ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 2. Κεφάλαιο 2. Υπολογισμός εντασιακών μεγεθών

Transcript

1 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο Υπολογισμός εντασιακών μεγεθών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, το οποίο κατέχει κεντρική θέση στο παρόν βιβλίο, παρουσιάζονται οι βασικές μέθοδοι της Στατικής για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης και των φορτίων διατομής μιας μεγάλης σειράς διάφορων επίπεδων και χωρικών ισοστατικών φορέων πoυ συναντώνται συχνά στην πράξη του πολιτικού μηχανικού. Οι φορτίσεις περιλαμβάνουν τόσο εξωτερικά φορτία με συγκεντρωμένες ή/και κατανεμημένες δυνάμεις, όσο και καταναγκασμούς με ομοιόμορφη/ανομοιόμορφη θερμοκρασιακή φόρτιση και καταναγκασμένες μετατοπίσεις. Η παράγραφος. περιέχει τις ασκήσεις της ομάδας Ζ που αφορούν τον υπολογισμό μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών, δηλαδή αφενός αντιδράσεων στήριξης και ροπών πάκτωσης, και αφετέρου αξονικών δυνάμεων, τεμνουσών δυνάμεων, ροπών κάμψης και ροπών στρέψης σε συγκεκριμένες διατομές επίπεδων και χωρικών φορέων. Για τον υπολογισμό χρησιμοποιείται τόσο η μέθοδος των διαχωριστικών τομών σε συνδυασμό με τις συνθήκες ισορροπίας όσο και η κινηματική μέθοδος, η οποία στηρίζεται στην αρχή των δυνατών έργων (ΑΔΕ). Η παράγραφος. περιέχει τις ασκήσεις της ομάδας Η που αφορούν στον υπολογισμό ολόκληρης της εντασιακής κατάστασης, δηλαδή των διαγραμμάτων ροπών, τεμνουσών και αξονικών δυνάμεων, διαφόρων βασικών τύπων στατικών φορέων στο επιπεδο και στο χώρο. Επιλύονται αμφιέρειστες δοκοί (Ομάδα Η), πρόβολοι (Ομάδα Η), μονο και αμφιπροέχουσες δοκοί (ομάδα Η), αρθρωτές δοκοί (δοκοί Gerber, Ομάδα Η), αμφιέρειστα πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η), τριαρθρωτά πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η), ενισχυμένες δοκοί (Ομάδα Η7), επίπεδα δικτυώματα (Ομάδα Η8) και σύνθετοι επίπεδοι φορείς (Ομάδα Η9). Τέλος, η παράγραφος. περιέχει τις ασκήσεις της ομάδας Θ που αφορούν τον υπολογισμό της εντασιακής κατάστασης χωρικών φορέων. Επιλύονται χωρικοί πλαισιακοί φορείς (Χωροπλαίσια, Ομάδα Θ), επίπεδοι φορείς με εκτός επιπέδου φόρτιση (Εσχάρες δοκών, Ομάδα Θ), και χωρικοί δικτυωτοί φορείς (Χωροδικτυώματα, Ομάδα Θ). Προαπαιτούμενη γνώση Απαραίτητες είναι οι βασικές γνώσεις Στατικής, όπως αυτή διδάσκεται στο μέθημα της Τεχνικής Μηχανικής. Επίσης, απαραίτητη είναι η προηγούμενη μελέτη και κατανόηση της σχετικής με το παρόν κεφάλαιο θεωρίας, όπως αυτή παρουσιάζεται σε βιβλία Στατικής των Κατασκευών (βλ. π.χ. [] και []), καθώς και των ασκήσεων του προηγηθέντος κεφαλαίου.

2 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Υπολογισμός μεμονωμένων εντασιακών μεγεθών (Ομάδα Ζ).. Υπολογισμός με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και με τις συνθήκες ισορροπίας Για τους παρακάτω ισοστατικούς φορείς να υπολογιστούν τα ζητούμενα εντασιακά μεγέθη εφαρμόζοντας τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και με τις συνθήκες ισορροπίας. q=k/m Ζητούνται: Α, Α, Α, Μ,, a=. c=. =. b=. q=k/m Ζητούνται: H/=. Α, Μ,, H/=. =. q=k/m Ζητούνται: Α, Μ,,....

3 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο q=k/m Ζητούνται: Μ,,.... Ζητούνται: Α, Ν, Ν Χ. =k.... Ζητούνται: Α,,, Μ, Κυλινδρική άρθρωση k. Y k 8k..

4 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο =k.. α Ζητείται η τέμνουσα α στο σημείο α. q=k/m α Ζητείται: Να προσδιοριστεί η τιμή της ροπής έτσι ώστε η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη Ν α= Ν, της δοκού να είναι μηδενική.

5 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση Υπολογισμός των αντιδράσεων Α Χ, Α, Ζ Α Χ Συνισταμένη: R= (q c) / = k Α Ζ a=. ( c)/ c/ c=. =. q=k/m b=. Α Ζ q c a c qc a qc k q c q c k Υπολογισμός των φορτίων διατομής στη διατομή : Μ,, Τομή Α (αριστερό τμήμα) Εναλλακτικά: Τομή Β (δεξιό τμήμα) Α = Χ ( c)/ R=k q=k/m Α Χ= a Α Ζ=k Α Ζ=k c b Α Ζ=k Υπολογισμός της ροπής Μ,αριστ,δεξ q c c c b a a km q c c b 7 km Υπολογισμός της τέμνουσας αριστ q c δεξ k q c k Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Ν αριστ δεξ

6 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Υπολογισμός της αντίδρασης Α q=k/m H/=. R= q H Α Χ H/=. Α Ζ Α Ζ =. H qh q H k Υπολογισμός των φορτίων διατομής στη διατομή : Μ,, q=k/m R=q (H/) H/ H/=. Βιντεοπαρουσίαση της άσκησης αυτής στο YouTube: Α =k Ζ =. Υπολογισμός της ροπής Μ,δεξ qh H qh H 8 km 8 Υπολογισμός της τέμνουσας δεξ q H q H k Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Ν k δεξ (Συνεπώς, η αξονική επιπόνηση του στύλου είναι εφελκυστική)

7 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση Υπολογισμός της αντίδρασης Α R= =k (Συνισταμένη) q=k/m... Ι ΙΙ Α Χ Α Ζ.. Διαχωριστική τομή Ι (ολόκληρος ο φορέας): R.. R.. 7. Η αντίδραση δεν μπορεί να υπολογιστεί άμεσα από μία μόνο συνθήκη ισορροπίας. Γι αυτό χρησιμοποιούμε εδώ και την εσωτερική στατική συνθήκη Μ () = (καμπτική άρθρωση στο σημείο ) (*) Διαχωριστική τομή ΙΙ (δεξιό τμήμα του φορέα):,δεξ... (**) Εισάγοντας την (**) στην (*) παίρνουμε: k Από την (**) παίρνουμε: k 7

8 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της Μ k Α Ζ Α =8.k q=k/m Υπολογισμός της. Α.k Α =8.k q=k/m Υπολογισμός της 8.k Α Ζ Α =8.k 8

9 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση q=k/m b α. ΙΙ c I d. Α Ζ.. cosα b. sinα.87.. tgα. d.9 cosα.9m c. tgα.9m Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Τομή Ι:.. 9.7k Τομή II: 9.7 d 8.k,δεξ d.9 Υπολογισμός της ροπής α e. cosα.9m e. e α =8.k. Α =9.7k Ζ km Υπολογισμός της τέμνουσας Με βάση το παραπάνω σχήμα, παίρνουμε: sinα sinα k 9

10 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση. I =k Α Χ α c d II. III β.. α sinα.77 c sinα.77.m sinβ. d sinβ..m Υπολογισμός της αντίδρασης Α Χ Τομή Ι: 87.k Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Ν Τομή II :, δεξ c 9.k c. Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Ν Τομή III: d,δεξ 7.8k d.

11 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση. Σε κάτοψη: Y Μ Μ k Μ 8k. k.. I II Μ Μ Μ Y k k II. 8k Α Ζ.. Α Ζ Υπολογισμός της αντίδρασης Α Τομή Ι:. 8. k, αριστ Υπολογισμός της στρεπτικής ροπής Μ Τομή II: km Υπολογισμός της καμπτικής ροπής Μ ΤομήII: Y km Υπολογισμός της καμπτικής ροπής Μ Τομή II:.... km Υπολογισμός της αξονικής δύναμης Ν ΤομήIΙ: k

12 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση =k Α Χ α d 7 II I 7. α= o Α Ζ7 o α= cosα=sinα=.77 d= 7. sinα=.99m Α Ζ. ΤομήΙ: α 7 cosα α.77 7 Επομένως, για τον υπολογισμό της α απαιτούνται οι και Ν 7. Η Α Χ προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας των οριζοντίων δυνάμεων για ολόκληρο το φορέα: (ελλείψει οριζοντίων φορτίων και άλλων οριζοντίων αντιδράσεων στήριξης) Η Ν 7 προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας ροπών ως προς την καμπτική άρθρωση για το άνω τμήμα του φορέα (Τομή ΙΙ):... 7 d. 7.8k,άνω d d.99 Με τις τιμές αυτές των Α Χ και Ν 7 παίρνουμε για τη ζητούμενη τέμνουσα: k α Άσκηση 8 Σκεπτικό επίλυσης: Προσδιορίζεται η τιμή της Ν α =Ν ως συνάρτηση του φορτίου. Στην κατά αυτόν τον τρόπο προσδιορισθείσα σχέση θέτουμε Ν α = και επιλύουμε ως προς. Η προκύπτουσα τιμή της είναι η ζητούμενη... Ι q=k/m θ R=k = α α θ = Μ α α =Ν cosθ θ θ. Α Ζ θ

13 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Τομή I: ( : τοπικός άξονας δοκού ) α α Α cosθ Α sinθ sinθ R cosθ cosθ cosθ με sinθ και cosθ..9.7 α. Α.9.8 (*) Παρατηρούμε ότι η τιμή της Ν α λόγω Μ δεν μπορεί να προσδιορισθεί άμεσα από μία και μόνο συνθήκη ισορροπίας αλλά απαιτεί τον προηγούμενο υπολογισμό και άλλων εντασιακών μεγεθών, εδώ των Α Ζ και Ν : Υπολογισμός της αντίδρασης Α Ζ. q=k/m. R=k 7... ΙI 8 9 Α Ζ.. Α Ζ8. Α 9. 8 R..k 7 8 (Η διεύθυνση της Α 9 συμπίπτει για ευνόητους λόγους με τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου 79) (**) Υπολογισμός της Ν Τομή II:,αριστ R (***) Εισάγοντας τις (**) και (***) στην (*) παίρνουμε τη σχέση: α α α Θέτοντας Ν α = παίρνουμε τη ζητούμενη τιμή της :.7 α.97.km

14 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Υπολογισμός με την αρχή των δυνατών έργων (κινηματική μέθοδος) Άσκηση 9 Άσκηση Για τους ισοστατικούς φορείς των προηγούμενων ασκήσεων Ζ και Ζ να υπολογιστούν τα εκεί ζητούμενα εντασιακά μεγέθη εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Τα αποτελέσματα να συγκριθούν με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που είχαν προκύψει εφαρμόζοντας τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και τις συνθήκες ισορροπίας. Άσκηση Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ να υπολογιστεί η ροπή Μ, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ να υπολογιστεί η αξονική δύναμη Ν, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ να υπολογιστεί η αξονική δύναμη Ν, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ να υπολογιστεί η ροπή Μ, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ7 να υπολογιστεί η τέμνουσα α, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων. Άσκηση Για τον ισοστατικό φορέα της προηγούμενης άσκησης Ζ8 να προσδιοριστεί, εφαρμόζοντας την αρχή των δυνατών έργων, η τιμή της ροπής Μ, έτσι ώστε η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη Ν, της δοκού να είναι μηδενική.

15 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση 9 (Ζ) Υπολογισμός της Α () Καταλύουμε στο σημείο την οριζόντια δεσμική ράβδο, η οποία αντιστοιχεί στην αντίδραση Α Χ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στις όχθες της τομής τα δύο σκέλη της Α Χ με την επιλεγείσα θετική της φορά. Α Χ R.... q () () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό φορέα μας είναι πρακτικά περιττό). I () Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα μία οριζόντια δυνατή μετατόπιση ίση με τη μονάδα. Α Χ R () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αντίδραση Α Χ και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). Το σκέλος της Α Χ, που δρα στην αριστερή όχθη της τομής δύναμης έδρασης παραμένει αμετάθετο και, συνεπώς, δεν παράγει δυνατό έργο. q R () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς τη ζητούμενη αντίδραση Α Χ. (Σύγκρ. Άσκηση Ζ)

16 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της Α Ζ και Α Ζ () Καταλύουμε την κατακόρυφη δεσμική ράβδο στο σημείο /, η οποία αντιστοιχεί στην αντίδραση Α Ζ / Α Ζ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην επιρράβδια όχθη της τομής την Α Ζ / Α Ζ με την επιλεγείσα θετική της φορά. Το σκέλος της Α Ζ / Α Ζ που δρα επί του εδάφους μπορεί να αγνοηθεί εξαρχής, αφού για οποιαδήποτε δυνατή μετακίνηση παραμένει αμετάθετο και, συνεπώς, δεν παράγει έργο. R q=k/m R q=k/m Α Ζ Α Ζ () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό φορέα μας είναι πρακτικά περιττό). () () I I () Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα μία μοναδιαία δυνατή στροφή φ ν = ν. R=k m q R=k m q m =m φ = φ = = m m Α Ζ Α Ζ () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αντίδραση Α Ζ / Α Ζ και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). 9 9 () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς τη ζητούμενη αντίδραση Α Ζ / Α Ζ. k k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) (Σύγκρ. Άσκηση Ζ)

17 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της () Εισάγουμε μία καμπτική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Μ με τη συμβατικά θετική τους φορά.. R. q=k/m. () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. () (,) I II () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο της μονοκινηματικής δοκού μία μοναδιαία κατακόρυφη δυνατή μετατόπιση w ν = ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. /= m R=k (/) (/) =(/) () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R) () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Μ. 8. km (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) 7

18 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της () Εισάγουμε μία διατμητική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στην τέμνουσα, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της με τη συμβατικά θετική τους φορά. R.. q=k/m. () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. () I II () (,) () Επιβάλλουμε, π.χ. στο αριστερό τμήμα της μονοκινηματικής δοκού μία μοναδιαία δυνατή στροφή φ αρ ν = ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. φ αρ = = = m R=k φ = δεξ () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη τέμνουσα και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). 9 9 () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής. 9 k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) 8

19 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της () Εισάγουμε μία αξονική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στην αξονική δύναμη Ν, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Ν με τη συμβατικά θετική τους φορά.. R. q=k/m. () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. () I (,) II () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο χαλαρό δεξιό τμήμα της δοκού μία οριζόντια μοναδιαία δυνατή μετατόπιση ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. R=k () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του κατακόρυφου φορτίου q κατά την οριζόντια μετατόπιση του είναι προφανώς μηδενικό). () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Ν. (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) 9

20 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση (Ζ) Υπολογισμός της Α Ζ () Καταλύουμε την κατακόρυφη δεσμική ράβδο στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στην αντίδραση Α Ζ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην επιρράβδια όχθη της τομής την Α Ζ με την επιλεγείσα θετική της φορά. Το σκέλος της Α Ζ, που δρα επί του εδάφους, μπορεί να αγνοηθεί εξαρχής, αφού για οποιαδήποτε δυνατή μετακίνηση παραμένει αμετάθετο και συνεπώς δεν παράγει έργο. q=k/m R=k =. Α Ζ.. I () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (Σημ.: Για τον ιδιαίτερα απλό αυτόν φορέα είναι πρακτικά περιττό). () () Επιβάλλουμε στο σημείο του χαλαρού φορέα μία κατακόρυφη δυνατή μετατόπιση ίση με τη μονάδα ν. R=k (/) (/) Α Ζ () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αντίδραση Α Ζ και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). R () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς τη ζητούμενη αντίδραση Α Ζ. k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ)

21 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της () Εισάγουμε μία καμπτική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Μ με τη συμβατικά θετική τους φορά. q=k/m.. =. () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Παρατηρούμε ότι ο κύριος πόλος () βρίσκεται στο άπειρο και, συνεπώς, ο δίσκος ΙΙ δεν έχει δυνατότητα περιστροφής, δηλαδή μπορεί να υποστεί μόνο παράλληλη μετάθεση. (,) I () () II () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο του μονοκινηματικού πλαισίου μία μοναδιαία οριζόντια δυνατή μετατόπιση u ν = και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. R =k R =k (/) φ = / () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ και από το δεδομένο φορτίο q R R φ κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο ενός συνεχούς φορτίου ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Μ. km (Σύγκρ. Άσκηση Ζ)

22 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της () Εισάγουμε μία διατμητική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στην τέμνουσα, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της με τη συμβατικά θετική τους φορά. q=k/m.. =. () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Παρατηρούμε ότι (α) εμφανίζεται αντίφαση ως προς τον κύριο πόλο () και, συνεπώς, ο δίσκος Ι παραμένει αμετακίνητος και (β) ότι ο δίσκος ΙΙ μπορεί να υποστεί μόνο παράλληλη μετάθεση κατά την οριζόντια διεύθυνση. () II I (,) () () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο οριζοντίως χαλαρό τμήμα του πλαισίου μία μοναδιαία οριζόντια δυνατή μετατόπιση ν και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. R =k R =k () Καταγράφουμε τα (εξωτερικά) δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη τέμνουσα και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο ενός συνεχούς φορτίου ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R. Το κάτω σκέλος της και η R δεν παράγουν έργο, αφού δεν μετατοπίζεται ο δίσκος Ι). R () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής. k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ)

23 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Υπολογισμός της Ν () Εισάγουμε μία αξονική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στην αξονική δύναμη Ν, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Ν με τη συμβατικά θετική τους φορά. q=k/m R=k.. =. () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Παρατηρούμε ότι οι δύο δίσκοι Ι και ΙΙ μπορούν να περιστραφούν περί τα σημεία και αντιστοίχως, παραμένοντας, όμως, παράλληλοι μεταξύ τους. (,) () () I II () () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο τμήμα του χαλαρού πλαισίου μία δυνατή στροφή φ και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Α φ γ R H/ u H φ φ φ φ φ I = φ = φ II φ H=m γ =/cosγ =. u φ cosγ φ cosγ φ φ cosγ () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Ν. H u R φ φ φ φ 8 8 k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) Παρατήρηση: Διαπιστώνουμε ότι ο προσδιορισμός η σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης του φορέα δεν είναι τετριμμένος αλλά απαιτεί μία σειρά από απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς. Εφόσον η μετατοπισμένη κατάσταση σχεδιαστεί υπό κλίμακα, το μέγεθος των δυνατών μετακινήσεων που χρειαζόμαστε για τον υπολογισμό των δυνατών έργων. Στο παραπάνω παράδειγμά μας η τιμή της Δu προκύπτει και γραφικά, π.χ. με μέτρηση της απόστασης δύο σημείων.

24 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση (Ζ) Υπολογισμός της () Εισάγουμε μία καμπτική άρθρωση στο σημείο, η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Μ με τη συμβατικά θετική τους φορά. R R q=k/m. R R 9k k R R R k... () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Η θέση του κύριου πόλου () προκύπτει με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς. () (,) II θ (,) a=./tgθ =8/m I θ III () tgθ=/ () () () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο του μονοκινηματικού πλαισίου μία μοναδιαία οριζόντια δυνατή μετατόπιση u ν = ν και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. φ II R R φ II φ φ II III 8. 8 φ I w w φ II. 8 8 φ I φ III

25 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο ενός συνεχούς φορτίου ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R). w R w Rw R φ II () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Μ. φ III..7.99k m (Σύγκρ. Άσκηση Ζ: =.98km) Παρατήρηση: Η προκύπτουσα διαφορά στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα οφείλεται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις. Είναι σαφές ότι, εφόσον στις διάφορες ενδιάμεσες αριθμητικές πράξεις στρογγυλοποιούμε πάντα στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα, τα τελικά αποτελέσματα είναι ακριβή μέχρι το πρώτο ψηφίο μετά το κόμμα. Έτσι, αν επιθυμούμε ακρίβεια των τελικών αποτελεσμάτων στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα, όπως π.χ. συνήθως απαιτείται σε κατασκευές από οπλισμένο σκυρόδεμα, θα πρέπει κατά τους υπολογισμούς μας να λαμβάνουμε υπόψη τρία ψηφία μετά το κόμμα. Κατ' αναλογία, αν επιθυμούμε ακρίβεια των τελικών αποτελεσμάτων στο τρίτο ψηφίο μετά το κόμμα, όπως π.χ. συνήθως απαιτείται σε μεταλλικές κατασκευές, θα πρέπει κατά τους υπολογισμούς μας να λαμβάνουμε υπόψη τέσσερα ψηφία μετά το κόμμα. Άσκηση (Ζ) Υπολογισμός της Ν () Τέμνουμε (καταλύουμε) τη ράβδο, στην οποία αναπτύσσεται η ζητούμενη αξονική δύναμη Ν, και ταυτόχρονα προσάγουμε στις δύο όχθες της τομής τα δύο σκέλη της Ν με τη συμβατικά θετική τους φορά. q=k/m R=.=k../... () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Η θέση του κύριου πόλου () προκύπτει με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς.

26 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () b. tgθ.7. a a. tgθ.7m (,) b a m c I IΙ c..8m () () θ () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο του χαλαρού πλαισίου μία μοναδιαία δυνατή οριζόντια μετατόπιση και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. () cosα..98 u cosα.98 u φ II φ II φ II u a. b φ II u φ I c u. φ I R./ φ I φ I α u = u.. b φ c c. b u u c a. II.7 u () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν και από το δεδομένο φορτίο q κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν (Σημ.: Το δυνατό έργο του q ισούται με το δυνατό έργο της συνισταμένης του R).

27 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο R u R k.7 u.98 u..98 u () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Ν k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ: = 8.k) Παρατήρηση: Διαπιστώνουμε ότι ο προσδιορισμός η σχεδίαση της κατάστασης δυνατής μετακίνησης του φορέα δεν είναι τετριμμένος αλλά απαιτεί ορισμένους γεωμετρικούς συλλογισμούς. Εφόσον η μετατοπισμένη κατάσταση σχεδιαστεί υπό κλίμακα, το μέγεθος των δυνατών μετακινήσεων που χρειαζόμαστε για τον υπολογισμό των δυνατών έργων. Στο παραπάνω παράδειγμά μας η τιμή της u προκύπτει και γραφικά, π.χ. με μέτρηση της απόστασης δύο σημείων. Όσον αφορά την προκύπτουσα διαφορά στο δεύτερο σημείο μετά το κόμμα της Ν, αυτή οφείλεται στις ενδιάμεσες αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις (Βλ. σχετική παρατήρηση στο τέλος της προηγούμενης Άσκηση Ζ). 7

28 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση (Ζ) Υπολογισμός της Ν () Τέμνουμε (καταλύουμε) τη ράβδο, στην οποία αναπτύσσεται η ζητούμενη αξονική δύναμη Ν, και ταυτόχρονα προσάγουμε στις δύο όχθες της τομής τα δύο σκέλη της Ν με τη συμβατικά θετική τους φορά.. =k... () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων. Η θέση του κύριου πόλου () προκύπτει στον κόμβο του δικτυώματος. II () () (,) () I () () Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο του χαλαρού πλαισίου μία μοναδιαία δυνατή κατακόρυφη μετατόπιση και προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Αυτή συνίσταται σε μία στροφή του δίσκου ΙΙ περί τον κύριο πόλο του (κόμβος ). φ φ = / φ = / =k () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν και από το δεδομένο φορτίο κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν..7 φ () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Ν. 8.7k Άσκηση: Η ευρεθείσα τιμή της Ν να επαληθευθεί με κατάλληλη διαχωριστική τομή και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας (βλ. Άσκηση Ζ).

29 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση (Ζ) Υπολογισμός της () Εισάγουμε στο σημείο μία κυλινδρική άρθρωση (= καμπτική άρθρωση ως προς τον τοπικό άξονα της δοκού ), η οποία αντιστοιχεί στη ροπή Μ, και ταυτόχρονα προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση το επιρράβδιο σκέλος της Μ με τη συμβατικά θετική του φορά. Το επικόμβιο σκέλος μπορεί να αγνοηθεί εξαρχής, αφού δρα επί του αμετακίνητου εδάφους και, συνεπώς, δεν παράγει δυνατό έργο. k Μ. 8k. k.. () Η κατασκευή του διαγράμματος πόλων είναι πρακτικά περιττή λόγω της απλότητας του χωρικού μας φορέα. Είναι σαφές ότι το τμήμα στρέφεται περί τον άξονα της κυλινδρικής άρθρωσης που εισάγαμε στο σημείο και ότι το τμήμα στρέφεται περί τον καθολικό άξονα Χ στο σημείο (σφαιρική άρθρωση). () Επιβάλλουμε, π.χ. στο σημείο του μονοκινηματικού πλαισίου μία μοναδιαία κατακόρυφη δυνατή μετατόπιση w ν = και προσδιορίζουμε με απλούς γεωμετρικούς συλλογισμούς τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. φ = / (/) ' (/) (/) φ = / () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη ροπή Μ και από τα δεδομένα μοναχικά φορτία στο σημείο κατά τη δυνατή μετακίνηση (στροφή, μετατόπιση) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν. 8 () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής Μ. km (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) 9

30 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση (Ζ7) Υπολογισμός της α () Καταλύουμε τον εσωτερικό σύνδεσμο στο σημείο α, ο οποίος μεταφέρει τη ζητούμενη τέμνουσα α, δηλαδή εισάγουμε στο σημείο α μία διατμητική άρθρωση. Ο αρχικά ισοστατικός φορέας μετατρέπεται, έτσι, σε μία μονοκινηματική αλυσίδα, η οποία συντίθεται από τέσσερις στερεούς δίσκους Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και ΙV. Ταυτόχρονα, για να διατηρηθεί η αρχική εντασιακή κατάσταση του δεδομένου φορέα, προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της α με τη συμβατικά θετική τους φορά. III =k. II α α. IV 7. I () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (βλ. ακόλουθο σχήμα). (,) () (,) 8 III (,) (,) II () IV I 7 (,) (,) () Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: () Ø λόγω των δύο οριζόντιων κυλίσεων στα σημεία και 7. Συνεπώς ο δίσκος Ι μπορεί να εκτελέσει μόνο παράλληλη μετάθεση οριζοντίως. (,) Ø λόγω της διατμητικής άρθρωσης στο σημείο α. (,) στο σημείο λόγω της σύνδεσης των δίσκων ΙΙ και ΙΙΙ μέσω καμπτικής άρθρωσης στο σημείο αυτό. (,) στο σημείο (αιτιολογία ανάλογη του (,)). (,) στο σημείο 7 (αιτιολογία ανάλογη του (,)). Προσδιορισμός υπόλοιπων πόλων:, στο Συνεπώς μόνο παράλληλη ο δίσκος ΙΙ μπορεί μετάθεση. να εκτελέσει

31 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο,,,,,,, επί ευθείας, στο σημείο κάθετης στην κύλιση στο σημείο (,) και () συμπίπτουν fl () στο ίδιο σημείο με τον (), δηλαδή στο σημείο Όμως, ο () είχε βρεθεί στο. Συνεπώς, ο δίσκος ΙΙ παραμένει ακίνητος.,,,,,,,,, στο σημείο 8 στο σημείο 8 () Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα ένα δυνατό άλμα Δw α στη διατμητική άρθρωση α και με τη βοήθεια των ήδη γνωστών πόλων στροφής προσδιορίζουμε τη μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Στο παράδειγμά μας, το άλμα Δw α δημιουργείται επιβάλλοντας στον κόμβο του φορέα μια μοναδιαία δυνατή οριζόντια μετατόπιση προς τα αριστερά. Με τη βοήθεια των πόλων στροφής προσδιορίζεται η μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο χαλαρός φορέας, π.χ. εύκολα επαληθεύει ο αναγνώστης ότι η βύθιση του κόμβου είναι ίση με, όπως επίσης ότι η βύθιση w του σημείου εφαρμογής του φορτίου είναι ίση με.7. α 8 φ IV φ IV w =k o 7 w w..7 7 o () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη τέμνουσα α και από το δεδομένο εξωτερικό φορτίο =k κατά τη δυνατή μετατόπιση των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν: α w α w α.7 () Επιλύουμε την προκύπτουσα εξίσωση ως προς το ζητούμενο φορτίο διατομής α. Η ευρεθείσα τιμή της α ταυτίζεται με την τιμή που υπολογίστηκε με τη μέθοδο των διαχωριστικών τομών και τις συνθήκες ισορροπίας. α 7k (Σύγκρ. Άσκηση Ζ7)

32 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση (Ζ8) () Καταλύουμε τον εσωτερικό σύνδεσμο στο σημείο α, ο οποίος μεταφέρει την αξονική δύναμη Ν α, δηλαδή εισάγουμε στο σημείο α μία αξονική άρθρωση. Ο αρχικά ισοστατικός φορέας μετατρέπεται έτσι σε μία μονοκινηματική αλυσίδα, η οποία συντίθεται από πέντε στερεούς δίσκους Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV και V (βλ. ακόλουθο σχήμα). Ταυτόχρονα, για να διατηρηθεί η αρχική εντασιακή κατάσταση του δεδομένου φορέα, προσάγουμε στην εισαχθείσα άρθρωση τα δύο σκέλη της Ν α με τη συμβατικά θετική τους φορά. II Ν α q=k/m α.. R=k IV 7. I III V () Κατασκευάζουμε το διάγραμμα πόλων (βλ. ακόλουθο σχήμα). () (,) (,) () (,) (,) () (,) 7 (,) () () 8 9 () Άμεσα προσδιορίσιμοι πόλοι: (,), (,), (,), (,) (,), () Προσδιορισμός υπόλοιπων πόλων:, στο σημείο 7 επί ευθείας κάθετης στην κύλιση 8, στο σημείο 7 και, συμπίπτουν fl Αντίφαση, διότι ο () είχε βρεθεί στο σημείο 9 fl O δίσκος V είναι αμετακίνητος.,,,,,,,

33 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο, επί ευθείας,,,, κάθετης στην κύλιση στο fl Ο δίσκος ΙV μπορεί να εκτελέσει μόνο παράλληλες μεταθέσεις. () Επιβάλλουμε στον χαλαρό φορέα ένα δυνατό χάσμα Δu α στην αξονική άρθρωση α και με τη βοήθεια των ήδη γνωστών πόλων στροφής προσδιορίζουμε την μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται συνολικά ο φορέας. Στο παράδειγμά μας το άλμα Δu α δημιουργείται επιβάλλοντας στον κόμβο του φορέα μια δυνατή οριζόντια μετατόπιση προς τα δεξιά. Με τη βοήθεια των πόλων στροφής προσδιορίζεται η μετατοπισμένη κατάσταση στην οποία περιέρχεται ο χαλαρός φορέας (βλ. και παρακάτω). dº7.m φ II () φ I w u α α φ II () R=k u R φ I cº.m αμετακίνητος cm 8 9 m () Καταγράφουμε τα εξωτερικά, δυνατά έργα που παράγονται από τη ζητούμενη αξονική δύναμη Ν α και από όλα τα εξωτερικά φορτία (εδώ: q=k/m και ) κατά τη δυνατή μετακίνηση (μετατόπιση, στροφή) των σημείων εφαρμογής τους και θέτουμε το άθροισμά τους ίσο με το μηδέν: α u α R u R φ () Η ζητούμενη τιμή της προκύπτει θέτοντας Ν α = στην παραπάνω εξίσωση: R u R φ R u φ R Οι δυνατές μετακινήσεις u R και Δφ, λόγω της επιβληθείσας οριζόντιας μετατόπισης στον κόμβο, υπολογίζονται εύκολα από τη γεωμετρία του φορέα στην κατάστασης δυνατής μετακίνησης. Εφόσον οι δυνατές μετατοπίσεις σχεδιαστούν υπό την ίδια κλίμακα όπως και ο φορέας, τα απαιτούμενα γεωμετρικά

34 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο μεγέθη μπορούν να ληφθούν γραφικά, δηλαδή να μετρηθούν στο χαρτί. Στο παραπάνω σχήμα, η δυνατή μετατόπιση του κόμβου θεωρήθηκε ίση με m και σχεδιάστηκε ως cm (κλίμακα :). Σημειώνεται ότι πρόκειται για νοητές καταστάσεις, στις οποίες ισχύουν και εφαρμόζονται οι γεωμετρικοί κανόνες που διέπουν τις απειροστές μετακινήσεις. Προκύπτουν έτσι τα εξής μεγέθη: Στροφή δίσκου Ι: m φ.7 I.m Μετατόπιση σημείου εφαρμογής συνισταμένης R: u R φ I... m Μετατόπιση σημείου : w φ m I Στροφή δίσκου ΙΙ: φ w.97 m. II d 7.m φ.7..9 φ φ I II k..9.km Η τιμή αυτή της Μ ταυτίζεται πρακτικά με την τιμή της Μ =.km που υπολογίστηκε πιο πάνω με τις συνθήκες ισορροπίας. Απόκλιση:... %.% %

35 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. Υπολογισμός διαγραμμάτων φορτίων διατομής επίπεδων φορέων (Ομάδα Η).. Αμφιέρειστες δοκοί (Ομάδα Η) Για τις παρακάτω αμφιέρειστες δοκούς ευθύγραμμης και τεθλασμένης γεωμετρίας να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(), (), (). Στις περιπτώσεις αλλαγής προσήμου της τέμνουσας () να προσδιοριστεί η θέση διέλευσης του διαγράμματός της διά του μηδενός και να υπολογιστεί η τιμή της μέγιστης ροπής ma.

36 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο P P=k. P H/. P... H/. P=k... P =k P =k.... H/

37 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H/ R=./=7.k q=k/m Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση Ζ) k.k Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Λόγω Α Χ = και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν() είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού, δηλαδή για όλα τα. Σημείο : =.8k.8.8k Σημείο : =.8k k.8km Σημείο : =.k... 8.km..k Σημείο : =.k..k 7

38 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση των διαγραμμάτων (), () [βλ. παρακάτω σχήμα] Στο αφόρτιστο τμήμα η τέμνουσα παραμένει σταθερή ( = =.8k) και η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά (από = σε =.8km). Παρομοίως στο αφόρτιστο τμήμα : Η τέμνουσα παραμένει σταθερή ( = =.k) και η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά (από = 8.km σε = ). Στην περιοχή του φορτίου q() το διάγραμμα τεμνουσών είναι μια παραβολή ου βαθμού που στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Αιτιολογία: Το δεδομένο φορτίο q() μεταβάλλεται γραμμικάτριγωνικά και μάλιστα αυξάνει με αυξανόμενο. Συνεπώς, λόγω της γνωστής μας διαφορικής εξίσωσης ισορροπίας () = q(), ισχύουν τα εξής: (α) Η τέμνουσα (), ως ολοκλήρωμα της γραμμικής συνάρτησης q(), μεταβάλλεται παραβολοειδώς, και (β) η κλίση της εφαπτομένης στο διάγραμμα (,) η οποία εκφράζεται από την πρώτη παράγωγο q() της (), αυξάνει (κατ απόλυτο τιμή) με αυξανόμενο, δηλ. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Το πρόσημο της τέμνουσας αλλάζει στο διάστημα μεταξύ των σημείων και. Συνεπώς, μεταξύ των δύο αυτών σημείων εμφανίζεται η μέγιστη ροπή κάμψης ma. Στο σημείο η καμπύλη της τέμνουσας έχει οριζόντια εφαπτομένη, όχι γόνατο, διότι η πρώτη παράγωγος της είναι ίση με το μηδέν: (=.) = q(=.) =. Αντίθετα, στο σημείο η καμπύλη της τέμνουσας έχει γόνατο, διότι η πρώτη της παράγωγος, δηλαδή το φορτίο q(), έχει άλμα q=k/m. () [k].8. =.99 όχι γόνατο. () [km].8 όχι γόνατο 8. κλείουσα όχι γόνατο ma=9. οριζ. εφαπτομένη Υπολογισμός της ma: Έστω ότι η τέμνουσα μηδενίζεται στο σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση από την αρχή (σημείο ) του τριγωνικού φορτίου q(). Τέμνουμε τη δοκό στο σημείο Α και καταστρώνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το αριστερό ή το δεξιό τμήμα της Α (ή Α): R'= =.8k. / = / = q =.. ma = 8

39 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο R.8 ma R. ma km Έλεγχος με τους τύπους του Πίνακα. (κάτω) του []:.9m q i α, ma i i q α Με i = =.8k, i = =.8km, α =.m και q = k/m παίρνουμε πράγματι: και.8..9m ma km.9. Δ. Υπολογισμός της ακριβούς καμπύλης των διαγραμμάτων (), () στο τμήμα Χρησιμοποιούμε την ίδια διαχωριστική τομή που χρησιμοποιήσαμε για τον υπολογισμό της ma, αλλά τώρα για την τυχούσα θέση μεταξύ των σημείων και : =.8k. R'= / () () =..8 ή ή Για το σημείο μηδενισμού της τέμνουσας παίρνουμε, όπως και πριν = και λύνουμε ως προς :.8.9m Για τη μέγιστη ροπή ma προκύπτει: ma km 9

40 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/. R q =k/m R R= 8. = k R =. = k q =k/m. 8.. Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης 8... k 9k Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Λόγω Α Χ = και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν() είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού: Ν()= για όλα τα (Σύγκρ. Άσκηση Η/). Οι ροπές στα σημεία και είναι προφανώς μηδενικές λόγω των εκεί αφόρτιστων αρθρώσεων (Σημ.: Δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπέςφορτία): Μ =Μ =. Σημείο : = = =k k Σημείο : R =. = k q q =k/m =k.. =... k km Σημείο : = = =9k 9 9k

41 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση των διαγραμμάτων (), () [βλ. παρακάτω σχήμα] Λόγω των ομοιόμορφων σταθερών φορτίων q q στο τμήμα και q στο τμήμα, η τέμνουσα () μεταβάλλεται γραμμικά και η ροπή παραβολοειδώς (παραβολή ου βαθμού) σε όλο το μήκος της δοκού. Το πρόσημο της τέμνουσας αλλάζει στο διάστημα μεταξύ των σημείων και. Συνεπώς, κάπου μεταξύ των δυο αυτών σημείων η τέμνουσα μηδενίζεται και εκεί ακριβώς εμφανίζεται η μέγιστη ροπή ma. Υπολογισμός της ma: Έστω ότι η τέμνουσα μηδενίζεται στο σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση από το σημείο. Τέμνουμε τη δοκό στο σημείο Α και καταστρώνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το αριστερό ή το δεξιό τμήμα της Α (ή Α): R'= q q =k/m =k = ma ma R ma.7.7.7km.7m Έλεγχος (βλ. [], Πίνακα..): i, q ma i i q Με i = =k, q=q q =k/m και Μ i =Μ = παίρνουμε πράγματι:.7m.7 ma.7.7km () [k] =.7 γόνατο 9 () [km] ma=.7 οριζ. εφαπτομένη

42 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Δ. Υπολογισμός της ακριβούς καμπύλης των διαγραμμάτων (), () Τμήμα : qq =k/m () =k q q Για την τέμνουσα παίρνουμε με παραγώγιση της ροπής: Σημείο μηδενισμού τέμνουσας: Θέτουμε = και λύνουμε ως προς = :.7m Τμήμα : () q =k/m q =9k , για 8 Για την τέμνουσα ισχύει: 7, για 8

43 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ P=k α δ α P=k δ. P=k.... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης Σημείωση/υπενθύμιση: Οι συμβατικά θετικές φορές των αντιδράσεων στήριξης ορίζονται γενικώς ως αντίθετες προς τις θετικές φορές των αξόνων αναφοράς Χ, Υ, Ζ (βλ. προηγούμενες ασκήσεις Η/, Η/ και επόμενη Άσκηση Η/). Συχνά, όμως, ιδίως σε υπολογισμούς με το χέρι, βολεύει να εισάγονται οι αντιδράσεις στήριξης ως θετικές κατά την έννοια των αξόνων αναφοράς. Αυτό γίνεται στην παρούσα άσκηση για την αντίδραση Α Χ. Αν για μία οποιαδήποτε αντίδραση Α, ανεξάρτητα από την καθορισθείσα συμβατική θετική της φορά, προκύψει από τους υπολογισμούς, που θα ακολουθήσουν, θετική τιμή, τότε η πραγματική φορά της αντίδρασης αυτής συμπίπτει με τη συμβατική φορά της. Αντίθετα, αν από τους υπολογισμούς προκύψει αρνητική τιμή για την Α, τότε η πραγματική φορά της Α είναι αντίθετη προς τη συμβατική φορά της που χρησιμοποιήθηκε στους υπολογισμούς. Για τις αντιδράσεις στήριξης του δεδομένου φορέα παίρνουμε: P P P. P. P. P k.k.k Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Προκαταρκτικές παρατηρήσεις: () Στα σημεία και η αξονική δύναμη εμφανίζει θετικό άλμα ίσο με Ρ και η ροπή αρνητικό άλμα ίσο με.ρ. () Στα αφόρτιστα τμήματα α, δα και δ η αξονική δύναμη Ν() και η τέμνουσα () είναι σταθερές, η δε ροπή Μ() μεταβάλλεται γραμμικά. () Ειδικότερα, ελλείψει εγκάρσιας φόρτισης, η τέμνουσα () είναι σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού. Ακολουθεί η κατάστρωση των συνθηκών ισορροπίας για επιλεγμένα τμήματα της δοκού: Σημείο : =k =.k k.k Σημείο α: α α α k k.k. α α α α α α...km.k

44 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Σημείο δ: P=k δ δ k.k.. δ δ δ δ δ k.k δ δ... δ.km Σημείο α: δ δ α α α δ k δ δ. α α α δ.k α α δ δ. α....km Σημείο δ: α α α α P δ δ δ δ. δ δ δ α k α.k δ α P. δ. 7..km Σημείο : P=k =.k k.k Λαμβάνοντας υπόψη ότι ελλείψει εγκάρσιου φορτίου η τέμνουσα είναι σταθερή σε όλο το μήκος της δοκού, ότι στα σημεία και η αξονική δύναμη εμφανίζει θετικό άλμα ίσο με Ρ και η ροπή κάμψης αρνητικό άλμα ίσο με. Ρ και ότι στα αφόρτιστα τμήματα α, δα, και δ η αξονική δύναμη Ν() είναι σταθερή, η δε ροπή Μ() μεταβάλλεται γραμμικά εφόσον η τέμνουσα είναι σταθερή, μπορούμε να σχεδιάσουμε τα διαγράμματα των φορτίων διατομής.

45 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων () [k] () [k].. () [km].... Παρατηρήση: Η κλίση της εφαπτομένης, σε οποιοδήποτε σημείο του διαγράμματος των ροπών κάμψης, ισούται με την τέμνουσα στο σημείο αυτό. Στη περίπτωσή μας, η τέμνουσα είναι σταθερή και ίση σε όλα τα σημεία του φορέα. Συνεπώς, οι γραμμικές συναρτήσεις που συνθέτουν το διάγραμμα ροπών έχουν όλες την ίδια κλίση παντού, δηλαδή οι γραμμές του διαγράμματος ροπών είναι παράλληλες μεταξύ τους. Άσκηση H/ Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης. 9.. k k k P=k... Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Οι ροπές στα σημεία και είναι μηδενικές λόγω των αρθρώσεων: Μ =Μ =. Επίσης Μ =Μ =Μ, αφού ο κόμβος δεν φορτίζεται με εξωτερική ροπή. Ροπή κάμψης στο σημείο :

46 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο... km k k. Έλεγχος:. P=k.. 8 km. k Με δεδομένες τις τιμές των ροπών στα σημεία, και, το διάγραμμα ροπών προκύπτει συνδέοντας τις τεταγμένες Μ =, Μ =km και Μ = γραμμικά (βλ. παράγραφο Γ), αφού τα στοιχεία και είναι αφόρτιστα. Λόγω ()= (), η τέμνουσα εκφράζει την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της Μ(), όπου ο τοπικός άξονας του κάθε στοιχείου. Λόγω της γραμμικής μεταβολής της Μ(), η γωνία κλίσης της, δηλαδή η τέμνουσα, είναι σταθερή για κάθε στοιχείο. Έχουμε: Στοιχείο : Στοιχείο : 8.8k.7k Έλεγχος της (ισορροπία δυνάμεων κατά τον τοπικό άξονα στον κόμβο ): =k o =k sin o cos 8.8k Από την ισορροπία των δυνάμεων κατά τον τοπικό άξονα στον κόμβο (βλ. παραπάνω σχήμα) παίρνουμε: o cos sin.7k o o Έλεγχος (ισορροπία του κόμβου ): Όπως η τέμνουσα, έτσι και η αξονική δύναμη, διατηρείται σταθερή μεταξύ των σημείων και, αφού το στοιχείο είναι αφόρτιστο. Επομένως, = και Ν =Ν.

47 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.7k Από την ισορροπία κατά τον τοπικό άξονα παίρνουμε: 8.8k Έλεγχος (ισορροπία του κόμβου ): Επαφίεται ως απλή άσκηση στον αναγνώστη. Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων () [km] () [k] () [k]

48 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ Χ P =k. α P =k. tgα.. α... sinα cosα Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης k k βλ. Άσκηση Β Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Σημείο α: k. α Ν α k. 8km Σημείο δ: k P =k. δ Ν α= ο sin o cos o sin cos.k.k. 8km δ o o Σημείο δ: Ν δ. k δ k. km 8

49 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων Αφού μεταξύ των κόμβων δεν δρούν εξωτερικά φορτία, τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(), (), () προκύπτουν με γραμμική σύνδεση των υπολογισθεισών τεταγμένων τους στους κόμβους,, και. () [km] 8 8 () [k]. () [k]. Έλεγχος (ισορροπία του κόμβου ): Ν ο α= Ν P =k.. cos. sin..99 o o sin cos o o P 9

50 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Πρόβολοι (Ομάδα Η) Για τους παρακάτω φορείςπροβόλους ευθύγραμμης, τεθλασμένης και καμπύλης γεωμετρίας, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(), (), (). q=k/m. (βλ. Άσκηση Β) Ως πρόβολος θα μπορούσε να προσομοιωθεί απλουστευτικά και το απεικονιζόμενο τμήμα μιας οδογέφυρας στη φάση κατασκευής (προβολοδόμηση). H/ H/..... P =k. P =k (βλ. Άσκηση Β)

51 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H/ q=k/m Μ Π. Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση B). k.. km Π Π Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Σημείο : km k Π km k Σημείο : Ν =, =, = (Ελεύθερο άκρο χωρίς συγκεντρωμένα φορτία) Παρατηρήσεις: Λόγω Α Χ = και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν() είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού, δηλαδή για όλα τα ). Λόγω του τριγωνικού φορτίου q(), το διάγραμμα της τέμνουσας ()= q() d είναι μία παραβολή ου βαθμού που στρέφει τα κοίλα προς τα άνω. Λόγω της παραβολικής ( ου βαθμού) μορφής του διαγράμματος τεμνουσών, το διάγραμμα της ροπής ()= () d είναι μια καμπύλη ου βαθμού. Γ. Υπολογισμός της ακριβούς καμπύλης των διαγραμμάτων (), () Θεωρούμε μια διαχωριστική τομή σε τυχούσα θέση Α μεταξύ των σημείων και και καταστρώνουμε τις συνθήκες ισορροπίας για το δεξιό ή για το αριστερό τμήμα του φορέα. Π.χ. οι συνθήκες ισορροπίας για το δεξιό τμήμα Α μας δίνουν: q =. () () / = R= 9

52 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Δ. Σχεδίαση διαγραμμάτων () [km] καμπύλη ου βαθμού Οριζόντια εφαπτομένη λόγω =(=)= () [k] καμπύλη ου βαθμού Οριζόντια εφαπτομένη λόγω q(=) = () [k] Άσκηση H/ o o P =k. Μ Π P =k..... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση B) Λόγω της δράσης του οριζόντιου φορτίου Ρ P Π P k Λόγω της δράσης του κατακόρυφου φορτίου Ρ Π P P. Π P k km Β. Υπολογισμός των Ν(), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Σημ.: Χάριν μεγαλύτερης ακρίβειας των αποτελεσμάτων οι παρακάτω υπολογισμοί γίνονται με ψηφία μετά το κόμμα. Με γνωστές ήδη τις αντιδράσεις στήριξης, ξεκινάμε με τομή στο σημείο και προχωρούμε

53 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο συστηματικά προς τα δεξιά. Σημείο : (α) Λόγω P k k (β) Λόγω P km k Π km k Σημείο Αα (σε απειροστή απόσταση αριστερά του σημείου Α): (α) Λόγω P k. α α α α α α α α k (β) Λόγω P km k. α α α α α α α α α km Π k. Σημείο Αδ (σε απειροστή απόσταση δεξιά του σημείου Α): αρ. αρ. αρ. δεξ. o δεξ. δεξ. fl αρ. δεξ. αρ. αρ. δεξ. o δεξ. (α) Λόγω P Ν Ν Ν Ν δ δ δ cos δ δ sin δ δ α o o δ δ sin o Ν α 8.8k Ν o cos α δ δ.k

54 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο (β) Λόγω P Ν Ν δ δ Ν Ν cos δ δ sin km δ α δ δ o o δ δ sin cos o Ν o α α.k Ν δ δ 7.7k Σημείο : (α) Λόγω P P =k Ν Ν Ν Ν sin cos 8.8k o o sin cos o o P.k.k (β) Λόγω P P =k Ν Ν Ν Ν cos sin o o o sin Ν o cos P.k 7.7k 7.7k Τα (), () και () στα υπόλοιπα χαρακτηριστικά σημεία του φορέα υπολογίζονται κατά τον ίδιο τρόπο με αυτόν που παρουσιάστηκε πιο πάνω. Ο υπολογισμός τους επαφίεται ως απλή εξάσκηση στον αναγνώστη. Ο υπολογισμός των φορτίων διατομής θα μπορούσε να γίνει και χωρίς προηγούμενο υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης, ξεκινώντας με θεώρηση της ισορροπίας του ελεύθερου άκρου και προχωρώντας στη συνέχεια προς τα αριστερά μέχρι και την πάκτωση. Γενική παρατήρηση σχετικά με τα διαγράμματα (), () και (): Εφόσον η φόρτιση του φορέα συνίσταται αποκλειστικά από τα δύο συγκεντρωμένα φορτία στο ελεύθερο άκρο, τα δομικά στοιχεία του φορέα είναι όλα αφόρτιστα μεταξύ των κόμβων τους. Κατά συνέπεια, η τέμνουσα και η αξονική δύναμη είναι σταθερές σε κάθε στοιχείο ενώ η ροπή τους μεταβάλλεται γραμμικά.

55 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων P =k () [km] P =k.... P =k () [k] P =k... P =k () [k] P =k

56 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Μονο και αμφιπροέχουσες δοκοί (Ομάδα Η) Για τις παρακάτω μονο και αμφιπροέχουσες δοκούς ευθύγραμμης και τεθλασμένης γεωμετρίας, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(), (), (). Στις περιπτώσεις αλλαγής προσήμου της τέμνουσας (), να προσδιοριστεί η θέση διέλευσης του διαγράμματός της δια του μηδενός και να υπολογιστεί η τιμή της μέγιστης ροπής ma. H/ q=k/m.. (βλ. Άσκηση Β) q=k/m =km H/.... (βλ. Άσκηση Β) q =k/m P =k q=k/m q=8k/m H/.... στάθμη ύδατος H/ h.. Να υπολογιστεί η στάθμη του ύδατος h έτσι ώστε min = ma στο τμήμα.

57 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H/ Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση Β) q=k/m Χ Β. Υπολογισμός των (), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Ροπές κάμψης Μ() Για ευνόητους λόγους οι ροπές στα σημεία και είναι μηδενικές. Επίσης,, ισχύει προφανώς: Μ =Μ =Μ. Σημείο : q=k/m....km Με βάση τα παραπάνω προκύπτει κατ αρχάς η κλείουσα του διαγράμματος Μ() που συνδέει ευθύγραμμα τις τεταγμένες Μ =, Μ =.km και Μ = των σημείων, και αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ() παρακάτω). Στο αφόρτιστο τμήμα το διάγραμμα () είναι γραμμικό και, συνεπώς, ταυτίζεται με την κλείουσα. Στο φορτισμένο τμήμα το διάγραμμα Μ() είναι παραβολικό (παραβολή ου βαθμού) και προκύπτει με «κρέμασμα» (επαλληλία, πρόσθεση) του διαγράμματος Μ ομολ () μιας ομόλογης δοκού, δηλαδή μιας αμφιέρειστης δοκού μήκους.m με εγκάρσιο φορτίο q=k/m. Στο μέσον Α του τμήματος η τελική ροπή θα είναι:. 8...km Τέμνουσες δυνάμεις () Από την συνθήκη ισορροπίας Σ = στον κόμβο προκύπτει άμεσα: 7.k. Η ίδια τιμή προκύπτει και για την, όπως άμεσα συνάγεται από την ισορροπία Σ = για το αφόρτιστο τμήμα : k Επομένως, η τέμνουσα είναι σταθερή και ίση με 7.k σε όλο το τμήμα. Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει άμεσα και από το γεγονός ότι η ροπή στο τμήμα μεταβάλλεται γραμμικά και, κατά συνέπεια, η τέμνουσα ()= (), ως πρώτη παράγωγος της ροπής, είναι σταθερή και ίση με:.. 7.k 7

58 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Η τέμνουσα δεξιά του κόμβου προκύπτει από τη συνθήκη ισορροπίας Σ = για το τμήμα : q=k/m. k Η τέμνουσα στο άκρο του προβόλου είναι, προφανώς, μηδενική: =. Το φορτίο του τμήματος είναι σταθερό και, συνεπώς, η τέμνουσα, ως ολοκλήρωμα του (αρνητικού) φορτίου ( ()=q()), μεταβάλλεται στο τμήμα αυτό γραμμικά από =k σε =. Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει άμεσα και από το γεγονός ότι η ροπή στο τμήμα μεταβάλλεται παραβολικά (παραβολή ου βαθμού) και κατά συνέπεια η τέμνουσα ()= (), ως πρώτη παράγωγος της ροπής, μεταβάλλεται γραμμικά. Στο σημείο η ροπή εμφανίζει γόνατο και, συνεπώς, η τέμνουσα εμφανίζει άλμα. Το άλμα αυτό πρέπει να ισούται με το μέγεθος της αντίδρασης Α. Πράγματι, καταστρώνοντας την συνθήκη ισορροπίας Σ = στον κόμβο παίρνουμε: Αξονικές δυνάμεις Ν() Όπως εύκολα αντιλαμβάνεται ο αναγνώστης, από τη συνθήκη ισορροπίας Σ = για οποιοδήποτε τμήμα του δεδομένου φορέα προκύπτει ()=, δηλαδή σε όλα τα σημεία του φορέα η αξονική δύναμη είναι ίση με το μηδέν. Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων () [km]../ κλείουσα.. Α οριζόντια εφαπτομένη () [k] 7. () [k] 8

59 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/. θ q=k/m =km....m. cosθ... sinθ.8. Χ Σημ.: άριν μεγαλύτερης ακρίβειας των αποτελεσμάτων οι υπολογισμοί γίνονται με τρία ψηφία μετά το κόμμα.... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (Σύγκρ. Άσκηση Β). sinθ... cosθ k 7k k Β. Υπολογισμός των (), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Ροπές κάμψης Μ() Στο σημείο ισχύει λόγω της αφόρτισης άρθρωσης Μ =. Ροπή στο σημείο : Μ =Μ =Μ. km Ροπή στο σημείο : Αποσπώντας το τμήμα και καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ΣΜ () = παίρνουμε: Ροπή στο σημείο :.. Ø =km 7k. 7. km km Με βάση τα παραπάνω προκύπτει, κατ αρχάς, η κλείουσα του διαγράμματος Μ() που συνδέει ευθύγραμμα τις τεταγμένες Μ =, Μ =km, Μ = km και Μ = km των σημείων,, και αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ() παρακάτω). Στα αφόρτιστα τμήματα και το διάγραμμα () είναι γραμμικό και, συνεπώς, ταυτίζεται με την κλείουσα. Στο φορτισμένο τμήμα το διάγραμμα Μ() είναι παραβολικό (παραβολή ου βαθμού) και προκύπτει με «κρέμασμα» (επαλληλία, πρόσθεση) του διαγράμματος Μ ομολ () μιας ομόλογης 9

60 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο δοκού, δηλαδή μίας αμφιέρειστης δοκού μήκους.m με εγκάρσιο φορτίο q=k/m στην κλείουσα. Στο μέσον Α του τμήματος η τελική ροπή θα είναι: km Η μέγιστη ροπή ma και το σημείο στο οποίο αναπτύσσεται θα υπολογιστούν πιο κάτω με την βοήθεια των τεμνουσών δυνάμεων. Τέμνουσες και αξονικές δυνάμεις Σημείο : θ k θ θ k sinθ cosθ.9..k cosθ sinθ..9.k Σημείο του τμήματος : θ θ =km 7k Αποσπάται το τμήμα και καταστρώνονται γι αυτό οι συνθήκες ισορροπίας δυνάμεων κατά την έννοια των τοπικών αξόνων και : 7 sinθ.k 7 cosθ 9.k Στο φορτιζόμενο τμήμα η ροπή μεταβάλλεται παραβολικά και συνεπώς η τέμνουσα ()= (), ως πρώτη παράγωγος της ροπής, μεταβάλλεται γραμμικά από =.k σε = 9.k. Η τέμνουσα αλλάζει πρόσημο μεταξύ των σημείων και. Το σημείο μηδενισμού Β υπολογίζεται από τη γεωμετρία: 9.. Β m Λόγω ()=(), στο σημείο μηδενισμού της τέμνουσας εμφανίζεται η μέγιστη ροπή ma. Η τιμή της προκύπτει από την ισορροπία ροπών για το τμήμα Β: k/m k k θ cosθ = B ma B sinθ ma cosθ sinθ ma.km

61 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Στο αφόρτιστο τμήμα, όπου η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά, η τέμνουσα ()= () είναι σταθερή και ίση με:. 7k δηλαδή είναι κατ απόλυτη τιμή ίση, ως όφειλε, με την αντίδραση Α Ζ. Στο αφόρτιστο τμήμα, όπου η ροπή είναι σταθερή, η τέμνουσα ()= () είναι μηδενική. Στο αφόρτιστο αξονικά τμήμα η αξονική δύναμη είναι σταθερή και ίση με Ν =Ν =.k. Στα τμήματα και η αξονική δύναμη είναι μηδενική, όπως εύκολα μπορεί να επαληθεύσει ο αναγνώστης διενεργώντας διαχωριστικές τομές και καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας Σ Χ =. Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων () [km]../. ma=. κλείουσα. / 8 =. () [k] () [k]. Έλεγχος: Ισορροπία κόμβου =9. =. =7 = θ. cosθ 9. sinθ. sinθ 9. cosθ

62 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ q =k/m P =k q =k/m q =8k/m.... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης k k Β. Υπολογισμός των (), (), () σε χαρακτηριστικά σημεία με αντίστοιχες νοητές κυκλικές διαχωριστικές τομές Λόγω Α Χ = και της έλλειψης αξονικών φορτίων, η αξονική δύναμη Ν() είναι μηδενική καθόλο το μήκος της δοκού, δηλαδή για όλα τα. Ροπές κάμψης Μ() Σημείο και σημείο : Στα ελεύθερα άκρα και ισχύει, προφανώς, Μ = και Μ =, αφού στα σημεία αυτά δεν ενεργούν εξωτερικές ροπές. Σημείο : q =k/m....km Σημείο : q=8k/m km Σημείο : q=k/m q=k/m.. 8.8k P =k Αποσπάται το τμήμα (τομή αριστερά του σημείου και σε απειροστή απόσταση από αυτό) και καταστρώνεται η συνθήκη ισορροπίας των ροπών ως προς το σημείο :

63 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο km Με βάση τα παραπάνω, προκύπτει η κλείουσα του διαγράμματος Μ() που συνδέει ευθύγραμμα τις τεταγμένες Μ =, Μ =.km, Μ =.km, Μ = 9.km και Μ = των σημείων,,, και αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ() παρακάτω). Στο φορτισμένο τμήμα το διάγραμμα Μ() είναι παραβολικό ( ου βαθμού παραβολή) και προκύπτει με «κρέμασμα» (επαλληλία, πρόσθεση) στην κλείουσα του διαγράμματος Μ ομολ () μιας ομόλογης δοκού (δηλ. μίας αμφιέρειστης δοκού μήκους.m με εγκάρσιο φορτίο q=k/m). Στο μέσον του τμήματος η τελική ροπή θα είναι:. 8...km Με ανάλογο σκεπτικό υπολογίζεται το διάγραμμα Μ() για τα φορτισμένα με ομοιόμορφο φορτίο τμήματα, και. Η ροπή στο μέσον του κάθε τμήματος θα είναι αντίστοιχα (βλ. διάγραμμα Μ() παρακάτω):... Τμήμα :.97km Τμήμα :.km Τμήμα :.km 8 8 Η μέγιστη ροπή ma αναπτύσσεται στο τμήμα, διότι στο τμήμα αυτό, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω, η τέμνουσα διέρχεται δια του μηδενός. Τέμνουσες δυνάμεις () Σημείο και σημείο : Στα ελεύθερα άκρα και ισχύει προφανώς = και =, αφού στα σημεία αυτά δεν ενεργούν εξωτερικές κατακόρυφες δυνάμεις. Σημείο του τμήματος : q =k/m. Αποσπάται το τμήμα (τομή στο σημείο α, δηλαδή αριστερά της στήριξης και σε απειροστή απόσταση από αυτήν) και καταστρώνεται για το τμήμα αυτό η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων Σ =:. k Σημείο του τμήματος : =k 8.8k k Σημείο : Στο σημείο, λόγω της ύπαρξης του συγκεντρωμένου φορτίου P, το διάγραμμα των τεμνουσών δυνάμεων κάνει άλμα ίσο με την τιμή του φορτίου (P =k). Κατ αρχάς, υπολογίζεται η τιμή της τέμνουσας α = αριστερά του σημείου από τη συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων Σ = για το αποσπώμενο τμήμα :

64 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο q =k/m =.8k. α α α..8.8k Και, έπειτα, υπολογίζεται η τιμή της τέμνουσας δ = δεξιά του σημείου από τη συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων Σ = για τον αποσπώμενο κόμβο : α=.8k P=k δ δ δ α.8 8.8k Σημείο του τμήματος : Αποσπάται το τμήμα (τομή στο σημείο δ, δηλαδή δεξιά της στήριξης και σε απειροστή απόσταση από αυτήν) και καταστρώνεται για το τμήμα αυτό η συνθήκη ισορροπίας δυνάμεων Σ =: q =k/m δ=8.8k. δ. δ 7. 9.k Σημείο του τμήματος : =9.k.k. 9.. k Στο φορτιζόμενο τμήμα η ροπή μεταβάλλεται παραβολικά και, συνεπώς, η τέμνουσα ()= () μεταβάλλεται γραμμικά από δ =8.8k σε = 9.k. Διαπιστώνουμε ότι η τέμνουσα αλλάζει πρόσημο μεταξύ των σημείων και. Το σημείο Α μηδενισμού της υπολογίζεται από τη γεωμετρία: 8.8k. 9.k m Λόγω ()=(), στο σημείο μηδενισμού της τέμνουσας (σημείο Α) εμφανίζεται η μέγιστη ροπή ma. Η τιμή της προκύπτει από την ισορροπία ροπών για το τμήμα Α: =.km δ=8.8k. q =k/m ma = ma ma 7.km.

65 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων () [km] /8 =.. ma= / 8 =.. / 8 =... / 8 =8.. γόνατο οριζόντια εφαπτομένη () [k] () [k]

66 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/. στάθμη ύδατος. h h q= h. = q h. q = h Η φόρτιση του φορέα, λόγω του ύδατος, αντιστοιχεί με τα φορτία της υδροστατική πίεσης που δίνονται στο δεξιό παραπάνω σχήμα. Ζητούμενη είναι εκείνη η τιμή h της στάθμης του ύδατος, για την οποία οι τιμές της μέγιστης και της ελάχιστης ροπής στο τμήμα συμπίπτουν κατ απόλυτη τιμή. Προς τούτο υπολογίζονται πρώτα η ma και η min στο τμήμα ως συναρτήσεις του h και στη συνέχεια τίθεται ma = min. Η επίλυση της εξίσωσης αυτής ως προς h μας δίνει τη ζητούμενη τιμή. Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης Σημ.: Η γνώση των αντιδράσεων στήριξης δεν απαιτείται για την εύρεση του ζητούμενου h. Οι αντιδράσεις υπολογίζονται εδώ μόνο χάριν πληρότητας. q h. q q h. q h h h. 8 h Β. Υπολογισμός των min και ma h q h h k q h q h h h k Ροπές στα σημεία και Παρατηρούμε ότι λόγω της συμμετρίας του φορέα και της φόρτισης, οι ροπές Μ και Μ πρέπει να είναι ίσες. Επίσης, λόγω του δεδομένου καθορισμού της ίνας αναφοράς και της φοράς του οριζόντιου τριγωνικού φορτίου q, οι δύο αυτές ροπές θα είναι αρνητικές. Αναλυτικότερα έχουμε: Σημείο (Υπολογισμός της ελάχιστης ροπής minμ= ) h h h/ h R q = h h h R q h h h h h km

67 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Σημείο R q = h h h/ h h R q h h h h h km h Βλέπουμε ότι πράγματι ισχύει Μ =Μ και ότι οι ροπές αυτές είναι αρνητικές. Ροπή στο μέσο του ανοίγματος (Υπολογισμός της μέγιστης ροπής maμ= Α ) Παρατηρούμε ότι εάν το τμήμα ήταν αφόρτιστο, η ροπή Μ() θα ήταν σ αυτό σταθερή και ίση με την Μ (= Μ ). Λόγω όμως του ομοιόμορφου φορτίου q, η ροπή στο τμήμα μεταβάλλεται παραβολικά και παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο μέσο του ανοίγματος (σημείο Α): ma q. 8 h h 8. h h km Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών ως προς το σημείο Α για το αριστερό ή για το δεξιό τμήμα του φορέα, κάνοντας, όμως, τώρα χρήση της υπολογισθείσας τιμής της αντίδρασης Α :. R. R h h. h R h/ q R = h h. q = h h. h 9 h h h 9 h h h km h Γ. Υπολογισμός της ζητούμενης στάθμης h Δεδομένου ότι ζητείται το ύψος h της στάθμης του ύδατος, έτσι ώστε στο τμήμα να ισχύει ma = min, θέτουμε Μ Α = Μ και επιλύουμε ως προς το ζητούμενο h: h h h h α h ή β h h h h α h h h h h β h τετριμμένη λύση h. h.7m 7

68 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Αρθρωτές δοκοί (δοκοί Gerber) (Ομάδα Η) H/ Για την απεικονιζόμενη αρθρωτή δοκό να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(), (), () με: α) τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας, β) τη μέθοδο των αντιδράσεων στήριξης στις αρθρώσεις και γ) τη μέθοδο της προσαρμοζόμενης κλείουσας. Στις περιπτώσεις αλλαγής προσήμου της τέμνουσας () να προσδιοριστεί η θέση όπου αυτή μηδενίζεται και να υπολογιστεί η τιμή της μέγιστης ροπής ma. P =k q =k/m P =k P =k.... G.... Για κάθε μία από τις σημειούμενες φορτίσεις της παρακάτω αρθρωτής δοκού να υπολογιστούν ξεχωριστά τα διαγράμματα ροπών κάμψης Μ() με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας. Επίσης, να σχεδιαστεί ποιοτικά η αντίστοιχη παραμόρφωση (ελαστική γραμμή) του φορέα με βάση τη σχέση κ()=μ()/ει, όπου κ() η καμπυλότητα και ΕΙ η δυσκαμψία της δοκού (σταθερή σε όλο το μήκος της). H/ P =k =km =km P =k =km P =k

69 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H/ Α. Επίλυση με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας P =k P =k q =k/m P =k G..... Πλήθος φατνωμάτων: Πλήθος στηρίξεων: Πλήθος αγνώστων αντιδράσεων στήριξης: Πλήθος καθολικών συνθηκών ισορροπίας: m= m= r=m= Απαιτούμενο πλήθος πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας: r= Διαθέσιμες πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (πρόσθετες αρθρώσεις): fl Φορέας ισοστατικός Υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης Πρόσθετη συνθήκη ισορροπίας: () k G, δεξ Καθολικές συνθήκες ισορροπίας: () k () Με γνωστή την Α Ζ (βλ. ()) 9.8k (). Με γνωστές τις Α Ζ και Α Ζ (βλ. () και () αντίστοιχα) 7.k Σημ.: Με τις επιλεγείσες συνθήκες ισορροπίας και την κατάστρωσή τους με την παραπάνω σειρά, αποφεύχθηκε η αναγκαιότητα επίλυσης συστήματος εξισώσεων. Κάθε μία συνθήκη ισορροπίας μας έδινε την τιμή μιας άγνωστης αντίδρασης, λαμβάνοντας βέβαια υπόψη τις τιμές των προηγουμένως υπολογισθεισών αντιδράσεων. Σχεδίαση διαγραμμάτων Για τη σχεδίαση του διαγράμματος Μ() υπολογίζονται οι τιμές της ροπής στα σημεία, και καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα ως εξής: 9

70 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Τμήμα : k,αριστ..km 7.k. Τμήμα : P =k k,αριστ.. 7.k...7km Τμήμα :. q=k/m P =k,δεξ..km. Λόγω G > (βλ. επόμενο σχήμα) και G <, η μέγιστη ροπή κάμψης εμφανίζεται στο τμήμα G και υπολογίζεται ως εξής: q=k/m G G ( ) G. G G G. 7.k.. ( G ) ma=.. /. 8 =7. G G 7..m q =k/m 7.k ma = ma. ma.km 7.. Το διάγραμμα ροπών είναι προφανώς γραμμικό στο τμήμα G και δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Στο ίδιο σχήμα δίνεται και το διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων (), το οποίο υπολογίζεται κατά τα γνωστά, και μάλιστα πολύ γρήγορα κάνοντας χρήση της διαφορικής σχέσης ()= (). Τέλος, το διάγραμμα αξονικών δυνάμεων Ν() υπολογίζεται εύκολα βάσει της συνθήκης ισορροπίας Σ Χ =. Είναι προφανές ότι στο τμήμα έως του φορέα η αξονική δύναμη είναι σταθερή και ίση με Α. Λόγω του μοναχικού αξονικού φορτίου Ρ Χ =k, η αξονική δύναμη στο τμήμα έως του 7

71 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο φορέα μειώνεται κατά k, είναι δηλαδή ίση με ==k. Η τιμή αυτή συμπίπτει, προφανώς, με την τιμή του μοναχικού αξονικού φορτίου Ρ Χ =k. Διαγράμματα Μ(), (), (): () [km].7 G () [k] G..8 () [k] G Β. Επίλυση με τη μέθοδο των αντιδράσεων στήριξης στις αρθρώσεις Λειτουργικό σκαρίφημα: q=k/m G G P =k P =k P=k G G G..... ίσκος Ι ίσκος ΙΙ Οι υπολογισμοί ξεκινούν από το ανώτατο λειτουργικό επίπεδο (εδώ: δίσκος ΙΙ) και προχωρούν προς το κατώτατο (εδώ: δίσκος Ι). 7

72 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ίσκος II G G... k 7.8k.. 7.k G G G ίσκος I.... G G G k 9.8k 7.k Διαπιστώνουμε ότι τα αποτελέσματα για τις αντιδράσεις,,, ταυτίζονται με τα αποτελέσματα της προηγούμενης επίλυσης με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας. Κατά συνέπεια, θα υπάρχει ταύτιση και των διαγραμμάτων (), (), (), τα οποία εδώ μπορούμε να υπολογίσουμε ξεχωριστά για το δίσκο Ι και τον δίσκο ΙΙ, αφού είναι γνωστές οι αντιδράσεις G, G στην άρθρωση G. Γ. Επίλυση με τη μέθοδο της προσαρμοζόμενης κλείουσας Για κάθε τμήμα της αρθρωτής δοκού μεταξύ δύο διαδοχικών στηρίξεών της (τμήμα και τμήμα ) υπολογίζουμε και σχεδιάζουμε τα διαγράμματα ροπών των αντίστοιχων ομόλογων αμφιέρειστων δοκών (Σημ.: Το τμήμα αποκόπτεται και η καμπτική του επιρροή επί της λοιπής δοκού υποκαθίσταται από το φορτίο Μ =(.) (./)=.km). P =k P =k q=k/m G P =k..... Ομόλογες δοκοί: P =k,ομόλ P =k..,ομόλ Μ =.km Ομόλογη Ομόλογη q =k/m P =. =7.k P =k (), ομόλ [km] =,ομόλ G,ομόλ =7... / 8 =7. 7

73 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Ομόλογη δοκός,ομόλ. P. k. km,ομόλ,ομόλ.,ομόλ. Ομόλογη δοκός,ομόλ.., ομόλ, ομόλ k. G, ομόλ G, ομόλ. G, ομόλ. 7.km Παρατηρούμε ότι η τεταγμένη G,ομολ του διαγράμματος ροπών της ομόλογης δοκού στη θέση της άρθρωσης G της δεδομένης αρθρωτής δοκού δεν είναι μηδενική, όπως πρέπει να είναι στο τελικό διάγραμμα ροπών της αρθρωτής δοκού αλλά έχει την πεπερασμένη τιμή 7.km. Προκειμένου η τεταγμένη αυτή να μηδενιστεί, χαράσσουμε την κλείουσα ως εξής (βλ. παρακάτω σχήμα): Εφόσον η πρώτη (και μοναδική) άρθρωση G βρίσκεται μεταξύ των στηρίξεων και, δηλαδή στο δεξιό φάτνωμα της αρθρωτής δοκού, ξεκινάμε από το δεξιό της άκρο και ενώνουμε ευθύγραμμα την τεταγμένη Μ = με την τεταγμένη Μ G,ομολ, συνεχίζοντας την ευθεία μέχρι τη στήριξη. Προσδιορίζουμε, έτσι, με γεωμετρικό τρόπο την τεταγμένη Μ, που είναι η τελική ροπή στη στήριξη. Σημείωση: Για τον γεωμετρικό προσδιορισμό της Μ, η τεταγμένη στο σημείο θεωρείται μηδενική και όχι ίση με Μ =, διότι η ύπαρξη του φορτίου Μ έχει ληφθεί υπόψη στον υπολογισμό της Μ G,ομολ. Ο αναγνώστης μπορεί να καταλάβει καλύτερα το σημείο αυτό, αν υπολογίσει την Μ ανεξάρτητα για κάθε ένα από τα δύο φορτία q και Μ, και κατόπιν αθροίσει τα αποτελέσματα. (), ομόλ [km],ομόλ = G =7. G,ομόλ. G,ομόλ... Υπολογισμός της Μ γεωμετρικά : G,ομόλ. 7..7km.... Σημείωση: Η μικρή διαφορά έναντι της τιμής Μ =.7km που υπολογίστηκε προηγουμένως (βλ. υποπαραγράφους Α και Β), οφείλεται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις στο δεύτερο ψηφίο μετά το κόμμα. Έτσι, π.χ. η ροπή Μ δεν είναι ακριβώς ίση με.km, αλλά με q (.) /=.km. Στη συνέχεια, ενώνουμε ευθύγραμμα την τεταγμένη Μ με την τεταγμένη Μ του επόμενου προς τα αριστερά και τελευταίου σημείου στήριξης, ολοκληρώνοντας, έτσι, κατ αρχάς τη σχεδίαση της μη προσαρμοσμένης ακόμη κλείουσας. Τέλος, επανασχεδιάζουμε το διάγραμμα ροπών τοποθετώντας τον άξονα τετμημένων έτσι ώστε η τεταγμένη G,ομολ να μηδενίζεται, δηλαδή G,ομολ =. Με αυτήν την προσαρμογή παίρνουμε το τελικό διάγραμμα ροπών της αρθρωτής δοκού: () [km] G Το διάγραμμα () προκύπτει από το διάγραμμα Μ() κατά τα γνωστά. 7

74 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ Επίλυση με τη μέθοδο των πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας P =k =km =km P =k =km P =k Πλήθος φατνωμάτων: m = Πλήθος στηρίξεων: m = Πλήθος αγνώστων αντιδράσεων στήριξης: r = m= Πλήθος καθολικών συνθηκών ισορροπίας: Απαιτούμενο πλήθος πρόσθετων συνθηκών ισορροπίας: r = Διαθέσιμες πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (πρόσθετες αρθρώσεις): fl Φορέας ισοστατικός Φόρτιση. P =k Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας () ().. 7, δεξ , δεξ () Από τις () και () προκύπτουν: και.. k, αριστ 8 9 Καθολικές συνθήκες ισορροπίας () ()..... ()..8k.8.8k 7

75 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Σχεδίαση διαγράμματος Μ() Για τη σχεδίαση του διαγράμματος Μ(), υπολογίζονται οι τιμές της ροπής στα σημεία, και καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα: Τμήμα : P km, αριστ Τμήμα : P=k k.,αριστ.. km Τμήμα :, δεξ () [km] Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης ελαστικής γραμμής του φορέα γόνατο ευθεία γόνατο ευθεία Λόγω της σχέσης ροπήςκαμπυλότητας (κ=μ/ει), στις περιοχές αρνητικών/θετικών ροπών η καμπυλότητα είναι αρνητική/θετική ενώ όπου η ροπή είναι μηδενική, η ελαστική γραμμή είναι ευθύγραμμη με μηδενική καμπυλότητα. Εφόσον η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού, αρνητική/θετική καμπυλότητα σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω/άνω. Φόρτιση. P =k Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας () (), αριστ.. 7, δεξ

76 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () , δεξ Από τις () και () προκύπτουν: 8.k και 9.k Καθολικές συνθήκες ισορροπίας () () k () k Σχεδίαση διαγράμματος Μ() Στα σημεία,,,, και 7 οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Το ίδιο ισχύει και για τα σημεία 9 και. Για τα σημεία και 8 οι τιμές της ροπής υπολογίζονται καταστρώνοντας τη συνθήκη ισορροπίας ροπών σε κατάλληλα διαχωρισμένα τμήματα του φορέα: Τμήμα : =.7k., αριστ.7 km. Τμήμα 8: k. 8,δεξ 8 8. km. Απομένει ο υπολογισμός της ροπής στο σημείο εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης P. Το τμήμα 7 είναι μια αμφιέρειστη δοκός, η οποία φορτίζεται με το εξωτερικό φορτίο P =k. Όπως εύκολα μπορεί να επαληθευτεί από τον αναγνώστη, η ροπή στο σημείο εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης, είναι ίση με Μ=Ρ Ζ 7 /=km. () [km] Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης (ελαστικής γραμμής) του φορέα ευθεία ευθεία γόνατο γόνατο 7

77 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Στις περιοχές και 9 η ροπή είναι μηδενική και, συνεπώς, λόγω κ=μ/ει, η δοκός δεν καμπυλώνεται, αλλά παραμένει ευθύγραμμη. Στις περιοχές και 789 η ροπή είναι αρνητική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται αρνητικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού. Στην περιοχή 7 η ροπή είναι θετική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται θετικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω. Σημειώνεται, επίσης, ότι η γραμμική μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w() θα είναι παραβολή ου βαθμού, αφού ισχύει η σχέση κ()=[w()]". Φόρτιση. P =k Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (), αριστ (). 7. 7, αριστ ().. 7, αριστ Από τις () και () προκύπτουν: και Καθολικές συνθήκες ισορροπίας () ().. k () k Σχεδίαση διαγράμματος Μ() Στα σημεία,,,,,, 7, 8 και οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Στο σημείο 9, η ροπή μπορεί να υπολογιστεί πολύ εύκολα και είναι: Μ 9 =. = km () [km]

78 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης (ελαστικής γραμμής) του φορέα ευθεία γόνατο Φόρτιση. =km Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας ().. 7, δεξ (). 9. 9, δεξ Από τις () και () προκύπτουν: και ()..k, αριστ 8 9 Καθολικές συνθήκες ισορροπίας () () () k.8k Σχεδίαση διαγράμματος Μ() Στα σημεία,,,, 7, 8, 9 και οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Στην άρθρωση του σημείου η ροπή είναι ίση με Μ =km, λόγω του γεγονότος ότι εκεί δρα η εξωτερική διπλή ροπή =km. Το μοναδικό σημείο στο οποίο θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είναι το σημείο : Τμήμα : =km, αριστ.k....km 78

79 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () [km] Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης (ελαστικής γραμμής) του φορέα ευθεία γόνατο γόνατο ευθεία Στις περιοχές και 789 η ροπή είναι μηδενική και, συνεπώς, λόγω κ=μ/ει, η δοκός δεν καμπυλώνεται, αλλά παραμένει ευθύγραμμη. Στην περιοχή η ροπή είναι θετική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται θετικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού. Φόρτιση. =km Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (), αριστ ().. 7, δεξ (). 9. 9, δεξ Από τις () και () προκύπτουν: Καθολικές συνθήκες ισορροπίας () () k και k. 7..8k () k Σχεδίαση διαγράμματος Μ() Στα σημεία,,,, 7, 9 και οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Στην άρθρωση του 79

80 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο σημείου η ροπή είναι ίση με Μ =km, λόγω του γεγονότος ότι εκεί δρα η εξωτερική διπλή ροπή =km. Τα σημεία στα οποία θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είναι τα σημεία και 8: Τμήμα 8: k. 8,δεξ 8 8.km.. Τμήμα : =,αριστ km () [km] Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης του φορέα γόνατο γόνατο ευθεία ευθεία γόνατο Φόρτιση. =km Πρόσθετες συνθήκες ισορροπίας (), αριστ (). 7. 7, αριστ ().. 7, αριστ Από τις () και () προκύπτουν:.7k και.97k 8

81 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Καθολικές συνθήκες ισορροπίας () () k () k 9 9 Σχεδίαση διαγράμματος Μ() Στα σημεία,,,,, 7, 9 και οι ροπές είναι μηδενικές για προφανείς λόγους. Τα σημεία στα οποία θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είναι τα σημεία και 8: Τμήμα : =,αριστ km Τμήμα 8: k. 8,δεξ km Απομένει ο υπολογισμός της ροπής στο σημείο εφαρμογής της εξωτερικής ροπής Μ. Το τμήμα 7 είναι μια αμφιέρειστη δοκός, η οποία φορτίζεται από τη ροπή Μ =km. Είναι γνωστό ότι στο σημείο εφαρμογής μιας ροπής το διάγραμμα ροπών κάνει «άλμα» ίσο με την τιμή της ροπής αυτής. Ωστόσο, θα πρέπει να υπολογιστεί η ροπή είτε δεξιά είτε αριστερά του σημείου εφαρμογής της εξωτερικής ροπής. Όπως εύκολα μπορεί να επαληθευτεί από τον αναγνώστη ως μία μικρή άσκηση, η ροπή δεξιά του σημείου εφαρμογής της εξωτερικής ροπής, είναι ίση με km. () [km] Ποιοτική σχεδίαση της παραμόρφωσης του φορέα ευθεία γόνατο ευθεία γόνατο γόνατο Στις περιοχές και 9 η ροπή είναι μηδενική και, συνεπώς, λόγω κ=μ/ει, η δοκός δεν καμπυλώνεται αλλά παραμένει ευθύγραμμη. Στις περιοχές και στο δεξιό μισό της δοκού 7 η ροπή είναι αρνητική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται αρνητικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά της δοκού. Στο αριστερό μισό της δοκού 7 και στην περιοχή 789 η ροπή είναι θετική και, συνεπώς, η δοκός καμπυλώνεται θετικά, δηλαδή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω. 8

82 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Αμφιέρειστα πλαίσια και τόξα (Ομάδα Η) Για τους παρακάτω αμφιέρειστους πλαισιακούς και τοξωτούς φορείς, να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής Μ(), (), (). Με βάση την αποκτηθείσα από τις προηγούμενες ασκήσεις πείρα, να γίνει προσπάθεια περιορισμού του πλήθους των διαχωριστικών τομών προς υπολογισμό των φορτίων διατομής, κάνοντας μεταξύ άλλων χρήση συλλογισμών που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας. P Ζητούνται: (), (), () λόγω Ρ H/ H συναρτήσει των διαστάσεων και H. Σκαρίφημα (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης του φορτιζόμενου πλαισίου. / / Ζητούνται: H/ (), (), () λόγω H/ B H/ συναρτήσει των διαστάσεων και H. Σκαρίφημα (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης του φορτιζόμενου πλαισίου. 8

83 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο H/ P B H/ H/ Ζητούνται: (), (), () λόγω Ρ και Μ. Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τα αποτελέσματα των προηγουμένων ασκήσεων Η/ και Η/. P=k H=.m =km =.m / / p Ζητούνται: H (), (), () λόγω του ομοιόμορφου φορτίου p συναρτήσει των διαστάσεων, H. H/ (βλ. Άσκηση Ζ) Σκαρίφημα (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης του φορτιζόμενου πλαισίου. p Πως μεταβάλλονται ποιοτικά τα διαγράμματα (), (), (), αν αντί του ομοιόμορφου φορτίου H p ο στύλος φορτίζεται με ένα τριγωνικό φορτίο που αυξάνεται γραμμικά καθ' ύψος από στον κόμβο σε p στον κόμβο ; 8

84 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H/ P H / / Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης P P P P Β. Υπολογισμός των (), (), () Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του είναι καθ όλο το ύψος του μηδενική. Λόγω Α =, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι επίσης μηδενική. Για τις ροπές του στύλου ισχύει ό,τι και για το στύλο. Οι αξονικές δυνάμεις των δύο στύλων είναι σταθερές καθ όλο το ύψος τους, αφού οι στύλοι δεν φέρουν αξονικά φορτία μεταξύ των άκρων τους. Οι τιμές των αξονικών αυτών δυνάμεων πρόκυπτουν από τις ακόλουθες διαχωριστικές τομές: =P/ P =P/ P Ζύγωμα: Εφόσον οι ροπές των στύλων και είναι μηδενικές, το ζύγωμα συμπεριφέρεται ως αμφιαρθρωτή δοκός που φορτίζεται με ένα συγκεντρωμένο φορτίο P στο μέσον της. Επομένως, ο υπολογισμός της () και της () γίνεται κατά τα γνωστά από την απλή αμφιέρειστη δοκό: Στο μέσο του ζυγώματος (σημείο Α) η ροπή είναι ίση με Μ Α =P/ ενώ η τέμνουσα εμφανίζει άλμα ίσο με Ρ. Αριστερά του σημείου Α η τέμνουσα είναι σταθερή και ίση με Μ Α /(/)=Ρ/ και δεξιά του σημείου Α, επίσης, σταθερή και ίση με Μ Α /(/)=Ρ/. Η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ όλο το μήκος του μηδενική, όπως εύκολα προκύπτει από την ακόλουθη διαχωριστική τομή: 8

85 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () H για οποιαδήποτε τιμή του Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () P/ P/ P/ P/ P/ () [km] () [k] () [k] Δ. Σχεδίαση (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης Οι δύο στύλοι έχουν μηδενικές ροπές κάμψης και, συνεπώς, λόγω κ()=μ()/ει, δεν καμπυλώνονται, αλλά παραμένουν ευθύγραμμοι. Στο ζύγωμα η ροπή είναι θετική και συνεπάγεται θετική καμπύλωση, δηλαδή η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά του ζυγώματος. Η γραμμική μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ στο ζύγωμα σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w() θα είναι παραβολή ου βαθμού, δεδομένου ότι ισχύει η σχέση κ() = [w()]". Σημειώνεται, επίσης, ότι, λόγω της συμμετρίας του διαγράμματος των ροπών κάμψης ως προς κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο του ζυγώματος, η καμπύλωση του ζυγώματος και κατ επέκταση η ελαστική του γραμμή θα είναι συμμετρικές. Τέλος, επισημαίνεται, αν και αυτονόητο, ότι οι ορθές γωνίες μεταξύ ζυγώματος και στύλων στους κόμβους και παραμένουν ορθές και στην παραμορφωμένη κατάσταση του πλαισίου. α α ευθεία παραβολή ου βαθμού ευθεία 8

86 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ H/ B H/ Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης Β. Υπολογισμός των (), (), () Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του είναι μηδενική στο τμήμα Β ενώ στο τμήμα Β είναι ίση και αντίθετη προς την εξωτερική ροπή Μ, δηλαδή ίση με Μ. Ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει τα παραπάνω με δύο κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας ροπών. Λόγω Α Χ =, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι, επίσης, μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στον στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο ένα άκρο του είναι καθ όλο το ύψος του μηδενική. Οι αξονικές δυνάμεις στους στύλους είναι ίσες και αντίθετες προς τις αντίστοιχες κατακόρυφες αντιδράσεις Α Ζ και Α Ζ και παραμένουν σταθερές καθ όλο το ύψος των στύλων. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει τα παραπάνω με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των κατάλληλων συνθηκών ισορροπίας. Ζύγωμα: Η ροπή στην κορυφή του στύλου και, συνεπώς, και στο αριστερό άκρο του ζυγώματος είναι μηδενική, δηλαδή Μ =. Η ροπή στην κορυφή του στύλου και, συνεπώς, και στο δεξιό άκρο του ζυγώματος είναι ίση με Μ, δηλαδή Μ = Μ. Εφόσον το ζύγωμα είναι αφόρτιστο, η διαδρομή της ροπής του είναι γραμμική και, συνεπώς, η διαδρομή της τέμνουσας του είναι σταθερή και ίση με Μ /. Το παραπάνω συμπέρασμα να τεκμηριωθεί από τον αναγνώστη με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής. Η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ όλο το μήκος του μηδενική, όπως εύκολα προκύπτει από την εξής διαχωριστική τομή: 8

87 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο () B H για οποιαδήποτε τιμή του Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () / / B B B () [km] () [k] / () [k] Δ. Σχεδίαση (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης Οι ροπές κάμψης στον αριστερό στύλο και στο κάτω μισό Β του δεξιού στύλου είναι μηδενικές και συνεπώς, λόγω κ()=μ()/ει, τα τμήματα αυτά του πλαισίου δεν καμπυλώνονται αλλά παραμένουν ευθύγραμμα. Στο ζύγωμα η ροπή είναι αρνητική και συνεπάγεται αρνητική καμπύλωση, δηλαδή η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά του ζυγώματος. Λόγω της σχέσης κ()=[w()]" που συνδέει την καμπύλωση κ με τη βύθιση w, η γραμμική μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ στο ζύγωμα σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w() του ζυγώματος θα είναι παραβολή ου βαθμού. Επίσης, η σταθερή ροπή Μ και, συνεπώς, η σταθερή καμπύλωση κ στο επάνω μισό Β του δεξιού στύλου σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w() του τμήματος αυτού θα είναι παραβολή ου βαθμού και συγκεκριμένα τόξο κύκλου (Σημ.: Είναι γνωστό ότι η καμπύλωση του κύκλου είναι σταθερή). Σημειώνεται, τέλος, αν και αυτονόητο, ότι οι ορθές γωνίες μεταξύ ζυγώματος και στύλων στους κόμβους και παραμένουν ορθές και στην παραμορφωμένη κατάσταση του πλαισίου. α παραβολή ου βαθμού α ευθεία B καμπύλο τμήμα (τόξο κύκλου) ευθεία 87

88 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ P B H/ H/ P=k H=.m =km =.m / / Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης.. k k Β. Υπολογισμός των (), (), () Στύλοι: Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του είναι μηδενική στο τμήμα Β ενώ στο τμήμα Β είναι ίση και αντίθετη προς την εξωτερική ροπή Μ, δηλαδή ίση με Μ. Ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει τα παραπάνω με δύο κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας ροπών. Λόγω Α Χ =, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι, επίσης, μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στον στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο ένα άκρο του είναι καθ όλο το ύψος του μηδενική. Οι αξονικές δυνάμεις στους στύλους είναι ίσες και αντίθετες προς τις αντίστοιχες κατακόρυφες αντιδράσεις Α Ζ και Α Ζ και παραμένουν σταθερές καθ όλο το ύψος των στύλων. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει τα παραπάνω με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των κατάλληλων συνθηκών ισορροπίας. Ζύγωμα: Η ροπή στην κορυφή του στύλου και συνεπώς και στο αριστερό άκρο του ζυγώματος είναι μηδενική, δηλαδή Μ =. Η ροπή στην κορυφή του στύλου και συνεπώς και στο δεξιό άκρο του ζυγώματος είναι ίση με Μ, δηλαδή Μ = Μ. Η ροπή στο σημείο Α, όπου δρα το φορτίο P, μπορεί να υπολογιστεί, π.χ. με τη βοήθεια της ακόλουθης διαχωριστικής τομής: 88

89 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. km k. Η ροπή στα αφόρτιστα τμήματα του ζυγώματος Α και Α μεταβάλλεται γραμμικά. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει για ποιο λόγο συμβαίνει αυτό. Η τέμνουσα, ως πρώτη παράγωγος της γραμμικώς μεταβαλλόμενης ροπής, είναι σταθερή με τιμές:. k στο αριστερό τμήμα Α και. k στο δεξιό τμήμα Α του ζυγώματος. Η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ όλο το μήκος του μηδενική, όπως ακριβώς και στην Άσκηση Η/. Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () B B B () [km] () [k] () [k] Δ. Σύγκριση με τα αποτελέσματα των Ασκήσεων Η/ και Η/ Η φόρτιση του πλαισίου της παρούσας Άσκησης Η/ συντίθεται από τις επί μέρους φορτίσεις των πλαισίων των Ασκήσεων Η/ και Η/. Συνεπώς, λόγω της ισχύος της αρχής της επαλληλίας, τα αποτελέσματα της παρούσας Άσκησης προκύπτουν με αλγεβρική άθροιση των αποτελεσμάτων των Ασκήσεων Η/ και Η/, εάν σ αυτά εισαχθούν οι τιμές των εδώ δεδομένων: =.m, Η=.m, P=k και =km. Αποτελέσματα Άσκησης Η/: P/ P/ P/ P/ P/ () [km] () [k] () [k] 89

90 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Αποτελέσματα Άσκησης Η/: / / B B B () [km] () [k] / () [k] Ως μικρή άσκηση, ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει αριθμητικά τον παραπάνω ισχυρισμό. Άσκηση H/ p H Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης p p H H p H p H p H Β. Υπολογισμός των (), (), () Στύλοι: H Λόγω της οριζόντιας κύλισης στον κόμβο, η τέμνουσα καθ όλο το ύψος του οριζοντίως αφόρτιστου στύλου είναι μηδενική. Η μηδενική τέμνουσα συνεπάγεται σταθερή ροπή στο στύλο, η οποία λόγω της άρθρωσης στο κάτω άκρο του είναι καθ όλο το ύψος του μηδενική. Στον στύλο, που φορτίζεται με το ομοιόμορφο (σταθερό) φορτίο p, η τέμνουσα, ως ολοκλήρωμα του φορτίου, μεταβάλλεται γραμμικά από p H στον κόμβο σε στον κόμβο, όπως εύκολα προκύπτει με τη βοήθεια της ακόλουθης διαχωριστικής τομής: p () =p H Για Για p p H H: : p H H p 9

91 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Η ροπή στο στύλο, ως ολοκλήρωμα της γραμμικά μεταβαλλόμενης και μειούμενης καθ ύψος τέμνουσας, μεταβάλλεται ως παραβολή ου βαθμού, με μειούμενη καθ ύψος κλίση της εφαπτομένης της, η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα αριστερά, αντίθετα προς το φορτίο p. Λόγω του μηδενισμού της τέμνουσας στην κορυφή του στύλου, το διάγραμμα ροπών έχει στο σημείο αυτό οριζόντια εφαπτομένη και ισχύει =ma (Υπενθύμιση από τα Μαθηματικά: Η κλίση της εφαπτομένης σε ένα σημείο μιας συνάρτησης f() είναι μηδενική, δηλαδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς τον άξονα, αν η πρώτη παράγωγος f () της συνάρτησης έχει μηδενική τιμή στο σημείο, αν δηλαδή f ( )=). Οι αξονικές δυνάμεις στους στύλους είναι ίσες και αντίθετες προς τις αντίστοιχες κατακόρυφες αντιδράσεις Α Ζ και Α Ζ και παραμένουν σταθερές καθ όλο το ύψος των στύλων. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει τα παραπάνω με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των κατάλληλων συνθηκών ισορροπίας. Ζύγωμα: Στο αφόρτιστο ζύγωμα οι ροπές μεταβάλλονται γραμμικά από Μ =p H / σε Μ =. Η τέμνουσα είναι, ως πρώτη παράγωγος της ροπής, σταθερή και ίση με: p H p H Τέλος, η αξονική δύναμη του ζυγώματος είναι καθ όλο το μήκος μηδενική, όπως εύκολα προκύπτει από την συνθήκη ισορροπίας Σ = σε κατάλληλη διαχωριστική τομή, π.χ. βλ. Άσκηση Η/. Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () ph / ph / ph / ph / οριζόντια εφαπτομένη παραβολή ου βαθμού ph ph / () [km] () [k] () [k] Δ. Σχεδίαση (ποιοτικά) της παραμορφωμένης κατάστασης α α παραβολή ου βαθμού ευθεία παραβολή ου βαθμού Οι ροπές κάμψης στον δεξιό στύλο είναι μηδενικές και, συνεπώς, λόγω κ()=μ()/ει, ο στύλος δεν καμπυλώνονται, αλλά παραμένει ευθύγραμμος. Στο ζύγωμα η ροπή είναι θετική και συνεπάγεται θετική καμπύλωση, δηλαδή η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα προς τα επάνω, δεδομένου ότι η ίνα αναφοράς έχει τοποθετηθεί στην κάτω παρειά του ζυγώματος. Λόγω της σχέσης κ()=[w()]" που συνδέει την καμπύλωση κ με τη βύθιση w, η γραμμική 9

92 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο μεταβολή της ροπής Μ και, συνεπώς, της καμπύλωσης κ στο ζύγωμα σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w() του ζυγώματος είναι παραβολή ου βαθμού. Επίσης, δεδομένου ότι η ροπή Μ και, συνεπώς, και η καμπύλωση κ στον αριστερό στύλο μεταβάλλεται ως παραβολή ου βαθμού σημαίνει ότι η ελαστική γραμμή w() του στύλου αυτού θα είναι παραβολή ου βαθμού. Σημειώνεται τέλος, αν και αυτονόητο, ότι οι ορθές γωνίες μεταξύ ζυγώματος και στύλων στους κόμβους και παραμένουν ορθές και στην παραμορφωμένη κατάσταση του πλαισίου. Ε. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () λόγω τριγωνικού οριζόντιου φορτίου ph / οριζόντια εφαπτομένη παραβολή ου βαθμού ph / ph / παραβολή ου βαθμού () [km] ph/ () [k] ph / () [k] Παρατηρούμε ότι η μόνη ποιοτική αλλαγή στην μορφή των διαγραμμάτων παρουσιάζεται στα διαγράμματα ροπής και τέμνουσας του αριστερού στύλου. Ο αναγνώστης καλείται να εξηγήσει τη διαφοροποίηση αυτή και να επαληθεύσει τις αριθμητικές τιμές που δίνονται στα παραπάνω διαγράμματα. 9

93 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. Τριαρθρωτοί πλαισιακοί και τοξωτοί φορείς (Ομάδα Η) Για τους παρακάτω τριαρθρωτούς πλαισιακούς και τοξωτούς φορείς Η/ έως Η/9 να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων Μ(), (), (). Με βάση την αποκτηθείσα από τις προηγούμενες ασκήσεις πείρα, να γίνει προσπάθεια περιορισμού του πλήθους των διαχωριστικών τομών που απαιτούνται για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής, κάνοντας μεταξύ άλλων χρήση συλλογισμών που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας. p Ζητούνται: (), (), () λόγω του H/ H ομοιόμορφου φορτίου p συναρτήσει των διαστάσεων, H. Τα ίδια φορτία διατομής με χρήση της ομόλογης δοκού για το εγκάρσιο φορτίο p. p Ζητούνται: (), (), () λόγω του H/ H ομοιόμορφου φορτίου p συναρτήσει των διαστάσεων, H. Τα ίδια φορτία διατομής με χρήση της ομόλογης δοκού για το εγκάρσιο φορτίο p. H/ P=k. Ζητούνται: (), (), () λόγω P =k με χρήση της ομόλογης δοκού.. 9

94 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο p=k/m Ζητούνται: (), (), () H/. λόγω p=k/m. Η θέση και το μέγεθος της. μέγιστης ροπής στο ζύγωμα... (βλ. Άσκηση Ζ) p=k/m Ζητούνται: (), (), () H/. λόγω p=k/m. Η θέση και το μέγεθος της ελκυστήρας. μέγιστης ροπής στον στύλο... (βλ. Άσκηση Ζ) 9

95 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 9 ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H/ Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης H p H p Έλεγχος : H p H H p H p H p H p Έλεγχος : H H p H H p H H p H H p,, δεξ. αριστ. Β. Υπολογισμός των (), (), () Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων, δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(), (), (), προκύπτει, εν συνεχεία, κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Ακολούθως, διατυπώνονται οι συνθήκες ισορροπίας από τις οποίες προκύπτουν τα κομβικά φορτία διατομής των δομικών στοιχείων και σχολιάζεται με συντομία η μορφή των διαγραμμάτων Μ(), (), (). Στύλος : Κόμβος H p H p Κόμβος p H = ph = ph /

96 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο p p H = ph =ph / H p H H p H H p H Στον στύλο η τέμνουσα μεταβάλλεται γραμμικά, ως ολοκλήρωμα του σταθερού φορτίου, ' = p, από =p H σε =, ενώ η ροπή μεταβάλλεται ως παραβολή ου βαθμού, ως πρώτο ολοκλήρωμα της γραμμικά μεταβαλλόμενης τέμνουσας =Μ' από Μ = σε Μ =p H /. Στον κόμβο το διάγραμμα ροπών έχει οριζόντια εφαπτομένη, δηλαδή παράλληλη προς τον τοπικό άξονα του στύλου, αφού στο σημείο αυτό η πρώτη παράγωγος της ροπής, δηλαδή η τέμνουσα, είναι μηδενική, και στρέφει τα κοίλα προς τα αριστερά, δηλαδή ενάντια στο φορτίο p. Ο αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει το τελευταίο αυτό συμπέρασμα. Η αξονική δύναμη του στύλου παραμένει καθ όλο το ύψος του σταθερή, αφού στον στύλο δεν υπάρχει εξωτερικό αξονικό φορτίο. Ζύγωμα : Κόμβος Κόμβος (άρθρωση) p H p H ή p H = = = Έλεγχος : p H p H Στο εγκαρσίως και αξονικώς αφόρτιστο ζύγωμα η ροπή μεταβάλλεται γραμμικά από Μ =p H / σε Μ = ενώ η τέμνουσα και η αξονική δύναμη είναι σταθερές. p H Στύλος : Κόμβος (άρθρωση) p H 9

97 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κόμβος = = H p H Ο στύλος είναι μία εγκαρσίως και αξονικώς αφόρτιστη αμφιαρθρωτή δοκός, η οποία ως εκ τούτου εμφανίζει μηδενική ροπή και τέμνουσα, και σταθερή αξονική δύναμη. Έλεγχος ισορροπίας κόμβου : Τα φορτία διατομής Ν και στον πόδα του στύλου υπολογίστηκαν χωρίς να γίνει χρήση των ήδη γνωστών αντιδράσεων στήριξης και. Επομένως, ο έλεγχος ισορροπίας του κόμβου συνιστά έναν έλεγχο για την ορθότητα των παραπάνω υπολογισμών: Κόμβος = = ph / Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () p H p H Ο ισορροπιακός έλεγχος ικανοποιείται. ph / ph / ph / ph / οριζόντια εφαπτομένη παραβολή ου βαθμού ph ph / () [km] () [k] () [k] Παρατήρηση: Τα παραπάνω διαγράμματα των φορτίων διατομής του δεδομένου τριαρθρωτού πλαισίου ταυτίζονται απόλυτα με τα αντίστοιχα διαγράμματα του αμφιέρειστου πλαισίου της Άσκησης Η/. Ο αναγνώστης καλείται να δώσει μία εξήγηση για το γεγονός αυτό. Δ. Επίλυση του φορέα με χρήση της ομόλογης δοκού (α) Το δεδομένο πλαίσιο επισάττεται («σαμαρώνεται») με μία αμφιέρειστη δοκό («ομόλογη δοκό»), η οποία φέρει το φορτίο p και εδράζεται επί του πλαισίου στους κόμβους και. Η φόρτιση του πλαισίου συνίσταται τώρα πλέον στις δύο δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού, οι οποίες υπολογίζονται ιδιαίτερα εύκολα, όπως εύκολα υπολογίζονται και τα φορτία διατομής της ομολ (), ομολ (), ομολ (). 97

98 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ph / p B= ph/ ομολ () ph / ομολ () Μ ομολ () ph /8 =ph/ H (β) Το δεδομένο πλαίσιο επιλύεται με φορτία τις δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού και προσδιορίζονται τα φορτία διατομής του σαγμ (), σαγμ (), σαγμ (). Η επίλυση αυτή γίνεται κατά τα γνωστά με τη βοήθεια κατάλληλων διαχωριστικών τομών, όπως ακριβώς στην προηγούμενη υποπαράγραφο Β, και μας δίνει τα εξής διαγράμματα φορτίων διατομής: ph / ph / ph / ph / ph / ph/ () [km] () [k] () [k] σαγμ σαγμ σαγμ Η επίλυση του επισαγματωμένου φορέα είναι γενικώς απλούστερη από την επίλυση του αρχικώς δεδομένου φορέα υπό τη δεδομένη φόρτιση. Βέβαια, για το παράδειγμα μας, που είναι ένα απλό πλαίσιο με απλή φόρτιση, η επιτυγχανόμενη απλούστευση των υπολογισμών δεν είναι ιδιαίτερα σημαντική. Έτσι, π.χ. για τον υπολογισμό της Μ έχουμε: p στον αρχικό φορέα: στον επισαγματωμένο φορέα: H H = ph = ph/ = ph H p H H p H H p H H p H Διαπιστώνουμε ότι η διαφορά στο «υπολογιστικό κόστος» είναι πρακτικά ανύπαρκτη. Εντούτοις, σε συνθετότερους φορείς με πολυπλοκότερες φορτίσεις μπορεί να επιτευχθεί σημαντική οικονομία υπολογισμών κάνοντας χρήση της ομόλογης δοκού. (γ) Τα τελικά φορτία διατομής του δεδομένου πλαισίου υπό τη δεδομένη φόρτιση p προκύπτουν με επαλληλία των φορτίων διατομής, δηλαδή με αλγεβρική άθροιση, σαγμ (), σαγμ (), σαγμ () του επισαγματωμένου φορέα και των αντίστοιχων φορτίων διατομής ομολ (), ομολ (), ομολ () της ομόλογης δοκού: 98

99 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο σαγμ ομολ σαγμ ομολ σαγμ ομολ Στην περίπτωση μας η επαλληλία περιορίζεται στον στύλο : Μ σαγμ () ph / Μ ομολ () ph / ph /8 = Μ() = ph / οριζόντια εφαπτομένη ph /8 ph / ph /8 σαγμ() ομολ () ph/ = () = ph / ph / ph Για το αφόρτιστο ζύγωμα και τον αφόρτιστο δεξιό στύλο τα τελικά φορτία διατομής συμπίπτουν με φορτία διατομής του επισαγματωμένου φορέα. Τονίζεται ότι είναι αδιάφορο για τα αποτελέσματα της επίλυσης το αν η σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού ληφθεί στον κόμβο ή στον κόμβο, αφού αυτό δεν μεταβάλλει τις αντιδράσεις στήριξης Α και Β. Επίσης, υπενθυμίζεται ότι η θέση της σταθερής έδρασης της ομόλογης δοκού είναι αδιάφορη για τα τελικά αποτελέσματα, ακόμη και στην περίπτωση που η ομόλογη δοκός φορτίζεται με αξονικά φορτία (βλ. Άσκηση Η/). 99

100 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης H p H p Έλεγχος : H p H H p H p H p H p H p Έλεγχος : H p H H p H H p H H p H H p,δεξ.,αριστ. Β. Υπολογισμός των (), (), () Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων, δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(), (), (), προκύπτει, εν συνεχεία, κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Ακολούθως, διατυπώνονται οι συνθήκες ισορροπίας από τις οποίες προκύπτουν τα κομβικά φορτία διατομής των δομικών στοιχείων και σχολιάζεται με συντομία η μορφή των διαγραμμάτων Μ(), (), (). Στύλος : Κόμβος H p H p H p = ph / =ph /

101 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κόμβος H p H p H =ph/ p H H = ph / Ζύγωμα : Κόμβος p H p H p H ή p H Κόμβος (άρθρωση) = = = p H p H Έλεγχος: Στύλος : Κόμβος (άρθρωση) Κόμβος p p H H p H p H = H/ = p H p H p H p H Ο στύλος έχει μηδενικές ροπές στα άκρα του και φορτίζεται με ομοιόμορφο φορτίο p. Συνεπώς, η ροπή στο μέσον του είναι: p H 8.

102 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Έλεγχος ισορροπίας κόμβου Τα φορτία διατομής Ν και στον πόδα του στύλου υπολογίσθηκαν χωρίς να γίνει χρήση των ήδη γνωστών αντιδράσεων στήριξης και. Επομένως, η ισορροπία του κόμβου συνιστά έναν έλεγχο για την ορθότητα των παραπάνω υπολογισμών. Κόμβος =ph/ = ph / Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () p H p H p H p H Ο ισορροπιακός έλεγχος ικανοποιείται. ph / ph / ph/ ph /8 ph/ ph/ () [km] () [k] ph/ ph / ph / () [k] Δ. Επίλυση του φορέα με χρήση της ομόλογης δοκού (α) Το δεδομένο πλαίσιο επισάττεται με την ομόλογη δοκό: B= ph/ p ph / H =ph/ = ph / = ph/ =ph / =ph/ ph /8 Μ ομολ() ph/ ομολ () ομολ ()

103 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο (β) Το δεδομένο πλαίσιο επιλύεται με φορτία τις δυνάμεις έδρασης Α και Β της ομόλογης δοκού, που είναι ίσες και αντίθετες προς τις αντιδράσεις στήριξης,: ph / ph / ph/ ph / ph/ ph / σαγμ () [km] σαγμ () [k] σαγμ () [k] (γ) Τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν με επαλληλία, δηλαδή αλγεβρική άθροιση, των παραπάνω: σαγμ ομολ σαγμ ομολ σαγμ ομολ ph / ph / ph/ ph/ ph /8 ph / () [km] ph/ ph/ () [k] ph / () [k] Για τον αφόρτιστο αριστερό στύλο και για το αφόρτιστο ζύγωμα, τα τελικά φορτία διατομής συμπίπτουν με τα φορτία διατομής του επισαγματωμένου φορέα. Τονίζεται ότι είναι αδιάφορο για τα αποτελέσματα της επίλυσης το αν η σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού ληφθεί στον κόμβο ή στον κόμβο, αφού αυτό δεν μεταβάλλει τις αντιδράσεις στήριξης Β και Α. Επίσης, υπενθυμίζεται ότι η θέση της σταθερής έδρασης της ομόλογης δοκού είναι αδιάφορη για τα τελικά αποτελέσματα ακόμη και στην περίπτωση που η ομόλογη δοκός φορτίζεται με αξονικά φορτία (Βλ. Άσκηση Η/).

104 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ P =k.. (α) Ως πρώτο βήμα γίνεται επίσαξη του δεδομένου πλαισίου με μια ομόλογη δοκό που φορτίζεται με το δεδομένο αξονικό φορτίο Ρ Α. Προκειμένου να καταδειχθεί ότι η θέση της σταθερής στήριξης της ομόλογης, αμφιέρειστης, ισοστατικής δοκού δεν επηρεάζει τα τελικά αποτελέσματα, εξετάζονται δύο περιπτώσεις: Ι : σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού στον κόμβο. ΙΙ : σταθερή έδραση της ομόλογης δοκού στον κόμβο. Για τις δύο αυτές περιπτώσεις υπολογίζονται τα φορτία διατομής της ομόλογης δοκού υπό το φορτίο Ρ Α (βλ. παρακάτω σχήματα). Είναι προφανές ότι οι αξονικές δυνάμεις Ν Ι ομολ() και Ν ΙΙ ομολ() της ομόλογης δοκού είναι διαφορετικές στις δύο περιπτώσεις, ενώ βέβαια ροπές και τέμνουσες είναι μηδενικές ελλείψει εγκάρσιου φορτίου, δηλαδή ομολ ()= ομολ ()=. (β) Κατόπιν, για τις δύο περιπτώσεις επίσαξης Ι και ΙΙ επιλύεται το δεδομένο πλαίσιο με φορτία τις αντίστοιχες δυνάμεις έδρασης της ομόλογης δοκού, δηλαδή αρνητικές αντιδράσεις στήριξης (βλ. παρακάτω σχήματα). Οι ροπές και οι τέμνουσες προκύπτουν, προφανώς, ίδιες και στις δύο περιπτώσεις σαγμ ()= Ι σαγμ()= ΙΙ σαγμ() και σαγμ ()= Ι σαγμ()= ΙΙ σαγμ(). Ο αναγνώστης καλείται να το τεκμηριώσει αυτό με απλούς υπολογισμούς ενώ, βέβαια, οι αξονικές δυνάμεις Ν Ι σαγμ(), Ν ΙΙ σαγμ() διαφοροποιούνται. (γ) Τέλος, τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν με επαλληλία, δηλαδή αλγεβρική άθροιση, των φορτίων διατομής της ομόλογης δοκού και του επισαγματωμένου πλαισίου. (I) Σταθερή στήριξη της ομόλογης δοκού στον κόμβο του επισαγματωμένου πλαισίου: P =k P =k P =k k k I ομολ () I ομολ () = I () = ομολ. I σαγμ() =k =. =.7k. =. =.7k.7k

105 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο (I) Σταθερή στήριξη της ομόλογης δοκού στον κόμβο του επισαγματωμένου πλαισίου: P =k P =k P =k k II ομολ II ομολ II ομολ () () = () = II σαγμ () =k = =.7k. =. =.7k.7k Η επαλληλία δίνει και στις δύο περιπτώσεις Ι και ΙΙ τα ίδια αποτελέσματα για την τελική αξονική δύναμη: I I II II σαγμ ομολ σαγμ ομολ Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι τελικές ροπές και τέμνουσες του δεδομένου πλαισίου υπό τη συγκεκριμένη φόρτιση είναι αυτές του επισαγματωμένου φορέα ενώ οι προκύπτουσες από την επαλληλία τελικές αξονικές δυνάμεις προκύπτουν ίδιες και για τις δύο περιπτώσεις έδρασης της ομόλογης δοκού (Ι και ΙΙ): σαγμ ομολ σαγμ ομολ I I σαγμ ομολ σαγμ σαγμ II σαγμ II ομολ Τελικά διαγράμματα φορτίων διατομής:.7.7 () [km] () [k].7 () [k] Τέλος, παρατηρούμε ότι η θέση Α του σημείου Α, όπου ενεργεί το παράλληλο με το ζύγωμα φορτίο Ρ Α, αφήνει ανεπηρέαστες τις ροπές και τις τέμνουσες δυνάμεις του πλαισίου.

106 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ p=k/m.... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. Άσκηση Ζ) Ο υπολογισμός των αντιδράσεων στήριξης, στον κόμβο γίνεται όπως περιγράφηκε στην Άσκηση Ζ: 8.k, 8.k Για τις αντιδράσεις στον κόμβο παίρνουμε: 8.k. 9.k Β. Υπολογισμός των (), (), () Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων, δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(), (), (), προκύπτει εν συνεχεία κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Διαχωριστικές τομές για τον υπολογισμό των μεγεθών Μ, και Ν παρουσιάστηκαν αναλυτικά στην Άσκηση Ζ. Με κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα φορτία διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία, δηλαδή στους κόμβους, του πλαισίου χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Ακολούθως, περιγράφεται μια πρακτικά ενδιαφέρουσα πορεία υπολογισμού των φορτίων διατομής που κάνει χρήση ομόλογων δοκών. Ως πρώτο βήμα επισάττεται το δεδομένο τριαρθρωτό πλαίσιο με δύο ομόλογες δοκούς που φέρουν το ομοιόμορφο φορτίο p=k/m (βλ. ακόλουθο σχήμα). Τα φορτία διατομής των αμφιέρειστων ομόλογων δοκών υπολογίζονται ιδιαιτέρως εύκολα και δεν χρειάζεται να μας απασχολήσουν περαιτέρω. Περιοριζόμαστε, λοιπόν, ακολούθως στον υπολογισμό των φορτίων διατομής του επισαγματωμένου πλαισίου και ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι τα φορτία k στον κόμβο και k στον κόμβο προκαλούν απλά και μόνον αξονικές δυνάμεις Ν =k και Ν =k αντίστοιχα ενώ ροπές και τέμνουσες προκαλεί μόνο το φορτίο 7k στον κόμβο. Αδιαφορούμε, λοιπόν, περαιτέρω για τα δύο πρώτα φορτία και προχωρούμε στον υπολογισμό των αντιδράσεων στήριξης λόγω του φορτίου 7k στον κόμβο.

107 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο. p=k/m k k. p=k/m k k k k k k k 7k k. fl... Η επόμενη παρατήρησή μας είναι ότι οι διευθύνσεις των συνισταμένων αντιδράσεων Α στον κόμβο και Α στον κόμβο οφείλουν να συμπίπτουν με τις διευθύνσεις των ευθειών και αντίστοιχα, διότι μόνον τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας ροπών του αριστερού () και του δεξιού () τμήματος του πλαισίου ως προς την άρθρωση : ίσκος Ι 7k ίσκος ΙΙ ' ' e º.m., δίσκ.i, δίσκ.ii e=.9m... Με αυτό το δεδομένο οι αντιδράσεις στήριξης Α, Α υπολογίζονται από τις εξής συνθήκες ισορροπίας: 7. e e 7. e e 7

108 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Έχοντας σχεδιάσει το πλαίσιό μας υπό κλίμακα προσδιορίζουμε τις τιμές e και e γεωμετρικά, δηλαδή μετρώντας τις αποστάσεις ' και ' αντιστοίχως (βλ. προηγούμενο σχήμα). Με e =.9m και e º.m παίρνουμε:.k e.7k e Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε τις ροπές στους κόμβους και, έχοντας προσδιορίσει προηγουμένως γεωμετρικά τις αποστάσεις e και e : 7k e ' e e ' e =.m º.9m. =.k... =.7k e ' e. '. =.k. =.7k e e e.. 7.km e km Από τις παραπάνω ροπές Μ σαγμ () του επισαγματωμένου πλαισίου, οι οποίες ελλείψει εγκάρσιου φορτίου μεταξύ των κόμβων μεταβάλλονται γραμμικά, προκύπτουν άμεσα (με βάση τη σχέση =') οι τέμνουσες σαγμ (): 8

109 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο (7.) = =. =.89. fl = d d 7. =. =8.7. σαγμ () [km] (.78) = σαγμ () [k] Παρατήρηση: Στο διάγραμμα τεμνουσών το άλμα στο σημείο δεν ισούται ακριβώς, ως όφειλε, με το μέγεθος του ενεργούντος εκεί συγκεντρωμένου φορτίου των 7k. Παρομοίως, οι τέμνουσες στους δύο στύλους δεν είναι ίσες, ως όφειλαν να είναι για λόγους ισορροπίας κατά Χ. Οι μικρές αυτές αποκλίσεις οφείλονται, προφανώς, στον προσεγγιστικό γεωμετρικό προσδιορισμό των μοχλοβραχιόνων e και e που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω. Για τους δύο αφόρτιστους στύλους ισχύει: ()= σαγμ (), ()= σαγμ (). Για το φορτιζόμενο ζύγωμα τα τελικά φορτία διατομής προκύπτουν κατόπιν επαλληλίας κατά τα γνωστά: ()= σαγμ () ομολ (), ()= σαγμ () ομολ (). Ειδικότερα, επειδή η ομολ () είναι το γνωστό παραβολικό διάγραμμα ροπών της αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφο φορτίο p, το τελικό διάγραμμα Μ() προκύπτει με «κρέμασμα» της παραβολής p /8 στο διάγραμμα Μ σαγμ (), όπως φαίνεται στο παρακάτω αριστερό σχήμα. Παρομοίως, το τελικό διάγραμμα () προκύπτει αθροίζοντας στο διάγραμμα σαγμ () το γνωστό γραμμικά μεταβαλλόμενο διάγραμμα τεμνουσών της αμφιέρειστης δοκού υπό ομοιόμορφο φορτίο p (βλ. παρακάτω δεξιό σχήμα). 8 /. / =.7. 8 = ()= σαγμ () ομολ () [km].78. =. ομολ() [k] = Ως μικρή άσκηση, ο αναγνώστης καλείται να επαληθεύσει ότι η μέγιστη ροπή στο ζύγωμα είναι ma=.7km και εμφανίζεται σε απόσταση =.m από τον κόμβο. 9

110 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () 7.. /8 = = =..89 = = () [km] () [k] Οι τελικές αξονικές δυνάμεις, οι οποίες ελλείψει αξονικών φορτίων μεταξύ των κόμβων είναι σταθερές σε κάθε δομικό στοιχείο, προκύπτουν από την ισορροπία δυνάμεων στους κόμβους και (Σημ.: Για τις παρατηρούμενες αριθμητικές αποκλίσεις βλ. παρατήρηση στην προηγούμενη σελίδα): 8.7k 9.9k 8.k 8.7k 8.89k () [k] 8.89

111 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H/ p=k/m. ελκυστήρας... Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης (βλ. Άσκηση Ζ) k 9.7k Έλεγχος : 9.7k Β. Υπολογισμός των (), (), () Δεδομένου ότι ο φορέας αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, αρκεί ο προσδιορισμός των φορτίων διατομής στα άκρα των στοιχείων αυτών, δηλαδή στους κόμβους του φορέα (κομβικά φορτία διατομής). Η μεταβολή των φορτίων διατομής μεταξύ των κόμβων, δηλαδή η μορφή των διαγραμμάτων Μ(), (), (), προκύπτει, εν συνεχεία, κατά τα γνωστά με βάση τις διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας της ευθύγραμμης δοκού. Η αξονική δύναμη στο στοιχείο υπολογίζεται με κατάλληλη κυκλική διαχωριστική τομή, όπως παρουσιάστηκε στην Άσκηση Ζ. Παίρνουμε: 8k Στην ίδια Άσκηση Ζ παρουσιάστηκαν, επίσης, διαχωριστικές τομές για τον υπολογισμό των μεγεθών Μ και. Με περαιτέρω κατάλληλες διαχωριστικές τομές και εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας μπορούν να υπολογιστούν και τα υπόλοιπα φορτία διατομής σε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία του φορέα, δηλαδή στους κόμβους, χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, όπως στις προηγούμενες ασκήσεις. Ακολούθως, παρατίθενται τα διαγράμματα Μ(), (), () του φορέα, τα οποία καλείται ο αναγνώστης να ελέγξει με τρεις διαφορετικούς ελέγχους ισορροπίας σε ισάριθμες κυκλικές διαχωριστικές τομές της επιλογής του. Ένας τέτοιος ισορροπιακός έλεγχος διενεργείται στην ακόλουθη υποπαράγραφο Γ.

112 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 8. ma= εφαπτομένη. / = () [km] () [k] () [k] Μέγιστη ροπή στο στοιχείο (Σημ.: Χρησιμοποιείται το διάγραμμα ()): p ma ma 8. p.8m km Γ. Έλεγχος Προς μερικό έλεγχο των παραπάνω αποτελεσμάτων αποσπάται το αριστερό τμήμα του δεδομένου φορέα με μία κυκλική διαχωριστική τομή, που διέρχεται από την άρθρωση και τέμνει τον ελκυστήρα, και καταστρώνονται γι αυτό οι τρεις συνθήκες ισορροπίας. Εφόσον οι συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται, οι προηγουμένως υπολογισθείσες τιμές των φορτίων διατομής και των αντιδράσεων στήριξης, που υπεισέρχονται σ αυτές, μπορούν να θεωρηθούν ως ορθές.

113 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο.. p=k/m =7.k =.k cosα=.98 sinα=.87 (βλ. Άσκηση Ζ) sinα cosα. = k =8k α = 9.7k Σημείωση: Διαπιστώνουμε ότι οι συνθήκες ισορροπίας ικανοποιούνται. Οι παρατηρούμενες μικρές αποκλίσεις από το μηδέν οφείλονται στις αριθμητικές στρογγυλοποιήσεις που έγιναν κατά την πορεία των υπολογισμών. Οι αποκλίσεις αυτές τείνουν στο μηδέν με αυξανόμενο πλήθος σημαντικών ψηφίων που λαμβάνονται υπόψη στις αριθμητικές πράξεις.

114 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο..7 Ενισχυμένες δοκοί (Ομάδα Η7) α) Για την απεικονιζόμενη ενισχυμένη δοκό: q=k/m να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής (), (), (). β) Οι προκύπτουσες μέγιστες/ελάχιστες τιμές της ροπής κάμψης και των αξονικών δυνάμεων των ράβδων να συγκριθούν με τις αντίστοιχες τιμές των ακόλουθων τριών φορέων: β) Αμφιέρειστη δοκός ίσου μήκους: q=k/m H7/ β) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους αλλά με αγκύρωση των ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους q=k/m.8 β) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους με δύο κάθετες ράβδους και αγκύρωση των λοξών ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους. q=k/m

115 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Οι φορείς της Άσκησης Η7/ αποτελούν απλοποιημένα προσομοιώματα ενισχυμένων δοκών όπως αυτές που φαίνονται στις παρακάτω φωτογραφίες.

116 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Για την απεικονιζόμενη ενισχυμένη δοκό: 7 8 q=k/m διέλευση ράβδου χωρίς επαφή με δοκό.8 να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής (), () και να γίνει σύγκριση των μέγιστων/ελάχιστων αναπτυσσόμενων ροπών κάμψης και αξονικών δυνάμεων ράβδων με τις αντίστοιχες τιμές των φορέων (α) και (β) της Άσκησης Η7/. H7/ Ο παραπάνω φορέας αποτελεί υπεραπλουστευμένο προσομοίωμα κρεμαστής γέφυρας του τύπου της παρακάτω φωτογραφίας.

117 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Για την απεικονιζόμενη κρεμαστή γέφυρα: 9 7 q=k/m να υπολογιστούν και να σχεδιαστούν τα διαγράμματα των φορτίων διατομής (), () και να γίνει σύγκριση των μέγιστων/ελάχιστων αναπτυσσόμενων ροπών κάμψης και αξονικών δυνάμεων ράβδων με τις αντίστοιχες τιμές των φορέων (α) και (β) της Άσκησης Η7/. H7/ Ο παραπάνω φορέας αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα κρεμαστής γέφυρας με αγκύρωση στο στερεό έδαφος, όπως π.χ. η απεικονιζόμενη παλαιά γέφυρα (ittle Salmon rier bridge, US) 7

118 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση H7/ (α) Αρχική ενισχυμένη δοκός. R=k q=k/m. I θ. α. θ II..8 R 7. k tgθ.8.. θ. o sinθ. cosθ.9 α.8 cosθ.m Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης και αξονικών δυνάμεων ράβδων Έλεγχος : Τομή Ι: Τομή ΙI:,αριστ.. R.. R. R 7. R..9k 7.k.k k,δεξ Παρατήρηση: Παρά την ασύμμετρη φόρτιση, οι αξονικές δυνάμεις του συρμού ράβδων προκύπτουν συμμετρικές, αφού όπως γνωρίζουμε (Αβραμίδης, παράγρ. 7..Α) η οριζόντια έλξη Η στις ράβδους της αλυσίδας είναι σταθερή. Η=.9 cosθ=.k. Κόμβος : =.9k θ (=Ν ) θ =.9k 8.7k sinθ Ακραίες τιμές: ma=.9k, min=8.7k Β. Υπολογισμός φορτίων διατομής (), (), () της δοκού Για τον υπολογισμό των φορτίων διατομής της δοκού αποσπάται από αυτήν η ενισχυτική κατασκευή με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής και η επιρροή της επί της δοκού 8

119 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο αντικαθίσταται από τις δυνάμεις σύνδεσης έδρασης των ράβδων: q=k/m θ θ =7.k =.9k q=k/m =8.7k θ =.9k =.k.... Υπενθύμιση: Για μια ράβδο km, χωρίς αξονικά φορτία μεταξύ των κόμβων της, ισχύει πάντοτε km = mk. Ο υπολογισμός των φορτίων διατομής της παραπάνω δοκού γίνεται κατά τα γνωστά: Ροπές κάμψης Στα τμήματα και η ροπή μεταβάλλεται ως παραβολή ου βαθμού ενώ στα αφόρτιστα τμήματα και μεταβάλλεται γραμμικά.. q.,αριστ km,δεξ 7.km Τέμνουσες δυνάμεις Στα τμήματα και η τέμνουσα μεταβάλλεται γραμμικά, ενώ στα αφόρτιστα τμήματα και είναι σταθερή. Τμήμα : Τμήμα : q q k 7.k q k q k 9

120 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Τμήμα : k Τμήμα : 7...k Αξονικές δυνάμεις Ελλείψει αξονικών φορτίων μεταξύ των κόμβων,,, και η αξονική δύναμη σε κάθε ένα από τα τμήματα,, και είναι σταθερή. Στα δύο ακραία τμήματα και οι αξονικές δυνάμεις είναι μηδενικές λόγω Α Χ = και κύλισης στον κόμβο αντίστοιχα. Στα δύο μεσαία τμήματα και οι αξονικές δυνάμεις είναι αρνητικές και κατ απόλυτη τιμή ίσες με την οριζόντια έλξη Η, δηλαδή με την οριζόντια συνιστώσα των ράβδων και του συρμού της ενισχυτικής κατασκευής: Η=Ν cosθ=.k. Γ. Σχεδίαση διαγραμμάτων (), (), () της δοκού () [km] ma=7.. /8 =.7. / 8 =. 7. γόνατο () [k] () [k]

121 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Παρατηρούμε (βλ. γόνατα στο διάγραμμα ροπών κάμψης και άλματα στο διάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων) ότι η κατακόρυφη και οι δύο λοξές ράβδοι του υποστηρικτικού συστήματος ράβδων λειτουργούν ως οιονεί στηρίξεις, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται συνολικά ευμενέστερη κατανομή των ροπών κάμψης έναντι, π.χ. μιας απλής αμφιέρειστης δοκού (βλ. επόμενη περίπτωση (β)). Το γεγονός αυτό θα γίνει αμεσότερα αντιληπτό στις ασκήσεις που ακολουθούν. (β) Σύγκριση των ma και ma Ν με τα αντίστοιχα μεγέθη τρίων άλλων αμφιέρειστων φορέων ίσου μήκους (β) Αμφιέρειστη δοκός ίσου μήκους q=k/m.... Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης 7.k.k Παραμένουν ίδιες με εκείνες της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α), αφού η εξωτερική στήριξη δεν μεταβλήθηκε (αμφιέρειστη δοκός). Ροπές κάμψης Σημείο εμφάνισης της ma Σημείο μηδενισμού της =7.k Διάγραμμα Μ(): q=k/m = ma 7..m ma ma.km 7.km ma.km () [km] 7. / 8 =8.7. ma=. = 7. = 7. = Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη ροπή της απλής αμφιέρειστης δοκού είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μέγιστη ροπή της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α).

122 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο (β) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους αλλά με αγγύρωση των ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους q=k/m θ α I θ.8 o tgθ θ. sinθ.9 cosθ.98, α.8 cosθ.7m Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης 7.k.k Παραμένουν ίδιες με εκείνες της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α), αφού η εξωτερική στήριξη δεν μεταβλήθηκε (αμφιέρειστη δοκός). Αξονικές δυνάμεις ράβδων, δεξ Τομή I: 7. α k Λόγω της συμμετρίας του ενισχυτικού συστήματος ράβδων έχουμε: Ν =Ν =.8k. Κόμβος : = θ (=Ν θ ) =.k sinθ Ακραίες τιμές και σύγκριση με τις αντίστοιχες τιμές της ενισχυμένης δοκού (α): ma=.8k <.9k [λοξές ράβδοι του συρμού ανάρτησης ] min =. k < 8.7 k [ράβδος σύνδεσης ] Διαπιστώνουμε ότι οι εφελκυστικές αξονικές δυνάμεις στον συρμό ανάρτησης της δοκού με αγκύρωση των ράβδων στους ακραίους κόμβους είναι μικρότερες από εκείνες της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α) με αυτοαγκύρωση. Επίσης, μικρότερη κατ απόλυτη τιμή είναι η θλιπτική αξονική δύναμη στη ράβδο σύνδεσης. Ροπές κάμψης Ροπές κάμψης αναπτύσσονται, προφανώς, μόνο στο αμφιαρθρωτό τμήμα. Για τη μέγιστη ροπή παίρνουμε: q ma Διάγραμμα Μ(): () [km] km 7.km ma=

123 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη ροπή της ενισχυμένης δοκού με αγκύρωση της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους είναι σημαντικά μικρότερη από τη μέγιστη ροπή της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α) με αυτοαγκύρωση. (β) Ενισχυμένη δοκός ίσου μήκους με δύο κάθετες ράβδους και αγκύρωση των λοξών ράβδων της αλυσίδας στους ακραίους κόμβους = =7.k q=k/m =.k.8 Αξονικές δυνάμεις Η ενισχυμένη αυτή δοκός έχει επιλυθεί στον τόμο θεωρίας (βλ. Αβραμίδης, παράγρ. 7..). Από την επίλυση είχαν προκύψει για τις αξονικές δυνάμεις του ενισχυτικού συστήματος ράβδων οι παρακάτω ακραίες τιμές, οι οποίες συγκρίνονται με τις αντίστοιχες ακραίες τιμές της ενισχυμένης δοκού (α): ma=8.k >.9k [ράβδοι του συρμού ανάρτησης] min =.8 k < 8.7 k [ράβδοι σύνδεσης κάθετες στη δοκό] Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη εφελκυστική δύναμη στις ράβδους του συρμού ανάρτησης 7 της δοκού με αγκύρωση των ράβδων στους ακραίους κόμβους είναι λίγο μεγαλύτερη από τη μέγιστη εφελκυστική δύναμη στις λοξές ράβδους και της αρχικής ενισχυμένης δοκού (α) με αυτοαγκύρωση, ενώ η κατ απόλυτη μέγιστη τιμή θλιπτική δύναμη των δύο ράβδων σύνδεσης είναι κατά πολύ μικρότερη της θλιπτικής δύναμης της μοναδικής ράβδου σύνδεσης στην ενισχυμένη δοκό (α). Ροπές κάμψης Από την επίλυση είχε προκύψει το ακόλουθο διάγραμμα (): () [km] ma=. ma=.9 Όπως διαπιστώσαμε για την αρχική δοκό (α) με αυτοαγκύρωση (βλ. γόνατα στο διάγραμμα ροπών κάμψης), έτσι και εδώ, οι δύο κατακόρυφες ράβδοι του υποστηρικτικού συστήματος ράβδων λειτουργούν ως οιονεί στηρίξεις, μέσω των οποίων επιτυγχάνεται ευμενέστερη κατανομή των ροπών έναντι, π.χ. της απλής αμφιέρειστης δοκού (β). Για τη δεδομένη φόρτιση έχουμε δραστική μείωση της μέγιστης τιμής της ροπής στο αριστερά της άρθρωσης τμήμα της δοκού σε σχέση με την ενισχυμένη δοκό με αυτοαγκύρωση (.9km έναντι 7.km), ενώ στο δεξιά της άρθρωσης τμήμα η ροπή εμφανίζεται κατ απόλυτη τιμή αυξημένη (km έναντι 7.km). Για άλλες φορτίσεις, π.χ. για ομοιόμορφο φορτίο σε όλο το μήκος της δοκού, οι ροπές κάμψης μειώνονται και για το δεξιό τμήμα. Ο ενεργός αναγνώστης καλείται να τεκμηριώσει τον ισχυρισμό αυτόν με σύντομους υπολογισμούς.

124 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H7/.. I 7 ψ b R=k q=k/m α 7 II θ.. o tgθ θ.99 sinθ.9 cosθ.7 α.8 cosθ.8m o tgψ.8.. ψ.9 sinψ. cosψ.87 b.8 cosψ.m Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης. R. 7.k R.k Έλεγχος :. R. (Σύγκρ. Άσκηση Η7/) Β. Υπολογισμός δυνάμεων ράβδων 7 Τομή Ι: 7. R. α, αρι στ k.8 Κόμβος : 7 = 7 Κόμβος 7: k cosθ k sinθ sinψ.9 7.k cosψ. 7. cosθ cosψ 8.k Όπως γνωριζουμε (Αβραμίδης, παράγρ. 7..Α), παρά την ασυμμετρία του εξωτερικού φορτίου οι αξονικές δυνάμεις ενός συμμετρικού ενισχυτικού συστήματος ράβδων είναι συμμετρικές. Συνεπώς ισχύουν οι σχέσεις: ψ θ 7 7= 7 = 7 7 θ 8 = 8 θ = 7 7,, Όσον αφορά στη σύγκριση των ακραίων τιμών των αξονικών δυνάμεων των ράβδων του ενισχυτικού συστήματος έχουμε: 7 sinθ.9

125 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ma=7.k >.9k [φορέας (α) Άσκησης Η7/] > 8.k [φορέας (β) Άσκησης Η7/] > 8.7 k [φορέας (α) Άσκησης Η7/] min = 7. k >.8 k [φορέας (β) Άσκησης Η7/] Διαπιστώνουμε ότι τόσο η μέγιστη εφελκυστική αξονική δύναμη στον συρμό ράβδων όσο και η κατ απόλυτη τιμή μέγιστη θλιπτική δύναμη στις κάθετες στη δοκό ράβδους σύνδεσης είναι μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες δυνάμεις της ενισχυμένης δοκού (α) της Άσκησης Η7/. Η ίδια διαπίστωση ισχύει και για τις αξονικές δυνάμεις ma και min της ενισχυμένης δοκού (β) της Άσκησης Η7/. Γ. Υπολογισμός ροπών κάμψης Για τον υπολογισμό των ροπών κάμψης της δοκού αποσπάται από αυτήν το ενισχυτικό σύστημα ράβδων με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής (βλ. τομή ΙΙ) και η επιρροή του επί της δοκού αντικαθίσταται από τις δυνάμεις σύνδεσης έδρασης των ράβδων: = 7 = 8k Προσοχή: Οι αξονικές δυνάμεις Ν 7 και Ν 8 των λοξών ράβδων 7 και 8 δεν ενεργούν επί της δοκού και συνεπώς δεν εμφανίζονται στην παραπάνω τομή. b ψ =7.k.. Για τις ροπές παίρνουμε κατά τα γνωστά: 7. q. b,αριστ km Η τιμή αυτή είναι η ma στο τμήμα, αφού μεταξύ των σημείων και αφενός, και και αφετέρου δεν διέρχεται η τέμνουσα από το μηδέν. Η τεκμηρίωση του ισχυρισμού αυτού επαφίεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Στο τμήμα οι ροπές κάμψης μεταβάλλονται γραμμικά. Για τη μέγιστη τιμή στο τμήμα αυτό παίρνουμε:. 8 b, δεξ Διάγραμμα (): 7 =.k km q=k/m 8 = =7.k..k b =.k. ψ 8 = 8k () [km] γόνατο.7 Διαπιστώνουμε ότι οι μέγιστες ροπές κάμψης της δοκού είναι σημαντικά μεγαλύτερες από εκείνες των φορέων (α) και (β) της Άσκησης Η7/.

126 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Άσκηση H7/ H H I θ 9 θ R=k θ θ q=k/m θ θ θ H H θ H... H tgθ tgθ tgθ θ θ θ o.9. o o sinθ sinθ sinθ.77, cosθ.77.7, cosθ., cosθ.8.97 Α. Υπολογισμός αντιδράσεων στήριξης και αξονικών δυνάμεων ράβδων Από τη θεωρία γνωρίζουμε (βλ. Αβραμίδης, παράγρ. 7.) ότι, όταν οι συνδετήριες ράβδοι του ενισχυτικού συστήματος ράβδων είναι όλες κατακόρυφες και όταν τα εξωτερικά φορτία δρούν αποκλειστικά επί της δοκού, τότε η οριζόντια συνιστώσα Η όλων των αξονικών δυνάμεων των ράβδων του συρμού ανάρτησης έχει την ίδια σταθερή τιμή Η (εδώ των ράβδων 9, 97, 7, 8, 8 και ). Επίσης, γνωρίζουμε ότι εφόσον το ενισχυτικό σύστημα ράβδων είναι συμμετρικό, οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων του ενισχυτικού συστήματος θα είναι συμμετρικές ακόμη και αν το εξωτερικό φορτίο είναι ασύμμετρο. Συνεπώς, οι αντιδράσεις Α και Α στα σημεία και έχουν ίση και αντίθετη οριζόντια συνιστώσα Η. Επίσης, λόγω θ= ο, και η κατακόρυφη συνιστώσα τους θα πρέπει να είναι ίση με Η. Με αυτά τα δεδομένα παίρνουμε κατ αρχάς από τη συνθήκη ισορροπίας κατά Χ: H H Η ισορροπία ροπών ως προς τον κόμβο για ολόκληρο τον φορέα μας δίνει: H.. H Τομή Ι: H. 7., αριστ. H 7. R. H R. H. Από τις εξισώσεις () και () παίρνουμε: Η=.k, Α Ζ =8k. Η ισορροπία ροπών ως προς τον κόμβο για ολόκληρο τον φορέα μας δίνει: H.. R. H.. R. H.. Έλεγχος: Κόμβος 9: H H θ R 9 θ H 7k H {βλ. [], βασικές εξισώσεις του συρμού ράβδων (7..), (7..)} () ()

127 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο Κόμβος 7: 9 97 H H cosθ cosθ 79 = 97 θ sinθ sinθ H tgθ tg θ. 7 θ k.8 7.k k H cosθ k 7 79 sinθ 7 sinθ H tgθ tgθ k Κόμβος : 7 H θ θ 8 H Λόγω συμμετρίας του ενισχυτικού συστήματος ράβδων ισχύει: Ν 8 =Ν 7 H tgθ tgθ....k Διάγραμμα Ν(): () [k] 9 7. συμμ k 7k Συγκρίσεις ακραίων τιμών: <.9 k φορέας (α) Άσκησης Η7/ ma=7.7k < 8. k φορέας (β) Άσκησης Η7/ min =. k > 8.7k φορέας (α) Άσκησης Η7/ >.8k φορέας (β) Άσκησης Η7/ Διαπιστώνουμε ότι οι αξονικές δυνάμεις στις λοξές ράβδους του συρμού ανάρτησης είναι όλες εφελκυστικές και ότι η μέγιστη εφελκυστική δύναμη είναι αρκετά μικρότερη από την ma στις ράβδους του συρμού των ενισχυμένων δοκών (α) και (β) της Άσκησης Η7/. Παράλληλα διαπιστώνουμε ότι η κατ απόλυτη τιμή μέγιστη θλιπτική αξονική δύναμη αναπτύσσεται στους δύο «πυλώνες» 9 και, και ότι είναι αρκετά μεγαλύτερη από την min στις κάθετες στη δοκό ράβδους σύνδεσης των ενισχυμένων δοκών (α) και (β) της Άσκησης Η7/. Β. Υπολογισμός ροπών κάμψης της δοκού Για τον υπολογισμό των ροπών κάμψης της δοκού αποσπάται από αυτήν το ενισχυτικό σύστημα ράβδων με τη βοήθεια κατάλληλης διαχωριστικής τομής και η επιρροή του επί της δοκού αντικαθίσταται από τις δυνάμεις σύνδεσηςέδρασης των ράβδων: 7

128 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 9 7 q=k/m q Για τις ροπές παίρνουμε κατά τα γνωστά: 9. q..,αριστ km,δεξ km Διάγραμμα (): () [km] ma a =9.8 a ma =.7 b b =.7 / 8.. =9.. / 8 =. ma a b ma a b 9 q q 9 q q a b m m. 9.8km....7km Διαπιστώνουμε ότι η μέγιστη αναπτυσόμενη ροπή κάμψης (.7km) είναι σημαντικά μικρότερη τόσο από τη μέγιστη ροπή κάμψης 7.km στη δοκό του φορέα (α) της Άσκησης Η7/ όσο και από την κατ απόλυτη τιμή μέγιστη ροπή κάμψης km στη δοκό του φορέα (β) της Άσκησης Η7/. 8

129 ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο..8 Επίπεδα δικτυώματα (Ομάδα Η8) Για το απλό τριγωνικό συμμετρικό δικτύωμα του παρακάτω σχήματος (που αποτελεί απλοποιημένο προσομοίωμα ενός μικρού τμήματος του απεικονιζόμενου στη φωτογραφία πραγματικού συστήματος δικτυωμάτων) να υπολογιστούν οι αξονικές δυνάμεις των ράβδων α) με τη μέθοδο των (αποκλειστικά) κομβικών διαχωριστικών τομών, β) με τη μέθοδο τομών Ritter και γ) με τη βοήθεια των τύπων της ομόλογης δοκού. Χάριν απλούστευσης της διαδικασίας, να υπολογιστούν σε κάθε περίπτωση πρώτα οι τρεις αντιδράσεις στήριξης και να προσδιοριστούν οι τυχόν άτονες ράβδοι. H8/ k k k k k 8 O O O O D D D D V V V V V U U U U