ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Γεωµετρικός Τόπος Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος []: Κεφάλαιο 7 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 7 DiStefano [995]: Chapters 3 Tewari [5]: Chapter : Section.9 6 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή Ένα από τα βασικά ζητήµατα της σχεδίασης Σ.Α.Ε είναι η τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος σε νέες επιθυµητές θέσεις. Η γενική διάταξη που χρησιµοποιείται για το σκοπό αυτό φαίνεται στο επόµενο σχήµα Η συνάρτηση, η οποία συνήθως ονοµάζεται ελεγκτής ανατροφοδότησης, χρησιµοποιείται για την εισαγωγή νέων πόλων και µηδενικών στο σύστηµα Η σταθερά ενίσχυσης Κ (η οποία συνήθως ονοµάζεται αντισταθµιστής) χρησιµοποιείται για την µετατόπιση των υφιστάµενων πόλων του συστήµατος σε νέες θέσεις καθώς και για τη ρύθµιση του σφάλµατος στη µόνιµη κατάσταση. Σε αρκετές περιπτώσεις η εισαγωγή µοναδιαίας ανάδρασης (=) και ο αντισταθµιστής K είναι αρκετή για τη δηµιουργία της επιθυµητής συµπεριφοράς του συστήµατος. Η µελέτη της µεταβολής της θέσεως των πόλων του κλειστού συστήµατος καθώς µεταβάλλεται το Κ είναι το αντικείµενο του Γεωµετρικού Τόπου Ριζών 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Το αριστερό διάγραµµα µας δίνει τη θέση των πόλων του κλειστού συστήµατος του σχήµατος ως µεταβολή της τιµής του Κ. Με µπλε χρώµα είναι η κίνηση του ενός πόλου και µε πράσινο η κίνηση του δεύτερου πόλου.5.5 Gain:.8 Pole: -. +.i Damping:.9 Overshoot (%):.6 Frequency (rad/sec):.6.5.5 Imag inary Axis.5 -.5.5 -.5 - -.5 - Gain: 5.7 Pole: -.53 -.8i Dam ping:.953 Overshoot (%):.8 Frequency (rad/sec):.65 - -.5 - -.5-6 -5 - -3 - - 3 -.5-6 -5 - -3 - - 3 6 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ορισµός Γεωµετρικού Τόπου Ριζών Έστω το κλειστό σύστηµα του σχήµατος: KG( Ως γνωστό το κλειστό σύστηµα έχει συνάρτηση µεταφοράς: H ( = + KG( και η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος είναι: + KG( = ή KG( = η οποία µπορεί να γραφεί και ως K G( = arg ( KG( ) = (ρ + ) π, ρ =, ±, ±,... Έστω ότι η συνάρτηση µεταφοράς βρόχου ΚG( είναι ρητή συνάρτηση και έχει τη µορφή: ( s + z)( s + z)...( s + zm ) KG( = K j s ( s + p )( s + p )...( s + p ) k 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Ορισµός Γεωµετρικού Τόπου Ριζών (ΙΙ) Η χαρακτηριστική εξίσωση τότε παίρνει τη µορφή: KG( = => K m i ( s + z ) = n, < K < ( s + p ) i= ( ),... i i arg KG( = (ρ + ) π, ρ =, ±, ± m n (ρ + ) π, Κ > => arg( s + zi ) arg( s + pi ) = i = i= ρπ, Κ < KG( Ο Γεωµετρικός Τόπος Ριζών (Γ.Τ.Ρ) του κλειστού συστήµατος H ( = + KG( είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων s που ικανοποιούν τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος (δηλαδή τις δύο παραπάνω εξισώσεις) για Κ(, ) 6 Nicolas Tsapatsoulis 3
Θεώρηµα : ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών Τα σηµεία του Γ.Τ.Ρ για Κ= είναι οι πόλοι της G(. Τα σηµεία αυτά ονοµάζονται σηµεία εκκίνησης του Γ.Τ.Ρ.5.5 Gain: Pole: +.i Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):..5.5.5 -.5 -.5 -.5 - -.5 Gain: Pole: -.i Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):. -.5 - - -.5-6 -5 - -3 - - 3 -.5-6 -5 - -3 - - 3 6 Nicolas Tsapatsoulis Θεώρηµα : ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (II) Τα σηµεία του Γ.Τ.Ρ για Κ-> είναι τα µηδενικά της G(. Τα σηµεία αυτά ονοµάζονται σηµεία λήξης του Γ.Τ.Ρ. Όταν ο αριθµός m των µηδενικών της G( είναι µικρότερος από τον αριθµό των πόλων n υπάρχουν n-m σηµεία λήξης που αντιστοιχούν στο άπειρο ( ).5.5.5.5.5.5 -.5 - Gain: 7.5 Pole: -5.83 Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec): 5.83 Gain: Inf Pole: - Damping: Overs hoot (%): Frequency (rad/sec): -.5 -.5 - -.5 - - -.5-6 -5 - -3 - - 3 -.5-6 -5 - -3 - - 3 6 Nicolas Tsapatsoulis
Θεώρηµα 3: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (IIΙ) Ο αριθµός των διακεκριµένων κλάδων (τόπων) είναι ίσος µε max(n,m) όπου m και n είναι ο αριθµός των µηδενικών και πόλων της G(. 6 6 - - -6 - -.5.5 - - Gain: 7. Pole: -.93 Damping: Overs hoot (%): Frequency (rad/sec):.93-6 - -.5.5 Gain: 8.6 P ole:.5 + 5.59i Damping: -.83 Overshoot (%): 9 Frequency (rad/sec): 5.6 Gain: 3 Pole:.5-5.7i Damping: -.786 Overshoot (%): 8 Frequency (rad/sec): 5.73 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (IV) Θεώρηµα : Ο Γ.Τ.Ρ για K (, + ) είναι συµµετρικός ως προς τον άξονα των πραγµατικών αριθµών (Re() Άσκηση: Να βρεθεί µε τη βοήθεια του διαγράµµατος του Γ.Τ.Ρ ηελάχιστη τιµή του K για την οποία το κλειστό σύστηµα του σχήµατος είναι ευσταθές..5.5 -.5 Gain:.5 Pole: -.83 Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):.83 - -.5-3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis 5
Θεώρηµα 5: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (V) Για µεγάλες τιµές του s o Γ.Τ.Ρ για K πλησιάζει ασυµπτωτικά τις ευθείες γραµµές που έχουν γωνίες: (ρ + ) θ ρ = π, ρ =,,..., n m n m όπου n είναι ο αριθµός των πόλων και m ο αριθµός των µηδενικών της G(.5 3.5.5 -.5 - -.5 - - - -3 -.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 - - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis Θεώρηµα 6: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (VΙ) Οι n-m ασύµπτωτες του Γ.Τ.Ρ τέµνονται στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και n m συγκεκριµένα στο σηµείο: pi zi i= i= σ = n m.5.5.5 -.5 - -.5 - -.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis 6
Θεώρηµα 7: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (VΙΙ) Ένα τµήµα του άξονα των πραγµατικών αριθµών µπορεί να ανήκει στο Γ.Τ.Ρ αν ο αριθµός των πόλων ή µηδενικών της G( που βρίσκονται στα δεξιά του τµήµατος είναι περιττός.5.5 -.5 - -.5-3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (VΙΙΙ) Θεώρηµα 8: G( Οι ρίζες τις εξίσωσης d = οι οποίες είναι και ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: ds KG( + = για κάποια τιµή του Κ, αποτελούν σηµεία θλάσης του Γ.Τ.Ρ.5.5.5 -.5 - -.5 - -.5-6 -5 - -3 - - 3 6 Nicolas Tsapatsoulis 7
Θεώρηµα 9: ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Τόπου Ριζών (ΙX) Η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στους πόλους της G( (γωνία εκκίνησης) δίνεται από τη σχέση: m n θ ( pq ) = π + arg( pq zi ) arg( pq pi ) i = i i = q όπου θ(p q ) η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στο πόλο p q και p i, z i είναι οι πόλοι και τα µηδενικά της G( αντίστοιχα. Η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στα µηδενικά της G( (γωνία άφιξης) δίνεται από τη σχέση: m n θ ( zq ) = arg( zq zi ) + arg( zq pi ) i = = i i q όπου θ(z q ) η γωνία που σχηµατίζει ο Γ.Τ.Ρ στο µηδενικό z q 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Γωνίες άφιξης και γωνίες εκκίνησης.5.5.5.5 Imagin ary Axis -.5 -.5 - - -.5 -.5-3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 - -3 -.5 - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis 8
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα.8.6 Για το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ.. Επαληθεύστε τις απαντήσεις µε τη βοήθεια του διαγράµµατος του Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό σχήµα (γωνίες εκκίνησης = π,, π, γωνίες άφιξης = 9 ο, -9 ο ) -. -. -.6 -.8 - -3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (ΙΙ).5.5 Για το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ Επαληθεύστε τις απαντήσεις µε τη βοήθεια του διαγράµµατος του Γ.Τ.Ρ που δίνεται στο διπλανό σχήµα (γωνίες εκκίνησης = π, -3, 3, γωνίες άφιξης = 5, -5) -.5 - -.5 - - -.5 - -.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis 9
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα (ΙΙΙ).5.5 Gain:.85 Pole: -.9 Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):.9 Gain:.5 Pole: -. +.3i Damping:.83 Overshoot (%): 77 Frequency (rad/sec):.3 Για το κλειστό σύστηµα του σχήµατος να υπολογίσετε τις γωνίες εκκίνησης και άφιξης του Γ.Τ.Ρ (γωνίες εκκίνησης = π, 3, - 3, γωνίες άφιξης = -5, 5) Με τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ να υπολογίσετε µια κατάλληλη τιµή για το K ώστε το σύστηµα να είναι ευσταθές (Λύση: Κ>3). -.5 - Gain:.5 Pole: -. -.3i Damping:.83 Overshoot (%): 77 Frequency (rad/sec):.3 -.5 - -.5.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Προσδιορισµός ριζών µε τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ Η κατασκευή του Γ.Τ.Ρ µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση των ριζών ενός πολυωνύµου ανώτερης τάξης p(: Βρίσκουµε µια µορφή +KG( για την οποία το χαρακτηριστικό πολυώνυµο να του κλειστού συστήµατος να είναι ίσο µε το p( για κάποια τιµή του Κ. Υπολογίζουµε από το Γ.Τ.Ρ τις θέσεις των πόλων του κλειστού συστήµατος για τη συγκεκριµένη τιµή του Κ. Παράδειγµα: Να βρεθούν οι ρίζες του πολυωνύµου 3 p( = s + s + 3s + µε τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ Λύση: K Το κλειστό σύστηµα µε KG( = το p( για Κ=. s( s + )( s + 3) έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο Σχηµατίζουµε το Γ.Τ.Ρ για το παραπάνω κλειστό σύστηµα και βρίσκουµε τις θέσεις των πόλων για Κ= (βλέπε σχήµα επόµενης διαφάνειας) 6 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Προσδιορισµός ριζών µε τη βοήθεια του Γ.Τ.Ρ (ΙΙ) 6 Από το διάγραµµα του Γ.Τ.Ρ του σχήµατος προκύπτει ότι οι ρίζες 3 του p( = s + s + 3s + - Sys tem: h Gain:.5 Pole: -3.8 Damping: Overshoot (%): Frequenc y (rad/sec ): 3.8 Gain:.99 Pole: -.363 -.689i Damping:.66 Overshoot (%): 9. Frequency (rad/sec):.779 Gain: Pole: -.363 +.69i Damping:.65 Overshoot (%): 9. Frequency (rad/sec):.78 είναι (προσεγγιστικά) οι p = -3.9, p =-.363+.69, p 3 =-.363-.69, - -6 - -8-6 - - 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστηµα Η απλούστερη µορφή ενός κλειστού συστήµατος περιλαµβάνει µοναδιαία ανατροφοδότηση και τον αντισταθµιστή K όπως φαίνεται στο σχήµα: Πολλές φορές η παραπάνω µορφή δεν είναι αρκετή για να προσδώσει στο κλειστό σύστηµα την επιθυµητή συµπεριφορά και χρησιµοποιείται η συνάρτηση ανατροφοδότησης για την εισαγωγή επιπλέον πόλων ή µηδενικών στο σύστηµα. Στη συνέχεια εξετάζουµε την επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστηµα. 6 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστηµα (ΙΙ) Στα παρακάτω σχήµατα φαίνονται οι Γ.Τ.Ρ των αντίστοιχων κλειστών συστηµάτων:.8.8.6.6.... -. -. Gain:. Pole:.36 Damping: - Overshoot (%): Frequency (rad/sec):.36 -. -. Gain:.5 Pole:.57 +.99e-8i Damping: - Overshoot (%): Inf Frequency (rad/sec):.57 -.6 -.6 -.8 -.8 - - -.5 - -.5.5.5 - - -.5 - -.5.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Επίδραση εισαγωγής πόλων στο κλειστό σύστηµα (ΙΙΙ) Από τα προηγούµενα και επόµενα σχήµατα προκύπτει ότι η εισαγωγή πόλων στο κλειστό σύστηµα απλά µετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα δεξιά και καθιστά το σύστηµα λιγότερο ευσταθές..5.8.6..5. -. -. Gain:. Pole:.36 Damping: - Overshoot (%): Frequency (rad/sec):.36 -.5 Gain:.68 Pole:.9 Damping: - Overshoot (%): Frequency (rad/sec):.9 -.6 - -.8 - - -.5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 - -.5.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Επίδραση εισαγωγής µηδενικών Σε γενικές γραµµές η εισαγωγή µηδενικών στο κλειστό σύστηµα µετακινεί το Γ.Τ.Ρ προς τα αριστερά καθιστώντας το σύστηµα περισσότερο ευσταθές όπως φαίνεται από τα επόµενα παραδείγµατα. 5 5 3 3 - - - - -3-3 - - -5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5-5 -3 -.5 - -.5 - -.5.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Επίδραση εισαγωγής µηδενικών (ΙΙ) 5 5 3 3 - - - - -3-3 - - -5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5-5 -3 -.5 - -.5 - -.5.5. 5 6 Nicolas Tsapatsoulis 3
.5.5 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Επίδραση εισαγωγής µηδενικών (ΙΙΙ) Gain: 3.73 Pole: -.388 +.3i Damping:.95 Overshoot (%): 99.9 Frequency (rad/sec):.3 Από το διάγραµµα του Γ.Τ.Ρ του σχήµατος παρατηρούµε ότι µε την εισαγωγή δύο συζυγών µηδενικών στο κλειστό σύστηµα επιτυγχάνουµε ευστάθεια (για Κ>) -.5 - -.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5 6 Nicolas Tsapatsoulis ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ για το κλειστό σύστηµα του σχήµατος και να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το σύστηµα να είναι ευσταθές. 5 Gain: e+6 Pole: -.36 +.73e+3i Damping:.9 Overshoot (%): 99.9 Frequency (rad/sec):.73e+3 5 Imag inary Axis -5 - -5 - - -5 - -5 5 6 Nicolas Tsapatsoulis
.5 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙI Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να κατασκευάσετε το Γ.Τ.Ρ και να προσδιορίσετε το διάστηµα διακύµανσης του K ώστε το σύστηµα να είναι ευσταθές (Απ..5<Κ<) Gain:.59 Pole: -.79 +.i Damping:.69 Overshoot (%): 98 Frequency (rad/sec):..5 -.5 Gain:.99 Pole: -.6 Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec):.6 - -.5 - -.8 -.6 -. -....6 6 Nicolas Tsapatsoulis 5