PDF processed with CutePDF evaluation edition ( ) P( Z ) =

Transcript

1 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων - -3 Στόχοι Μθήτος Συπερτολογί Βιένη ε Έν είγ: Έλεγχοι υποθέεων. Τύποι Σττιτικών Υποθέεων. ιδικί Ελέγχου Υποθέεων 3. Σηίτης p-τιής 4. Σφάλτ Ελέγχων κι Ιχύς Ελέγχων 5. Επίλυη Προληάτων Ελέγχου Υποθέεων - - Πληθυός Έλεγχος Υϖοθέεων Η έη ετήι θεροκρί της Γης πρένει τθερή τους 4. ο C (υπόθεη. Το 4.6 είνι ηντικά διφορετικό πό το 4.. Η υπόθεη πορρίπτετι! Τυχίο είγ Μέος X = 4.6 ο C - 3 Πράδειγ Υϖερθέρνη του ϖλνήτη - 4 Πράδειγ Υϖερθέρνη του ϖλνήτη Η πλνητική θεροκρί την περίοδο 94-είχε = 4. ο Cκι= ο C. Από δείγ =4 τυχίων ετρήεων την δεκετί - πρoέκυψε = 4.6 C κι η τυπική πόκλιη πρέεινε ίδι. Μπορούε ν πούε πως η έη πλνητική θεροκρί την δεκετί - δενυξήθηκε; - 5 Πράδειγ Υϖερθέρνη του ϖλνήτη Κτνοή δειγτοληψίς της έης πλνητικής θεροκρίς πάνιο γεγονός (rre evet P( X 4.6 =.79 = P( X 4.6 = P = P = 4 P 3.6 = 3.6 =.999 =.79 ( P( X( C - 6 PDF proessed with CutePDF evlutio editio Χρήτος Ενουηλίδης

2 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων - -3 Έννοι της Σττιτικής Υϖόθεης Μι δήλωη γι ι πράετρο του πληθυού Πράετρος: Πράετρος:έος, έος, ήλωη: η έη ετήι νλογί, δικύνη θεροκρί τον πληθυού πλνήτη είνι 4. ο C ιτυπώνετι πριν πό την έτρηη/νάλυη - 7 Μηδενική Υϖόθεη. Η υπόθεη που ελέγχετι, υνήθως η πρού κτάτη ή η πρού γνώη ς. Το κότος ις λνθένης πόφης είνι υψηλό 3. Επεριέχει πάντ το ύολο της ιότητς: =,, ή 4. Συολίζετι ως H 5. ιτυπώνετι ως H : = ι τιή, ιτυπώνετι ε το ύολο = κόη κι ν, ή Π.χ., το πρόλη της θεροκρίς, H : = 5-8 Ενλλκτική Υϖόθεη. Αντίθετη της ηδενικής υπόθεης. Επεριέχει πάντ το ύολο της νιότητς:, <, ή > 3. Συολίζετι υνήθως ως H ή H 4. ιτυπώνετι ως H : < ι τιή, Π.χ. Π.χ.,, H : < 5 Βήτ ιτύϖωης Σττιτικών Υϖοθέεων Πράδειγ: Ελέγξτε ν ο έος του πληθυού δεν είνι 5 Βήτ ηλώτε το ερώτη ( 5 ηλώτε το ντίθετο ερώτη ( = 5 Πρέπει ν είνι οιί ποκλειόεν κι ποκλειτικά Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεη ( 5 Επεριέχει πάντοτε το ύολο της νιότητς, <, > ιτυπώτε τη ηδενική υπόθεη ( = 5 Επεριέχει πάντοτε το ύολο της ιότητς: =,, ιτύϖωη Υϖοθέεων Είνι ο έος χρόνος τηλεθέης τον πληθυό ώρες την εδοάδ; ηλώτε το ερώτη : = ηλώτε το ντίθετο : Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεη: H : ιτυπώτε τη ηδενική υπόθεη: H : = ίπλευρος έλεγχος: H : - ιτύϖωη Υϖοθέεων Είνι ο έος χρόνος τηλεθέης τον πληθυό διφορετικός πό ώρες; ηλώτε το ερώτη : ηλώτε το ντίθετο : = Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεη: H : ιτυπώτε τη ηδενική υπόθεη: H : = ίπλευρος έλεγχος: H : - Χρήτος Ενουηλίδης

3 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -3-3 ιτύϖωη Υϖοθέεων Είνι το έο κότος νά εργτοώρ ικρότερο ή ίοπό 5ευρώ? ηλώτε το ερώτη : 5 ηλώτε το ντίθετο : > 5 Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεη: H : > 5 ιτυπώτε τη ηδενική υπόθεη: H : = 5 εξιόπλευρος έλεγχος: H : > 5-3 ιτύϖωη Υϖοθέεων Είνι το έο ποό νά γορά το ιλιοπωλείο ικρότερο πό 5ευρώ; ηλώτε το ερώτη : < 5 ηλώτε το ντίθετο : 5 Επιλέξτε την ενλλκτική υπόθεη: H : < 5 ιτυπώτε τη ηδενική υπόθεη: H : = 5 Αριτερόπλευρος έλεγχος: H : < 5-4 Περίληψη Μορφών Μηδενικής κι Ενλλκτικής Υϖόθεης Έτω θη η πράετρος ενδιφέροντος κι θοη υποτιθέενη τιή της. H : θ θ Αριτερόπλευρος έλεγχος: H : θ < θ εξιόπλευροςέλεγχος: ίπλευρος έλεχος: H : θ θ H : θ > θ H : θ = θ H : θ θ εποένως πορρίπτουε την υπόθεη ότι = 4.. Η ική ιδέ Κτνοή δειγτοληψίς του έου... νόντως υτός ήτν ο έος του πληθυού = 4. H Είνι ικρή η πιθνότητ ν ρίκε ένν δειγτικό έο ε υτή την τιή X - 6 Εϖίϖεδο Σηντικότητς. Είνι ι πιθνότητ που ορίζει τις τιές της δειγτικής ττιτικής που έχουν ικρή πιθνότητ ν ν η ηδενική υπόθεη είνι ληθής Επίπεδο Οι τιές ικρής πιθνότητς κλούντι περιοχή Επιτούνης πόρριψης της κτνοής δειγτοληψίς Οι τιές της δειγτικής ττιτικής που ορίζουν την - περιοχή πόρριψης κλούντι κριτικέςτιές επίπεδο ηντικότητς υολίζετι ε Τυπικέςτιές: =.,.5,. Τιή τιή του επιπέδου ηντικότητς επιλέγετι ειγτική Ho Σττιτική τον ερευνητή την ρχή της έρευνς, δηλ. Τιή πότη έτρηη Το επίπεδο 3. Η τιή πό τον πριν πό Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος Κτνοή ειγτοληψίς Χρήτος Ενουηλίδης

4 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -4-3 Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος Αϖόρριψης ( εξιόϖλευρος Έλεγχος Κτνοή ειγτοληψίς Επίπεδο Επιτούνης Κτνοή ειγτοληψίς Επίπεδο Επιτούνης - - Τιή Ho Πρτηρούενητιή Τιή ειγτική Σττιτική - 9 Τιή Ho ειγτική Σττιτική Τιή Πρτηρούενητιή - Αϖόρριψης (Αριτερόϖλευρος Έλεγχος Αϖόρριψης (Αριτερόϖλευρος Έλεγχος Κτνοή ειγτοληψίς - Επίπεδο Επιτούνης Κτνοή ειγτοληψίς - Επίπεδο Επιτούνης Τιή Τιή Ho ειγτική Σττιτική - Τιή Τιή Ho Πρτηρούενητιή ειγτική Σττιτική - Αϖόρριψης (Αριτερόϖλευρος Έλεγχος Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος Κτνοή ειγτοληψίς Επίπεδο Επιτούνης Κτνοή ειγτοληψίς Επίπεδο Επιτούνης - / - / Τιή ειγτική Σττιτική Τιή ειγτική Σττιτική Ho Ho Τιή Τιή Τιή Πρτηρούενητιή Χρήτος Ενουηλίδης

5 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -5-3 Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος Κτνοή ειγτοληψίς Επίπεδο Επιτούνης Κτνοή ειγτοληψίς Επίπεδο Επιτούνης / - / / - / Τιή Τιή Ho ειγτική Σττιτική Τιή Πρτηρούενη Τιή - 5 Τιή Τιή Ho ειγτική Σττιτική Τιή - 6 Περιοχές Αϖόρριψης ( ίϖλευρος Έλεγχος Κτνοή ειγτοληψίς / Τιή - Επίπεδο Επιτούνης / Τιή ειγτική Σττιτική Ho Τιή - 7 Περιοχές Αϖόρριψης (Όλοι οι Τύϖοι Ελέγχων - Αριτερόπλευρος: H: θ < θ / - - εξιόπλευρος: H: θ > θ / ίπλευρος: H: θ θ - 8 Περιοχές Αϖόρριψης Περιοχές γι Συνήθεις Τιές του (Έλεγχος ε την Ζ-ττιτική Κνονική Κ.. γνωτό Τύπος ελέγχου Αριτερόπλευρος εξιόπλευρος ίπλευρος z -z - z z - z z -/ θ θ - z - θ Κριτικές θ θ + z - θ θ θ + z -/ θ Κίνδυνοι τη Λήψη Αϖοφάεων Τιές -z - z - ± z -/ = ±.645 = ±.96 = ± Χρήτος Ενουηλίδης

6 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -6-3 Σφάλτ τη Λήψη Αϖοφάεων. Σφάλ Τύπου Ι Απόρριψη ληθούς ηδενικής υπόθεης Έχει ορές επιπτώεις Η Η πιθνότητ Σφάλτος Τύπου Ι είνι Κλείτι επίπεδο ηντικότητς. Σφάλ Τύπου ΙΙ Αποδοχή εφλένης ηδενικής υπόθεης Η πιθνότητ Σφάλτος Τύπου ΙΙ είνι H : = Έλεγχος Η Πργτικότητ Απόφη H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H υντά Αϖοτελέτ Αϖοφάεων Σωτό Λάθος H Ψευδής Λάθος Σωτό H : = Έλεγχος Η Έλεγχος H Πργτικότητ Πργτικότητ Απόφη H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H υντά Αϖοτελέτ Αϖοφάεων Σωτό Λάθος H Ψευδής Λάθος Σωτό Απόφη H Αληθής Αποδοχή H Απόρριψη H - Σφάλ Τύπου I ( H Ψευδής Σφάλ Τύπου II ( Ιχύς ( Τ κι έχουν ντίτροφη χέη Τ δύο φάλτ δε πορεί ν ειωθούν τυτόχρον, πρά όνο ε ύξηη του εγέθους δείγτος Πράγοντες ϖου εϖηρεάζουν το (Θ νλυθούν ργότερ. Αληθής Τιή της Πρέτρου Πληθυού Αυξάνει ότν η ιφορά της πό την Υποτιθέενη Τιή Μειώνετι θ θ. Επίπεδο Σηντικότητς, Αυξάνει ότν το Μειώνετι 3. Τυπική Απόκλιη Πληθυού, Αυξάνειότν το Αυξάνει 4. Μέγεθος είγτος, Αυξάνειότντο το Μειώνετι ιδικί Ελέγχου Υϖοθέεων Χρήτος Ενουηλίδης

7 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -7-3 Βήτ Ελέγχου της H Βήτ Ελέγχου της H ιτυπώτετην την ηδενική υπόθεη H ιτυπώτε την εννλκτική υπόθεη H Επιλέξτετο το επίπεδο ηντικότητς Επιλέξτετο το έγεθος του δείγτος Επιλέξτε την ττιτική ελέγχου (δειγτική ττιτική Κθορίτε τις κριτικές τιές της ττιτικής Συλλέξτε εδοέν Υπολογίτε την τιή της ττιτικής ελέγχου Λάετε την ττιτική πόφη ιτυπώτε την πόφη λεκτικά Έλεγχοι γι Ένν Πληθυό Μέος Ένς Πληθυός Ανλογί ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο ( Γνωτό έλεγχος t έλεγχος έλεγχος ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο ( Γνωτό. Πρδοχές Κνονικά Κτνεηένος Πληθυός Αν όχι Κνονικός, Μπορεί ν Προεγγιτεί πό την Κνονική Κτνοή ( 3. Η Ενλλκτική Υπόθεη Επεριέχει το Σύολο X X 3. Σττιτική -Ελέγχου: = = - 4 Απόρ. Η ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο ( Γνωτό / H : = H : -z -/ Απόρ. Η / z -/ Ζ X z / + z / Η πρτηρούενη τιή π πρέπει ν είνι ηντικά ικρότερη ή εγλύτερη του γι ν πορριφθεί η Η - 4 Χρήτος Ενουηλίδης

8 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -8-3 Πράδειγ: ίϖλευρος Έλεγχος Ετιρί ερευνών άρκετινγκ ιχυρίζετι πως η έη ετήι κτά κεφλή δπάνη γι olie γορές ειδών ένδυης νέρχετι ε 5 ευρώ.γι ν ελεγχθεί η ιχύς της δήλωης, ιδιωτική επορική ετιρί έλε τυχίο δείγ 5κτνλωτών. Μετρήθηκε έη ετήι δπάνη X X = ευρώ.. Η ετιρίερευνών ερευνών δήλωεότιτο το είνι 45ευρώ. Ελέγξτε εεπίπεδο ηντικότητς =.5.Θεωρείτε ότι ο πληθυός είνι κνονικός κι η δήλωη της ετιρίς γι την τυπική πόκλιη του πληθυού είνι ωτή H: = 5 H: 5 =.5 5 = 5 Πράδειγ: ίϖλευρος Έλεγχος Κριτικές Τιές : z π Σττιτική Ελέγχου: X = = = Ζ Απόφη: εν πορ. Η γι =.5 Συπέρ: εν υπάρχει επρκής ένδειξη ότι 5-44 Πράδειγ: ίϖλευρος Έλεγχος Είτε ελεγκτής ποιότητς πργωγής. Θέλετε ν δείτε ν ι νέ έθοδος πράγει ηλεκτρικά κλώδι ύφων ε τις πιτήεις του πελάτη: έηντοχή ε θρύη 7 kg ε = 3.5 kg. Λάνετε δείγ 36κλωδίων κι υπολογίζετε τον δειγτικό έο 69.7 kg. Σε επίπεδο ηντικότητς =.5,, υπάρχει ένδειξη πως η έθοδος δενντποκρίνετι τη ζητούενη έη ντοχή ε θρύη; - 45 Πράδειγ: ίϖλευρος Έλεγχος H: = 7 H: 7 =.5 = 36 Κριτικές Τιές : Σττιτική Ελέγχου: X zπ = = = Ζ Απόφη: εν πορ. Η γι =.5 Συπέρ: εν υπάρχει επρκής ένδειξη ότι 7-46 Μονόϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο ( Γνωτό Μονόϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο ( Γνωτό. Πρδοχές Κνονικά Κτνεηένος Πληθυός Αν όχι Κνονικός, Μπορεί ν Προεγγιτεί πό την Κνονική Κτνοή ( 3. Η Ενλλκτική Υπόθεη Επεριέχει το Σύολο < ή > X X 3. Σττιτική -ελέγχου: = = Χρήτος Ενουηλίδης

9 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -9-3 Μονόϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο Απόρ. Η ΑΡΙΣΤΕΡΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ H : = H : < Μονόϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο ΕΞΙΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ H : = H : > Απόρ. H -z - Ζ z X Η πρτηρούενη τιή π πρέπει ν είνι ηντικά ικρότερη του γι ν πορριφθεί η Η - 49 z - + z X Η πρτηρούενη τιή π πρέπει ν είνι ηντικά εγλύτερη του γι ν πορριφθεί η Η - 5 Πράδειγ Μονόϖλευρου Ζ-ελέγχου Ετιρί ερευνών άρκετινγκ ιχυρίζετι πως η έη ετήι κτά κεφλή δπάνη γι olie γορές ειδών ένδυης υπερίνει τ 5 ευρώ.γι ν ελεγχθεί η ιχύς της δήλωης, ιδιωτική επορική ετιρί έλε τυχίο δείγ 5κτνλωτών. Μετρήθηκε έη ετήι δπάνη X X = 53.5 ευρώ.. Η ετιρίερευνών ερευνών δήλωεότιτο το είνι 45ευρώ. Ελέγξτε εεπίπεδο ηντικότητς =.5.Θεωρείτε ότι ο πληθυός είνι κνονικός κι η δήλωη της ετιρίς γι την τυπική πόκλιη του πληθυού είνι ωτή. - 5 Πράδειγ Μονόϖλευρου Ζ-ελέγχου H: = 5 H: > 5 =.5 5 = 5 Κριτικές Τιές : Απόρ. Η Ζ Σττιτική Ελέγχου: X zπ = = = = Απόφη: Η δεν πορ. γι =.5 Συπέρ: εν υπάρχει επρκής ένδειξη ότι > 5-5 Πράδειγ Μονόϖλευρου Ζ-ελέγχου Είτε νλυτής ε ιοηχνί υτοκινήτων. Θέλετε ν ελέγξετενο έος ριθός χιλιοέτρωννά λίτρο γι έν τύπο υτοκινήτουείνι τουλάχιτον 4 km/lt. Πρόοι οντέλυτοκινήτων υτοκινήτων έχουντυπική πόκλιηκτνάλωης κτνάλωης κυίου.7 km/lt. Πίρνετε τυχίο δείγ 6υτοκινήτων κι υπολογίζετε δειγτική έη κτνάλωη 3.4 km/lt. Σεεπίπεδο ηντικότητς =., υπάρχει ένδειξη πωςτο το είνι τουλάχιτον 4 km/lt; - 53 Πράδειγ Μονόϖλευρου Ζ-ελέγχου H: = 4 H: < 4 =. = 6 Κριτικές Τιές : Απόρ. Η Ζ Σττιτική Ελέγχου: X zπ = = = Απόφη: Απόρριψη Η γι =. Συπέρ: Υπάρχει ένδειξη ότι < 4-54 Χρήτος Ενουηλίδης

10 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων - -3 p - τιή Πρτηρούεν Εϖίϖεδ Σηντικότητς: p - τιές. Ορίζετι ως η πιθνότητ η ττιτική ελέγχου ν λάει τιή τουλάχιτον τόο κρί ( ή όοη πρτηρούενη τιή δεδοένου ότιη H είνι ληθής. Κλείτι πρτηρούενο επίπεδο ηντικότητς Είνι η ελάχιτη τιή του γι την οποίη H πορεί ν πορριφθεί 3. Χρηιοποιείτιγιτη λήψη πόφης Αν p-τιή,, η H πορρίπτετι Αν p-τιή >,, η H δεν πορρίπτετι Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο Είνι το έο περιεχόενο των υκευιώνενός ενός προϊόντος 5 gr; Τυχίο δείγ 5 υκευιών είχε X X = Η ετιρί δήλωε ότι το είνι 5 gr. Υπολογίτε την p-τιήτου του ελέγχου. Θεωρείτε ότι ο πληθυός είνι κνονικός κι η δήλωη της ετιρίς γι την τυπική πόκλιη του πληθυού ωτή Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο X π = = = Πρτηρούενη z-τιή: z π - 58 Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιή είνι P( -.5 ή.5 Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιή είνι P( -.5 ή.5 / p / p Πρτηρούενη z-τιή: z π Πρτηρούενη z-τιή: z π - 6 Χρήτος Ενουηλίδης

11 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων - -3 Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιή είνι P( -.5 ή.5 Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο Η p-τιή είνι P( -.5 ή.5 =.336 / p / p / p =.668 / p = Από Πίνκ: : Ρ( z π Πρτηρούενη z-τιή: z π - 6 Πρτηρούενη z-τιή: z π - 6 Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο -έλεγχο Πράδειγ p-τιής ε ίϖλευρο Ζ-έλεγχο / p =.668 / p =.668 (p-τιή =.336 > ( =.5. Η δεν πορρίπτετι. / p =.668 / p =.668 Απόρ. Η Απόρ. Η Απόρ. Η Απόρ. Η / =.5 / =.5 / =.5 / = Η Σττιτική Ελέγχου έχει τιή την - 64 Περίληψη Υϖολογιού p-τιών ε Ζ-ελέγχους ( p τιή = P z π z π Αριτερόπλευρος: H: < z π εξιόπλευρος: H: > / p / p ( p τιή = P z π ( p τι ή = P z π Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο Είνι το έο περιεχόενο των υκευιώνενός ενός προϊόντος πάνω πό 5 gr; Τυχίο δείγ 5 υκευιών είχε X X = Η ετιρί δήλωε ότι το είνι 5 gr. Υπολογίτε την p-τιήτου του ελέγχου. Θεωρείτε ότι ο πληθυός είνι κνονικός κι η δήλωη της ετιρίς γι την τυπική πόκλιη του πληθυού ωτή. - z π z π ίπλευρος: H:, z π < ή z π > Χρήτος Ενουηλίδης

12 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων - -3 Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο X π = = = Χρήη της Η γι εύρεη κτεύθυνης Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο p-τιή = P(.5 p-τιή.5 Πρτηρούενη z-τιή: z π Πρτηρούενη z-τιή: z π - 68 Χρήη της Η γι εύρεη κτεύθυνης Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο p-τιή = P( Από Πίνκ: : Ρ( z π.5 p-τιή Πρτηρούενη z-τιή: z π - 69 Χρήη της Η γι εύρεη κτεύθυνης Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο p-τιή = P( Από Πίνκ: : Ρ( z π.5 p-τιή Πρτηρούενη z-τιή: z π - 7 Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο Χρήη της Η γι εύρεη κτεύθυνης p-τιή = P( Από Πίνκ: : Ρ( z π.5 p-τιή = Πρτηρούενη z-τιή: z π p-τιή =.668 Απόρ. Η =.5-7 Χρήτος Ενουηλίδης

13 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -3-3 Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο (p-τιή =.668 > ( =.5. Η εν Απορρίπτετι. p-τιή =.668 Απόρ. Η =.5 Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο Είτε νλυτής γι την Ford US. Θέλετε ν ρείτε ν ο έος ριθός ιλίων νά γλόνι γι τ Fous είνι τουλάχιτον 3 mpg. Πρόοι οντέλ έχουν τυπική πόκλιη 3.8 mpg. Πίρνετε τυχίο δείγ 6 Fous κι υπολογίζετε δειγτικό έο 3.7 mpg. Ποιό είνι το πρτηρούενο επίπεδο ηντικότητς (p-τιή τιή;.5 Η Σττιτική Ελέγχου έχει τιή την Πράδειγ p-τιής ε Μονόϖλευρο Ζ-έλεγχο p-τιή = P( -.65 =.4. p-τιή ( =.. H Απορρίπτετι. Χρήη της Η γι εύρεη κτεύθυνης p-τιή Υϖολογιός Πιθνότητς Σφάλτος Τύϖου II Πρτηρούενη z-τιή: z π 3 Από Πίνκ: Ρ( - z π Τ κι έχουν ντίτροφη χέη Πράγοντες ϖου εϖηρεάζουν το Τ δύο φάλτ δε πορεί ν ειωθούν τυτόχρον.. Αληθής Τιή της Πρέτρου Πληθυού Αυξάνει ότν η ιφορά της πό την Υποτιθέενη Τιή Μειώνετι. Επίπεδο Σηντικότητς, θ θ Αυξάνει ότν το Μειώνετι 3. Τυπική Απόκλιη Πληθυού, Αυξάνειότν το Αυξάνει 4. Μέγεθος είγτος, Αυξάνειότντο το Μειώνετι Χρήτος Ενουηλίδης

14 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -4-3 Πιθνότητ φάλτος Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ Είνι το έο ηνιίο ειόδη των είων τελεχών πάνωπό 4 ευρώ; Η τυπική πόκλιη των ειοδηάτων θεωρείτι γνωτή κι ίη ε = ευρώ. Τυχίο δείγ 5 είων τελεχώνείχε X = 44 ευρώ. Ελέγξτε ε επίπεδο.5. Υπολογίτετην πιθνότητ Σφάλτος ΤύπουΙΙ,, ν την πργτικότητ: =45, = Πιθνότητ φάλτος Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ H: = 4 ΣττιτικήΕλέγχου: H: > 4 4 zπ = = =.5 / 44 4 = 5 = =.44 < z =.645 Κριτικές Τιές : / 5 Απόφη: Απόρ. Η Αποδοχή της Η γι =.5.5 Συπέρ: εν υπάρχει επρκής ένδειξη.645 Ζ ότι >4-8 Γι =.5 η Η δεν πορρίπτετι γι ή Πιθνότητ φάλτος Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ < = + z = = z < z =. 645 Απόρ. Η =.5-8 Πιθνότητ φάλτος Τύϖου ΙΙ - Πράδειγ Απόρ. Η = Θέτε =45 ( ή 475. =Ρ(Αποδοχή Η = = P ( X < = = P < = / = P < = P ( <. 76 = / ή P < = P =. / 5 ( < Πιθνότητ Σφάλτος Τύϖου ΙΙ γι διάφορες τιές του Περίληψη Υϖολογιού Πιθνότητς Σφάλτος Τύϖου ΙΙ Απόρ. Η εξιόπλευρος Έλεγχος, Η : > = =.5 = P ( X < = = P <, / = + z Απόρ. Η = Χρήτος Ενουηλίδης

15 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -5-3 Περίληψη Υϖολογιού Πιθνότητς Σφάλτος Τύϖου ΙΙ Αριτερόπλευρος Έλεγχος, Η : < = P ( X > = = P >, / = z Απόρ. Η Περίληψη Υϖολογιού Πιθνότητς Σφάλτος Τύϖου ΙΙ ίπλευρος Έλεγχος, Η : = P( < X < = = P, L, U, L, U < <, / / = z, = + z, L /, U / / /, L, U X - 85, L, U X - 86 Περίληψη Υϖολογιού Πιθνότητς Σφάλτος Τύϖου ΙΙ. ιτυπώτε τη ηδενική κι την ενλλκτική υπόθεη.. Από το επίπεδο επιτούνης κθορίτε την περιοχή πόρριψης ε άη την ττιτική ελέγχου. 3. Από τον κνόν πόρριψης, υπολογίτε την τιή (ή ή τιές του δειγτικού έου που κθορίζει την περιοχή πόρριψης. 4. Με άη την τιή (ή ή τιές του ήτος 3 κθορίτε τις τιές του δειγτικού έου που νήκουν την περιοχή ποδοχής. 5. Από την κτνοή δειγτοληψίς του έου γι οποιδήποτε τιή του της ενλλκτικής υπόθεης,κι την περιοχή ποδοχής του ήτος 4, υπολογίτε την πιθνότητ ο δειγτικός έος ν είνι την περιοχή ποδοχής Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( εξιόπλευρος Έλεγχος, Η : > = P( X < = = P < = P < z +, / / = + z Απόρ. Η Χρκτηρ. Λειτ. Κπύλη }.5 +3 X - 88 Αριτερόπλευρος Έλεγχος, Η : < = P( X > = = P > = P > z +, / / Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( = z Απόρ. Η Χρκτηρ. Λειτ. Κπύλη }.5 3 X - 89 Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( ίπλευρος Έλεγχος,, L, U Η : = P(, L < X <, U = = P < < = / / = P z / + < < z / +, / / / /, L, U X, L = z, = + z, L, U / /, U X Χρκτηρ. Λειτ. Κπύλη }.5, L 3 X, L U, U, + 3 X - 9 Χρήτος Ενουηλίδης

16 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -6-3 Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( εξιόπλευρος: H : > }.5 +3 ίπλευρος: H : = X Αριτερόπλ.: H : < }.5 3 X }.5 3 X, L, U + 3 X - 9 Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( εξιόπλευρος: H : > Αριτερόπλ.: H : < ίπλευρος: H : = = e π z dz =, = z + / = z +, = + / = z / +, = z / + / / - 9 Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( Χρκτηριτικές Λειτουργικές Κϖύλες ( Όο εγλύτερη η κλίητης χρκτηριτικής λειτουργικής κπύλης, δηλ. όο τχύτερ ειώνετι το ε το -, τόο κλύτερη η ικνότητ ενός ελέγχου ν πορρίπτει ι λνθένη Η Αυτό επιτυγχάνετι επιλέγοντς κτάλληλο υνδυό των κι â =, =5, =, =. Η : < =, =5, =3, = ì á =, =5, =, = Πράδειγ Εϖιλογή Μεγέθους είγτος γι Έλεγχο του Μέου - 95 ειγτοληψί ποδοχής προϊόντος: Ετιρί θέλει ο έος χρόνος λειτουργίς των πτριών που θ γοράει ν είνι τουλάχιτον ώρες.. Ο άντζερ ελέγχου ποιότητς θέτει τις πρκάτω προϋποθέεις γι την γορά: Προϋπόθεη φάλτος Τύπου Ι:Αν ο έος χρόνος ζωής είνι =, ποδέχοι τον κίνδυνο ν πορρίψω την γορά ε πιθνότητ =.5 (κίνδυνος του πργωγού Προϋπόθεη φάλτος Τύπου ΙΙ:Αν ο έος χρόνος ζωής είνι =5, ποδέχοι τον κίνδυνο ν ποδεχτώ την γορά ε πιθνότητ =.. (κίνδυνος του κτνλωτή Τι έγεθος δείγτος πρέπει ν επιλεγεί ν = ώρες; - 96 Χρήτος Ενουηλίδης

17 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -7-3 Πράδειγ ειγτοληψί ποδοχής προϊόντος: H: =.5 5 = H: < =. = 5 = Εϖιλογή Μεγέθους είγτος γι Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: Αριτερ.Έλεγχος, Η : < Απόρ. Η = z z - = = + z - 98 Εϖιλογή Μεγέθους είγτος γι Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: Αριτερ.Έλεγχος, Η : < = z = + z z = + z ( z = z + = = z + z ( z + z ( - 99 Πράδειγ ειγτοληψί ποδοχής προϊόντος: H: =.5 5 = H: < =. = 5 = ( z + z = = z - =.645 ( z - =.8 ( ( = = ( 5 Άρ θ επιλεγεί =5 - Εϖιλογή Μεγέθους είγτος γι Έλεγχο του Μέου Εϖιλογή Μεγέθους είγτος γι Έλεγχο του Μέου Μονόπλευρος Έλεγχος: ( z + z = ( όπου z - = κριτική z τιή του ελέγχου γι επίπεδο ηντικότητς z - = κριτική z-τιή γι την πιθνότητ φάλτος τύπου ΙΙ,. :Ρ(Ζ< z - =- = τυπική πόκλιη του πληθυού = τιή έου του πληθυού την H = τιή έου του πληθυού που χρηιοποιείτι γι τον υπολογιό του Σφάλτος Τύπου ΙΙ - ίπλευρος Έλεγχος ( z / + z = (προεγγιτικά: ( ίνει τέτοιο ώτε η πιθνότητ φάλτος τύπου ΙΙ ν είνι το πολύ ίηε. όπου z -/ = κριτική z τιή του ελέγχου γι επίπεδο ηντικότητς z - = κριτική z-τιή γι την πιθνότητ φάλτος τύπου ΙΙ, :Ρ(Ζ< z - =- - Χρήτος Ενουηλίδης

18 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -8-3 Περίληψη t-ελέγχων γι τον Μέο t Έλεγχος γι τον Μέο ( Άγνωτο - 3 Σττιτική Ελέγχου Άγνωτο, ΠληθυόςΚνονικός (ή προεγγιτικά κνονικός Η ττιτική ελέγχου κολουθεί την κτνοή t -studet ε ν = - θούς ελευθερίς. Περιοχές Μονόπλευρος H : H : H : = Απόρ. H ν t t ν, Απόρ. H ν t - t ν, t = s / ίπλευρος Απόρ. H ν ν t t ν, ν,/ - 4 Πράδειγ: ίϖλευρος t Έλεγχος Πράδειγ: ίϖλευρος t Έλεγχος Είνι το έο περιεχόενο των κουτιών or-flkes 368 gr; Τυχίο δείγ 6 κουτιώνείχε X = 37.5κι s= gr. Ελέγξτε ε επίπεδο.5 5.Υποθέτε κνονική κτνοή πληθυού. - 5 H: = 368 H: 368 =.5 ν = 6 - = 5 Κριτικές Τιές: t Σττιτική Ελέγχου: X t = = =. 9 s 6 Απόφη: Η Αποδεκτή γι =.5 Συπέρ: εν υπάρχει ττιτικά ηντική ένδειξη ότι Πράδειγ: Μονόϖλευρος t Έλεγχος Πράδειγ: Μονόϖλευρος t Έλεγχος Είνι η έη διάρκει ζωής των πτριών τουλάχιτον 4 ώρες; Σε τυχίο δείγ πτριών ο έος είνι 38.47ώρες κι η τυπική πόκλιη.66. Υποθέτε κνονική κτνοή πληθυού. Ελέγξτε ε επίπεδο ηντικότητς H: = 4 H: < 4 =.5 ν = - = 9 τιή: Απόρ. Η t Σττιτική Ελέγχου : X t = = =. 57 S. 66 Απόφη: Η Απορρίπτ. γι =.5 Συπέρ: Υπάρχει ένδειξη ότι < 4-8 Χρήτος Ενουηλίδης

19 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -9-3 p-τιές κι η t-κτνοή Η κτγρφή της tκτνοής ε πίνκ δεν είνι επρκώς λεπτοερής γι τον υπολογιό της κριούς p-τιής ενός ελέγχου. Ο πίνκς της tκτνοής πορεί όως ν χρηιοποιηθεί γι τον υπολογιό ενός εύρους τιώνγι την p-τιή. Κτάλληλο λογιικό Η/Υ πορεί ν χρηιοποιηθεί γι τον κριή υπολογιό της p-τιής. Αριτερόπλευρος Έλεγχος: εξιόπλευρος Έλεγχος: ίπλευρος Έλεγχος: ( ν π ( ν π ( ν π p v lu e = P t t p v lu e = P t t p v lu e = P t t - 9 Πράδειγ: ίϖλευρος t Έλεγχος Είνι το έο περιεχόενο των κουτιών or-flkes 368 gr; Τυχίο δείγ 6 κουτιώνείχε X = 37.5κι s= gr. Ελέγξτε ε επίπεδο.5 5.Υποθέτε κνονική κτνοή πληθυού. - Πράδειγ: ίϖλευρος t Έλεγχος, p- τιή.5.5 =.5 5 ν = 6 - = 5 Σττ.Ελέγχου: t π =. 9 τιή = P ( tν tπ p-τιή - Έλεγχος γι την Ανλογί -.6 t t 5,. 5 p-τιή = ,.5 tπ t 5,. 5 t t 5,.5 =.78 =.6.5 > P( t.9 >.5 5. > p τιη >.5 ( - - Κτνοή ειγτοληψίς της Ανλογίς. Πρδοχές υο Κτηγορικά Αποτελέτ υωνυική Κτνοή του ριθού επιτυχιών X ~ B(, p. Κτνοή ειγτοληψίς X p, p ~ p( p = υωνυική ε E( p = p, p = Αν mi { p, ( p } 5 τότε ( p ~ N p, p p Έλεγχος γι την Ανλογί. Πρδοχές υο Κτηγορικά Αποτελέτ υωνυική Κτνοή του ριθού επιτυχιών Μπορεί ν Εφροτεί η Κνονική Προέγγιη. -ττιτική ελέγχου γι την νλογί p p p ( p Ηνλογί πληθυού ν η Ηείνι ληθής - 4 Χρήτος Ενουηλίδης

20 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ Το προηγούενο ύτη υκευίς πρήγγεγε %ελττωτικά προϊόντ. Μεέν νέούτη, έν τυχίο δείγ προϊόντων περιείχεείχε ελττωτικά. Πράγειτονεό ύτη λιγότερ ελττωτικά; Ελέγξτε ε επίπεδο.5. Υπολογίτε την p-τιή κι την πιθνότητ φάλτος τύπου ΙΙ γι p ε = Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ H: p =. H: p <. =.5 = ΚριτικέςΤιές: Απόρ. Η Ζ = Σττιτική Ελέγχου: pˆ. p = =. p ( p. (. Απόφη: Η πορρίπτετι γι =.5 Συπέρ: Υπάρχει ένδειξη πως το νέο ύτη πράγει < % ελττωτικά Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ p-τιή =.983 =.7 = Ρ(ποδοχή Η p=p ε = ( (. (. p vlue = P z = P = P < = P( pˆ > p p = pε, p = p z π p( p. (. p = = (. =. 65 p pε = P( > = P( > = P( > p ( p. 95( ε ε = P( >. 45 = P( <. 45 = Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ Ετήιος λογιτικός πολογιός έδειξεπωςτο 4% των υνλλγών είχνφάλτ. Εφρόζετε ι νέ διδικί γι την διεξγωγήτων υνλλγών. Τυχίο δείγ 5 υνλλγών είχε 5φάλτ. Μετλήθηκε η νλογίτων υνλλγών ε φάλτ ε επίπεδο.5; Υπολογίτε την p-τιή του ελέγχου κι την πιθνότητ φάλτος τύπου ΙΙ γι p ε = Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ - Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ H: p =.4 H: p.4 =.5 = 5 ΚριτικέςΤιές: Ζ Σττιτική Ελέγχου: = pˆ p = p ( p = 4. 4 ( Απόφη: Η εν Απορ. γι =.5 Συπέρ: Υπάρχει ένδειξη πως η νλογί πρένει το 4% - 9 p-τιή ( π p vlue = P z = P(.4 [ P ] = ( <.4 = (.8786 = Χρήτος Ενουηλίδης

21 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ = Ρ(ποδοχή Η p=p ε = = P( p p L, L, = p z < pˆ < p / U, p = p, ε p( p, p U, = p + z / p ( p - Έλεγχος γι την Ανλογί - Πράδειγ pl, pε pu, pε = P( < < pε ( pε pε ( pε = P( < <.6(.6.6( p L, = (. 4 =. 3, 5 p U, = (. 4 = = P( < < = P(.37 < < = P( <.3 P( <.37 = Ε. κι ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο κι την Ανλογί ιάτη Εϖιτούνης κι ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο κι την Ανλογί Γι τον έο: Αν το (-% ιάτη Επιτούνης του έου περιέχειτην υποτιθέενη τιή, η H δεν πορρίπτετιγι επίπεδο επιτούνης. Αλλιώς,, η H πορρίπτετιγι επίπεδο επιτούνης. - 3 ηλδή, το.ε. κι ο δίπλευρος έλεγχος είνι ιοδύνοι την περίπτωη του έου Ε. κι ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο Πράδειγ H: = H: (-% ιάτη Επιτούνης: Αν πόρριψης: Άρ οι έθοδοι είνι ιοδύνοι. ± z / ± z / s s ± z ± z s s Είνι ο έος χρόνος εδοδιίς εργίς τον πληθυό των εργζοένων 39.ώρες; Απλό τυχίο δείγ εργζοένων έδωε δειγτικό έο ίο ε 38.5ώρες κι τυπική πόκλιη 4.8ώρες. Ελέγξτε ε επίπεδο.5. / / Χρήτος Ενουηλίδης

22 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων - -3 Πράδειγ Πράδειγ H: = 39. H: 39. =.55 = Κριτικές Τιές: Ζ Σττιτική Ελέγχου: = = =. 543 s 4. 8 Απόφη: Η δενπορ. γι =.5 Συπέρ: Υπάρχει ένδειξη πως ο έος δεν διφέρει ηντικά πό το H: = 39. =.5 5 H: 39. = 95% ιάτη Επιτούνης: s 4. 8 ± z / = ±. 96 = ± = ± ( 37. 6, Η τιή 39. νήκει το 95%.Ε.άρ η Η δεν πορρίπτετι γι = Ε. κι ίϖλευρος Έλεγχος γι τον Μέο κι την Ανλογί Πράδειγ Γι την νλογί: Το.Ε. κι ο δίπλευρος έλεγχος δεν είνι ιοδύνοι την περίπτωη της νλογίς. Αυτό διότι το διάτη ποδοχής της Η ορίζετι ε το p, ενώ το διάτη επιτούνης ε την δειγτική εκτίηη της νλογίς, pˆ. - 9 H: p = p H: p p (-% ιάτη Επιτούνης: : ˆ / p ± z Άρ οι έθοδοι δεν είνι ιοδύνοι. pˆ ( pˆ p ( p p ± z / - 3 Πράδειγ Πράδειγ Είνι το ποοτό των νοικοκυριών που έχουν δορυφορική τηλεόρη ίο ε 9%; ; Σε πλό τυχίο δείγ 3νοικοκυριών ρέθηκν 38ε δορυφορική τηλεόρη. Ελέγξτε ε επίπεδο H: p =.9 =.5 5 H: p.9 = 3 : p ( p. 9(. 9 p ± z / =. 9 ± (. 576,. 4 Απόφη: Η δειγτική νλογί 38/3=.7είνι την περιοχή πόρριψης, υνεπώς η Η πορρίπτετι - 3 Χρήτος Ενουηλίδης

23 Έλεγχος Υποθέεων I ιφάνειες ιλέξεων -3-3 H: p =.9 =.5 5 H: p.9 = 3 Πράδειγ 95% ιάτη Επιτούνης: pˆ( pˆ. 7(. 873 pˆ ± z / =. 7 ± (. 893,. 646 Η τιή.9 νήκει το 95%.Ε.λλά η Η πορρίπτετι γι =.5, όπως είδε πριν NAI z = / Περίληψη Σττιτικών Ελέγχου γι Έλεγχο Υποθέεων γι τον Μέο του Πληθυού γνωτό; NAI NAI OXI OXI 5; Εκτίηετο Εκτίηετο ετο s ετο s z = s / t = s / Κνονικός Πληθυός; NAI OXI NAI OXI γνωτό; 3; z = / OXI Αύξηετο ( 3 NAI Εκτίηε το ε το s z = s / 5; OXI Αύξηετο ( 5-34 Τέλος Ενότητς - 35 Χρήτος Ενουηλίδης