Η ΕΝΤΑΣΗ ΤΩΝ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΡΙΚΑΛΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Η ΕΝΤΑΣΗ ΤΩΝ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Σημειώσεις για το μάθημα Στατική Ι ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ ΜΑΝΟΥΚΑΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός ΤΡΙΚΑΛΑ, ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2013

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ...3 1.1 Θεμελιώδεις απαιτήσεις Δομικής Τέχνης... 3 1.2 Τα στάδια της δομοστατικής μελέτης (ή μελέτης φέροντος οργανισμού)... 3 1.3 Το στατικό πρόβλημα... 6 1.3.1 Προσομοίωμα φορέα... 7 1.3.2 Εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση... 8 1.4 Το αντικείμενο της Στατικής Ι... 10 2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ...11 2.1 Συστήματα συντεταγμένων... 11 2.2 Δύναμη... 11 2.3 Ανάλυση μοναχικής δύναμης σε δύο κάθετες συνιστώσες... 12 2.4 Σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συντρεχουσών δυνάμεων... 12 2.5 Ροπή δύναμης ως προς σημείο ζεύγος δυνάμεων... 13 2.6 Παράλληλη μεταφορά δυνάμεων στο επίπεδο... 14 2.7 Κεντροειδές επίπεδης επιφάνειας... 15 2.8 Ροπές αδράνειας επίπεδης επιφάνειας... 16 2.9 Πινακοποιημένος υπολογισμός κεντροειδούς και ροπών αδράνειας... 17 3. Ο ΕΠΙΠΕΔΟΣ ΔΙΣΚΟΣ...19 3.1 Ορισμός... 19 3.2 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο... 19 3.3 Η στήριξη του δίσκου στο επίπεδο... 19 3.4 Υπολογισμός αντιδράσεων δίσκου... 21 4. ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ...24 4.1 Γενικά... 24 4.2 Συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής... 24 4.3 Η μέθοδος των διαχωριστικών τομών... 25 4.4 Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής... 27 4.5 Οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας... 29 4.6 Οι θεμελιώδεις ιδιότητες των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής... 30 5. ΑΠΛΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ...32 5.1 Γενικά... 32 5.2 Η αμφιέρειστη δοκός... 32 5.3 Ο απλός ευθύγραμμος πρόβολος... 33 5.4 Η αρχή της ομόλογης δοκού... 34 5.5 Πορεία επίλυσης απλών ισοστατικών φορέων... 35 6. ΑΠΛΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ...39 6.1 Ορισμός και παραδοχές υπολογισμού δικτυωμάτων... 39 6.2 Μόρφωση και στερεότητα απλών δικτυωμάτων... 41 6.3 Μέθοδοι υπολογισμού απλών δικτυωμάτων... 42 1

7. ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ...45 7.1 Τριαρθρωτοί φορείς... 45 7.2 Αρθρωτές δοκοί (Gerber)... 46 7.3 Ενισχυμένες δοκοί... 48 7.4 Σύνθετοι ισοστατικοί φορείς τυχαίας μορφής... 50 8. ΓΡΑΜΜΕΣ ΕΠΙΡΡΟΗΣ ΕΝΤΑΣΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ...52 8.1 Γενικά... 52 8.2 Ιδιότητες των γραμμών επιρροής... 53 8.3 Οι γραμμές επιρροής της αμφιέρειστης δοκού και του προβόλου... 54 8.4 Υπολογισμός γραμμών επιρροής... 54 8.5 Αποτίμηση γραμμών επιρροής... 56 9. ΕΥΡΕΣΗ ΒΑΘΜΟΥ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΟΡΙΣΤΙΑΣ...58 10. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...60 2

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Θεμελιώδεις απαιτήσεις Δομικής Τέχνης Κάλυψη αναγκών χρήστη. Λειτουργικότητα. Αισθητική αρμονική ένταξη στο περιβάλλον. Ασφάλεια. Οικονομία. Τήρηση κανονισμών δόμησης (π.χ. ΓΟΚ, Κτιριοδομικός, Αντισεισμικός, ΚΕΝΑΚ, κανονισμοί υλικών). Ο ρόλος του Μηχανικού είναι - λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που τίθενται από τους κανονισμούς δόμησης - να σχεδιάζει και να κατασκευάζει δομικά έργα που να καλύπτουν τις ανάγκες των χρηστών τους και ταυτόχρονα να είναι λειτουργικά και αισθητικά άρτια, να προκαλούν τη λιγότερη δυνατή όχληση στο περιβάλλον, να παρέχουν ένα ελάχιστο επίπεδο ασφάλειας και όλα αυτά με το μικρότερο δυνατό κόστος (κατασκευής, λειτουργίας, συντήρησης, ενδεχόμενων μελλοντικών επισκευών). Είναι προφανές ότι οι παραπάνω απαιτήσεις είναι πολλές φορές αντικρουόμενες και ο συγκερασμός τους αποτελεί ιδιαίτερα πολύπλοκο πρόβλημα. Αυτός ακριβώς ο συγκερασμός είναι ο στόχος των διαφόρων μελετών που εκπονεί ο μελετητής (ή οι μελετητές) στη φάση σχεδιασμού κάθε έργου (π.χ. στην περίπτωση ενός κτιρίου απαιτείται η εκπόνηση αρχιτεκτονικής μελέτης, (δομο)στατικής μελέτης, μελέτης ενεργειακής απόδοσης, κτλ.). Τονίζεται ότι η δομοστατική μελέτη είναι η πλέον κρίσιμη για την ασφάλεια κάθε δομικού έργου. 1.2 Τα στάδια της δομοστατικής μελέτης (ή μελέτης φέροντος οργανισμού) Η δομοστατική μελέτη ενός έργου (π.χ. κτιρίου) ξεκινάει έχοντας ως βασικό δεδομένο την αρχιτεκτονική σύλληψή του, όπως αυτή αποκρυσταλλώνεται στα αρχιτεκτονικά σχέδια ή έστω προσχέδια. Από τα αρχιτεκτονικά σχέδια ο δομοστατικός μηχανικός, που πολλές φορές στην πράξη είναι ο ίδιος που εκπόνησε και την αρχιτεκτονική μελέτη, αντλεί μια σειρά από πληροφορίες απαραίτητες για την εκπόνηση της δομοστατικής μελέτης όπως η χρήση του κτιρίου, το σχήμα και οι διαστάσεις της κάτοψης, ο αριθμός και το ύψος των ορόφων, οι θέσεις εσωτερικών χωρισμάτων, ανοιγμάτων, εξωστών, κλιμάκων κτλ. 3

Με βάση λοιπόν τα παραπάνω δεδομένα ο μελετητής καλείται να διαμορφώσει καταρχάς το φέροντα οργανισμό (φ/ο) του κτιρίου, δηλαδή να προκαθορίσει τις θέσεις, τις διαστάσεις και τα υλικά κατασκευής των δομικών στοιχείων που θα σχεδιαστούν έτσι, ώστε να φέρουν το σύνολο των φορτίων που αναμένεται να ασκηθούν στο κτίριο καθ όλη τη διάρκεια ζωής του. Τα δομικά στοιχεία αυτά αποκαλούνται φέροντα, σε αντιδιαστολή με τα μη φέροντα δομικά στοιχεία που θεωρείται ότι δεν συμβάλλουν στην παραλαβή φορτίων. Για παράδειγμά σε ένα κτίριο οπλισμένου σκυροδέματος φέροντα δομικά στοιχεία θεωρούνται τα υποστυλώματα, οι δοκοί, τα τοιχώματα, οι πλάκες και τα θεμέλια, ενώ μη φέροντα οι τοιχοποιίες πλήρωσης (εκτός από ειδικές περιπτώσεις), οι επιστρώσεις των δαπέδων, οι επενδύσεις τοίχων, κτλ. Το επόμενο βήμα της δομοστατικής μελέτης είναι η μόρφωση του υπολογιστικού προσομοιώματος, δηλαδή ενός μοντέλου που θα πρέπει να αναπαριστά όσο το δυνατόν πιο πιστά τη μηχανική συμπεριφορά του φ/ο, αλλά και τις ιδιότητες των φορτίων που του επιβάλλονται και του εδάφους στο οποίο θεμελιώνεται. Για παράδειγμα το μοντέλο ενός υποστυλώματος μπορεί να είναι ένα ευθύγραμμο στοιχείο που διέρχεται από τον κεντροβαρικό του άξονα και διαθέτει τέτοια χαρακτηριστικά που αποδίδουν κατά το δυνατόν πιστότερα την πραγματική μηχανική συμπεριφορά του. Το μοντέλο π.χ. του ιδίου βάρους (φορτίου) μιας τοιχοποιίας μπορεί να είναι ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο. Τέλος, οι πραγματικές μηχανικές ιδιότητες του εδάφους αναπαρίστανται κατά κανόνα μέσω ακλόνητων ή μη στηρίξεων. Στη συνέχεια ακολουθεί η ανάλυση ή επίλυση ή υπολογισμός του προσομοιώματος, με τον οποίο προσδιορίζεται η εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση κάθε φέροντος δομικού στοιχείου, δηλαδή τα φορτία διατομής που το καταπονούν και οι παραμορφώσεις / μετακινήσεις που αυτό υφίσταται υπό τις δεδομένες φορτίσεις. Το επόμενο στάδιο είναι η διαστασιολόγηση των δομικών στοιχείων, που συνίσταται στον έλεγχο επάρκειας των διατομών που έχουν προεπιλεγεί και (αν πρόκειται για κατασκευή από οπλισμένο σκυρόδεμα) στον υπολογισμό του απαιτούμενου οπλισμού. Τέλος, τα αποτελέσματα της μελέτης αποτυπώνονται στα κατασκευαστικά σχέδια (ξυλότυποι, λεπτομέρειες κτλ.) που περιέχουν το σύνολο των πληροφοριών 4

που απαιτούνται για την κατασκευή του φ/ο (και την επίβλεψή της) και συνοδεύονται από τα τεύχη υπολογισμών. Η ακολουθία των σταδίων μιας δομοστατικής μελέτης δίνεται συνοπτικά στο σχ. 1. 1. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΥΛΛΗΨΗ (Διαστάσεις / μορφολογία / χρήση έργου) ΜΟΡΦΩΣΗ Φ/Ο Είδος δομικού συστήματος, υλικά φ/ο, θέση / διαστάσεις δομικών στοιχείων ΜΟΡΦΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Προσομοίωση φ/ο / εδάφους / φόρτισης ΑΝΑΛΥΣΗ (Ή ΕΠΙΛΥΣΗ Ή ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ) ΤΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ Προσδιορισμός εντασιακών και παραμορφωσιακών μεγεθών του προσομοιώματος υπό τις δεδομένες φορτίσεις ΔΙΑΣΤΑΣΙΟΛΟΓΗΣΗ Έλεγχος επάρκειας διατομών, υπολογισμός απαιτούμενων οπλισμών κτλ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ Ξυλότυποι, λεπτομέρειες, τεύχη υπολογισμών Σχήμα 1.1 Τα στάδια της δομοστατικής μελέτης Παρατήρηση 1: Η διαδικασία της μελέτης δεν ακολουθεί απαραιτήτως την ευθεία πορεία του σχήματος. Κατά κανόνα στην πράξη η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων 5

κάθε σταδίου μπορεί να οδηγήσει σε αναθεώρηση και επανάληψη των προηγούμενων ή και σε τροποποίηση των αρχιτεκτονικών σχεδίων. Παρατήρηση 2: Στην όλη διαδικασία εμπλέκονται πολλές επιστήμες του κλάδου της Μηχανικής (π.χ. Δυναμική των Κατασκευών, Εδαφομηχανική, Θεμελιώσεις, Οπλισμένο Σκυρόδεμα κ.α.). Η επιστήμη της Στατικής υπεισέρχεται κυρίως στο στάδιο της ανάλυσης του προσομοιώματος. Έτσι, η ονομασία «στατική» ή «δομοστατική» μελέτη που έχει επικρατήσει στην πράξη είναι μάλλον αδόκιμη και δεν αντιπροσωπεύει επαρκώς το σύνολο των σταδίων. Προτιμότερη, ίσως, θα ήταν η ονομασία «μελέτη φέροντος οργανισμού». Παρατήρηση 3: Παλαιότερα η εφαρμογή των μεθόδων της Στατικής «με το χέρι» ήταν αναπόσπαστο μέρος της καθημερινής πράξης του μηχανικού και η σημασία της καλής γνώσης της προφανής. Σήμερα πλέον, η ανάλυση των προσομοιωμάτων των κατασκευών γίνεται πλήρως αυτοματοποιημένα στον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Τίθεται επομένως το ερώτημα: ποια η σκοπιμότητα και η πρακτική αξία της εκμάθησης από τους σπουδαστές της κλασικής Στατικής; Η απάντηση είναι ότι η βαθιά γνώση της κλασικής Στατικής διατηρεί και σήμερα ακέραια τη σημασία της, καθώς βοηθάει τον σπουδαστή και αυριανό μελετητή να κατανοήσει καλύτερα τη μηχανική συμπεριφορά των φορέων (να αναπτύξει το λεγόμενο «στατικό αισθητήριο»), πράγμα που θα του επιτρέψει να χειρίζεται με επάρκεια το σχετικό λογισμικό και, κυρίως, να ελέγχει τα εξαγόμενα αποτελέσματα. Αλλά, η καλή γνώση της κλασικής Στατικής είναι απαραίτητη και για τα προγενέστερα στάδια της μόρφωσης και της προσομοίωσης του φέροντος οργανισμού, ώστε να αποφευχθούν τυχόν δυσμενείς μορφολογίες και χονδροειδή λάθη προσομοίωσης που μπορεί να οδηγήσουν σε αστοχίες, ανεξάρτητα από τη σωστή ή μη διεξαγωγή των υπολογισμών του επόμενου σταδίου. 1.3 Το στατικό πρόβλημα Το αντικείμενο του στατικού προβλήματος είναι ο προσδιορισμός της εντασιακής και παραμορφωσιακής κατάστασης ενός φορέα. Έτσι, τα δεδομένα ενός στατικού προβλήματος είναι πάντα το προσομοίωμα ενός φορέα (συμπεριλαμβανομένων των φορτίων και του εδάφους στο οποίο εδράζεται), ενώ τα ζητούμενα οι εσωτερικές δυνάμεις που τον καταπονούν (φορτία διατομής), οι παραμορφώσεις και οι μετακινήσεις των κόμβων του. 6

1.3.1 Προσομοίωμα φορέα Το προσομοίωμα ενός φορέα περιλαμβάνει καταρχάς το προσομοίωμα του φ/ο, δηλαδή των φερόντων δομικών στοιχείων. Τα δομικά στοιχεία διακρίνονται στις εξής κατηγορίες: Γραμμικά στοιχεία, δηλαδή στοιχεία που η μία τους διάσταση είναι πολύ μεγαλύτερη από τις άλλες δύο. Για παράδειγμα, σε ένα κτίριο οπλισμένου σκυροδέματος γραμμικά στοιχεία είναι οι δοκοί, τα υποστυλώματα και τα τοιχώματα με μεγάλο λόγο ύψους προς μήκος διατομής. Επιφανειακά στοιχεία, δηλαδή στοιχεία που η μία τους διάσταση είναι πολύ μικρότερη από τις άλλες δύο. Για παράδειγμα, επιφανειακά στοιχεία είναι οι πλάκες και τα τοιχώματα με μικρό λόγο ύψους προς μήκος διατομής. Στοιχεία όγκου, δηλαδή στοιχεία στα οποία οι τρεις διαστάσεις είναι της ίδιας τάξης μεγέθους. Τέτοια στοιχεία είναι σπάνια (π.χ. ογκώδη πέδιλα θεμελίων ειδικών κατασκευών). Τα φορτία που επιβαρύνουν κάθε συνήθη κατασκευή, διακρίνονται στις εξής κατηγορίες: Μόνιμα φορτία. Είναι τα φορτία που είναι γνωστά ως προς το μέγεθος και τη θέση τους και αναμένεται να παραμείνουν στην κατασκευή καθ όλη τη διάρκεια ζωής της. Τέτοια φορτία είναι π.χ. το ίδιο βάρος των φερόντων δομικών στοιχείων, το βάρος των τοιχοποιιών πλήρωσης, των επιστρώσεων, κλπ. Κινητά ή μεταβλητά φορτία. Είναι τα φορτία που είτε η θέση τους στην κατασκευή δεν είναι σταθερή, είτε δεν θα παραμείνουν μόνιμα (πάντως όμως για αρκετά μεγάλα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία θεωρείται ότι δεν μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το χρόνο). Το μέγεθός τους θεωρείται κατά σύμβαση γνωστό (λαμβάνεται από τον κανονισμό φορτίσεων ανάλογα με τη χρήση του έργου). Τέτοια φορτία είναι π.χ. τα έπιπλα, οι άνθρωποι, κτλ. Τυχηματικά φορτία. Είναι φορτία με τυχαίο μέγεθος και τυχαία κατανομή στο χώρο και το χρόνο. Τέτοια φορτία είναι π.χ. ο σεισμός, η πρόσκρουση οχημάτων, οι εκρήξεις, κτλ. Δεδομένου ότι τα τυχηματικά φορτία είναι εξαρτώμενα από το χρόνο, δηλαδή είναι δυναμικά φορτία, ο ακριβής υπολογισμός της επίδρασής τους στις κατασκευές απαιτεί την εφαρμογή των αρχών της Δυναμικής των Κατασκευών. Χάριν απλότητας όμως, γίνεται 7

αποδεκτό να προσεγγίζονται από κατάλληλα στατικά φορτία, π.χ. η δράση του σεισμού μπορεί να προσομοιωθεί με οριζόντιες δυνάμεις. Έτσι, η επιστήμη της Στατικής μπορεί να αντιμετωπίσει το σύνολο των φορτίων που ασκούνται στις συνήθεις κατασκευές. Το προσομοίωμα ενός φορέα περιλαμβάνει και το έδαφος που αυτός στηρίζεται. Στην απλούστερη - αλλά συνηθισμένη στην πράξη - περίπτωση, το έδαφος μπορεί να θεωρηθεί εντελώς απαραμόρφωτο και να προσομοιωθεί μέσω ακλόνητων στηρίξεων. Εναλλακτικά, οι στηρίξεις μπορεί να θεωρηθούν ενδόσιμες, πράγμα που υλοποιείται στο υπολογιστικό προσομοίωμα με τη βοήθεια κατάλληλων ελατηρίων (γραμμικών ή και στροφικών). Τέλος, σε ειδικά έργα με μεγαλύτερες απαιτήσεις ακρίβειας, το έδαφος μπορεί να προσομοιωθεί με δισδιάστατα ή τρισδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. 1.3.2 Εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση Κάθε φορέας υπό την επίδραση μιας συγκεκριμένης φόρτισης εμφανίζει μια αντίστοιχη εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση. Με τον όρο εντασιακή κατάσταση νοείται το σύνολο των εξωτερικών (αντιδράσεις) και εσωτερικών (φορτία διατομής) εντασιακών μεγεθών ενός φορέα. Αντιστοίχως, με τον όρο παραμορφωσιακή κατάσταση νοείται το σύνολο των εξωτερικών (μετατοπίσεις και στροφές κόμβων) και εσωτερικών (παραμορφώσεις) παραμορφωσιακών μεγεθών. Η εντασιακή και παραμορφωσιακή κατάσταση ενός φορέα συνίσταται σε επιμέρους καταστάσεις επιπόνησης που εν γένει συνυπάρχουν σε κάθε δομικό στοιχείο. Οι καταστάσεις επιπόνησης είναι οι εξής τέσσερεις: διάταση, κάμψη, διάτμηση, στρέψη. Σε κάθε κατάσταση επιπόνησης αντιστοιχεί ένα είδος φορτίου διατομής και ένα εργικά ανταποκρινόμενο μέγεθος παραμόρφωσης, τα οποία συνδέονται αναλογικά μεταξύ τους με συντελεστή αναλογίας μια ποσότητα που ονομάζεται στιβαρότητα και εξαρτάται από το υλικό και το σχήμα της διατομής κάθε δομικού στοιχείου. Στον πίνακα 1.1 συνοψίζονται οι καταστάσεις επιπόνησης, με τα σχετιζόμενα μεγέθη (φορτία διατομής, παραμορφωσιακά μεγέθη, στιβαρότητες). Με κάθε μέγεθος δίνονται οι μονάδες μέτρησής του και οι αντίστοιχοι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται συνήθως στην πράξη. 8

Πίνακας 1.1 Καταστάσεις επιπόνησης Κατάσταση Φορτίο διατομής επιπόνησης Διάταση (εφελκυσμός ή θλίψη) Κάμψη Διάτμηση Στρέψη Επεξήγηση συμβολισμών Αξονική δύναμη (εφελκυστική ή θλιπτική) N (kn) Ροπή κάμψης M (knm) Τέμνουσα δύναμη Q (kn) Ροπή στρέψης M T (knm) Μέγεθος παραμόρφωσης Αξονική παραμόρφωση (επιμήκυνση ή επιβράχυνση) ε (-) Καμπύλωση κ (m -1 ) Γωνιακή παραμόρφωση γ (-) Συστροφή θ (m -1 ) Ε: Μέτρο ελαστικότητας υλικού (kn/m 2 = kpa) G: Μέτρο διάτμησης ή ολίσθησης υλικού (kn/m 2 = kpa) Α: Εμβαδόν διατομής (m 2 ) Ι: Ροπή αδράνειας διατομής (m 4 ) A s : Επιφάνεια διάτμησης διατομής (m 2 ) I T : Στρεπτική ροπή αδράνειας διατομής (m 4 ) Στιβαρότητα Δυστένεια EA (kn) Δυσκαμψία EI (knm 2 ) Δυστμησία GA s (kn) Δυστρεψία GI T (knm 2 ) Παρατήρηση 1: Εν γένει τα φορτία διατομής που καταπονούν ένα δομικό στοιχείο στο χώρο είναι έξι (και όχι τέσσερα), καθώς ροπές κάμψης και τέμνουσες δυνάμεις υπάρχουν σε δύο άξονες. Το ίδιο ισχύει και για τα αντίστοιχα παραμορφωσιακά μεγέθη. Παρατήρηση 2: Οι στιβαρότητες εξαρτώνται από δύο παράγοντες, ο ένας εκ των οποίων εκφράζει τη συμβολή του υλικού (Ε ή G) και ο άλλος τη συμβολή του σχήματος της διατομής του δομικού στοιχείου (Α ή Ι ή A s ή I T ). Διευκρινίζεται ότι οι στιβαρότητες του πίνακα αναφέρονται σε επίπεδο διατομής. Στην πραγματικότητα οι στιβαρότητες ενός γραμμικού δομικού στοιχείου εξαρτώνται επιπλέον και από το μήκος και τις συνθήκες στήριξής του. Παρατήρηση 3: Πολλές φορές στην πράξη, ο όρος δυσκαμψία χρησιμοποιείται λανθασμένα για να εκφράσει το σύνολο των στιβαροτήτων μιας διατομής. Επίσης, μερικές φορές, αντί του όρου δυσκαμψία χρησιμοποιείται ο όρος ακαμψία, που στην κυριολεξία σημαίνει πρακτικώς άπειρη δυσκαμψία. Καλό είναι η χρήση των παραπάνω όρων να γίνεται προσεκτικά, ώστε να αποφεύγονται παρερμηνείες. 9

1.4 Το αντικείμενο της Στατικής Ι Όπως προκύπτει από την ανάπτυξη που προηγήθηκε, το αντικείμενο της Στατικής είναι αρκετά ευρύ. Το μάθημα της Στατικής Ι περιορίζεται στη μελέτη της εντασιακής κατάστασης (όχι της παραμορφωσιακής) των γραμμικών επίπεδων ισοστατικών φορέων υπό την επίδραση εξωτερικών φορτίων (όχι καταναγκασμών) στο πλαίσιο της Γραμμικής Στατικής. Γραμμικός ονομάζεται ένας δομικός φορέας που αποτελείται αποκλειστικά και μόνο από γραμμικά δομικά στοιχεία. Επίπεδος ονομάζεται ένας δομικός φορέας του οποίου όλα τα δομικά στοιχεία και όλα τα φορτία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Ισοστατικός ονομάζεται ένας δομικός φορέας, όταν για τον προσδιορισμό της εντασιακής του κατάστασης αρκούν οι εξισώσεις ισορροπίας. Γραμμική Στατική ονομάζεται το υποσύνολο της Στατικής που για τη μελέτη των φορέων δέχεται απλοποιητικά ότι οι σχέσεις που συνδέουν τα εντασιακά και παραμορφωσιακά μεγέθη είναι γραμμικές. Οι παραπάνω περιορισμοί απλοποιούν σε μεγάλο βαθμό την διαδικασία επίλυσης των φορέων αφού, μεταξύ άλλων, επιφέρουν τις εξής συνέπειες: Τα φορτία διατομής περιορίζονται σε τρία από έξι (ροπή κάμψης, τέμνουσα και αξονική δύναμη). Η ένταση των φορέων είναι ανεξάρτητη από το υλικό τους. Οι γραμμές επιρροής είναι πολυγωνικές γραμμές και όχι καμπύλες. Επιτρέπεται η χρήση της Αρχής της Επαλληλίας, σύμφωνα με την οποία η ένταση ενός φορέα υπό πολλαπλά αίτια μπορεί να υπολογιστεί ανεξάρτητα για κάθε αίτιο και κατόπιν να αθροιστούν τα αποτελέσματα. 10

2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 2.1 Συστήματα συντεταγμένων Στη Μηχανική χρησιμοποιούνται κατά κανόνα δεξιόστροφα συστήματα συντεταγμένων Οxyz. Ένας πρακτικός τρόπος για να διακρίνουμε ένα δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς είναι ο κανόνας του δεξιού χεριού, σύμφωνα με τον οποίο αν εκτείνουμε τα τρία πρώτα δάκτυλα του δεξιού χεριού έτσι ώστε να σχηματίζουν τρισορθογώνιους άξονες και ο αντίχειρας να ταυτίζεται με τον άξονα x, τότε ο δείκτης ταυτίζεται με τον άξονα y και ο μέσος με τον z. Δεδομένου ότι στο πλαίσιο του μαθήματος της Στατικής Ι εξετάζονται μόνο επίπεδοι φορείς, θα θεωρείται εφεξής ότι αυτοί βρίσκονται στο επίπεδο xy, οπότε θα εργαζόμαστε στο σύστημα αναφοράς του σχήματος 2.1. Επισημαίνεται ότι η θετική φορά του άξονα z εξέρχεται από το επίπεδο εργασίας. Αυτό έχει ως συνέπεια η θετική φορά των ροπών και στροφών να είναι η αριστερόστροφη. Σχήμα 2.1 Επίπεδο σύστημα αναφοράς Οxy 2.2 Δύναμη Η δύναμη είναι ένα διανυσματικό μέγεθος (σχ. 2.2.α). Αυτό σημαίνει ότι για να προσδιοριστεί πλήρως μια μοναχική δύναμη απαιτείται η γνώση του μέτρου, της διεύθυνσης, της φοράς και του σημείου εφαρμογής της. Η μονάδα μέτρησης της δύναμης στο διεθνές σύστημα μονάδων (SI) είναι το Newton (1N=1Kgr m/sec 2 ) και τα παράγωγά του (kn, MN κτλ.). Στο πλαίσιο της Μηχανικής συναντούμε μοναχικές δυνάμεις είτε ως φορτία, οπότε συμβολίζονται συνήθως με Ρ ή F, είτε ως εσωτερικά φορτία διατομής (τέμνουσα δύναμη Q και αξονική δύναμη Ν). Εκτός από τις μοναχικές δυνάμεις, συναντούμε ως φορτία και κατανεμημένες δυνάμεις με ομοιόμορφη (σχ. 2.2.β), τριγωνική (σχ. 2.2.γ), τραπεζοειδή (σχ. 2.2.δ) ή και τυχαία κατανομή. Οι κατανεμημένες δυνάμεις συμβολίζονται κατά κανόνα με q και έχουν διαστάσεις δύναμης ανά μονάδα μήκους (συνήθως kn/m). 11

Σχήμα 2.2 Μοναχική και κατανεμημένες δυνάμεις 2.3 Ανάλυση μοναχικής δύναμης σε δύο κάθετες συνιστώσες Συχνά στη Μηχανική τίθεται το πρόβλημα της ανάλυσης μιας μοναχικής δύναμης με τυχαία διεύθυνση σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (συνήθως κατά τους άξονες x και y). Αν το διάνυσμα μιας δύναμης Ρ σχηματίζει γωνία φ με τον οριζόντιο άξονα x (σχ. 2.3), τότε το μέτρο των δύο συνιστωσών της P x και P y είναι: P x = Ρcosφ και P y = Ρsinφ (2.1) Σχήμα 2.3 Ανάλυση δύναμης 2.4 Σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συντρεχουσών δυνάμεων Το μέτρο της συνισταμένης Ρ δύο συντρεχουσών δυνάμεων P 1 και P 2 που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία θ (σχ. 2.4) υπολογίζεται γραφικά με τη βοήθεια του κανόνα του παραλληλογράμμου και αναλυτικά από τον παρακάτω τύπο: P 1 2 1 2 2 2 P P 2 P P cosθ (2.2) Από το σχήμα 2.4 προκύπτει γεωμετρικά ότι το ημίτονο της γωνίας a που σχηματίζει η συνισταμένη Ρ με την P 1 είναι: P2 sina sinθ (2.3) P Σχήμα 2.4 Σύνθεση δύο συντρεχουσών δυνάμεων 12

Για τη σύνθεση ενός συστήματος περισσοτέρων των δύο συντρεχουσών δυνάμεων Ρ i στο επίπεδο ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα: Όλες οι δυνάμεις Ρ i αναλύονται σε δύο συνιστώσες Ρ xi και Ρ yi παράλληλες με τους άξονες του συστήματος αναφοράς εφαρμόζοντας τις σχέσεις (2.1). Υπολογίζονται οι δύο συνιστώσες της συνισταμένης δύναμης Ρ κατά τους δύο άξονες: Ρ x = ΣΡ xi και Ρ y = ΣΡ yi (2.4) Υπολογίζεται το μέτρο Ρ και η γωνία διεύθυνσης a της συνισταμένης. Με δεδομένο οι Ρ x και Ρ y είναι κάθετες μεταξύ τους (θ = 90 ο ) οι σχέσεις (2.2) και (2.3) απλοποιούνται ως εξής: P (2.5) tana = 2 2 P x Py P P y x (2.6) 2.5 Ροπή δύναμης ως προς σημείο ζεύγος δυνάμεων Η ροπή μιας δύναμης ως προς ένα σημείο του επιπέδου συμβολίζεται με Μ και ισούται με το μέτρο της επί την απόσταση του σημείου από το φορέα της δύναμης: Μ = Ρ r (σχ. 2.5). Η ροπή έχει διαστάσεις δύναμης επί μήκος (συνήθως knm). Είναι και αυτή διανυσματικό μέγεθος με το διάνυσμά της κάθετο στο επίπεδο εργασίας. Η φορά της λαμβάνεται θετική όταν η φορά του διανύσματός της ταυτίζεται με τη θετική φορά του άξονα z, δηλαδή όταν εξέρχεται από το επίπεδο xy (αριστερόστροφη). Για παράδειγμα η ροπή της δύναμης Ρ ως προς το σημείο Α στο σχήμα 2.5 είναι θετική. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτουν δύο σημαντικές ιδιότητες της ροπής: Η ροπή μιας δύναμης ως προς ένα συγκεκριμένο σημείο δεν μεταβάλλεται αν η δύναμη μετακινηθεί πάνω στο φορέα της. Οι ροπές μιας δύναμης ως προς όλα τα σημεία μιας ευθείας που είναι παράλληλη στο φορέα της είναι ίση. Μ = Ρ r Σχήμα 2.5 Ροπή δύναμης ως προς σημείο 13

Δύο παράλληλες δυνάμεις με ίσα μέτρα, αλλά αντίθετες φορές ονομάζονται ζεύγος δυνάμεων (σχ. 2.6). Η ροπή του ζεύγους δυνάμεων (δηλαδή το άθροισμα των ροπών κάθε δύναμης) είναι σταθερή ως προς όλα τα σημεία του επιπέδου και ίση με το γινόμενο του μέτρου της μιας δύναμης επί την μεταξύ τους απόσταση: Μ = Ρ d (στην περίπτωση του σχήματος 2.6 είναι αριστερόστροφη, δηλαδή θετική). Συνήθως, τη ροπή ενός ζεύγους τη συμβολίζουμε με ένα καμπύλο βέλος στο επίπεδο, μια μοναχική ροπή. Στο πλαίσιο της Μηχανικής συναντούμε μοναχικές ροπές είτε ως φορτία είτε ως εσωτερικά φορτία διατομής (ροπή κάμψης Μ). Σχήμα 2.6 Ροπή ζεύγους δυνάμεων Η ροπή μιας κατανεμημένης δύναμης ως προς οποιοδήποτε σημείο ισούται με τη ροπή της συνισταμένης της ως προς το σημείο αυτό. Η συνισταμένη μιας κατανεμημένης δύναμης ισούται με το ολοκλήρωμα της δύναμης κατά μήκος του δομικού στοιχείου στο οποίο ασκείται, ενώ το σημείο εφαρμογής της είναι η προβολή στον άξονα του δομικού στοιχείου του κεντροειδούς της επιφάνειας που ορίζεται μεταξύ της δύναμης και του δομικού στοιχείου. Για παράδειγμα η συνισταμένη ενός ομοιόμορφου φορτίου q που ασκείται σε μήκος L ενός γραμμικού δομικού στοιχείου είναι R = q L και το σημείο εφαρμογής της είναι στο μέσο του μήκους L. Προσοχή: η αντικατάσταση ενός κατανεμημένου φορτίου από τη συνισταμένη του είναι επιτρεπτή μόνο κατά την κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας και όχι κατά τον υπολογισμό και τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής. 2.6 Παράλληλη μεταφορά δυνάμεων στο επίπεδο Μια δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα σημείο Α του επιπέδου μπορεί να μεταφερθεί παράλληλα σε οποιοδήποτε σημείο Β, εάν συνοδευτεί και από τη ροπή της ως προς αυτό. Π.χ. η μοναχική δύναμη Ρ του σχήματος 2.7 που εφαρμόζεται στο σημείο Α ισοδυναμεί με το σύστημα της δύναμης Ρ που εφαρμόζεται στο σημείο Β και την αντίστοιχη ροπή ως προς το Β, Μ = Ρ r. Προσοχή: η παράλληλη μεταφορά δύναμης είναι επιτρεπτή μόνο κατά την κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας 14

και όχι κατά τον υπολογισμό και τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής. Σχήμα 2.7 Παράλληλη μεταφορά δύναμης 2.7 Κεντροειδές επίπεδης επιφάνειας Οι συντεταγμένες του κεντροειδούς G μιας επίπεδης επιφάνειας (που μπορεί να είναι η διατομή ενός δομικού στοιχείου) υπολογίζονται εν γένει με τη βοήθεια επιφανειακών ολοκληρωμάτων. Στην πράξη, οι συντεταγμένες των κεντροειδών ορισμένων χαρακτηριστικών επιφανειών (π.χ. ορθογώνιο, τρίγωνο κτλ) λαμβάνονται από πίνακες. Οι συντεταγμένες x G και y G του κεντροειδούς μιας σύνθετης επιφάνειας που αποτελείται από n επιμέρους επιφάνειες με γνωστά εμβαδά Α i και συντεταγμένες κεντροειδών x i και y i (i = 1, 2,, n) δίνονται από τους παρακάτω τύπους: x ia i x G, A i y ia i y G (2.7) A Στην περίπτωση που στη σύνθετη επιφάνεια υπάρχει μια οπή k, τότε η επιφάνεια Α k και τα γινόμενα x k Α k και y k Α k εισάγονται στους τύπους με αρνητικό πρόσημο. Παρατήρηση 1: Στην πράξη έχει επικρατήσει αντί του όρου κεντροειδές να χρησιμοποιείται ο όρος κέντρο βάρους, πράγμα που είναι μάλλον αδόκιμο, καθώς οι επίπεδες επιφάνειες δεν έχουν βάρος. Παρατήρηση 2: Οι συντεταγμένες x i και y i των κεντροειδών των επιμέρους τμημάτων μιας σύνθετης επιφάνειας, θα πρέπει να αναφέρονται πάντα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων Οxy. Παρατήρηση 3: Για λόγους διευκόλυνσης των υπολογισμών, συνιστάται η αρχή Ο του συστήματος συντεταγμένων να λαμβάνεται στην κάτω αριστερή γωνία της σύνθετης επιφάνειας (χωρίς κάτι τέτοιο να είναι δεσμευτικό). Παρατήρηση 4: Υπενθυμίζεται ότι το κεντροειδές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ταυτίζεται με το σημείο τομής των δύο διαγωνίων του, ενός i 15

κύκλου με το κέντρο του, ενώ το κεντροειδές ενός τριγώνου βρίσκεται σε απόσταση ενός τρίτου κάθε κάθετης πλευράς από την κορυφή της ορθής γωνίας (σχ 2.8). Σχήμα 2.8 Κεντροειδή βασικών διατομών 2.8 Ροπές αδράνειας επίπεδης επιφάνειας Οι ροπές αδράνειας μιας επίπεδης επιφάνειας (που μπορεί να είναι η διατομή ενός δομικού στοιχείου) εκφράζουν την αντίσταση μιας διατομής σε κάμψη. Υπολογίζονται εν γένει με τη βοήθεια επιφανειακών ολοκληρωμάτων. Στην πράξη, οι ροπές αδράνειας ορισμένων χαρακτηριστικών επιφανειών (π.χ. ορθογώνιο, τρίγωνο κτλ.) ως προς το κεντροειδές τους λαμβάνονται από πίνακες, όπως ο πίνακας 2.1. Οι μονάδες μέτρησής τους είναι m 4. Πίνακας 2.1 Ροπές αδράνειας βασικών διατομών L x L Ιx = 12 3 L x L Ιy = 12 3 y y L x L Ιx = 36 3 y 3 L x L Ιy = 36 y π r Ιx = Ιy = 4 4 Οι ροπές αδράνειας Ιx G και Ιy G μιας σύνθετης επιφάνειας που αποτελείται από n επιμέρους επιφάνειες με γνωστά εμβαδά Α i, ροπές αδράνειας Ιx i και Ιy i και συντεταγμένες κεντροειδούς x i και y i (i = 1, 2,, n) δίνονται από τους παρακάτω τύπους που βασίζονται στο θεώρημα των παράλληλων αξόνων ή θεώρημα Steiner: Ιx G = ( Ιx i + Α i y 2 0i ) (2.8) 16

Ιy G = ( Ιy i + Α i x 0i 2 ) (2.9) όπου x 0i, y 0i οι αποστάσεις κατά τους άξονες x και y αντίστοιχα του κεντροειδούς κάθε επιμέρους επιφάνειας από το κεντροειδές της σύνθετης επιφάνειας συνολικά. 2.9 Πινακοποιημένος υπολογισμός κεντροειδούς και ροπών αδράνειας Οι απαιτούμενοι υπολογισμοί για την εύρεση της θέσης του κεντροειδούς και των ροπών αδράνειας μιας σύνθετης επιφάνειας μπορούν να οργανωθούν επί ενός πίνακα, όπως ο πίνακας 2.2. Αυτός ο τρόπος υπολογισμού είναι ο πλέον πρακτικός, ιδιαίτερα όταν η σύνθετη διατομή αποτελείται από πολλές επιμέρους επιφάνειες. Η όλη διαδικασία περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1. Η σύνθετη επιφάνεια αναλύεται σε n επιμέρους επιφάνειες (ορθογώνια, τρίγωνα, κύκλους, κτλ.) των οποίων τα χαρακτηριστικά είναι άμεσα υπολογίσιμα από πίνακες. 2. Καθορίζεται η θέση του γενικού συστήματος συντεταγμένων Oxy (κατά προτίμηση το Ο λαμβάνεται στην κάτω αριστερή γωνία της σύνθετης διατομής). 3. Καταγράφονται οι συντεταγμένες x i και y i του κεντροειδούς κάθε επιμέρους επιφάνειας ως προς το γενικό σύστημα συντεταγμένων Oxy (στήλες (2) και (3) του πίνακα). 4. Υπολογίζεται το εμβαδόν Α i κάθε επιμέρους επιφάνειας, καθώς και το συνολικό εμβαδόν της σύνθετης διατομής (στήλη (4) του πίνακα). 5. Υπολογίζονται τα γινόμενα x i A i και y i A i (στήλες (5) και (6) του πίνακα). Τα σύνολα των δύο στηλών είναι ίσα με x ia i και yia i αντίστοιχα. 6. Υπολογίζονται από τις σχέσεις (2.7) οι συντεταγμένες του κεντροειδούς της σύνθετης διατομής x G και y G. 7. Υπολογίζονται με τη βοήθεια πινάκων οι ροπές αδράνειας Ιx i και Ιy i κάθε επιμέρους επιφάνειας ως προς το κεντροειδές της (όχι ως προς το κεντροειδές της σύνθετης διατομής) (στήλες (7) και (8) του πίνακα). 8. Οι Ιx i και Ιy i μεταφέρονται στο κεντροειδές της σύνθετης διατομής με τη βοήθεια των σχέσεων (2.10) και (2.11) (στήλες (9) και (10) του πίνακα), Ιx Gi = Ιx i + Α i y 0i 2 Ιy Gi = Ιy i + Α i x 0i 2 (2.10) (2.11) 17

όπου x 0i, y 0i οι αποστάσεις κατά τους άξονες x και y αντίστοιχα του κεντροειδούς κάθε επιμέρους επιφάνειας από το κεντροειδές της σύνθετης διατομής, δηλαδή: x 0i = x i - x G (2.12) y 0i = y i - y G (2.13) 9. Τα σύνολα των στηλών (9) και (10) ταυτίζονται με τις ζητούμενες ροπές αδράνειας Ιx G και Ιy G αντίστοιχα. Πίνακας 2.2 Υπολογισμός κεντροειδούς και ροπών αδράνειας σύνθετης επιφάνειας (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) α/α x i y i Α i x i A i y i A i Ιx i Ιy i Ιx Gi Ιy Gi 1 2 n Σύνολα (m) (m) (m 2 ) (m 3 ) (m 3 ) (m 4 ) (m 4 ) (m 4 ) (m 4 ) 18

3. Ο ΕΠΙΠΕΔΟΣ ΔΙΣΚΟΣ 3.1 Ορισμός Δίσκος είναι ένα σώμα, που υπό την παραδοχή ότι όλα τα επιμέρους δομικά του στοιχεία είναι απαραμόρφωτα, είναι και αυτός στο σύνολό του απαραμόρφωτος. Πρακτικά δίσκος θεωρείται οποιοδήποτε συνεχές τμήμα ενός φορέα που δεν διακόπτεται από εσωτερικούς μηχανισμούς, π.χ. εσωτερικές αρθρώσεις. Όταν όλα τα δομικά στοιχεία ενός δίσκου βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε αυτός καλείται επίπεδος. 3.2 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο Έστω ένας επίπεδος δίσκος που αποτελείται από ένα γραμμικό δομικό στοιχείο (η επιλογή της απλούστερης αυτής μορφής δίσκου δεν περιορίζει την γενικότητα των συμπερασμάτων που θα εξαχθούν). Ο δίσκος (σχ. 3.1) μετακινείται στο επίπεδο από την αρχική του θέση ΑΒ στην τελική Α Β. Η κίνηση αυτή μπορεί να αναλυθεί σε τρεις επιμέρους μετακινήσεις ως εξής: καταρχάς ο δίσκος υφίσταται μια παράλληλη μετατόπιση στη θέση Α Β που περιλαμβάνει μια κατακόρυφη συνιστώσα u y και μια οριζόντια u x. Στη συνέχεια υφίσταται μια περιστροφή φ γύρω από το σημείο Α. Οι τρεις αυτές δυνατότητες μετακίνησης (u x, u y, φ) που διαθέτει ένας δίσκος στο επίπεδο ονομάζονται ελευθερίες κίνησης ή βαθμοί ελευθερίας. Σχήμα 3.1 Η κίνηση του δίσκου στο επίπεδο 3.3 Η στήριξη του δίσκου στο επίπεδο Προκειμένου ένας επίπεδος δίσκος να στηριχθεί στερεά θα πρέπει να αρθούν οι τρεις διαθέσιμες ελευθερίες κίνησης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των δεσμικών ράβδων. Οι δεσμικές ράβδοι μπορεί να είναι είτε δρομικές είτε 19

στροφικές. Κάθε δρομική δεσμική ράβδος απαγορεύει τη μετατόπιση κατά τη διεύθυνσή της και παράλληλα εισάγει μια αντίδραση-δύναμη κατά την ίδια διεύθυνση. Κάθε στροφική δεσμική ράβδος απαγορεύει τη στροφή γύρω από το σημείο τοποθέτησής της και παράλληλα εισάγει μια αντίδραση-ροπή. Στην απλούστερη περίπτωση ένας δίσκος μπορεί να στηριχτεί μόνο με δρομικές δεσμικές ράβδους (σχ. 3.2). Δεδομένου ότι οι ελευθερίες κίνησης του επίπεδου δίσκου είναι τρεις, τόσος είναι και ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός δεσμικών ράβδων ώστε η στήριξη να είναι στερεή. Ωστόσο, η ύπαρξη του ελάχιστου αριθμού δεσμικών ράβδων δεν αρκεί για να εξασφαλίσει την στερεότητα στήριξης (αναγκαία συνθήκη, αλλά όχι ικανή). Θα πρέπει επιπλέον οι δεσμικές ράβδοι να είναι και κατάλληλα διατεταγμένες, ώστε να αποφεύγονται ασταθείς (χαλαρές) μορφές στήριξης. Για παράδειγμα, όταν ο δίσκος στηρίζεται με δρομικές δεσμικές ράβδους, τότε αυτές δεν πρέπει να είναι όλες παράλληλες, ούτε οι φορείς τους να τέμνονται όλοι στο ίδιο σημείο. (α) (β) (γ) Σχήμα 3.2 Στήριξη δίσκου με δρομικές δεσμικές ράβδους (α) στερεή (β), (γ) χαλαρή Στην πράξη οι φορείς στηρίζονται στο στερεό υπόβαθρο μέσω κατάλληλων μηχανισμών-εφεδράνων που ονομάζονται στηρίξεις. Οι συνηθέστερες είναι οι εξής: Κύλιση. Η κύλιση αντιστοιχεί σε στήριξη με μια δρομική δεσμική ράβδο. Έτσι, απαγορεύει τη μετατόπιση κατά τη διεύθυνση της ράβδου και εισάγει μια αντίδραση-δύναμη κατά την ίδια διεύθυνση. Άρθρωση. Η άρθρωση αντιστοιχεί σε στήριξη με δύο δρομικές δεσμικές ράβδους που τέμνονται σε ένα σημείο. Έτσι, απαγορεύει τη μετατόπιση του σημείου προς οποιαδήποτε διεύθυνση και εισάγει δύο αντιδράσεις-δυνάμεις κατά τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Πάκτωση. Η πάκτωση αντιστοιχεί σε στήριξη με δύο δρομικές και μία στροφική δεσμική ράβδο. Έτσι, απαγορεύει τη στροφή και τη μετατόπιση του σημείου τοποθέτησής της προς οποιαδήποτε διεύθυνση, ενώ παράλληλα εισάγει δύο αντιδράσεις-δυνάμεις κατά τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων και μια αντίδραση-ροπή. 20

Στον πίνακα 3.1 δίνονται οι συνήθεις συμβολισμοί των τριών βασικών μηχανισμών στήριξης. Πίνακας 3.1 Συνήθεις συμβολισμοί μηχανισμών στήριξης Μηχανισμός Συμβολισμοί Κύλιση Άρθρωση Πάκτωση 3.4 Υπολογισμός αντιδράσεων δίσκου Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός στερεά εδραζόμενου επίπεδου δίσκου υπό οποιαδήποτε φορτία εφαρμόζεται η αρχή της αποδεσμεύσεως του Lagrange σε συνδυασμό με τις συνθήκες ισορροπίας. Σύμφωνα με την αρχή της αποδεσμεύσεως του Lagrange, αν καταλύσουμε τις στηρίξεις ενός ισορροπούντος φορέα και στις θέσεις τους προσάγουμε τις αντίστοιχες αντιδράσεις, τότε η εντασιακή κατάσταση του φορέα δεν μεταβάλλεται και αυτός εξακολουθεί να βρίσκεται σε ισορροπία. Πρακτικά, για τον υπολογισμό των αντιδράσεων ενός επίπεδου δίσκου, σαν αυτόν του σχήματος 3.3.α, ακολουθούνται τα εξής βήματα: 1) Καταλύονται οι στηρίξεις. 2) Στη θέση των στηρίξεων προσάγονται οι αντίστοιχες αντιδράσεις. Από τη διαδικασία αυτή προκύπτει το λεγόμενο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος (ΔΕΣ) (σχ. 3.3.β). 3) Καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας, από τις οποίες προκύπτουν οι άγνωστες αντιδράσεις. Ως γνωστόν, στο επίπεδο διατίθενται τρεις εξισώσεις ισορροπίας και συγκεκριμένα οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων: F x 0 και F Y 0 και μια εξίσωση ισορροπίας ροπών ως προς ένα σημείο i του επιπέδου: M i 0 21

(α) (β) Σχήμα 3.3 Επίπεδος δίσκος (α) και Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος αυτού (β) Παρατήρηση 1: Η φορά προσαγωγής των αντιδράσεων κατά το βήμα 2 μπορεί καταρχάς να επιλέγεται τυχαία. Αν από τη διαδικασία της επίλυσης προκύψει θετική τιμή για κάποια αντίδραση, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά συμπίπτει με την αρχικά επιλεγείσα. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή προκύψει αρνητική τιμή για κάποια αντίδραση, σημαίνει ότι η πραγματική της φορά είναι αντίθετη με την αρχικά επιλεγείσα. Στην πράξη πολλές φορές μπορεί να γίνει διαισθητικά μια προεκτίμηση της πραγματικής φοράς των αντιδράσεων, ώστε να αποφευχθούν αρνητικές τιμές. Παρατήρηση 2: Σε περίπτωση ύπαρξης λοξών φορτίων, κατά τη σχεδίαση του Διαγράμματος Ελεύθερου Σώματος του φορέα θα πρέπει αυτά να αναλύονται σε δύο συνιστώσες παράλληλες με τους δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας, η οποία γίνεται πάντα στο γενικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημα των μεγεθών που υπεισέρχονται. Έτσι, όταν η (αρχικά επιλεγείσα) φορά μιας αντίδρασης ή η (πραγματική) φορά ενός φορτίου ταυτίζονται με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε τα μεγέθη εισάγονται στις εξισώσεις ισορροπίας με θετικό πρόσημο. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν η (αρχικά επιλεγείσα) φορά μιας αντίδρασης ή η (πραγματική) φορά ενός φορτίου είναι αντίθετες με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε τα μεγέθη εισάγονται στις εξισώσεις ισορροπίας με αρνητικό πρόσημο. Το ίδιο ισχύει και για τις ροπές (φορτία ή αντιδράσεις). Ως θετική φορά των ροπών λαμβάνεται η αριστερόστροφη, για λόγους συμβατότητας με το δεξιόστροφο σύστημα αξόνων που κατά κανόνα χρησιμοποιείται. Παρατήρηση 4: Δεδομένου ότι οι διαθέσιμες εξισώσεις ισορροπίας στο επίπεδο είναι τρεις, συνεπάγεται ότι ο μέγιστος αριθμός αντιδράσεων ενός δίσκου που μπορεί να προσδιοριστεί με την παραπάνω διαδικασία είναι επίσης τρεις. Στην περίπτωση αυτή η στήριξη του δίσκου ονομάζεται ισοστατική. Αν ο αριθμός των αντιδράσεων 22

είναι μεγαλύτερος, τότε οι εξισώσεις ισορροπίας δεν αρκούν για τον προσδιορισμό τους και η στήριξη ονομάζεται υπερστατική. Παρατήρηση 5: Η μία ή και οι δύο εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων μπορούν να αντικατασταθούν από εξισώσεις ισορροπίας ροπών ως προς οποιαδήποτε σημεία του επιπέδου (πλην του i). Σε κάθε περίπτωση όμως, αυτές οι επιπλέον εξισώσεις είναι εξαρτημένες με τις προηγούμενες και ο μέγιστος αριθμός των αντιδράσεων που μπορούν να προσδιοριστούν παραμένει τρεις. Παρατήρηση 6: Στην πράξη θα πρέπει να γίνεται έξυπνη επιλογή τόσο των σημείων ως προς τα οποία καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας ροπών, όσο και της σειράς κατάστρωσης των εξισώσεων. Για παράδειγμα, στο φορέα του σχήματος 3.3 μια έξυπνη επιλογή είναι η εξίσωση ισορροπίας ροπών στο σημείο Α, καθώς τα δύο από τα τρία άγνωστα μεγέθη (Α x και A y ) έχουν μηδενικές ροπές (αφού διέρχονται από το Α). Ως εκ τούτου στην εξίσωση υπεισέρχεται μόνο ένα άγνωστο μέγεθος (Β y ) το οποίο μπορεί να υπολογιστεί άμεσα χωρίς την επίλυση συστήματος εξισώσεων. Για τον ίδιο λόγο, η κατάστρωση της ισορροπίας ροπών ως προς το Α θα πρέπει να προηγηθεί της κατάστρωσης της ισορροπίας δυνάμεων κατά τον άξονα y. 23

4. ΤΑ ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 4.1 Γενικά Οι δομικοί φορείς υπό την επίδραση των φορτίων τους εμφανίζουν εσωτερική ένταση. Έστω για παράδειγμα η δοκός του σχήματος 4.1, από την οποία αποκόπτουμε ένα τμήμα ΓΔ με μια κλειστή διαχωριστική τομή. Δεδομένου ότι ο φορέας ισορροπεί, έπεται ότι και κάθε τμήμα του ισορροπεί. Όμως, τα φορτία που ασκούνται στο αποκομμένο τμήμα είναι φανερό ότι δεν εξισορροπούνται μεταξύ τους, συνεπώς προκειμένου να διατηρηθεί η ισορροπία αναπτύσσονται στις διατομές Γ και Δ δυνάμεις και ροπές που αποκαλούνται εσωτερικά εντασιακά μεγέθη ή φορτία διατομής. Γενικά, σε κάθε διατομή αναπτύσσεται μια ροπή που ονομάζεται ροπή κάμψης Μ και μια δύναμη που μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες. Η συνιστώσα που είναι παράλληλη με τον άξονα της δοκού καλείται ορθή ή αξονική δύναμη Ν, ενώ η συνιστώσα που είναι κάθετη στον άξονα της δοκού καλείται τέμνουσα δύναμη Q. Λόγω του 3 ου νόμου του Νεύτωνα (δράση-αντίδραση) στις απέναντι όχθες των τομών, δηλαδή στις διατομές Γ και Δ, θα ασκούνται ίσα κατ απόλυτη τιμή και αντίθετα εντασιακά μεγέθη. Παρατήρηση 1: Το παραπάνω σκεπτικό οφείλεται στον Euler και ουσιαστικά συνιστά γενίκευση της αρχής της αποδεσμεύσεως του Lagrange. Σχήμα 4.1 Ανάπτυξη εσωτερικών εντασιακών μεγεθών 4.2 Συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής Για πρακτικούς λόγους θα πρέπει να οριστούν οι συμβατικά θετικές φορές των φορτίων διατομής. Για το σκοπό αυτό εισάγεται η έννοια της ίνας αναφοράς. Ως ίνα αναφοράς επιλέγεται μία ίνα κάθε δομικού στοιχείου (άνω ή κάτω για οριζόντια στοιχεία, αριστερή ή δεξιά για κατακόρυφα). Στην πράξη έχει επικρατήσει σε οριζόντια στοιχεία να επιλέγεται η κάτω ίνα, ενώ σε κατακόρυφα και κεκλιμένα στοιχεία η επιλογή γίνεται έτσι ώστε να εξασφαλίζεται κατά το δυνατόν η συνέχεια 24

των ινών αναφοράς των δομικών στοιχείων του φορέα. Η ίνα αναφοράς συμβολίζεται με μια διακεκομμένη γραμμή. Οι θετικές φορές των φορτίων διατομής ορίζονται κατά σύμβαση ως εξής (σχ. 4.2): Η αξονική δύναμη θεωρείται θετική όταν είναι εφελκυστική (δηλαδή όταν εξέρχεται από τη διατομή). Η τέμνουσα δύναμη θεωρείται θετική όταν στο δεξί άκρο ενός τμήματος δομικού στοιχείου (αριστερή όχθη τομής) έχει φορά προς την ίνα αναφοράς και στο αριστερό άκρο ενός τμήματος δομικού στοιχείου (δεξιά όχθη τομής) έχει την αντίθετη φορά. Ένας εναλλακτικός και αρκετά πρακτικός τρόπος για να καθοριστεί η θετική φορά των τεμνουσών δυνάμεων είναι και ο εξής: το διάνυσμα (βέλος) που αναπαριστά μια θετική τέμνουσα δύναμη προκύπτει από το διάνυσμα της θετικής αξονικής δύναμης αν αυτό στραφεί γύρω από τη βάση του κατά 90 ο δεξιόστροφα. Η ροπή κάμψης θεωρείται θετική όταν εφελκύει την ίνα αναφοράς. Σχήμα 4.2 Συμβατικά θετικές φορές φορτίων διατομής 4.3 Η μέθοδος των διαχωριστικών τομών Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής σε μια συγκεκριμένη θέση ενός φορέα εφαρμόζεται η μέθοδος των διαχωριστικών τομών. Η μέθοδος βασίζεται στο σκεπτικό που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 4.1 και περιλαμβάνει τα εξής βήματα (συνήθως προαπαιτείται ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης): 1) Γίνεται μία νοητή διαχωριστική τομή που τέμνει το φορέα στο σημείο όπου ζητούνται τα φορτία διατομής. Έτσι, ο φορέας χωρίζεται σε δύο τμήματα. 2) Αποσπάται το ένα τμήμα του φορέα και σχεδιάζεται το Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος, στο οποίο περιλαμβάνονται τα εξωτερικά φορτία και οι αντιδράσεις που 25

ασκούνται μόνο στο υπόψη τμήμα. Επιπλέον, στη διατομή που τμήθηκε ο φορέας προσάγονται τα άγνωστα φορτία διατομής με τη συμβατικά θετική τους φορά. 3) Καταστρώνονται οι τρείς εξισώσεις ισορροπίας του αποκομμένου τμήματος. Δεδομένου ότι τα άγνωστα εντασιακά μεγέθη είναι τρία, οι εξισώσεις ισορροπίας επαρκούν για τον προσδιορισμό τους. Παρατήρηση 1: Κατά το βήμα 2) μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε από τα δύο τμήματα του φορέα. Κατά προτίμηση επιλέγεται το μικρότερο ή αυτό με τα λιγότερα φορτία ή αντιδράσεις, ώστε να ελαχιστοποιείται ο όγκος των απαιτούμενων πράξεων. Παρατήρηση 2: Τα άγνωστα εντασιακά μεγέθη πρέπει να προσάγονται στο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος του αποκομμένου τμήματος πάντοτε με τη συμβατικά θετική τους φορά. Αν από τη διαδικασία της επίλυσης προκύψει θετική τιμή για κάποιο μέγεθος, σημαίνει ότι η πραγματική του φορά συμπίπτει με τη συμβατικά θετική. Στην αντίθετη περίπτωση, αν δηλαδή προκύψει αρνητική τιμή για κάποιο μέγεθος, σημαίνει ότι η πραγματική του φορά είναι αντίθετη με τη συμβατικά θετική. Όλα τα γνωστά μεγέθη, εξωτερικά φορτία ή αντιδράσεις, συνιστάται (χωρίς να είναι δεσμευτικό) να προσάγονται με την πραγματική τους φορά και την απόλυτη τιμή του μέτρου τους. Παρατήρηση 3: Κατά την κατάστρωση των εξισώσεων ισορροπίας, η οποία γίνεται πάντα στο γενικό σύστημα συντεταγμένων Oxy, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημα των μεγεθών που υπεισέρχονται. Έτσι, όταν η φορά ενός μεγέθους (γνωστού ή αγνώστου) ταυτίζεται με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε το μέγεθος εισάγεται στις εξισώσεις ισορροπίας με θετικό πρόσημο. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν η φορά ενός μεγέθους είναι αντίθετη με τη θετική φορά ενός εκ των δύο αξόνων αναφοράς, τότε το μέγεθος εισάγεται στις εξισώσεις ισορροπίας με αρνητικό πρόσημο. Το ίδιο ισχύει και για τις ροπές (φορτία ή αντιδράσεις ή ροπές κάμψης). Υπενθυμίζεται ότι η θετική φορά των ροπών είναι η αριστερόστροφη. Προσοχή: Παρόλο που τα φορτία διατομής προσάγονται στο Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος πάντα με τη συμβατικά θετική φορά τους, στις εξισώσεις ισορροπίας μπορεί να εισάγονται είτε με θετικό είτε με αρνητικό πρόσημο, ανάλογα αν η φορά αυτή συμπίπτει ή όχι με τη θετική φορά του γενικού συστήματος συντεταγμένων. Παρατήρηση 4: Σε αντίθεση με τη διαδικασία υπολογισμού αντιδράσεων (παρ. 3.4), η αντικατάσταση των εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων από επιπλέον εξισώσεις ισορροπίας ροπών δεν προσφέρει κανένα πλεονέκτημα και δεν συνηθίζεται στην 26

πράξη. Επίσης, για πρακτικούς λόγους, είναι σκόπιμο η εξίσωση ισορροπίας ροπών να καταστρώνεται ως προς το σημείο που τμήθηκε ο φορέας (έτσι ώστε να μηδενίζονται οι ροπές της αξονικής και της τέμνουσας δύναμης). 4.4 Τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Στη Στατική κατά κανόνα ζητούμενο δεν είναι απλώς ο υπολογισμός των φορτίων διατομής σε μεμονωμένα σημεία του εξεταζόμενου φορέα, αλλά σε όλη την έκτασή του. Σε ένα γραμμικό δομικό στοιχείο ενός φορέα η τιμή των φορτίων διατομής υπό συγκεκριμένη φόρτιση σε οποιοδήποτε σημείο είναι συνάρτηση της θέσης του, όπως αυτή προσδιορίζεται με την τετμημένη του x επί του άξονα του δομικού στοιχείου με αρχή ένα από τα δύο άκρα. Έτσι, είναι δυνατόν να προσδιοριστούν συναρτήσεις των φορτίων διατομής Μ(x), Q(x), Ν(x) για κάθε δομικό στοιχείο. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτών, που σχεδιάζονται σε σκαριφήματα του φορέα, αποτελούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής. Στην πράξη τα διαγράμματα των φορτίων διατομής χαράσσονται υπολογίζοντας με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών (παρ. 4.3) τις τιμές των φορτίων διατομής σε ορισμένα μόνο χαρακτηριστικά σημεία (άκρα δομικών στοιχείων, θέσεις μοναχικών φορτίων, θέσεις έναρξης ή πέρατος κατανεμημένων φορτίων). Στη συνέχεια, μεταξύ των χαρακτηριστικών σημείων τα διαγράμματα των φορτίων διατομής προσδιορίζονται με εκμετάλλευση των θεμελιωδών ιδιοτήτων τους (παρ. 4.6), οι οποίες προκύπτουν ως συνέπεια των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας (παρ. 4.5). Για τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής τίθενται ορισμένοι συμβατικοί κανόνες. Έτσι, έχει επικρατήσει καθολικά οι θετικές τιμές των ροπών κάμψης να σχεδιάζονται προς την πλευρά της ίνας αναφοράς, ενώ οι αρνητικές τιμές προς την αντίθετη πλευρά. Σε ότι αφορά στα διαγράμματα τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων, στις ανά χείρας σημειώσεις ακολουθείται ο αντίστροφος κανόνας, ο οποίος άλλωστε υιοθετείται στα περισσότερα συγγράμματα Στατικής. Σε κάθε διάγραμμα, σημειώνονται οι τιμές του φορτίου διατομής στα χαρακτηριστικά σημεία και το πρόσημο κάθε περιοχής του διαγράμματος εντός παρενθέσεως. Στο σχήμα 4.3 δίνονται ως παράδειγμα τα διαγράμματα Μ, Q ενός απλού ισοστατικού φορέα (αμφιπροέχουας δοκού). Για τη συγκεκριμένη φόρτιση του σχήματος το διάγραμμα Ν είναι μηδενικό. Παρατήρηση 1: Στη συνήθη περίπτωση ενός δομικού στοιχείου που φέρει συνεχές ομοιόμορφο φορτίο, όπως π.χ. τα δομικά στοιχεία AC και ΑΒ στη δοκό του σχήματος 27

4.3, το διάγραμμα ροπών κάμψης είναι παραβολικό. Για το σαφή καθορισμό του απαιτείται και η αναγραφή των τιμών των ροπών σε μερικά επιπλέον ενδιάμεσα σημεία και συγκεκριμένα στο μέσο κάθε δομικού στοιχείου και στο σημείο που εμφανίζεται η μέγιστη τιμή της ροπής. Αναλυτικοί τύποι για τον υπολογισμό των τιμών αυτών θα δοθούν στην παράγραφο 5.5. Επίσης, στην περίπτωση αυτή χαράσσεται (με διακεκομμένη γραμμή) η κλείουσα, δηλαδή η ευθεία που ενώνει τις τιμές στα δύο άκρα του δομικού στοιχείου. Σχήμα 4.3 Διαγράμματα Μ, Q αμφιπροέχουσας δοκού 28

4.5 Οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας Έστω ένα τμήμα AB ενός γραμμικού δομικού στοιχείου στοιχειώδους μήκους dx (σχ. 4.4) που φέρει κατανεμημένα φορτία n (x) και q (x) παράλληλα και κάθετα στον άξονά του αντίστοιχα. Στις δύο ακραίες διατομές ασκούνται επιπλέον και τα εσωτερικά εντασιακά μεγέθη (Μ, Q, N στο αριστερό άκρο και Μ + dm, Q + dq, N + dn στο δεξί). Καταστρώνοντας τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας, και θεωρώντας το διαφορικό 2 ης τάξης πρακτικά αμελητέο, προκύπτουν τα εξής: ΣF x = 0 - N + N + dn + n (x) dx = 0 dn dx n (x) ΣF y = 0 - Q + Q + dq + q (x) dx = 0 dq dx q (x) ΣM B = 0 - Q dx - M + M + dm + q (x) dx 2 = 0 2 dm dx Q 2 d M 2 dx dq dx q (x) Οι παραπάνω εξισώσεις αποτελούν τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας του στοιχειώδους δομικού στοιχείου. Από αυτές συνάγεται ότι η παράγωγος της συνάρτησης της αξονικής δύναμης είναι ίση με το αντίθετο του παράλληλου στον άξονα του στοιχείου φορτίου n (x), ενώ η παράγωγος της συνάρτησης της τέμνουσας δύναμης είναι ίση με το αντίθετο του κάθετου στον άξονα του στοιχείου φορτίου q (x). Επίσης, η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης της ροπής είναι ίση με την τέμνουσα δύναμη και η δεύτερη παράγωγος ίση με το αντίθετο του q (x). Παρατήρηση 1: Από τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας του στοιχειώδους δομικού στοιχείου προκύπτει ότι οι παράγωγοι της ροπής κάμψης και της τέμνουσας δύναμης συνδέονται μεταξύ τους και με το φορτίο q (x), ενώ η παράγωγος της αξονικής δύναμης εξαρτάται μόνο από το n (x) και δεν συνδέεται με τα άλλα μεγέθη (αποσύζευξη διάτασης από κάμψη - διάτμηση). Αυτό σημαίνει ότι η μεταβολή της ροπής κάμψης και της τέμνουσας δύναμης κατά μήκος ενός δομικού στοιχείου εξαρτάται μόνο από τα κάθετα στον άξονα του στοιχείου φορτία που τυχόν υπάρχουν, ενώ αντίθετα η μεταβολή της αξονικής δύναμης επηρεάζεται μόνο από τα φορτία που είναι παράλληλα στον άξονα του στοιχείου. 29

Σχήμα 4.4 Στοιχειώδες τμήμα γραμμικού δομικού στοιχείου 4.6 Οι θεμελιώδεις ιδιότητες των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής Ως συνέπεια των διαφορικών εξισώσεων ισορροπίας προκύπτουν μια σειρά από ιδιότητες που διευκολύνουν σημαντικά τη σχεδίαση των διαγραμμάτων των φορτίων διατομής: Αν σε ένα δομικό στοιχείο (ή σε τμήμα αυτού) ενεργεί κάθετα στον άξονά του συνεχές φορτίο q (x), όπου q (x) μια πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού κ, τότε οι συναρτήσεις της τέμνουσας δύναμης και της ροπής κάμψης θα είναι επίσης πολυωνυμικές, με βαθμό κ + 1 και κ + 2 αντίστοιχα. Έτσι, σε αφόρτιστα τμήματα (q = 0) η τέμνουσα δύναμη θα είναι σταθερή, δηλαδή το διάγραμμά της θα είναι ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα του δομικού στοιχείου και η ροπή κάμψης θα μεταβάλλεται γραμμικά, δηλαδή το διάγραμμά της θα είναι ευθεία γραμμή με κλίση ως προς τον άξονα του στοιχείου (στην οριακή περίπτωση που η τέμνουσα είναι μηδενική, η ροπή κάμψης είναι σταθερή, ενδεχομένως και μηδενική). Σε τμήματα με συνεχές ομοιόμορφο φορτίο (κ = 0) το διάγραμμα της τέμνουσας δύναμης θα είναι ευθεία γραμμή με κλίση ως προς τον άξονα του στοιχείου, ενώ το διάγραμμα της ροπής θα είναι παραβολή 2 ου βαθμού. Αν σε ένα δομικό στοιχείο (ή σε τμήμα αυτού) ενεργεί παράλληλα στον άξονά του συνεχές φορτίο n (x), όπου n (x) μια πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού κ, τότε η συνάρτηση της αξονικής δύναμης θα είναι επίσης πολυωνυμική, με βαθμό κ + 1. Έτσι, σε αφόρτιστα τμήματα (n = 0) η αξονική δύναμη θα είναι σταθερή (στην οριακή περίπτωση μηδενική), δηλαδή το διάγραμμά της θα είναι ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα του δομικού στοιχείου. 30

Σε σημεία μηδενισμού της φόρτισης q (x) η τέμνουσα δύναμη εμφανίζει ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο), ενώ η ροπή κάμψης σημείο καμπής. Σε σημεία μηδενισμού της φόρτισης n (x) η αξονική δύναμη εμφανίζει ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο). Σε σημεία μηδενισμού της τέμνουσας δύναμης η ροπή κάμψης εμφανίζει ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο). Σε σημεία εφαρμογής μοναχικών φορτίων-δυνάμεων κάθετων στον άξονα του δομικού στοιχείου το διάγραμμα των τεμνουσών δυνάμεων εμφανίζει άλμα κατ απόλυτη τιμή ίσο με το φορτίο, ενώ το διάγραμμα των ροπών κάμψης εμφανίζει απότομη αλλαγή κλίσης (γόνατο). Το διάγραμμα των αξονικών δυνάμεων δεν επηρεάζεται. Σε σημεία εφαρμογής μοναχικών φορτίων-δυνάμεων παράλληλων στον άξονα του δομικού στοιχείου το διάγραμμα των αξονικών δυνάμεων εμφανίζει άλμα κατ απόλυτη τιμή ίσο με το φορτίο. Τα διαγράμματα των τεμνουσών δυνάμεων και των ροπών κάμψης δεν επηρεάζονται. Σε σημεία εφαρμογής μοναχικών φορτίων-ροπών το διάγραμμα των ροπών κάμψης εμφανίζει άλμα κατ απόλυτη τιμή ίσο με το φορτίο. Τα διαγράμματα των αξονικών και τεμνουσών δυνάμεων δεν επηρεάζονται. 31

5. ΑΠΛΟΙ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ 5.1 Γενικά Απλοί καλούνται οι ισοστατικοί φορείς που αποτελούνται από έναν και μόνο δίσκο. Χαρακτηριστικά παραδείγματα απλών ισοστατικών φορέων είναι η αμφιέρειστη (σχ. 5.1.α), η μονοπροέχουσα (σχ 5.1.β) και η αμφιπροέχουσα δοκός (σχ. 5.1.γ), οι πρόβολοι (σχ. 5.1.δ, ε) και τα αμφιέρειστα πλαίσια (σχ. 5.1.στ, ζ). Σχήμα 5.1 Χαρακτηριστικοί τύποι απλών ισοστατικών φορέων 5.2 Η αμφιέρειστη δοκός Η αμφιέρειστη δοκός είναι ο απλός ισοστατικός φορέας που αποτελείται από ένα ευθύγραμμο δομικό στοιχείο (συνήθως οριζόντιο) που στηρίζεται στο ένα άκρο του με μια άρθρωση και στο άλλο με μια κύλιση. Στο σχήμα 5.2 δίνονται τα διαγράμματα των φορτίων διατομής της Μ, Q, για ορισμένες χαρακτηριστικές περιπτώσεις φόρτισης (συνεχές ομοιόμορφο φορτίο, μοναχικό κατακόρυφο φορτίο στο μέσο του ανοίγματος, μοναχική ροπή στο μέσο του ανοίγματος, μοναχικές ροπές στα άκρα). Για τις συγκεκριμένες φορτίσεις το διάγραμμα Ν είναι μηδενικό. Τα διαγράμματα αυτά έχουν ιδιαίτερη σημασία, γιατί αποτελούν βάση για το σχεδιασμό διαγραμμάτων και συνθετότερων φορέων. 32