3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange

Κεφάλαιο 3 Οµάδα πηλίκο - Θεωρήµατα ισοµορφίας Στο κεφάλαιο αυτό ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Lagrange, το οποίο για τις πεπερασµένες οµάδες διατυπώνεται ως εξής : η τάξη κάθε υποοµάδας µίας οµάδας διαιρεί την τάξη της οµάδας. Ενα εξαιρετικό συµπέρασµα που µας επιτρέπει να ξεκινήσουµε τη µελέτη των υποοµάδων µίας οµάδας. Θα οδηγηθούµε στο συµπέρασµα του Lagrange µετά από µία κατασκευή, η οποία ϑα ορίσει την οµάδα πηλίκο. Μία οµάδα που κατασκευάζεται µε την ϐοήθεια µίας υποοµάδας και της ίδιας της οµάδας. Η οµάδα πηλίκο ϑα µας ϑυµίσει το πηλίκο στους αριθµούς κυρίως λόγω των ιδιοτήτων της. Η προσπάθεια να συγκριθούν µεταξύ τους οµάδες οι οποίες δεν ϕαίνεται να έχουν κάποια σχέση µεταξύ τους, προκειµένου να πλησιάσουµε τα µεγάλα προβλήµατα ταξινόµησης, έχει ένα πρώτο σταθµό τα ϑεωρήµατα ισοµορφίας οµάδων. Τα ϑεωρήµατα ισοµορφίας αποτελούν τη δεύτερη ενότητα αυτού του κεφαλαίου. 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange Θεωρούµε µία οµάδα G και Α,Β δύο υποσύνολα της G. Ορίζουµε το γινόµενο των Α,Β ως εξής : AB = {αβ α A, β B}. Είναι ϕανερό ότι AB G. Ιδιαίτερα αν A = {α}, τότε γράφουµε αb = {α}b. Η επόµενη πρόταση συγκεντρώνει τις κυριότερες ιδιότητες του γινο- µένου υποσυνόλων οµάδων. Πρόταση 3.1.1 Εστω Α,Β,Γ υποσύνολα µιας οµάδας G. Τότε : 67

68 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων i. A(BΓ) = (AB)Γ. ii. A(B Γ) = AB AΓ, (A B)Γ = AΓ BΓ. iii. A(B Γ) AB AΓ, (A B)Γ AΓ BΓ. iv. (AB) 1 = B 1 A 1, όπου X 1 = {x 1 x X}. v. Αν η πράξη της G ορίζεται στο υποσύνολο Α, τότε A 2 A. Ιδιαίτερα, αν e A, τότε A 2 = A. Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη. Από την Πρόταση 3.1.1 προκύτει ότι το δυναµοσύνολο P (G) = {A A G} του συνόλου G µε πράξη τον πολλαπλασιασµό υποσυνόλων του G είναι µονοειδές. Οµως, δεν είναι οµάδα, όπως διαπιστώνουµε µε το ακόλουθο παράδειγµα. Θεωρούµε την οµάδα S 3 και το σύνολο {A, B, Γ} υποσυνόλων της S 3, όπου A = Γ = ( 1 2 3 2 1 3 ), (1 2 3 3 2 1 ), B = ( 1 2 3 3 2 1 ), (1 2 3 1 3 2 ). ( 1 2 3 2 1 3 ), (1 2 3 1 3 2 ), Παρατηρούµε ότι, ενώ ΑΒ=ΑΓ, δεν έπεται ότι Β=Γ. Ο ορισµός του γινοµένου υποσυνόλων οµάδας µας οδηγεί στο ερώτηµα µήπως το γινόµενο υποοµάδων µίας οµάδας είναι οµάδα. Η απάντηση δεν είναι πάντα καταφατική όπως ϕαίνεται από την επόµενη πρόταση. Πρόταση 3.1.2 Εστω G µία οµάδα και H, K G. Τότε HK G αν και µόνον αν HK = KH. (Ας παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι η σχέση HK = KH δεν σηµαίνει ότι τα στοιχεία της Η και τα στοιχεία της Κ αντιµεταθέτονται, αλλά ότι κάθε στοιχείο του συνόλου ΗΚ ανήκει στο σύνολο ΚΗ και αντίστροφα.) Απόδειξη : Ας υποθέσουµε ότι HK G. Τότε από την Πρόταση 1.2.5, i) και την Πρόταση 3.1.1,iv), έχουµε HK = (HK) 1 = K 1 H 1 = KH. Α- ντίστροφα, τώρα, έστω ότι για τις υποοµάδες Η και Κ της οµάδας G ισχύει ότι ΗΚ=ΚΗ. Θα εφαρµόσουµε το κριτήριο της υποοµάδας για να αποδείξου- µε ότι HK G. Εστω α, β HK, τότε α = h 1 k 1 και β = h 2 k 2, για κάποια στοιχεία h 1, h 2 H και k 1, k 2 K. Ακόµη αβ 1 = h 1 k 1 k2 1h 1 2,όµως, το στοιχείο k 1 k2 1 K, αφού K G και το στοιχείο k 1 k2 1h 1 2 KH = HK. Άρα

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange 69 υπάρχουν στοιχεία h 3 H και k 3 K, ώστε k 1 1 k 1 2 h 1 2 = h 3 k 3. Εποµένως αβ 1 = h 1 h 3 k 3 HK, δηλ. HK G. Παράδειγµα 3.1.3 Θεωρούµε την οµάδα S 3 και έστω σ = ( 1 2 3 2 3 ) και τ = (1 2 3 1 2 1 3 ). Πα- ϱατηρούµε ότι < σ >< στ > < στ >< σ >. Εποµένως το γινόµενο < σ >< στ > δεν είναι υποοµάδα της S 3, ενώ < σ >< τ >=< τ >< σ >= S 3. Ορίζουµε, τώρα, µία σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο της οµάδας G που ϑα οδηγήσει στο ϑεώρηµα του Lagrange. Σχετικά µε τις σχέσεις ισοδυναµίας ο αναγνώστης παραπέµπεται στο Παράρτηµα Α. Πρόταση 3.1.4 Εστω G µία οµάδα και H G. (i) Η σχέση β α βα 1 H, για α, β G, είναι σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο G. Η κλάση α του στοιχείου α είναι το σύνολο Hα, G = Hα και G/ = {Hα α G}. (3.1.1) α G (ii) Η σχέση β α α 1 β H, για α, β G, είναι σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο G. Η κλάση α του στοιχείου α είναι το σύνολο αh, G = αh και G/ = {αh α G}. (3.1.2) α G Απόδειξη : i. Για α = β, ισχύει ότι αα 1 = e H, για κάθε α G, δηλ. Άρα η σχέση είναι ανακλαστική. Αν β α, για α, β G, τότε α α, α G. βα 1 H (βα 1 ) 1 H αβ 1 H α β, δηλ. η σχέση είναι συµµετρική. Αν α, β, γ G και β α, α γ, τότε βα 1 H και αγ 1 H

70 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων βα 1 αγ 1 H βγ 1 H β γ, δηλ. η σχέση είναι µεταβατική. Από τον ορισµό της έπεται ότι β α βα 1 H β Hα. Εποµένως η κλάση α του στοιχείου α είναι το σύνολο Hα, α G. Άρα G = Hα και G/ = {Hα α G}. α G ii. Οµοια µε το i. η σχέση είναι σχέση ισοδυναµίας που χωρίζει το σύνολο G στις κλάσεις α = αh για α G. Άρα G = αh και G/ = {αh α G}. α G Ορισµός 3.1.5 Εστω G µία οµάδα και H G. Η κλάση Hα, α G, λέγεται δεξιά κλάση (right coset) της Η στη G µε αντιπρόσωπο το α. Η κλάση αh λέγεται αριστερή κλάση (left coset) της Η στη G µε αντιπρόσωπο το α. Συµβολισµός : Το σύνολο πηλίκο G/ ως προς τη σχέση ισοδυναµίας όπως αυτή αναφέρεται στο i) της Πρότασης 3.1.4 καθώς και ως προς τη σχέση ισοδυναµίας ii) της ίδιας πρότασης ϑα συµβολίζεται στο εξής ως G/H και ϑα αναφέρεται σαφώς στο κείµενο αν πρόκειται για τις αριστερές ή τις δεξιές κλάσεις. Ας ϑεωρήσουµε την ανάλυση της G όπως στη σχέση 3.1.1. Αν H = {e}, τότε είναι ϕανερό ότι κάθε στοιχείο της οµάδας είναι αντιπρόσωπος µιας κλάσης η οποία περιέχει ένα ακριβώς στοιχείο. Ενώ αν H = G, τότε υπάρχει µία µόνον κλάση η ίδια η G. Μπορούµε, λοιπόν, να γράψουµε τη σχέση 3.1.1 ως εξής : G = Hα, (3.1.3) α I όπου Ι είναι ένα πλήρες σύστηµα αντιπροσώπων των δεξιών κλάσεων, δηλαδή ένα σύνολο που περιέχει ένα ακριβώς στοιχείο από κάθε δεξιά κλάση. Τότε το σύνολο πηλίκο G/H έχει την ισχύ του συνόλου Ι. Οµοια για την ανάλυση της G σε αριστερές κλάσεις G = αh, (3.1.4) α J όπου J είναι ένα πλήρες σύνολο αντιπροσώπων των αριστερών κλάσεων. Πρόταση 3.1.6 Εστω G µία οµάδα και H G. Τότε το σύνολο των αριστερών κλάσεων της Η στην G έχει την ίδια ισχύ µε το σύνολο των δεξιών κλάσεων της Η στην G, δηλ. I = J, όπως τα Ι και J ορίζονται στις σχέσεις (3.1.3) και (3.1.4). Ακόµη τα σύνολα Ι και J µπορούν να επιλεγούν ώστε J = I 1.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange 71 Απόδειξη : Εστω Hα, α G µία δεξιά κλάση της Η στη G. Είναι ϕανερό ότι η α 1 H είναι µία αριστερή κλάση της Η στη G. Θεωρούµε την αντιστοιχία f {Hα α I} {βh β J}, Hα α 1 H. Θα αποδείξουµε ότι η f είναι µία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. Εστω α 1, α 2 G, τότε Hα 1 = Hα 2 Hα 1 α 1 2 = H α 1 α 1 2 H α 1 2 α 1 1 H α 1 2 H = α 1 1 H. Άρα η f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Τώρα, αν β G και βh είναι µία αριστερή κλάση, τότε υπάρχει η δεξιά κλάση Hβ 1 ώστε f(hβ 1 ) = βh, δηλ. η f είναι επί συνάρτηση. Εποµένως, η f είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση, δηλ. I = J. Ισοδύναµα {Hα α I} = {βh β J}. Τέλος από τη συνάρτηση f έπεται ότι δοθέντος του συνόλου Ι, µπορούµε να επιλέξουµε ως J το σύνολο I 1 και ισοδύναµα δοθέντος του J, τότε µπορούµε να επιλέξουµε ως Ι το J 1. Ορισµός 3.1.7 Εστω G µία οµάδα και H G. Το πλήθος των αριστερών (άρα και των δεξιών) κλάσεων της Η στη G λέγεται δείκτης (index) της Η στη G και συµβολίζεται [G H]. Παραδείγµατα 3.1.8 1. Θεωρούµε την οµάδα (Z, +) και την υποοµάδα της nz. Εστω α Z, τότε α = {β Z β α} = {β Z β α nz} = {β Z β α + nz}. Με άλλα λόγια στην κλάση του α ϐρίσκονται όλοι οι ακέραιοι οι οποίοι διαι- ϱούµενοι δια του n αφήνουν υπόλοιπο α και επειδή τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης δια του n είναι : 0, 1,..., n 1, προκύπτει ότι Z/nZ = {0, 1, 2,..., n 1}. Άρα [Z nz] = n. Ακόµη ϐλέπουµε ότι Z/nZ = Z n (ϐλ. Παράδεγµα 1.1.2.8). Από το Παράδειγµα αυτό διαπιστώνουµε ότι οι ισοδυναµίες (3.1.1) και (3.1.2) είναι γενικεύσεις σε µία τυχαία οµάδα G της ισοδυναµίας µε την οποία ορίστηκε το σύνολο Z n. 2. Θεωρούµε την οµάδα S 3 και έστω σ = ( 1 2 3 2 3 1 ), τ = (1 2 3 ) όπως στο 2 1 3 Παράδειγµα 2.1.15.1. Αν H =< σ > τότε S 3 = H xh,

72 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων αφού 3 = H = xh και S 3 = 6. Ως στοιχείο x µπορεί να είναι κάθε στοιχείο που ανήκει στην οµάδα S 3 και δεν ανήκει στην οµάδα Η. Άρα S 3 = H τh, S 3 = H στh, S 3 = H σ 2 τh. Ακόµη, αφού τ 1 = τ, (στ) 1 = στ και (σ 2 τ) 1 = σ 2 τ, έχουµε S 3 = H Hτ = H τh, S 3 = H Hστ, S 3 = H Hσ 2 τ. Αν, τώρα, λάβουµε την υποοµάδα K =< τ >, τότε διαπιστώνουµε ότι αφού σ 1 = σ 2. S 3 = K σk σ 2 K και S 3 = K Kσ 2 Kσ, Θεώρηµα (Lagrange) 3.1.9 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και H G. Τότε η τάξη της Η διαιρεί την τάξη της G. Απόδειξη : Από τη σχέση 3.1.3 και την Πρόταση 3.1.6, εφόσον η G είναι πεπερασµένη προκύπτει ότι G = [G H] H. Άρα η τάξη της Η διαιρεί την τάξη της G. Μία πρώτη παρατήρηση από το Θεώρηµα του Lagrange είναι ότι µπορού- µε να αποκλείουµε πολλά υποσύνολα µίας πεπερασµένης οµάδας από το να είναι υποοµάδες της. Ετσι οι υποοµάδες της S 3 µπορούν να έχουν τάξη 1, 2, 3 ή 6. Ας παρατηρήσουµε ακόµη ότι το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange δεν ισχύει, δηλ. για κάθε m που διαιρεί την τάξη της οµάδας G, δεν έπεται ότι υπάρχει υποοµάδα της G µε τάξη m. Αυτό ϑα το δούµε στην Πρόταση 8.2.3. Η επόµενη πρόταση είναι µία πολύ ενδιαφέρουσα συνέπεια του Θεωρή- µατος Lagrange. Πρόταση 3.1.10 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα. Η τάξη κάθε στοιχείου της G διαιρεί την τάξη της G. Επιπλέον α n = e, όπου n = G. Απόδειξη : Οπως είδαµε στο εδάφιο 2.2, κάθε στοιχείο g G δηµιουργεί µία υποοµάδα < g > της G και από την Πρόταση 2.2.2 i. έχουµε ότι < g > = ord(g). Από το ϑεώρηµα του Lagrange έπεται ότι, αν G <, ord(g) G. Πρόταση 3.1.11 Κάθε οµάδα τάξης πρώτου αριθµού είναι κυκλική µε παράγον στοιχείο κάθε στοιχείο της g e.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange 73 Απόδειξη : Εστω G µία οµάδα µε G = p, όπου p πρώτος ϕυσικός αριθµός και e α G. Τότε από την Πρόταση 3.1.10 org(α) G, δηλ. ord(α) p, άρα ord(α) = p. Αυτό σηµαίνει ότι < α > = ord(α) = p (Βλ. Πρόταση 2.2.2, i. ). Εποµένως η τάξη της υποοµάδας < α > της G έχει την ίδια τάξη µε την G, άρα < α >= G, για κάθε α G µε α e. Το επόµενο συµπέρασµα, που είναι επίσης συνέπεια του Θεωρήµατος Lagrange, µας δίνει ουσιαστική πληροφορία για τη δοµή των κυκλικών οµάδων. Θεώρηµα 3.1.12 Εστω G =< g > µία κυκλική οµάδα τάξης n <. Για κάθε ϕυσικό αριθµό s τέτοιον, ώστε s n, υπάρχει µοναδική υποοµάδα Η της G τάξης s και µάλιστα H =< g n/s >. Απόδειξη : Εστω s ένας διαιρέτης του n, όπου n = ord(g) και G =< g >. Από την Πρόταση 2.2.5 γνωρίζουµε ότι Άρα ord(g n/s ) = n (n, n s ) = s. < g n/s > G και < g n/s > = s. Εστω τώρα, µία άλλη υποοµάδα Η της G µε τάξη s. Η υποοµάδα Η οφείλει να είναι κυκλική (ϐλ. Θεώρηµα 2.2.8). Εστω, λοιπόν, H =< g k >, όπου g k G µε ord(g k ) = s. Τότε από την Πρόταση 2.2.2, iii. έχουµε (g k ) s = e g ks = e n ks ks = nλ k = n s λ, για κάποιο λ Z. Άρα (g n/s ) λ < g n/s >, δηλ. H =< g k > < g n/s >. (3.1.5) Οµως οι δύο οµάδες Η και < g n/s > έχουν τάξη ίση µε s, έτσι από τη σχέση (3.1.5) έπεται ότι H =< g n/s >. Εποµένως υπάρχει µοναδική υποοµάδα τάξης s, η < g n/s >. Παραδείγµατα 3.1.13 1. Οµάδες τάξης 4. Ας υπολογίσουµε τις υποοµάδες µίας οµάδας τάξης 4. Οπως είδαµε από το Παράδειγµα 1.2.8.1 οι οµάδες τάξης 4 περιγράφονται από τους Πίνακες 1.12-1.15. Είναι ϕανερό ότι οι οµάδες που έχουν πίνακα Cayley τον Πίνακα 2, 3 ή 4 είναι κυκλικές, άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα

74 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 2.3.11, ii) κάθε µία είναι ισόµορφη µε την (Z 4, +). Ας καλέσουµε K την οµάδα τάξης 4 µε πίνακα Cayley τον Πίνακα 1, δηλ. K = {e, α, β, αβ}, µε α 2 = e = β 2. Είναι ϕανερό ότι η K δεν είναι κυκλική και είναι αβελιανή. Οι οµάδες K και (Z 4, +) δεν είναι ισόµορφες, αφού η Z 4 έχει στοιχείο τάξης 4, ενώ η K δεν έχει (ϐλ.ακόµη άσκηση 2.3.14). Ετσι υπάρχουν δύο ακριβώς οµάδες τάξης 4: η Z 4 και η K. Η οµάδα K λέγεται οµάδα του Klein προς τιµήν του Felix Klein. Καταλήγουµε έτσι στο συµπέρασµα : Πρόταση 3.1.14 Υπάρχουν µε προσέγγιση ισοµορφίας δύο µόνον οµάδες τάξης 4: η κυκλική τάξης 4 και η οµάδα του Klein. Από το Θεώρηµα του Lagrange και το Θεώρηµα 2.2.8 προκύπτει ότι υ- πάρχουν ακριβώς τρεις υποοµάδες της Z 4 οι : {0}, {2}, Z 4 =< 1 >=< 3 >. Το διάγραµµα των υποοµάδων της Z 4 είναι όπως στο Σχήµα 3.1 Z 4 < 2 > < 0 > Σχήµα 3.1 Οµοίως η G έχει τέσσερις υποοµάδες τις : {e}, < α >, < β >, < αβ > µε διάγραµµα όπως στο Σχήµα 3.2 G < α > < β > < αβ > {e} Σχήµα 3.2 (ϐλ. Πρόταση (3.1.11) ). 2. Το διαγραµµα των υποοµάδων της (S 3, ). Από το Παράδειγµα 2.1.15.1 S 3 =< σ, τ >. Οι δυνατές τάξεις των υποοµάδων της S 3 είναι 1,2,3,6.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange 75 Άρα οι µη τετριµµένες γνήσιες υποοµάδες της S 3 έχουν τάξη πρώτο αριθµό και εποµένως είναι κυκλικές. Ετσι το διάγραµµα των υποοµάδων της S 3 µε τον παραπάνω συµβολισµό είναι όπως στο Σχήµα 3.3 S 3 < σ 2 >=< σ > < τ > < στ > < σ 2 τ > {e} Σχήµα 3.3 3. Το διάγραµµα των υποοµάδων της διεδρικής οµάδας D 2 4. Στο Παράδειγµα 1.1.2.4 ορίσαµε τη διεδρική οµάδα D 2 4 και υπολογίσαµε τον πίνακα Cayley αυτής, ενώ στο Παράδειγµα 2.1.5.12 ορίσαµε τη διεδρική οµάδα D 2.n για n 3. Από τη γεωµετρική ερµηνεία της D 2.n προκύπτει ότι η D 2.n παράγεται από τα στοιχεία ρ και ε και ακόµα ότι αυτά ικανοποιούν τις σχέσεις 2.1.1. Ιδιαίτερα είδαµε από τον ορισµό της D 2.n ότι ord(ρ) = n, ord(ε) = 2 και ord(ρ k ε) = 2, 0 k n 1. (3.1.6) Η τελευταία από τις σχέσεις (3.1.6) είναι ισοδύναµη της τρίτης από τις σχέσεις (2.1.1), όπως έυκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε. Αντίστροφα,τώρα, από τις σχέσεις (3.1.6) µπορούµε να υπολογίσουµε όλα τα στοιχεία της οµάδας D 2.n και να υπολογίσουµε τον πίνακα Cayley αυτής. Αφήνουµε αυτόν τον έλεγχο για τον αναγνώστη. Ετσι αγνοώντας τη γεωµετρική ερµηνεία των στοιχείων ρ και ε ορίζουµε την αφηρηµένη διεδρική οµάδα, η οποία λέγεται επίσης διεδρική οµάδα και συµβολίζεται πάλι ως D 2.n. Ορισµός 3.1.15 Η (αφηρηµένη) διεδρική οµάδα (abstract dyhedral) D 2.n είναι η οµάδα που παράγεται από τα στοιχεία α και β, τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις ord(α) = n, ord(β) = 2, ord(α k β) = 2, 0 k n 1. Αν επιτρέψουµε το στοιχείο ρ, που αναφέρεται στον Ορισµό 3.1.14, να έχει άπειρη τάξη, τότε δηµιουργούµε την οµάδα που παράγεται από τα στοιχεία ρ, ε τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις ord(ρ) =, ord(ε) = 2, ord(ρ k ε) = 2, k N. (3.1.7)

76 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Η οµάδα αυτή λέγεται γενικευµένη (generalized) διεδρική οµάδα και συµβολίζεται µε D 2.. Θα προχωρήσουµε, τώρα, στον υπολογισµό των υποοµάδων της διεδρικής οµάδας D 2 4. Θα χρησιµοποιήσουµε τους συµβολισµούς του Παραδείγµατος 1.1.4.4 και ο πίνακας Cayley που αναφέρεται σε αυτό ϑα είναι χρήσιµος. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Lagrange µία γνήσια υποοµάδα της D 2 4 έχει τάξη 2 ή 4. Εποµένως αυτές είναι οι κυκλικές υποοµάδες τάξης 2 ή 4 καθώς οι οµάδες τάξης 4 που είναι ισόµορφες µε την οµάδα του Klein. Από τον ορισµό της D 2 4 τα µόνα στοιχεία τάξης 4 είναι το ρ, µε < ρ >= {e, ρ, ρ 2, ρ 3 } και το ρ 3 αφού ord(ρ 3 ) = 4. Βέβαια < ρ >=< ρ 3 >. Επίσης τα στοιχεία ρ 2, e, ρε, ρ 2 ε, ρ 3 ε έχουν τάξη ίση µε 2. Από τον ορισµό της οµάδας του Klein µία κυκλική υποοµάδα της D 2 4 τάξης 4 παράγεται από δύο στοιχεία τάξης 2. εν έχουµε, λοιπόν, παρά να πάρουµε ανά δύο τα πέντε στοιχεία τάξης 2 και να λάβουµε τις διακεκριµένες υποοµάδες που ϑα προκύψουν. Ετσι ϑα λαµβάνουµε τις υποοµάδες : < ρ 2, ε >= {e, ρ 2, ε, ρ 2 ε} =< ρ 2, ρ 2 ε >=< ε, ρ 2 ε >, < ρ 2, ρε >= {e, ρ 2, ρε, ρ 3 ε} =< ρ 2, ρ 3 ε >=< ρε, ρ 3 ε >, < ε, ρε >= {e, ε, ρε, ρ 3, ρ, ρ 3 ε, ρ 2 } =< ρ 2 ε, ρ 3 ε >=< ρε, ρ 2 ε >=< ε, ρ 3 ε >= D 2 4. Για τον υπολογισµό των υποοµάδων τάξης 2 δεν έχουµε παρά να ϐρούµε τα στοιχεία τάξης 2. Ετσι ϐρίσκουµε όλες τις γνήσιες υποοµάδες της D 2 4 και το διάγραµµα των υποοµάδων της δίνεται στο Σχήµα 3.4. D 2 4 < ρ 2, ε > < ρ > < ρ 2, ρε > < ε > < ρ 2 ε > < ρ 2 > < ρε > < ρ 3 ε > < e > Σχήµα 3.4 4. Το διάγραµµα των υποοµάδων της τετραδικής οµάδας Q 8. Τετραδική οµάδα, Q 8, λέγεται η οµάδα µε σύνολο το και πίνακα Cayley τον Πίνακα 3.1 Q 8 = {1, 1, i, i, j, j, k, k}

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange 77 1 1 i i j j k k 1 1 1 i i j j k k 1 1 1 i i j j k k i i i 1 1 k k j j i i i 1 1 k k j j j j j k k 1 1 i i j j j k k 1 1 i i k k k j j i i 1 1 k k k j j i i 1 1 Πίνακας 3.1 Ετσι το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο της (Q 8, ) και ακόµα τα στοιχεία της Q 8 ικανοποιούν τις σχέσεις ( 1)g = g = g( 1), g Q 8, i 2 = j 2 = k 2 = 1 ij = k ji = k jk = i kj = i ki = j ik = j. Παρατηρούµε ότι ord(i) = ord(j) = 4, ord( 1) = 2. Ακόµη η Q 8 παράγεται από τα στοιχεία i, j και οι σχέσεις που ικανοποιούν τα στοιχεία της Q 8 µπορούν να περιοριστούν στις : i 4 = 1 = j 4, ji = i 3 j, i 2 = j 2. (3.1.8) Ο αναγνώστης µπορεί να υπολογίσει του πίνακα Cayley της οµάδας που παράγεται από τα στοιχεία i, j και ικανοποιούν τις σχέσεις (3.1.8). Το α- ποτέλεσµα αυτής της προσπάθειας είναι ο πίνακας Cayley που εµφανίζεται παραπάνω και τον συµβολισµό j 2 = i 2 = 1. Ο υπολογισµός των υποοµάδων της Q 8 γίνεται µε το σκεπτικό που αναπτύξαµε για την D 2 4 και το αποτέλεσµα είναι το διάγραµµα υποοµάδων της, όπως δίνεται στο Σχήµα 3.5

78 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Q 8 < i > < j > < ij = k > < 1 > {1} Σχήµα 3.5 Θα κλείσουµε αυτό το εδάφιο µε την επόµενη πρόταση που αναφέρεται σε ιδιότητες του δείκτη υποοµάδας. Πρόταση 3.1.16 Εστω G µία οµάδα και H, K G. i. Αν α, β G και Hα Kβ. τότε Hα Kβ = (H K)γ, για κάποιο γ G. Η πρόταση ισχύει και για αριστερές κλάσεις. ii. [G H K] [G H][G K]. ii. Αν ([G H], [G K]) = 1, τότε [G H K] = [G H][G K]. Απόδειξη : i. Εστω ότι Hα Kβ, για α, β G και γ Hα Kβ. Τότε γ Hα και γ Kβ. Άρα Hγ = Hα και Kγ = Kβ, εφόσον οι Hα και Kβ είναι κλάσεις σχέσεων ισοδυναµίας. Εποµένως, Οµως, εύκολα διαπιστώνεται ότι άρα Hα Kβ = Hγ Kγ. Hγ Kγ = (H K)γ, Hα Kβ = (H K)γ, για κάποιο γ G. Οµοια αποδεικνύεται το συµπέρασµα αυτό για αριστερές κλάσεις και αποδείχθηκε το i).

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.1 είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange 79 ii. Εστω ότι [G H] = m και [G K] = n. Αν m = ή n =, τότε το συ- µπέρασµα είναι ϕανερό. Υποθέτουµε, λοιπόν, ότι m, n N. Εποµένως υπάρχουν m πλήθους δεξιές κλάσεις της Η στη G και n πλήθους δεξιές κλάσεις στης Κ στη G. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν το πολύ m n µη κενά σύνολα Hα Kβ. Οµως, σύµφωνα µε το i) κάθε µη κενό σύνολο Hα Kβ είναι µία δεξιά κλάση της H K στην οµάδα G. Άρα και αποδείχθηκε το ii). [G H K] [G H][G K] iii. Με τους συµβολισµούς της απόδειξης του ii. για τα m και n υποθέτουµε ότι (m, n) = 1. Από την άσκηση 13 προκύπτουν οι σχέσεις και [G H K] = [G H][H H K] (3.1.9) [G H K] = [G K][K H K]. (3.1.10) Εστω K = [G H K]. Από τις σχέσεις 3.1.9, 3.1.10 και το γεγονός ότι (m, n) = 1, έπεται ότι nm k. Οµως, από το ii) ισχύει ότι k m n, εποµένως για τους ϕυσικούς αριθµούς m, n, k, ισχύει ότι mn = k, που αποδεικνύει το iii). Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε την Πρόταση 3.1.1. 2. Εστω G µία οµάδα και H G. Να αποδείξεται ότι H 2 = H. 3. Εστω G µία οµάδα και Α ένα πεπερασµένο υποσύνολο της G τέτοιο, ώστε A 2 = A. Να αποδείξετε ότι A G. Η πρόταση αυτή ισχύει αν το Α δεν είναι πεπερασµένο ; 4. Εστω G µία οµάδα και H G. i. Να αποδείξετε ότι, για α G, αh G α H. ii. Να αποδείξετε ότι, για αβ G, αh = βh β 1 α H. 5. Εστω G µία οµάδα,h, K G και α, β G. Να αποδείξετε ότι αν αh = βk, τότε H = K. 6. Εστω G µία οµάδα, H G και α G. Να αποδείξετε ότι οι αντιστοιχίες φ H αh, f H Hα, h αh h hα είναι αµφιµονότιµες και επί συναρτήσεις, δηλ. έχουν την ίδια ισχύ. 7. Να αποδείξετε ότι : τα σύνολα H, αh και Hα

80 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 1. [Z < n >] = n, n Z {0}. 2. [S n A n ] = 2. 3. [Q Z] =. 8. Εστω G µία οµάδα και A G. Να αποδείξετε ότι η σχέση α β αβ 1 A, α, β A, είναι σχέση ισοδυναµίας στο G αν και µόνον αν A G. Είναι η σχέση α β Aα = Aβ, α, β A, σχέση ισοδυναµίας στο G; 9. Να αποδείξετε ότι µία οµάδα G είναι πεπερασµένη αν και µόνον αν έχει πεπερασµένου πλήθους υποοµάδες. 10. Να αποδείξετε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε µία αβελιανή οµάδα να µην έχει γνήσιες υποοµάδες είναι να έχει τάξη πρώτο αριθµό. 11. Εστω G µία οµάδα και H, K G τετοιες, ώστε ( H, K ) = 1. Να αποδείξετε ότι H K = {e}. 12. Εστω G µία οµάδα και H, K G. Να αποδείξετε ότι HK = H K H K. 13. Εστω G µία οµάδα και H, K G τέτοιες, ώστε H K G. Να αποδείξετε ότι [G H] = [G K][K H]. 3.2 Κανονικές υποοµάδες Ενα εύλογο ερώτηµα που δηµιουργείται από τις σχέσεις (3.1.3) και (3.1.4) είναι αν ισχύει Hα = αh, για κάθε α G, όπου Η είναι µία υποοµάδα της ο- µάδας G. Βέβαια η απάντηση είναι καταφατική αν η G είναι αβελιανή οµάδα. Ενώ από τον πίνακα Cayley της S 3, ϐλ. Παράδειγµα 2.1.15.1, παρατηρούµε ότι g < σ >=< σ > g, για κάθε g S 3 και σ < τ >= {σ, στ} < τ > σ = {σ, σ 2 τ}. Συµπεραίνουµε ότι κάποιες υποοµάδες µίας οµάδας έχουν την παραπάνω ιδιότητα και κάποιες όχι. Ετσι δικαιολογείται ο επόµενος ορισµός.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.2 Κανονικές υποοµάδες 81 Ορισµός 3.2.1 Εστω G µία οµάδα και H G. Η υποοµάδα Η λέγεται κανονική ή αναλλοίωτη (normal) αν ή ισοδύναµα, αν gh = Hg, για κάθε g G, H = ghg 1, για κάθε g G, και συµβολίζεται H G ή H G όταν είναι σαφές ότι H G. Παρατηρήσεις 3.2.2 i. Η σχέση gh = Hg στον Ορισµό 3.2.1 σηµαίνει ότι τα δύο σύνολα είναι ίσα και όχι ότι το στοιχείο g αντιµετατίθεται µε κάθε στοιχείο της Η. Ετσι αν h H, τότε το gh Hg. Άρα υπάρχει h H ώστε gh = h g, ϕυσικά από τη σχέση αυτή δεν µπορούµε να συµπεράνουµε ότι h = h. ii. Από τον Ορισµό 3.2.1 προκύπτει αµέσως ότι H G αν και µόνον αν η Η ταυτίζεται µε όλες τις συζυγείς υποοµάδες της. Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα, ας δούµε ένα κριτήριο των κανονικών υποοµάδων που ϑα είναι χρήσιµο για να ελαχιστοποιούµε τις απαιτού- µενες πράξεις ώστε να ελέγχουµε αν µία υποοµάδα είναι κανονική. Θεώρηµα (Κριτήριο) 3.2.3 Εστω G µία οµάδα και H G. Τότε H G ghg 1 H, για κάθε g G. Απόδειξη : Εστω G µία οµάδα και H G. Αν H G, το συµπέρασµα είναι ϕανερό. Εστω αντίστροφα ότι ghg 1 H, για κάθε g G. (3.2.1) Η σχέση (3.2.1) ισχύει για κάθε g, άρα και για το g 1. Άρα g 1 Hg H H ghg 1, για κάθε g G. Αυτή η τελευταία σχέση µάζι µε την (3.2.1) µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι που αποδεικνύει το Θεώρηµα. ghg 1 = H, για κάθε g G,

82 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα 3.2.4 1. Οι {e} και G είναι κανονικές υποοµάδες µίας οµάδας G. 2. SL n (R) GL n (R). Πράγµατι έστω A SL n (R) και B GL n (R), τότε, από τις ιδιότητες των οριζουσών, έχουµε Άρα det(bab 1 ) = det(b)det(a)det(b 1 ) = det(b)det(b 1 ) = 1. BSL n (R)B 1 SL n (R), για κάθε B GL n (R), και σύµφωνα µε το κριτήριο της κανονικής υποοµάδας (Θεώρηµα 3.2.3) ) SL n (R) GL n (R). Πρόταση 3.2.5 Εστω G µία οµάδα και H G. Αν [G H] = 2, τότε H G. Απόδειξη Από τη σχέση [G H] = 2, έπεται ότι G = H αh = H Hβ, (3.2.2) για κάποια στοιχεία α, β G. Προφανώς τα α, β δεν ανήκουν την Η, δηλ α, β G /H. Τότε β αh και αh = βh. Άρα η σχέση 3.2.2 γίνεται G = H βh = H Hβ και, επειδή βh = G /H και Hβ = G /H, έπεται ότι βh = Hβ. (3.2.3) Μένει να δείξουµε ότι gh = Hg, για κάθε g G. Βέβαια η σχέση αυτή ισχύει αν g H, αφού τότε gh = H = Hg. Εστω g H, τότε g βh g = βh, για κάποιο h H, Hg = Hβh = βhh = βh και gh = βhh = βh. Εποµένως, απο τη σχέση (3.2.3), έπεται ότι δηλ. H G. Παρατήρηση 3.2.6 Hg = gh, για κάθε g H, Το αντίστροφο της Πρότασης 3.2.5 δεν ισχύει. Υπάρχουν υποοµάδες H G µε [G H] 2, αλλά H G. Τέτοιο παράδειγµα είναι η Z n µε n ένα σύνθετο ϕυσικό. Τότε υπάρχει υποοµάδα Η της Z n µε τάξη k n, k 1 µε [Z n H] = n/k (ϐλ. Θεώρηµα 3.1.12). Η H Z n γιατί η Z n είναι αβελιανή.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.2 Κανονικές υποοµάδες 83 Παραδείγµατα 3.2.7 1. Η υποοµάδα < σ > της S 3 (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.8.2) είναι κανονική, γιατί [S 3 < σ >] = 2. Ο αναγνώστης εκτελώντας τις σχετικές πράξεις µπορεί να αποδείξει ότι η < σ > είναι η µόνη γνήσια κανονική υποοµάδα της S 3. 2. Κανονικές υποοµάδες της D 2 4. Από το διάγραµµα υποοµάδων της D 2 4 (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.3) οι υποοµάδες < ρ 2, ε >, < ρ >, < ρ 2, ρε > είναι κανονικές γιατί έχουν δείκτη στην οµάδα D 2 4 ίσο µε 2. Παρατηρούµε ότι < ρ 2 > < ρ >, γιατί η < ρ > είναι αβελιανή κυκλική και έτσι < ρ 2 > < ρ > D 2 4. Η < ρ 2 > είναι κανονική υποοµάδα της D 2 4 ; Από τις σχέσεις πολλαπλασιασµού των στοιχείων της D 2 4 (ϐλ σχέση (3.1.6) ) έχουµε, για 1 k 3, ρ k ερ 2 (ρ k ε) 1 = ρ k ερ 2 ερ k = ρ k ρ 2 εερ k = ρ 2. Άρα g < ρ 2 > g 1 < ρ 2 >, για κάθε g D 2 4, δηλ < ρ 2 > D 2 4. Θεωρούµε τώρα την < ρ 2, ε >, τότε < ε > < ρ 2, ε > D 2 4. Οµως η < ε > δεν είναι κανονική υποοµάδα της D 2 4. Πράγµατι ϐλέπουµε ότι ρ < ε > ρ 1 = {e, ρερ 1 } = {e, ρ 2 ε} {e, ε}. Ο αναγνώστης καλείται να υπολογίσει όλες τις κανονικές υποοµάδες της D 2 4. Από τα παραπάνω έχουµε το ακόλουθο. Συµπέρασµα 3.2.8 Εστω G µία οµάδα και H, K G. Από τη σχέση H K G H G. 3. Κανονικές υποοµάδες της Q 8. Από το διάγραµµα των υποοµάδων της Q 8 (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.4) παρατηρούµε ότι οι υποοµάδες < i >, < j >, < k > είναι κανονικές, αφού έχουν δείκτη 2 στην Q 8. Η υποοµάδα < 1 > είναι επίσης κανονική γιατί, για κάθε g Q 8, ισχύει g < 1 > g 1 = {1, 1} =< 1 >. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι όλες οι υποοµάδες της Q 8 είναι κανονικές. Οπως γνωρίζουµε, αν G είναι µία αβελιανή οµάδα, τότε κάθε υποοµάδα της είναι κανονική. Το αντίστροφο, όµως, αυτής της πρότασης δεν ισχύει και η Q 8 είναι ένα αντιπαράδειγµα. 4. Θεωρούµε την οµάδα D 2 4, (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.4). Η υποοµάδα της < p > D 2 4, διότι [D 2 4 H] = 2. Συνεχίζουµε µε µερικές ιδιότητες των κανονικών οµάδων.

84 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Θεώρηµα 3.2.9 Εστω {H i, i I} µία οικογένεια κανονικών υποοµάδων µίας οµάδας G. Τότε i IH i G. Απόδειξη : Εστω H = i IH i. Από την Πρόταση 2.1.7 προκύπτει ότι H G. Από το Θεώρηµα 3.2.3 έπεται ότι προκειµένου να αποδείξουµε ότι H G, αρκεί να αποδείξουµε ότι ghg 1 H, για κάθε g G και για κάθε h H. Εστω, λοιπόν, g G και h H. Τότε h H i G και ghg 1 H i για κάθε i I. Άρα ghg 1 i I H i = H, δηλ H G. Πρόταση 3.2.10 Εστω G µία οµάδα και Η,Κ δύο κανονικές υποοµάδες της G, τότε HK G. Απόδειξη Εφόσον οι Η,Κ είναι κανονικές υποοµάδες της G, παρατηρούµε ότι HK = k KHk = k KkH = KH. Άρα HK G, (ϐλ. Πρόταση 3.1.2). Εστω τώρα g G, τότε Εποµένως HK G. ghkg 1 = ghg 1 gkg 1 = HK, για κάθε g G. Πρόταση 3.2.11 Εστω G µία οµάδα και H, K, L G τέτοιες ώστε H K. Τότε L H L K. Απόδειξη Από την Πρόταση 2.1.7 έπεται ότι L H, L K G. Αφού H K είναι ϕανερό ότι ισχύει L H L K. Ας ϑεωρήσουµε, τώρα, ένα τυχαίο στοιχείο x L K και ένα τυχαίο y L H. Αρκεί να αποδείξουµε ότι xyx 1 L H. Είναι ϕανερό ότι xyx 1 L. Ακόµη, αφού H K, x K και y H, έπεται ότι xyx 1 H. Άρα xyx 1 L H, έτσι αποδείξαµε ότι L H L K. Μία ενδιαφέρουσα υποοµάδα της G είναι το κέντρο της. Ορισµός 3.2.12 Κέντρο (center) µίας οµάδας G λέγεται το σύνολο Z(G) = {x G gx = xg, g G}. Πολλές ϕορές το κέντρο Z(G) µίας οµάδας συµβολίζεται και ως C(G). Πα- ϱατηρούµε ότι Z(G) = G αν και µόνον αν η οµάδα G είναι αβελιανή. Ετσι ϑα µπορούµε να πούµε ότι το Z(G) «µετράει» πόσο «απέχει» η G από το να είναι αβελιανή. Πρόταση 3.2.13 Εστω G µία οµάδα, τότε Z(G) G.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.2 Κανονικές υποοµάδες 85 Απόδειξη Θα αποδείξουµε πρώτα ότι Z(G) G. Εστω x Z(G), τότε, για κάθε g G, ισχύει gx = xg x 1 g = gx 1 x 1 Z(G). Τώρα, αν x, y Z(G) και g G, έχουµε g(xy 1 ) = xgy 1 = (xy 1 )g. xy 1 Z(G) και συνεπώς Z(G) G. Τέλος Άρα gxg 1 = xgg 1 = x, για όλα τα x Z(G), και g G, δηλ. gz(g)g 1 Z(G) και συνεπώς Z(G) G. Παραδείγµατα 3.2.14 1. Θα αποδείξουµε ότι Z (GL 2 (R)) = ( α 0 0 α ) α R. Εστω A = ( α β γ δ ) Z (GL 2(R)). Τότε το Α αντιµετατίθεται µε κάθε στοιχείο της GL 2 (R), εποµένως και µε τα στοιχεία ( 1 0 0 1 ), (1 0 1 0 ). Ετσι και Άρα A ( 1 0 0 1 ) = ( 1 0 0 1 ) A β = γ = 0 A ( 0 1 1 0 ) = (0 1 1 0 ) A α = δ. A = ( α 0 0 α ) Z(GL 2(R)) για α R. Ισχύει, όµως, και το αντίστροφο και αποδείχθηκε η πρόταση. 2. Το κέντρο της D 2 4 είναι η < ρ 2 >. Αρκεί να παρατηρήσουµε ότι ρ 2 ε = ερ 2 και να εφαρµόσουµε τις σχέσεις (2.1.1). 3. Το κέντρο της Q 8 είναι η οµάδα < 1 >, όπως διαπιστώνεται από τον πίνακα Cayley της Q 8 ή τις σχέσεις 3.1.8. 4. Το κέντρο της S 3 είναι η {e}. Η επόµενη πρόταση εξετάζει τον πυρήνα ενός οµοµορφισµού οµάδων ως προς την κανονικότητά του.

86 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Πρόταση 3.2.15 Εστω φ G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. Τότε Kerφ G. Απόδειξη Γνωρίζουµε ότι Kerφ G (ϐλ. Πρόταση 2.3.7) αρκεί εποµένως να δείξουµε ότι Οµως gαg 1 Kerφ, για κάθε g G και α Kerφ (3.2.4) φ(gαg 1 ) = φ(g)φ(α)φ(g 1 ) = φ(g)eφ(g) 1 = e. Άρα αποδείχθηκε η σχέση (3.2.4). Το επόµενο είναι ενδεικτικό της σπουδαιότητας της κανονικής υποοµάδας για τη µελέτη της δοµής της οµάδας. Θεώρηµα 3.2.16 Εστω G µία οµάδα και H G. Το σύνολο των αριστερών ή των δεξιών κλάσεων της Η στη G αποτελεί υποοµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό υποσυνόλων της G αν και µόνον αν η Η είναι κανονική υποοµάδα της G. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι H G, τότε, για τυχαία α, β G, ισχύει αhβh = αβhh = αβh. Αυτό σηµαίνει ότι το γινόµενο δύο στοιχείων του συνόλου G/H = {gh g G} ανήκει σε αυτό. Το γινόµενο υποσυνόλων µίας οµάδας έχει την προσεταιριστική ιδιότητα, ϐλ. Πρόταση 3.1.1, i). Παρατηρούµε ότι ghh = H, για κάθε g G, άρα το Η είναι δεξιό ουδέτερο στοιχείο του G/H. Τέλος ϐλέπουµε ότι, για κάθε g G, και αφού H G, ισχύει ghg 1 H = gg 1 HH = H, δηλ το στοιχείο g 1 H G/H είναι δεξιό αντίστροφο του gh. Εποµένως το G/H αποτελεί οµάδα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 1.2.2. Αντίστροφα τώρα, ας υποθέσουµε ότι το σύνολο G/H = {gh g G} αποτελεί υποοµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιαµό υποσυνόλων της G. Τότε το Η είναι το ουδέτερο στοιχείο της G/H και για κάθε στοιχείο g G ισχύει HgH = gh Hg gh g 1 Hg H, δηλ. H G. Ανάλογα εργαζόµαστε για τις δεξιές κλάσεις Η στην G/H.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.2 Κανονικές υποοµάδες 87 Ορισµός 3.2.17 Εστω G µία οµάδα και H G. Η οµάδα G/H = {gh g G} λέγεται οµάδα πηλίκο (factor group) της Η στην οµάδα G. Είναι ϕανερό από το Θεώρηµα του Lagrange ότι αν η οµάδα G είναι πεπερασµένη και H G, τότε G/H = G H. Ακόµη παρατηρούµε ότι κάθε οµάδα πηλίκο µίας αβελιανής οµάδας είναι αβελιανή. Πρόταση 3.2.18 Εστω G µία οµάδα και H G. Τότε υπάρχει ένας οµοµορ- ϕισµός φ G G/H, g gh, µε πυρήνα την οµάδα Η. Η φ λέγεται ϕυσικός (natural) οµοµορφισµός της G. Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη. Ας δούµε µία ενδιαφέρουσα εφαρµογή του Θεωρήµατος 3.2.17. Θεώρηµα 3.2.19 Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µία οµάδα αβελιανή είναι η οµάδα G/Z(G) να είναι κυκλική. Απόδειξη Εστω G µία αβελιανή οµάδα, τότε Z(G) = G και η οµάδα G/G είναι τετριµµένη, άρα κυκλική. Για το αντίστροφο, έστω G µία οµάδα τέτοια, ώστε η οµάδα G/Z(G) να είναι κυκλική. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα στοιχείο gz(g) G/Z(G), ώστε G/Z(G) =< gz(g) >= {(gz(g)) n n Z} = {g n Z(G) n Z}, γιατί gz(g)gz(g) = g 2 Z(G) 2 = g 2 Z(G) και επαγωγικά ισχύει ότι (gz(g)) n = g n Z(G). Κάθε στοιχείο της οµάδας G ανήκει σε µία µόνο κλάση g n Z(G), για κάποιο n Z (ϐλ. σχέση 3.1.4). Εποµένως, αν α, β G, τότε α = g k ζ 1 και β = g λ ζ 2, για κάποιους ακέραιους κ,λ και για κάποια στοιχεία ζ 1, ζ 2 Z(G). Ετσι αβ = g k ζ 1 g λ ζ 2 = g k g λ ζ 1 ζ 2 = g λ g k ζ 2 ζ 1 = g λ ζ 2 g k ζ 1 = βα, άρα η οµάδα G είναι αβελιανή.

88 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ασκήσεις 1. Εστω G µία οµάδα και H i G, 1 i n. Να αποδείξετε ότι H 1 H 2... H n G. 2. ίνεται µία G και H G. Αν για τα στοιχεία x, y G, ισχύει xy H, να αποδείξετε ότι yx H. Ισχύει η πρόταση αυτή αν η Η δεν είναι κανονική υποοµάδα της G; 3. Εστω G µία οµάδα και H, K G τέτοιες, ώστε K G. Να αποδείξετε ότι H K H και HK < G. 4. ίνεται µία οµάδα G, H G και K G τέτοιες ώστε H K = {e}. Να αποδείξετε ότι hk = kh, για όλα τα στοχεία h H και k K. 5. Αν G είναι µία οµάδα, H G και H < K < G, να αποδείξετε ότι H K. 6. Εστω G µία οµάδα και H G µε την ιδιότητα : Κάθε αριστερή κλάση της Η στην οµάδα G να είναι και δεξιά κλάση της Η στην οµάδα G. Να εξετάσετε αν H G. 7. Εστω α, β, γ στοιχεία µίας οµάδας G έτσι ώστε αβ = γ και γ Z(G). Να αποδείξετε ότι αβ = βα. 8. Εστω G µία οµάδα και K G τέτοια, ώστε K = 2. Να αποδείξετε ότι K Z(G). 9. Εστω G µία οµάδα και H Z(G). Να αποδείξετε ότι H Z(G). 10. ίνεται µία οµάδα G και m ένας ϕυσικός αριθµός που διαιρεί την G. Αν υπάρχει µοναδική υποοµάδα Η της G µε τάξη m, να αποδείξετε ότι H G. 11. ίνεται οµάδα G και H, K G τέτοιες ώστε K H G και K G. Να αποδείξετε ότι K α G αhα 1. 12. Εστω α ένα στοιχείο µίας οµάδας G τέτοιο ώστε g 1 αgα Z(G), για κάθε g G. Να αποδείξετε ότι η αντιστοιχία f G Z(G), g g 1 α 1 gα είναι οµοµορφισµός οµάδων. 13. Να αποδείξετε ότι Z(GL n (R)) = {αi n α R }. 14. Να αποδείξετε ότι η αντιστοιχία f GL n (R)/SL n (R) R, A SL n (R) deta είναι ισοµορφισµός οµάδων. 15. Εστω H = { ( α β 0 γ ) (α x 0 β ) GL 2(R)}. Να αποδείξετε ότι H < GL 2 (R) και Z(H) = Z(GL 2 (R)). 16. Να αποδείξετε ότι η οµάδα Q 8 /Z(Q 8 ) είναι ισόµορφη µε την (Z 4, +).

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας 89 17. Εστω G µία οµάδα. Μία υποοµάδα Η της G λέγεται χαρακτηριστική (characteristic) αν f(h) H για κάθε f AutG. Να αποδείξετε ότι η Z(G) είναι µία χαρακτηριστική υποοµάδα της G. 18. ίνεται µία οµάδα G και N G. Αν α G και ord(α) <, να αποδείξετε ότι ord(αn) <. Να χρησιµοποιήσετε τη (Z, +) για να αποδείξετε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. 19. ίνεται µία οµάδα G και N G τέτοια ώστε [G N] = n <. Να αποδείξετε ότι α n N, για κάθε α G. 20. ίνεται ένας οµοµορφισµός οµάδων f G H και N G. Αν φ G G/N είναι ο ϕυσικός οµοµορφισµός, να αποδείξετε ότι υπάρχει οµοµορφισµός t τέτοιος ώστε το ακόλουθο διάγραµµα G f H φ t G/N να είναι αντιµεταθετικό (commutative diagram), δηλ. t φ = f. 21. Εστω G µία οµάδα και H < Z(G). Να αποδείξετε ότι αν η οµάδα G/H είναι κυκλική, τότε η οµάδα G είναι αβελιανή (ϐλ. άσκ. 9). 3.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας Τα ϑεωρήµατα ισοµορφίας έχουν ιδιαίτερη αξία στη Θεωρία Οµάδων και στην Άλγεβρα γενικότερα, αφού προσφέρουν τρόπους να συγκρίνονται αλγεβρικές δοµές µεταξύ τους. Τα ϑεωρήµατα ισοµορφίας έχουν ανάλογες διατυπώσεις για όλες τις αλγεβρικές δοµές π.χ. διανυσµατικούς χώρους, οµάδες, δακτυλίους, modules κ.λ.π. Φυσικά εδώ ϑα ασχοληθούµε µε τα ϑεωρήµατα ισοµορφίας οµάδων. Η επόµενη πρόταση συγκεντρώνει τις ϐασικές ιδιότητες των οµάδων που δηµιουργούνται από έναν οµοµορφισµό οµάδων. Πρόταση 3.3.1 Εστω f G H ένας επιµορφισµός οµάδων. i. Αν K H, τότε f 1 (K) = {g G f(g) K} G. ii. Αν N G, τότε f(n) H. iii. Αν K H, τότε f 1 (K) G. iv. Αν N G, τέτοια ώστε Kerf N, τότε f 1 f(n) = N.

90 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων v. Εστω A = {X Kerf X G} και B = {Y Y H}. Η αντιστοιχία F A B, X f(x) είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί κανονικές υποοµάδες της G σε κανονικές υποοµάδες της Η. Απόδειξη i. Εφαρµόζουµε το κριτήριο της υποοµάδας. Εστω x, y f 1 (K), τότε f(x) = α και f(y) = β, για κάποια στοιχεία α, β K. Ετσι, f(xy 1 ) = f(x)f(y 1 ) = f(x)f(y) 1 = αβ 1 K, άρα xy 1 f 1 (K) και f 1 (K) G. ii. Εστω N G. Γνωρίζουµε ότι f(n) H (ϐλ. Πρόταση 2.3.3, iii). Θα αποδείξουµε ότι f(n) H, ισοδύναµα ότι, για κάθε h H και για κάθε x f(n), hxh 1 f(n). Εστω, λοιπόν, h τυχόν στοιχείο της Η και x τυχόν στοιχείο του f(n). Εφόσον η f είναι επιµορφισµός έπεται ότι υπάρχει α G, ώστε f(α) = h. Επίσης, από τον ορισµό του f(n) υπάρχει β N, ώστε x = f(β). Άρα από την υπόθεση ότι N G, έχουµε hxh 1 = f(α)f(β)f(α) 1 = f(α)f(β)f(α 1 ) = f(αβα 1 ) f(n) και αποδείχθηκε το ii). iii. Εστω g G και α f 1 (K), τότε f(α) K. Εποµένως, για κάθε g G και κάθε α f 1 (K), έχουµε f(gαg 1 ) = f(g)f(α)f(g) 1 K, αφού K H. Άρα gαg 1 f 1 (K), για κάθε g G και α f 1 (K), δηλ f 1 (K) G. iv. Εστω N G ώστε Kerf N. Αν α N, τότε δηλ. f(α) f(n) α f 1 (f(n)), N f 1 (f(n)). (3.3.1) Εστω, τώρα, x f 1 (f(n)). Τότε f(x) f(n), δηλ α N f(x) = f(α) f(x)f(α) 1 = e f(x)f(α 1 ) = e f(xα 1 ) = e xα 1 Kerf N xα 1 N x Nα = N,

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας 91 Άρα f 1 (f(n)) N. (3.3.2) Από τις σχέσεις (3.3.1) και (3.3.2) προκύπτει το iv). v. Εστω N 1, N 2 X και N 1 = N 2 f(n 1 ) = f(n 2 ) H, δηλ η F A B είναι συνάρτηση. Ας παρατηρήσουµε στο σηµείο αυτό ότι η υπόθεση Kerf N i, i = 1, 2 δεν χρειάστηκε. Αν, τώρα, για N 1, N 2 A ισχύει f(n 1 ) = f(n 2 ) f 1 (f(n 1 )) = f 1 (f(n 2 )) N 1 = N 2, εξ αιτίας του iv., δηλ. η F είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Μένει να αποδείξουµε ότι η F είναι επί. Εστω Y B, τότε η f 1 (Y ) G, λόγω του i., και f(f 1 (Y )) = Y, από τις ιδιότητες των συναρτήσεων και επειδή η f είναι επί συνάρτηση. Άρα F (f 1 (Y )) = Y, δηλ. η F είναι επί συνάρτηση και αποδείχθηκε το v). Η επόµενη πρόταση περιγράφει τις υποοµάδες µίας οµάδας πηλίκο. Το συµπέρασµα ϑα προκύψει ως εφαρµογή της Πρότασης 3.3.1. Πρόταση 3.3.2 Εστω G µία οµάδα και N G. Τότε κάθε υποοµάδα της οµάδας G/N είναι της µορφής K/N όπου N K G. Επιπλέον K/N G/N K G. Απόδειξη. Θεωρούµε τον ϕυσικό οµοµορφισµό f G G/N. Ο f είναι επιµορφισµός οµάδων, έτσι, σύµφωνα µε το (v) της Πρότασης 3.3.1, έπεται ότι κάθε υποοµάδα της οµάδας G/N είναι της µορφής f(k) για κάποια υποοµάδα Κ της G ώστε Kerf G G. Οµως Kerf = N, άρα f(k) = K/N. Τέλος από τα ii) και iii) της Πρότασης 3.3.1, έπεται ότι K/N G/K K G. Θεώρηµα (Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας) 3.3.3 Εστω f G H ένας ο- µοµορφισµός οµάδων. Τότε G/Kerf f(g).

92 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Απόδειξη. Γνωρίζουµε ότι Kerf G (ϐλ. Πρόταση 3.2.15), άρα η G/Kerf είναι οµάδα. Θεωρούµε την αντιστοιχία F G/Kerf f(g), αkerf f(α). Θα αποδείξουµε ότι η F είναι ισοµορφισµός οµάδων. Εστω α, β G και αkerf = βkerf β 1 α Kerf f(β 1 α) = e f(β 1 )f(α) = e f(β) 1 f(α) = e f(α) = f(β) F (αkerf) = F (βkerf). Άρα η F είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Η F είναι επί, γιατί για το τυχαίο στοιχείο f(g) f(g), όπου g G, υπάρχει το gkerf, ώστε F (gkref) = f(g). Τέλος η F είναι οµοµορφισµός. Πράγµατι, αν α, β G, τότε F (αkerf βkerf) = F (αβkerf) = f(αβ) = = f(α)f(β) = F (αkerf)f (βkerf). Εποµένως η F είναι ισοµορφισµός οµάδων και G/Kerf f(g). Θεώρηµα 3.3.4 ( εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας ή Θεώρηµα του παραλληλογράµµου) Εστω G µία οµάδα, N, K G και N G. Τότε KN/N K/K N. Απόδειξη Παρατηρούµε ότι το γινόµενο ΚΝ είναι υποοµάδα της G. Πράγ- µατι αφού N G έπεται ότι kn = Nk, για κάθε k K. Οπότε KN = NK και από την Πρόταση 3.1.2, έπεται ότι KN G. Η N G, άρα είναι κανονική υποοµάδα κάθε υποοµάδας της G που περιέχει την οµάδα Ν. Εποµένως N KN, έτσι η KN/N είναι οµάδα. Θα χρησιµοποιήσουµε το Πρώτο Θεώ- ϱηµα Ισοµορφίας για να αποδείξουµε τον Ϲητούµενο ισοµορφισµό. Παρατη- ϱούµε ότι KN/N = {kηn k K, η N} = {kn k K}. Θεωρούµε, τώρα, την αντιστοιχία f K KN/N, k kn. Η f είναι συνάρτηση. Πράγµατι έστω k 1, k 2 K και k 1 = k 2, τότε k 1 N = k 2 N. Η f είναι επί συνάρτηση. Πράγµατι έστω kn ένα στοιχείο της KN/N, τότε k K και f(k) = kn. Θα δείξουµε ότι η f είναι οµορφισµός οµάδων. Εστω k 1, k 2 K, τότε f(k 1 k 2 ) = k 1 k 2 N = k 1 Nk 2 N = f(k 1 )f(k 2 ).

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας 93 Υπολογίζουµε τον πυρήνα Kerf. Kerf = {k K kn = N} = {k K k N} = K N. Τώρα, εφαρµόζουµε το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας για τον επιµορφισµό f και έχουµε K/Kerf f(k) δηλ K/K N KN/N. Παρατήρηση 3.3.5 Οι υποοµάδες που εµφανίζονται στο εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας έχουν το ακόλουθο διάγραµµα G KN K N K N {e} Σχήµα 3.6 Εάν η K G, τότε KN/K N/K N. Ετσι παρατηρούµε ότι οι υποοµάδες KN, K, N, K N σχηµατίζουν µε το διάγραµµά τους ένα παραλληλόγραµ- µο που οι απέναντι πλευρές δηλώνουν ισόµορφες οµάδες. Γι αυτόν το λόγο το εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας λέγεται και Θεώρηµα του Παραλληλογράµ- µου. ηµιουργείται έτσι ένας µνηµονικός κανόνας για το εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας. Θεώρηµα (Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας) 3.3.6 Εστω G µία οµάδα, N G, και H G ώστε N H G. Τότε (G/N) / (H/N) G/H. (3.3.4)

94 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Απόδειξη Θα εφαρµόσουµε και πάλι το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας για την απόδειξη του Ϲητούµενου ισοµορφισµού. Παρατηρούµε ότι από τις υπο- ϑέσεις που δίνονται οι G/N, H/N, G/H είναι οµάδες. Θεωρούµε την αντιστοιχία f G/N G/H, gn gh. Η διαδικασία που ϑα ακολουθήσουµε είναι αυτή του εύτερου Θεωρήµατος Ισοµορφίας, δηλ. αποδεικνύουµε ότι η f είναι επιµορφισµός οµάδων, υπολογίζουµε τον πυρήνα του και εφαρµόζουµε το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας. Εστω g 1 N, g 2 N G/N και g 1 N = g 2 N g 1 2 g 1 N H g 1 2 g 1 H g 1 H = g 2 H, δηλ. η f είναι συνάρτηση. Εστω gh G/H, τότε υπάρχει στοιχείο gn G/N για το οποίο ισχύει f(gn) = gh. Άρα η f είναι επί συνάρτηση. Εστω g 1 N, g 2 N G/N, τότε f(g 1 Ng 2 N) = f(g 1 g 2 N) = g 1 g 2 H = g 1 g 2 H = g 1 Hg 2 H = f(g 1 N)f(g 2 N). Άρα η f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Υπολογίζουµε τον Kerf, Kerf = {gn G/N f(gn) = H} = {gn G/N gh = H} = = {gn G/N g H} = H/N. Εποµένως από το Πρώτο Θεώρηµα Ισοµορφίας έπεται ο ισοµορφισµός 3.3.4. Παρατήρηση 3.3.7 Ο ισοµορφισµός (3.3.4) ϑυµίζει σύνθετα κλάσµατα. Φαίνεται ότι αν οι όροι των κλασµάτων ήταν αριθµοί, τότε το αποτέλεσµα ϑα ήταν ισότητα µεταξύ των κλασµάτων των δύο µελών. Ετσι µπορούµε να έχουµε ένα µνηµονικό κανόνα για το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας, αλλά το κυριότερο καταλαβαίνουµε γιατί έχει επιλεγεί ο όρος «πηλίκο» ως δεύτερος όρος για την οµάδα πηλίκο. Τα πηλίκα συµπεριφέρονται µε ένα κοινό τρόπο στα µαθηµατικά. Θεώρηµα (Τέταρτο Θεώρηµα Ισοµορφίας) 3.3.8 Εστω G µία οµάδα, N G και f G G/N ο ϕυσικός επιµορφισµός. Η αντιστοιχία f του συνόλου των υποοµάδων της G που περιέχουν την Ν και του συνόλου των υποοµάδων της G/N µε κανόνα K K/N είναι µία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. Ακόµη αν Η,Κ είναι υποοµάδες της G που περιέχουν τον Ν, τότε : i. H K αν και µόνον αν H/N K/N και τότε [K H] = [K/N H/N].

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας 95 ii. H K αν και µόνον αν H/N K/N και τότε K/H (K/N)/(H/N). Απόδειξη Για το πρώτο σκέλος του ϑεωρήµατος εφαρµόζουµε την Πρόταση 3.3.1, v). Ετσι προκύπτει ότι η αντιστοιχία f είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Για το επί της συνάρτησης f εφαρµόζουµε την Πρόταση 3.3.2. Κάθε υποοµάδα της G/N είναι της µορφής Λ/N, όπου Λ G και N Λ G. Άρα υπάρχει η υποοµάδα Λ της G που έχει την ιδιότητα f(λ) = Λ/N, δηλ. η f είναι και επί συνάρτηση. Για το δεύτερο σκέλος τώρα. i. Εστω ότι N H K και N G, τότε ορίζονται οι οµάδες H/N και Κ/Ν, οι οποίες είναι υποοµάδες της G/N και ακόµη από τον ορισµό τους H/N K/N. Άρα H/N K/N. Ερχόµαστε, τώρα, στο δεύτερο µέλος του i). Εφόσον N H K, έστω K = kh, k X H = hn (3.3.5) h Y όπου Χ είναι ένα πλήρες σύστηµα αντιπροσώπων της Η στην Κ και Υ είναι ένα πλήρες σύστηµα αντιπροσώπων της Ν στην υποοµάδα Η, δηλ. K/H = {kh k X} και H/N = {hn h Y } (3.3.6) Παρατηρούµε από τη σχέση (3.3.5) ότι K = k ( hn) = khn k X h Y k X, h Y Θα αποδείξουµε ότι τα σύνολα khn, για k X και h Y, είναι ξένα µεταξύ τους ανά δύο, δηλ. ϑα αποδείξουµε ότι K = khn. (3.3.7) k X, h Y Εστω k 1, k 2 X µε k 1 k 2, δηλ. k 1 H k 2 H και h 1, h 2 Y, µε h 1 h 2 δηλ. h 1 N h 2 N. Τότε, αν k 1 h 1 N = k 2 h 2 N k 1 2 k 1 h 1 h 2 N k 1 2 k 1 h 2 Nh 1 1 N H, γιατί N G και N < H. Άρα k 1 H = k 2 H, αυτό, όµως, είναι αδύνατο από την επιλογή των k 1, k 2. Επόµένως αποδείξαµε τη σχέση (3.3.7).

96 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ας εξετάσουµε τώρα το σύνολο πηλίκο (K/N)/(H/N). Από τη σχέση (3.3.7) έχουµε (K/N)/(H/N) = {khn(h/n) k X και h Y }. Εστω k X και h Y, τότε khn(h/n) = khn{h N h Y } = {khnh N h Y } = {khh N h Y } = kn(h/n). Άρα (K/N)/(H/N) = {kn(h/n) k X}. Θεωρούµε, τώρα, την αντιστοιχία φ K/H (K/N)/(H/N), kh kn(h/n) (3.3.8) λόγω των σχέσεων (3.3.6) και (3.3.8), η φ είναι µία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση, όπως µπορεί να αποδείξει µε δουλειά ϱουτίνας ο αναγνώστης. Εποµένως και αποδείχθηκε το i). [K H] = [K/N H/N] ii. Τα συµπεράσµατα προκύπτουν αµέσως από την Πρόταση 3.3.2 και το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορφίας. Παρατηρήσεις 3.3.9 i. Το Θεώρηµα 3.3.8 λέγεται επίσης Θεώρηµα αντιστοιχίας (Corresponding Theorem). ii. Από το ii) του προηγούµενου ϑεωρήµατος παρατηρούµε ότι K/H (K/N)/(H/N) = f(k)/f(h) και f 1 (K/N)/f 1(H/N) = K/H (K/N)/(H/N). Ας δουµε έναν ακόµη ενδιαφέροντα ισοµορφισµό µεταξύ οµάδων πηλίκων υποοµάδων µίας οµάδας G.

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας 97 Θεώρηµα 3.3.10 Εστω G µία οµάδα, N G και H L G. Τότε LN/HN L/H(L N). Απόδειξη Εστω f G G/N, ο ϕυσικός οµοµορφισµός. Παρατηρούµε ότι f(l) = {f(l) l L} = {ln l L} = LN/N. Τώρα ορίζεται ο επιµορφισµός οµάδων φ = f L L LN/N, l ln, µε Kerφ = {l ln = N} = L N, όπου f L είναι ο περιορισµός της f στην υποοµάδα L. Είναι εύκολο να δούµε ότι HN LN, αφού N G και H L, δηλ. το LN/HN είναι οµάδα. Παρατηρούµε από το Τρίτο Θεώρηµα Ισοµορ- ϕίας, το Θεώρηµα 3.3.8 και την Παρατήρηση 3.3.9 ii) ότι για τη συνάρτηση φ έχουµε LN HN LN/N HN/N = φ(l) φ(h) φ 1 (φ(l)) φ 1 (φ(h)) L φ 1 (φ(h)). (3.3.9) Θα αποδείξουµε ότι φ 1 (φ(h)) = H(L N). (3.3.10) Ετσι αντικαθιστώντας την φ 1 (φ(h)) από τη σχέση (3.3.10) στη σχέση (3.3.9) προκύπτει ο Ϲητούµενος ισοµορφισµός οµάδων. Για την απόδειξη της σχέσης (3.3.10), έστω x φ 1 (φ(h)), τότε φ(x) φ(h) φ(x) = φ(h), για κάποιο, h H φ(xh 1 ) = e xh 1 Kerφ = L N x H(L N). Εποµένως φ 1 (φ(h)) H(L N). (3.3.11) Αν x H(L N) φ(x) φ(h(l N)) = H(L N)N/N = HN/N = φ(h). Άρα φ(x) φ(h) x φ 1 (φ(h)), x H(L N). Εποµένως H(L N) φ 1 (φ(h)). (3.3.12) Από τις σχέσεις (3.3.11) και (3.3.12) έπεται η σχέση (3.3.10).

98 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ασκήσεις 1. Εστω G µία οµάδα και N, K < G µε N G. Να αποδείξετε ότι i. K N K, ii. η αντιστοιχία φ KN/N K/K N, kn k(k N) είναι ισοµορφισµός οµάδων. Ετσι προκύπτει µία άλλη απόδειξη για το εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφίας. 2. Εστω G µία οµάδα, H G και φ G G/H ο ϕυσικός οµοµορφισµός. Να αποδείξετε τα επόµενα : i. H T S G T /H S/H. ii. [S T ] = [S/H T /H]. iii. H T S G S/T (S/H)/(T /H). 3. Εστω G µία οµάδα, H G, [G H] <, N G, N < και ([G H], N ) = 1. Να αποδείξετε ότι N H. 4. Εστω G µία οµάδα, H G και N G έτσι ώστε H >, [G N] < και ([G H], H ) = 1. Να αποδείξετε ότι H N. 5. Εστω G µία οµάδα και H G τέτοια, ώστε ( H, [G H]) = 1. Να αποδείξετε ότι η Η είναι η µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη H. 6. Μία υποοµάδα Η της οµάδας G λέγεται µέγιστη κανονική υποοµάδα (maximal normal subgroup), αν H G και δεν υπάρχει κανονική υποο- µάδα Κ της G τέτοια, ώστε H K G. Να αποδείξετε ότι η Η είναι µέγιστη κανονική υποοµάδα της G αν και µόνον αν είναι απλή (simple), δηλ. δεν περιέχει γνήσια µη τετριµµένη κανονική υποοµάδα. 3.4 Σχέσεις ορισµού και παράσταση οµάδας Μία οµάδα G ορίζεται από το σύνολό της και τον τρόπο που πολλαπλασιά- Ϲονται τα στοιχεία µεταξύ τους. Αν ϑεωρήσουµε µία κυκλική οµάδα G = α τάξης n <. Τότε α n = e και η σχέση αυτή είναι αρκετή για να προσδιορίσουµε το σύνολο G και να υπολογίσουµε τον πίνακα Cayley της G. Για την αφηρηµένη διεδρική οµάδα D 2n (Ορισµός 3.1.15) γνωρίζουµε ότι παράγεται από τα στοιχεία α, β που ικανοποιούν τις

Κεφάλαιο 3 Εδάφιο 3.4 Σχέσεις ορισµού και παράσταση οµάδας 99 Παρατηρούµε ότι και και όµοια ισχύει α n = e, β 2 = e, (α k β) 2 = 2, 1 k n 1. (3.4.1) (αβ) 2 = e βα = α 1 β (α 2 β) 2 = α 2 βααβ = α 2 α 1 βαβ = (αβ) 2 = e (α k β) 2 = e, για 3 k n 1. Ετσι οι σχέσεις 3.4.1 µπορούν να γραφούν ως α n = e = β = (αβ) 2 (3.4.2) και αρκούν προκειµένου να αναγράψουµε τα στοιχεία της D 2n και του πίνακα Cayley αυτής, όπως ο αναγνώστης µε πράξεις µπορεί να διαπιστώσει. Ενα σύνολο, έστω r 1, r 2,..., r n, εξισώσεων που ικανοποιούν τα στοιχεία ενός τυχόντος συνόλου, S, µίας οµάδας G τέτοιες ώστε από αυτές να µπορούν να προκύψουν όλα τα στοιχεία της G λέγονται σχέσεις ορισµού (defining relations) της G. Το σύνολο S των παραγόντων στοιχείων µε τις σχέσεις ορισµού r 1, r 2,..., r n αποτελούν την παράσταση (presentation) της οµάδας G και συµβολίζεται ως G = S r 1, r 2,..., r n. Ετσι η κυκλική οµάδα G τάξης n < που παράγεται από το στοιχείο α έχει παράσταση G = α α n = e. Η (αφηρηµένη) διεδρική οµάδα D 2n έχει παράσταση : D 2n = α, β α 2 = e = β 2 = (αβ) 2. Η τετραδική οµάδα Q 8 (ϐλ. Παράδειγµα 3.1.13.4) έχει παράσταση Q 8 = i, j i 4 = 1 = j 4, ji = i 3 j, i 2 = j 2. Ας ϑεωρήσουµε την κυκλική οµάδα G άπειρης τάξης που παράγεται από το στοιχείο g. Παρατηρούµε ότι το στοιχείο g δεν ικανοποιεί καµία εξίσωση, έτσι η παράσταση της οµάδας αυτής είναι g. Είναι, εποµένως, δυνατόν να µην υπάρχουν σχέσεις ορισµού για µία οµάδα. Μία οµάδα F που παράγεται από ένα σύνολο S και δεν υπάρχει καµία σχέση µεταξύ των στοιχείων του S λέγεται ελεύθερη (free) οµάδα παραγόµενη από το S. Ετσι η ελεύθερη οµάδα, που παράγεται από το στοιχείο g, είναι κυκλική οµάδα g άπειρης τάξης. Η ελεύθερη οµάδα α, β είναι µία οµάδα άπειρης τάξης που όλα τα στοιχεία της

100 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων είναι της µορφής α, α i, β j, αβ, αβα, αβαβ, βαβ κ.ο.κ. Συνήθως τα στοιχεία µίας ελεύθερης οµάδας λέγονται λέξεις (words). εν ϑα επεκταθούµε σε αυτό το ϐιβλίο περισσότερο για τις ελεύθερες οµάδες. Αυτές αποτελούν ένα σηµαντικό ϑέµα της ϑεωρίας οµάδων και από αυτές µέσω οµοµορφισµών προκύπτουν όλες οι οµάδες. Εδώ ακολουθήσαµε την αντίστροφη διαδικασία ως διαισθητικότερη για τον πρωτοεισαγόµενο αναγνώστη στη ϑεωρία οµάδων. Ας επανέλθουµε στην παράσταση G = S r 1, r 2,..., r n (3.4.3) µίας οµάδας G. Οταν γνωρίζουµε την οµάδα G, όπως π.χ. τις D 2n, Q 8, S n, M n (Q), GL n (Z p ), τότε µπορούµε να ϐρούµε ένα σύνολο παραγόντων στοιχείων και ένα σύνολο σχέσεων ορισµού. Αυτό δεν είναι ϐέβαια εύκολο και κυρίως όταν ενδιαφερόµαστε για κατά το δυνατόν µικρότερα τέτοια σύνολα. Το αντίστροφο, όµως, πρόβληµα είναι δυσεπίλυτο και µερικές ϕορές άλυτο, δηλ. αν έχουµε την παράσταση (3.4.3) µπορούµε να ϐρούµε τη δοµή αυτής της οµάδας ; Μπορούµε να αποδείξουµε αν G {e}; Μπορούµε να διακρίνουµε πότε δύο στοιχεία της G είναι ίσα ; Μπορούµε από τις παραστάσεις των οµάδων να διαπιστώσουµε αν είναι ισόµορφες ; Αυτά τα ερωτήµατα δεν έχουν απαντηθεί πλήρως. Η σχετική, όµως, έρευνα έχει οδηγήσει την εξέλιξη των υπολογιστικών µηχανών. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί να ξεκινήσει τη µελέτη του από τα [12], [29], [30], [32].