Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία αποδοχής προϊόντος: Εταιρία θέλει ο μέος χρόνος λειτουργίας των μπαταριών που θα αγοράει να είναι τουλάχιτον 1 ώρες.. Ο μάνατζερ ελέγχου ποιότητας θέτει τις παρακάτω προϋποθέεις για την αγορά: Προϋπόθεη φάλματος Τύπου Ι:Αν ο μέος χρόνος ζωής είναι μ1, αποδέχομαι τον κίνδυνο να απορρίψω την αγορά με πιθανότητα α5 (κίνδυνος του παραγωγού Προϋπόθεη φάλματος Τύπου ΙΙ:Αν ο μέος χρόνος ζωής είναι μ115, αποδέχομαι τον κίνδυνο να αποδεχτώ την αγορά με πιθανότητα 1. (κίνδυνος του καταναλωτή Τι μέγεθος δείγματος πρέπει να επιλεγεί αν 1 ώρες; - 3 Παράδειγα Δειγματοληψία αποδοχής προϊόντος: H: μ 1 α 5 5 μ 1 H: μ < 1 1 1 μ α 115 1 z 1-α 1.645-4 Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: Αριτερ.Έλεγχος, Η α : μ<μ α Απόρ. Η μ α μ Περιοχή Αποδοχής z 1-5 Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: Αριτερ.Έλεγχος, Η α : μ<μ z 1 1 z 1 1 ( z z 1 + 1 z 1 1 ( z 1 1 ( - 6 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 1 PDF roessed wih CuePDF evluio ediio www.cuepdf.om
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Παράδειγα Δειγματοληψία αποδοχής προϊόντος: H: μ 1 α 5 5 μ 1 H: μ < 1 1 1 μ α 115 1 ( z1 1 ( z 1-α 1.645 z 1-.33 (1.645 +.33 (1 9. (1 115 Άρα θα επιλεγεί 9. Παρατήρηη: γιατιμές του μ α < 115 το < 1-7 Δεξιόπλευροςέλεχος: Παράδειγα Οργανιμός θέλει να ελέγξει την υπόθεη ότι η μέη τιμή του εδομαδιαίου κατά κεφαλήν χρόνου εργαίας υπεραίνει τις 39.1 ώρες. Αν η τυπική απόκλιη του εδομαδιαίου κατά κεφαλήν χρόνου εργαίας είναι 5 και το επίπεδο ημαντικότητας α5, τι μέγεθος δείγματος πρέπει να επιλεγεί ώτε αν την πραγματικότητα ο μέος χρόνος είναι κατά 1 ώρες ή παραπάνω μεγαλύτερος από το 39.1, η πιθανότητα εφαλμένης αποδοχής της μηδενικής υπόθεης να μην είναι πάνω από 5%; - 8 Παράδειγα Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου Δειγματοληψία για τον έλεγχο: H: μ 39.1 α 5 5 μ 39.1 H: μ > 39.1 5 μ α 39. 5 z 1-α 1.645-9 Μονόπλευρος Έλεγχος: Δεξιόπλ.Έλεγχος, Η α : μ>μ μ Περιοχή Αποδοχής μ α α Απόρ. Η + z z 1-1 Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: Δεξιόπλ.Έλεγχος, Η α : μ>μ z z z z ( z ( z 1 1 ( - 11 Παράδειγα Δειγματοληψία για τον έλεγχο: H: μ 39.1 α 5 5 μ 39.1 H: μ > 39.1 5 μ α 39. 5 ( z1 1 ( z 1-α 1.645 (1.645 + 1.645 (5 z 1-1.645 76 (39. 39. Άρα θα επιλεγεί 71. Παρατήρηη: γιατιμές του μ α > 39. το < 5-1 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: ( z 1 ( όπου z 1- κριτική z τιμή του ελέγχου για επίπεδο ημαντικότητας α z 1- κριτική z-τιμή για την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ,. :Ρ(Ζ< z 1-1- τυπική απόκλιη του πληθυμού μ τιμή μέου του πληθυμού την H μ α τιμή μέου του πληθυμού που χρηιμοποιείται για τον υπολογιμό του Σφάλματος Τύπου ΙΙ - 13 Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου Δίπλευρος Έλεγχος ( z 1 / (προεγγιτικά: ( Δίνει τέτοιο ώτε η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ να είναι το πολύ ίημε. όπου z 1-/ κριτική z τιμή του ελέγχου για επίπεδο ημαντικότητας α z 1- κριτική z-τιμή για την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, :Ρ(Ζ< z 1-1- - 14 Έλεγχος για τον Μέο ( Άγνωτο - 15 Περίληψη -Ελέγχων για τον Μέο Στατιτική Ελέγχου Άγνωτο, ΠληθυμόςΚανονικός (ή προεγγιτικά κανονικός s / Η τατιτική ελέγχου ακολουθεί την κατανομή -sude με ν - 1 αθμούς ελευθερίας. ΠεριοχέςΑπόρριψης Μονόπλευρος H : H : H : Απόρ. H αν ν,α Απόρ. H αν - ν,α Δίπλευρος Απόρ. H αν αν ν,α ν,α/ - 16 Παράδειγα: ίϖλευρος Έλεγχος Παράδειγα: ίϖλευρος Έλεγχος Είναι το μέο περιεχόμενο των κουτιών or-flkes 368 gr; Τυχαίο δείγμα 6 κουτιών είχε X X 37.5και s1 gr. Ελέγξτε ε επίπεδο 5 5.Υποθέτε κανονική κατανομή πληθυμού. - 17 H: 368 H: 368 α 5 ν 6-1 5 Κριτικές Τιμές: 5 5 -.59.59 Στατιτική Ελέγχου: X 37. 5 368 1. 91 s 1 6 Απόφαη: Η Αποδεκτή για α 5 Συμπέραμα: Δεν υπάρχει τατιτικά ημαντική ένδειξη ότι 368-18 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 3
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Παράδειγα: Μονόϖλευρος Έλεγχος Παράδειγα: Μονόϖλευρος Έλεγχος Είναι η μέη διάρκεια ζωής των μπαταριών τουλάχιτον 14 ώρες; Σε τυχαίο δείγμα μπαταριών ο μέος είναι 138.47ώρες και η τυπική απόκλιη.66. Υποθέτε κανονική κατανομή πληθυμού. Ελέγξτε ε επίπεδο ημαντικότητας 5. - 19 H: 14 H: < 14 α 5 ν - 1 19 Κριτική τιμή: Απόρ. Η 5-1.79 Στατιτική Ελέγχου : X 13847. 14. 57 S. 66 Απόφαη: Η Απορρίπτ. για α 5 Συμπέραμα: Υπάρχει ένδειξη ότι < 14 - -τιές και η -Κατανοή Η καταγραφή της κατανομής ε πίνακα δεν είναι επαρκώς λεπτομερής για τον υπολογιμό της ακριούς -τιμής ενός ελέγχου. Ο πίνακας της κατανομής μπορεί όμως να χρηιμοποιηθεί για τον υπολογιμό ενός εύρους τιμώνγια την -τιμή. Κατάλληλο λογιμικό Η/Υ μπορεί να χρηιμοποιηθεί για τον ακριή υπολογιμό της -τιμής. Αριτερόπλευρος Έλεγχος: Δεξιόπλευρος Έλεγχος: Δίπλευρος Έλεγχος: ( ν π ( ν π ( ν π v lu e P v lu e P v lu e P - 1 Παράδειγα: ίϖλευρος Έλεγχος Είναι το μέο περιεχόμενο των κουτιών or-flkes 368 gr; Τυχαίο δείγμα 6 κουτιών είχε X X 37.5και s1 gr. Ελέγξτε ε επίπεδο 5 5.Υποθέτε κανονική κατανομή πληθυμού. - Παράδειγα: ίϖλευρος Έλεγχος, - τιή 5 5 -.59.59 5, 5 -τιμή 673 π 5, 5 α 5 5 ν 6-1 5 Στατ.Ελέγχου: π 1. 91 τιμή P ( > -τιμή 5, 5 5, 5 5 > P( 1. 78. 59 5 ν π > 1. 91 > 5 1 > τιη > 5 ( - 3-4 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 4
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Κατανοή ειγατοληψίας της Αναλογίας 1. Παραδοχές Δυο Κατηγορικά Αποτελέματα Δυωνυμική Κατανομή του αριθμού επιτυχιών. Κατανομή Δειγματοληψίας X, ~ X ~ B(, (1 Δυωνυμική με E(, Αν mi {, (1 } 5 τότε (1 ~ N, - 5 1. Παραδοχές Δυο Κατηγορικά Αποτελέματα Δυωνυμική Κατανομή του αριθμού επιτυχιών Μπορεί να Εφαρμοτεί η Κανονική Προέγγιη. Z-τατιτική ελέγχου για την αναλογία Z ( Ηαναλογία πληθυμού αν η Ηείναι αληθής - 6 Z - Έλεγχος για την Αναλογία - Παράδειγα Το προηγούμενο ύτημα υκευαίας παρήγαγεαγε 1%ελαττωματικά προϊόντα.. Με ένα νέο ύτημα, ένα τυχαίο δείγμα προϊόντων περιείχεείχε 11 ελαττωματικά. Παράγει το νεό ύτημα λιγότερα ελαττωματικά; Ελέγξτε ε επίπεδο 5. Υπολογίτε την -τιμή και την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ για ε 95-7 - Παράδειγα H: 1 H: < 1 α 5 Κριτικές Τιμές: Απόρ. Η 5-1.645 Ζ Z Στατιτική Ελέγχου: 11 1 ˆ.. 1 ( 1( 1 Απόφαη: Η απορρίπτεται για α 5 Συμπέραμα: Υπάρχει ένδειξη πως το νέο ύτημα παράγει < 1% ελαττωματικά - 8 - Παράδειγα -τιμή vlue P ( Z < z 1 983 17 Ρ(αποδοχή Η ε P( ˆ > ε, z π P( Z <. 1 P( Z <. 1 ( 1( 1 1 1. 645 1 1. 645 ( 1 65 ε 65 95 3 P( Z > P( Z > P( Z > ( 1 95( 1 95 7 ε ε P( Z > 1. 45 P( Z < 1. 45 9647-9 1 - Παράδειγα Ετήιος λογιτικός απολογιμός έδειξε πως το 4% των υναλλαγών είχαν φάλματα. Εφαρμόζετε μια νέα διαδικαία για την διεξαγωγή των υναλλαγών. Τυχαίο δείγμα 5υναλλαγών είχε 5φάλματα. Μεταλήθηκε η αναλογίατων υναλλαγών με φάλματα ε επίπεδο 5; Υπολογίτε την -τιμή και την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ για ε 66-3 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 5
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ - Παράδειγα - Παράδειγα H:.4 H:.4 α.5 5 Κριτικές Τιμές: 5 5-1.96 1.96 Ζ Στατιτική Ελέγχου: Z ˆ ( 5 4 1 14 4( 4 5. Απόφαη: Η Δεν Απορ. για α.5 Συμπέραμα: Υπάρχει ένδειξη πως η αναλογία παραμένει το 4% - 31 -τιμή vlue P 1 ( Z > z π P( Z > 1. 14 [ P( Z < 1. 14 ] ( 8786 548-3 - Παράδειγα Ρ(αποδοχή Η ε P( L, L, z < ˆ < / U,, ε (, U, / ( - Παράδειγα L, ε U, ε P( Z < ε ( ε ε ( ε 3 6 57 6 P( < Z < 6( 6 6( 6 5 5 L, 4 1. 96 4( 4 3, 5 U, 4+ 1. 96 4( 4 57 5 37 3 P( < Z < P( 37 < Z < 3 1 1-33 P( Z < 3 P( Z < 37 1334-34. Ε. και ίϖλευρος Έλεγχος για τον Μέο και την Αναλογία ιάτηα Εϖιτούνης και ίϖλευρος Έλεγχος για τον Μέο και την Αναλογία Για τον μέο: Αν το 1(1-α% Διάτημα Εμπιτούνης του μέου περιέχειτην υποτιθέμενη τιμή, η H δεν απορρίπτεταιγια επίπεδο εμπιτούνης α. Αλλιώς,, η H απορρίπτεταιγια επίπεδο εμπιτούνης α. - 35 Δηλαδή, το Δ.Ε. και ο δίπλευρος έλεγχος είναι ιοδύναμοι την περίπτωη του μέου. - 36 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 6
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Ε. και ίϖλευρος Έλεγχος για τον Μέο Παράδειγα H: μ μ H: μ μ 1(1-α% Διάτημα Εμπιτούνης: Περιοχή απόρριψης: Άρα οι μέθοδοι είναι ιοδύναμοι. Αν ± z s ± z / 1 α ± z1 α/ ± z α / α / s s s - 37 Είναι ο μέος χρόνος εδομαδιαίας εργαίας τον πληθυμό των εργαζομένων 39.ώρες; Απλό τυχαίο δείγμα 11 εργαζομένων έδωε δειγματικό μέο ίο με 38.5ώρες και τυπική απόκλιη 4.8ώρες. Ελέγξτε ε επίπεδο 5. - 38 Παράδειγα Παράδειγα H: μ 39. H: μ 39. α 55 11 Κριτικές Τιμές: 5 5-1.96 1.96 Ζ Στατιτική Ελέγχου: 385. 39. Z 1. 543 s 4. 8 11 Απόφαη: Η δεναπορ. για α 5 Συμπέραμα: Υπάρχει ένδειξη πως ο μέος δεν διαφέρει ημαντικά από το 39. - 39 H: μ 39. α 5 5 H: μ 39. 11 95% Διάτημα Εμπιτούνης: s 4. 8 ± z α / 38. 5 ± 1. 96 38. 5 ± 1. 96 45356 38. 5 11 1 ± ( 37. 611, 39. 389 Η τιμή 39. ανήκει το 95% Δ.Ε.άρα η Η δεν απορρίπτεται για α5 889-4. Ε. και ίϖλευρος Έλεγχος για τον Μέο και την Αναλογία Παράδειγα Για την αναλογία: Το Δ.Ε. και ο δίπλευρος έλεγχος δεν είναι ιοδύναμοι την περίπτωη της αναλογίας. Αυτό διότι το διάτημα αποδοχής της Η ορίζεται με το, ενώ το διάτημα εμπιτούνης με την δειγματική εκτίμηη της αναλογίας, ˆ. - 41 H: H: 1(1-α% Διάτημα Εμπιτούνης: Περιοχή Αποδοχής: ˆ ± α / z1 Άρα οι μέθοδοι δεν είναι ιοδύναμοι. ˆ ( ˆ ( ± z1 α / - 4 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 7
Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Παράδειγα Παράδειγα Είναι το ποοτό των ανέργων τον πληθυμό ίο με 9%; ; Σε απλό τυχαίο δείγμα 3ενηλίκων ρέθηκαν 38άνεργοι. Ελέγξτε ε επίπεδο 5. H: 9 α 5 5 H: 9 3 Περιοχή Αποδοχής: - 43 ( 9( 91 ± z1 α / 9 ± 1. 96 3 ( 576, 14 Απόφαη: Η δειγματική αναλογία 38/317είναι την περιοχή απόρριψης, υνεπώς η Η απορρίπτεται - 44 H: 9 α 5 5 H: 9 3 Παράδειγα 95% Διάτημα Εμπιτούνης: ˆ( ˆ 17( 873 ˆ ± z1 α / 17 ± 1. 96 3 ( 893, 1646 Η τιμή 9 ανήκει το 95% Δ.Ε.αλλά η Η απορρίπτεται για α5, όπως είδαμε πριν. - 45 z / Περίληψη Στατιτικών Ελέγχου για Έλεγχο Υποθέεων για τον Μέο του Πληθυμού γνωτό; 5; Εκτίμηε το Εκτίμηε το με το s με το s z s / s / Κανονικός Πληθυμός; γνωτό; 3; z / Αύξηε το ( 3 Εκτίμηε το με το s z s / 5; Αύξηε το ( 5-46 Χ. Εμμανουηλίδης, emm@eo.uh.gr 8