3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ τιμές, για,,...,. Δηλαδή, ( ), αν είναι η μικρότερη από τις τιμές,,...,, ( ), αν η μεταβλητή είναι η επόμενη μικρότερη τιμή, κ.ο.κ, με τον βαθμό να αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη τιμή από τις,,...,. Με όμοιο τρόπο, έστω ότι ( ) έχει την τιμή,,..., ανάλογα με το σχετικό μέγεθος της μεταβλητής, όταν αυτή συγκρίνεται με τις υπόλοιπες τιμές. Τα δεδομένα μπορούν να αποτελούνται και από μη αριθμητικές παρατηρήσεις, οι οποίες εμφανίζονται σε ζεύγη, αν οι παρατηρήσεις είναι τέτοιες που να μπορούν να διαταχθούν κατά αύξουσα σειρά μεγέθους με τον τρόπο που μόλις περιγράψαμε. Στην περίπτωση αυτή, η διάταξη μπορεί να βασίζεται στην ποιότητα των παρατηρήσεων (από την χειρότερη παρατήρηση στην καλύτερη παρατήρηση) ή στον βαθμό προτίμησης που μπορεί να αντιστοιχηθεί στις παρατηρήσεις κ.ο.κ. Στις περιπτώσεις όπου δύο ή περισσότερες από τις τιμές ταυτίζονται (te), αντιστοιχίζουμε σε κάθε μία από τις ίσες αυτές τιμές τον μέσο των βαθμών που θα είχαν αν δεν ταυτίζονταν. Το μέτρο συσχέτισης που προτάθηκε από τον Spearma το 904 δεν είναι άλλο από τον συντελεστή r του Pearso υπολογιζόμενο, όμως, με βάση τις τάξεις μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι αυτές καθεαυτές τις παρατηρήσεις. Δηλαδή,
[ ] [ ] [ ] [ ], ρ όπου / και /. Είναι προφανές, ότι εάν δεν υπάρχουν περιπτώσεις ίσων Χ τιμών (αντίστοιχα τιμών), τότε ( ), με αντίστοιχη έκφραση για τον μέσο βαθμό των τιμών. Επιπλέον,
[ ( ) ( )] ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) ( -), με αντίστοιχη έκφραση για τις τιμές. Επομένως, αν όλες οι παρατηρήσεις είναι διακεκριμένες, ο συντελεστής ρ του Spearma μπορεί να γραφεί με την ισοδύναμη μορφή ( ) ( ) ρ. ( )/ Στην περίπτωση αυτή, συχνά, χρησιμοποιείται μία ισοδύναμη μορφή του συντελεστή ρ, η οποία προσφέρεται περισσότερο για ταχύτερους υπολογισμούς: όπου ρ 6T ( ), 3
4 [ ]. T Αν οι Χ τιμές (αντίστοιχα οι τιμές) δεν είναι όλες διακεκριμένες, δηλαδή υπάρχουν περιπτώσεις ίσων τιμών, τότε χρησιμοποιείται η εξής μορφή του συντελεστή ρ:. ρ Παράδειγμα 3.4.: Δώδεκα ζεύγη διδύμων υποβλήθηκαν σε ένα ψυχολογικό τεστ για να μετρηθεί η επιθετικότητά τους. Η έμφαση ήταν στην εξέταση του βαθμού ομοιότητας μεταξύ των διδύμων του ιδίου ζεύγους. Τα δεδομένα παριστάνουν μετρήσεις της επιθετικότητας και συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί. Ζεύγος διδύμων 3 4 5 6 7 8 9 0 Πρωτότοκος 86 7 77 68 9 7 77 9 70 7 88 87 Δευτερότοκος 88 77 76 64 96 7 65 90 65 80 8 7
Οι πρωτότοκοι όλων των ζευγαριών διδύμων διατάχθηκαν ως προς την επιθετικότητά τους κατά αύξουσα τάξη μεγέθους, όπως και οι δευτερότοκοι των ζευγαριών αυτών, με τα εξής αποτελέσματα: Ζεύγος διδύμων 3 4 5 6 7 8 9 0 ( ) 8 3.5 6.5.5 5 6.5.5 3.5 0 9 ( ) 0 7 6 4.5.5.5 8 9 4.5 [( ) - ( )] 4.5 0.5 0 0.5 0.5 6 0.5 0.5 0.5 0.5 Από τα δεδομένα του πίνακα αυτού, προκύπτει ότι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι τ [ ( ) ( )] 75. Επομένως, ο συντελεστής συσχέτισης ρ του Spearma είναι 6τ ρ ( ) 6 (75) (44 - ) 0.7378. Ο συντελεστής συσχέτισης του Spearma χρησιμοποιείται συχνά ως ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών. Στην πραγματικότητα, ο συντελεστής συσχέτισης ρ του Spearma δεν είναι ευαίσθητος σε ορισμένες μορφές εξάρτησης. Για τον λόγο αυτό, είναι προτιμότερο να είναι κανείς συγκεκριμένος όσο αφορά την μορφή της εξάρτησης που επιθυμεί να ελέγξει. Επομένως, οι δυνατές υποθέσεις που ενδέχεται να ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε παίρνουν την εξής μορφή: 5
Α. (Αμφίπλευρος έλεγχος) Η 0 : Οι μεταβλητές και είναι αμοιβαία ανεξάρτητες. Η : Είτε υπάρχει τάση οι μεγαλύτερες τιμές της μεταβλητής Χ να αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες τιμές της μεταβλητής, είτε υπάρχει τάση στις μικρότερες τιμές της μεταβλητής Χ να αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες τιμές της μεταβλητής. Β. (Μονόπλευρος έλεγχος για θετική συσχέτιση) Η 0 : Οι μεταβλητές και είναι αμοιβαία ανεξάρτητες. Η : Υπάρχει τάση οι μεγαλύτερες τιμές της μεταβλητής Χ να αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες τιμές της μεταβλητής και αντίστροφα. Γ. (Μονόπλευρος έλεγχος για αρνητική συσχέτιση) Η 0 : Οι μεταβλητές και είναι αμοιβαία ανεξάρτητες. Η : Υπάρχει τάση οι μικρότερες τιμές της μεταβλητής Χ να αντιστοιχούν στις μεγαλύτερες τιμές της μεταβλητής και αντίστροφα. Οι εναλλακτικές υποθέσεις που θεωρήθηκαν παραπάνω διατυπώνουν την ύπαρξη συσχέτισης μεταξύ και. Τότε, μία μηδενική υπόθεση "μη ύπαρξης συσχέτισης μεταξύ και " θα ήταν περισσότερο ακριβής από την υπόθεση της " ύπαρξης ανεξαρτησίας μεταξύ και ", όπως θεωρήθηκε παραπάνω. Όμως, η μηδενική υπόθεση δόθηκε και στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις με την δεύτερη μορφή της, γιατί αυτή χρησιμοποιείται περισσότερο και είναι ευκολότερο να ερμηνευθεί. 6
Ο συντελεστής συσχέτισης ρ του Spearma μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ελεγχοσυνάρτηση για τις παραπάνω υποθέσεις. Ο πίνακας 0 του παραρτήματος δίνει τα ποσοστιαία σημεία της κατανομής του συντελεστή ρ κάτω από την μηδενική υπόθεση της ανεξαρτησίας των μεταβλητών και. Τότε, η μηδενική υπόθεση Η 0 της περίπτωσης Β απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν η τιμή του συντελεστή ρ είναι πολύ μεγάλη, δηλαδή, αν η τιμή του ρ υπερβαίνει το (-α)-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής του ρ. Αντίστοιχα, η μηδενική υπόθεση Η 0 της περίπτωσης Γ απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν η τιμή του συντελεστή ρ είναι μικρότερη από το α-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής του. Τέλος, η μηδενική υπόθεση Η 0 της περίπτωσης Α απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν η τιμή του συντελεστή ρ υπερβαίνει το ( α/)-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής του ρ ή αν είναι μικρότερη από το α/-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής του ρ. Αν, επομένως, επιθυμούμε να ελέγξουμε τις υποθέσεις της περίπτωσης Α σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05, τότε θα πρέπει να συγκρίνουμε την παρατηρηθείσα τιμή του συντελεστή ρ με τις τιμές των 0.975 και 0.05 ποσοστιαίων σημείων του σχετικού πίνακα του παραρτήματος. Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι w 0.975 0.5804 και w 0.05 w 0.975 0.5804. Επομένως, η παρατηρηθείσα τιμή 0.7378 του ρ υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή του 0.975 ποσοστιαίου σημείου και, κατά συνέπεια, η υπόθεση Η 0 απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Το κρίσιμο επίπεδο του ελέγχου αυτού είναι περίπου 0.0, όπως προκύπτει από τον σχετικό πίνακα του παραρτήματος. 7
Παρατήρηση: Συχνά, για τον έλεγχο των υποθέσεων των περιπτώσεων Α, Β και Γ, αντί να χρησιμοποιηθεί ο συντελεστής ρ του Spearma, χρησιμοποιείται η στατιστική συνάρτηση T [ ( ) ( )]. Θα πρέπει να σημειωθεί, βέβαια, ότι, οποτεδήποτε υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις ταύτισης τιμών, θα πρέπει να χρησιμοποιείται ο συντελεστής ρ. Ο έλεγχος, ο οποίος στηρίζεται στην Τ, είναι γνωστός ως έλεγχος των Hotellg και Pabst. Τα ποσοστιαία σημεία της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Τ δίνονται στον πίνακα του παραρτήματος. Ας σημειωθεί, όμως, ότι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι μεγάλη όταν η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ρ είναι μικρή και αντιστρόφως. Επομένως, η μηδενική υπόθεση Η 0 της περίπτωσης Β απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α, αν η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι μικρότερη από το α-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της. Επίσης, η μηδενική υπόθεση Η 0 της περίπτωσης Γ απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α αν η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ υπερβαίνει το ( α)-ποσοστιαίο σημείο της κατανομής της. Παράδειγμα 3.4.: Ας θεωρήσουμε τα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος και ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ελέγξουμε τις υποθέσεις: Η 0 : Τα μέτρα επιθετικότητας των δύο διδύμων είναι αμοιβαία ανεξάρτητα. Η : Υπάρχει είτε θετική συσχέτιση είτε αρνητική συσχέτιση 8
μεταξύ των δύο μέτρων επιθετικότητας. Λύση: Ας υποθέσουμε ότι επιθυμούμε ο έλεγχος των υποθέσεων αυτών να γίνει σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05. Από τον σχετικό πίνακα του παραρτήματος, τα 0.05 και 0.975-ποσοστιαία σημεία της κατανομής της στατιστικής συνάρτησης Τ (για ) είναι w 0.05 0 και w 0.975 3 ( ) w 0.05 45. Όπως, όμως, είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, η τιμή της στατιστικής συνάρτησης Τ είναι τ75. Η τιμή αυτή βρίσκεται, επομένως, μέσα στην κρίσιμη περιοχή μεγέθους 0.05, αφού είναι μικρότερη από την κρίσιμη τιμή 0 του 0.05 ποσοστιαίου σημείου της κατανομής της Τ. Επομένως, η μηδενική υπόθεση Η 0 απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05. Το κρίσιμο επίπεδο και αυτού του ελέγχου εκτιμάται με βάση τον πίνακα του παραρτήματος ίσο περίπου με 0.0. 9