ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μιχάλης Ταρουδάκης. Καθηγητής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ Μιχάης Ταρουδάκης Καθηγητής Ηράκειο

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5. ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ... 7. Εισαγωγή... 7. Στοιχειώδεις ύσεις της ακουστικής εξίσωσης... 8.. Χωρισµός µεταβητών χώρου-χρόνου... 8.. Χωρισµός µεταβητών για την χωρική εξάρτηση της πίεσης.....3 Η ύση στο κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων.....4 Η εξίσωση Bessel και οι ύσεις της... 4..5 Έκφραση της ύσης στο κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων... 6.3 Το πρόβηµα Stu-Liouville... 7.3. Γενικοί ορισµοί... 7.3. Θεµειώδες θεώρηµα στο πρόβηµα Stu-Liouville... 7.3.3 Πηρότητα οµάδας ιδιοσυναρτήσεων... 9.3.4 Tο συνεχές φάσµα....3.5 Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης δέτα Diac.... ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ GREEN... 4. Ορισµός... 4. Ανάπτυγµα της Gee σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων... 6.3 Η συνάρτηση Gee για µια γενική διέγερση.... 8.4 Οι συναρτήσεις δέτα στο κυινδρικό και σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων... 8.4. Κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων.... 9.4. Σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων... 3 3. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΜΕ ΕΠΙΠΕ Α ΣΥΝΟΡΑ... 33 3. Γενική γεωµετρία-οριακές συνθήκες... 33 3. Ο απός κυµατοδηγός Πρόβηµα Π... 34 3.. Χωρισµός µεταβητών... 35 3.. Οι συναρτήσεις Gee του προβήµατος... 36 3..3 Η ύση του προβήµατος... 37 3..4. Υποογισµός των συναρτήσεων G και G... 39 3..5. Ανάπτυγµα σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων... 44

4 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 3..6. Κανονικές-Μη κανονικές ιδιοτιµές... 48 3.3 Ο κυµατοδηγός PEKERIS - Πρόβηµα Π... 5 3.3. Υποογισµός των ιδιοσυναρτήσεων... 54 3.3. Αναπαράσταση της ύσης... 58 3.4 Ο κυµατοδηγός µε µεταβαόµενη ταχύτητα διάδοσης ήχου συναρτήσει του. Πρόβηµα Π3... 6 3.4. Ένα σχήµα διαφορών για την ύση της εξίσωσης βάθους µε µεταβαόµενο συναρτήσει του, k.... 6 3.4. Ο υποογισµός των ιδιοτιµών... 65 3.4.3 Κανονικοποίηση... 68 3.5 Η απώεια διάδοσης... 69 4. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ... 73 4. Γενική περίπτωση... 73 4. Περιβάον µε τοπική ανοµοιοµορφία... 76 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 8

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ο µάθηµα αναφέρεται στο πρόβηµα του υποογισµού του ηχητικού πεδίου στο Τθαάσσιο περιβάον που προέρχεται από µία σηµειακή αρµονική πηγή. Το θαάσσιο περιβάον µοντεοποιείται ως κυµατοδηγός µε σύνορα που γεωµετρικά αντιστοιχούν στην επιφάνεια και στον πυθµένα της θάασσας. Ο πυθµένας µοντεοποιείται ως ρευστό ακουστικό µέσο µε πεπερασµένο ή ηµιάπειρο πάχος. Η µαθηµατική µοντεοποίηση του προβήµατος περιαµβάνει τη διατύπωση και στη συνέχεια επίυση προβήµατος µερικών διαφορικών εξισώσεων µε συνοριακές συνθήκες. Από τις σχετικές µεθόδους επίυσης θα υιοθετήσουµε και θα αναφερθούµε στο τεύχος αυτό µόνο στην µέθοδο της ανάπτυξης της προς υποογισµό συνάρτησης ακουστικής πίεσης σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων. Οι ιδιοσυναρτήσεις εν προκειµένω ορίζονται µε βάση ένα πρόβηµα οριακών συνθηκών σε µία διάσταση, τύπου Stu- Liouville. H σχετική θεωρία είναι γνωστή στη διεθνή βιβιογραφία, ως "Θεωρία Κανονικών Ιδιοµορφών" Noal-Moe theoy. Στα παίσια του µαθήµατος γίνεται µία ανασκόπηση της θεωρίας των προβηµάτων Stu-Liouville, ενώ παρατίθενται θέµατα συναρτήσεων Gee καθώς και ειδικών συναρτήσεων που είναι απαραίτητα στην ανάπτυξη των µαθηµατικών µοντέων επίυσης των προβηµάτων που θα συζητηθούν. Αναφέρονται επίσης τα θεωρήµατα αναπαράστασης επί τη βάσει των οποίων είναι δυνατή η έκφραση της ακουστικής πίεσης σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων. Ως εφαρµογή της σχετικής θεωρίας εξετάζονται συγκεκριµένα προβήµατα ακουστικής διάδοσης στη θάασσα και σχοιάζεται η φυσική σηµασία των µεγεθών που υπεισέρχονται στην µαθηµατική µεέτη των προβηµάτων. Τα περιβάοντα στα οποία αναφέρονται τα ως άνω προβήµατα παρουσιάζουν αξονική συµµετρία, ενώ οι µεταβοές των φυσικών παραµέτρων που υπεισέρχονται ως συντεεστές στο αντίστοιχο πρόβηµα µερικών διαφορικών εξισώσεων που ορίζεται, µπορεί να µεταβάονται µε το βάθος και την απόσταση από την ηχητική πηγή. Εφαρµογές των µοντέων που παρουσιάζονται στο µάθηµα συναντά κανείς σε κάθε πρόβηµα που σχετίζεται µε την χρήση του ήχου στη θάασσα. Τα προβήµατα αυτά αναφέρονται σε θαάσσιες επικοινωνίες, σε θέµατα ακουστικής αναγνώρισης της σύστασης του θαάσσιου ύδατος και του πυθµένα, παρακοούθησης των µεταβοών στο θαάσσιο περιβάον καθώς και σε εφαρµογές της θαάσσιας επιστήµης και τεχνοογίας που σχετίζονται µε τον εντοπισµό και την αναγνώριση αντικειµένων στο νερό και τον πυθµένα. Στην τεευταία έκδοση των σηµειώσεων του µαθήµατος έχουν προστεθεί παραδείγµατα τυπικής απεικόνισης του ακουστικού πεδίου σε θαάσσιους κυµατοδηγούς ενώ έχουν γίνει αρκετές διορθώσεις σε σχέση µε προηγούµενες εκδόσεις των σηµειώσεων. Παρ όα αυτά ενδεχοµένως να υπάρχουν αρκετά άθη ακόµη που δεν έχουν διορθωθεί για τα οποία ζητώ την κατανόηση των αναγνωστών αά και την βοήθειά τους για την διόρθωσή τους. Φεβρουάριος Μιχάης Ταρουδάκης

6 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 7. ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Εισαγωγή Τα ακουστικά κύµατα είναι διαταραχή της πίεσης ενός ακουστικού µέσου που διαδίδεται στο εν όγω µέσον. Η µεέτη των χαρακτηριστικών διάδοσης των κυµάτων προϋποθέτει τη διατύπωση των εξισώσεων που διέπουν τη µεταβοή των χαρακτηριστικών µεγεθών του µέσου. Τα µεγέθη αυτά είναι η πίεση p, η ταχύτητα των στοιχειωδών σωµατιδίων του µέσου u και η πυκνότητα ρ. Τα µεγέθη αυτά είναι συναρτήσεις των χωρικών µεταβητών και του χρόνου : p= p x, t, u= u x, t, ρ = ρ x, t, όπου µε x συµβοίζουµε τις χωρικές µεταβητές. εδοµένου ότι θα ασχοηθούµε µε τη διάδοση του ήχου στο θαάσσιο περιβάον, θα αντιµετωπίσουµε µόνο ρευστά ακουστικά µέσα, στα οποία τα ακουστικά κύµατα είναι διαµήκη. Η περίπτωση της διάδοσης του ήχου σε ένα περιβάον στο οποίο συνυπάρχουν και ακουστικά µέσα µε αρκετή ακαµψία ώστε να διαδίδουν και διατµητικά κύµατα δεν θα µας απασχοήσει εδώ. Προσέξτε ότι η ταχύτητα των στοιχειωδών σωµατιδίων είναι διανυσµατικό µέγεθος. Το πρόβηµα θα το µεετήσουµε κατ αρχήν στις τρεις διαστάσεις και στη συνέχεια θα περιοριστούµε για όγους απότητας στις δύο διαστάσεις όπου και θα µεετήσουµε µερικές χαρακτηριστικές ύσεις. Το πρόβηµα διέπεται από την ακουστική εξίσωση που προκύπτει από την εφαρµογή των βασικών εξισώσεων των ρευστών που µε την σειρά τους περιγράφουν µαθηµατικά τις µεταβοές των χαρακτηριστικών µεγεθών του µέσου. Οι τρεις εξισώσεις που υπεισέρχονται στην ανάυση είναι Η εξίσωση της συνέχειας Η εξίσωση του Eule και Η καταστατική εξίσωση Η ακουστική διέγερση έχει ως αποτέεσµα την µεταβοή των τιµών ισορροπίας των βασικών µεγεθών που αναφέρθηκαν προηγουµένως. p x, t = p x, t + p x, t, u x, t = u x, t + u x, t, ρ x, t = ρ x, t + ρ x, t. Εδώ οι µεταβοές συµβοίζονται µε τον δείκτη και οι τιµές ισορροπίας µε τον δείκτη. Οι µεταβοές αυτές είναι µικρές σε σχέση µε τις τιµές ισορροπίας είναι όµως αρκετές για να διεγείρουν τα όργανα που είναι ευαίσθητα σ αυτές και να µας δώσουν το αίσθηµα του ήχου. Μεετώντας οιπόν την διάδοση του ήχου µεετούµε στην πραγµατικότητα την διάδοση των διαταραχών αυτών. ιατηρώντας όρους πρώτης τάξης ως προς τις µεταβοές των ανωτέρω µεγεθών, η σύζευξη των τριών εξισώσεων µας οδηγεί εύκοα β. π.χ. Boyles 994 και σηµειώσεις του µαθήµατος Εισαγωγή στην Ακουστική Ωκεανογραφία στην

8 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα «γραµµικοποιηµένη» ακουστική εξίσωση που εκφράζεται συνήθως για την πίεση διαταραχής ακουστική πίεση που είναι το µέγεθος που ενδιαφέρει τις εφαρµογές της ακουστικής: p p =,.. c t p όπου ο όρος c αντιστοιχεί στον όγο και εκφράζει το τετράγωνο της ρ ταχύτητας διάδοσης της διαταραχής θερµοδυναµικός ορισµός της ταχύτητας και είναι και αυτός στη γενική περίπτωση συνάρτηση των χωρικών µεταβητών και του χρόνου. Σχοιασµό της διαδικασίας διατύπωσης της παραπάνω εξίσωσης µπορεί ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης να βρει στην βιβιογραφία που παρατίθεται στο τέος των σηµειώσεων και στις σηµειώσεις του µαθήµατος «Εισαγωγή στην Ακουστική Ωκεανογραφία».. Στοιχειώδεις ύσεις της ακουστικής εξίσωσης.. Χωρισµός µεταβητών χώρου-χρόνου Μια τεχνική µε ποές δυνατότητες για τη ύση των µερικών διαφορικών εξισώσεων είναι η µέθοδος του χωρισµού µεταβητών. Με βάση τη µέθοδο αυτή µια µερική διαφορική εξίσωση για µία συνάρτηση ποών µεταβητών µπορεί να χωριστεί σε µια οµάδα συνήθων διαφορικών εξισώσεων κάθε µια από τις οποίες ορίζεται για µια συνάρτηση που εξαρτάται από µία µόνο µεταβητή συναρτήσεις που µεταβάονται ανεξάρτητα η µία από την άη. Ο χωρισµός µεταβητών δεν είναι βέβαια δυνατός σε κάθε περίπτωση. Ειδικά για την κυµατική εξίσωση, ο χωρισµός είναι δυνατός σε συστήµατα συντεταγµένων β. Mose a Feshbach και µόνον εάν οι διεπιφάνειες του προβήµατος σύνορα που χωρίζουν µέσα διαφορετικής σύνθεσης, συµπίπτουν µε µία επιφάνεια συντεταγµένων των ως άνω συστηµάτων. Επιπέον ο όρος της κυµατικής εξίσωσης θα πρέπει να είναι είτε άθροισµα όρων καθένας c από τους οποίους εξαρτάται από µια µόνο µεταβητή, ή να είναι ο ίδιος συνάρτηση µιας µόνο µεταβητής. Στη συνέχεια θα θεωρήσουµε ότι οι ανωτέρω όροι πηρούνται και θα οδηγηθούµε σε συστήµατα συνήθων διαφορικών εξισώσεων που θα µας δώσουν τη ύση απών σχετικά προβηµάτων που αναφέρονται στη διάδοση του ήχου στη θάασσα. Θα προσπαθήσουµε κατ' αρχήν να αποµονώσουµε την χρονική εξάρτηση. Θεωρούµε ότι η ακουστική πίεση µπορεί να γραφεί ως: p x, t = p x T... t Σηµειώνουµε ότι από το σηµείο αυτό, θα χρησιµοποιήσουµε το συµβοισµό p για τη χωρική συνιστώσα της ακουστικής πίεσης αντί για p και δεν θα πρέπει να συγχέεται µε την οική πίεση του µέσου. Η ταχύτητα διάδοσης του ήχου c θα θεωρηθεί εδώ ως συνάρτηση µόνο των χωρικών µεταβητών c= cx. Έτσι

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 9 µπορούµε να αντικαταστήσουµε την.. στην ακουστική εξίσωση.. και να πάρουµε: ή T T p = p,.. c t c p T T t p =...3 Μια και ο αριστερός όρος της..3 είναι συνάρτηση µόνο των χωρικών µεταβητών και ο δεξιός όρος συνάρτηση µόνο του χρόνου, για να ισχύει πάντοτε η εξίσωση, θα πρέπει κάθε όρος να ισούται µε µια σταθερά. Έτσι παίρνουµε : c p p = T T t =ω,..4 όπου το αρνητικό σηµείο αά και η ίδια η µορφή της σταθεράς ω έχουν επιεγεί έτσι ώστε να διευκούνονται οι µαθηµατικοί χειρισµοί αφ ενός αά και η φυσική ερµηνεία αφ ετέρου. Έτσι, στην..4 αναγνωρίζει κανείς στην σταθερά ω την κυκική συχνότητα του κύµατος ω = π f, όπου f είναι η συχνότητα σε H. Από την..4 παίρνουµε δύο εξισώσεις : και T t p+ ω p =..5 c + ω T =...6 Από τις εξισώσεις αυτές η πρώτη είναι γνωστή ως εξίσωση Helholt ενώ η ύση της δεύτερης δίνει την χρονική εξάρτηση της ακουστικής πίεσης Η..6 έχει δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους ύσεις : µε Α, Β σταθερές. + iωt iωt T t = Ae + Be,..7 Χωρίς να χαθεί η γενικότητα της ύσης θα θεωρήσουµε ότι η σταθερά A είναι, και θα δεχθούµε από τις δύο πιθανές ύσεις εκείνη που αντιστοιχεί σε αρνητικό πρόσηµο στον εκθέτη της εκθετικής συνάρτησης. Αυτό σηµαίνει ότι θα µεετήσουµε πηγές οι i t οποίες εκπέµπουν ενέργεια στο περιβάον µε χρονική εξάρτηση e ω. Καταήγοµε δηαδή σε ύσεις της µορφής i t T t = e ω...8 Κατόπιν αυτών, η ύση µας για την πίεση διαταραχής γράφεται p x, t = p x e iωt...9

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα.. Χωρισµός µεταβητών για την χωρική εξάρτηση της πίεσης Ο όγος που αναφερόµαστε στην ειδική µορφή της ύσης για τη συνάρτηση p είναι ότι µας ενδιαφέρει να βρούµε έκφραση για επίπεδα κύµατα που θα αποτεέσουν το πρώτο ειδικό αντικείµενο της µεέτης µας. Το σύστηµα συντεταγµένων στο οποίο θα αναφερόµαστε είναι το καρτεσιανό, για το οποίο o τεεστής παίρνει τη µορφή + +. Θεωρώντας ακόµη ότι x y ω = k = k x + k y + k,.. c όπου κάθε ένας από τους προσθετέους k i, i= x, y, εξαρτάται από µία µόνο µεταβητή την αντίστοιχη στο συµβοισµό που υιοθετήθηκε, θα κάνουµε χωρισµό των µεταβητών και θα ζητήσουµε ύσεις της µορφής p x, y, = p x p y p... x Αντικαθιστώντας την ανωτέρω έκφραση στην εξίσωση Ηelholt και χρησιµοποιώντας την.., παίρνοµε y p x x p y p + + + k + + x k y k p y p p x y =... Παρατηρούµε ότι στο ανωτέρω άθροισµα έχουµε εξ προσθετέους οι οποίοι ανά δύο είναι συναρτήσεις µιας µεταβητής. Ζητάµε τα ζεύγη των όρων αυτών να έχουν άθροισµα σταθερά χωρισµού, οπότε καταήγοµε σε σύστηµα τριών εξισώσεων : x x y p p y p + k x px + k y p y + k p =,..3α =,..3β =...3γ Προσέξτε την ααγή στο συµβοισµό της παραγώγου που πέον είναι συνήθης και όχι µερική παράγωγος µε δεδοµένο ότι κάθε µία από τις συναρτήσεις p i, i = x, y, εξαρτάται από µία µόνο µεταβητή. Στο σηµείο αυτό να υπενθυµίσουµε ότι δεν έχοµε άβει υπ όψιν µας οριακές συνθήκες στο πρόβηµα. Εποµένως δεν µιάµε ακόµη για ύση ενός προβήµατος αά ύσεις µιας εξίσωσης, κάνοντας ακόµη την υπόθεση ότι δεν υπάρχει πρόβηµα ως προς την εφαρµογή του χωρισµού των µεταβητών. Κατόπιν αυτών, προχωράµε

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα στην διατύπωση αναυτικών ύσεων για τις εξισώσεις..3α-γ στην ειδική περίπτωση που οι συνιστώσες k i i = x, y, είναι σταθερές και παίρνοµε: p ikx x ikx x x x = A e + Ae,..4α y ik y y = Be + B ik y y p x e,..4β p ik ik x = Ce + Ce...4γ όπου οι συντεεστές θα υποογιστούν εφ όσον έχει οριστεί πήρως το πρόβηµα και σε συνδυασµό µε τις αντίστοιχες οριακές συνθήκες. Εάν υποθέσουµε ότι η ακουστική πίεση εξαρτάται µόνο από µία µεταβητή, έχοµε διάδοση προς µία µόνο διεύθυνση. Θεωρώντας x την διεύθυνση αυτή, η ακουστική πίεση γράφεται p iωt ikxx ik xx iωt i kxxωt i kxxωt x, t = px x e = Ae + Ae e = Ae + Ae...5 Από τους δύο τεευταίους όρους, ο πρώτος αντιπροσωπεύει κύµα οδεύον προς τα αυξανόµενα θετικά x και ο δεύτερος, κύµα οδεύον προς τα µειούµενα αρνητικά x. Για τις ανάγκες της θεωρίας µας θα πρέπει να ορίσουµε τα επίπεδα κύµατα. Ένα κύµα έγεται επίπεδο, εάν η επιφάνεια σταθερής φάσης σε µία δεδοµένη χρονική στιγµή είναι επίπεδο. Παρατηρώντας την ύση της ακουστικής εξίσωσης όπως δίδεται από την..5, βέποµε ότι για t σταθερό, η φάση του κύµατος είναι σταθερή όταν x είναι σταθερό. Η επιφάνεια σταθερής φάσης εποµένως είναι µία επίπεδη επιφάνεια κάθετη στον άξονα των x σε οποιοδήποτε σηµείο του άξονα. Συνεπώς η ύση..5 αντιπροσωπεύει επίπεδο κύµα. Θεωρώντας το πρόβηµά µας στις τρεις διαστάσεις και κρατώντας τον πρώτο από τους δύο όρους της ύσης µας για κάθε µία από τις συναρτήσεις p, p, p, βέποµε ότι η ακουστική πίεση παίρνει τη µορφή x y p x, y,, t i kx x+ k y y+ k ωt και σε διανυσµατική µορφή ως προς τον εκθέτη του e, = A B C e..6 p x, y,, t = i De k xωt,..7 όπου D = A BC. Βέποµε δηαδή ότι ο αριθµός κύµατος k µπορεί να θεωρηθεί ως διανυσµατικό µέγεθος µε συνιστώσες k, k, k κατά τους αντίστοιχους άξονες. x y Η περίπτωση συντεεστών που µεταβάονται µε την αντίστοιχη µεταβητή θα µας απασχοήσει αργότερα σε µία ειδική περίπτωση.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα k y k k x x y k Σχήµα. Ο αριθµός κύµατος και οι συνιστώσες του. Η θεώρηση αυτή είναι συµβατή µε την εξίσωση.. που µας δίδει µία έκφραση του τετραγώνου του µέτρου του αριθµού κύµατος. Στο σχήµα. βέποµε την γεωµετρική απεικόνιση του αριθµού κύµατος µε τις αντίστοιχες συνιστώσες. Παρατηρούµε τέος ότι επιφάνειες σταθερής φάσης είναι επίπεδα κάθετα στο διάνυσµα k. Εποµένως από την..7 παίρνοµε και πάι ύση για επίπεδα κύµατα...3 Η ύση στο κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων Σε ποά προβήµατα που σχετίζονται µε τη διάδοση του ήχου στη θάασσα η βασική υπόθεση ως προς την ακουστική διέγερση είναι ότι η ακουστική πηγή είναι σηµειακή αρµονική. Σε συνδυασµό µε τη γεωµετρία του ακουστικού χώρου επίπεδες διαχωριστικές επιφάνειες το σύστηµα συντεταγµένων που βοηθά στην επίυση των σχετικών προβηµάτων φαίνεται ότι είναι το κυινδρικό. Χρησιµοποιώντας την έκφραση του τεεστή Laplace στο κυινδρικό σύστηµα Σχ.. παίρνουµε την εξίσωση του Helholt στη µορφή : ϕ p p p + + + k p=...8 ϕ Σχήµα. Το κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 3 Σηµειώνουµε ότι οι σχέσεις ανάµεσα στις καρτεσιανές και τις κυινδρικές συντεταγµένες θεωρώντας κοινό άξονα των είναι : x= cos ϕ, y= si ϕ, = Εφαρµόζοντας χωρισµό µεταβητών, γράφουµε την p ως: p,, ϕ = F, ϕ u..9 και αντικαθιστώντας στην εξίσωση Helholt παίρνοµε: F F ϕ u F F u + + + k =... Θα θεωρήσουµε στη συνέχεια ότι το k γράφεται ως : k = k + q, ϕ, οπότε παίρνουµε το σύστηµα : u + k =,.. u F F F F ϕ + + q =... Η Συνήθης ιαφορική Εξίσωση.. κατά τα γνωστά έχει ως γενική ύση για k σταθερό: ik u = D e + D e...3 ik Στη συνέχεια κάνουµε χωρισµό µεταβητών στην F και θεωρώντας το q ανεξάρτητο από το ϕ παίρνουµε : Αντικαθιστώντας στην.. έχοµε : F, ϕ = R Φ ϕ...4 ή R R Φ + + =q R Φ ϕ,..5 R R Φ + + q =...6 R Φ ϕ Κάθε όρος της..6 θα πρέπει να είναι σταθερά = για να έχουµε ισχύ για κάθε και φ. Έτσι παίρνουµε : Φ = Φ,..7 ϕ και R R + + q =...8 R

4 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Η γενική ύση της..7 είναι: iϕ iϕ Φ= Ee + Ee...9 Αποµένει να µεετήσουµε την εξίσωση..8. Εάν το q είναι σταθερά, η εξίσωση..8 είναι µία εξίσωση Bessel τάξης. Για την θεωρία των εξισώσεων Bessel υπάρχει αρκετή βιβιογραφία. Εµείς εδώ θα αρκεστούµε στην παράθεση ορισµένων ιδιοτήτων τους που θα µας χρειαστούν στη συνέχεια...4 Η εξίσωση Bessel και οι ύσεις της Η διαφορική εξίσωση : [ x + x + x ν ] f x =,..3 x x όπου ν πραγµατικός αριθµός, είναι µία εξίσωση Bessel ν τάξης. Η εξίσωση αυτή καθώς είναι δευτέρου βαθµού έχει δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους ύσεις. Στην περίπτωση της εξίσωσης Bessel, οι δύο αυτές ύσεις εκφράζονται µε δύο βασικούς εναακτικούς τρόπους. Σύµφωνα µε τον πρώτο από αυτούς, οι ύσεις της εξίσωσης Bessel εκφράζονται ως συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους x, και συναρτήσεις Bessel δευτέρου είδους ή συναρτήσεις Neua N ν x, Σύµφωνα µε τον δεύτερο, ύσεις της εξίσωσης είναι οι συναρτήσεις Bessel τρίτου είδους ή συναρτήσεις Hakel H ν x και H ν x. Οι συναρτήσεις πρώτου και τρίτου είδους συνδέονται µεταξύ τους, αά κάθε ζευγάρι αποτεείται από ανεξάρτητες µεταξύ τους συναρτήσεις. Υπάρχουν ποοί τρόποι µε τους οποίους µπορεί να αναπτύξει κανείς µία συνάρτηση Bessel και δεν είναι του παρόντος να αναυθούν όες οι περιπτώσεις. Ως παράδειγµα και µόνο αναφέρουµε την έκφραση των συναρτήσεων Bessel πρώτου είδους τάξης ν µε τη µορφή σειράς για ν όχι ακέραιο ως : J ν J ν x = = x! Γ ν + + + ν,..3 όπου Γ x είναι συναρτήσεις Γάµα που αποτεούν άο είδος ειδικών συναρτήσεων Β. Gashtey & Ryhik. Οι συναρτήσεις Hakel προκύπτουν από τις συναρτήσεις Bessel και Neua µέσω των σχέσεων: H x = J x in x..3 ν ν + ν

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 5 και H x = J x in x...33 ν ν ν Οι συναρτήσεις Hakel είναι αναυτικές συναρτήσεις για x>, αά παρουσιάζουν ιδιοµορφία για x=. Είναι ενδιαφέρον να δούµε ορισµένες ασυµπτωτικές εκφράσεις των συναρτήσεων Bessel για µικρά ή µεγάα ορίσµατα: όπου για γ = για x ν Jν x ν Γ ν + x x..34 [l + γ ], ν = Ν π ν x Γ ν ν, ν > π x e t l tt νπ π Jν x cos x π x 4 νπ π Ν ν x si x π x 4 x>> νπ π Hν x exp{ i x } π x 4 νπ π Hν x exp{ i x } π x 4..35 Στις τεευταίες αυτές εκφράσεις µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι συναρτήσεις Bessel και Neua αντιστοιχούν σε στάσιµα κύµατα ενώ οι συναρτήσεις Hakel σε αποκίνοντα ή συγκίνοντα κύµατα για τη σύµβαση που έχουµε επιέξει ως προς την χρονική εξάρτηση της ύσης µας i t e ω Μερικές αναδροµικές σχέσεις που αναφέρονται σε µία συνάρτηση Bessel οποιουδήποτε είδους x είναι: f ν ν fν x + fν+ x = fν x, x..36 f x f ν ν x fν+ x =, x..37 Οι συναρτήσεις Neua ονοµάστηκαν έτσι προς τιµήν του Γερµανού µαθηµατικού C.Neua 83-95 που µεέτησε τις ιδιότητές τους. Στην βιβιογραφία συµβοίζονται επίσης µε το σύµβοο x Y ν

6 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα v f x f x f x ν ν ν + =, x x..38 f x f ν ν ν x fν x =. x x..39..5 Έκφραση της ύσης στο κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε εύκοα η..8 για q σταθερό, είναι µία εξίσωση Bessel τάξης ως προς q. Εποµένως η ύση της είναι µία από τις εκφράσεις: R = E3J q + E4 N q..4 ή R = E5H q + E6H q..4 Σε επόµενα εδάφια θα αναφερθούµε µε περισσότερες επτοµέρειες στην κατάηη επιογή µας. Σηµειώση: Οι συναρτήσεις Bessel ανήκουν στην κατηγορία των σχεδόν περιοδικών συναρτήσεων. β. Σχ..3 Σχήµα.3 Γραφική παράσταση των συναρτήσεων Bessel και Neua των τριών πρώτων τάξεων

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 7.3 Το πρόβηµα Stu-Liouville.3. Γενικοί ορισµοί Όπως µπορεί να διαπιστώσει κανείς οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που συναντήσαµε µέχρι τώρα, αποτεούν ειδικές µορφές της εξίσωσης ψ [ p x ] + [ q x + x] ψ =,.3. x x για µία συνάρτηση ψ x που ορίζεται στο διάστηµα [α,b], µε τις εξής ιδιότητες: px, qx, x πραγµατικές και συνεχείς συναρτήσεις στο [α,b], px διαφορίσιµη συνάρτηση στο [α,b], px και x> στο [α,b], q x στο [α,b]. Το πρόβηµα δύο σηµείων που ορίζεται από την εξίσωση.3. και τις οριακές συνθήκες ψ A a Aψ a = x,.3.α ψ B b + Bψ b =,.3.β x µε A, A, B, Bπραγµατικούς αριθµούς, ονοµάζεται πρόβηµα Stu-Liouville S-L. Οι συντεεστές A, A, B, B θεωρούνται ανεξάρτητοι του και δεν µπορεί τα A, A και B, B να είναι ως ζεύγη ταυτόχρονα. Θα αναφερθούµε στη συνέχεια σε ορισµένες από τις ιδιότητες του προβήµατος αφού σηµειώσουµε ότι το πρόβηµα S-L είναι πρόβηµα ιδιοτιµών. Οι ιδιοτιµές είναι οι επιτρεπτές τιµές του κάτω από τις οριακές συνθήκες.3.α κα.3.β. Σε κάθε επιτρεπτή τιµή του, αντιστοιχεί µία ιδιοσυνάρτηση ψ x..3. Θεµειώδες θεώρηµα στο πρόβηµα Stu-Liouville ΘΕΩΡΗΜΑ Θεωρούµε το πρόβηµα S-L, όπως ορίστηκε ανωτέρω. Τότε υπάρχει µία άπειρη οµάδα πραγµατικών αριθµών,,.. τέτοια ώστε για. Εάν οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι οι ψ, ψ,... ψ..., η ιδιοσυνάρτηση ψ έχει ακριβώς - µηδενισµούς στο διάστηµα a< x< b. Επιπέον, εάν A A και BB, τότε > για όα τα. Για βαθύτερη ανάυση στο πρόβηµα S-L παραπέµπουµε τον ενδιαφερόµενο αναγνώστη σε σχετική βιβιογραφία συνήθων διαφορικών εξισώσεων β π.χ. Zauee. Θα δώσουµε όµως στη συνέχεια την διατύπωση και την απόδειξη δύο θεωρηµάτων που αφορούν σε ιδιότητες των ιδιοσυναρτήσεων και των ιδιοτιµών.

8 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Θ. Οι ιδιοσυναρτήσεις,,...,... είναι ορθογώνιες µε συνάρτηση βάρους την x. ψ ψ ψ του προβήµατος Stu-Liouville ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω οι ιδιοσυναρτήσεις ψ, ψ που αντιστοιχούν σε ιδιοτιµές και τάξης αντίστοιχα. Οι αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις γράφονται: ψ [ p x ] + [ q x + x] ψ =,.3.3 x x ψ [ p x ] + [ q x + x] ψ = x x..3.4 Ποαπασιάζουµε την.3.3 µε κατά µέη. Το αποτέεσµα είναι: ψ και την.3.4 µε ψ και αφαιρούµε τις εξισώσεις ψ ψ x ψ ψ + { p x ψ p x ψ } =..3.5 x x x Οοκηρώνουµε από α έως b και παίρνουµε : b ψ ψ ψ ψ x ψ ψ x+ p b ψ ψ p a ψ ψ = x x x x a b a Μια και οι ιδιοσυναρτήσεις ψ, ψ δεύτερος και τρίτος όρος της.3.6 µηδενίζονται. Έτσι, για ισχύει : που είναι η συνθήκη ορθογωνιότητας. b.3.6 υπόκεινται στις οριακές συνθήκες.3., ο θα πρέπει να x ψ x ψ x x =,.3.7 a Οι ιδιοσυναρτήσεις µπορεί, χωρίς άρση της γενικότητας της ύσης, να θεωρηθούν επί πέον ορθοκανονικές. Έτσι δεχόµαστε συνήθως τη συνθήκη b x ψ x ψ x x = δ..3.8 a Το σύνοο των ιδιοτιµών του προβήµατος ονοµάζεται φάσµα spectu και κάτω από τις συνθήκες που ορίσαµε για το πρόβηµα S-L, είναι διακριτό. Οι συνθήκες αυτές ορίζουν ένα κανονικό egula S-L πρόβηµα. Είναι πάντως δυνατόν να οριστεί ένα µη κανονικό sigula πρόβηµα S-L που θα περιαµβάνει και συνεχές φάσµα όπως θα δούµε στη συνέχεια. Αυτό µπορεί να γίνει εάν για παράδειγµα θεωρήσουµε µιγαδικούς συντεεστές ή άπειρο σύνορο α ή b.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 9 Θ Οι ιδιοτιµές του κανονικού προβήµατος Stu-Liouville είναι πραγµατικές ΑΠΟ ΕΙΞΗ: Έστω ότι οι ιδιοτιµές του κανονικού προβήµατος Stu-Liouville είναι µιγαδικές. Τότε και οι ιδιοσυναρτήσεις θα είναι µιγαδικές ψ x = u x + iv x όπου uκαι vπραγµατικές συναρτήσεις. Ανατρέχοντας στην εξίσωση.3. µπορούµε να δούµε ότι εάν είναι ιδιοτιµή, τότε και η συζυγής της είναι ιδιοτιµή µε αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση την * ψ και την συζυγή της * ψ γράφονται ως: x x ψ p + x ψ p x * + [ q+ ] ψ = * * [ q+ ] ψ = * Ποαπασιάζοντας την πρώτη εξίσωση µε ψ και την δεύτερη µε * ψ. Οι εξισώσεις S-L για την,.3.9..3. ψ αφαιρώντας κατά µέη, οοκηρώνοντας από α έως b και εφαρµόζοντας τις οριακές συνθήκες παίρνουµε: b * * x ψ ψ x =..3. a * Αά ψ ψ = u + v >. Αφού για το κανονικό πρόβηµα S-L έχουµε x >, * και, καταήγουµε σε άτοπο. Το άτοπο έχει την αφορµή του στην υπόθεση για µιγαδικές ιδιοτιµές. Εποµένως οι ιδιοτιµές πρέπει να είναι πραγµατικές. Θα συνεχίσουµε τώρα µε µερικές ιδιότητες που σχετίζονται µε τις ιδιοσυναρτήσεις και τη δυνατότητα αναπαράστασης της ύσης µιας διαφορικής εξίσωσης µε µερικές παραγώγους µέσω σειράς ιδιοσυναρτήσεων..3.3 Πηρότητα οµάδας ιδιοσυναρτήσεων Σύγκιση στο µέσον i the ea Θεωρούµε τη συνάρτηση fx:[α,b] και µία οµάδα ιδιοσυναρτήσεων του κανονικού προβήµατος S-L { ψ }. Σχηµατίζουµε την πεπερασµένη σειρά και παίρνουµε την ποσότητα M = c ψ x.3. I M = b M f x c x a ψ x..3.3 =

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα I M Είναι προφανές ότι το είναι ένα µέτρο του πόσο καά η πεπερασµένη σειρά προσεγγίζει την f x. Εάν I M τείνει στο για M, τότε η σειρά.3. συγκίνει στο µέσον στην f x coveges i the ea. Με άα όγια: ε >, ε M > M I < ε Κάτω από τις συνθήκες αυτές, γράφουµε : l.i. σηµαίνει liit i the ea M : M M = M f x = l. i. c ψ x..3.4 Η σύγκιση αυτή ονοµάζεται και µέση τετραγωνική σύγκιση. Η οµάδα των ιδιοσυναρτήσεων ψ µε τα παραπάνω χαρακτηριστικά ονοµάζεται πήρης. Η οµάδα { ψ x, =,,...,} του κανονικού προβήµατος S-L είναι µία πήρης οµάδα τετραγωνικά οοκηρώσιµων συναρτήσεων στο διάστηµα [α,b]. Ως συνέπεια του ανωτέρω διατυπώνουµε τα εξής θεωρήµατα αναπαράστασης: ο Θεώρηµα Αναπαράστασης Εάν µία συνάρτηση f x είναι τετραγωνικά οοκηρώσιµη στο διάστηµα [α,b], η αναπαράσταση της µέσω της σειράς.3., όπου ψ είναι ιδιοσυναρτήσεις του προβήµατος S-L, συγκίνει εις το µέσον στην f x. Οι συντεεστές της.3. είναι οι συντεεστές Fouie της f x : b c = x f x ψ x x..3.5 a Η σύγκιση αυτή δεν είναι η ισχυρότερη που µπορεί να επιτύχει κανείς. Είναι όµως ικανή στις περισσότερες περιπτώσεις να µας δώσει ικανοποιητικές εκφράσεις µιας συνάρτησης. Οι ιδιοσυναρτήσεις του προβήµατος S-L πάντως µπορούν να µας δώσουν δύο ακόµη θεωρήµατα αναπαράστασης που θα τα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια και τα οποία µας δίδουν ισχυρότερη σύγκιση των αναπαραστάσεων. ο Θεώρηµα Αναπαράστασης Έστω I µία οµάδα συνεχών συναρτήσεων f x που διαθέτουν τµηµατικά συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστηµα [α,b]. Έστω { ψ } η οµάδα των ιδιοσυναρτήσεων ενός κανονικού προβήµατος S-L στο διάστηµα αυτό. Εάν οι συναρτήσεις f x ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες του προβήµατος S-L, τότε κάθε συνάρτηση f x Iµπορεί να αναπτυχθεί σε µία σειρά που συγκίνει απόυτα και οµοιόµορφα στο [a,b]:

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα = = f x a ψ x..3.6 όπου aείναι οι συντεεστές Fouie της f x. Η σειρά ονοµάζεται «Σειρά Fouie» της f x. 3 ο Θεώρηµα Αναπαράστασης Έστω ότι η f x I' ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες του προβήµατος S-L και είναι τµηµατικά συνεχής στο [α,b]. Τότε η σειρά Fouie της f x συγκίνει απόυτα και οµοιόµορφα στο:. f x όπου x [α,b] και x δεν είναι σηµείο ασυνέχειας της f x.. + [ x + f x ] f όταν x σηµείο ασυνέχειας της f x. + Εδώ f x, f x είναι τα προς τα δεξιά και αριστερά όρια της f x στο σηµείο ασυνέχειας x. ΑΣΚΗΣΗ: Αποδείξτε ότι οι συντεεστές της f x. Οµοίως αποδείξτε ότι οι συντεεστές συντεεστές Fouie της f x. aτης.3.6 είναι οι συντεεστές Fouie cτης.3.4 είναι επίσης οι ΕΡΩΤΗΣΗ: Σχοιάστε τις διαφορές ανάµεσα στα θεωρήµατα αναπαράστασης..3.4 Tο συνεχές φάσµα Μέχρι τώρα η αναφορά µας στα θεωρήµατα αναπαράστασης ή πηρότητας µιας οµάδας ιδιοσυναρτήσεων είχε τη βάση της στο κανονικό πρόβηµα Stu Liouville, όπως αυτό ορίστηκε στην αρχή. Μάιστα ο τεεστής L p x + q x x x x,.3.7 ονοµάζεται κανονικός pope τεεστής ενώ η εξίσωση του προβήµατος S-L µπορεί να γραφεί ως Lψ+ψ=..3.8 Εάν δεν ισχύει κάποια από τις ιδιότητες του τεεστή L, όπως για παράδειγµα όταν κάποια από τις p, q, δεν είναι ορισµένες σε όο το διάστηµα [α, b] σύµφωνα µε τις ιδιότητες του προβήµατος ή όταν κάποιο από τα άκρα του διαστήµατος [α, b] τείνει στο άπειρο, ο τεεστής L καείται ιδιόµορφος sigula. Ένας ιδιόµορφος τεεστής L δεν µπορεί να ορίσει µία πήρη οµάδα ιδιοσυναρτήσεων και µία τυχαία συνάρτηση δεν µπορεί να αναπτυχθεί ως άπειρη σειρά ιδιοσυναρτήσεων. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει µία αντίστοιχη αναπαράσταση για την τυχαία συνάρτηση f x που αναπτύσσεται πέον ως:

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα M,.3.9 = S f x = a ψ x + b ϕ x, όπου ϕ x, είναι συναρτήσεις οριζόµενες συνεχώς πάνω στο διάστηµα S του και ονοµάζονται µη κανονικές ιδιοσυναρτήσεις ipope eigefuctios σε αντίθεση µε τις κανονικές pope ιδιοσυναρτήσεις που απαρτίζουν το διακριτό φάσµα { ψ }. Το διάστηµα S είναι εποµένως ένα υποσύνοο µη διακριτών τιµών της και ονοµάζεται συνεχές φάσµα του τεεστή L. Οι κανονικές ιδιοσυναρτήσεις είναι ορθογώνιες και κατά τα γνωστά ορθοκανοποιούνται µέσω της σχέσης x ψ x ψ x x = δ,.3. I όπου I είναι το διάστηµα ορισµού της ιδιοσυναρτήσεις ισχύει ψ. Αντίστοιχα για τις µη κανονικές όπου δ ' είναι η συνάρτηση Diac δέτα..3.5 Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης δέτα Diac I x φ x, ' φ x, x = δ ',.3. Η συνάρτηση δέτα δ x εξ ορισµού είναι µηδέν για κάθε τιµή του ορίσµατος x εκτός από την αρχή όπου έχει άπειρη τιµή, και ισχύει : Εάν τα όρια οοκήρωσης είναι πεπερασµένα, ισχύει : + δ x x =..3. x [ x, x ] x δ x x x=.3.α x [ x, x] x Μπορεί να δειχτεί ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση f x ισχύει : + f x δ x x = f,.3.3 + f x δ x x x = f..3.4 x Μερικές ιδιότητες της συνάρτησης δέτα που θα χρειαστούµε στη συνέχεια παρατίθενται κατωτέρω: δ x = δ x,.3.5

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 3 xδ x =,.3.6 δ ax = δ x,.3.7 a δ [ f x] = δ x x, f x =,.3.8 f x + δ x x' ' δ x' ' x' x'' = δ x x',.3.9 δ x = δ x..3.3 x x

4 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ GREEN. Ορισµός Σε πρόβηµα κυµατικής διάδοσης, ποές φορές θα πρέπει να θεωρήσουµε στο πεδίο ορισµού και την πηγή της κυµατικής διέγερσης. Η µοντεοποίηση της ακουστικής πηγής γίνεται συνήθως µε σύνθεση στοιχειωδών πηγών οι οποίες θεωρούνται σηµειακές και αρµονικές, αναπαρίστανται δε µέσω συναρτήσεων δέτα. Η ύπαρξη της πηγής αµβάνεται υπ όψιν µε την εισαγωγή µη οµογενούς όρου στην κυµατική εξίσωση που έχει ως συνέπεια να διατυπωθεί η ύση της κυµατικής εξίσωσης µέσω συναρτήσεων Gee. Στο κεφάαιο αυτό θα προσπαθήσουµε να συνοψίσουµε ιδιότητες των συναρτήσεων Gee που είναι απαραίτητες στην ανάυση που θα ακοουθήσει. Ας θεωρήσουµε την εξίσωση G p ] + [ q + ] G =δ,.. [ για µία συνάρτηση G ορισµένη στο διάστηµα [a,b]. Η εξίσωση µας θυµίζει την αντίστοιχη του προβήµατος Stou-Liouville, όπου η βασική διαφορά βρίσκεται στην ύπαρξη του µη οµογενούς όρου. Ας θεωρήσουµε επίσης ότι η άγνωστη συνάρτηση G, ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβήµατος S-L και ισχύουν οι ίδιες υποθέσεις και για τις υπόοιπες παραµέτρους της εξίσωσης. Η ύση της εξίσωσης αυτής είναι µία συνάρτηση Gee µίας διάστασης και συµβοίζεται ως G, ; Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση δέτα µηδενίζεται για και [, ] δ = [, ] Για τη συνάρτηση G θα δεχτούµε ότι είναι συνεχής στο διάστηµα ορισµού της µε συνεχή πρώτη παράγωγο παντού εκτός από τη θέση =. Προσέξτε στο όρισµα της Gee ότι περιέχονται ως µεταβητές το ιδιόµορφο σηµείο και η παράµετρος που εµφανίζεται στην διαφορική εξίσωση.. Η παράγωγος της G είναι ασυνεχής στο ιδιόµορφο σηµείο. Στη συνέχεια θα προσδιορίσουµε την ασυνέχεια της παραγώγου της G για =. Οοκηρώνουµε την εξίσωση.. από ε έως + ε για ε>. Παίρνουµε: + ε ε + ε + ε G [ p ] + q G [ + ] = δ... ε Το δεύτερο οοκήρωµα για ε όγω συνέχειας των G,q και τείνει στο. ε

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 5 Λόγω των ιδιοτήτων της συνάρτησης δ, το οοκήρωµα στο δεύτερο µέος της.. είναι: Έτσι έχουµε: Εποµένως: + ε ε + ε δ ε G [ p ] = p =...3 G + ε, ; =...4 ε G G p + ε + ε, ; p ε ε, ; =,..5 όπου έχοµε πέον χρησιµοποιήσει και το όρισµα της συνάρτησης Gee. Για ε και εφ' όσον p συνεχής συνάρτηση και p έχουµε: G li ε + ε, G ; ε, ; = p...6 Μία ενδιαφέρουσα σηµείωση στο σηµείο αυτό αναφέρεται στο ανάπτυγµα της συνάρτησης δέτα σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων. Θεωρώντας µία συνάρτηση f που αναπτύσσεται κατά τα θεωρήµατα αναπαράστασης σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων, παίρνουµε διαδοχικά όπου = = f A ψ,..7 b A = f ψ..8 a και αντικαθιστώντας την..8 στη..7 αάζοντας για αποφυγή σύγχυσης τον συµβοισµό στην µεταβητή οοκήρωσης έχουµε: b f = ' f ' ψ ' ψ ',..9 = a b = f = { ' ψ ' ψ } f ' '... a Για να ισχύει η τεευταία ισότητα, θα πρέπει

6 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα = ' ψ ' ψ = δ '... που είναι γνωστή και ως σχέση πηρότητας copleteess elatio του προβήµατος S-L. Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα.3.5 η παραπάνω σχέση γράφεται : ψ ' ψ = δ '.. =. Ανάπτυγµα της Gee σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων Η συνάρτηση Gee πηροί τις απαιτήσεις που θέσαµε για να είναι δυνατή η ανάπτυξη της σε συγκίνουσα σειρά ιδιοσυναρτήσεων ενός προβήµατος S-L. Έτσι, µπορούµε να γράψουµε G, = ; A ψ =... Αντικαθιστούµε τις G και δ από τις.. και.. αντίστοιχα, στην.. και παίρνουµε: ψ p A q A A ψ ψ ψ ψ + + = = = = =.. Λόγω της οµοιόµορφης σύγκισης µπορούµε να αντιµεταθέσουµε άθροισµα µε παράγωγο και να πάρουµε: ψ A p q A + ψ + ψ = ψ ψ = = =,..3 ή τεικά χρησιµοποιώντας την εξίσωση S-L για τις ιδιοσυναρτήσεις ή A ψ + Aψ = = = = ψ,..4 ψ = A ψ =δ...5 Στη συνέχεια, ποαπασιάζοντας την τεευταία εξίσωση µε ψ, οοκηρώνοντας στο διάστηµα [α,b] και κάνοντας χρήση της συνθήκης ορθογωνιότητας των ιδιοσυναρτήσεων παίρνουµε:

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 7 b A ψ ψ = ψ ψ ψ = a = a b,..6 A δ = ψ = = A = ψ δ,..7 Έτσι το ανάπτυγµα της Gee εξίσωση.. γίνεται G, ;...8 ψ ψ = =...9 Η συνάρτηση Gee του προβήµατος εποµένως αναπτύχθηκε σε σειρά, µέσω ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιµών του αντίστοιχου οµογενούς προβήµατος. Η συνάρτηση Gee είναι συµµετρική, γεγονός που επιτρέπει την αντιµετάθεση της θέσης της πηγής και του πεδιακού σηµείου. γιατί;. G, ; = G, ;... Θα πρέπει επίσης να παρατηρήσουµε ότι το δεν είναι ιδιοτιµή του προβήµατος. Επιπέον η µέχρι τώρα θεώρηση αφορούσε πραγµατικές ιδιοτιµές-ιδιοσυναρτήσεις. Ας θεωρήσουµε τώρα ότι το είναι µιγαδική µεταβητή. Η συνάρτηση Gee του αντίστοιχου προβήµατος θα είναι εποµένως µιγαδική. Λόγω της διαφοράς που εµφανίζεται στον παρανοµαστή της αναπαράστασης..9, η G, ; είναι αναυτική παντού εκτός από τα σηµεία για τα οποία =. Τα σηµεία αυτά είναι οι πόοι της G στο µιγαδικό επίπεδο του και είναι αποί. Εάν οοκηρώσουµε τη συνάρτηση Gee στο επίπεδο του πάνω σε µία καµπύη C που περιέχει τους πόους, παίρνουµε:... G, ; = ψ ψ C C = Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα οοκηρωτικών υποοίπων του Cauchy esiue theoe παίρνουµε: =πi,.. C όπου ι είναι η φανταστική µονάδα, απ' όπου προκύπτει η εξής έκφραση του οοκηρώµατος της Gee G, ; =πi = C ψ ψ,..3

8 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα ενώ χρησιµοποιώντας τη συνθήκη πηρότητας.. έχουµε δ ; = G, πi C...4 Το αποτέεσµα αυτό θα το χρησιµοποιήσουµε σε επόµενο εδάφιο..3 Η συνάρτηση Gee για µια γενική διέγερση. Ας θεωρήσουµε την διαφορική εξίσωση: F p + [ q + ] F =S..3. Η εξίσωση αυτή µας θυµίζει την εξίσωση ορισµού της συνάρτησης Gee.. µε τη διαφορά να βρίσκεται στην έκφραση του µη οµογενούς όρου S. Ο όρος αυτός θα µπορούσε να εκφράζει µία διέγερση πηγή που ορίζεται πάνω σε µία συνεχή κατανοµή σηµειακών ιδιόµορφων σηµείων στον άξονα, που εκτείνεται σε µία περιοχή Z. Το σηµαντικό στην προκειµένη περίπτωση είναι ότι η συνάρτηση F που αποτεεί ύση της.3. µπορεί να εκφραστεί µε χρήση της συνάρτησης Gee του αντίστοιχου προβήµατος.. µέσω της σχέσης : F = G, ; S,.3. µε την µεταβητή να ορίζει µια θέση πηγής. Z Εποµένως αρκεί να µεετήσει κανείς το πρόβηµα για τις συναρτήσεις Gee που ορίζονται από την απή διέγερση που εκφράζει η συνάρτηση δέτα. Η F ικανοποιεί τις ίδιες οριακές συνθήκες µε την G, ;..4 Οι συναρτήσεις δέτα στο κυινδρικό και σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων Μέχρι τώρα είδαµε τον ορισµό της συνάρτησης Gee µέσω κάποιας συνήθους διαφορικής εξίσωσης. Έγινε φανερό ότι η συνάρτηση Gee συνδέεται µε τη διέγερση focig ενός προβήµατος που ορίζεται για µία σηµειακή πηγή. Στη φύση βέβαια τα προβήµατα είναι τρισδιάστατα και µε την έννοια αυτή θα πρέπει να αναζητήσουµε εκφράσεις της σηµειακής διέγερσης στα διάφορα συστήµατα συντεταγµένων ώστε να χρησιµοποιείται ως έκφραση ανάογα µε το σύστηµα συντεταγµένων που υιοθετείται σε ένα συγκεκριµένο πρόβηµα. Στα προβήµατα κυµατική διάδοσης, η σηµειακή αρµονική πηγή ορίζεται µέσω της συνάρτησης S x, t το πρόσηµο της συνάρτησης τίθεται έτσι για όγους που έχουν να κάνουν µε την επιεγείσα διαδικασία της ύσης ως εξής: S x, t = S x, x, t = Aδ x x e iωt..4.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 9 Στην έκφραση αυτή αναγνωρίζοµε το διάνυσµα θέσης της πηγής x, την χρονική αρµονική εξάρτηση µε την κυκική συχνότητα ω = π f f είναι η συχνότητα της πηγής και το πάτος της διέγερσης Α. Η εξίσωση.. που διέπει τη διάδοση του ήχου σε ένα ρευστό ακουστικό µέσον, εάν επιβάουµε τη διέγερση που περιγράφεται από την.4., γράφεται ως : p p =S c t..4. Καθώς από την υπόθεσή µας, η πηγή εκπέµπει σε συγκεκριµένη συχνότητα ω, και αφού η χρονική εξάρτηση είναι ανεξάρτητη από τον χορική, µπορούµε να θεωρήσοµε στην ύση της.4. την ίδια χρονική εξάρτηση και να πάροµε., i t p x t = p x e ω..4.α Αντικαθιστώντας την µορφή της πίεσης από την.4.α στην.4. και θεωρώντας ότι k x =ω / c x, οδηγούµαστε στην µη οµογενή εξίσωση Helholt : p x + k x p x =δ x x,.4.3 όπου για όγους απότητας έχουµε υποθέσει Α=. ηαδή έχοµε θεωρήσει σηµειακή αρµονική πηγή µοναδιαίου πάτους διέγερσης. Η εξίσωση αυτή διέπει το πρόβηµα του υποογισµού της χωρικής εξάρτησης της ακουστικής πίεσης για µονοχρωµατική πηγή, δηαδή πηγή που εκπέµπει σε συγκεκριµένη συχνότητα αρµονική πηγή. Εργαζόµενοι σε διαφορετικά συστήµατα συντεταγµένων θα πρέπει να εκφράσουµε σε αυτά, τόσο τον τεεστή Λαπασιανή όσο και τη συνάρτηση δέτα..4. Κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων. Οι συντεταγµένες του κυινδρικού συστήµατος είναι,,φ και συνδέονται µε τις καρτεσιανές µέσω των σχέσεων: x=cosφ, y=siφ, =. Σε ένα τυχαίο σύστηµα συντεταγµένων ξ, ξ, ξ 3, η συνάρτηση δέτα έχει νόηµα µόνο εάν µπορεί να εκφραστεί µέσω οοκηρώµατος της µορφής δ ξ ξ δ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ ξ..4.4 ' ' ' 3 3 Στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων έχουµε : δ x x δ y y δ x y = δ x..4.5 3 x

3 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Για να µετατρέψουµε το στοιχειώδη όγκο xy στο τυχαίο σύστηµα συντεταγµένων έχουµε τη σχέση xy = J ξ,.4.6 ξ ξ 3 όπου J είναι η Ιακωβιανή Jacobiaτου µετασχηµατισµού από το ένα σύστηµα στο άο που ορίζεται ως x x x ξ ξ ξ3 y y y J =..4.7 ξ ξ ξ3 ξ ξ ξ 3 Έτσι, γράφουµε τη συνάρτηση δέτα µε χρήση των συντεταγµένων ξ, ξ, ξ 3ως ' ' ' δ x x δ y y δ = δ ξ ξ ξ ξ ξ 3 ξ 3,.4.8 J ώστε οι εκφράσεις.4.4 και.4.5 να είναι ισοδύναµες. Στην περίπτωση του κυινδρικού συστήµατος συντεταγµένων έχουµε: x x x ϕ y y y ϕ cosϕ siϕ J = = si cos = cos + si = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ.4.9 Εποµένως η συνάρτηση δέτα στο κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων γράφεται ως δ x x = δ δ ϕϕ δ..4. Λόγω του ότι για = η Ιακωβιανή µηδενίζεται, δεν έχουµε αντιστοιχία ένα προς ένα στη θέση = ανάµεσα στα δύο συστήµατα συντεταγµένων. Υπενθυµίζοντας τη σχέση..8, η µη οµογενής Helholt γράφεται στο κυινδρικό σύστηµα: p p p + + + k p= ϕ δ δ ϕ ϕ δ..4.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 3 Μία ενδιαφέρουσα περίπτωση που θα µας απασχοήσει στη συνέχεια είναι εκείνη για την οποία η p δεν εξαρτάται από τη γωνία φ. Στην περίπτωση αυτή έχουµε αξονικά συµµετρικό περιβάον. Η µη οµογενής Helholt γράφεται τότε ως: δ δ ϕ ϕ δ p p p + + + k p= Οοκηρώνοντας από έως π παίρνουµε:..4. π π p p p + + + = k p ϕ δ δ δ ϕ ϕ ϕ,.4.3 και αφού η προς οοκήρωση ποσότητα στο οοκήρωµα του πρώτου µέρους είναι σταθερά ως προς την γωνία, Άρα p p p π..4.4 + + + k p = δ δ p p p + + + k που είναι η ζητούµενη έκφραση. p = δ δ,.4.5 π.4. Σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων Η αντιστοιχία καρτεσιανών-σφαιρικών συντεταγµένων είναι: x= siθ cosϕ, y= siθ siϕ, = cosθ.4.6 και η Ιακωβιανή προκύπτει εύκοα : J = siθ Εποµένως, και δηαδή xy = J θϕ.4.7 δ x x = δ δ θ θ δ ϕϕ,.4.8 J δ x x = δ δ θ θ δ ϕϕ..4.9 siθ εν έχουµε αντιστοιχία ένα προς ένα ανάµεσα στα δύο συστήµατα συντεταγµένων, µόνο όταν η Ιακωβιανή µηδενίζεται. Αυτό ισχύει στις περιπτώσεις που = ή θ=.

3 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Στο σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων ενδιαφέρον παρουσιάζει η εξίσωση Helholt όταν η άγνωστη συνάρτηση p δεν εξαρτάται από τις γωνίες. Η εξίσωση Helholt µε τον µη οµογενή όρο γράφεται τότε: p + k δ p = 4π..4. Όπως θα δούµε στη συνέχεια, υπάρχει µία τουάχιστον περίπτωση που η έκφραση αυτή θα µας είναι χρήσιµη ακόµη και για την µεέτη µας στο κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 33 3. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΜΕ ΕΠΙΠΕ Α ΣΥΝΟΡΑ 3. Γενική γεωµετρία-οριακές συνθήκες Στο κεφάαιο αυτό θα µεετήσουµε το πρόβηµα της διάδοσης του ήχου σε ένα θαάσσιο περιβάον που ορίζεται από επίπεδα σύνορα χρησιµοποιώντας τα µαθηµατικά εργαεία που αναπτύχθηκαν στα προηγούµενα κεφάαια αά και πρόσθετες µεθόδους που θα αναφερθούν στη συνέχεια. Η απούστερη γεωµετρία του προβήµατος περιγράφεται στο σχήµα 3.. Πρόκειται για ένα περιβάον που ορίζεται σε ένα κυινδρικό σύστηµα συντεταγµένων µε την επιφάνεια της θάασσας να είναι επίπεδη επιφάνεια σε βάθος = και τον πυθµένα να αποτεείται από επάηα στρώµατα που χωρίζονται από επίπεδα και οριζόντια σύνορα. Το πρόβηµα µεετάται για µια σηµειακή πηγή που θα θεωρηθεί ότι τοποθετείται σε απόσταση = και βάθος =. Στην γενικότερη περίπτωση η πυκνότητα ρ και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου c µπορεί να µεταβάεται µε το βάθος και την απόσταση, σε όα τα ακουστικά στρώµατα, από τα οποία το τεευταίο µπορεί να εκτείνεται µέχρι το άπειρο. Τα στρώµατα στον πυθµένα µπορεί να είναι οσαδήποτε σε αριθµό. Για να αποφύγουµε τις περιποκές του προβήµατος θα περιορίσουµε τη µεέτη µας στις περιπτώσεις που η πυκνότητα είναι σταθερή σε κάθε στρώµα, η ταχύτητα του ήχου µπορεί να µεταβάεται µόνο µε το βάθος, ενώ στην περίπτωση που θεωρηθεί ηµιάπειρο τεευταίο στρώµα, η ταχύτητα του ήχου θα είναι σταθερή σ'αυτό. c,ρ h c,ρ h c 3,ρ 3 Σχήµα 3. Η γεωµετρία του προβήµατος της ακουστικής διάδοσης σε πεδίο µε επίπεδα σύνορα.

34 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Η µόνη οριακή συνθήκη του προβήµατος που θα θεωρηθεί αµετάβητη σε όες τις περιπτώσεις που θα µεετηθούν είναι στην επιφάνεια = όπου η πίεση p θα είναι πάντα. Η συνθήκη αυτή αντιστοιχεί στην υπόθεση ότι η επιφάνεια της θάασσας είναι εεύθερη πιέσεων και δεν είναι δυνατή η µετάδοση του ήχου από το νερό στον αέρα που θεωρείται µε αυτό τον τρόπο ως «κενό». Η παραπάνω απουστευτική παραδοχή δεν δηµιουργεί προβήµατα στο χειρισµό ρεαιστικών προβηµάτων ακουστικής διάδοσης στο νερό, όγω της πού µικρής πυκνότητας του αέρα σε σχέση µε εκείνη του νερού. Στο όριο νερού-πυθµένα ζητάµε συνέχεια της πίεσης και της κάθετης ως προς το σύνορο συνιστώσας της ταχύτητας u των στοιχειωδών σωµατιδίων του συµπιεστού µέσου ενώ ίδια απαίτηση έχουµε για κάθε διεπιφάνεια στον πυθµένα. Οι συνθήκες αυτές από φυσική σκοπιά εξασφαίζουν την συνεκτική δοµή των δύο ακουστικών µέσων και τον µη αποχωρισµό τους στην διαχωριστική επιφάνεια. Θα απαιτήσουµε επίσης η πίεση να τείνει στο για όταν το τεευταίο στρώµα του πυθµένα επεκτείνεται µέχρι το άπειρο, ενώ µια συνθήκη ακτινοβοίας τύπου Soefel θα τεθεί για. Σε ειδικές περιπτώσεις θα θεωρήσουµε ότι το πεδίο µας τεειώνει ως προς το σε έναν ακόνητο πυθµένα. Η έννοια του ακόνητου πυθµένα περιγράφεται µαθηµατικά που µε µια οµογενή συνθήκη Neua και εκφράζει µαθηµατικά τη φυσική ιδιότητα η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας των στοιχειωδών σωµατιδίων του µέσου u να µηδενίζεται. Για τη σχέση ταχύτητας στοιχειωδών σωµατιδίων και πίεσης παραπέµποµε στον Boyles αά και στο κεφάαιο 3.3 των παρόντων σηµειώσεων. Προς το παρόν αρκεί να πούµε ότι η εν όγω συνιστώσα των στοιχειωδών σωµατιδίων είναι ανάογη της κάθετης ως προς το σύνορο παραγώγου της πίεσης. Αξίζει να σηµειωθεί ότι κάτω από τις ανωτέρω παραδοχές, η ύση του προβήµατος δεν εξαρτάται από τη γωνία φ του κυινδρικού συστήµατος συντεταγµένων περιβάον αξονικής συµµετρίας ενώ οι χαρακτηριστικές παράµετροι του περιβάοντος δεν εξαρτώνται από την απόσταση περιβάον σταθερών συναρτήσει της απόστασης παραµέτρων age iepeet evioet. Θα µεετήσουµε στη συνέχεια µερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις ακουστικής διάδοσης σε κυµατοδηγούς. Κυµατοδηγός waveguie είναι ένα µέσον διάδοσης κυµατικής ενέργειας µε σύνορα που βοηθούν στην αποδοτική διάδοση του κύµατος ως προς µία κύρια διεύθυνση. 3. Ο απός κυµατοδηγός Πρόβηµα Π Ο απός κυµατοδηγός ορίζεται από την επιφάνεια της θάασσας, που θεωρείται επίπεδη και οριζόντια και τον πυθµένα που επίσης θεωρείται επίπεδος και οριζόντιος σε βάθος h. Στον πυθµένα δεχόµαστε οµογενή συνθήκη Neua σχήµα 3. ενώ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο νερό θεωρείται σταθερά ανεξάρτητη των χωρικών συντεταγµένων.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 35 p= c,ρ, k =ω/c σταθερά h p/h= Σχήµα 3. Ο απός κυµατοδηγός Το πρόβηµα που καούµεθα να επιύσουµε έχει ως εξής : πρόβηµα Π Βρείτε τη συνάρτηση p, που υπακούει στην εξίσωση: p, + k p, = δ δ, 3.. π κάτω από τις οριακές συνθήκες : p p, =,, h = 3.. και µία κατάηη συνθήκη ακτινοβοίας για. Ο συµβοισµός µε την τεεία στο όρισµα υποδηώνει ότι η συνθήκη έχει νόηµα για κάθε τιµή της αντίστοιχης µεταβητής. Η εξίσωση 3.. σε κυινδρικές συντεταγµένες γράφεται : p p p + + + k p = δ δ π. 3..α 3.. Χωρισµός µεταβητών Εάν θεωρήσουµε την οµογενή εξίσωση Helholt, στο ανωτέρω περιβάον, µπορούµε εύκοα να διαπιστώσουµε ότι µπορούµε να καταφύγουµε σε χωρισµό µεταβητών και να οδηγηθούµε σε δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις της µορφής: R R + + R =, 3..3

36 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Z + k Ζ =, 3..4 όπου έχουµε υποθέσει ότι p, = R Z και είναι η σταθερά χωρισµού. Ο ανωτέρω χωρισµός µεταβητών µας οδηγεί στο να ορίσουµε δύο συναρτήσεις Gee για το µη οµογενές πρόβηµα εξίσωση 3.. από τις οποίες η µία εξαρτάται από µόνο το και η άη µόνο από το, και να δούµε κατά πόσον µπορούµε να εκφράσουµε τη ύση του προβήµατος Π µέσω αυτών. 3.. Οι συναρτήσεις Gee του προβήµατος Θεωρούµε δύο συναρτήσεις Gee G,, και G,, που υπακούουν στις εξισώσεις : G G + + G = δ 3..5 π και G + k G =δ. 3..6 Η ευθεία αντιστοιχία ανάµεσα στις εξισώσεις αυτές και τις 3..3 και 3..4 είναι προφανής. Παρατηρούµε κατ αρχήν ότι εάν στην εξίσωση.. κάνοµε τις αντικαταστάσεις :,, p π, q, π, οδηγούµαστε στην 3..5 µε την παρατήρηση ότι =. Αντίστοιχα µε τις αντικαταστάσεις : p, q k,,, οδηγούµαστε από την.. στην 3..6 Τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων Gκαι G είναι αντίστοιχα [,, και [,h]. Η G έχει ιδιόµορφο σηµείο στην αρχή = ενώ η G ενδιάµεσα. Για το πρόβηµα που ορίζεται για την G Πρόβηµα Πα οι οριακές συνθήκες είναι: και G ε ε =, 3..7 π li, ε G li, i G, =. 3..8

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 37 Από τις συνθήκες αυτές, η πρώτη προέρχεται από την εξίσωση..6 που ορίζει την πεπερασµένη ασυνέχεια της παραγώγου της G στο ιδιόµορφο σηµείο, εδώ = της εξίσωσης... Η δεύτερη συνθήκη 3..8 αντιστοιχεί στην συµπεριφορά της ύσης στο άπειρο. Πρόκειται για µία έκφραση της συνθήκης ακτινοβοίας του Soefel και ορίζει ότι το άπειρο απορροφά και δεν επανακτινοβοεί ενέργεια Η συνθήκη αυτή είναι απαραίτητη για να έχουµε µοναδική ύση στο πρόβηµά µας. Οι οριακές συνθήκες για την G είναι : G,,, 3..9 = { + ε,, G ε,, } = li G, 3.. ε G G li + ε,, ε,, =, ε 3.. G h,, =. 3.. πρόβηµα Πβ Οι 3.. και 3.. εύκοα διαπιστώνει κανείς ότι αντιστοιχούν στην εξίσωση συνέχειας και πεπερασµένης ασυνέχειας της παραγώγου της συνάρτησης Gee..5. Οι συνθήκες 3..9 και 3.. προκύπτουν άµεσα από τις συνθήκες 3.. και 3.. του προβήµατος. 3..3 Η ύση του προβήµατος Θα δείξουµε τώρα το ακόουθο θεώρηµα : ΘΕΏΡΗΜΑ Έστω G,, και G,, συναρτήσεις Gee που αποτεούν ύσεις των προβηµάτων Πα και Πβ αντίστοιχα. Τότε η ύση του προβήµατος Π, προκύπτει µέσω των G και G ως εξής: p,,, = G,, G,, 3..3 i π C όπου C είναι κατάηη καµπύη στο µιγαδικό επίπεδο που αµβάνεται µε θετική φορά.

38 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Απόδειξη Γνωρίζουµε από την αντιστοιχία των προβηµάτων Πα και Πβ µε το πρόβηµα της παραγράφου. ότι ισχύει : G i C π δ π,, = 3..4 και,, G i C = δ π. 3..5 Αντικαθιστούµε την έκφραση της p από την 3..3 στην 3.. και παίρνουµε : + + = + = + = = + + + π δ π π π δ π δ π π π π π π π π π C C C C C C C C C C C C C G G k i G i G G i G G i k G G k G i G G i G G i k G G i G G G i G G i k G G i G G i G G i p k p p p 4 } { } { } { + = + δ π δ π π δ π π C C C C C G i G i G G i k G i G G i l 4 3..6 Θα πρέπει τώρα να επιέξουµε την καµπύη οοκήρωσης στο µιγαδικό επίπεδο. Επιογή. Θεωρούµε ότι η C είναι η καµπύη C + που περιαµβάνει τα ιδιόµορφα σηµεία της G αά όχι της G. Η φορά είναι θετική. Οι 3..4 και 3..5 θα µας δώσουν : + = C G i 4 δ π, 3..7 + = = C G i i i δ δ π π π δ δ π δ π. 3..8 Αποδείξαµε εποµένως ότι η αντικατάσταση της p από την 3..3 στην πεδιακή εξίσωση δίδει τη σωστή διέγερση και εποµένως αποτεεί την µοναδική ύση του προβήµατος αφού το πρόβηµα είναι καώς τεθειµένο.

Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα 39 Επιογή. Θεωρούµε ότι η C είναι η καµπύη C - που περιαµβάνει τα ιδιόµορφα σηµεία της G αά όχι της G. Η φορά είναι αρνητική. Οι 3..4 και 3..5 τότε θα µας δώσουν : δ G δ δ πi δ δ 4π = =, 4π ι π i - C 3..9 G i δ =. 3.. π + C Εποµένως και στην επιογή αυτή της C καταήξαµε στο ίδιο αποτέεσµα. Η επιογή της καµπύης C - ή C εξαρτάται από την ευκοία χειρισµού της ύσης. + 3..4. Υποογισµός των συναρτήσεων G και G Είναι αυτονόητο ότι το επόµενο βήµα στην επίυση του προβήµατος Π είναι ο υποογισµός των συναρτήσεων G και G I Η συνάρτηση G H G προκύπτει ως ύση της 3..5. Για να υποογίσουµε την G µπορούµε να ύσουµε την 3..5 για >, οπότε δεν θα έχουµε τον µη οµογενή όρο, και να επιβάουµε στη συνέχεια τη σωστή ιδιοµορφία στο = µέσω της 3..7. Η 3..5 στην οµογενή της µορφή, είναι µία εξίσωση Bessel µηδενικής τάξης. Η γενική της ύση εκφρασµένη µέσω συναρτήσεων Hakel είναι : G = AH + BH. 3.. H οριακή συνθήκη 3..8 επιβάει κύµατα που αποκίνουν από την πηγή σε µεγάες αποστάσεις. εδοµένου ότι θεωρώντας αρµονικά κύµατα µε χρονική εξάρτηση e -iωt η συνάρτηση Hakel δευτέρου είδους αντιπροσωπεύει συγκίνοντα κύµατα, διαπιστώνουµε µέσω της 3..8 ότι Β=. Έτσι για > έχουµε : G = AH. 3.. Για µεγάα ορίσµατα από την..35 παίρνουµε: i π 4 H e. 3..3 π Επόµενο βήµα είναι η εφαρµογή της συνθήκης 3..7. Για την εφαρµογή της θα χρειαστούµε τις αναδροµικές σχέσεις..38. Παίρνουµε διαδοχικά : G = =. 3..4 π ε ε,, Aε H ε

4 Μαθηµατική Μοντεοποίηση Ακουστικής ιάδοσης στη Θάασσα Χρησιµοποιώντας την..3 έχουµε : ' ' { } Aε J ε + iν ε =, 3..5 π { } Aε J ε + iν ε =. 3..6 π Αά όταν ε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις ασυµπτωτικές εκφράσεις..34 και µε δεδοµένο ότι Γ =Γ = παίρνουµε : οπότε ε J ε, ε 3..7 Ν ε, ε, π ε 3..8 i Aε i A π ε π 4 3..9 Εποµένως παίρνουµε τη σωστή ιδιοµορφία για τη τιµή αυτή του Α και : i G,, = H, = 3..3 4 II Η συνάρτηση G Παρατηρούµε και εδώ ότι η 3..6 µεταπίπτει σε οµογενή όταν το δεν βρίσκεται στο πεδίο ορισµού της. Έτσι µπορούµε να ύσουµε την οµογενή της 3..6 για < και για < h και να απαιτήσουµε στο όριο για την εφαρµογή των οριακών συνθηκών. Η γενική ύση της οµογενούς 3.. 6 για k σταθερό είναι : G,, = A, e + B, e, < 3..3 i γ iγ όπου 3, i γ iγ 3,, = A e + B e < h, 3..3 k = γ +. 3..33 Εφαρµόζουµε τις οριακές συνθήκες : 3..9 A + B 3..34 = iγ iγ iγ ιγ 3.. A e + B e = A e + B e 3..35 3 3