Ατομικές Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας - Έστω x=(x,,x n ) ένας καταναλωτικός συνδυασμός, όπου x i η ποσότητα του αγαθού i που καταναλώνει το άτομο (i =,,n). - Πρόβλημα καταναλωτή: Κάθε άτομο (καταναλωτής) επιλέγει την ποσότητα x i που θα καταναλώσει από κάθε διαθέσιμο αγαθό i. - Οι καταναλωτικές επιλογές του ατόμου εξαρτώνται από τις προτιμήσεις του. - Μια σχέση προτίμησης ( ) είναι μια δυαδική σχέση που αφορά το σύνολο των εναλλακτικών επιλογών του καταναλωτή, ηοποία συνοψίζει τους σκοπούς του καταναλωτή και επιτρέπει την κατάταξη των διάφορων καταναλωτικών συνδυασμών x, y με έναν από τους παρακάτω τρόπους: x y: το x είναι τουλάχιστον εξίσου καλό με το y (ασθενής σχέση προτίμησης). x x y: y: το x είναι προτιμότερο από το y (αυστηρή σχέση προτίμησης). το x είναι εξίσου καλό με το y (σχέση αδιαφορίας).
Ιδιότητες Ατομικών Προτιμήσεων () Ορθολογικότητα: Μια σχέση προτίμησης είναι ορθολογική αν έχει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες: (α) Πληρότητα: Για όλους τους συνδυασμούς x, y ισχύει: x y ή x y ή x ~ y - Τα άτομα δεν παραλύουν ποτέ από αναποφασιστικότητα (μπορούν πάντα να αποφασίσουν αν προτιμούν το x ήτοy ή είναι αδιάφοροι). (β) Μεταβατικότητα: Για όλους τους συνδυασμούς x, y, z ισχύει: Αν x y και y z, τότε x z - Οι επιλογές του ατόμου είναι εσωτερικά συνεπείς. () Συνέχεια: Αν x y, τότε συνδυασμοί που βρίσκονται κοντά στο x πρέπει επίσης να προτιμώνται έναντι του y. - Οι προτιμήσεις δεν κάνουν ξαφνικά άλματα.
(3) Μονοτονικότητα: Αν x y, τότε x y. - Μεγαλύτερες ποσότητες είναι προτιμότερες από μικρότερες ποσότητες. x * x Ε 4 Ε Ε Ε 3 * x x * * - Συνδυασμοί (x,x ) εντός της Ε είναι προτιμότεροι από το ( x, x). * * - Συνδυασμοί (x,x ) εντός της Ε είναι υποδεέστεροι από το ( x, x ). - Συνδυασμοί (x,x ) εντός των Ε 3, Ε 4 δεν μπορούν άμεσα να * * συγκριθούν με το ( x, x ). 3
Συνάρτηση Χρησιμότητας - Ορισμός: Αν οι προτιμήσεις του καταναλωτή είναι ορθολογικές και συνεχείς, τότε μπορούν να αναπαρασταθούν από μια συνάρτηση χρησιμότητας u(x) τέτοια ώστε: x y ux ( ) uy ( ), για κάθε x, y. -H συνάρτηση χρησιμότητας είναι μια αριθμητική αναπαράσταση των ατομικών προτιμήσεων του καταναλωτή. - Η συνάρτηση χρησιμότητας αποδίδει μια αριθμητική τιμή σε κάθε καταναλωτικό συνδυασμό, κατατάσσοντας έτσι τους διαφορετικούς συνδυασμούς σύμφωνα με τις προτιμήσεις του ατόμου. - Το πρόβλημα του καταναλωτή (επιλογή ενός συνδυασμού x που επιτυγχάνει τη μέγιστη δυνατή ικανοποίηση των προτιμήσεων) μπορεί να μετατραπεί σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας, το οποίο λύνεται με τις κατάλληλες μαθηματικές μεθόδους. 4
Μη Μοναδικότητα των Μέτρων Χρησιμότητας - Κάθε μονοτονικός μετασχηματισμός της u: f [u(x)]= v(x) (όπου f μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση) είναι μια νέα συνάρτηση χρησιμότητας που αναπαριστά τις ίδιες προτιμήσεις με την u. - Δηλαδή: Οι συναρτήσεις u(x), ln[u(x)], 0 6 +u(x) κ.λπ. παριστάνουν τις ίδιες προτιμήσεις (η αριθμητική τιμή της χρησιμότητας δεν έχει καμία οικονομική σημασία). Το μέγεθος της διαφοράς u(x) u(y) δεν έχει οικονομική σημασία (η συνάρτηση χρησιμότητας παριστάνει μόνο τη διάταξη και όχι την ένταση των προτιμήσεων). Δεν είναι δυνατή η σύγκριση χρησιμοτήτων μεταξύ διαφορετικών καταναλωτών. Παράδειγμα: Aν U A (x) = 5, U B (x) = 00 δε σημαίνει ότι ο Α αξιολογεί το x περισσότερο από τον Β (η διαφορά ίσως οφείλεται απλώς σε διαφορετικές κλίμακες μέτρησης της χρησιμότητας). 5
ΣτοιχείατηςΣυνάρτησηςΧρησιμότητας () Οι ποσότητες (x i ) που καταναλώνονται από κάθε αγαθό i=,,n. u(x,,x n ) - To άτομο αντλεί χρησιμότητα (ικανοποίηση) και από άλλους παράγοντες εκτός από την κατανάλωση υλικών αγαθών (προσωπικές εμπειρίες, διαπροσωπικές σχέσεις, πολιτισμικό περιβάλλον κ.λπ.). - Εδώ, υποθέτουμε ότι αυτοί οι παράγοντες παραμένουν σταθεροί (υπόθεση ceteris paribus) και εστιάζουμε στις ποσοτικά μετρήσιμες επιλογές του ατόμου. () Ελεύθερος χρόνος - Το άτομο κατανέμει το χρόνο του μεταξύ εργασίας και ανάπαυσης. - Ο ελεύθερος χρόνος ή χρόνος ανάπαυσης (leisure l ) προσφέρει ικανοποίηση και, επομένως, συμπεριλαμβάνεται στη συνάρτηση χρησιμότητας: u(x,,x n,l ) 6
Καμπύλες Αδιαφορίας και Οριακός Λόγος Υποκατάστασης - Έστω n= αγαθά στην οικονομία. - Ορισμός: Μια καμπύλη αδιαφορίας (IC) παριστάνει το σύνολο των καταναλωτικών συνδυασμών (x,x ) που αποδίδουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας στο άτομο (δηλ. το σύνολο των συνδυασμών μεταξύ των οποίων το άτομο είναι αδιάφορο). x u x A x + x A B B x A A x MRS A x Γ + x A B B B x MRS B IC IC IC x 7
- Ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών Ax (, x ) και Bx (, x ). A A A B -H κλίση της καμπύλης αδιαφορίας είναι αρνητική. A B Αν μειωθεί η ποσότητα του αγαθού (από x σε x ), τότε πρέπει η A B ποσότητα του αγαθού να αυξηθεί (από x σε x ) ώστε ο καταναλωτής να παραμείνει αδιάφορος μεταξύ των Α και Β. Καμπύλες Αδιαφορίας και Μεταβατικότητα - Αν οι προτιμήσεις είναι μεταβατικές, τότε οι καμπύλες αδιαφορίας του ίδιου ατόμου δεν μπορούν να τέμνονται. x D C E A B IC IC x 8
Απόδειξη: Έστω ότι οι IC, IC τέμνονται στο σημείο Ε. Τότε: Α Β (λόγω μονοτονικότητας) και Β ~ C A C (λόγω μεταβατικότητας) () Επίσης: C D (λόγω μονοτονικότητας) () Από (), () => Α D (λόγω μεταβατικότητας): Αντίφαση. - Το αντίθετο της κλίσης μιας καμπύλης αδιαφορίας σε κάποιο σημείο της ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) σε αυτό το σημείο: dx / MRS = u σταθερή dx - Ο MRS δείχνει πόσες μονάδες του αγαθού είναι διατεθειμένος να θυσιάσει ο καταναλωτής για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδα του αγαθού. - Αρχή του φθίνοντος MRS: Καθώς αυξάνεται η ποσότητα του αγαθού (και μειώνεται η ποσότητα του αγαθού ), ο MRS μειώνεται (MRS B < MRS A ). 9
- Καθώς αυξάνεται το επίπεδο κατανάλωσης του αγαθού, το άτομο είναι διατεθειμένο να θυσιάσει ολοένα λιγότερες μονάδες του αγαθού για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδα του αγαθού. Κυρτότητα Καμπυλών Αδιαφορίας - Η καμπύλη αδιαφορίας IC είναι κυρτή αν κάθε γραμμικός συνδυασμός των σημείων Α, Β (δηλ. κάθε σημείο επί του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα Α, Β) είναι προτιμότερος από τα σημεία Α, Β. A B A B x + x x + x i Παράδειγμα: Ο συνδυασμός Γ (, ) είναι προτιμότερος από τους συνδυασμούς Α και Β. Η καμπύλη αδιαφορίας (IC) είναι κυρτή. - Οικονομική ερμηνεία κυρτής καμπύλης αδιαφορίας: Οι ισορροπημένοι συνδυασμοί αγαθών (όπως ο Γ) είναι προτιμότεροι από ακραίους συνδυασμούς που δίνουν μεγάλη βαρύτητα σε κάποιο 0 από τα δύο αγαθά (όπως οι συνδυασμοί Α και Β).
- Συμπερασματική Παρατήρηση. Οι ακόλουθες εκφράσεις είναι ισοδύναμες μεταξύ τους: () Ο MRS είναι φθίνων. () Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κυρτές. (3) Η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη. Μαθηματική Εξαγωγή του MRS - Έστω συνάρτηση χρησιμότητας ux (,..., x n ). - Αν τα x,..., xn μεταβληθούν κατά dx,..., dxn, τότε η συνολική επίπτωση στη χρησιμότητα δίνεται από το ολικό διαφορικό: U U U du = dx+ dx... + dxn (3) x x x n - Αν dx και οι ποσότητες των αγαθών και 3 = dx4 =... = dx n = 0 μεταβάλλονται έτσι ώστε η χρησιμότητα να παραμένει σταθερή (du=0), τότε:
U U dx / (3) 0 / U x = dx + dx u = MRS = x x dx U x / Παραδείγματα Συναρτήσεων Χρησιμότητας () Συνάρτηση Χρησιμότητας Cobb-Douglas ux (, x) = xx β, αβ, > 0 a - Παρατήρηση. Ο μονοτονικός (λογαριθμικός) μετασχηματισμός: vx (, x) = ln[ ux (, x)] = alnx+β ln x παριστάνει τις ίδιες προτιμήσεις με την αρχική συνάρτηση u. - Παρατήρηση. Ο μονοτονικός μετασχηματισμός: α β α+ β α+ β α+ β δ δ = = vx (, x) [ ux (, x)] x x = xx παριστάνει τις ίδιες προτιμήσεις με την αρχική συνάρτηση u. => Συχνά, ακολουθούμε την τυποποίηση: α+β=.
- Έστω α = / = β ux (, x) = x x = xx / / (i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της u είναι: u u= xx x= (4) x Για u =0, είναι: 00 (4) x = (IC ) x u/ x (ii) x MRS = = (φθίνων MRS) u/ x x x IC ( u = 0) x 3
(iii) Έστω o λογαριθμικός μετασχηματισμός της u: v( x, x) = ln[ u( x, x)] = v( x, x) = ln[ u( x, x)] = lnx+ ln x -O MRS της μετασχηματισμένης συνάρτησης χρησιμότητας είναι: v/ x x MRS = = = MRS αρχικής συνάρτησης u v/ x x - Γενικό Συμπέρασμα: Ο μονοτονικός μετασχηματισμός μιας συνάρτησης χρησιμότητας δεν επηρεάζει τον MRS. () Τέλεια Υποκατάστατα Αγαθά ux (, x) = ax+ β x, αβ, > 0 - Έστω α =, β = 3 ux (, x) = x + 3x (i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της u είναι: 4
u u = x+ 3 x x = x (5) 3 3 - Για u =30, είναι: (5) x = 0 x (IC ) (Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες 3 γραμμές) u/ x (ii) MRS = = /3 (σταθερός MRS) u/ x - Όταν τα αγαθά είναι τέλεια υποκατάστατα, ο καταναλωτής θα αγοράσει θετική ποσότητα μόνο από το σχετικά φτηνότερο αγαθό (βλ. παρακάτω). x 0 0 5 IC ( u = 30) x 5
(3) Τέλεια Συμπληρωματικά Αγαθά ux (, x) = min{ ax, β x}, αβ, > 0 - Τα αγαθά, καταναλώνονται μαζί (προτιμώνται σε σταθερές αναλογίες). - Παράδειγμα: Το άτομο προτιμά να καταναλώνει κουταλιές καφέ (αγαθό ) για κάθε κουταλιά ζάχαρη (αγαθό ), δηλ. x =x ux (, x) = min{ x, x} x 3 0 4 6 x = x / ( u = 6) ( u = 4) IC 3 ( u = ) x 6
- Οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν σχήμα L. -To άτομο προτιμά να καταναλώνει τα αγαθά σε σταθερές αναλογίες, πάνω στα σημεία-κορυφές των καμπυλών αδιαφορίας (όπου ισχύει: x /x =/)., αν x / x > / i MRS dx dx = = / u δεν ορίζεται, αν x/ x = / 0, αν x/ x < / 7
(4) Χρησιμότητα Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES) ux (, x ) = δ δ x x +, αν δ, δ 0 δ δ ln x + ln x, αν δ=0 -δ u/ x x imrs = = (φθίνων MRS) u/ x x ( x / x) MRS - Ελαστικότητα Υποκατάστασης: σ = = MRS ( x / x ) δ (α) Παραδείγματα δ = 0 σ =, ux (, x) = ln x+ ln x (Cobb-Douglas) (β) δ = σ =, ux (, x) = x+ x (Τέλεια Υποκατάστατα) (γ) δ = σ = 0, ux (, x) = min{ x, x} (Τέλεια Συμπληρωματικά) 8
(δ) δ = σ = /, ux (, x) = x x (i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της u είναι: x u = x = (6) x x ux + - Για u = -, είναι: (5) x = x x (ii) MRS u/ x x = = u/ x x (φθίνων MRS) 9
Ομοθετικές Προτιμήσεις - Μια συνάρτηση χρησιμότητας είναι ομοθετική αν ο MRS εξαρτάται μόνο από το λόγο των ποσοτήτων (x /x ) και όχι από τις συνολικές ποσότητες των αγαθών. - Παράδειγμα : Συνάρτηση Χρησιμότητας Cobb-Douglas (, ) a β α x ux x = xx, αβ, > 0 MRS= β x - Γεωμετρική ερμηνεία ομοθετικών προτιμήσεων: Τα σημεία που έχουν σταθερό MRS αποτελούν μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. - Έστω a= β = u( x, x ) = x x MRS = x / x - Για παράδειγμα, το σύνολο των σημείων που έχουν MRS= βρίσκονται επί της ευθείας x =x. - Όταν οι προτιμήσεις είναι ομοθετικές, κάθε καμπύλη αδιαφορίας είναι ένα απλό αντίγραφο των υπολοίπων. 0
x MRS= (x =x ) 3 0 3 - Παράδειγμα : Συνάρτηση Χρησιμότητας CES (, ) x δ x δ ux x, αν δ, δ 0 MRS x = + = δ δ x - Παράδειγμα 3: Οιονεί Γραμμική Συνάρτηση Χρησιμότητας u( x, x ) = x + φ( x ) = x + x (i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της u είναι: u = x + x x = u x ( u = 3) ( u = ) ( u = ) x ( ) (7) δ
- Για u = 0, είναι: (7) x = (0 x ) (IC ) (ii) 4 MRS u/ x u/ x = = x - Η οιονεί γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας δεν είναι ομοθετική. - Ο MRS μειώνεται καθώς αυξάνεται η ποσότητα του αγαθού αλλά είναι ανεξάρτητος από την ποσότητα του αγαθού. x 00 Οι καμπύλες αδιαφορίας που αντιστοιχούν σε μια οιονεί γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας είναι οριζοντίως παράλληλες. 0 0 IC 4 x