορισµός: r s n ds lim b e 0 0 6.4 Ο σκοπός κάθε νοικοκυριού είναι να µεγιστοποιήσει τη διαχρονική του χρησιµότητα. Αν υποτεθεί για λόγους απλούστευσης ότι η οικονοµία αποτελείται από ένα µόνο νοικοκυριό µε L µέλη τότε η διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας του νοικοκυριού αυτού µπορεί να οριστεί σαν: U = 0 ρ ρ u Le d = u e e d 6.5 0 n όπου ρ είναι ο συντελεστής διαχρονικής προτίµησης rae of ime preferene. Όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή του ρ τόσο µικρότερη αξία σε όρους χρησιµότητας έχει η µελλοντική κατανάλωση για το νοικοκυριό σε σχέση µε την τρέχουσα κατανάλωση. Για τη στιγµιαία συνάρτηση χρησιµότητας u γίνονται οι υποθέσεις ότι: 1 είναι αύξουσα u >0 και κοίλη u <0 2 ικανοποιεί τις συνθήκες Inada: lim u = 0 και lim u = 0.

108 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Η µαθηµατική λύση του παραπάνω διαχρονικού προβλήµατος µεγιστοποίησης της εξίσωσης 6.5 κάτω από τους περιορισµούς 6.3 και 6.4 γίνεται µε τη χρήση της εξίσωσης του Hamilon: 19 J = u e ρn + v [ w + r n b ] 6.6 όπου ο πολλαπλασιαστής v είναι η παρούσα αξία της σκιώδους τιµής του εισοδήµατος σε µονάδες χρησιµότητας. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της αρχικής εξίσωσης του Hamilon είναι: = 0 J ρn v = u e 6.7 J = ν b ν = r n v 6.8 Επιπλέον πρέπει να ισχύει η συνθήκη: lim ν b = 0 6.9 Η παραπάνω συνθήκη είναι γνωστή ως τερµατική συνθήκη ransversaliy ondiion και δηλώνει ότι η αξία των περιουσιακών στοιχείων κάθε νοικοκυριού τείνει στο µηδέν καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Από τις 6.8 και 6.9 συνεπάγεται ότι ο κατά κεφαλήν πλούτος δεν πρέπει να αυξάνεται διαχρονικά µε ρυθµό µεγαλύτερο από r n ή ότι ο συνολικός πλούτος δεν πρέπει να αυξάνεται µε ρυθµό µεγαλύτερο από r. Μια διαφορετική ερµηνεία της εξίσωσης 6.9 είναι ότι τα άτοµα δεν επιθυµούν να έχουν καθόλου περιουσιακά στοιχεία στο τέλος της ζωής τους θεωρώντας ότι το άπειρο συµπίπτει µε το τέλος της ζωής των νοικοκυριών. Κάθε άλλη συµπεριφορά δεν συµβαδίζει µε τις αρχές της διαχρονικής αριστοποίησης γιατί θα ήταν αντίθετο προς τη µεγιστοποίηση της διαχρονικής χρησιµότητας να διατηρούν τα νοικοκυριά περιουσιακά στοιχεία µετά το τέλος της ζωής τους. 20 19 Για τις µεθόδους επίλυσης παρόµοιων διαχρονικών προβληµάτων βλ. Dixi 1990 Chiang 1992 Barro και Sala-I-Marin 2003 και de la Fuene 2000. H συνάρτηση του Hamilon µπορεί iσοδύναµα να διατυπωθεί σε όρους παρούσας αξίας και να επιλυθεί µε βάση τις τροποποιηµένες συνθήκες πρώτης τάξης καταλήγοντας στο ίδιο αποτέλεσµα βλ. για παράδειγµα Κεφάλαιο 9. 20 Για την τερµατική συνθήκη και την οικονοµική ερµηνεία της βλ. MCallum 1996.

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 109 ιαφορίζοντας την εξίσωση 6.7 ως προς το προκύπτει: 21 ρn ν = u e ρ n u e u ν = v ρ n u ρn 6.10 Από τις εξισώσεις 6.8 και 6.10 προκύπτει ότι: u r = ρ u 6.11 Η παραπάνω εξίσωση είναι γνωστή σαν η εξίσωση του Euler και αποτελεί τη βασική συνθήκη για την άριστη επιλογή της κατανάλωσης διαχρονικά. Η εξίσωση του Euler λέει ότι τα νοικοκυριά κατανέµουν διαχρονικά την κατανάλωσή τους µε τέτοιο τρόπο ώστε να εξισώνουν την απόδοση των αποταµιεύσεών τους r µε την απόδοση της κατανάλωσης δεξιό µέλος της εξίσωσης του Euler. Όσο µεγαλύτερη είναι η απόδοση των αποταµιεύσεων τόσο περισσότερο τα νοικοκυριά επιθυµούν να αυξήσουν την τρέχουσα αποταµίευση και να µεταφέρουν κατανάλωση σε µελλοντικές περιόδους. Από την άλλη πλευρά όσο µεγαλύτερη είναι η απόδοση της κατανάλωσης τόσο περισσότερο τα νοικοκυριά επιθυµούν να µεταφέρουν µελλοντική κατανάλωση στο παρόν µειώνοντας την τρέχουσα αποταµίευση. Τα νοικοκυριά είναι αδιάφορα µεταξύ αποταµίευσης και κατανάλωσης όταν οι δυο αυτές αποδόσεις είναι ίσες. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τα νοικοκυριά επιθυµούν να µεταφέρουν µελλοντική κατανάλωση στο παρόν για δυο λόγους. Πρώτον γιατί εκτιµούν περισσότερο την παρούσα χρησιµότητα σε σχέση µε τη µελλοντική κάτι που εκφράζεται από την παρουσία του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης ρ στο δεξιό µέλος της εξίσωσης του Εuler. εύτερον η µελλοντική αύξηση της κατανάλωσης αυξάνει την οριακή χρησιµότητα της κατανάλωσης γεγονός που κάνει τα νοικοκυριά να επιθυµούν να µεταφέρουν µελλοντική κατανάλωση στο παρόν. Μια πολύ διαδεδοµένη συνάρτηση χρησιµότητας είναι η συνάρτηση στιγµιαίας χρησιµότητας που ορίζεται από την εξίσωση: 21 Για απλούστευση της παρουσίασης παραλείπεται ο δείκτης.

110 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης 1θ u = 1 θ 6.12 Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή σαν συνάρτηση χρησιµότητας µε σταθερή σχετική αποστροφή ως προς τον κίνδυνο onsan relaive ris aversion CRRA. Η ονοµασία της συνάρτησης προέρχεται από την ελαστικότητα της οριακής χρησιµότητας ως προς την κατανάλωση η οποία u ισούται µε και δίνει το συντελεστή σχετικής αποστροφής ως u προς τον κίνδυνο. Στην περίπτωση της συνάρτησης χρησιµότητας CRRA ο συντελεστής αυτός είναι σταθερός δηλαδή είναι ανεξάρτητος του επιπέδου της κατανάλωσης και ίσος µε θ. Η εξίσωση του Εuler για αυτή τη συνάρτηση χρησιµότητας απλοποιείται σηµαντικά και γίνεται: 1 = r ρ θ 6.13 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε σχέση µε την 6.13 παρουσιάζει µια εναλλακτική ερµηνεία του συντελεστή σχετικής αποστροφής ως προς τον κίνδυνο. Συγκεκριµένα ο συντελεστής θ 1 ορίζεται σαν η ελαστικότητα υποκατάστασης της κατανάλωσης µεταξύ διαφορετικών χρονικών περιόδων δηλαδή εκφράζει την ευκολία µε την οποία τα άτοµα επιθυµούν να µεταφέρουν κατανάλωση από µια περίοδο σε µια άλλη. Όσο πιο µικρή είναι η τιµή του θ και άρα όσο µεγαλύτερη είναι η ελαστικότητα υποκατάστασης τόσο πιο αργά µειώνεται η οριακή χρησιµότητα καθώς αυξάνει η κατανάλωση και άρα τόσο περισσότερο είναι διατεθειµένα τα άτοµα να αποδεχθούν αποκλίσεις από µια διαχρονικά οµοιόµορφη κατανοµή της κατανάλωσης. Κατά συνέπεια σύµφωνα µε την 6.13 η άριστη συµπεριφορά των ατόµων οδηγεί σε ρυθµό µεταβολής της κατά κεφαλήν κατανάλωσης ο οποίος ισούται µε το γινόµενο της ελαστικότητας υποκατάστασης επί τη διαφορά µεταξύ επιτοκίου αµοιβής µέσω µελλοντικής κατανάλωσης και συντελεστή διαχρονικής προτίµησης ανυποµονησίας. Όταν το επιτόκιο είναι υψηλό ή τα άτοµα είναι λιγότερο ανυπόµονα τότε θα υπάρχει µεγαλύτερη αποταµίευση µε συνέπεια ο ρυθµός µεταβολής της κατανάλωσής τους να είναι µεγαλύτερος. Η τάση αυτή θα ενισχύεται όταν η

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 111 ελαστικότητα υποκατάστασης είναι υψηλή δηλαδή η µελλοντική κατανάλωση αποτελεί καλό υποκατάστατο της τρέχουσας κατανάλωσης. Να σηµειωθεί ότι η συνάρτηση χρησιµότητας CRRA αποτελεί µια γενικευµένη µορφή η οποία περιλαµβάνει ορισµένες ενδιαφέρουσες συναρτήσεις χρησιµότητας σαν ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγµα καθώς το θ τείνει στο µηδέν η συνάρτηση χρησιµότητας τείνει να γίνει γραµµική ως προς την κατανάλωση ενώ καθώς το θ τείνει στη µονάδα η συνάρτηση χρησιµότητας προσεγγίζει τη λογαριθµική συνάρτηση log. 22 Στο εξής θα θεωρείται ότι η συνάρτηση στιγµιαίας χρησιµότητας δίνεται από την εξίσωση 6.12 και άρα η λύση του προβλήµατος µεγιστοποίησης της διαχρονικής χρησιµότητας των νοικοκυριών δίνεται από την σχέση 6.13. Η συµπεριφορά των επιχειρήσεων στην αποκεντρωµένη οικονοµία Στην πλευρά της προσφοράς η οικονοµία αποτελείται από ένα µεγάλο αριθµό οµοειδών επιχειρήσεων οι οποίες παράγουν ένα οµοιογενές καταναλωτικό αγαθό Υ. Οι επιχειρήσεις χρησιµοποιούν µια τεχνολογία παραγωγής Υ = FKL η οποία ικανοποιεί τις νεοκλασικές ιδιότητες που αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο 2 και πληρώνουν µισθούς για την εργασία και ενοίκιο για τις υπηρεσίες του κεφαλαίου που απασχολούν. Έστω τώρα ότι η τιµή ενοικίου µιας µονάδας κεφαλαίου ισούται µε R οπότε η καθαρή απόδοση είναι R δ λόγω της απόσβεσης του κεφαλαίου. Εφόσον επίσης r είναι το επιτόκιο δανεισµού και τα δάνεια και το κεφάλαιο είναι τέλεια υποκατάστατα ως εναλλακτικές µορφές επένδυσης πρέπει να ισχύει r=r δ. Η αντιπροσωπευτική επιχείρηση i στην οικονοµία επιλέγει τις ποσότητες εργασίας L i και κεφαλαίου Κ i που µεγιστοποιούν τα κέρδη της π i. Αν υποτεθεί για απλοποίηση ότι η τιµή του τελικού προϊόντος είναι ίση µε τη µονάδα τότε τα κέρδη της αντιπροσωπευτικής επιχείρησης είναι: π i = F K L r + δ K wl 6.14 i i i i Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση των κερδών είναι: π i K i = 0 f = r + δ 6.15 22 Οι µετρήσεις για τις τιµές της παραµέτρου θ παρότι παρουσιάζουν αρκετά µεγάλες αποκλίσεις µεταξύ τους συνήθως καταλήγουν σε τιµές ελαφρά χαµηλότερες της µονάδας δείχνοντας ότι η ελαστικότητα υποκατάστασης είναι σχετικά χαµηλή βλ. Blanhard και Fisher 1989.

112 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης π i L i = 0 f f = w 6.16 K i K όπου = = αφού οι επιχειρήσεις είναι όµοιες στην ισορροπία. Οι Li L συνθήκες 6.15 και 6.16 δηλώνουν ότι στην ισορροπία το οριακό προϊόν του κάθε συντελεστή παραγωγής πρέπει να ισούται µε το κόστος του. Η ισορροπία του υποδείγµατος Ramsey Στην ισορροπία τα κατά κεφαλήν περιουσιακά στοιχεία των νοικοκυριών θα είναι ίσα µε το λόγο κεφαλαίου-εργασίας δηλαδή θα ισχύει b=. Εποµένως η εξίσωση 6.3 σε συνδυασµό µε τις εξισώσεις 6.15 και 6.16 µπορεί να γραφεί ως: = f n + δ 6.17 Επίσης η εξίσωση 6.13 γράφεται ως: 1 = f δ ρ 6.18 θ Οι διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 αποτελούν ένα σύστηµα η λύση του οποίου προσδιορίζει την ισορροπία της οικονοµίας µας. Στη σταθερή κατάσταση ισχύει = = 0 οπότε: = f n + δ 6.19 f = δ + ρ 6.20 Στην ισορροπία σταθερής κατάστασης ο ρυθµός µεταβολής τόσο της κατά κεφαλήν κατανάλωσης όσο και του λόγου κεφαλαίου-εργασίας είναι µηδέν. ιαφορίζοντας ως προς το χρόνο τη συνάρτηση παραγωγής της οικονοµίας µπορεί να δειχθεί ότι και ο ρυθµός µεταβολής του κατά κεφαλήν προϊόντος θα είναι ίσος µε το µηδέν. Άρα όπως ακριβώς και στο νεοκλασικό υπόδειγµα Solow-Swan το νεοκλασικό υπόδειγµα µε

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 113 αριστοποίηση καταναλωτή προβλέπει ότι χωρίς τεχνολογική πρόοδο η οικονοµία δεν µπορεί να διατηρήσει θετικό ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης. Για να εξεταστεί η δυναµική συµπεριφορά της ισορροπίας γύρω από τα σηµεία ισορροπίας για την κατανάλωση και το κεφάλαιο παραγωγίζεται η 6.17 ως προς την κατανάλωση και η 6.18 ως προς το κεφάλαιο: = 1 6.21 1 = f < 0 θ 6.22 Η εξίσωση 6.21 δηλώνει ότι καθώς αυξάνεται η κατανάλωση ο ρυθµός συσσώρευσης του κεφαλαίου είναι φθίνων δηλαδή αρχικά θετικός µηδενικός στην ισορροπία και κατόπιν αρνητικός. Αντίστοιχα η εξίσωση 6.22 δηλώνει ότι καθώς αυξάνεται το κεφάλαιο ο ρυθµός µεταβολής της κατανάλωσης είναι επίσης φθίνων δηλαδή αρχικά θετικός µηδενικός στην ισορροπία και κατόπιν αρνητικός. Η λύση του συστήµατος των διαφορικών εξισώσεων µπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα ιάγραµµα φάσης phase diagram. Στο ιάγραµµα αυτό απεικονίζονται οι δύο ευθείες = 0 και = 0 ώστε να φανεί το επίπεδο µακροχρόνιας ισορροπίας της κατά κεφαλήν κατανάλωσης και του κεφαλαίου. Επίσης στο ίδιο ιάγραµµα απεικονίζεται η δυναµική συµπεριφορά της οικονοµίας όταν βρίσκεται εκτός του σηµείου ισορροπίας όπως αυτή προκύπτει από τις σχέσεις 6.21 και 6.22. Συγκεκριµένα το σύστηµα εξισώσεων 6.17 και 6.18 παρουσιάζεται στο ιάγραµµα 6.1.

114 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης ιάγραµµα 6.1. ιάγραµµα φάσης για την ισορροπία του νεοκλασικού υποδείγµατος µεγέθυνσης * = 0 = 0 * Η ισορροπία του υποδείγµατος βρίσκεται στο σηµείο τοµής των γεωµετρικών τόπων = 0 και = 0. Αν η οικονοµία ξεκινήσει από κάποιο σηµείο εκτός του σηµείου ισορροπίας τότε το σύστηµα των διαφορικών εξισώσεων 6.17 και 6.18 καθορίζει τη δυναµική πορεία των µεταβλητών και. Αν για παράδειγµα σε κάποιο σηµείο ισχύει > 0 και > 0 τότε υπάρχει µια τάση για µείωση του. Οι τάσεις αυτές παρουσιάζονται στο παραπάνω ιάγραµµα για κάθε µια από τις τέσσερις περιοχές που ορίζουν οι γεωµετρικοί τόποι = 0 και = 0. Τα κάθετα βέλη δείχνουν την κατεύθυνση προς την οποία τείνει να µεταβληθεί η κατά κεφαλήν κατανάλωση από την 6.22 ενώ τα οριζόντια βέλη αναφέρονται στη µεταβολή του λόγου κεφαλαίου-εργασίας από την 6.21. Έστω ότι η οικονοµία βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε σηµείο πάνω στο γεωµετρικό τόπο = 0. Αν στο σηµείο αυτό αυξηθεί η κατά κεφαλήν κατανάλωση και παραµείνει σταθερός ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας τότε θα υπάρξει µετακίνηση κατακόρυφα προς τα επάνω. Στο νέο αυτό σηµείο θα ισχύει < 0. Όπως διαπιστώνεται από την εξίσωση 6.17 αν αρχικά ισχύει = 0 µια αύξηση του µε σταθερό το θα καταστήσει το αρνητικό.

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 115 Άρα για σηµεία πάνω από το γεωµετρικό τόπο = 0 υπάρχει µια τάση για µείωση του λόγου κεφαλαίου-εργασίας. Με ανάλογο τρόπο µπορεί να δειχθεί ότι για σηµεία κάτω από το γεωµετρικό τόπο = 0 θα υπάρχει τάση για αύξηση του λόγου κεφαλαίου-εργασίας. Κατά αναλογία για να βρεθεί η τάση µεταβολής της κατά κεφαλήν κατανάλωσης η ανάλυση ξεκινά από κάποιο σηµείο πάνω στο γεωµετρικό τόπο = 0 και κατόπιν µεταβάλλεται ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας. Το πρόσηµο της µεταβολής της κατανάλωσης εξετάζεται χρησιµοποιώντας τη διαφορική εξίσωση 6.18. Οι τάσεις µεταβολής των µεταβλητών και υποδεικνύουν την ύπαρξη µιας µοναδικής πορείας προς το σηµείο ισορροπίας. Η πορεία αυτή ονοµάζεται τροχιά σύγκλισης saddle pah ενώ το σηµείο ισορροπίας ονοµάζεται σαγµατικό σηµείο saddle poin. H δυναµική ανάλυση της ισορροπίας παρουσιάζεται στο Παράρτηµα του Κεφαλαίου. Μεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης Στο σηµείο αυτό µπορεί να εξεταστεί η πορεία της οικονοµίας µετά από µια µεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης ρ ο οποίος ενσωµατώνει το βάρος που δίνουν τα νοικοκυριά στη µελλοντική σε σχέση µε την τρέχουσα κατανάλωση. Για παράδειγµα µια µείωση του συντελεστή ρ ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι τα νοικοκυριά γίνονται λιγότερο ανυπόµονα και δίνουν µεγαλύτερη βαρύτητα στη µελλοντική κατανάλωση. Αυτό σηµαίνει ότι είναι διατεθειµένα να θυσιάσουν περισσότερη τρέχουσα κατανάλωση για αυτό το σκοπό κάτι που από µία άποψη είναι ανάλογο της υπόθεσης ότι τα νοικοκυριά αυξάνουν το σταθερό ποσοστό αποταµίευσης s στο υπόδειγµα Solow-Swan που εξετάστηκε στα Κεφάλαια 2 και 3. Από τις εξισώσεις 6.17 και 6.18 φαίνεται ότι η µεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης επηρεάζει την κατανάλωση αλλά όχι και τη συσσώρευση του κεφαλαίου. Κάτι τέτοιο είναι φυσικό γιατί ο συντελεστής διαχρονικής προτίµησης επηρεάζει την πορεία που θα επιλέξουν τα νοικοκυριά για την κατανάλωση και την αποταµίευσή αλλά δεν µεταβάλλει τη συσσώρευση κεφαλαίου η οποία καθορίζεται από τη συνάρτηση παραγωγής και τις παραµέτρους της οικονοµίας όπως το ποσοστό απόσβεσης και ο ρυθµός αύξησης του πληθυσµού. Η µείωση του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης και η συνακόλουθη µεταβολή σύµφωνα µε την 6.18 δίνεται στο παρακάτω ιάγραµµα.

116 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης ιάγραµµα 6.2. Μεταβολή της ισορροπίας µετά από µια µείωση του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης = 0 = 0 = 0 Η ευθεία = 0 µετατοπίζεται προς τα δεξιά στην = 0 καθώς µια για το µείωση στο ρ συνεπάγεται µικρότερη µεταβολή της κατανάλωσης ίδιο κεφάλαιο και άρα για να διατηρηθεί η κατανάλωση σταθερή = 0 απαιτείται µεγαλύτερο κεφάλαιο. Στη νέα µακροχρόνια ισορροπία της οικονοµίας το κατά κεφαλήν κεφάλαιο θα είναι υψηλότερο > η κατά κεφαλήν κατανάλωση θα είναι επίσης σε υψηλότερο επίπεδο > όπως και το κατά κεφαλήν εισόδηµα. Πώς όµως εξασφαλίζεται η µετάβαση στο νέο σηµείο ισορροπίας; Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της οικονοµίας σε κάθε µεταβολή η κατανάλωση µεταβάλλεται στιγµιαία jumps ώστε να βρεθεί στη νέα τροχιά ισορροπίας. Στην περίπτωση της µείωσης του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης αρχικά η κατανάλωση θα µειωθεί αυτόµατα οδηγώντας την οικονοµία στη νέα τροχιά ισορροπίας ενώ το απόθεµα κεφαλαίου της οικονοµίας παραµένει αµετάβλητο στο επίπεδο. Με τη µείωση της κατανάλωσης και τη συνακόλουθη αύξηση της αποταµίευσης η οικονοµία αρχίζει να συσσωρεύει κεφάλαιο προκαλώντας σταδιακή µετακίνηση προς το επίπεδο. Καθώς αυξάνεται το κεφάλαιο και το εισόδηµα ο ρυθµός αύξησης της κατανάλωσης είναι θετικός µέχρι να επιτευχθεί η νέα ισορροπία

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 117 στην οποία η κατανάλωση το κεφάλαιο και το εισόδηµα της οικονοµίας είναι σε υψηλότερο επίπεδο. O τροποποιηµένος χρυσός κανόνας της συσσώρευσης κεφαλαίου Στο προηγούµενο τµήµα φάνηκε ότι µια µεταβολή του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης επηρεάζει το επίπεδο εισοδήµατος και κατανάλωσης της οικονοµίας. Ένα εύλογο ερώτηµα σχετίζεται µε το άριστο επίπεδο εισοδήµατος και κατανάλωσης ευηµερίας που µπορεί να επιτύχει η οικονοµία στο υπόδειγµα Ramsey. Στο Κεφάλαιο 2 όπου παρουσιάστηκε το υπόδειγµα Solow-Swan αποδείχθηκε ότι ο χρυσός * κανόνας για συσσώρευση κεφαλαίου δίνεται από τη σχέση f = n + δ. Στο υπόδειγµα Ramsey το άριστο επίπεδο του λόγου κεφαλαίου-εργασίας δίνεται από τη σχέση 6.20. Εποµένως προκύπτει ότι στη µακροχρόνια ισορροπία του υποδείγµατος Ramsey ο άριστος λόγος κεφαλαίου-εργασίας είναι χαµηλότερος σε σχέση µε το υπόδειγµα Solow-Swan. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται εύκολα αν ληφθεί υπόψη από τις 6.9 6.15 και 6.20 ότι πρέπει να ισχύει ρ > n ώστε να ικανοποιείται η τελική συνθήκη. Από τη σύγκριση των εξισώσεων 6.20 και 2.17 προκύπτει ότι * < όπως φαίνεται και στο ιάγραµµα 6.1. Στο υπόδειγµα του Ramsey δηλαδή τα νοικοκυριά αποταµιεύουν λιγότερο από αυτό που προβλέπει ο χρυσός κανόνας γιατί δεν συµφέρει να θυσιάσουν τρέχουσα κατανάλωση ώστε να επιτύχουν τη µέγιστη δυνατή κατανάλωση που υποδεικνύει ο χρυσός κανόνας αφού η µελλοντική κατανάλωση δεν έχει την ίδια χρησιµότητα µε την παρούσα κατανάλωση. Η ύπαρξη δηλαδή του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης ρ στο υπόδειγµα Ramsey επιβάλει την τροποποίηση του χρυσού κανόνα. Για το λόγο αυτό η εξίσωση 6.20 είναι γνωστή ως τροποποιηµένος χρυσός κανόνας της συσσώρευσης κεφαλαίου. Ο τροποποιηµένος χρυσός κανόνας µπορεί για παράδειγµα να α ερµηνευτεί µε βάση τη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas AK α 1 Y = L. α Η τελευταία γράφεται σε κατά κεφαλήν όρους ως y = f = A βλ. Κεφάλαιο 2. Το οριακό προϊόν του κατά κεφαλήν κεφαλαίου δίνεται από τη α1 σχέση f = αa οπότε οι διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 γράφονται ως: α = A n + δ 6.17α

118 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης 1 α = [ αa 1 θ ρ + δ] 6.18α = Στην ισορροπία σταθερής κατάστασης ισχύει = 0 και άρα: α = A n + δ 6.19α αa α1 = ρ + δ Από τη λύση του παραπάνω συστήµατος προκύπτει ότι: αa = ρ δ + αa = ρ + δ 1 1α 1 1α ρ + δ n + δ α 6.20α 6.19β 6.20β Οι σχέσεις 6.19β και 6.20β δίνουν το λόγο κεφαλαίου-εργασίας και την κατά κεφαλήν κατανάλωση στο υπόδειγµα Ramsey για τη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas. Τα παραπάνω αποτελέσµατα αποτελούν τη µοναδική ουσιαστική τροποποίηση σε σχέση µε το υπόδειγµα Solow-Swan. Το άριστο επίπεδο µακροχρόνιας ισορροπίας είναι χαµηλότερο λόγω της διαχρονικής προτίµησης ανυποµονησίας των νοικοκυριών τα οποία προτιµούν την τρέχουσα κατανάλωση σε σχέση µε τη µελλοντική. Παρότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να εισαχθεί η έννοια της διαχρονικής προτίµησης στο πρόβληµα της µεγιστοποίησης των νοικοκυριών ώστε να εµπλουτιστεί η θεωρία και να ερµηνεύονται καλύτερα τα εµπειρικά γεγονότα βλ. Πλαίσιο 6.1 το τελικό αποτέλεσµα του τροποποιηµένου χρυσού κανόνα θα εξακολουθήσει να ισχύει.

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 119 Πλαίσιο 6.1. ιαχρονική προεξόφληση Η συνηθέστερη υπόθεση στην αξιολόγηση της διαχρονικής προεξόφλησης είναι ότι ο συντελεστής διαχρονικής προτίµησης ρ είναι σταθερός και ότι η συνάρτηση προεξόφλησης έχει την εκθετική µορφή δ =1+ρ - όπου είναι ο αριθµός των περιόδων. Η αξία δηλαδή µιας µονάδας που καταναλώνεται σήµερα ισούται µε δ µονάδες που καταναλώνονται µετά από περιόδους όπου δ<1 αφού οι µελλοντικές µονάδες αξίζουν λιγότερο από τις τρέχουσες. Η εκθετική µορφή έχει την ιδιότητα της σταθερής διαχρονικής µείωσης της αξίας της κατανάλωσης. Συχνά όµως θεωρείται ότι τα άτοµα είναι πιο ανυπόµονα για επιλογές που αφορούν το προσεχές µέλλον σε σχέση µε την ίδια επιλογή για πιο µακρινό ορίζοντα Sroz 1956. Με αυτό το σκεπτικό έχουν επίσης διατυπωθεί συναρτήσεις προεξόφλησης οι οποίες µειώνονται µε ταχύτερο ρυθµό βραχυχρόνια και αντίστοιχα µικρότερο ρυθµό µακροχρόνια. ύο τέτοιες συναρτήσεις είναι η υπερβολική συνάρτηση 1+α -γ/α και η ηµιυπερβολική συνάρτηση 1 β βδ βδ 2 οι οποίες δίνουν συγκριτικά µεγαλύτερη σηµασία στο παρόν σε σχέση µε το µέλλον. 12 Συναρτήσεις διαχρονικής προεξόφλησης 1 Αξία µονάδας µετά από τ περιόδους 08 06 04 02 Εκθετική Υπερβολική Ηµι-υπερβολική 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Περίοδοι Πηγή: Angeleos κ.α. 2001. Ο Irving Fisher 1930 είχε επισηµάνει ότι τα νοικοκυριά µε χαµηλότερο εισόδηµα είναι συνήθως πιο ανυπόµονα κάτι που είχε αποδώσει σε κοινωνικούς και πολιτιστικούς παράγοντες. Πράγµατι εµπειρικές µελέτες στις Η.Π.Α. Lawrane 1991 έχουν βρει ότι ο συντελεστής διαχρονικής προτίµησης για τα φτωχότερα νοικοκυριά είναι υψηλότερος κατά τρεις µε πέντε ποσοστιαίες µονάδες σε σχέση µε τον αντίστοιχο συντελεστή των πλουσιότερων νοικοκυριών.

120 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Η λύση του κοινωνικού σχεδιαστή στο υπόδειγµα Ramsey Σε αυτό το τµήµα του Κεφαλαίου θα συγκριθεί η λύση του υποδείγµατος που προέρχεται από την ανταγωνιστική ισορροπία µε τη λύση που θα επέβαλε ένας υποθετικός κοινωνικός σχεδιαστής της οικονοµίας µε στόχο τη µεγιστοποίηση της συνολικής ευηµερίας. Συγκεκριµένα για να φανεί εάν η ισορροπία της ανταγωνιστικής οικονοµίας είναι η βέλτιστη δυνατή ή εάν µπορεί να επιτευχθεί ένα άλλο σηµείο ισορροπίας µε καλύτερο αποτέλεσµα πρέπει να εξεταστεί εάν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι άριστη κατά Pareo. Ο κοινωνικός σχεδιαστής soial planner είναι ένα ιδεατό πρόσωπο το οποίο έχει ακριβώς την εξουσία να επιβάλλει στο πρόβληµα παραγωγής και διανοµής του προϊόντος της οικονοµίας µια λύση που µεγιστοποιεί την ευηµερία όλων των ατόµων. ηλαδή το πρόβληµα του κοινωνικού σχεδιαστή αναφέρεται στη θεωρητική περίπτωση όπου κάποιος οικονοµικός προγραµµατιστής προσδιορίζει από µόνος του τα διάφορα οικονοµικά µεγέθη σαν σύνολο µε τέτοιο τρόπο ώστε να µεγιστοποιούν την ευηµερία των ατόµων της οικονοµίας. Στην περίπτωση όπου η λύση της ανταγωνιστικής ισορροπίας και η λύση του κοινωνικού σχεδιαστή συµπίπτουν τότε η οικονοµία είναι άριστη κατά Pareo. Όταν η λύση του προβλήµατος της ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι άριστη κατά Pareo δεν υπάρχει τρόπος να βελτιωθεί η ευηµερία έστω και ενός ατόµου της οικονοµίας χωρίς να µειωθεί η ευηµερία κάποιου άλλου ατόµου. Η αξία του προβλήµατος του κοινωνικού σχεδιαστή έγκειται στο γεγονός ότι αποτελεί ένα µέτρο σύγκρισης για το πρόβληµα της αποκεντρωµένης οικονοµίας. Έτσι εάν η λύση του προβλήµατος της αποκεντρωµένης οικονοµίας είναι διαφορετική από εκείνη του κοινωνικού σχεδιαστή τότε η λύση αυτή δεν είναι άριστη κατά Pareo που σηµαίνει ότι υπάρχει χώρος για κρατική παρέµβαση µε σκοπό τη βελτίωση του οικονοµικού αποτελέσµατος. Ο κοινωνικός σχεδιαστής µεγιστοποιεί τη διαχρονική συνάρτηση χρησιµότητας των νοικοκυριών 6.5 κάτω από τον εισοδηµατικό περιορισµό της οικονοµίας. Ο περιορισµός αυτός δηλώνει πώς κατανέµεται το παραγόµενο προϊόν της οικονοµίας στις διάφορες χρήσεις του. Στην περίπτωση που αναλύεται κλειστή οικονοµία χωρίς κρατικό τοµέα το συνολικό παραγόµενο προϊόν Y µπορεί να χρησιµοποιηθεί είτε για κατανάλωση C είτε για επένδυση σε φυσικό κεφάλαιο Ι: Y = C + I F K L = C + K + δk = f n + δ 6.23

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 121 H εξίσωση του Hamilon που αντιστοιχεί στο πρόβληµα του κοινωνικού σχεδιαστή είναι: 1θ J = e 1 θ n ρ + ν[ f n + δ ] 6.24 Οι συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση της παραπάνω εξίσωσης ως προς την κατανάλωση και το κεφάλαιο είναι: = 0 J θ n ρ ν e = 6.25 J = ν ν = ν[ n + δ f ] 6.26 ιαφορίζοντας την εξίσωση 6.25 ως προς το χρόνο προκύπτει ότι: ν = ν n ρ θ 6.27 Από την παραπάνω εξίσωση καθώς και την εξίσωση 6.26 προκύπτει ότι: 1 = [ f ρ + δ ] 6.28 θ Στη σταθερή κατάσταση ισορροπίας ισχύει εξισώσεις 6.23 και 6.28 προκύπτει τελικά ότι: = = 0 οπότε από τις = f n + δ 6.29 f = ρ + δ 6.30 Οι εξισώσεις 6.29 και 6.30 είναι ταυτόσηµες µε τις εξισώσεις 6.19 και 6.20 οπότε συµπεραίνουµε ότι η ανταγωνιστική ισορροπία τοy υποδείγµατος Ramsey είναι άριστη κατά Pareo. Το πρόβληµα του

122 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης κοινωνικού σχεδιαστή καταλήγει δηλαδή σε µια λύση η οποία είναι ταυτόσηµη µε αυτή του προβλήµατος της αποκεντρωµένης οικονοµίας το οποίο περιγράφεται από τις εξισώσεις 6.19 και 6.20. Και αφού η λύση του κοινωνικού σχεδιαστή είναι άριστη κατά Pareo τότε και η ανταγωνιστική λύση είναι άριστη κατά Pareo. Το γραµµικό υπόδειγµα ΑΚ µε αριστοποίηση καταναλωτή Στο τµήµα αυτό θα παρουσιαστεί το γραµµικό υπόδειγµα µεγέθυνσης µε την υπόθεση της αριστοποίησης της συµπεριφοράς του καταναλωτή. Το υπόδειγµα αυτό όπως ήδη δείχθηκε στο Κεφάλαιο 2 παράγει συνεχή µεγέθυνση: ο λόγος είναι η έλλειψη φθινουσών αποδόσεων ως προς τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου Με την υπόθεση της γραµµικής συνάρτησης παραγωγής οι διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 µπορούν να γραφούν ως: = A δ n 6.31 1 = A δ ρ θ 6.32 Από την εξίσωση 6.32 φαίνεται ότι ο ρυθµός αύξησης της κατανάλωσης είναι σταθερός αφού δεν εξαρτάται από το λόγο κεφαλαίουεργασίας. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας καθώς και το κατά κεφαλήν εισόδηµα αυξάνουν µε ρυθµό ίσο µε το ρυθµό αύξησης της κατά κεφαλήν κατανάλωσης. Η ισορροπία του γραµµικού υποδείγµατος ΑΚ δίνεται από την παρακάτω σχέση. = = y 1 = A δ ρ y θ 6.33 Όπως φαίνεται από τη σχέση 6.33 η απόδειξη της οποίας δίνεται στο Παράρτηµα του Κεφαλαίου ο ρυθµός µεγέθυνσης εξαρτάται από µια σειρά παραµέτρων της οικονοµίας. Συγκεκριµένα εξαρτάται θετικά από την παράµετρο τεχνολογίας Α η οποία δείχνει πώς µετατρέπεται το κεφάλαιο σε προϊόν. Όσο πιο ψηλή η τιµή του Α σε µια οικονοµία τόσο µεγαλύτερο µακροχρόνιο ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης µπορεί να επιτύχει. Από την άλλη πλευρά ο ρυθµός αυτός εξαρτάται αρνητικά από το ρυθµό απόσβεσης

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 123 δ όταν χρησιµοποιείται µεγαλύτερο τµήµα του κεφαλαίου σε κάθε περίοδο µειώνεται η ανάπτυξη καθώς και από το ρυθµό προεξόφλησης ρ και την ελαστικότητα της οριακής χρησιµότητας ως προς την κατανάλωση θ. Τέλος µπορεί εύκολα να δειχθεί λύνοντας το πρόβληµα του κοινωνικού σχεδιαστή ότι η λύση του γραµµικού υποδείγµατος είναι άριστη κατά Pareo. Αυτό είναι λογικό αφού η αντικατάσταση της νεοκλασικής συνάρτησης παραγωγής από τη συνάρτηση y=a δεν προξενεί προβλήµατα στην ανταγωνιστική λειτουργία της αγοράς. Συµπεράσµατα Η µελέτη της αριστοποιητικής συµπεριφοράς του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού στο υπόδειγµα Ramsey δίνει µια νέα διάσταση στη µελέτη της οικονοµικής µεγέθυνσης γιατί δεν υιοθετεί αυθαίρετα κάποιο ποσοστό του εισοδήµατος σαν αποταµίευση αλλά ενσωµατώνει τις αποφάσεις των νοικοκυριών σε ένα διαχρονικό πλαίσιο άριστης συµπεριφοράς. Είναι σηµαντικό ότι τα βασικά αποτελέσµατα του υποδείγµατος Ramsey δεν διαφέρουν από αυτά του υποδείγµατος Solow-Swan. Και στο υπόδειγµα Ramsey οι φθίνουσες αποδόσεις παίζουν κυρίαρχο ρόλο οδηγώντας την οικονοµία σε µια κατάσταση σταθερού εισοδήµατος εκτός εάν υποτεθεί εξωγενής τεχνολογική πρόοδος. Αυτό έγινε φανερό µε την παρουσίαση του υποδείγµατος ΑΚ: η ύπαρξη σταθερών αποδόσεων στη συνάρτηση παραγωγής οδηγεί σε σταθερό ρυθµό οικονοµικής µεγέθυνσης ανεξάρτητα από το εάν τα νοικοκυριά ακολουθούν αριστοποιητική συµπεριφορά. Η µόνη αξιοσηµείωτη διαφορά είναι στο άριστο επίπεδο του εισοδήµατος µακροχρόνιας ισορροπίας το οποίο στο υπόδειγµα Ramsey είναι χαµηλότερο λόγω της ύπαρξης του συντελεστή διαχρονικής προτίµησης στη συνάρτηση χρησιµότητας που καθιστά τα νοικοκυριά πιο ανυπόµονα και άρα οδηγεί σε χαµηλότερη συσσώρευση κεφαλαίου σε σχέση µε το υπόδειγµα Solow-Swan. Τέλος το υπόδειγµα Ramsey είναι κατάλληλο για τη µελέτη της άριστης λύσης από πλευράς κατανοµής των πόρων της οικονοµίας µέσω της επίλυσης του προβλήµατος του κοινωνικού σχεδιαστή. Στο υπόδειγµα Ramsey η λύση της ανταγωνιστικής ισορροπίας συµπίπτει µε τη λύση του κοινωνικού σχεδιαστή είναι δηλαδή άριστη κατά Pareo. Η οικονοµία µπορεί λοιπόν να αφεθεί στο αόρατο χέρι της αγοράς και να καταλήξει σε µια ισορροπία η οποία είναι βέλτιστη από πλευράς κοινωνικής ευηµερίας.

124 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 6 υναµική ανάλυση του νεοκλασικού υποδείγµατος Η λύση του νεοκλασικού υποδείγµατος µεγέθυνσης περιγράφεται από τις διαφορικές εξισώσεις 6.17 και 6.18 οι οποίες σε γενική µορφή µπορούν να γραφούν ως εξής: [ ] ρ δ f θ g = = 1 Π6.1 δ n f h + = = Π6.2 Η ισορροπία σταθερής κατάστασης δεδοµένου ότι υπάρχει δίνεται από το σύστηµα: 0 = g Π6.3 0 = h Π6.4 Παίρνοντας το ανάπτυγµα Taylor πρώτου βαθµού των διαφορικών εξισώσεων Π6.1 και Π6.2 γύρω από την ισορροπία σταθερής κατάστασης προκύπτει: h h g g + = + = = h h g g Π6.5 Έστω τώρα λ 1 και λ 2 οι χαρακτηριστικές ρίζες της µήτρας των πρώτων παραγώγων. ιακρίνονται τότε οι εξής περιπτώσεις βλ. Chiang 1984:

Οικονοµική Μεγέθυνση: Θεωρία και Πολιτική 125 Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγµατικοί αριθµοί µε αντίθετο πρόσηµο τότε η ισορροπία είναι σαγµατικό σηµείο saddle-poin. Υπάρχει δηλαδή µία µοναδική τροχιά όπου µπορεί να βρεθεί η οικονοµία και που οδηγεί στο σηµείο ισορροπίας του συστήµατος. Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγµατικοί µη αρνητικοί αριθµοί τότε το σηµείο ισορροπίας είναι ασταθές. Από όποιο σηµείο και εάν ξεκινήσει η οικονοµία θα µετακινείται µακριά από το σηµείο ισορροπίας εκτός εάν τύχει να βρεθεί αρχικά σ αυτό. Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι πραγµατικοί αρνητικοί αριθµοί τότε η ισορροπία είναι σταθερή. Από όποιο σηµείο και εάν ξεκινήσει η οικονοµία θα καταλήξει τελικά στο σηµείο ισορροπίας. Αν οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι µιγαδικοί αριθµοί τότε η ισορροπία είναι ασταθής εάν τα πραγµατικά τµήµατα των µιγαδικών αριθµών είναι θετικά και σταθερή εάν τα πραγµατικά τµήµατα των µιγαδικών αριθµών είναι αρνητικά. Στη συγκεκριµένη περίπτωση η µήτρα των πρώτων παραγώγων είναι: 1 θ [ f δ ρ] 1 f = 0 θ f n δ 1 f θ ρ n Π6.6 Η χαρακτηριστική εξίσωση που αντιστοιχεί στην παραπάνω µήτρα είναι: λ 1 f θ = 0 ρ n λ 2 λ λ ρ n + θ f = 0 2 4 ρ n ± ρ n f θ λ12 = Π6.7 2 Από τη σχέση Π6.7 προκύπτει ότι υπάρχουν δύο πραγµατικές χαρακτηριστικές ρίζες µε αντίθετα πρόσηµα. Άρα η ισορροπία του νεοκλασικού υποδείγµατος µεγέθυνσης είναι σαγµατικό σηµείο όπως παρουσιάζεται στο ιάγραµµα 6.1.

126 Π. Καλαϊτζιδάκης Σ. Καλυβίτης Απόδειξη της σχέσης 6.33. Η διαφορική εξίσωση 6.31 µπορεί να γραφεί ως: g = A δ n Π6.8 Παίρνοντας το όριο της παραπάνω εξίσωσης καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο και υποθέτοντας ότι ασυµπτωτικά ο ρυθµός µεταβολής του κατά κεφαλήν κεφαλαίου προσεγγίζει κάποιο πεπερασµένο όριο προκύπτει: g g = lim A δ n Π6.9 g > g Αν τότε lim = και g κάτι που δεν είναι δυνατόν να ισχύει. Επίσης αν g < g τότε lim = 0 και g = A δ n κάτι που παραβιάζει την τερµατική συνθήκη διότι η τελευταία γράφεται ως: Aδn g Aδng lim e = 0 lim e e = 0 Π6.10 απ όπου προκύπτει ότι στην ισορροπία πρέπει να ισχύει g < A δ n. Άρα η µόνη δυνατή περίπτωση είναι g = g. ιαφορίζοντας τη γραµµική συνάρτηση παραγωγής ως προς το χρόνο προκύπτει επίσης ότι: y A y = A g y = g y = g y A Π6.11 Τα παραπάνω αποτελέσµατα αποδεικνύουν ότι ισχύει η εξίσωση 6.33.