ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y. Η κλίση της ευθείας y = αx+β Στο εξής, όταν αναφερόµαστε στην ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β, θα λέµε η ευθεία µε εξίσωση y = αx + β ή πιο απλά η ευθεία y = αx + β. Ο αριθµός α, που όπως γνωρίζουµε, λέγεται κλίση της ευθείας y = αx, λέγεται και κλίση της ευθείας y = αx + β. Η εξίσωση της μορφής αx+βy=γ Μια εξίσωση της µορφής αx + βy = γ, µε α 0 ή β 0 παριστάνει ευθεία. Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες Γνωρίζουµε ότι ο άξονας x'x έχει εξίσωση y = 0. Επομένως, για να βρούμε το σημείο Α στο οποίο η ευθεία αx + βy = γ, µε α 0 ή β 0 τέμνει τον άξονα x'x, θέτουµε y = 0 και υπολογίζουµε την τετµηµένη του x. Γνωρίζουµε ότι ο άξονας y'y έχει εξίσωση x = 0. Εποµένως, για να βρούµε το σηµείο Β στο οποίο η ευθεία αx + βy = γ, µε α 0 ή β 0 τέµνει τον άξονα y'y, θέτουµε x = 0 και υπολογίζουµε την τεταγµένη του y. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. H ευθεία y = x είναι παράλληλη προς την: A: y = x + B: y = x Γ: y = x - 7 : y = -x + Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Την Γ: y = x - 7 γιατί έχουν τον ίδιο συντελεστή του x.
ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Στο διπλανό σχήμα έχουμε σχεδιάσει τις τρεις παράλληλες ευθείες της στήλης Β. Να αντιστοιχίσετε καθεμιά µε την εξίσωσή της. Στήλη Α Στήλη Β ε y=x ε y=x y=x+ ε ε ε ε ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι αντιστοιχίσεις σημειώνονται στο διπλανό σχήμα.y=x ε, y=x+ ε και y=x- ε.. Στο διπλανό σχήµα το ορθογώνιο ΑΒΓ έχει κέντρο το Ο και οι πλευρές του είναι παράλληλες προς τους άξονες x'x και y'y. Να αντιστοιχίσετε κάθε πλευρά µετην εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει. Πλευρές Ευθείες ΑΒ y= ΑΓ x= ΓΔ y=- ΒΔ x=- ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΑΒ y=, ΑΓ x= -, ΓΔ y=-, ΒΔ x=. Η ευθεία µε εξίσωση x + y =. A B Γ Ε Έχει κλίση: - - Τέµνει τον άξονα x'x στο σηµείο: (, ) (, 0) (-,0) (, 0) (0, ) Τέµνει τον άξονα y'y στο σηµείο: (0, ) (0, ) (, ) (0,-) (0,-) Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έχει κλίση - (Β) γιατί x + y = y=-x+ Τέμνει τον άξονα x'x στο σηµείο: για y=0 έχουμε x= x= άρα το σημείο τομής είναι το (,0) σωστή η Δ. Τέμνει τον άξονα y'y στο σηµείο: για x=0 έχουμε y= άρα το σημείο τομής είναι το (0,). σωστή η Β.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β. Μια ευθεία ε τέµνει τους άξονες στα σηµεία (, 0) και (0, ). Η εξίσωσή της είναι: A: x + y = 9 B: x + y = 6 Γ: x + y = Nα επιλέξετε τη σωστή απάντηση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η ευθεία ε έχει εξίσωση y=αx+β: Επειδή τέμνει τον άξονα y'y στο (0,) έχουμε =0α+ β β= Επειδή τέμνει τον άξονα x'x στο (,0) έχουμε 0=α+ β -α= α =. Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι y = - x + y + x = Γ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ Στο ίδιο σύστηµα ορθογωνίων αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες µε εξισώσεις: y = x, y = x + και y = x x 0 y 0 / x 0 - y 0 x 0 6 y - 0-8 -6 - - 6 8 0 Χ gx () = () x+ Γ(-,0) - - - - - y Δ(0,) O(0,0) E(0,-) y fx () = x hx () = () x- qx ( ) = () x Ζ(6,0) Χ
6 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ Nα παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση y = -x +, όταν: α) Ο x είναι πραγµατικός αριθµός. β) x 0 γ) x α) y=-x+ fx () = - x+ y x 0 y - -6 - - 6 8 X Ο(0,0) - A(0,) B(,-) X - - y β) y=-x+ y -6 - - 6 8 x Ο(0,0) - x - - y γ) 0 y 0 y=-x+ -0-0 -0 0 0 0 0 x Ο(0,0) B(,-) A(0,) - x -0 - y
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β 7 ΑΣΚΗΣΗ Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει κλίση και τέµνει τον άξονα y'y στο σηµείο µε τεταγµένη -. Έστω ότι η εξίσωση της ευθείας είναι y=αx+β. Επειδή η ευθεία αυτή έχει κλίση θα είναι α=. Επίσης επειδή η ευθεία περνά από το σημείο του άξονα y y (0,-) θα είναι: -=.0+β, δηλαδή β=-. Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η y=x-. ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό σχήµα δίνονται τα σηµεία Α(, ) και Β(, ). α) Να αποδείξετε ότι η απόσταση ΑΒ είναι ίση µε. β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία µε εξίσωση y = x - διέρχεται από τα σηµεία Α και Β. Γ ΑΒ = ΒΓ + ΑΓ α) ΑΒ = ΑΒ = ΑΒ = β) Α(,): =.- =(αληθής) Β(,): =.- = (αληθής) ΑΣΚΗΣΗ + Σχηματίζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. ΒΓ=-= και ΑΓ=-= Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα. Για να διέρχεται η ευθεία με εξίσωση y = x από τα σημεία Α(,) και Β(,) πρέπει οι συντεταγμένες των σημείων να επαληθεύουν την εξισωσή της Όταν χρησιµοποιούµε ταξί, πληρώνουµε 0, για τη σηµαία και 0, για κάθε χιλιόµετρο. Να βρείτε τη συνάρτηση που µας δίνει το ποσό y, που θα πληρώσουµε για µια διαδροµή x χιλιοµέτρων. Το ποσό y που θα πληρώσουμε για μια διαδρομή x χιλιομέτρων θα είναι το άθροισμα του ποσού που θα δόσουμε για τη σημαία και του ποσού που θα προκύψει αν πολλαπλασιάσουμε τα χιλιόμετρα που κάναμε επί την τιμή κάθε χιλιομέτρου,δηλαδή y=0,+0,.x
8 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 ίνεται η ευθεία µε εξίσωση x - y = 6. Nα βρείτε τα σηµεία στα οποία τέµνει τους άξονες. Επειδή τα σημεία του άξονα x x έχουν τεταγμένη 0 για να βρω που η ευθεία τέμνει τον άξονα x x θέτω y=0 στην εξίσωση x - y = 6 και έχω x-.0=6 x=6 x= άρα το σημείο τομής της ευθείας x - y = 6 με τον άξονα x x είναι το σημείο Α(,0). Επειδή τα σημεία του άξονα y y έχουν τετμημένη 0 για να βρω που η ευθεία τέμνει τον άξονα y y θέτω x=0 στην εξίσωση x - y = 6 και έχω 0-.y=6 -y=6 y=- άρα το σημείο τομής της ευθείας x - y = 6 με τον άξονα y y είναι το σημείο B(0,-). ΑΣΚΗΣΗ 7 Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ευθείας x + y =. Βρίσκουμε τα σημεία Όπου η γραφική παράσταση της ευθείας x + y = τέμνει του άξονες. -6 - - 6 8 X - Υ x+y= fx () = -x+ A(0,) B(,0) O(0,0) X x 0 y 0 - - Υ ΑΣΚΗΣΗ 8 Nα σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα ορθογωνίων αξόνων το ορθογώνιο ΑΒΓ, του οποίου οι πλευρές ανήκουν στις ευθείες y =, y =, x = και x = -. Ποιες είναι οι συντεταγµένες των κορυφών Α, Β, Γ και ; Ποιο είναι το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ ;
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β 9 A(-,) y B(,) gx y= () = -6 - - 6 8 x x=- qy () = - Δ(-,) Ο(0,0) - Γ(,) fx () = y= x - - - y hy x= () = Όπως φαίνεται στο σχήμα οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ και Δ είναι Α(-,), Β(,), Γ(,), Δ(-,). Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι το (ΑΒΓΔ)=ΑΒ.ΒΓ=[-(-)].(-)=.= τ.μ ΑΣΚΗΣΗ 9 Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει ηλεκτρονικούς υπολογιστές µε κόστος 00 το τεµάχιο.επίσης, πληρώνει 00 την ηµέρα για την ενοικίαση µιας αποθήκης, για να αποθηκεύει τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. α) Να εκφράσετε το συνολικό ηµερήσιο κόστος y του εργοστασίου ως συνάρτηση του αριθµού x των ηλεκτρονικών υπολογιστών που κατασκευάζει ηµερησίως. β) Να σχεδιάσετε σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων τη συνάρτηση αυτή. α) Το συνολικό ημερήσιο κόστος y του εργοστασίου είναι το άθροισμα του ενοικίου που δίνει για την αποθήκη και του ποσού που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του αριθμού των ηλεκτρονικών υπολογιστών που κατασκευάζει επί το ποσό που στοιχίζει ο κάθε υπολογιστής, δηλαδή y=00+00.x β)
0 ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 0 Σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι κάθε παίκτης ξεκινάει έχοντας ως δώρο από την εταιρεία παραγωγής 000. Στη συνέχεια, πρέπει να απαντήσει σε 0 ερωτήσεις. Σε κάθε σωστή απάντηση κερδίζει 00, ενώ σε κάθε λανθασµένη απάντηση χάνει 00. Συµβολίζουµε µε x το πλήθος των σωστών απαντήσεων. α) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το πλήθος ω των λανθασµένων απαντήσεων. β) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το συνολικό κέρδος y του παίκτη. γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. α) Εφόσον οι ερωτήσεις είναι 0 και οι σωστές x, οι λανθασμένες θα είναι ω=0-x. β) Το συνολικό κέρδος του παίκτη θα είναι το ποσό που κερδίζει από τις σωστές απαντήσεις μείον το ποσό που χάνει από τις λανθασμένες, συν το δώρο των 000, δηλαδή: y=00.x-0(0-x)+000 y=00.x-000+0x+000 y=0x με 0 x 0. γ)
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΕ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ενότητα: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx + β Στόχοι: Να διακρίνουν οι μαθητές τις ομοιότητες των γραφικών παραστάσεων των ευθειών y = αx + β, όταν το α είναι σταθερό και το β μεταβάλλεται ή το β είναι σταθερό και το α μεταβάλλεται. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυπτική) Φύλλο εργασίας. Στο διπλανό σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y = x, y = x +, y = x +, y = x- και y = x -.. Τι κοινό χαρακτηριστικό έχουν και οι πέντε αυτές ευθείες;... Συμπέρασμα: Όλες οι ευθείες με εξίσωση της μορφής y = x + β, όπου το β μεταβάλλεται, είναι.. Γενικά, όλες οι ευθείες με εξισώσεις y= αx + β, όπου το α είναι σταθερός αριθμός και το β μεταβάλλεται είναι...
ΜΕΡΟΣ Α -.- ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Στο διπλανό σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: y= x +, y= x +, y = -x +, y = -x+ και y = x +.. Τι κοινό χαρακτηριστικό έχουν και οι πέντε αυτές ευθείες;.. Συμπέρασμα: Όλες οι ευθείες με εξίσωση της μορφής y = αx +, όπου το α μεταβάλλεται,... 6. Γενικά, όλες οι ευθείες με εξισώσεις γ = αχ + β, όπου το β είναι σταθερός αριθμός και το α μεταβάλλεται,...