3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. δ. γ 3. α 4. δ 5. α.σ β.λ γ.σ δ.λ ε.λ ΘΕΜΑ Β. Σωστή είναι η απάντηση β. Κατά τη διάρκεια της κίνησης των δύο σωμάτων οι ασκούμενες δυνάμεις είναι συντηρητικές, οπότε η μηχανική τους ενέργεια διατηρείται. Θεωρώντας επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το χαμηλότερο σημείο του πλάγιου επιπέδου, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας γράφεται: E = E U = K + K µηχ ( αρχ ) µηχ ( τελ ) αρχ µετ ( τελ ) στρ ( τελ ) Τα δύο σώματα ξεκινούν από το ίδιο ύψος και έχουν ίδια μάζα, άρα έχουν και ίδιο U αρχ. Στη σφαίρα, η μείωση της δυναμικής ενέργειας μετατρέπεται σε αύξηση της μεταφορικής κινητικής και σε αύξηση της στροφικής κινητικής ενέργειας. Στον κύβο όλη η μείωση της δυναμικής ενέργειας μετατρέπεται σε αύξηση της μεταφορικής κινητικής ενέργειας. Άρα ο κύβος αποκτά μεγαλύτερη μεταφορική κινητική ενέργεια και από τον τύπο Kµετ = mυ, προκύπτει ότι και το κέντρο μάζας του θα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα.. Σωστή είναι η απάντηση β. Ο μαθηματικός τύπος του ορισμού της ροπής αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι i= n i= i i I = mr. Στον τύπο αυτό οι αποστάσεις r i μετρούν από τον άξονα περιστροφής του στερεού σώματος και όχι από το κέντρο μάζας. Έτσι, πολύ λίγες μάζες του κελύφους βρίσκονται σε απόσταση R. Οι πολλές στοιχειώδεις μάζες βρίσκονται σε αποστάσεις μικρότερες του R Σελίδα από 7
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3. Σωστή πρόταση είναι η α. Το σύστημα των δύο χορευτών είναι ένα ελεύθερο στερεό το οποίο στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του συστήματος και το οποίο βρίσκεται κάπου μεταξύ των δύο χορευτών. Όταν λυγίσουν τα χέρια τους θα μικρύνουν οι αποστάσεις των μαζών τους από τον άξονα περιστροφής με συνέπεια να ελαττωθεί η ροπή αδράνειας του συστήματος. Οι δυνάμεις που προκάλεσαν τη μείωση της ροπής αδράνειας του συστήματος είναι εσωτερικές. Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα είναι τα βάρη και οι δυνάμεις στήριξης οι οποίες είναι παράλληλες με τον άξονα περιστροφής, οπότε δεν προκαλούν ροπές. Επειδή λοιπόν η συνολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται είναι μηδέν θα ισχύει η αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα, δηλαδή: L = L Ι ω =Ι ω αρχ τελ αρχ αρχ τελ τελ Επειδή L αρχ >Ι τελ, θα είναι και ωαρχ < ωτελ Άρα σωστή πρόταση είναι η α. 4. Σωστή είναι η απάντηση γ Η ιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει η ράβδος βρίσκεται από τη σχέση Στ α = () Ι Η ράβδος είναι ένα ελεύθερο στερεό και θα περιστραφεί γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας, το οποίο βρίσκεται κάπου μεταξύ Α και Μ, αφού το τμήμα ΑΜ έχει περισσότερη μάζα από το τμήμα ΜΒ. Η ροπή αδράνειας είναι και τις δύο φορές ίδια, αφού η περιστροφή γίνεται γύρω από τον ίδιο άξονα. Όμως, όταν η δύναμη ασκείται στο άκρο Β δημιουργείται μεγαλύτερος μοχλοβραχίονας, άρα μεγαλύτερη ροπή και μεγαλύτερη α. Σελίδα από 7
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ α. Εφαρμόζουμε το θεώρημα παραλλήλων αξόνων ή Steiner. ( m ) A = + A = + A = = 3 A = I I m I m m I m kg I kgm 4 3 3 Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για τη στροφική κίνηση. α Στ F 0N = = = α 0 / = Ι I kgm A Β. L= Iω () Η κίνηση είναι στροφική ομαλά επιταχυνόμενη,άρα η ιακή ταχύτητα βρίσκεται από ω = a t τη σχέση ( ) Με αντικατάσταση στη σχέση () παίρνουμε: L = Ia t = kgm 0 4 L = 80 kgm / dl dl dl =Σ τ = F = 0N m = 0 kgm / dt dt dt γ. Η ενέργεια που προσφέρθηκε στη ράβδο μέσω του έργου της ροπής της F, στη διάρκεια του 5 ου δευτερόλεπτου είναι ίση με τη μεταβολή της στροφικής κινητικής ενέργειας της ράβδου στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. ( ) ( 3) W = K5 K4 = Iω5 Iω4 W = I ω5 ω4 Με αντικατάσταση στη σχέση () βρίσκουμε τις ιακές ταχύτητες τις χρονικές στιγμές t = 4ec και t = 5ec. ω4 = a t= 0 4 ω 4 = 80 ω5 = a t= 0 5 ω 4 = 00 Με αντικατάσταση στη σχέση (3) παίρνουμε: 00 / 80 / 800 ( ) ( ) W = kgm W = J δ) Η ιακή επιτάχυνση από 0 έως 5 είναι σταθερή και ίση με 0/. Για το χρονικό διάστημα από 5 έως και 8 θα είναι μηδέν. Η ζητούμενη γραφική παράσταση δείχνεται στο σχήμα. Σελίδα 3 από 7
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η ιακή ταχύτητα από 0 έως 5 αυξάνεται με σταθερό ρυθμό και το μέτρο της δίνεται από τη σχέση ω = a t = 0 t ( SI) Για το χρονικό διάστημα από 5 έως και 8 το μέτρο της είναι σταθερό και έχει τιμή ίση με αυτή που απέκτησε τη χρονική στιγμή 5, δηλαδή ίση με 00. Η ζητούμενη γραφική παράσταση δείχνεται στο σχήμα. ΘΕΜΑ Δ α) Από την ισορροπία του σώματος Σ προκύπτει: Σ F= 0 T mg= 0 T = 3N Από τη στροφική ισορροπία του κυλίνδρου προκύπτει: Σ τ = 0 TR T R= 0 T = T. Επειδή το σύστημα είναι ακίνητο η τάση του στ στ νήματος Τ έχει ίδιο μέτρο με την τάση του νήματος Τ. Άρα, T = T = 3N Σελίδα 4 από 7 στ
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Από τη μεταφορική ισορροπία του κυλίνδρου στον άξονα x προκύπτει: Σ F = 0 T + T F = 0 F = T F = 6N x στ β) Γράφουμε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για την μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου. Σ F= ma T + T = ma στατ Γράφουμε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για την στροφική κίνηση του κυλίνδρου. Σ τ = Ia TR Tστατ R= mr a T Tστατ = mr a ( ) Η μεταφορική και η ιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου συνδέονται με τη σχέση a = a R (3) Γράφουμε το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για την μεταφορική κίνηση του σώματος Σ. Σ F= ma mg T = ma Σ Σ 4 Το μέτρο της Τ είναι ίσο με το μέτρο της Τ και το μέτρο της Τ είναι ίσο με το μέτρο της Τ. Ο θεμελιώδης νόμος της μηχανικής για την τροχαλία γράφεται: ' ' ' ' Σ τ = I' a' T R T R = I' a' Επειδή η τροχαλία θεωρείται χωρίς μάζα Ι =0, προκύπτει ' ' T T = με συνέπεια και T = T. Έτσι η σχέση (4) γράφεται: Σ F= ma mg T= ma Σ Σ 5 Για να βρούμε τη σχέση που συνδέει την επιτάχυνση a Σ με την επιτάχυνση a σκεπτόμαστε ως εξής: Η μετατόπιση κατά Δh του σώματος Σ πρoέρχεται από το ( ) ( ) ( ) Σελίδα 5 από 7
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ άθροισμα της μετατόπιση κατά Δx του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και του μήκους του σχοινιού Δ που ξετυλίχτηκε. h= x + h= x + R ϑ (6) Παίρνοντας δύο φορές χρονικούς ρυθμούς μεταβολής στην τελευταία σχέση καταλήγουμε στην a = α + Rα a = α (7) Σ Σ Προσθέτοντας κατά μέλη τις (), () και λαμβάνοντας υπόψη την (3) παίρνουμε: 3 3 T = ma T = ma (8) 4 Αντικαθιστώντας στην (5) το T από την τελευταία σχέση και λαμβάνοντας υπόψη την (7) παίρνουμε: m 0 3 g mg ma = ma a = = a = m/ 4 3m 3 3, kg + + 4m 4 0,3kg Με αντικατάσταση στη σχέση (7) παίρνουμε a Σ = m/ γ) Η κίνηση του σώματος Σ είναι ομαλά μεταβαλλόμενη και η μετατόπισή του περιγράφεται από τη σχέση: h= at Σ από την οποία λύνοντας ως προς το χρόνο και αντικαθιστώντας h 4 m παίρνουμε: t = = t = a m/ Σ Η μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι ομαλά μεταβαλλόμενη και η ταχύτητα του κέντρου μάζας περιγράφεται από την εξίσωση υ = at Με αντικατάσταση παίρνουμε: υ = m υ m / = Σύμφωνα με τη σχέση (6) το μήκος Δ του σχοινιού που ξετυλίχτηκε είναι ίσο με x + = h = h x (9) Όμως, m x = at = ( ) x = m Οπότε με αντικατάσταση στην (9) προκύπτει = 4m m = m Σελίδα 6 από 7
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙOΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ δ. dkστρ dw dk dk τ Στ dϑ στρ στρ υ = = =Στ ω = ( TR Tστ R) ω = ( T Tστ ) R dt dt dt dt dt R dkστρ = ( T Tστ ) υ (0) dt Το μέτρο της Τ βρίσκεται με αντικατάσταση του α στη σχέση (8) 3 3 m T = ma = 3, kg T =,4 N 4 4 Το μέτρο της Τ στ βρίσκεται με αντικατάσταση στη σχέση () m Tστατ = ma T = 3, kg, 4N T 0,8N στατ = Με αντικατάσταση στη σχέση (0) παίρνουμε: dkστρ m dkστρ J = ( T Tστ ) υ = (, 4N 0,8 N) = 3, dt dt Σελίδα 7 από 7