Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 k x 0, i =,...,. i Αντικειμενική συνάρτηση μεταβλητών ( ) Ανισοτικοί περιορισμοί πλήθους k Περιορισμοί μη αρνητικότητας πλήθους - Για να λύσουμε το πρόβλημα, ακολουθούμε την εξής μεθοδολογία:. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrage: L = f( x) + λ g ( x) +... + λ g ( x) [όπου x= ( x,..., x )]. k k
2. Γράφουμε και λύνουμε τις Αναγκαίες Συνθήκες μεγιστοποίησης ή Συνθήκες ης τάξης (FOCs) ήσυνθήκεςkuh-tucker (Κ-Τ), σύμφωνα με το παρακάτω θεώρημα: * * Θεώρημα (Κ-Τ): Αν x* = ( x,..., x ) είναι μια λύση του παραπάνω προβλήματος μεγιστοποίησης, τότε υπάρχουν * * πολλαπλασιαστές λ,..., τέτοιοι ώστε το διάνυσμα λ 0 k * * * * ( x,..., x, λ,..., λk) = ( x*, λ*) ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: Lx (*, λ*) () 0, i =,..., xi Lx (*, λ*) * (2) xi = 0, i =,..., x FOCs (K-T) i Lx (*, λ*) (3) = g j ( x*) 0, j =,..., k λ j Lx (*, λ*) j k * (4) λ j = 0, =,..., λ j * (5) xi 0, i=,...,. * (6) λ j 0, j =,..., k. (Αναγκαίες Συνθήκες Μεγιστοποίησης) 2
Οι συνθήκες (2) και (4) ονομάζονται συνθήκες συμπληρωματικής χαλαρότητας: (2) * Lx (*, λ*) - Αν xi > 0 (χαλαρή ανισότητα) = 0 xi (4) * Lx (*, λ*) - Αν λ j > 0 (χαλαρή ανισότητα) = g j( x*) = 0 λ 3. Ελέγχουμε αν ισχύουν οι συνθήκες 2 ης τάξης (SOCs) ή Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης, οι οποίες διατυπώνονται ως εξής: Αν οι f, g,, g k είναι κοίλες συναρτήσεις, τότε κάθε λύση x* των αναγκαίων συνθηκών (FOCs) αποτελεί ολικό μέγιστο του προβλήματος. - Μια εναλλακτική (ασθενέστερη) συνθήκη 2 ης τάξης δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα (Arrow-Ethove): Αν οι f, g,, g k είναι οιονεί κοίλες συναρτήσεις, τότε κάθε λύση x* των αναγκαίων συνθηκών (FOCs) αποτελεί ολικό μέγιστο του προβλήματος. j 3
Κριτήρια Ελέγχου Κοιλότητας Οιονεί Κοιλότητας (Κριτήρια 2 ης Παραγώγου) () Έλεγχος Κοιλότητας (α) Έλεγχος Κοιλότητας για συναρτήσειςμίαςμεταβλητής(=) - Μια συνάρτηση f(x) (όπου f : X R R) είναι: κοίλη, αν και μόνο αν αυστηρώς κοίλη, αν και μόνο αν κυρτή, αν και μόνο αν f ( x) 0 x X. f ( x) 0 x X. αυστηρώς κυρτή, αν και μόνο αν - Παραδείγματα κοίλων συναρτήσεων: f( x) = ax+ b, a, b R (γραμμική) α f( x) = x, 0 < a (εκθετική) f( x) = l x, x> 0 (λογαριθμική) f ( x) < 0 x X. f ( x) > 0 x X. 4
- Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη, τότε και η g=αf, α>0 είναι μια κοίλη συνάρτηση. - Θεώρημα: Έστω f, f2,..., f κοίλες συναρτήσεις. Τότε, η g = af+ a2f2+... + af (όπου a, a2,..., a > 0) μια κοίλη συνάρτηση. είναι επίσης (δηλαδή: το άθροισμα κοίλων συναρτήσεων είναι επίσης μια κοίλη συνάρτηση) - Παράδειγμα: Ησυνάρτηση f( x, x2, x3) = 2x+ 3lx2 + x3 είναι κοίλη ως άθροισμα κοίλων συναρτήσεων. 5
(β) Έλεγχος Κοιλότητας για συναρτήσεις δύο μεταβλητών (=2) - Έστω μια συνάρτηση f(x, x 2 ). H Εσσιανή μήτρα (Η) της f είναι η μήτρα όλων των δεύτερων μερικών παραγώγων της f: 2 f f2 f ij 22 i H = όπου: f = = f ji, i, j =, 2 f f x xj - Ησυνάρτηση f(x, x 2 ) είναι: κοίλη, αν και μόνο αν η Η είναι αρνητικά ημιορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f 0, f 0 και Η 0. 2 αυστηρώς κοίλη, αν και μόνο αν η Η είναι αρνητικά ορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f < 0 και Η> 0. κυρτή, αν και μόνο αν η Η είναι θετικά ημιορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f 0, f 0 και Η 0. 2 αυστηρώς κυρτή, αν και μόνο αν η Η είναι θετικά ορισμένη, δηλαδή αν και μόνο αν: f > 0 και Η > 0. 6
Παράδειγμα. Έλεγχος κοιλότητας για τη συνάρτηση: k k f( x, x ) = x x, με x, x > 0, k > 0 -H Εσσιανή μήτρα της f είναι: H k 2 k 2 k k f f2 kk ( ) x x2 kx x 2 = =, με: 2 k k k k 2 f2 f22 kx x2 kk ( ) xx H = k ( 2 k) x x f κοίλη 2 2k 2 2k 2 f αυστηρώς κοίλη f κυρτή 2 f αυστηρώς κυρτή f 0, f 0 και Η 0 k /2 2 f < 0 και Η > 0 k < /2 f 0, f 0 και Η 0 Αδύνατο f > 0 και Η > 0 Αδύνατο 7
2. Έλεγχος Οιονεί Κοιλότητας για συναρτήσεις δύο μεταβλητών (=2) - Για να ελέγξουμε αν η συνάρτηση f ( x, x2) είναι οιονεί κοίλη, ακολουθούμε τα εξής βήματα: (i) Σχηματίζουμε την περιφραγμένη Εσσιανή μήτρα (Β) της f : 0 f f2 2 f B= f f f2 όπου: fij = = f ji, i, j =, 2 xi xj f2 f2 f 22 f fi = xi (ii) H f είναιοιονείκοίληαν Β 0. (Αντίθετα, η f είναι οιονεί κυρτή αν Β 0) 8
Παράδειγμα (συνέχεια). Έλεγχος οιονεί κοιλότητας για τη k k συνάρτηση: f( x, x2) = xx2, με x, x2 > 0, k > 0 k k k k 0 kx x2 kxx 2 k k k 2 k 2 k k (i) B= kx x2 k( k ) x x2 k x x2 k k k k k k 2 kxx 2 k x x2 k( k ) xx 2 (ii) B = 2k x x 0 k 3 3 2 3k 2 Άρα, η f είναι οιονεί κοίλη για όλες τις τιμές του k. Επομένως: Για k</2, η f είναι αυστηρώς κοίλη, κοίλη και οιονεί κοίλη. Για k=/2, η f είναι κοίλη και οιονεί κοίλη (αλλά όχι αυστηρώς κοίλη). Για k>/2, η f είναιοιονείκοίλη(αλλά όχι κοίλη ούτε αυστηρώς κοίλη). - Γενικά: Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη, τότε είναι και οιονεί κοίλη. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. 9
Μονοτονικός Μετασχηματισμός - Έστω f(x,,x ) συνάρτηση μεταβλητών και g(x) μια (μονομεταβλητή) γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Τότε, ησυνάρτηση: g[f(x,,x )]= v(x,,x ) είναι ένας μονοτονικός μετασχηματισμός της f. - Παράδειγμα: f( x, x2) = xx2 () i Για g( x) = lx ( ) => H συνάρτηση g[ f( x, x2)] = l xx2 = lx+ l x2 = v( x, x2) 2 2 είναι ένας μονοτονικός μετασχηματισμός της f. 2 ( ii) Για g( x) = x, x > 0 ( ) => H συνάρτηση g[ f( x, x)] = xx = xx = v( x, x) 2 είναι επίσης ένας μονοτονικός μετασχηματισμός της f. Πρόταση: Αν η f είναι μια κοίλη συνάρτηση, τότε κάθε μονοτονικός μετασχηματισμός της f είναι μια οιονεί κοίλη (αλλά όχι σίγουρα κοίλη) συνάρτηση. 0
() Μεγιστοποίηση Κερδών Παραδείγματα Μεγιστοποίησης Έστω q= 2 L, όπου q: η παραγόμενη ποσότητα προϊόντος L: η χρησιμοποιούμενη ποσότητα εργασίας. Ο μισθός είναι w=0 και η τιμή του προϊόντος είναι p=50. -H επιχείρηση επιλέγει την ποσότητα εργασίας (L) που μεγιστοποιεί τα κέρδη της: max Π ( L) = p q( L) w L= 00 L 0L { L} st.. L 0 L =Π ( L) = 00 L 0L FOCs : dπ dl /2 dπ = 50L 0 0, L= 0 dl L L L /2 Υπόθεση: > 0 50 0 = 0 * = 25
SOC : -3/ 2 Η συνάρτηση Π( L) είναι κοίλη, διότι: ( L) -25L 0. Άρα, η λύση L* = 25 αποτελεί ολικό μέγιστο. Η μέγιστη τιμή των κερδών είναι Π * = 250. (2) Άριστη Περίφραξη Π = < - Ένας αγρότης διαθέτει συρματόπλεγμα μήκους P=400 μέτρων, με το οποίο επιθυμεί να περιφράξει τη μεγαλύτερη δυνατή ορθογώνια επιφάνεια Ε. Ε x x 2 -To πρόβλημα του αγρότη μπορεί να γραφτεί ως εξής: max Ε ( x, x ) = x x { x, x } st.. 2x+ 2x2 P= 400 x, x 0 2
L= x x2 + λ(400 2x 2 x2) FOCs : L L = x2 2λ 0, x = 0 x x L L = x 2λ 0, x2 = 0 x2 x2 L L = 400 2x 2 x2 0, λ = 0 λ λ Υπόθεση: x, x > 0. Τότε: x > 0 x 2λ = 0 λ = x / 2 > 0 400 2x 2x = 0 () 2 x > 0 x 2λ = 0 λ = x /2 = x /2 x = x ( 2) 2 (2) () x = x = 00, οπότε: λ* = 50 * * SOC : H συνάρτηση E = xx2είναι οιονεί κοίλη, ενώ η συνάρτηση-περιορισμός gx (, x2) = 400 2x 2 x2 είναι κοίλη. Άρα, η λύση (x, x ) = (00,00) αποτελεί ολικό μέγιστο. * * 3
Η μέγιστη περιφρασσόμενη επιφάνεια είναι: Ε*=0000 τ.μ. Δυαδικότητα - Σε κάθε αρχικό (πρωτογενές) πρόβλημα μεγιστοποίησης υπό περιορισμούς αντιστοιχεί ένα δυαδικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης υπό περιορισμούς τέτοιο ώστε: Η αντικειμενική συνάρτηση του πρωτογενούς προβλήματος είναι ο περιορισμός του δυαδικού προβλήματος. Ο περιορισμός του πρωτογενούς προβλήματος είναι η αντικειμενική συνάρτηση του δυαδικού προβλήματος. - Παράδειγμα (συνέχεια): Στο παραπάνω πρωτογενές πρόβλημα της άριστης περίφραξης αντιστοιχεί το εξής δυαδικό πρόβλημα: mi P( x, x ) = 2x + 2x max P( x, x ) = 2x 2x { x, x } st.. x x2 E= 0000 x, x 0 { x, x } 2 st.. x x2 E= 0000 x, x 0 4
LD = 2x 2 x2 + λd( x x2 0000) FOCs : LD LD = 2+ λdx2 0, x = 0 x x LD LD = 2+ λdx 0, x2 = 0 x2 x2 LD LD = x x2 0000 0, λd = 0 λ λ D Υπόθεση: x, x D 2 D 2 2 D > 0. Τότε: D x > 0 2 + λ x = 0 λ = 2 / x > 0 x x = 0000 () x > 0 2+ λ x = 0 λd = 2/ x = 2/ x2 x = x2 (2) (2) D D * () x = x2 = 00, οπότε: λd = /50 = / λ* Η άριστη (ελάχιστη) περίμετρος του φράχτη είναι P*=400 μ. 5
- Γενικό Συμπέρασμα: Η λύση του δυαδικού προβλήματος είναι * D ίδια με τη λύση του πρωτογενούς προβλήματος ( xi = xi ), ενώ η τιμή του πολλαπλασιαστή στο δυαδικό πρόβλημα είναι η αντίστροφη της τιμής του πολλαπλασιαστή στο πρωτογενές D * πρόβλημα ( λ = / λ ). Ομογενείς Συναρτήσεις - Ορισμός: Μια συνάρτηση f ( x,..., x ) ονομάζεται ομογενής βαθμού k αν: k f ( tx,..., tx) = t f ( x,..., x), t > 0 - Ειδικές Περιπτώσεις: Ομογενής συνάρτηση μηδενικού βαθμού (k=0): f( tx,..., tx ) = f( x,..., x ), t > 0 Ομογενής συνάρτηση πρώτου βαθμού (k=): f ( tx,..., tx ) = t f ( x,..., x ), t > 0 6
Ιδιότητες Ομογενών συναρτήσεων () Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f ( x,..., x ) είναι ομογενής βαθμού k, τότε οι πρώτες μερικές παράγωγοι της f είναι ομογενείς βαθμού k-: f x i f ( tx,..., tx ) = t ( x,..., x ), t > 0 k xi (2) Θεώρημα (Euler): Αν η συνάρτηση f ( x,..., x ) είναι ομογενής βαθμού k, τότε: f f f x + x +... + x = k f ( x) x x x 7