ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα Συνεχούς/Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοπός Μελέτη Σήματα Συνεχούς και Διακριτού Χρόνου Εκθετικό, Κρουστικό, Βηματικό Σήμα Μέση Τιμή Σήματος Χαρακτηριστικές Τιμές Σημάτων Ολίσθηση Σήματος Ισχύς και Ενέργεια Σήματος Σύγκριση σημάτων συνεχούς-διακριτού χρόνου 4
Σήμα (signal): Είναι κάθε συνάρτηση του χρόνου. Συνδέεται είτε με την έννοια της πληροφορίας είτε με την έννοια της ενέργειας. Μπορεί να είναι βαθμωτή ή διανυσματική συνάρτηση μίας η περισσοτέρων ανεξάρτητων μεταβλητών. Σήμα συνεχούς χρόνου x() : Όταν οι ανεξάρτητες χρονικές μεταβλητές παίρνουν τιμές σε ένα συνεχές σύνολο χρόνου π.χ. Σήμα διακριτού χρόνου x[n] : Όταν οι τιμές των ανεξάρτητων χρονικών μεταβλητών ανήκουν σε ένα διακριτό σύνολο 5
Μαθηματική Περιγραφή Σημάτων () Τα σήματα ως πρότυπα χωρικών μεταβολών (Συνεχής περίπτωση) 6
Μαθηματική Περιγραφή Σημάτων () Τα σήματα ως πρότυπα χωρικών μεταβολών (Διακριτή περίπτωση) 7
Μαθηματική Περιγραφή Σημάτων (3) Ημιτονοειδή σήματα Κυκλική Συχνότητα x()=acos(ω ο +φ)= Acos(πf ο +φ) Πλάτος Γωνιακή Συχνότητα Φάση 8
Σήματα συνεχούς χρόνου Εκθετικό σήμα () Εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου: x()=ba s. Β,s πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί Για την ανάλυση σημάτων και συστημάτων το α είναι συνήθως e, η βάση των νεπερίων λογαρίθμων. Έτσι x()=be s B, s R s>0 s<0 9
Εκθετικό σήμα () Για s μιγαδικό (s=μ+jω): μ=0 και B=Ae jφ. Χρησιμοποιώντας τη σχέση e j(ω+φ) =cos(ω+φ)+jsin(ω+φ) το σήμα θα έχει τη μορφή: x()=be jω = Αe jφ e jω = Αe j(ω+φ) =Αcos(ω+φ)+jΑsin(ω+φ). Το εκθετικό σήμα είναι μιγαδικό και περιοδικό με περίοδο: Τ π 0
Εκθετικό σήμα (3) Το ημιτονοειδές σήμα Αcos(ω+φ). Η παράμετρος ω ονομάζεται κυκλική συχνότητα (radial frequency) ενώ η παράμετρος φ ονομάζεται φάση (phase) του ημιτονοειδούς σήματος με μονάδες μέτρησης radians/sec και radians αντιστοίχως.
Εκθετικό σήμα (4) μ πραγματικός αριθμός και B=Ae jφ x()=be (μ+jω) = Αe jφ e (μ+jω) =Ae μ e j(ω+φ) = =Αe μ cos(ω+φ)+jαe μ sin(ω+φ). Το μιγαδικό σήμα δεν είναι περιοδικό όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα μ<0 μ>0
Κρουστικό σήμα () Το μοναδιαίο κρουστικό σήμα ορίζεται ως εξής: ( ) 0 ( ) d 0 Το κρουστικό σήμα ονομάζεται και συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση Dirac. Επιτρέπει την περιγραφή φαινομένων με στιγμιαία διάρκεια. Το μοναδιαίο κρουστικό σήμα μπορεί να θεωρηθεί σαν μία συνάρτηση που μηδενίζεται για κάθε 0 και το συνολικό εμβαδόν του τμήματος του επιπέδου που περικλείεται από την καμπύλη δ() και τον άξονα των είναι ίσο με την μονάδα 3
Επιλογή (selecive propery): Κρουστικό σήμα () δ( - 0 Ιδιότητες Με μια αλλαγή μεταβλητής από τον ορισμό του σήματος προκύπτουν τα παρακάτω: )f()d =f ( 0 ) Για ολοκλήρωση από έως και για συνάρτηση f()=: 0 αν 0 δ( - 0 )d = αν 0 < η 0 > 4
Κρουστικό σήμα (3) Βάθμωση της χρονικής μεταβλητής (ime-scaling): Για κάθε a0 ισχύει η σχέση δ(a)= a δ(). Θέτοντας α=- προκύπτει η σχέση δ()=δ(-). Το κρουστικό σήμα είναι μια άρτια γενικευμένη συνάρτηση του χρόνου. Δειγματοληψία: Αν η f() είναι συνεχής στο =0, τότε: f()δ()=f(0) δ() 5
Βηματικό σήμα () Το μοναδιαίο βηματικό σήμα (uni sep signal) s() ορίζεται ως η γενικευμένη συνάρτηση η οποία επαληθεύει την σχέση u( ) φ( ) d φ( ) d για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση φ() η οποία μηδενίζεται έξω από κάποιο διάστημα [-ε,ε] με ε>0. 0 για 0 s() 0 για 0 Με το βηματικό σήμα συνεχούς χρόνου μπορούν να περιγραφούν μεγέθη τα οποία εμφανίζουν απότομες αλλά πεπερασμένες μεταβολές. 6
Βηματικό σήμα () Ιδιότητες Το βηματικό σήμα μπορεί να συνδεθεί με το κρουστικό σήμα με τις παρακάτω ιδιότητες: Ολοκλήρωση: s( ) δ(τ)dτ Παραγώγιση: ( ) s ( ) ( ) 7
Σήματα διακριτού χρόνου Εκθετικό σήμα () Εκθετικό σήμα διακριτού χρόνου: x[n]=ba s. Β,s πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί Όταν α=e και B, s R s>0 s<0 8
Εκθετικό σήμα () Στη γενική περίπτωση οι παράμετροι Β και s είναι μιγαδικές. Τότε το σήμα είναι της μορφής x[n]=α eμn cos[ωn+φ]+jαe μn sin[ωn+φ] με Β=Αe jφ και s=μ+jω Για s=jω, B=Ae jφ x[n]=be jω Σε αντίθεση προς το αντίστοιχο σήμα συνεχούς χρόνου το σήμα διακριτού χρόνου x[n]=αe j[ωn+φ] είναι περιοδικό με περίοδο Ν=π/ ω αν και μόνο αν ο λόγος ω/π είναι ρητός αριθμός. 9
Εκθετικό σήμα (3) Για s=μ+jω, B=A ejφ μ<0 μ>0 0
Κρουστικό σήμα () Tο κρουστικό σήμα διακριτού χρόνου ορίζεται από την σχέση: 0 δ[n]= n 0 n 0
Κρουστικό σήμα () Το κρουστικό σήμα διακριτού χρόνου έχει ανάλογες ιδιότητες με το συνεχούς χρόνου: δ[n - n f [ n] f [ ] n 0 ] n0 f[n]δ[n]=f[0]δ[n] δ[n]=δ[-n]
Βηματικό σήμα () Το μοναδιαίο βηματικό σήμα διακριτού χρόνου (discree-ime uni sep signal) ορίζεται από την σχέση: n 0 s[n] 0 n 0 3
Βηματικό σήμα () Ιδιότητες Το βηματικό σήμα μπορεί να συνδεθεί με το κρουστικό σήμα με τις παρακάτω ιδιότητες: Πρώτη διαφορά: s[n]-s[n-]=δ[n] Συσσώρευση: s[n] δ[n-k] k 0 4
Χρονικές Ολισθήσεις Σήματος Έστω: Καθυστέρηση Προήγηση 5
Χαρακτηριστικές τιμές σημάτων () Πολύ συχνά ένα σήμα χαρακτηρίζεται από απλούς δείκτες που εξαρτώνται από το σύνολο των στιγμιαίων τιμών του: Μέση τιμή σήματος x av : Συνεχούς χρόνου Σε ένα διάστημα [,] ενός σήματος συνεχούς χρόνου: x av x( ) d Για περιοδικό σήμα συνεχούς χρόνου με περίοδο Τ : x av T T 0 x( ) d Διακριτού χρόνου Για σήματος διακριτού χρόνου στο διάστημα [n,n]: x n x[ n av n n ] nn Για περιοδικά σήματα με περίοδο Ν η μέση ανά περίοδο τιμή είναι: x av N N n0 x[ n] 6
Χαρακτηριστικές τιμές σημάτων () Μέση τετραγωνική τιμή σήματος x rms : Συνεχούς χρόνου Για σήματα συνεχούς χρόνου ορίζεται σε ένα διάστημα [,] από την σχέση: x rms x ( ) Για περιοδικά σήματα συνεχούς χρόνου η μέση τετραγωνική τιμή που ονομάζεται και ενεργός τιμή (effecive value) υπολογίζεται για χρονικό διάστημα μίας περιόδου Τ από την σχέση : x av T x T ( ) 0 d d 7
Χαρακτηριστικές τιμές σημάτων (3) Διακριτού χρόνου Η μέση τετραγωνική τιμή σε ένα χρονικό διάστημα [n,n] ορίζεται από τη σχέση: x rms n n n n n x[ n] Για περιοδικά σήματα η μέση τετραγωνική τιμή που ονομάζεται και ενεργός τιμή (effecive value) υπολογίζεται για χρονικό διάστημα μίας περιόδου Ν από την σχέση: x rms N N n0 x[ n] 8
Ισχύς και ενέργεια σήματος () Μολονότι οι έννοιες της ισχύος και της ενέργειας συνδέονται με φυσικές μεταβλητές, ανάλογες έννοιες ορίζονται για κάθε σήμα ακόμη και για σήματα που δεν έχουν σχέση με φυσικά φαινόμενα. Στιγμιαία ισχύς (insananeous power) p: Συνεχούς χρόνου Διακριτού χρόνου p()= x () p[n] = x [n] Μέση ισχύς σήματος (average power) p av : Συνεχούς χρόνου: Για ένα διάστημα [,] p av - x( ) d Για περιοδικό σήμα και για διάστημα μίας περιόδου : T p av p( ) d x ( ) T T 0 T 0 d 9
Ισχύς και ενέργεια σήματος () Η μέση ισχύς p στο διάστημα (-,+) ορίζεται από την σχέση: p lim T T T T x( ) d Ένα σήμα που ικανοποιεί την σχέση : 0 pav lim ( ) x d ονομάζεται σήμα ισχύος (power signal). 30
Ισχύς και ενέργεια σήματος (3) Διακριτού χρόνου: Για ένα διάστημα [n,n] p av n n n nn x [ n] Σε αντιστοιχία με τα σήματα συνεχούς χρόνου ένα σύστημα διακριτού χρόνου ονομάζεται σήμα ισχύος αν η ολική του μέση ισχύς είναι πεπερασμένη, δηλαδή αν 0 p N av lim x [ n N N ] nn 3
Ισχύς και ενέργεια σήματος (4) Ενέργεια σήματος W Συνεχούς χρόνου Η ενέργεια (energy) W [,] σε ένα χρονικό διάστημα [, ] W [, x ( ) ] d Εύκολα φαίνεται ότι W [,] = ( - )p av Η ολική ενέργεια (oal energy) ενός σήματος συνεχούς χρόνου ορίζεται από την σχέση: W x ( ) d 3
Ισχύς και ενέργεια σήματος (5) Το σήμα λέγεται σήμα ενεργείας (energy signal) αν η ολική του ενέργεια είναι πεπερασμένη, δηλαδή αν W x ( ) d Τα σήματα ενεργείας έχουν μηδενική μέση ισχύ στο διάστημα (-,+ ) 33
Ισχύς και ενέργεια σήματος (6) Διακριτού χρόνου Για ένα διάστημα [n,n ] η ενέργεια του σήματος είναι: W n [ n,n ] x [ n] nn Η ολική ενέργεια (oal energy) του σήματος ορίζεται από την σχέση: W n Ένα σήμα διακριτού χρόνου θα είναι σήμα ενεργείας αν : W x [ n] n x[ n] 34
Σύγκριση σημάτων συνεχούς-διακριτού χρόνου () Χρονική μεταβλητή Εκθετικό σήμα Κρουστικό σήμα Ιδιότητες Συνεχής x()=ba s, x()=βe jω περιοδικό για κάθε πραγματικό ω 0 αν 0 δ( ) δ( ) d δ( - 0 a )f()d =f ( 0 ) δ(a)= δ() f( )δ()=f(0) δ() Διακριτή x[n]=ba sn x[n]=βe jω περιοδικό μόνο αν ω/π είναι ρητός αριθμός. 0 δ[n] = n 0 n 0 δ[n - n f [ n] f [ ] n 0 ] n0 δ[n]=δ[-n] f[n]δ[n]=f[0]δ[n] 35
Σύγκριση σημάτων συνεχούς-διακριτού χρόνου () Χρονική μεταβλητή Βηματικό σήμα Συνεχής α 0 s() 0 0 Διακριτή n 0 s[n] 0 n 0 Ιδιότητες ds( ) d δ( ) s[n]-s[n-]=δ[n] s( ) δ(τ)dτ s [ n] n δ[k] k 36
Σύγκριση εννοιών σημάτων συνεχούς-διακριτού χρόνου () Χρονική μεταβλητή Συνεχής Διακριτή Μέση τιμή Μέση τετραγωνική τιμή ) ( av d x x n n n av n x n n x ] [ ) ( rms d x x ] [ n n n rms n x n n x 37
Σύγκριση εννοιών σημάτων συνεχούς-διακριτού χρόνου () Χρονική μεταβλητή Στιγμιαία Ισχύς Συνεχής Διακριτή p()= x() p[n] = x[n] Ισχύς Μέση Ισχύς p av x( ) d - p av x[ n] n n n nn Ενέργεια W, ] x ( ) n [ d [ n, n ] nn W x[ n] 38
Λυμένες Ασκήσεις () Άσκηση : Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω σήματα είναι ενέργειας, ισχύος ή τίποτα από τα δύο. α) x e s E x d e d 0 Το σήμα x() είναι σήμα ενέργειας Το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο T0 β) x Acos Η μέση ισχύς του σήματος είναι: 0 T 0 0 0 P x d A cos 0 d T 0 0 0 0 39
Λυμένες Ασκήσεις () 0 A 0 A cos 0 d 0 Έτσι το x() είναι σήμα ισχύος. Γενικά, τα περιοδικά σήματα είναι σήματα ισχύος γ) x s T 3 T T lim lim lim T T T T 0 3 E x d T 3 T T P lim x d lim lim T T T T T 3 T T 0 Το σήμα x() δεν είναι ούτε ενέργειας ούτε ισχύος 40
δ) xn 0.5 n sn Λυμένες Ασκήσεις (3) n 4 E x n 0.5 0.5 3 n n0 Είναι σήμα ενέργειας ε) xn sn N N P lim xn lim lim N N N N N N N nn n0 Είναι σήμα ισχύος 4
Λυμένες Ασκήσεις (4) x n j n e στ) 3 Ισχύει j3n 3 j n x n e e Άρα N N P lim xn lim lim 4N 4 N N N N N N nn nn Σήμα ισχύος 4
Λυμένες Ασκήσεις (5) Άσκηση : Να βρεθεί και να σχεδιαστεί η πρώτη παράγωγος των παρακάτω σημάτων α) x s s 5 Από τις ιδιότητες του βηματικού σήματος s s a a x 5 Άρα η παράγωγος του σήματος είναι 43
β) x s s 5 Λυμένες Ασκήσεις (6) 5 5 x s s Όμως 00 0 και 5 5 5 Άρα x s s 5 5 5 44
γ) x sgn Λυμένες Ασκήσεις (7) 0 0 Το σήμα μπορεί να περιγραφεί και έτσι: x sgn s s Έτσι x ' s ' s ' 45
Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Πανεπιστήμιο Πατρών, Πέτρος Γρουμπός. «Σήματα και Συστήματα Ι, Σήματα και Συστήματα Συνεχούς/Διακριτού Χρόνου». Έκδοση:.0. Πάτρα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hps://eclass.uparas.gr/modules/course_meadaa/opencourses.php?fc=5 46