ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ Κνύηξαο Μ Μπνύηηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

Δηαγσγή Κχξηα επηδίσμε ηεο Σηαηηηηθήο ΙΙ απνηειεί ν έιεγρνο ηαο ππόεεο ρεηηθά ε ηηο παξαέηξνπο ηεο θαηαλνήο θάπνηνπ ραξαθηεξηηηθνχ ελφο πιεπνχ Πην πγθεθξηέλα πλήσο: Υπνέηνπε φηη ην ραξαθηεξηηηθφ Φ ελφο πιεπνχ πνπ αο ελδηαθέξεη αθνινπεί θάπνηα γλσηή θαηαλνή F; ε άγλσηεο φσο παξαέηξνπο = k πρ θαλνληθή θαηαλνή N Με βάε έλα ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ ηνπ ραξαθηεξηηηθνχ απηνχ απφ ηνλ πιεπφ επηπνχε λα ειέγμνπε αλ ηρχεη θάπνηα ππφεε ρεηηθά ε ηηο παξαέηξνπο πρ λα ειέγμνπε αλ = ή > Πξηλ πεξάνπε ηελ ειέηε ηνπ παξαπάλσ πξνβιήαηνο γίλεηαη ηα χληνε επηθφπεε θάπνησλ βαηθψλ ελλνηψλ ηεο Σηαηηηηθήο πνπ α εσξνχληαη γλσηέο ηε πλέρεηα ΤΝΣΟΜΗ ΔΠΙΚΟΠΗΗ ΒΑΙΚΩΝ ΔΝΝΟΙΩΝ ΣΗ ΔΚΣΙΜΗΣΙΚΗ Βαηθνί νξηνί Οξηόο Τπραίν δείγα εγένπο λ απφ ηελ θαηαλνή F; ή ηε π ή ππ ; θαιείηαη ηα πιινγή αλεμάξηεησλ θαη ηφλνσλ αλη ή d ηπραίσλ εηαβιεηψλ Φ Φ Φ λ ~ F; ή ~ ; Οξηόο Γεηγαηνιεπηηθόο ρώξνο θαιείηαη ην χλνιν ησλ δπλαηψλ ηηψλ ηνπ δείγαηνο πρ αλ Φ R ηφηε ν δεηγαηνιεπηηθφο ρψξνο είλαη ν R λ Δπίεο παξαεηξηθόο ρώξνο Θ θαιείηαη ην χλνιν ησλ επηηξεπηψλ ηηψλ ησλ παξαέηξσλ πρ αλ = ηφηε ν παξαεηξηθφο ρψξνο είλαη ν R Οξηόο 3 Έησ ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ ~ F; Σηαηηηηθή ή δεηγαηηθή πλάξηεε θαιείηαη θάε πλάξηεε Τ = = Φ Φ Φ λ ησλ Φ Φ Φ λ πνπ δελ εμαξηάηαη απφ άγλσηεο παξαέηξνπο Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

Οη πιένλ πλήεηο ηαηηηηθέο πλαξηήεηο πνπ εθαλίδνληαη ε πξνβιήαηα ηεο Σηαηηηηθήο είλαη νη επφελεο: δεηγαηηθόο ένο m δεηγαηηθέο ξνπέο ηάμεσο r r r S δεηγαηηθή δηαπνξά R m{ } mn{ } δεηγαηηθό εύξνο Οξηόο 4 Δθηηήηξηα πλάξηεε ηεο παξαέηξνπ ή ησλ παξαέηξσλ ή ηαο παξαεηξηθήο πλάξηεεο g α θαιείηαη ία Τ = ε νπνία ρξεηνπνηείηαη γηα ηελ εθηίεε ηνπ ή ησλ ή ηνπ g ΟΙ ηηέο πνπ παίξλεη ηα ηαηηηηθή πλάξηεε α πξέπεη λα βξίθνληαη εληφο ηνπ παξαεηξηθνχ ρψξνπ Θ ηνλ νπνίν θηλείηαη ε παξάεηξνο ή εληφο ηνπ g αλ απηφ πνπ αο ελδηαθέξεη είλαη ε παξαεηξηθήο πλάξηεεο g Ιδηόηεηεο εθηηεηξηώλ Πξνθαλψο ία εθηηήηξηα πλάξηεε ΤΥ είλαη θαη απηή ία ηπραία εηαβιεηή θάε θνξά πνπ παίξλνπε έλα άιιν ηπραίν δείγα Υ ε Τ δίλεη δηαθνξεηηθή ηηή Δίλαη επίεο θαλεξφ φηη απφ έλα ηπραίν δείγα Υ πνξνχε λα θαηαθεπάνπε πνιιέο εθηηήηξηεο γηα ηα παξάεηξν πρ νη Φ / α πνξνχαλ λα πξνηανχλ σο εθηηήηξηεο ηνπ ένπ ελφο θαλνληθνχ πιεπνχ Τν εξψηεα είλαη πνηέο εσξνχληαη «θαιέο» ή πνηά είλαη ε «θαιχηεξε» απφ φιεο Γηαηεηηθά αλαέλνπε φηη ηα «θαιή εθηηήηξηα» Τ ηνπ α ιαβάλεη ηηέο α «γχξσ» απφ ην θαη β «θνληά» ην ε «εγάιε» πηαλφηεηα Γηα ην α απαηηνχε ε ηπραία εηαβιεηή λα έρεη έε ηηή ή «ρεδφλ» θαη γηα ην β απαηηνχε ε ηπραία εηαβιεηή λα έρεη «ηθξή» δηαπνξά Πρ αλ έρνπε ηξεηο εθηηήηξηεο 3 γηα ηε έε ηηή ελφο πιεπνχ ε πλαξηήεηο ππθλφηεηαο πηαλφηεηαο ππ ηεο νξθήο: Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

3 Τ Τ 3 Τ μ ηφηε α πξνηηήνπε ηελ Τ γηαηί παίξλεη ηηέο θνληά ην ε εγαιχηεξε πηαλφηεηα απφ φηη νη Τ Τ 3 Η παίξλεη ηηέο γχξσ απφ ην αιιά απηέο πνξεί λα δηαθέξνπλ αξθεηά απφ ην έρεη εγαιχηεξε δηαπνξά απφ ηελ Τ ελψ ε Τ 3 παίξλεη ηηέο πνπ είλαη αθξηά απφ ην αλ θαη έρεη ηθξή δηαπνξά έρεη έε ηηή αθξηά απφ ην 3 Αεξόιεπηεο εθηηήηξηεο Οξηόο 5 Μία εθηηήηξηα πλάξηεε ηεο g θαιείηαη αεξόιεπηε εθηηήηξηα αε εάλ E E g γηα θάε Η α εσξείηαη αππησηηθά αεξόιεπηε εάλ lm E g γηα θάε Δπίεο ε δηαθνξά bs E g θαιείηαη εξνιεςία ηεο εθηηήηξηαο Η εξνιεςία ηαο αε είλαη Δίλαη θαλεξφ φηη αο πθέξεη λα ρξεηνπνηήνπε αεξφιεπηεο ή ρεδφλ αεξφιεπηεο εθηηήηξηεο γηαηί δηαθνξεηηθά έρνπε ππνεθηίεε ή ππεξεθηίεε ηνπ g Αλ έρνπε έλα ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ ~ F; ε έε ηηή = θαη δηαπνξά = ηφηε απνδεηθλχνληαη νη αθφινπεο πξνηάεηο: Πξόηαε Ο δεηγαηηθόο ένο είλαη αε ηεο έεο ηηήο ε δηαπνξά V / Πξόηαε Ζ δεηγαηηθή δηαπνξά S είλαη αε ηεο δηαπνξάο Γηα ηε χγθξηε εηαμχ εθηηεηξηψλ δίλνληαη νη αθφινπνη νξηνί Οξηόο 6 Αλ Τ είλαη δχν αε ηεο g ε α θαιείηαη απνηειεαηηθόηεξε ηεο Τ εάλ ηρχεη φηη V V Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

4 Οξηόο 7 Αλ ία αε Τ = ΤΥ έρεη γηα θάε ηε ηθξφηεξε δηαπνξά εηαμχ φισλ ησλ αε ηνπ g πνπ πνξνχλ λα θαηαθεπαηνχλ απφ ην ηπραίν δείγα Υ ηφηε α θαιείηαη άξηηε ή αεξόιεπηε ννηόνξθα ειαρίηεο δηαπνξάο ΑΟΔΓ εθηηήηξηα ηνπ g Πξνθαλψο αλ Τ είλαη ΑΟΔΓ θαη Τ είλαη ηα άιιε αε ηνπ g ηφηε VΤ VΤ Σπλήσο πξνθεηέλνπ λα εθηηήνπε ην g σο βέιηηηε εθηηήηξηα εσξείηαη ε ΑΟΔΓ εθηηήηξηα αλ ππάξρεη Οξηόο 8 Αλ είλαη ηα εθηηήηξηα ηνπ g ε πνφηεηα mse E g V bs θαιείηαη έν ηεηξαγσληθό θάια ηεο απφ ηελ g Οξηόο 9 Αλ Τ είλαη δχν εθηηήηξηεο ηεο g ε α θαιείηαη απνηειεαηηθόηεξε ηεο Τ εάλ ηρχεη φηη mse mse Απφ έλα χλνιν εθηηεηξηψλ ηνπ g θαιχηεξε εσξείηαη απηή πνπ έρεη ην ηθξφηεξν έν ηεηξαγσληθφ θάια 4 πλέπεηα Μηα αθφε ηδηφηεηα πνπ δηαηεηηθά αλαέλνπε λα έρεη ηα «θαιή» εθηηήηξηα είλαη απηή ηεο πλέπεηαο Μηα πλεπήο εθηηήηξηα βειηηψλεηαη ε ηελ αχμεε ηνπ εγένπο ηνπ δείγαηνο θαη γηα πνιχ εγάιν δείγα γίλεηαη πξαθηηθά ίε ε ηελ ππφ εθηίεε πνφηεηα Σπγθεθξηέλα δίλεηαη ν αθφινπνο νξηφο Οξηόο Μία εθηηήηξηα Τ λ = λ ηαο παξαεηξηθήο πλάξηεεο g θαιείηαη σλεπής αλ ηρύεη όηη lm g ε θαώο ύγθιηε θαηά πηαλόηεηα γηα θάε ε > δειαδή έρνπε g Έλα απιφ θξηηήξην γηα ηε πλέπεηα ηαο εθηηήηξηαο δίλεηαη ηελ αθφινπε πξφηαε Πξόηαε 3 Μία εθηηήηξηα Τ λ = λ ηαο παξαεηξηθήο πλάξηεεο g είλαη σλεπής αλ ηρύνπλ νη παξαθάησ πλήθεο lm E g δειαδή E g lm V Γηα παξάδεηγα ν δεηγαηηθφο ένο ελφο ηπραίνπ δείγαηνο Φ Φ Φ λ είλαη πλεπήο εθηηήηξηα ηνπ ένπ ησλ Φ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

5 5 Η ένδνο έγηηεο πηαλνθάλεηαο Η πην γλσηή ένδνο εχξεεο ηαο εθηηήηξηαο γηα ηηο παξαέηξνπο ηαο θαηαλνήο F είλαη ε ένδνο έγηηεο πηαλνθάλεηαο Η ένδνο απηή είλαη αξθεηά ηρπξή δηφηη ε ία ρεηηθά απιή δηαδηθαία νδεγεί ε εθηηήηξηεο ε πνιχ θαιέο ηδηφηεηεο Θεσξνχε έλα ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ απφ ία θαηαλνή ε πλάξηεε π ή ππ ; πνπ εμαξηάηαη απφ ηηο παξαέηξνπο = k θαη επηπνχε λα εθηηήνπε ην Οξηόο Σπλάξηεε πηαλνθάλεηαο ή πηαλνθάλεηα kelhood ηνπ δείγαηνο λ θαιείηαη ε από θνηλνύ ππ ή π ησλ λ εσξνύελε σο πλάξηεε ηνπ δειαδή ε ; ; Οξηόο Μία ηαηηηηθή πλάξηεε ˆ θαιείηαη εθηηήηξηα έγηηεο πηαλνθάλεηαο ΔΜΠ ή ME ησλ παξαέηξσλ αλ εγηηνπνηεί ηελ πηαλνθάλεηα δειαδή αλ ηρύεη όηη ˆ su Σπλήσο αληί λα αλαδεηνχε ην εείν εγίηνπ ηεο είλαη πην εχθνιν λα αλαδεηνχε ην εείν εγίηνπ ηεο l = ln έρνπλ ην ίδην εείν εγίηνπ δηφηη ε πλάξηεε ln είλαη αχμνπα Αλ k = δει = θαη ε πλάξηεε l παξαγσγίδεηαη ε νιφθιεξν ηνλ παξαεηξηθφ ρψξν Θ θαη Θ αλνηθηφ δηάηεα πνξνχε λα βξνχε ην εείν εγίηνπ έα απφ ηε ιχε ηεο εμίσεο l = ειέγρνληαο παξάιιεια φηη ε δεχηεξε παξάγσγνο l < Αμίδεη λα αλαθέξνπε φηη ππφ πγθεθξηέλεο πλήθεο ναιφηεηαο ηεο απνδεηθλχεηαη γεληθά φηη αππησηηθά γηα ˆ λ ηρχεη ~ N I φπνπ I = E l πιεξνθνξία θαηά Fsher Γειαδή ε ΔΜΠ ηνπ αθνινπεί αππησηηθά θαλνληθή θαηαλνή έε ηηή δει είλαη αππησηηθά αεξφιεπηε θαη δηαπνξά ίε ε ηνλ αληίηξνθν ηεο πιεξνθνξίαο δει είλαη αππησηηθά ΑΟΔΓ εθηηήηξηα αθνχ ε δηαπνξά ηεο πγθιίλεη ην θξάγα Crmer-Ro Αληίηνηρα απνηειέαηα ηρχνπλ θαη γηα k δειαδή φηαλ = k Σηελ πεξίπησε απηή ε ΔΜΠ ηνπ πλήσο ιαβάλεηαη απφ ηελ ιχε ηνπ πηήαηνο k εμηψεσλ l l k Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

6 δεδνέλνπ φηη ε l είλαη παξαγσγίηε ην Θ θαη Θ αλνηθηφ χλνιν ηνπ k R Καη πάιη ππφ πγθεθξηέλεο πλήθεο ναιφηεηαο ηεο ε ΔΜΠ αθνινπεί αππησηηθά πνιπδηάηαηε θαλνληθή θαηαλνή ε δηάλπα έσλ ηηψλ δει είλαη αππησηηθά αεξφιεπηε θαη πίλαθα δηαπνξάο ηνλ αληίηξνθν ηνπ kk πίλαθα πιεξνθνξίαο δει είλαη αππησηηθά ΑΟΔΓ εθηηήηξηα Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

ΒΑΙΚΔ ΔΝΝΟΙΔ ΔΛΔΓΥΩΝ ΤΠΟΘΔΔΩΝ Δηαγσγή 7 Σε αξθεηέο εθαξνγέο παξνπηάδεηαη ε αλάγθε ιήςεο απνθάεσλ ρεηηθά ε ηελ θαηαλνή F ηνπ πιεπνχ Θα πξέπεη βάεη ηνπ ηπραίνπ δείγαηνο Φ Φ Φ λ ~ F; λα απνθαίνπε αλ επηαεί ή φρη ία ππφεε ρεηηθά ε ηελ θαηαλνή F ή ηηο παξαέηξνπο Γηα παξάδεηγα έινπε λα ειέγμνπε αλ ν ένο ηνπ πιεπνχ είλαη ίνο ε ή εγαιχηεξνο έινπε λα ειέγμνπε αλ ηα παξάεηξνο είλαη ίε ε ή φρη έινπε λα ειέγμνπε αλ έλα πννηφ είλαη ηθξφηεξν ή εγαιχηεξν ηνπ 5% θνθ Πξηλ πξνρσξήνπε ηνλ νξηφ ησλ βαηθψλ ελλνηψλ ησλ ειέγρσλ ππνέεσλ αο δνχε ηηο έλλνηεο απηέο έα απφ έλα απιφ παξάδεηγα Παξάδεηγα Έλα εξγνηάην παξάγεη θάπνηεο πθεπέο θαη θάε ψξα γίλεηαη έιεγρνο ησλ λ πθεπψλ ηεο σξηαίαο παξαγσγήο Η παξαγσγηθή δηαδηθαία εσξείηαη φηη βξίθεηαη έα ηηο πξνδηαγξαθέο ηεο αλ ε πηαλφηεηα παξαγσγήο ειαηησαηηθήο πθεπήο είλαη 5% Σε πεξίπησε πνπ ην απμεεί > 5% εσξείηαη φηη ππάξρεη θάπνην πξφβιεα ηααηά ε παξαγσγή θαη αλαδεηνχληαη ηα αίηηα Δπνέλσο α πξέπεη λα θαηαθεπάνπε έλαλ έιεγρν ψηε λα θξίλνπε αλ ηρχεη = 5% ή 5% νπφηε πλερίδεηαη ε παξαγσγή ή > 5% φπνηε δηαθόπηεηαη ε παξαγσγή Σπλήσο θαινχε ηηο παξαπάλσ βαηθή ή εδεληθή ππφεε Η θαη ελαιιαθηηθή ππφεε Η αληίηνηρα Θέηνπε Φ = αλ ε -νλάδα βξέεθε ειαηησαηηθή θαη δηαθνξεηηθά = λ Γηα λα απνθαίνπε αλ ηρχεη ε ία ή ή άιιε ππφεε πνξνχε λα βαηηνχε ην δεηγαηηθφ πννηφ Σπγθεθξηέλα παξαηεξνχε φηη: Αλ ηρχεη φηη Η : = 5% ηφηε είλαη πνιχ πηαλφ αλ ππνινγίνπε ηε δεηγαηηθή έε ηηή λα βξεεί θνληά ην 5% δειαδή 5% ή λα είλαη θαη ιίγν ηθξφηεξν απφ ην 5% Αλ ηρχεη φηη Η : > 5% ηφηε είλαη πνιχ πηαλφ αλ ππνινγίνπε ηε δεηγαηηθή έε ηηή λα ιάβεη ηηή πνιχ εγαιχηεξε απφ ην 5% δειαδή >> 5% Γειαδή ηα εγάιε ρεηηθά ηηή ηνπ νδεγεί ην ππέξαα φηη άιινλ δελ ηρχεη ε Η Δπνέλσο γηα λα απνθαίνπε αλ = 5% ή > 5% θαίλεηαη ινγηθφο ν θαλφλαο: - Αλ «ηθξή» ηηή ηνπ ηφηε άιινλ ηρχεη φηη = 5% δερόαηε ηελ Η - Αλ > «εγάιε» ηηή ηνπ ηφηε άιινλ ηρχεη φηη > 5% απνξξίπηνπε ηελ Η Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

8 γηα θάπνην θαηψθιη ην νπνίν απνέλεη λα θανξηηεί Παξαηεξνχε φηη αλ πάξνπε εγάιν πρ % ή % ππάξρεη ν θίλδπλνο λα δερνχε φηη = 5% ελψ ηελ πξαγαηηθφηεηα ηρχεη φηη > 5% πρ = 7% ελψ αλ πάξνπε ηθξφ πρ 5% ηφηε ππάξρεη ν θίλδπλνο λα απνξξίςνπε φηη = 5% δηφηη πρ = 6% ελψ ηελ πξαγαηηθφηεηα ηρχεη = 5% Γεληθά αλάινγα ε ηελ απφθαε πνπ α πάξνπε απνδνρή ε απφξξηςε ηεο Η ελδέρεηαη λα θάλνπε έλα απφ ηα εμήο θάιαηα: - Λαλαέλε απόξξηςε ηεο Η : = 5% φηαλ > ελψ = 5% : Σθάια ηύποσ Ι - Λαλαέλε απνδνρή ηεο Η : = 5% φηαλ ελψ > 5%: Σθάια ηύποσ ΙΙ Οη πηαλφηεηεο πξαγαηνπνίεεο ησλ παξαπάλσ θαιάησλ είλαη [I] = θάια ηύπνπ Ι = > ηρύεη ε Η = > = 5% [II] = θάια ηύπνπ ΙΙ = ηρύεη ε Η = > 5% Πρ αλ λ = ηφηε πνξνχε λα ππνινγίνπε ηηο [I] [II] γηα δηάθνξεο ηηέο ησλ λ δηφηη ε ηπραία εηαβιεηή λ = + + λ αθνινπεί ηε δησλπηθή θαηαλνή bλ = 5% Η = 75% Η = % Η = 5% [I] = 384 [II] = 3 [II] = 57 = 6% [I] = 34 [II] = 37 [II] = 7 = 7% [I] = 8 [II] = 5 [II] = 6 = 8% [I] = 63 [II] = 664 [II] = 3 = 9% [I] = 8 [II] = 783 [II] = 45 = % [I] = [II] = 87 [II] = 583 Γηα παξάδεηγα αλ ένπε = 8% θαη ηρχεη φηη = 5% Η ηφηε παίξλνπε ιάνο απφθαε ιαλαέλε απφξξηςε ηεο Η θάια ηχπνπ Ι ε πη [I] = 63 Αλ ηρχεη φηη = % Η ηφηε παίξλνπε ιάνο απφθαε ιαλαέλε απνδνρή ηεο Η θάια ηχπνπ ΙΙ ε [II] = 3 Απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα παξαηεξνχε φηη φν απμάλεηαη ην ηφν εηψλεηαη ε [I] αιιά παξάιιεια απμάλεηαη ε [II] Δπνέλσο δελ ππάξρεη πνπ λα ειαρηηνπνηεί ηηο πηαλφηεηεο [I] [II] ηαπηφρξνλα Γηα ηνλ ιφγν απηφ πλήσο δίλεηαη εγαιχηεξε βαξχηεηα ηελ απνθπγή ηνπ θάιαηνο ηχπνπ Ι δειαδή έινπε πάληα λα απνξξίπηνπε ηελ Η ιαλαέλα Πην πγθεθξηέλα απαηηνχε ε [I] λα είλαη ηθξή πλήσο [I] = % ή 5% Γειαδή πξνθανξίδνπε ηελ πηαλφηεηα [I] θαη βξίθνπε ην πνπ δίλεη ηε πγθεθξηέλε [I] Αλ πρ έινπε [I] 6% θαη λ = ηφηε α πξέπεη λα πάξνπε = 8% Σε απηή ηελ πεξίπησε Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

9 - Αλ 8 ηφηε δετόαηε ηελ Η : = 5% - Αλ > 8 ηφηε απορρίπηοσε ηελ Η : = 5% έλαληη ηεο : > 5% Ο παξαπάλσ θαλφλαο νδεγεί ε ιαλαέλε απφξξηςε ηεο δειαδή δηαθνπή ηεο παξαγσγηθήο δηαδηθαίαο ρσξίο ιφγν lse lrm ην 6% πεξίπνπ ησλ ειέγρσλ Σν γεληθό πξόβιεα: ηαηηηηθέο ππνέεηο θάιαηα ηρύο Αο δνχε ην παξαπάλσ πξφβιεα ηε γεληθφηεξή ηνπ νξθή Έησ ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ ~ F; θαη έησ φηη επηπνχε λα ειέγμνπε ηελ ππφεε : Θ εδεληθή ή βαηθή ππφεε έλαληη ηεο : Θ ελαιιαθηηθή ππφεε φπνπ Θ Θ είλαη ππνχλνια ηνπ παξαεηξηθνχ ρψξνπ Θ χλνιν επηηξεπηψλ ηηψλ ησλ άγλσησλ παξαέηξσλ ελψ θπηθά Θ Θ = ηα Θ Θ είλαη μέλα Σην Παξάδεηγα είραε Φ Φ Φ λ ~ b δειαδή θαηαλνή Bernoull ε παξάεηξν θαη : {5} ε : 5 ] Μία ππφεε Ζ : Θ θαιείηαη απιή αλ είλαη ηεο νξθήο Θ ={ } Γηαθνξεηηθά θαιείηαη ύλεηε Γηα παξάδεηγα ε Ζ : = 5 είλαη απιή ελψ ε : > 5 είλαη χλεηε Δπίεο ία ππφεε θαιείηαη ολόπιεσρε αλ είλαη ηεο νξθήο : > ή ηεο νξθήο : < θαη αθίπιεσρε αλ είλαη ηεο νξθήο : < ή > δει ε πην πλεηέλε πεξίπησε είλαη ε : < ή > δει νπφηε α γξάθνπε : Φξεηνπνηψληαο ην ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ θαηαθεπάδνπε ία δηαδηθαία ειέγρνπ ηεο παξαπάλσ ππφεεο Σπγθεθξηέλα ρσξίδνπε ην δεηγαηνιεπηηθφ ρψξν Ω ην χλνιν ησλ δπλαηψλ ηηψλ ηνπ δείγαηνο ε δχν μέλα ππνχλνια Α θαη Κ ΑΚ=Ω έηη ψηε - αλ Υ = Φ Φ Φ λ Κ απορρίπηοσε ηελ : Θ - αλ Υ = Φ Φ Φ λ Α δετόαηε ηελ : Θ Η πεξηνρή Κ θαιείηαη θρίηε περηοτή ή περηοτή απόρρηυες ηεο Ζ ελψ ε πεξηνρή Α θαιείηαη περηοτή αποδοτής ηεο εδεληθήο ππφεεο Ζ Η πεξηνρή απφξξηςεο θανξίδεηαη απφ ηελ ηηή θαηάιιειεο ηαηηηηθήο πλάξηεεο Τ = ΤΥ θαη πλήσο είλαη ηεο νξθήο: K: > θαη άξα A: Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

ην παξαπάλσ παξάδεηγα K: > A: Αλάινγα ηψξα ε ηελ απφθαε πνπ α πάξνπε είλαη πηαλφ λα πξνθχςεη έλα απφ ηα εμήο δχν θάιαηα: - θάια ηύπνπ Η: απφξξηςε ηεο ελψ ηρχεη ε - θάια ηύπνπ ΗI: απνδνρή ηεο ελψ ηρχεη ε Η πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ Η θαη ΗΗ αληίηνηρα είλαη [I] = θάια ηύπνπ Η = Κ = > [ΗI] = θάια ηύπνπ ΗΗ = Α = Δπίεο ε πνφηεηα π = θάια ηύπνπ ΗΗ θαιείηαη ητύς ηοσ ειέγτοσ θαη φπσο α δνχε γεληθά εμαξηάηαη απφ ηηο άγλσηεο παξαέηξνπο Παξαηεξνχε φηη ε ηρχο ηνπ ειέγρνπ ηνχηαη ε ηελ πηαλόηεηα νξήο απόξξηςεο ηεο Ζ : π = θάια ηύπνπ ΗΗ = Α = K Σηνλ επφελν πίλαθα δίλνληαη ηα δπλαηά απνηειέαηα ελφο ειέγρνπ Απόθαε Φσηθή θαηάηαε ηη ητύεη πραγαηηθά Απνδνρή ηεο Η Απόξξηςε ηεο Η Η νξή Οξή απόθαε Σθάια ηύπνπ Η Η όρη νξή Σθάια ηύπνπ ΗI Οξή απόθαε Απνέλεη λα θανξίνπε ηελ θξίηε πεξηνρή Κ θαη απφ απηήλ ηελ Α αθνχ Α = Ω Κ Αλ πρ είλαη ηεο νξθήο > α πξέπεη λα βξνχε θαηάιιειε θαη λα πξνδηνξίνπε θαη ην Παξαηεξνχε φηη νη [I] [IΗ] εμαξηψληαη απφ ηελ επηινγή ηεο πεξηνρήο K θαη άξα α ήηαλ ινγηθφ λα αλαδεηήνπε ηελ Κ πνπ ηηο ειαρηηνπνηεί Όπσο φσο δηαπηηψαε θαη ην Παξάδεηγα ία επηινγή ηεο θξίηεο πεξηνρήο πνπ εηψλεη ηελ [I] παξάιιεια απμάλεη ηελ [IΗ] Σπλήσο αο ελδηαθέξεη πεξηφηεξν λα ελ απορρίυοσε ιαλαέλα ηελ θαη πλεπψο α δεηάε ε θξίηε πεξηνρή Κ λα είλαη έηη ψηε λα ηρχεη θάια ηύπνπ Η = > θαη ε πηαλφηεηα Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

λα είλαη ε ειάρηηε δπλαηή θάια ηύπνπ ΗΗ = Σπλήσο επηιέγνπε = 5 ή = Αλ έρνπε πξνδηνξίεη ηε θαη έρνπε πξνεπηιέμεη ην ην νπνίν θαιείηαη επίπεδν εαληηθόηεηαο ηνπ ειέγρνπ πνξνχε λα πξνδηνξίνπε θαη ην Σπγθεθξηέλα αλ πβνιίνπε ε F Ζ θαη ε πεξηνρή απφξξηςεο ηεο Η είλαη ηεο νξθήο > ηφηε α πξέπεη ηε πλάξηεε θαηαλνήο ηεο Τ φηαλ ηρχεη ε [Ι] > F F F φπνπ ε F πβνιίαε ην άλσ -εείν ηεο θαηαλνήο ηεο Τ όηαλ ηρύεη ε Ζ Σπλήσο ην ιαβάλεηαη ίν ε ηελ παξαπάλσ πνφηεηα γηα λα εμαθαιίνπε ειάρηηε [ΙI] Γειαδή ηειηθά απνξξίπηνπε ηελ Ζ φηαλ F Παιαηφηεξα ππήξραλ πίλαθεο ε ηηέο ησλ άλσ -εείσλ γηα πγθεθξηέλεο θαηαλνέο θαη = % % 5% Σήεξα ηελ πξάμε ν έιεγρνο γίλεηαη ηνδχλαα έσ Η/Υ ρξεηνπνηψληαο ην -vlue ή sgnne vlue ην νπνίν α εμεηάνπε ε επφελε παξάγξαθν Σηνλ επφελν πίλαθα δίλνληαη ηα δπλαηά απνηειέαηα ελφο ειέγρνπ αδί ε ηνπο πβνιηνχο πνπ έρνπε εηάγεη γηα ηα θάιαηα θαη ηηο πηαλφηεηεο σηήο απφθαεο Απόθαε Φσηθή θαηάηαε ηη ητύεη πραγαηηθά Η νξή Απνδνρή ηεο Η Απόξξηςε ηεο Η Οξή απόθαε Απνδ Σθάια ηύπνπ Η Απόξ Η όρη νξή Σθάια ηύπνπ ΗI Απνδ = β Οξή απόθαε Απόξ Ζ = β = π Υπνγξαίδεηαη ε απηφ ην εείν φηη νη πβνιηνί πνπ ρξεηνπνηνχε δελ ππνδειώλνπλ δεεπέλε πηαλόηεηα δηφηη ηελ θιαηθή ηαηηηηθή νη ππνέεηο Ζ Ζ δελ απνηεινχλ ελδερφελα Οη πβνιηνί απηνί ρξεηνπνηνχληαη γηα λα ππνδεισεί ε θαηαλνή απφ ηελ νπνία πξνέξρεηαη ην δείγα φηαλ ηρχεη ε θαη ε Η αληίηνηρα Θα ήηαλ ίσο σηφηεξν λα γξάθνπε θαη αιιά ηελ πλέρεηα α εμαθνινπήνπε λα ρξεηνπνηνχε γηα ιφγνπο απιφηεηαο ηνπο πβνιηνχο θαψο επίεο θαη ηα χβνια Δ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

Δ αληί E θαη E γηα λα δειψνπε ηε έε ηηή ησλ αληίηνηρσλ ηπραίσλ εηαβιεηψλ φηαλ ηρχεη ε θαη ε Η αληίηνηρα Αμίδεη εδψ λα αλαθέξνπε θαη ηελ επφελε εξελεία ηεο πηαλφηεηαο θάιαηνο ηχπνπ Ι Έησ φηη ρξεηνπνηνχε έλαλ έιεγρν ε επίπεδν εαληηθφηεηαο θαη φηη ε εδεληθή ππφεε είλαη αιεήο Τφηε απφ φια ηα δείγαηα εγένπο λ πνπ πνξνχε λα πγθεληξψνπε απφ ηνλ πιεπφ έλα πννηφ ίν ε ην πνιχ α νδεγήνπλ ε ηηή ηεο ηαηηηηθήο πλάξηεεο ειέγρνπ ηέηνηα πνπ λα αλαγθανχε λα απνξξίςνπε ηε εδεληθή ππφεε ελ πξνθεηέλσ εθαιέλα Σε έλαλ έιεγρν ππνέεσλ απηφ πνπ αο ελδηαθέξεη πεξηφηεξν είλαη λα δηαηεξεεί ηθξή ε [I] θαη γηα απηφ απαηηνχε [I] Κάησ απφ απηφ ηνλ πεξηνξηφ ε [II] πνξεί λα είλαη ηθξή α πνξνχε φσο θαη λα πάξεη εγάιεο ηηέο θάηη ην νπνίν είλαη θπηθά αλεπηχεην Γηα ην ιφγν απηφ - αλ ΥΚ ιέε φηη «απνξξίπηνπε ηελ Ζ» ε πη ιάνπο - αλ ΥΑ πλήσο ιέε φηη «δελ έρνπε αξθεηά ηνηρεία ώηε λα απνξξίςνπε ηελ Ζ» Απνθεχγνπε δειαδή λα πνχε φηη «δερφαηε ηελ Ζ» δηφηη ε πηαλφηεηα ιάνπο [II] πνξεί λα είλαη εγάιε Παξάδεηγα Έησ φηη έρνπε έλαλ πιεπφ N δειαδή ην ραξαθηεξηηηθφ ηνπ πιεπνχ πνπ αο ελδηαθέξεη αθνινπεί θαλνληθή θαηαλνή ε έε ηηή θαη δηαπνξά θαη έινπε λα ειέγμνπε ηελ ππφεε : = έλαληη ηεο : = Δπηιέγνπε ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ απφ ηνλ πιεπφ απηφ θαη απνθαίδνπε λα ρξεηνπνηήνπε ηελ v φηαλ ηρχεη ε : = ηόηε ~ Ν Παξαηεξνχε φηη φηαλ ηρχεη ε : = ηόηε ε Τ ιαβάλεη «εγάιεο» ηηέο αθνινπεί ηελ θαηαλνή Ν ηα παξαπάλσ ηρχνπλ δηφηη φηαλ ~ Ν ηφηε ~ Ν /λ Δπνέλσο είλαη ινγηθφ λα α- πνξξίπηνπε ηελ Η φηαλ Τ > Σην αθφινπν ρήα απεηθνλίδεηαη ε νξθή ηεο ππ ηεο ππφ ηελ Η θαη ππφ ηελ θαψο θαη ε πεξηνρή απφξξηςεο Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

3 [ΙΙ] [Η] = Γηα λα έρνπε [I] = α πξέπεη πεξηνρή απνδνρήο ηεο Ζ πεξηνρή απόξξηςεο ηεο Ζ - Φ z φπνπ ε Φ πβνιίδεηαη ε θ ηεο N θαη ε z πβνιίδνπε ην άλσ -εείν ηεο ηππνπνηεέλεο θαλνληθήο θαηαλνήο βιέπε αθφινπν ρήα Τειηθά ν έιεγρνο α είλαη ηεο νξθήο: - Αλ > z ηφηε απνξξίπηνπε ηελ Η - Αλ z ηφηε δελ απνξξίπηνπε ηελ Η [ΗI] ηε πγθεθξηέλε πεξίπησε α είλαη [ II] z z ~ N ~ N z ε νπνία εηψλεηαη φν απμάλεηαη ην έγενο ηνπ δείγαηνο Η ηρχο α είλαη ίε ε π = [II] Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

4 Γηα [I] = = 5% πξνθχπηεη Φ - z 645 θαη παίξλνπε ηηο επφελεο ηηέο γηα ηελ πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ ΙΙ λ [II] 5 7737 645983 5 948 3483 5 39685 Έησ ηψξα φηη πήξαε πγθεθξηέλν δείγα εγένπο λ = 9 θαη θαηαγξάθεθαλ νη ηηέο 45 54 8 3 888 48 977 49 5 Οη πγθεθξηέλεο ηηέο ηνπ δείγαηνο εηά ηελ πξαγαηνπνίεε ηνπ ηπραίνπ πεηξάαηνο δεηγαηνιεςία δελ εσξνχληαη ηπραίεο εηαβιεηέο είλαη γλσηέο θαη πλήσο πβνιίδνληαη ε λ πξηλ ηελ πξαγαηνπνίεε ηνπ ηπραίνπ πεηξάαηνο πβνιίδνληαη ε Φ Φ Φ λ δηφηη ηφηε εσξνχληαη ηπραίεο εηαβιεηέο Όνηα ν δεηγαηηθφο ένο θαη ε ηηή ηεο απφ ηα πξαγαηηθά δεδνέλα λ πλήσο πβνιίδνληαη ε θαη t = Τ λ =Τ αληίηνηρα Απφ ην παξαπάλσ δείγα ππνινγίδνπε ηψξα φηη 66 θαη t 9833 ην νπνίν είλαη εγαιχηεξν ηνπ = z = 645 νπφηε ην δείγα πξνέξρεηαη απφ ηελ πεξηνρή Κ Δπνέλσο απνξξίπηνπε ηελ Η : = έλαληη ηεο Η : = ε επίπεδν εαληηθφηεηαο = 5% [I] = 5% [II] = z 877% Παξαηεξνχε φηη απφ ην πγθεθξηέλν δείγα ε έιαβε ηελ ηηή t =Τ = 9833 Έλα ελδηαθέξνλ θαη γφλην εξψηεα εδψ είλαη ην εμήο: πφν πηαλή είλαη ηα ηέηνηα ηηή ηεο θαη αθφε πην «αθξαία» απφ απηή φηαλ ηρχεη ε Η ; Η πηαλφηεηα απηή είλαη t Η = > 9833 Η = Φ9833 366 ην πνξεί λα γίλεη «>» δηφηη ε Τ είλαη πλερήο ηπραία εηαβιεηή Μπνξεί λα εσξεεί φηη ε παξαπάλσ ηηή εθθξάδεη ηελ πηαλόηεηα λα εθαληηεί ην δείγα πνπ πήξαε ελώ ηρύεη ε Η Μπνξνχε επνέλσο λα πνχε φηη αλ ηρχεη ε Η παίξλνπε έλα ηέηνην δείγα φιηο ην 3% πεξίπνπ ησλ πεξηπηψεσλ Η παξαπάλσ πνφηεηα θαιείηαη -vlue ή sgnne vlue ηνπ δείγαηνο Θα εμεηάνπε γεληθφηεξα ηελ έλλνηα απηή ηελ αθφινπε παξάγξαθν Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

5 3 -vlue Αλ ε πεξηνρή απφξξηςεο ηεο Ζ είλαη ηεο νξθήο > ηφηε σο -vlue ή sgnne vlue ησλ ηηψλ ελφο πγθεθξηέλνπ δείγαηνο λ νξίδεηαη ε ηηή vlue t F t φπνπ t = Τ λ είλαη ε ηηή ηεο ε βάε ην δείγα λ Τν vlue πνξεί λα εσξεεί φηη εθθξάδεη ηελ πηαλφηεηα λα πάξνπε ηελ ηηή t θαη αθόε πην «αθξαί» από απηήλ ελώ ηρύεη ε Ζ Σπλήσο ε είλαη πλερήο ηπραία εηαβιεηή νπφηε πνξεί λα εσξεεί φηη έρνπε «>» έα ηελ παξαπάλσ πηαλφηεηα Γηαηεηηθά αλ ην -vlue είλαη «θνληά» ην ηφηε ππεξαίλνπε φηη είλαη «απίαλν» δεδνέλεο ηεο Ζ λα εθαληηεί ην πγθεθξηέλν δείγα λ θαη φπσο είλαη θπηθφ θηάλνπε ην ππέξαα φηη άιινλ δελ πξέπεη λα ηρχεη ε Ζ Γηα «ηθξφ» ινηπφλ -vlue είλαη ινγηθφ λα απνξξίπηνπε ηελ Τη ρέε φσο έρεη απηή ε απφξξηςε ε ηελ απφξξηςε πνπ γίλεηαη ε βάε ηελ θξίηε πεξηνρή πνπ είδαε παξαπάλσ δει φηαλ t > ; Σρεηηθά παξαηεξνχε φηη t t vlue Δπνέλσο αληί λα εμεηάδνπε αλ t ηνδχλαα πνξνχε λα εμεηάδνπε αλ ηρχεη ε αληφηεηα -vlue< Δηδηθφηεξα πνξνχε λα απνθαίδνπε ε βάε ηνλ εμήο θαλφλα βιέπε θαη δηπιαλφ ρήα - αλ ην -vlue < : απνξξίπηνπε ηελ Ζ ελψ - αλ -vlue : δελ απνξξίπηνπε ηελ Ζ vlue vlue Καλφλαο απφθαεο ε βάε ηελ ηηή ηνπ -vlue ελφο ειέγρνπ Αλ ην -vlue είλαη πάξα πνιχ ηθξφ πρ ηφηε απνξξίπηνπε ηελ Ζ ρσξίο επηθπιάμεηο ελψ αλ ην -vlue είλαη ρεηηθά ηθξφ πρ «θνληά» ην 45 ε = 5 ηφηε λαη ελ απνξξίπηνπε ηελ Ζ αιιά ε θάπνηα επηθχιαμε ε απηή ηελ πεξίπησε ηελ πξάμε γηα λα είαηε πην ίγνπξνη ρξεηάδεηαη πεξηφηεξε πιεξνθνξία πρ εγαιχηεξν δείγα Όπσο είλαη θαλεξφ απφ ην παξαπάλσ ρήα ην -vlue πνξεί λα νξηεί θαη σο ε ειάρηηε ηηή ηνπ επηπέδνπ εαληηθφηεηαο γηα ηελ νπνία απνξξίπηεηαη ε Ζ Τν -vlue είλαη έλα έηξν ην νπνίν εθθξάδεη πόν ηρπξέο είλαη νη ελδείμεηο πνπ πξνθύπηνπλ από ην δείγα ελαληίνλ ηεο Ζ Έηη ππνινγίδνληαο ην -vlue ελφο δείγαηνο γηα πγθεθξηέλν έιεγρν ππνέεσλ γλσξίδνπε πφν πηαλή ήηαλ ε εθάληε ηνπ δείγαηνο πνπ πήξαε αλ ε εδεληθή ππφεε ήηαλ αιεήο Δπνέλσο όν πην ηθξό είλαη ην -vlue ηφν ηρπξφηεξεο ελδεί- Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

6 μεηο ελαληίνλ ηεο πξνθχπηνπλ απφ ην πγθεθξηέλν ηπραίν δείγα ή αιιηψο ηόν πην εαληηθή είλαη ε ηηή πνπ δίλεη ην δείγα ηε ηαηηηηθή πλάξηεε ειέγρνπ Σηα ηαηηηηθά παθέηα εηά ηελ εηαγσγή ησλ ηηψλ λ ηνπ δείγαηνο θαη ηελ επηινγή ηνπ επηπεηνχ ειέγρνπ εθαλίδεηαη ε ηηή ηνπ -vlue πνπ αληηηνηρεί ην λ Σχθσλα ε ηα παξαπάλσ αλ ε ηηή απηή είλαη ηθξή ηθξφηεξε ηνπ πξναπνθαηέλνπ επίπεδνπ εαληηθφηεηαο = ή 5 ηφηε απνξξίπηνπε ηελ Ζ ε ε Τν πιενλέθηεα απφ ηελ ρξήε ηνπ -vlue είλαη φηη δελ απνξξίπηνπε ή δερφαηε απιψο ηελ Ζ αιιά πνξνχε λα δνχε θαη πφν πηαλή ήηαλ ε εθάληε ηνπ δείγαηνο λ πνπ πήξαε ππφ ηελ Ζ ελψ επίεο πνξνχε λα ηελ πγθξίλνπε άεα ε φπνην θαη αλ επηιέμνπε Ο ιφγνο γηα ηνλ νπνίν ην -vlue πλήσο πξνυπνέηεη ηε ρξήε Η/Υ είλαη δηφηη ρσξίο ηνλ Η/Υ δελ είλαη πάληνηε εχθνιν λα ππνινγηηεί ή λα πηλαθνπνηεεί ε t γηα θάε ηηή ηνπ t Σηε δηελή βηβιηνγξαθία θαψο θαη ε νξηέλα ηαηηηηθά παθέηα ρξεηνπνηείηαη γηα ην - vlue θαη ν φξνο παξαηεξνχελν επίπεδν εαληηθφηεηαο observed sgnne level Σηα πιαίηα ησλ παξφλησλ εεηψεσλ δελ α ρξεηνπνηεεί ν φξνο απηφο αιιά θαιφ α είλαη ν αλαγλψηεο λα ηνλ έρεη ππφςε ηνπ Παξάδεηγα 3 Δπηπνχε λα ειέγμνπε αλ ν ένο ελφο θαλνληθνχ πιεπνχ ε γλσηή δηαπνξά είλαη ίνο ε ή είλαη εγαιχηεξνο ηνπ δειαδή έρνπε ηηο ππνέεηο : = έλαληη ηεο : > Λαβάλνπε έλα ηπραίν δείγα Φ Φ Φ λ απφ ηνλ πιεπφ απηφ θαη ρξεηνπνηνχε ηε ηαηηηηθή πλάξηεε / ε νπνία φηαλ ηρχεη ε αθνινπεί ηελ ηππνπνηεέλε θαλνληθή θαηαλνή Ν δηφηη ~Ν /λ ελψ φηαλ ηρχεη ε : > ιαβάλεη «εγάιεο» ηηέο Σπλεπψο απνξξίπηνπε ηελ Ζ φηαλ t / z Σεεηψλεηαη φηη ιάβαε = z γηα λα εμαθαιίνπε [I] = Τν -vlue ησλ ηηψλ ελφο ηπραίνπ δείγαηνο λ εδψ α είλαη vlue t t / Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

7 Σην αθφινπν ρήα θαίλεηαη ην -vlue θαη ην επίπεδν εαληηθφηεηαο α ην πγθεθξηέλν παξάδεηγα Απφ ην ρήα απηφ είλαη πξνθαλέο φηη αλ t < ηφηε γηα ηα αληίηνηρα εβαδά α είλαη - vlue > θαη αληίηξνθα ππ ηεο Τ Ζ -vlue θάια ηύπνπ I = t πεξηνρή απόξξηςεο ηεο Ζ Δπίεο είλαη εχθνιν λα δνχε εδψ φηη [ II] z : z z z / / / / θαη z z / / γηα > ππελπίδεηαη φηη Φ = Φ Έησ ηψξα φηη απφ έλα δείγα εγένπο λ = 5 πήξαε = ε = 5 θαη έινπε λα ειέγμνπε αλ ηρχεη ε Η : = ή Η : > δει = ε ε = 5% Σχθσλα ε ηα παξαπάλσ ε πεξηνρή απφξξηςεο ηεο Η θανξίδεηαη απφ ηελ αληφηεηα Κ: t z / v Δπεηδή φσο t = z 5 = 645 ε παξαπάλσ δελ ηρύεη θαη επνέλσο δελ πνξνχε λα απνξξίςνπε ηελ Ζ Δπίεο vlue 58 Μπνξνχε ιηγφηεξα απηεξά λα πνχε φηη ην 58% ησλ πεξηπηψεσλ πνπ ηρχεη ε Η ιαβάλνπε έλα ηέηνην δειαδή ην δείγα απηφ πνξεί λα εσξεεί ρεηηθά «θπηνινγηθφ» ππφ ηελ Η Δπεηδή ινηπφλ ην -vlue είλαη εγαιχηεξν ηνπ = 5% δελ απνξξίπηεηαη ηελ Ζ Σε απηφ ην εείν αμίδεη θαη πάιη λα παξαηεξήνπε φηη πλήσο φηαλ είαηε ηελ πεξηνρή Α απνθεχγνπε λα πν- Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

8 χε φηη «δερφαηε ηελ Η» θαη πξνηηνχε φπσο παξαπάλσ λα ιέε φηη «δελ απνξξίπηνπε» ή «δελ έρνπε αξθεηά ηνηρεία λα απνξξίςνπε» ηελ Η πρ ρξεηαδφαηε εγαιχηεξν δείγα Απηφ πβαίλεη δηφηη αλ πνχε φηη «δερφαηε ηελ Η» ππάξρεη ην ελδερφελν λα έρνπε πάξεη ιάνο απφθαε ε πηαλφηεηα απνδ Η ηρ Η = [II] ε νπνία αληίεηα ε ηελ [I] πνξεί λα είλαη αξθεηά εγάιε Πρ αλ ην παξάδεηγα ηρχεη ε Η ε = ηφηε [ II] z 645 645 74% / 5/ 5 Κιείλνληαο ηελ παξάγξαθν απηή αμίδεη λα αλαθεξεί φηη έηνληαο ηθξφηεξν επίπεδν εαληηθφηεηαο ε έλα έιεγρν απαηηνχε γηα ηελ απφξξηςε ηεο πην «εαληηθέο ελδείμεηο» απφ ην παξαηεξεέλ δείγα αο φηη ε ππεξηθνξά ησλ ηηψλ πνπ πγθεληξψαε απνθιίλεη απφ ηε ππεξηθνξά πνπ α αλαέλαε φηαλ ε είλαη αιεήο Έηη πνξεί ε θάπνην επίπεδν εαληηθφηεηαο πρ = 5 λα απνξξίπηνπε ηελ θαη ε θάπνην ηθξφηεξν πρ = λα ελ ηελ απνξξίπηνπε γηαηί απαηηνχε εαληηθφηεξεο απνδείμεηο Όν πην ηθξφ είλαη ην επίπεδν εαληηθφηεηαο ην νπνίν πνξνχε λα απνξξίςνπε ηελ δειαδή ην -vlue ηνπ δείγαηνο ηφν πην εαληηθή είλαη ε ηηή ηεο ηαηηηηθήο πλάξηεεο ειέγρνπ πνπ παξαηεξείηαη ην δείγα ε ηελ έλλνηα φηη δίλεη πην ηρπξέο απνδείμεηο ελαληίνλ ηεο Άξα φν πην ηθξό είλαη ην επίπεδν εαληηθφηεηαο ην νπνίν πνξνχε λα απνξξίςνπε ηελ ηφν πην εαληηθό ηαηηηηθά είλαη ην απνηέιεα ηνπ ειέγρνπ Τέινο είλαη πξνθαλέο φηη αλ ε απνξξίπηεηαη ε θάπνην επίπεδν εαληηθφηεηαο ηφηε επίεο απνξξίπηεηαη ε ν- πνηνδήπνηε εγαιχηεξν ελψ αλ δελ απνξξίπηεηαη ε θάπνην επίπεδν εαληηθφηεηαο ηφηε επίεο δελ απνξξίπηεηαη ε νπνηνδήπνηε ηθξφηεξν 4 Σπραηνπνηεέλνη έιεγρνη Σε νξηέλεο πεξηπηψεηο πνπ δελ πνξνχε λα επηηχρνπε αθξηβψο ην επίπεδν εαληηθφηεηαο πνπ έινπε πρ φηαλ ε πνπ ρξεηνπνηνχε γηα ηνλ έιεγρν είλαη δηαθξηηή πνξνχε ελαιιαθηηθά λα πξαγαηνπνηήνπε ηπραηνπνηεέλν έιεγρν Γηα απιφηεηα ε ένδνο απηή α παξνπηαηεί έα απφ έλα παξάδεηγα Παξάδεηγα 4 πλέρεηα Παξαδείγαηνο - ηπραηνπνηεέλνο έιεγρνο Σε έλα εξγνηάην γίλεηαη έιεγρνο ησλ λ = πθεπψλ ηεο σξηαίαο παξαγσγήο Η δηαδηθαία βξίθεηαη εληφο πξνδηαγξα- Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

9 θψλ αλ ε πη παξαγσγήο ειαηησαηηθήο πθεπήο 5% Γηα λα απνθαίνπε αλ ηρχεη φηη : = 5% ή : > 5% εμεηάδνπε αλ ηρχεη > φπνπ Φ = αλ ε -νλάδα είλαη ειαηησαηηθή θαη δηαθνξεηηθά θαη αλ ηρχεη απνξξίπηνπε ηελ Η Θέινληαο λα βξνχε ην ηέηνην ψηε [I] = = 5% παξαηεξνχε φηη [I] = > Η : = 5% = > [λ] Η : = 5% = θαη θαηαθεπάδνπε ηνλ πίλαθα [λ] = 5% Η 7 [I] = 8 8 [I] = 63 9 [I] = 8 [I] = [ ] απφ ηνλ νπνίν γίλεηαη αληηιεπηφ φηη δελ πνξνχε λα επηηχρνπε αθξηβψο [I] = = 5 Αλ σο πεξηνρή απφξξηςεο νξηηεί ε > 9 ηφηε έρνπε [I] = 8 ελψ αλ νξηηεί ε > 8 ηφηε [I] = 63 Σπλήσο ε απηή ηελ πεξίπησε έηνπε σο πεξηνρή απφξξηςεο απηή πνπ νδεγεί ε [I] πην θνληά ην = 5 θαη [I] < Οη έιεγρνη απηνχ ηνπ ηχπνπ ε [I] < θαινχληαη πληεξεηηθνί δηφηη απνξξίπηνπλ ηελ Η παληφηεξα δει ε πηαλφηεηα ηθξφηεξε απφ ηελ νλναηηθή Δάλ φσο γηα θάπνην ιφγν επηπνχε λα θάλνπε ηνλ έιεγρν ηεο Η ε [I] ίε αθξηβψο ε ηφηε πνξνχε λα θάλνπε ην εμήο: - Αλ > 9 απνξξίπηνπε ηελ Η - Αλ = 9 ηφηε απνξξίπηνπε ηελ Η ε πηαλφηεηα γ Παξαηεξψληαο φηη ηψξα [I] = > 9 + γ = 9 = 8 + γ 35 πνξνχε λα βξνχε ην γ πνπ α νδεγεί ε [I] = απφ ηελ εμίσε 8 + γ 35 = 5 Πξνθχπηεη φηη γ = 685 Ο παξαπάλσ έιεγρνο θαηά ηνλ νπνίν απνξξίπηνπε ηελ ε θάπνηα πηαλφηεηα θαιείηαη ηπραηνπνηεέλνο έιεγρνο Σηελ πξάμε παλίσο θαηαθεπάδεηαη ηπραηνπνηεέλνο έιεγρνο Όπσο αλαθέξαε θαη παξαπάλσ πλήσο αξθνχαηε ε έλαλ πληεξεηηθφ έιεγρν Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

5 Διεγρνπλάξηεε Γηα ηελ επθνιφηεξε δηαηχπσε θάπνησλ ελλνηψλ θαη απνδείμεσλ νξίδνπε ηελ ειεγρνπλάξηεε ελφο ειέγρνπ Οξηόο Διεγρνπλάξηεε ή θξίλνπα πλάξηεε γηα ηνλ έιεγρν ηεο Η έλαληη ηεο Η θαιείηαη ε ηαηηηηθή πλάξηεε πλάξηεε ηνπ ηπραίνπ δείγαηνο Υ = Φ Φ Φ λ : K A ή γεληθφηεξα πεξηιαβάλνληαο θαη ηελ πεξίπησε ηπραηνπνηεέλσλ ειέγρσλ γ K A M Σηελ πεξίπησε ηπραηνπνηεέλνπ έιεγρνπ ν δρ ρσξίδεηαη ε ηξία μέλα ππνχλνια Κ Α Μ = Ω Κ Α Η ειεγρνπλάξηεε πνξεί λα εσξεεί φηη εθθξάδεη ηελ πηαλφηεηα ε ηελ νπνία α απνξξίςνπε ηελ Η δεδνέλνπ φηη ιάβαε ην δείγα Η πηαλφηεηα απφξξηςεο ηεο Η εθθξάδεηαη έσ ηεο ειεγρνπλάξηεεο σο εμήο: απόξξηςεο ηεο = γ γ E δειαδή είλαη ίε ε ηελ αλαελφελε ηηή ηεο ειεγρνπλάξηεεο Δπνέλσο γεληθά I] E θαη E [ 6 Αθήεηο Έησ έλα ηπραίν δείγα εγένπο απφ ηα θαηαλνή ε πλάξηεε ππθλφηεηαο ; Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεεο : έλαληη ηεο : ρξεηνπνηνχε ηελ θξίηε πεξηνρή K : φπνπ θαηάιιειε ηαεξά α Να ππνινγηνχλ νη πηαλφηεηεο θάιαηνο ηχπνπ Η θαη ηχπνπ II ηελ πεξίπησε πνπ επηιέγνπε / β Να βξεεί ε ηηή ηεο ηαεξάο έηη ψηε ε πηαλφηεηα εθάληεο θάιαηνο ηχπνπ Η λα είλαη ίε ε 9 Σηε πλέρεηα λα ππνινγηεί ε πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ ΗΗ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

γ Αλ = 8 λα θάλεηε ηνλ έιεγρν ε = 9 έσ ηνπ -vlue Έησ έλα ηπραίν δείγα απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνή N Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεε : έλαληη ηεο : 4 ρξεηνπνηνχε ηελ θξίηε πεξηνρή K : α Αθνχ βξεεί ε ηαεξά ψηε ν έιεγρνο λα έρεη πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ Η ίε ε α=5% λα ππνινγηεί ε πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ ΗΗ β Αλ = 3 = 4 3 = 8 λα θάλεηε ηνλ έιεγρν ε ε = 5% 3 Σε ηα θάιπε ε θαίξεο είλαη γλσηφ φηη ππάξρνπλ είηε 3 Λεπθέο θαη 7 Μαχξεο θαίξεο είηε 7 Λεπθέο θαη 3 Μαχξεο Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεεο Ζ : Η θάιπε έρεη 3 Λεπθέο θαη 7 Μαχξεο θαίξεο Ζ : Η θάιπε έρεη 7 Λεπθέο θαη 3 Μαχξεο θαίξεο εμάγνληαη 3 θαίξεο θαη ε Ζ απνξξίπηεηαη φηαλ θαη νη 3 θαίξεο είλαη Λεπθέο Να ππνινγηνχλ νη πηαλφηεηεο θάιαηνο ηχπνπ Η θαη ηχπνπ II ηελ πεξίπησε πνπ ε εμαγσγή ησλ 3 θαηξψλ γίλεηαη α ε επαλάεε β ρσξίο επαλάεε 4 Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεεο : έλαληη ηεο : φπνπ ε παξάεηξνο ηεο θαηαλνήο ε πλάξηεε ππθλφηεηαο ; ρξεηνπνηείηαη ηπραίν δείγα δχν παξαηεξήεσλ θαη ε Ζ απνξξίπηεηαη φηαλ ηρχεη 3/ 4 α Να βξεεί ε θαηαλνή ηεο ηπραίαο εηαβιεηήο S ln ln β Να ππνινγηνχλ νη πηαλφηεηεο θάιαηνο ηχπνπ Η θαη ηχπνπ II 5 Έησ έλα ηπραίν δείγα απφ ηελ θαηαλνή Ν Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεεο Ζ := έλαληη ηεο Ζ : = + ρξεηνπνηείηαη ε επφελε θξίηε πεξηνρή Κ: > φπνπ θαηάιιειε ηαεξά Να δεηρεί φηη ην ειάρηην έγενο λ ηνπ δείγαηνο πνπ απαηηείηαη ψηε νη πηαλφηεηεο θαιάησλ ηχπνπ Η θαη II ηνπ ειέγρνπ λα είλαη ην πνιχ ίεο ε α θαη β αληίηνηρα δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν [ z z ] Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο

φπνπ ην χβνιν [] παξηηάλεη ην αθέξαην έξνο ηνπ 6 Έησ ε πηαλφηεηα εθάληεο ηεο έλδεημεο "γξάαηα" θαηά ηε ξίςε ελφο λνίαηνο Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεεο : / θαηά ηεο : / ξίρλνπε ην λφηα θνξέο θαη έησ Φ ν αξηφο ησλ θνξψλ πνπ εθαλίδεηαη "γξάαηα" Πνηα είλαη ε πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ Η θαη πνηα ε ηρχο π3/4 ηνπ ειέγρνπ ε θξίηε πεξηνρή K : ή 8; 7 Γηα λα απνθαίνπε θαηά πφν έλα λφηα είλαη αεξφιεπην : / ή επλνεί ηελ εθάληε ηεο έλδεημεο "γξάαηα" : / ξίρλνπε ην λφηα 5 θνξέο θαη απνξξίπηνπε ηελ αλ είραε 4 ή 5 εθαλίεηο γξαάησλ Να ππνινγηεί ε πηαλφηεηα θάιαηνο ηχπνπ Η θαη ε ηρχο ηνπ ειέγρνπ γηα =3/4 8 Έησ έλα ηπραίν δείγα απφ ηελ θαηαλνή Ν 4 Γηα ηνλ έιεγρν ηεο ππφεεο Ζ := έλαληη ηεο Ζ : > φπνπ είλαη έλαο δνέλνο πξαγαηηθφο αξηφο ρξεηνπνηείηαη ε επφελε θξίηε πεξηνρή K : φπνπ θαηάιιειε ηαεξά Να βξεεί ην θαη ην έγενο ηνπ δείγαηνο λ ψηε γηα ηε πλάξηεε ηρχνο π ηνπ ειέγρνπ λα ηρχεη 5 θαη 5 9 Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο