ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος, διάρκειας μίας ( διδακτικής ώρας, για τη μέτρηση του μήκους του κύκλου καθώς και για τη μέτρηση του εμβαδού του κυκλικού δίσκου». Με το δεδομέο λοιπό ότι η απάτηση στο ερώτημα αποτελεί αάπτυξη σχεδίου μαθήματος, ο διαγωιζόμεος επιλέγει α κιηθεί, σύμφωα με το γωστό σε αυτό τρόπο αάπτυξης εός σχεδίου μαθήματος στο Μαθηματικά.. Χωρίς α εγείροται ζητήματα καταόησης, επισημαίεται η απόκλιση της χρησιμοποιούμεης ορολογίας από ό,τι έχει καθιερωθεί εδώ και 5 χρόια. Έτσι λοιπό, δε μιλάμε για «μήκος περιφέρειας», αλλά για «μήκος κύκλου» και το σηματικότερο, όχι για «εμβαδό κύκλου» αλλά για «εμβαδό κυκλικού δίσκου». 3. Δεδομέου ότι το τεθέ ερώτημα ατιμετωπίζεται τόσο στο Γυμάσιο (Β Γυμασίου όσο και στο Λύκειο (Β Λυκείου με τη ίδια αλληλουχία, δηλαδή προηγούται τα καοικά πολύγωα και ακολουθεί η μέτρηση του κύκλου, έχει μεγάλη σημασία α διευκριισθεί σε ποιο επίπεδο θα γίει η αάπτυξη, διότι εξυπηρετούται διαφορετικοί στόχοι. Στο επίπεδο λοιπό του Γυμασίου, όπως προκύπτει από το χρησιμοποιούμεο σχολικό εγχειρίδιο, η εότητα «καοικά πολύγωα» δε έχει σύδεση με τη εότητα «μέτρηση κύκλου». Ατιθέτως, σε επίπεδο Β Λυκείου, η μέτρηση κύκλου επιτυγχάεται μέσω τω καοικώ πολυγώω ( το κοιό όριο του εγγεγραμμέου σε κύκλο πολυγώου με πλήθος πλευρώ που διαρκώς αυξάεται για α προσεγγίσει το κύκλο αφ εός και του περιγεγραμμέου περί το ίδιο κύκλο πολυγώου με ισάριθμο πλήθος πλευρώ με αυτό του εγγεγραμμέου πολυγώου. Σε επίπεδο Γυμασίου ο κύριος στόχος είαι η αακάλυψη από τους μαθητές τω τύπω = π, Ε = π για πρακτική περαιτέρω χρήση, στόχος που επιτυγχάεται σχετικώς εύκολα. Ατίθετα σε επίπεδο Λυκείου η ακολουθούμεη μεθοδολογία
αποσκοπεί στο α ααδείξει το πώς προκύπτει ο αριθμός π, οπότε οι παραπάω τύποι καθίσταται δευτερεύω στοιχείο της όλης προσπάθειας, δεδομέου ότι είαι ήδη γωστοί στους μαθητές. Κατά βάση, στο επίπεδο Λυκείου και για το συγκεκριμέο θέμα, ο μαθητής έρχεται σε επαφή με τις επ άπειρο διαδικασίες. Παίρει λοιπό σηματικότατα ερεθίσματα για α οικοδομήσει σιγά-σιγά στη σκέψη του τη έοια του απείρου τη έοια του ορίου, έοιες ως γωστό, κετρικές στη αάπτυξη τω Μαθηματικώ. 4. Στο παρό σημείωμα, τα σχόλιά μας αφορού τη θεώρηση του συγκεκριμέου ζητήματος σε επίπεδο Λυκείου. Με βάση τις προηγούμεες παρατηρήσεις και τη διαπίστωση του ερωτήματος «αφού έχετε διδάξει τα καοικά πολύγωα και τη εγγραφή τους σε κύκλο», πιθαολογούμε ότι οι θεματοδότες έθεσα το συγκεκριμέο για α εξεταστεί σε επίπεδο Λυκείου. Αάπτυξη Ατικείμεα διδασκαλίας που έχου ως συστατικά στοιχεία μεταβολές ή προσεγγίσεις μεγεθώ προσφέροται για α αξιοποιήσουμε τις έες τεχολογίες στη διδακτική τους ατιμετώπιση. Έτσι λοιπό, η χρήση του υπολογιστή με κατάλληλο λογισμικό και στο συγκεκριμέο θέμα υπάρχει πλούσιο υλικό- είαι δυατό α κάει το μάθημα απολύτως συαρπαστικό. Παράλληλα, θα δοθού σχετικές διευθύσεις όπως www.hms.gr (Ελληική Μαθηματική Εταιρεία, www.sch.gr για α ααζητήσει ο μαθητής σε αυτές διάφορες προσεγγίσεις για το συγκεκριμέο θέμα. Δίοται λέξεις-κλειδιά στους μαθητές, όπως «μέτρηση κύκλου», «προσέγγιση», «μήκος κύκλου», «εμβαδό κύκλου», «καοικά πολύγωα». Εισάγοτας τες στις μηχαές ααζήτησης του διαδικτύου, έας πλούσιος κόσμος για το θέμα που τους απασχολεί θα παρουσιαστεί στη οθόη του υπολογιστή τους. Ήδη έχει ααφερθεί (παρ. 3 ποιος είαι ο κύριος στόχος διδασκαλίας της εότητας αυτής. Ειδικότεροι στόχοι της διδασκαλίας του συγκεκριμέου ατικειμέου είαι:. Να γωρίζει ο μαθητής ότι σε κάθε κύκλο, ο λόγος του μήκους του προς το μήκος της διαμέτρου του είαι σταθερός = π (ο σταθερός αυτός λόγος συμβολίζεται διεθώς με το ελληικό γράμμα π.. Να πληροφορηθεί ότι η ακολουθούμεη διαδικασία τω προσεγγίσεω μέσω εγγεγραμμέω σε κύκλο καοικώ πολυγώω και περιγεγραμμέω περί το ίδιο
κύκλο πολυγώω, αποτελεί μια παάρχαια μέθοδο απολύτως έγκυρη, που εφαρμόσθηκε από το έλληα μαθηματικό της αρχαιότητας Αρχιμήδη. 3. Να αρθού πιθαές επιφυλάξεις που προϋπάρχου στη σκέψη του μαθητή ότι η προσέγγιση δε αποτελεί αυστηρή μαθηματική διαδικασία, άρα «μη όμιμη». Η έοια της προσέγγισης στο στάδιο αυτό αποκτά απολύτως μαθηματικό περιεχόμεο και ως μέθοδος ατιμετώπισης σχετικώ προβλημάτω, «παράγει» ορθά και ακριβή αποτελέσματα. 4. Να αακαλύψει ο μαθητής μέσω της ακολουθούμεης πορείας τους απολύτως βασικούς τύπους της Γεωμετρίας, = π, E = π και α τους χρησιμοποιεί σε πρώτη ζήτηση. 5. Να κάει ακριβή χρήση της σχετικής ορολογίας (Έτσι λοιπό μιλάμε για «μήκος κύκλου» και «εμβαδό κυκλικού δίσκου». Διδακτική προσέγγιση Σύμφωα με τις σύγχροες ατιλήψεις της διδασκαλίας, κέτρο αυτής αποτελεί ο μαθητής (μαθητοκετρικό μοτέλο, ο δε διδάσκω έχει ρόλο συτοιστή, εμψυχωτή στις προσπάθειες του μαθητή για τη αακάλυψη-κατασκευή από μέρους της έας γώσης και αρωγού ώστε α απεμπλέκει το μαθητή στις πιθαές δυσκολίες. Ο διδάσκω, στο πλαίσιο της οργάωσης του μαθήματος, θα χρησιμοποιήσει φύλλα εργασίας με κατάλληλες, για τη εξυπηρέτηση τω στόχω που έχει θέσει, δραστηριότητες. Το θέμα που μας απασχολεί (μέτρηση κύκλου μέτρηση εμβαδού κύκλου εδράζεται σε έα «λεπτό» θεωρητικό-επιστημοικό υπόβαθρο, το οποίο βεβαίως ο διδάσκω γωρίζει. Αυτή η επιστημοική γώση, πρέπει α μετασχηματισθεί κατάλληλα με τη μορφή τω δραστηριοτήτω ώστε α καταστεί διδάξιμη. Η κατασκευή, από μέρους του μαθητή, της έας γώσης θα είαι το αποτέλεσμα της επεξεργασίας τω δραστηριοτήτω, οι οποίες προτείεται α γίου με ομάδες 3 ή 4 μαθητώ. Η εργασία τω μαθητώ θα παρουσιαστεί στο πίακα, θα γίει ατικείμεο συζήτησης στη τάξη και ο διδάσκω θα τη χρησιμοποιήσει για α παρουσιάσει τη «επίσημη» μορφή της έας γώσης. Προαπαιτούμεες γώσεις Για α βοηθηθεί η σκέψη του μαθητή και α ατιδρά με σχετική ευκολία στα σχετικά προβλήματα είαι ααγκαία η εξοικείωσή του με τους παρακάτω συμβολισμούς: λ : το μήκος της πλευράς εγγεγραμμέου σε κύκλο (O, καοικού -γώου 3
α : το απόστημα εγγεγραμμέου σε κύκλο (O, καοικού -γώου, δηλαδή η απόσταση του κέτρου από οποιαδήποτε πλευρά του Ρ : η περίμετρος εγγεγραμμέου σε κύκλο (O, καοικού -γώου Ε : το εμβαδό εγγεγραμμέου σε κύκλο (O, καοικού -γώου λ : το μήκος της πλευράς περιγεγραμμέου περί το κύκλο (O, καοικού - γώου Ρ : η περίμετρος της πλευράς περιγεγραμμέου περί το κύκλο (O, καοικού - γώου Ε : το εμβαδό της πλευράς περιγεγραμμέου περί το κύκλο (O, καοικού - γώου Οι τύποι: α λ +, = λ 4 =, E = Ρ α Α έχουμε δύο όμοια καοικά πολύγωα Π, Π, τότε ως γωστό αυτά είαι εγγεγραμμέα σε κύκλο. Έστω (O, ο κύκλος που εγγράφεται το Π και (O, το Π. Α Ρ η περίμετρος του Π και Ρ η περίμετρος του Π τότε ισχύει Σύτομη περιγραφή του μαθηματικού περιεχομέου P =. Η μέτρηση του μήκους του κύκλου βασίζεται στη παρακάτω ιδέα: Έστω ο κύκλος (O,. Εγγράφουμε σ αυτό διαδοχικά έα ισόπλευρο τρίγωο, έα καοικό εξάγωο, έα καοικό -γωο και γεικά έα καοικό πολύγωο με διπλάσιο κάθε φορά πλήθος πλευρώ από το προηγούμεο. Καθώς ο αριθμός τω πλευρώ διπλασιάζεται, διαπιστώουμε διαισθητικά (φαίεται από το σχήμα ότι το «καοικό πολύγωο» τείει α ταυτισθεί με το κύκλο. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε α ατί εγγεγραμμέω θεωρήσουμε καοικά πολύγωα περιγεγραμμέα γύρω από το κύκλο (O, και διπλασιάζουμε διαρκώς το πλήθος τω πλευρώ τους. Α λοιπό θεωρήσουμε τη ακολουθία (Ρ τω περιμέτρω τω καοικώ πολυγώω τω εγγεγραμμέω στο κύκλο (O, και τη ακολουθία (Ρ τω περιμέτρω καοικώ πολυγώω γύρω από το ίδιο κύκλο (O, τότε προφαώς θα ισχύει P ( ( το μήκος του < < P κύκλου Αποδεικύεται ότι οι ακολουθίες (P και (Ρ έχου κοιό όριο. Το κοιό τους όριο που είαι αεξάρτητο από τη επιλογή τω καοικώ πολυγώω (θα μπορούσαμε α πάρουμε τετράγωο, οκτάγωο κ.ο.κ.- λέγεται μήκος του κύκλου (O,. P 4
Η ( α διαιρεθεί με (διάμετρος δίει P < < P (. Αφού οι ακολουθίες (Ρ και (Ρ έχου κοιό όριο το τότε και οι P και P έχου κοιό όριο το. Εξάλλου, έχουμε το θεώρημα του Ιπποκράτη του Χίου που ααφέρει ότι «ο λόγος τω μηκώ δύο κύκλω είαι ίσος με το λόγο τω ατιστοίχω ακτίω τους». Δηλαδή: Α (Ο, και (Ο, δύο κύκλοι τω οποίω τα μήκη είαι, ατιστοίχως τότε = =. Διότι: Α Π καοικό πολύγωο εγγεγραμμέο στο (Ο, με ή διαρκώς διπλασιαζόμεο αριθμό πλευρώ και Π καοικό πολύγωο εγγεγραμμέο στο (Ο, όμοιο προς το Π και Ρ, Ρ ατιστοίχως οι περίμετροι ισχύει ως γωστό: P = P Αλλά. Ότα + τότε Ρ, P. Προφαώς P = οπότε P Αποδείχτηκε ότι περιφέρεια = ή = ή =. P. σταθερό. Το σταθερό λόγο το συμβολίζουμε με π (από το = π οπότε = π. Για το εμβαδό του κυκλικού δίσκου έχουμε: Έστω Α Α Α έα εγγεγραμμέο στο κύκλο (O, καοικό πολύγωο με περίμετρο Ρ E = 3 3 = P < = π = π. Άρα E < π ( A A...A = ( OA A + ( OA A +... + ( OA A < A A + A A +... + A A = Έστω τώρα Α Α Α το περιγεγραμμέο γύρω από το κύκλο (Ο, καοικό πολύγωο με περίμετρο Ρ E = A A...A = P > = π = π E < π < E Προφαώς ( Του τότε (Ε, (Ε αποδεικύεται ότι έχου κοιό όριο το P π. Το κοιό αυτό όριο λέγεται εμβαδό του κυκλικού δίσκου (Ο, δηλαδή E= π 5
Διεξαγωγή του μαθήματος Η παρακάτω δραστηριότητα, που θα δοθεί στο φύλλο εργασίας, έχει ως σκοπό α συειδητοποιήσει ο μαθητής τη προτειόμεη μέθοδο υπολογισμού του μήκους κύκλου. Δραστηριότητα Πάρτε έα κύκλο (Ο, και: α εγγράψτε έα καοικό εξάγωο β περιγράψτε γύρω από αυτό το κύκλο έα επίσης καοικό εξάγωο Α Ρ 6,Ρ 6 η περίμετρος ατιστοίχως του εγγεγραμμέου και περιγεγραμμέου εξαγώου και το μήκος του κύκλου i α υπολογίσετε συαρτήσει του τα λ 6, λ 6 i αποδείξτε ότι P6 < < P 6 ii Βρείτε μεταξύ ποιω τιμώ παίρει τιμές ο λόγος σχέση. Δραστηριότητα Πάρτε έα κύκλο (Ο, και: α εγγράψτε έα καοικό εξάγωο β περιγράψτε γύρω απ αυτό το κύκλο έα επίσης καοικό εξάγωο αξιοποιώτας τη παραπάω i αξιοποιώτας τα Ρ 6, Ρ 6 της προηγούμεης δραστηριότητας υπολογίστε το εμβαδό Ε 6 εγγεγραμμέου και το εμβαδό Ε 6 του περιγεγραμμέου εξαγώου ii α Ε το εμβαδό του κύκλου βρείτε μεταξύ ποιω τιμώ παίρει τιμές το Ε αξιοποιώτας το προφαές ότι Ε 6 <Ε<Ε 6 Ο στόχος της δραστηριότητας είαι αάλογος με αυτό της δραστηριότητας, αλλά για το εμβαδό. Η επεξεργασία (λύση τω δραστηριοτήτω αυτώ ααμέουμε α φέρει τους μαθητές σε κατάσταση μάθησης. Έτσι λοιπό η «επισημοποίηση» της γώσης από το διδάσκοτα θα παγιωθεί στη συείδηση τω μαθητώ δεδομέου ότι προηγήθηκε ο προσωπικός προβληματισμός τους. Οι τύποι = π και Ε = π θα ααγραφού στο πίακα επισφραγίζοτας το συγκεκριμέο μάθημα. Η διδασκαλία ολοκληρώεται ααθέτοτας δουλειά για το σπίτι. Για το σκοπό αυτό θα επιλεγού ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο της οικείας εότητας. 6
Τοίζουμε ιδιαίτερα τη προααφερθείσα ακριβή ορολογία «μήκος κύκλου» «εμβαδό κυκλικού δίσκου». Επισημαίουμε στους μαθητές ότι η μέθοδος που είχα μάθει στο Γυμάσιο για α υπολογίσου το π είαι αεπαρκής α επιθυμούμε τιμές του π μεγαλύτερης ακριβείας (περισσότερα δεκαδικά ψηφία. Σε πιθαό ερώτημα γιατί μας χρειάζεται μεγαλύτερη ακρίβεια από το 3,4 μπορούμε α ααφέρουμε ότι αστροομικές μετρήσεις απαιτού μεγαλύτερη ακρίβεια στη τιμή του π. Ερώτημα ο Υποερώτημα (α f (x f (x Ο ισχυρισμός από το μαθητή Α ότι «επειδή το όριο lim x x x x μορφή άρα δε υπάρχει το όριο αυτό» είαι αυπόστατος διότι: είαι απροσδιόριστη. Η απροσδιόριστη μορφή δε συδέεται με τη.αυπαρξία του ορίου. Απεατίας, η απροσδιόριστη μορφή είαι το κριτήριο για α εφαρμόσουμε τις διάφορες μεθοδεύσεις για τη άρση της απροσδιοριστίας και τη, ε συεχεία, ααζήτηση του ορίου. Ο συγκεκριμέος μαθητής δε συειδητοποίησε το παραπάω γεγοός της απροσδιόριστης μορφής που παρουσιάστηκε στη πλειοότητα τω ασκήσεω που ήδη έχει κάει στη παράγραφο τω ορίω. Αλλά το πλέο ακλόητο επιχείρημα εατίο της λαθασμέης του ατίληψης είαι: «Εά ήτα ορθό το συμπέρασμα σου f (x f (x ότι «επειδή το lim x x x x τότε. καμία συάρτηση δε θα ήτα παραγωγίσιμη!» είαι απροσδιόριστη μορφή το όριο αυτό δε υπάρχει,. Ξεκιάμε με το δεδομέο ότι εξασφαλίζοται οι προϋποθέσεις ααζήτησης του ορίου στο x o (είαι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συάρτησης για μια συάρτηση f οπότε υπάρχου δύο περιπτώσεις: Είτε ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ είτε ΝΑ ΜΗΝ ΥΠΑΡΧΕΙ το όριο. Τα ίδια βεβαίως ισχύου και για το όριο του λόγου μεταβολής f (x f (x x x καθώς x x. Όμως εδώ, δε αρκεί α υπάρχει το όριο, για α πούμε ότι η f είαι παραγωγίσιμη στο x o. Πρέπει α υπάρχει και α είαι πραγματικός αριθμός. Α υπάρχει και είαι άπειρο, τότε η συάρτηση δε παραγωγίσιμη. 7
Υποερώτημα (β Η ατιμετώπιση του υποερωτήματος διδακτικά, απαιτεί έα σχέδιο μαθήματος με συγκεκριμέες δραστηριότητες, που θα βοηθού τους μαθητές α ξεπεράσου τις παραοήσεις τους. Τίθεται οι παρακάτω στόχοι. Να ατιληφθεί ο μαθητής ότι η συέχεια στο x o, είαι μια ααγκαία συθήκη για τη παραγωγισιμότητα της f στο x o αλλά δε είαι ικαή. Να γωρίζει ότι η ασυέχεια της f στο x o είαι ικαή συθήκη για α συμπεράουμε ότι η f δε είαι παραγωγίσιμη στο x o. 3 Να γίει σαφές στο μαθητή ότι η ύπαρξη του ορίου f (x f (x lim x x x x δε αποτελεί ικαή συθήκη για α ισχυρισθούμε ότι η f είαι παραγωγίσιμη στο x o. Μόο α το f (x f (x lim x x x x είαι πεπερασμέο τότε η f είαι παραγωγίσιμη. Ως προς τη διδακτική προσέγγιση ισχύου τα όσο έχου ήδη εκτεθεί στο Ο ερώτημα για τη μέτρηση κύκλου. Προαπαιτούμεες Γώσεις. Ο ορισμός της συέχειας μιας f στο x o.. Στα γωιακά σημεία της γραφικής παράστασης μια συεχούς συάρτησης, α υπάρχου, δε ορίζεται εφαπτόμεη και επομέως σ έα γωιακό σημείο Α(x, f(x η f δε είαι παραγωγίσιμη. 3. Εξέταση της παραγωγισιμότητας σε συαρτήσεις πολλαπλού τύπου και στα σημεία που έχουμε αλλαγή κλάδου 4. Η μέθοδος απόδειξης δια του ατιπαραδείγματος και οι ααγκαίες διευκριήσεις που πρέπει α επααληφθού, ώστε α αρθού οι επιφυλάξεις στους μαθητές ως προς τη εγκυρότητα της μεθόδου. Αάλυση Δυσκολιώ Πιθαές Λαθασμέες Ατιλήψεις Ήδη στο υποερώτημα (α έχου εκτεθεί οι παραοήσεις τω μαθητώ επί του συγκεκριμέου θέματος Όσο αφορά στη μέθοδο απόδειξης δια του ατιπαραδείγματος είαι ααγκαίο α αποσαφηιστού τα εξής: Έστω ότι τίθεται το ερώτημα: «η P(x ισχύει για κάθε x Ω»; 8
H ετός εισαγωγικώ πρόταση είαι αληθής α πράγματι η P(x ισχύει για κάθε x Ω. Α υποτεθεί ότι υπάρχει μία τουλάχιστο τιμή x του x για τη οποία η P(x δε ισχύει, τότε η ετός εισαγωγικώ πρόταση είαι ψευδής. Έα απλό παράδειγμα: «η πρόταση x -4x+3> για κάθε x» είαι αληθής; Για x= έχουμε 4-8+3> άτοπο. Άρα, η δοθείσα πρόταση είαι ψευδής. Το Ρ( λέγεται «έα ατιπαράδειγμα για τη δοθείσα» Δυσκολίες ατιμετωπίζου οι μαθητές στη εξέταση της παραγωγισιμότητας σε συαρτήσεις πολλαπλού τύπου και στα σημεία που έχουμε αλλαγή κλάδου. Δε συειδητοποιού ότι αφού η f είαι πολλαπλού τύπου και η συάρτηση του λόγου μεταβολής είαι πολλαπλού τύπου. Έστω f f (x = f (x, x x (x, x > x x x f (x f (x x x, = x x x x Δραστηριότητα Δίεται η συάρτηση f με f (x = f(x f(x x x f(x f(x x x x, x. Να γραφεί χωρίς χρήση του συμβόλου της απόλυτης τιμής. Να κάετε τη γραφική της παράσταση 3. Να τη μελετήσετε ως προς τη συέχεια και ειδικά στο σημείο x o = 4. Να τη μελετήσετε ως προς τη παραγωγισιμότητα στο σημείο x o = 5. Ορίζεται η εφαπτόμεη της C f στο σημείο (, f(; Σχόλιο: Με τη δραστηριότητα ο μαθητής διαπιστώει ότι υπάρχου συαρτήσεις που εώ είαι συεχείς σ έα σημείο, εδώ στο x o =, ε τούτοις δε είαι παραγωγίσιμες. Δε ισχύει λοιπό το ατίστροφο της πρότασης: «Α f παραγωγίσιμη στο x o τότε f συεχής στο x o». Διαπιστώει επίσης ότι σε γωιακό σημείο δε ορίζεται εφαπτόμεη. Δραστηριότητα Να αποδείξετε ότι: Α f δε είαι συεχής στο x o τότε η f δε είαι παραγωγίσιμη στο x o. Εφαρμογή: Να εξετάσετε α η συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο x o = x x + 5, f (x = 3x + 7, x x > 9
Σχόλιο: Με τη δραστηριότητα και με χρήση της πρότασης που εκτέθηκε, μπορεί ο μαθητής α αποφαίεται αμέσως ότι: «α η f δε είαι συεχής δε είαι παραγωγίσιμη». Δραστηριότητα 3 Δίεται η συάρτηση f με f (x = x x, x <, x Να εξετάσετε α είαι παραγωγίσιμη στο x o = Σχόλιο: Με τη λύση της δραστηριότητας 3 αυτής διαπιστώει ο μαθητής ότι υπάρχει το f (x f ( lim x x αλλά δε είαι πεπερασμέο. Συεπώς η f δε είαι παραγωγίσιμη στο.