FORMULARIO DE ELASTICIDAD

U. D. Resistencia de Mateiales, Elasticidad Plasticidad Depatamento de Mecánica de Medios Continuos Teoía de Estuctuas E.T.S. Ingenieos de Caminos, Canales Puetos Univesidad Politécnica de Madid FORMULARIO DE ELASTICIDAD

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS ε Tenso de defomaciones: D ε ε Tenso de tensiones: T En ejes (,, ): T C T T C, D C T D C C mati de cambio de base ente bases otonomales Equilibio inteno (tensiones): + f ij, i j 0 + + + f 0 + + + f 0 + + + f 0 Equilibio inteno (movimientos): Gu + λ + G u + f ( ) jkk, kkj, j 0 e + ( λ + ) + 0 e + ( λ + ) + 0 e + ( λ + ) + 0 G u G f G v G f G w G f Equilibio en el contono: T.n (f, f, f ) T (n, veso nomal al contono) Compatibilidad en defomaciones: ε + ε ε (no sumatoio) ii, jj jj, ii ij, ij ε ε + ε ε + ε ε + ( ) ε ε + ε + ε (no sumatoio) ii, jk jk, i ik, j ij, k ε + + ε + ε +, i Compatibilidad en tensiones (Beltami Mitchell): ν ij + s, ij fi, j f j, i f αα, δij + ν ν s ν + ν ν s ν + ν ν s ν + ν ν + + + + + + + + + s + ν s + ν s + ν + + + + + +

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) Ecuaciones cinemáticas: ε ij ( ui, j + uj, i ), ω ij ( uj, i ui, j ) u v w ε ε ε ; u v u w v w + + + v u w u w v ω ω ω Ecuaciones constitutivas: ij ν Hooke: εij kkδij G E ε ν ν ε ν ν ε E ν ν G G G Lamé: Gε + λε δ ij ij kk ij E ν ν ν ε ν ν ν ε ( + ν)( ν) ν ν ν ε G G G Paámetos vaios: λ ν E ( + ν )( ν ) ; G E ( + ν ) ; K E 3 s kk + + ; e ε kk ε + ε + ε s λ + G e 3 ; s Ke ( ν ) W f u f v f w dvol Vol f u f v f w da A Tabajo fueas eteioes: ( + + ) + ( + + ) Enegía elástica: U T: D dvol + + ν ( ) ( ) Vol + + + + + Vol E E G dvol

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL. COORDENADAS CILÍNDRICAS ε Tenso de defomaciones: D ε ε Tenso de tensiones: T Equilibio inteno (tensiones): + + + + f 0 + + + + f 0 + + + + f 0 Compatibilidad intena (defomaciones): ε ε + 0 ε ε ε 0 u u u u Ecuaciones cinemáticas: ε ε + ε u u u u u u u + + + Ecuaciones constitutivas: ε ν ν Hooke: ε ν ν ε E ν ν G G G E ν ν ν ε Lamé: ν ν ν ε ( + ν)( ν) ν ν ν ε G G G Solución a pati de una función de tensiones: Φ Φ Φ Φ Φ + + + Condición fundamental: Φ 0 Φ ν Φ Φ ν Φ Obtención de tensiones (caso ail-simético): Φ ( ν) Φ Φ ( ν) Φ 3

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS TENSIÓN PLANA (laja o placa de pequeño espeso) Tenso de defomaciones: D ε 0 ε 0 0 0 ε Tenso de tensiones: 0 T 0 0 0 0 Equilibio inteno (tensiones): + + f 0 + + f 0 f 0 Equilibio inteno (movimientos): e G u + G + f 0 ν e G u + G + f 0 ν ν e ( ε + ε ) ν Compatibilidad en defomaciones: ε ε + Compatibilidad en tensiones: ( + ) ( + ν) + Ecuaciones constitutivas: Hooke: ε ν 0 ε ν 0 E 0 0 ( ν ) + ν ε ( + ) E E ν 0 ε Lamé: ν 0 ε ν ν 0 0 4

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS DEFORMACIÓN PLANA (baa o tubo de gan longitud) Tenso de defomaciones: D ε 0 ε 0 0 0 0 Tenso de tensiones: 0 T 0 0 0 Equilibio inteno (tensiones): + + f 0 + + f 0 f 0 Equilibio inteno (movimientos): e G u + G + f 0 ν e G u + G + f 0 ν e ε + ε Compatibilidad en defomaciones: ε ε + Compatibilidad en tensiones: ( + ) + ν Ecuaciones constitutivas: Hooke: ε ν ν ν 0 ε + ν ν 0 E 0 0 λe+ Gε Lamé: λe+ Gε ( ) ν + 5

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS CARTESIANAS SOLUCIÓN A PARTIR DE UNA FUNCIÓN DE TENSIONES (fueas de masa constantes) 4 Condición fundamental de la función de Ai: Φ 0 Obtención de tensiones: Φ Φ Φ f f 4 4 4 Φ Φ Φ + + 0 4 4 LÍNEAS CARACTERÍSTICAS α α α X (, ) α Y Tensiones pincipales:, + ± + Tensión tangencial máima: ma + α cos α + sin α + sin αcosα Tensiones alededo de un punto: sinαcosα + cos α sin α α ( ) ( ) Ángulo de las tensiones pincipales con el eje : i tan ; tani, i, d Líneas isostáticas: ± + d Líneas isoclinas: tan ϕ cte 6

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) Líneas isobaas:, + ± + cte d Líneas de máima tensión tangencial: ± + d Defomaciones pincipales: ( ) ε, ε + ε ± ε ε + 4 Defomación tangencial máima: ( ) ma ε ε + 4 ε + ε ε ε εα + cos α + sin α Defomaciones alededo de un punto: ε ε sin α cos α α ( ) εi ε Ángulo de las defomaciones pincipales con el eje : tan, tani ε ε ε 7

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. COORDENADAS POLARES Tenso de defomaciones: ε D ε Tenso de tensiones: T d + + + f 0 Equilibio inteno (tensiones): + + + f 0 Compatibilidad intena (tensiones): ( ) Ecuaciones constitutivas: + 0 Tensión plana: ε ν ε E ν ; G E ν ε ν ν ε ; G ν ε ( + ) E Defomación plana: ε + ν ν ν ε E ν ν ; G E ν ν ε + ν ν ν ν ε ; G ( )( ) ( ) ν + u u u Ecuaciones cinemáticas: ε ε + u u u + Solución a pati de una función de tensiones: Condición fundamental: Φ 0 Obtención de tensiones: Φ Φ + Φ Φ Φ Φ Φ Φ + + 8

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) TORSIÓN UNIFORME L L M t M t M t SOLUCIÓN EN MOVIMIENTOS (SAINT VENANT) ω Ángulo giado po unidad de longitud: ϑ L Ángulo giado en una sección cualquiea: ω ( ) ϑ u ϑ Movimientos: v ϑ, siendo f(,) la función de alabeo, tal que f 0 w ϑ f (, ) Ecuación constitutiva: M t GJϑ J dd A + + SOLUCIÓN EN TENSIONES (PRANDTL) Solución a pati de una función de tensiones: Φ Condición fundamental (compatibilidad): Φ cte Gϑ 0 s Φ Φ Obtención de tensiones: 0 contono Φ cte contono Equilibio en las secciones etemas: M Φdd Φ Φ Enegía potencial total: V U W 4Gϑ dd G + Φ A t A 9

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) FÓRMULAS PRÁCTICAS PARA ALGUNAS SECCIONES Cicula de adio R (f(,) 0): M M t t M t ω t M ma πr πr πr L GπR M t Gω Cuadada de lado a: ma M 0.404 3 t a 0.08a L 4 4 3 4 4 Rectangula de lados a b: M M a a 0.33 0. + 0.0 ab b b Gω a a 0.33 0. 0.0 L b b t ma 3 t a b + 0

Fomulaio de Elasticidad Unidad Docente de Resistencia de Mateiales (UPM) SOLUCIONES A ALGUNOS PROBLEMAS ELÁSTICOS Voladio de caas oblicuas: N cos H sin M sin + α + sin α α sin α sin α αcos α 0 M ( cos cosα ) ( sin α αcos α) Tubo cicula sometido a pesiones adiales: A + C A + C 0 ν + ε ( ) 0 ( ) cte p p p p A C p H p N M α +α Talado cicula en una chapa indefinida: p p p ( ) p p p 4 + ξ ( + 3ξ ) cos p 4 ( 3ξ + ξ ) sin siendo ξ 4 ξ + + 3ξ 4ξ cos p p 0

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