ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Συγγραφέας: Σωτήριος Περσίδης Εκδότης: ΕΣΠΙ ΕΚ ΟΤΙΚΗ

SECTION ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Συγγραφέας: Σωτήριος Περσίδης Εκδότης: ΕΣΠΙ ΕΚ ΟΤΙΚΗ Προσοχή: Coyright ESPI PUBLISHING ) Το παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο καλύπτεται από πλήρη πνευµατικά δικαιώµατα σύµφωνα µε το νόµο. ίνεται µόνο το δικαίωµα της εγγραφής του σε σκληρό δίσκο (ένα αντίγραφο) και/ή εκτύπωσή του σε ένα αντίτυπο για προσωπικούς λόγους. εν επιτρέπεται η παραγωγή πολλών αντιγράφων (ηλεκτρονικών ή έντυπων) για οποιοδήποτε σκοπό. ) Οι τύποι, οι πίνακες, τα σχήµατα και γενικότερα το περιεχόµενο του βιβλίου δεν έχουν ελεγχθεί σε βαθµό που να επιτρέπει την ασφαλή χρήση τους. Το Μαθηµατικό Τυπολόγιο που ακολουθεί βρίσκεται ακόµη στο στάδιο της συγγραφής (έντυπης και ηλεκτρονικής). Στόχος είναι η δηµιουργία του καλύτερου Μαθηµατικού Τυπολόγιου σε παγκόσµια κλίµακα (για φοιτητές και επαγγελµατίες µαθηµατικούς, φυσικούς, µηχανικούς, κτλ.) τόσο σε περιεχόµενο όσο και εµφάνιση, προσιτού σε όγκο και τιµή από όλους, και τελικά η έκδοσή του σε πολλές γλώσσες. Για το λόγο αυτό η βοήθεια του κάθε αναγνώστη σε αυτό το στάδιο είναι πολύτιµη. Τίθενται τα ερωτήµατα: ) Είναι η επιλογή της ύλης σωστή και πλήρης ή µήπως πρέπει κάτι να προστεθεί ή να αφαιρεθεί; ) Υπάρχει κάτι που πρέπει να τροποποιηθεί (ορισµός, τύπος, κτλ.); ) Υπάρχει οποιαδήποτε άλλη παρατήρηση για βελτίωση; Τα όποια σχόλια µπορούν να σταλούν µε e-mil µε την ένδειξη Για το Μαθηµατικό Τυπολόγιο σε µια από τις διευθύνσεις mthook@ifoes.org ή sersid@esi.gr

SECTION ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ΣΤΑΘΕΡΕΣ. Μαθηµατικές Σταθερές. Φυσικές Σταθερές Κεφάλαιο ΑΛΓΕΒΡΑ. Ταυτότητες. Τύπος του ιώνυµου. Μιγαδικοί Αριθµοί.4 υνάµεις και Λογάριθµοι υνάµεις, Λογάριθµοι, Αλλαγή βάσης, Με µιγαδικούς αριθµούς.5 Ρίζες Αλγεβρικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτου βαθµού, Εξίσωση δεύτερου βαθµού, Εξίσωση τρίτου βαθµού, Εξίσωση τέταρτου βαθµού.6 Υπερβολικές Συναρτήσεις Ορισµοί, Ταυτότητες, Γραφικές παραστάσεις, Σχέσεις µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Κεφάλαιο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορισµοί Τριγωνοµετρικός κύκλος, Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, Τιµές τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Ταυτότητες. Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις.4 Επίπεδο Τρίγωνο.5 Σφαιρικό Τρίγωνο Κεφάλαιο 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 4. Σε δύο ιαστάσεις Τρίγωνο, Ορθογώνιο, Παραλληλόγραµµο, Τραπέζιο, Κανονικό πολύγωνο, Κανονικό πολύγωνο γραµµένο σε

SECTION κύκλο, Κανονικό πολύγωνο γραµµένο γύρω από κύκλο, Κύκλος, Τοµέας κύκλου, Τµήµα κύκλου, Έλλειψη, Τµήµα παραβολής 4. Σε τρεις ιαστάσεις Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, Πλάγιο παραλληλεπίπεδο, Πυραµίδα, Κανονικά πολύεδρα, Ορθός κυκλικός κώνος, Ορθός κυκλικός κύλινδρος, Πλάγιος κυκλικός κύλινδρος, Ορθός κόλουρος κώνος, Σφαίρα, Σφαιρικό τµήµα, Σφαιρικό τρίγωνο, Ελλειψοειδές, Παραβολοειδές από περιστροφή, Τόρος Κεφάλαιο 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5. Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων, Σηµεία, Ευθεία, Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων, Επίπεδες καµπύλες 5. Σε τρεις ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων, Σηµεία, Ευθεία, Επίπεδο, Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων, Επιφάνειες Κεφάλαιο 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι 6. Γενικοί Κανόνες Παραγώγισης 6. Παράγωγοι Στοιχειωδών Συναρτήσεων Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, Εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις, Υπερβολικές συναρτήσεις 6.4 Μερικές Παράγωγοι 6.5 ιαφορικά Κεφάλαιο 7 ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 7. Ορισµοί 7. Γενικοί Κανόνες 7. Μέθοδοι Υπολογισµού Αόριστων Ολοκληρωµάτων 7.4 Στοιχειώδη Ολοκληρώµατα 7.5 ιάφορα Ολοκληρώµατα

4 SECTION Με, Με και c d, Με, Με - ( > ), Με - ( > ), Με k, Με c, Με, Με 4 ± 4, Με ±, Με si, Με cos, Με si και cos, Με t, Με cot, Με αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, Με e, Με l, Με sih, Με cosh, Με sih και cosh, Με th, Με coth, Με αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Κεφάλαιο 8 ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 8. Ορισµοί 8. Γενικοί Κανόνες 8. ιάφορα Ολοκληρώµατα Με αλγεβρικές συναρτήσεις, Με τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, Με εκθετικές συναρτήσεις, Με λογαριθµικές συναρτήσεις, Με υπερβολικές συναρτήσεις Κεφάλαιο 9 ΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΑΜΑ ΚΑΙ ΒΗΤΑ 9. Η Συνάρτηση Γάµα Ορισµοί, Ιδιότητες, Τιµές 9. Η Συνάρτηση Βήτα Ορισµοί, Ιδιότητες Κεφάλαιο ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Ορισµοί. Απλές Σ Ε Χωριζόµενων µεταβλητών, Πλήρης διαφορική εξίσωση, Οµογενής Σ Ε πρώτης τάξης, Γραµµική Σ Ε πρώτης τάξης, Εξίσωση του Berouli, Γραµµική οµογενής Σ Ε δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές, Γραµµική µη οµογενής Σ Ε δεύτερης τάξης µε σταθερούς συντελεστές, Εξίσωση του Euler ή του Cuchy, Εξίσωση του Bessel, Μετασχηµατισµένη εξίσωση του Bessel, Εξίσωση του Legedre, Γραµµική Σ Ε τάξης, Γραµµική οµογενής Σ Ε τάξης µε σταθερούς συντελεστές Κεφάλαιο ΣΕΙΡΕΣ. Σειρές µε Σταθερούς Όρους Αριθµητική πρόοδος, Γεωµετρική πρόοδος, υνάµεις

SECTION 5 ακεραίων, Αντίστροφες δυνάµεις θετικών ακεραίων, Με ηµίτονα και συνηµίτονα. Σειρές Tylor και Mcluri Ορισµοί, Αναπτύγµατα συναρτήσεων. Αναπτύγµατα Συναρτήσεων ιωνυµική σειρά, Εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις, Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, Υπερβολικές συναρτήσεις, ιάφορες σειρές, Αντίστροφη σειρά Κεφάλαιο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ BERNOULLI ΚΑΙ EULER. Ορισµοί. Ιδιότητες Κεφάλαιο ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Ορισµοί Μεγέθη, Συνιστώσες διανύσµατος. Άθροισµα, ιαφορά και Πολλαπλασιασµός µε σταθερή. Γινόµενα διανυσµάτων Εσωτερικό ή βαθµωτό γινόµενο, Εξωτερικό ή διανυσµατικό γινόµενο, Άλλα γινόµενα.4 Παράγωγοι διανύσµατος.5 Κλίση, Απόκλιση, Περιστροφή Πράξεις µε το ανάδελτα.6 Ολοκληρώµατα µε ιανύσµατα Αόριστα και ορισµένα ολοκληρώµατα, Επικαµπύλια ολοκληρώµατα, Επιφανειακά ολοκληρώµατα, Θεωρήµατα των Guss, Stokes και Gree Κεφάλαιο 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί ιαφορικά µεγέθη, Μετασχηµατισµοί ολοκληρωµάτων 4. Κλίση, Απόκλιση, Περιστροφή 4. ιάφορα Συστήµατα Συντεταγµένων

6 SECTION Κυλινδρικές συντεταγµένες, Σφαιρικές συντεταγµένες, Παραβολικές κυλινδρικές συντεταγµένες, Παραβολικές συντεταγµένες, Ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγµένες, Γεωειδείς σφαιροειδείς συντεταγµένες, Ωοειδείς σφαιροειδείς συντεταγµένες, ιπολικές κυλινδρικές συντεταγµένες, Τοροειδείς συντεταγµένες, Κωνικές συντεταγµένες, Συνεστιακές ελλειψοειδείς συντεταγµένες, Συνεστιακές παραβολοειδείς συντεταγµένες Κεφάλαιο 5 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 5. Ορισµοί 5. Πίνακας Σειρών Fourier Περιττές συναρτήσεις, Άρτιες συναρτήσεις, Άλλες συναρτήσεις Κεφάλαιο 6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ BESSEL 6. Ορισµοί 6. Συναρτήσεις Bessel Πρώτου Είδους 6. Συναρτήσεις Bessel εύτερου Είδους Συναρτήσεις Hkel πρώτου και δεύτερου είδους 6.4 Τροποποιηµένες Συναρτήσεις Bessel Ορισµοί, Τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους, Τροποποιηµένες συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους 6.5 Συναρτήσεις Ber και Bei, Ker και Kei Συναρτήσεις Ber και Bei, Συναρτήσεις Ker και Kei 6.6 ιάφορες Εκφράσεις των Συναρτήσεων Bessel Ασυµπτωτικές εκφράσεις, Εκφράσεις µε ολοκληρώµατα 6.7 Ολοκληρώµατα µε Συναρτήσεις Bessel Αόριστα ολοκληρώµατα, Ορισµένα ολοκληρώµατα 6.8 Αναπτύγµατα σε Σειρά Συναρτήσεων Bessel Γενικά, ιάφορα αναπτύγµατα Κεφάλαιο 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί

SECTION 7 7. Πολυώνυµα Legedre 7. Συναρτήσεις Legedre εύτερου Είδους 7.4 Προσαρτηµένες Συναρτήσεις Legedre Προσαρτηµένες Συναρτήσεις Legedre πρώτου είδους, Προσαρτηµένες συναρτήσεις Legedre δεύτερου είδους Κεφάλαιο 8 ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 8. Ορθογώνια Σύνολα Συναρτήσεων Ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων, Μέθοδος ορθοκανονικοποίησης των Grm-Schmidt 8. Ορθογώνιες Συναρτήσεις από Σ Ε 8. Πολυώνυµα Hermite Βασικές σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπτύγµατα σε σειρά 8.4 Πολυώνυµα Lguerre Βασικές σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπτύγµατα σε σειρά 8.5 Προσαρτηµένα Πολυώνυµα Lguerre Βασικές σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπτύγµατα σε σειρά 8.6 Πολυώνυµα Cheyshev Βασικές σχέσεις 8.7 Πολυώνυµα Cheyshev Πρώτου Είδους Ιδιότητες, Αναπτύγµατα σε σειρά 8.8 Πολυώνυµα Cheyshev εύτερου Είδους Ιδιότητες, Αναπτύγµατα σε σειρά, Σχέσεις µεταξύ πολυωνύµων Cheyshev Κεφάλαιο 9 ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9. Υπεργεωµετρικές Συναρτήσεις ιαφορικές εξισώσεις, Σχέσεις µε άλλες συναρτήσεις, Ιδιότητες 9. Ελλειπτικές Συναρτήσεις Ελλειπτικά ολοκληρώµατα, Ελλειπτικές συναρτήσεις 9. Άλλες Συναρτήσεις Συνάρτηση σφάλµατος, Συµπληρωµατική συνάρτηση σφάλµατος, Εκθετικό ολοκλήρωµα, Ηµιτονικό

8 SECTION ολοκλήρωµα, Συνηµιτονικό ολοκλήρωµα, Ηµιτονικό ολοκλήρωµα του Fresel, Συνηµιτονικό ολοκλήρωµα του Fresel, Συνάρτηση ζήτα του Riem, Συνάρτηση δέλτα Κεφάλαιο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER. Το Ολοκληρωτικό Θεώρηµα του Fourier. Μετασχηµατισµένες Fourier. Ηµιτονοειδής και Συνηµιτονοειδής Μετασχηµατισµός Fourier.4 Πίνακας Μετασχηµατισµένων Fourier Μετασχηµατισµένες Fourier, Ηµιτονοειδείς µετασχηµατισµένες Fourier, Συνηµιτονοειδείς µετασχηµατισµένες Fourier (Το Κεφάλαιο 4 θα συµπληρωθεί και τα επόµενα κεφάλαια θα προστεθούν.) Κεφάλαιο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισµοί. Ιδιότητες. Πίνακας Μετασχηµατισµένων Llce Μετασχηµατισµένες Llce βασικών συναρτήσεων, Αντίστροφες µετασχηµατισµένες Llce, Ρητές συναρτήσεις, Με ρίζες πολυωνύµων, Με εκθετικές συναρτήσεις, Με λογαριθµικές συναρτήσεις, Με υπερβολικές συναρτήσεις Κεφάλαιο ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Κεφάλαιο Κεφάλαιο 4 Κεφάλαιο 5 Κεφάλαιο 6 Ανισότητα του τριγώνου, Ανισότητα των Cuchy-Schwrz, Ανισότητα των µέσων όρων, Ανισότητα του Holder, Ανισότητα του Cheyshev, Ανισότητα του Mikowski, Ανισότητα των Cuchy-Schwrz για ολοκληρώµατα, Ανισότητα του Holder για ολοκληρώµατα, Ανισότητα του Mikowski για ολοκληρώµατα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΜΟΝΑ ΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ

SECTION 9

SECTION ΣΤΑΘΕΡΕΣ. Μαθηµατικές Σταθερές.44 56 795 488 6887 4.75 875 68877 95 7446 45 5.66 79774 99789 6964 976 687 6.44948 9747 878 989 784 747 7.64575 6459 595 657 564 8.884 747 469 976 774 484.67 766 6879 99 8895 444 5 5.599 498 9487 6476 76 78.444 957 748 8 68 78.4869 8549 975 679 8669 4678.457 996 557 596 668 664 π.459 655 8979 846 64 88 π 9.8696 44 8958 688 4499 9988 π.8 9886 879 675 77675 6745 Τα παρακάτω τετραγωνάκια (που υπάρχουν µόνο στα Κεφ. και ) είναι liks που θα ενεργοποιηθούν. ÕÐÏ.7745 859 556 79 8674 84 e.788 884 5945 56 87475 [βάση φυσικών λογαρίθµων] ÐËÇ e 7.895 6989 65 7 474 658 e.6487 77 8 4684 8657 878 e π.469 67 7969 57 986 679 π e.4595 778 645 474 75 45 e e 5.546 44 7964 8976 4 76

SECTION γ.577 56649 5 866 65 98 [σταθερή του Euler] e γ.787 479 997 985 654 ÐËÇ log. 99956 698 95 788 9474 log.477 547 966 479 579 55 log π.4974 9876 94 8545 68 889 log e.449 4489 5 8765 89 897 log e l.694 785 59945 94 7 458 log e l.986 886 689 699 545 69 log e l.58 599 9445 684 7994 5468 log e π lπ.447 98858 494 744 47 55 log e γ lγ.5495 99 8644 8 7667688 Γ(!).7745 859 556 79 8674 84 [Γ() η συνάρτηση γάµα] Γ(").6789 8547 7747 665 5699 497 Γ(#).656 998 98 9 685 5587 ακτίνιο 8 /π 57.9577 95 8 π/8 ακτίνια.745 95 994 9576 ακτίνια. Φυσικές Σταθερές Ταχύτητα του φωτός (στο κενό) Μαγνητική διαπερατότητα κενού ιηλεκτρική σταθερή κενού Σταθερή του Frdy Σταθερή βαρύτητας Σταθερή του Plck c 9979458 ms µ 4π 7 NA ε 8.8548787 Fm F 96485. Cmol G 6.676 m kg s h 6.6675 4 Js 4.567 5 evs ħ h/π.5457 4 Js 6.58 6 evs

SECTION Σταθερή του Boltzm Σταθερή των Stef-Boltzm Μοριακή σταθερή τέλειων αερίων Σταθερή του Ryderg Φορτίο πρωτονίου Μάζα ηλεκτρονίου Μάζα πρωτονίου Μάζα νετρονίου Κλασική ακτίνα ηλεκτρονίου Μαγνητική ροπή ηλεκτρονίου Μαγνητική ροπή πρωτονίου Μαγνητική ροπή νετρονίου Ακτίνα του Bohr Μαγνητόνη του Bohr Πυρηνική µαγνητόνη k B.866 JK 8.679 5 evk σ 5.67 8 Wm K 4 R 8.45 Jmol K R 977.57 m e.677 9 C m e 9.989 kg m,676 7 kg m.67498 7 kg r e.8794 5 m µ e.59659µ B µ.798474µ Ν µ.94µ N B.5977 m µ B 9.74 4 JT 5.7888 9 evg µ N 5.578 7 JT.545 evg Μήκος κύµατος Comto ηλεκτρονίου λ C.46 m Μήκος κύµατος Comto πρωτονίου λ C.4 5 m Μήκος κύµατος Comto νετρονίου λ C.9599 5 m? Λόγος µαζών πρωτονίου και ηλεκτρονίου m /m e 86.57 Λόγος φορτίου προς µάζα ηλεκτρονίου e/m e.758796 Ckg Λόγος (ατοµική µάζα)/(µάζα ηλεκτρονίου) m u /m e 8.888 Ατοµική µάζα m u.6654 7 kg Αριθµός του Avogdro N A 6.7 mol Κβάντο µαγνητικής ροής Φ.6784 5 W Σταθερή λεπτής υφής α /7.6 Κβαντική αντίσταση Hll R H 58.8 Ω

SECTION ΑΛΓΕΒΡΑ. Ταυτότητες ( y) y y ( y) y y ( y) y y y ( y) y y y ( y) 4 4 4 y 6 y 4y y 4 ( y) 4 4 4 y 6 y 4y y 4 y ( y)( y) y ( y)( y y ) y ( y)( y y ) 4 y 4 ( y)( y)( y ) 4 y 4 ( y y )( y y ) ( y) 5 5 5 4 y y y 5y 4 y 5 ( y) 5 5 5 4 y y y 5y 4 y 5 ( y) 6 6 6 5 y 5 4 y y 5 y 4 6y 5 y 6 ( y) 6 6 6 5 y 5 4 y y 5 y 4 6y 5 y 6 5 y 5 ( y)( 4 y y y y 4 ) 5 y 5 ( y)( 4 y y y y 4 ) 6 y 6 ( y)( y)( y y )( y y ) y y y ( y)( y ) 4 y y 4 ( y y ) ( y y ) 5 4 y y y y 4 y 5 ( y)( y y )( y y ) ( y z) y z y yz z ( y z) y z y y y z yz z z 6yz ( y z w) y z w y z w yz yw zw Για ακέραιο θετικό έχουµε y ( y )( 4 y 6 y 4 y 4 y ) ( y ) ycos k y k ÁÐÏ

SECTION y k y y cos k y ( y)( y y y ) ( y) ycos k y k y ( y)( y y y ) ( y) ycos k y k. Τύπος του ιώνυµου Για,,, ισχύει ο τύπος του διώνυµου ( y) y! y y y! ή ( y) y y y y (Βλέπε και ιωνυµική σειρά) Οι διωνυµικοί συντελεστές ορίζονται µε τη σχέση k k ( )! k! k!( k)! ÐËÇ όπου, k ακέραιοι µε k,! και! 4. Ιδιότητες των ιωνυµικών Συντελεστών, k k k k k

SECTION ( ) m m m [ ] m m m m m m m m [ m ] 4 5 m m m m Πίνακας ιωνυµικών Συντελεστών ÐËÇ k 4 5 4 4 6 4 5 5 5

4 SECTION. Μιγαδικοί Αριθµοί Αν, πραγµατικοί αριθµοί και i η φανταστική µονάδα, ο z i είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Ο συζυγής µιγαδικός του i είναι ο i. Το πραγµατικό µέρος και το φανταστικό µέρος του i είναι αντίστοιχα Re(z) και Im(z). Μιγαδικό επίπεδο y Ο µιγαδικός αριθµός yi παρι στά νεται από ένα σηµείο P µε τετµη µένη και τεταγµένη y. ÐËÇ y P Αν r y είναι το µήκος του διανύσµατος OP, τότε η πολική µορφή του µιγαδικού αριθ- r µού είναι iy r(cosθ isiθ) u όπου r το µέτρο ή η απόλυτη τιµή και θ η γωνία ή το O όρισµα του µιγαδικού αριθµού. Σχ. - Πράξεις ( i) (c di) c ( d)i ( i) (c di) c ( d)i ( i)(c di) c d (d c)i i c d c d c di c d c d i [r (cosθ isiθ )][r (cosθ isiθ )] r r [cos(θ θ ) isi(θ θ )] r(cosu isi u) r [cos( u u) isi( uu r (cosu isi u ) r )] Θεώρηµα του de Moivre Αν πραγµατικός αριθµός, τότε [r(cosθ isiθ)] r (cosθ isiθ) Ρίζες Αν θετικός ακέραιος, τότε οι ρίζες -στής τάξης του µιγαδικού αριθµού είναι / / [ r(cosu isi u)] r cos u k isi u k όπου k,,,,,. ÐËÇ

SECTION 5.4 υνάµεις και Λογάριθµοι υνάµεις Για πραγµατικούς,,, q ισχύουν οι εξής σχέσεις (µε την προϋπόθεση ότι κάθε όρος έχει νόηµα και οι παρονοµαστές είναι διάφοροι του µηδενός): q q, / q q, q /, ( ) q q q, ( ), (),,, Λογάριθµοι, Έστω c θετικός αριθµός διάφορος του. Αν c A (A θετικός), τότε ο εκθέτης καλείται λογάριθµος του Α µε βάση το c και συµβολίζεται µε log c A. Αν c, έχουµε τους δεκαδικούς λογάριθµους. Αν c e.788, έχουµε τους φυσικούς λογάριθµους, που συµβολίζονται µε l. log c c log c A B log c A log c B Αλλαγή βάσης (log c )(log c) log A c logc AlogcB B log c c, log c log c A log c A log A logc A logc loga log c la l log A.585 log A log A log e la.4494 la

6 SECTION Με µιγαδικούς αριθµούς e iθ cosθ isiθ siu e iu u i e i e iθ cosθ isiθ cosu e iu u i e e i(θkπ) e iθ i r(cosθ isiθ) re iθ (re iθ )(qe iφ ) rqe i(θφ) (k ακέραιος, περιοδικότητα) i re i qe r q e u i( uf) f (re iθ ) r e iθ (θεώρηµα του de Moivre) l(re iθ ) lr iθ kπi (k ακέραιος).5 Ρίζες Αλγεβρικών Εξισώσεων Εξίσωση πρώτου βαθµού Αν, υπάρχει µία ρίζα,. Αν και, δεν υπάρχει ρίζα. Αν και, κάθε αριθµός είναι ρίζα. Εξίσωση δεύτερου βαθµού c (,, c πραγµατικοί, ) ιακρίνουσα: D 4c Ρίζες 4c, ± Αν D >, έχουµε δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες. Αν D, έχουµε δύο πραγµατικές και ίσες ρίζες. Αν D <, έχουµε δύο συζυγείς µιγαδικές ρίζες.

SECTION 7 Σχέσεις µεταξύ ριζών Άθροισµα ριζών: Γινόµενο ριζών: c Εξίσωση τρίτου βαθµού Έστω 9 c q 9 7c 54, A q q, B q q A B Ρίζες A B ( ) i ( AB) ( A B) i ( AB) Αν,, c είναι πραγµατικοί και D q η διακρίνουσα, τότε (i) µία ρίζα είναι πραγµατική και δύο µιγαδικές, εάν D >, (ii) όλες οι ρίζες είναι πραγµατικές και τουλάχιστον δύο είναι ίσες, εάν D, (iii) όλες οι ρίζες είναι πραγµατικές και άνισες, εάν D <. Εάν D <, οι υπολογισµοί απλουστεύονται. cos ( u ) Ρίζες για D < : cos( u ) cos ( u 4 ) Σχέσεις µεταξύ ριζών,, c, όπου,, είναι οι τρεις ρίζες. όπου cosu q

8 SECTION Εξίσωση τέταρτου βαθµού Ρίζες 4 c d Αν y είναι µια πραγµατική ρίζα της τριτοβάθµιας εξίσωσης y y (c 4d)y (4d c d) (ii) τότε οι 4 ρίζες της (i) είναι ρίζες των δύο δευτεροβάθµιων εξισώσεων z 4 4y z y y 4d { ± } { } (iii) Εάν όλες οι ρίζες της (ii) είναι πραγµατικές, ο υπολογισµός απλοποιείται, εάν χρησιµοποιήσουµε εκείνη τη ρίζα που δίνει πραγµατικούς συντελεστές για τη δευτεροβάθµια εξίσωση (iii). Σχέσεις µεταξύ ριζών (i) 4 4 4 4 4 4 c 4 d όπου,,, 4 είναι οι τέσσερις ρίζες..6 Υπερβολικές Συναρτήσεις Ορισµοί Υπερβολικό ηµίτονο Υπερβολικό συνηµίτονο e sih e cosh e e Υπερβολική εφαπτόµενη sih e th cosh e cosh e e Υπερβολική συνεφαπτόµενη coth sih e e H τέµνουσα sech /cosh και η συντέµνουσα csch /sih δε χρησι- µοποιούνται συχνά. e e

SECTION 9 Ταυτότητες cosh sih sih cosh cosh sih (sih cosh) sih cosh sih() sih cosh() cosh th() th coth() coth sih sihcosh cosh cosh sih cosh sih th th th coth coth coth sih sih 4sih cosh 4cosh cosh th th th th coth coth coth coth sih4 8sih cosh 4sihcosh cosh4 8cosh 4 8cosh 4th 4th th 4 4 6th th th cosh sih sih cosh

SECTION sih!cosh! cosh!cosh! sih #sih.sih cosh #cosh.cosh sih 4 'cosh4!cosh cosh 4 'cosh4!cosh sih( ± y) sihcoshy ± coshsihy cosh( ± y) coshcoshy ± sihsihy th ± th y th( ± y) ± th th y coth coth y± coth( ± y) coth y± coth sih sihy sih!( y)cosh!( y) sih sihy cosh!( y)sih!( y) cosh coshy cosh!( y)cosh!( y) cosh coshy sih!( y) sih!( y) sih( ± y) th± th y coshcosh y sih sih y sih( y)sih( y) sih cosh y cosh( y)cosh( y) sihsihy!{cosh( y) cosh( y)} coshcoshy!{cosh( y) cosh( y)} sihcoshy!{sih( y) sih( y)}

SECTION Γραφικές παραστάσεις y y 5 O 5 Σχ. - y sih y O Σχ. - y cosh y O O Σχ. -4 y th Σχ. -5 y coth Σχέσεις µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις si(i) isih t(i) ith sih(i) isi th(i) it cos(i) cosh cot(i) icoth cosh(i) cos coth(i) icot sih( ± iy) sihcosy ± icoshsiy cosh( ± iy) coshcosy ± isihsiy sih ± isi y th( ± iy) cosh cosy sih isi y coth( ± iy) cosh cosy

SECTION Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Αν sihy, τότε η αντίστροφη συνάρτηση συµβολίζεται µε y sih. Όµοια για τις άλλες υπερβολικές συναρτήσεις. Με το συµβολισµό αυτό νοούνται οι πρωτεύοντες κλάδοι, που εκφράζονται µε λογαρίθµους ως εξής: sih l < < cosh l [cosh > είναι η πρωτεύουσα τιµή] th coth l l ( ) Ιδιότητες sih () sih cosh () cosh th () th coth () coth coth th (/) Για k ακέραιο sih( kπi) sih th( kπi) th < < < ή > cosh( kπi) cosh coth( kπi) coth Γραφικές Παραστάσεις 5 y y O 5 Σχ. -6 y sih O Σχ. -7 y cosh

SECTION y y O O Σχ. -8 y th Σχ. -9 y coth Σχέσεις µε αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις si (i) isih sih (i) isi cos ±icosh cosh ±icos t (i) ith th (i) it cot (i) icoth coth (i) icot

SECTION ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ορισµοί Το τρίγωνο ABC έχει ορθή γωνία (9 ) στο C. Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας A ορίζονται ως εξής: Ηµίτονο si B C Συνηµίτονο cos B c Εφαπτόµενη t B c Συνεφαπτόµενη cot B c Τέµνουσα sec B c Συντέµνουσα csc B Τριγωνοµετρικός κύκλος Σε ένα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγ- µ ένων (Σχ. -) οι άξονες έχουν θετικές κατευθύνσεις ' από ' προς και από y' προς y. Ο κύκλος µε κέντρο το Ο και ακτίνα καλείται τριγωνοµετρικός κύκλος. Οι τριγωνοµετρικοί III αριθµοί του τόξου t AP ορίζονται από τις συντεταγµένες και y του σηµείου P ως εξής: Ηµίτονο siτ ΟΡ' y siτ Συνηµίτονο cosτ ΟΡ'' cosτ II A P' c Σχ. - y B O y' Σχ. - P Q' P'' A B I Q'' IV Εφαπτόµενη t t AQ y < tτ < Συνεφαπτόµενη cot t BQ y < cotτ < Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου t AP ταυτίζονται µε εκείνους της γωνίας f AOP. Οι προηγούµενοι ορισµοί ισχύουν και για τόξα (ή γωνίες) µεγαλύτερα από 9.

SECTION Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Για σε ακτίνια οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις y si, y cos, y t, y cot έχουν τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις. y y O / / / O / y Σχ. - y si Σχ. -5 y t y O / / / O / Σχ. -4 y cos Σχ. -6 y cot Τιµές τριγωνοµετρικών συναρτήσεων σε µοίρες σε ακτίνια si cos t cot 5 π/ ( 6 )/4 ( 6 )/4 π/6 / / / 45 π/4 / / 6 π/ / / / 75 5π/ ( 6 )/4 ( 6 )/4 9 π/ ± Για γωνίες σε άλλα τεταρτηµόρια µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους τύπους µετασχηµατισµού της Παραγ...

SECTION. Ταυτότητες Βασικές t si si cos cos cot cos t si cos t sec cot cos si csc si Μετασχηµατισµοί si() si cos() cos t() t cot() cot si cos cos ± t cot ± ( ) ± si cot t ± si(π ± ) si cos(π ± ) cos si(π ± ) ±si cos(π ± ) cos t(π ± ) ±t cot(π ± ) ±cot t(π ± ) ±t cot(π ± ) ±cot Αθροίσµατα si( ± y) sicosy ± cossiy cos( ± y) coscosy sisiy t ± t y t( ± y) t t y cot cot y cot( ± y) cot ± cot y

4 SECTION si siy si!( y)cos!( y) si siy cos!( y)si!( y) cos cosy cos!( y)cos!( y) cos cosy si!( y)si!(y ) si( ± y) t ± t y cos cos y si( y± ) cot ± cot y si si y sisiy![cos( y) cos( y)] coscosy![cos( y) cos( y)] sicosy![si( y) si( y)] si si y si( y)si( y) cos cos y si( y)si(y ) cos si y cos( y)cos( y) si( ± iy) sicoshy ± icossihy cos( ± iy) coscoshy #6 isisihy si ± isih y t( ± iy) cos cosh y si isih y cot( ± iy) cosh y cos Πολλαπλές γωνίες t cos si si cos si sicos cos cos si si cos

SECTION 5 si t t cos t t t t t si si 4si cos 4cos cos t t t t si4 4sicos 8si cos cos4 8cos 4 8cos t 4 4t 4t 4 6t t si5 5si si 6si 5 cos5 6cos 5 cos 5cos 5 t 5 t t 5t 4 t 5t si si cos cos 5 cos cos cos cos cos υνάµεις si!!cos cos!!cos 5 4 4 7 6 cos 5

6 SECTION si.si #si cos.cos #cos si 4!cos 'cos4 cos 4!cos 'cos4 si 5 (5/8)si (5/6)si (/6)si5 cos 5 (5/8)cos (5/6)cos (/6)cos5 si k si( k ) k k cos cos( k ) k k si k k cos ( k) k cos cos k k k. Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Αν siy, τότε η αντίστροφη συνάρτηση συµβολίζεται µε y si. Όµοια για τις άλλες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Με το συµβολισµό αυτό νοούνται οι συναρτήσεις που παίρνουν τιµές στα εξής διαστήµατα (συχνά καλούνται πρωτεύοντες κλάδοι): π/ si π/ cos π π/ < t < π/ < cot < π Ιδιότητες si cos π/ t cot π/ cot t (/) si () si cos () π cos t () t cot () π cot

SECTION 7 Γραφικές παραστάσεις / y O / / Σχ. -7 y si y / O Σχ. -8 y cos y O / / O Σχ. -9 y t.4 Επίπεδο Τρίγωνο Σχ. - y cot Σε κάθε επίπεδο τρίγωνο οι πλευρές,, c και οι γωνίες A, B, C συνδέονται µε τις εξής σχέσεις: A B C 8, Νόµος του ηµίτονου < c < c si A si B sic Νόµος του συνηµίτονου c cosc κτλ. Νόµος της εφαπτόµενης A B t ( ) t ( A B) B c A Σχ. - C

8 SECTION Τύπος προβολής c cosb cosa Τύποι µε περίµετρο si A s sc cos A ss c c si A ss ( s)( sc) c κτλ. όπου s c είναι η περίµετρος του τριγώνου. Ακτίνα περιγεγραµµένου κύκλου r si A Ακτίνα εγγεγραµµένου κύκλου r ( s)t A.5 Σφαιρικό Τρίγωνο Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο οι πλευρές,, c (τόξα µέγιστων κύκλων) και οι γωνίες A, B, C (δίεδρες γωνίες) συνδέονται µε τις εξής σχέσεις: Νόµος του ηµίτονου si si si c si A si B sic Νόµος του συνηµίτονου cos coscosc sisiccosa cosa cosbcosc sibsiccos Νόµος της εφαπτόµενης t ( A B) t ( ) t ( A B) t ( ) Τύποι µε την περίµετρο si A si κτλ. si ssi( s)si( s)si( sc) sisi c cos Scos( S A)cos( S B)cos( S C) si BsiC B c A Σχ. - C

SECTION 9 sisi si A s s c sisi c si si cos A s s sisi c cos cos si S S A si BsiC coscos cos S B S C si BsiC όπου s c και S A B C. κτλ.

SECTION 4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 4. Σε δύο ιαστάσεις Τρίγωνο A Περίµετρος Π s c 'Υψος h ss s sc c h m ιάµεσος m ( c ) 4 Εσωτερική διχοτόµος d cs( s ) c B u d Σχ. 4- C Εξωτερική διχοτόµος c s s c D ( )( ) c [ c] E h csi u s( s)( s)( sc) Εµβαδό Ακτίνα εγγραµµένου κύκλου r ss ( s)( sc) s Ακτίνα περιγραµµένου κύκλου R c 4 ss ( s)( sc) A A A' c R A B' c r B C B C B Σχ. 4- Σχ. 4- Σχ. 4-4 Όµοια τρίγωνα (Σχ. 4-) A A' B B' C C' C' C AB BC CA AB BC CA

SECTION Ορθογώνιο Περίµετρος Εµβαδό Π E Σχ. 4-5 Παραλληλόγραµµο Περίµετρος Εµβαδό Π E h siθ u h Σχ. 4-6 Τραπεζοειδές Περίµετρος Π h siu si f Εµβαδό E!h( ) Κανονικό πολύγωνο u h Σχ. 4-7 f Περίµετρος Κεντρική γωνία Π u u Εµβαδό E cot cos( / ) 4 4 si( / ) όπου το πλήθος των πλευρών και α το µήκος κάθε πλευράς. Σχ. 4-8 Κανονικό πολύγωνο γραµµένο σε κύκλο Περίµετρος Κεντρική γωνία P Rsi Rsi 8 u u R Εµβαδό E R si R si 6 όπου το πλήθος των πλευρών και R η ακτίνα του περιγραµµένου κύκλου. Σχ. 4-9

SECTION Κανονικά πολύγωνα γραµµένα σε κύκλο ακτίνας R Πολύγωνο Πλευρά Απόστηµα Εµβαδό R! R. R 4 R! R R 5! 5 R # 6 5 R 8 5 R 6 R! R (/) R 8 R! R R!( 5 )R # 5 R (5/4) 5 R R! R R Κανονικό πολύγωνο γραµµένο γύρω από κύκλο Περίµετρος Κεντρική γωνία P r t r t 8 u u r Εµβαδό E r t r t 8 όπου το πλήθος των πλευρών και r η ακτίνα του κύκλου. Κύκλος Περίµετρος Π πr Εµβαδό E πr όπου r η ακτίνα του κύκλου. Τοµέας κύκλου Μήκος τόξου s rθ Εµβαδό E!r θ [θ σε ακτίνια] όπου r η ακτίνα του κύκλου και θ η γωνία του τοµέα. Σχ. 4- r Σχ. 4- u r Σχ. 4- s

4 SECTION Τµήµα κύκλου Εµβαδό σκιασµένου τµήµατος όπου r η ακτίνα του κύκλου. E!r (θ siθ) r u Έλλειψη Περίµετρος Σχ. 4- / P 4 k si udu ( ) Εµβαδό E π O E όπου k. Βλέπε σελ.??? για αριθµητικούς πίνακες. Σχ. 4-4 Τµήµα παραβολής A B Μήκος τόξου AΜΒ ( AMB) 6 l 4 6 8 Εµβαδό E * M Σχ. 4-5 4. Σε τρεις ιαστάσεις Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εµβαδό επιφάνειας E ( c c) Όγκος V c όπου,, c είναι το µήκος, πλάτος και ύψος του παραλληλεπίπεδου αντίστοιχα. Σχ. 4-6 c Πλάγιο παραλληλεπίπεδο Ύψος Όγκος h csiφ V Ah csiθsiφ όπου A είναι η οριζόντια διατοµή του παραλληλεπίπεδου. f h u Σχ. 4-7 c

SECTION 5 Πυραµίδα Ύψος h dsiθ Όγκος V "Ah %dsiθsiφ όπου A το εµβαδό της βάσης. Κανονικά πολύεδρα c u h Σχ. 4-8 Στα 5 κανονικά πολύεδρα του πίνακα είναι η ακµή, R η ακτίνα της περιγραµµένης σφαίρας, E το εµβαδό της επιφάνειας, V ο όγκος. Η ακτίνα της εγγραµµένης σφαίρας είναι πάντα ρ V/E. Πολύεδρο Ακτίνα R Εµβαδό E Όγκος V Τετράεδρο (4 ισόπλευρα τρίγωνα) (/) # 6 Κύβος (6 τετράγωνα) Οκτάεδρο (8 ισόπλευρα τρίγωνα) ωδεκάεδρο ( κανονικά πεντάγωνα)! 6! " d f #( 5 ) 55 ( 5) #(5 7 5 ) Εικοσάεδρο ( ισόπλευρα τρίγωνα) # 5 ( 5) 5 (5/)( 5 ) Ορθός κυκλικός κώνος Ύψος h lsiθ Εµβαδό κωνικής επιφάνειας E rl r r h Όγκος V "πr h όπου r η ακτίνα της βάσης και h το ύψος του κώνου. Ορθός κυκλικός κύλινδρος Εµβαδό κυλινδρικής επιφάνειας E πrh Όγκος V πr h όπου r η ακτίνα και h το ύψος του κυλίνδρου. h l u r Σχ. 4-9 h r Σχ. 4-

6 SECTION Πλάγιος κυκλικός κύλινδρος Ύψος h lsiθ Εµβαδό κυλινδρικής επιφάνειας E rl rh siu Όγκος V πr h πr lsiθ όπου r η ακτίνα της βάσης, h το ύψος και l η γενέτειρα του κυλίνδρου. Ορθός κόλουρος κώνος Ύψος h lsi l Εµβαδό κωνικής επιφάνειας u E ( ) l ( ) h Όγκος V "πh( ) όπου, οι ακτίνες των βάσεων και h το ύψος του κώνου. Σφαίρα Εµβαδό επιφάνειας E 4πr l h u r Σχ. 4- h l u Σχ. 4- r Όγκος V 4 πr Σχ. 4- Σφαιρικό τµήµα Ακτίνα βάσης r h( rh) Εµβαδό σφαιρικής επιφάνειας E πrh h r r Όγκος σκιασµένου τµήµατος V "πh (r h) όπου r η ακτίνα της σφαίρας και h το ύψος του τµήµατος. Σφαιρικό τρίγωνο Εµβαδό τριγώνου ABC E (A B C π)r όπου r η ακτίνα της σφαίρας και A, B, C οι γωνίες του σφαιρικού τριγώνου. B Σχ. 4-4 A c r C Σχ. 4-5

SECTION 7 Ελλειψοειδές Όγκος V 4 πc όπου,, c οι ηµιάξονες του ελλειψοειδούς. Αν > c, τότε Εκκεντρότητα e c Επιφάνεια E c e Αν < c, τότε Εκκεντρότητα e c l e e Επιφάνεια E c si e e c Σχ. 4-6 Παραβολοειδές από περιστροφή Εµβαδό καµπύλης επιφάνειας E 4 / 4 6 Όγκος V!π A M Σχ. 4-7 B Τόρος Εµβαδό επιφάνειας E π ( ) Όγκος V #π ( )( ) όπου η εσωτερική και η εξωτερική ακτίνα. Σχ. 4-8

SECTION 5 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 5. Σε δύο ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Για να καθοριστεί η θέση, το σχήµα και η κίνηση των σωµάτων στο χώρο (που θεωρείται Ευκλείδειος, δηλαδή µε θετική απόσταση µεταξύ δύο σηµείων) χρησιµοποιούνται συστήµατα συντεταγµένων, δηλαδή άξονες ή καµπύλες κατάλληλα αριθµηµένοι. Σε δύο διαστάσεις ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oy δίνεται στο Σχ. 5-. Η θέση του σηµείου P δίνεται από την τετµηµένη και την τεταγµένη y, που ορίζονται από τις κάθετες προς τους άξονες. Σηµεία Απόσταση δύο σηµείων y y P Το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος P P είναι d ( ) ( y y ) (, y ) καρτεσιανές συντεταγµένες σηµείου P y O P u Σχ. 5- (, y ) καρτεσιανές συντεταγµένες σηµείου P Εµβαδό τριγώνου y A Αν A(, y ), B(, y ), C(, y ) είναι οι κορυφές του τριγώνου, το εµβαδό του ισούται µε την απόλυτη τιµή της ορίζουσας y y y [ ( y y) ( y y) ( y y)] B Σχ. 5- C Ευθεία Εξίσωση από δύο σηµεία Αν η ευθεία περνάει από δύο σηµεία P (, y ) και P (, y ), έχει εξίσωση y y y y

SECTION Η κλίση της ευθείας είναι m y y και η τεταγµένη της τοµής µε τον άξονα y y y m Η εξίσωση της ευθείας γράφεται επίσης y y m( ) ή y m ή y tu y όπου η τετµηµένη της τοµής µε τον άξονα. Κανονική µορφή της εξίσωσης µιας ευθείας cosφ ysiφ c όπου c η απόσταση της αρχής O από την ευθεία και φ η γωνία της κάθετης στην ευθεία µε το θετικό ηµιάξονα. Γενική µορφή της εξίσωσης µιας ευθείας A By C Απόσταση σηµείου από ευθεία A By C A B (, y ) καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου Γωνία δύο ευθειών y c f Σχ. 5- Αν m και m είναι οι κλίσεις δύο ευθειών, τότε η εφαπτόµενη της γωνίας τους είναι m m tc mm Οι ευθείες είναι παράλληλες ή συµπίπτουν, µόνο αν m m. Οι γραµµές είναι κάθετες, αν και µόνο αν m /m.

SECTION Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Οι συντεταγµένες ενός σηµείου σε δύο συστήµατα συντεταγµένων συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις που καλούνται µετασχηµατισµοί. y y' Μεταφορά ή y y y y y y (, y) συντεταγµένες ως προς το σύστηµα Oy (', y') συντεταγµένες ως προς το σύστηµα 'O'y' (, y ) συντεταγµένες του O' ως προς το Oy Στροφή cosf y si f y si f y cosf y' O y O' Σχ. 5-4 ' ' cosf ysi f ή y ycosfsi f φ γωνία στροφής Μεταφορά και στροφή cosf y si f y si f y cosf y ( )cos f ( y y)sif ή y ( y y)cos fsif (, y ) συντεταγµένες του O' ως προς το Oy Πολικές συντεταγµένες rcosf r y ή y rsi f f t ( y/ ) (, y) καρτεσιανές συντεταγµένες (ρ, φ) πολικές συντεταγµένες O f Σχ. 5-5 y y' O' O f Σχ. 5-6 y r f O Σχ. 5-7 ' P

4 SECTION Επίπεδες καµπύλες Γενικά, µια εξίσωση της µορφής f (, y) παριστάνει µία καµπύλη στο επίπεδο y. Μια καµπύλη µπορεί να δοθεί σε παραµετρική µορφή µε δύο εξισώσεις (t), y y(t), όπου t κάποια παράµετρος. Η ευθεία είναι η απλούστερη καµπύλη, αφού η f(, y) είναι γραµµική ως προς και y. Αν η f(, y) είναι δεύτερου βαθµού πολυώνυµο, έχουµε κωνική τοµή (κύκλο, έλλειψη, υπερβολή ή παραβολή). Κύκλος y ( ) (y y ) R (, y ) καρτεσιανές συντεταγµένες κέντρου R ακτίνα του κύκλου Κωνικές τοµές Έστω e PO ο λόγος των αποστάσεων σηµείου Ρ PK από ένα σηµείο Ο και από µιά ευθεία AA'. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Ρ, για τα οποία ε σταθ., είναι µια κωνική τοµή µε εξίσωση Η κωνική τοµή είναι έλλειψη, αν ε <, παραβολή, αν ε, r ed ecos u υπερβολή, αν ε >. Η σταθερή ε καλείται εκκεντροτητα. Έλλειψη Η έλλειψη µε µεγάλο άξονα και µικρό άξονα, παράλληλους προς τους άξονες συντεταγµένων O και Oy αντίστοιχα, έχει εξίσωση ( ) ( y y) όπου (, y ) οι συντεταγµένες του κέντρου Κ της έλλειψης. Στο Σχ. 5- είναι y A O A K A' O Σχ. 5-8 d O r Σχ. 5-9 D r u P F K F' C Σχ. 5- P B

SECTION 5 AB CD KF KF PF PF' (Ρ τυχόν σηµείο της έλλειψης) ε εκκεντρότητα Αν το F ταυτίζεται µε το Ο, έχουµε το Σχ. 5-, όπου y O r u P r, ( ε ) ecos u Υπερβολή Σχ. 5- Η υπερβολή µε µεγάλο άξονα και µικρό άξονα, παράλληλους προς τους άξονες συντεταγµένων O και Oy αντίστοιχα, έχει εξίσωση ( ) ( y y) y P όπου (, y ) οι συντεταγµένες του κέντρου Κ της υπερβολής. Στο Σχ. 5- είναι ΑΒ α F A K B F' KF KF PF PF' (Ρ τυχόν σηµείο της υπερβολής) ε εκκεντρότητα O f y Σχ. 5- r P t f Αν το F ταυτίζεται µε το O, έχουµε το Σχ. 5-, όπου r, α(ε ) ecos u O u Σχ. 5- F'

6 SECTION Παραβολή Η παραβολή µε άξονα παράλληλο προς τον O (Σχ. 5-4) έχει εξίσωση (y y ) 4( ), όπου (, y ) οι συντεταγµένες του A και AF. Αν το F ταυτίζεται µε το O (Σχ. 5-5), τότε η παραβολή έχει εξίσωση Η εξίσωση r cosu y c, >, παριστάνει παραβολή (Σχ. 5-6) µε συντεταγµένες ελάχιστου y m, y m 4c 4 m O y m Σχ. 5-6 y A F O Σχ. 5-4 y O r u Σχ. 5-5 Εξίσωση Σύνοψη κωνικών τοµών Έλλειψη Υπερβολή Παραβολή y y y 4 Εκκεντρότητα e < e > ε Εστίες (ε, ) (ε, ) (ε, ) (ε, ) (, ) ιευθετούσα /ε /ε /ε /ε Χορδή στην εστία κάθετη στον άξονα / / 4 Εξίσωση σε πολικές συντεταγµένες r e cos u r e cos u 4 cosu r cos u

SECTION 7 Κυβική παραβολή (Σχ. 5-7) y y Εξίσωση y ( ) Ηµικυβική παραβολή (Σχ. 5-8) Εξίσωση y / Κισσοειδής του ιοκλή (Σχ. 5-9) Το Q κινείται κατά µήκος της QQ' (εφαπτόµενης του κύκλου και κάθετης στον άξονα O) και παίρνουµε OP RQ. Το P γράφει την καµπύλη. Εξισώσεις y d y Σχ. 5-7 Σχ. 5-8 R P Q y ή r dsiθtθ Στροφοειδής (Σχ. 5-) Εξίσωση ( y ) ( y ) Φύλλο του Descrtes (Σχ. 5-) O d Q' Σχ. 5-9 Σχ. 5- Εξισώσεις ή y y t, y t t t y y Ασύµπτωτη y Εµβαδό E (/) Τριχοτοµούσα (Σχ. 5-) Εξίσωση y ( ) Σχ. 5- Σχ. 5-

8 SECTION Μάγισσα της Agesi (Σχ. 5-) To A κινείται πάνω στην ευθεία y d. To Β είναι η τοµή της ΟΑ µε το σταθερό κύκλο κέντρου (, d/) και διαµέτρου d. To Ρ είναι η τοµή των ευθειών που φέρονται από τα Α και Β παράλληλες προς τους άξονες. Εξισώσεις y d d ή dcot f y dsi όπου f AO. Ωοειδής του Cssii (Σχ. 5-4) f Οι αποστάσεις του P από δύο σταθερά ση- µεία έχουν σταθερό γινόµενο. Εξίσωση ( y ) 4 4 Αν <, έχουµε το Σχ. 5-4α. Αν >, το Σχ. 5-4β. Ληµνίσκος του Beroulli (Σχ. 5-5) Εξίσωση ( y ) ( y ) ή r cosθ. Εµβαδό (ολικό) E Κογχοειδής του Νικοµήδη (Σχ. 5-6) Εξίσωση ( y )( ) ή r cosu Σαλίγκαρος του Pscl (Σχ. 5-7) To A κινείται πάνω στο σταθερό κύκλο διαµέτρου d. Στην ευθεία που συνδέει το A µε την αρχή των αξόνων παίρνουµε δύο σηµεία P και P' µε PA P'A < d. Αυτά γράφουν την καµπύλη. y P' A u (á) y P y A d B P O Σχ. 5- y P (á) y P ( â) Σχ. 5-4 45 y 45 Σχ. 5-5 Σχ. 5-6 y Σχ. 5-7 P' u (â) A P

SECTION 9 Εξίσωση r dcosθ Αν d <, έχουµε το Σχ. 5-7α. Αν < d, έχουµε το Σχ. 5-7β. Καρδιοειδής (Σχ. 5-8 Ο κύκλος (B, ) κυλάει στο εξωτερικό του σταθερού κύκλου (A, ). Το σηµείο P γράφει την καµπύλη. ή Εξίσωση ( y ) 4 ( y ) r ( cosθ) Μήκος (ολικό) 8 Εµβαδό E (/)π Αστροειδής (Σχ. 5-9) Ο µικρός κύκλος µε ακτίνα /4 κυλάει µέσα στο µεγάλο κύκλο µε ακτίνα. Το σηµείο P γράφει την καµπύλη. Εξισώσεις / y / / Μήκος (ολικό) 6 Εµβαδό E π ή cos f y si f y u A B Σχ. 5-8 y f Σχ. 5-9 y P P Τρίφυλλο ρόδο (Σχ. 5-) Εξίσωση r cosθ Γενικά, για περιττό η r cosθ έχει φύλλα. Τετράφυλλο ρόδο (Σχ. 5-) Εξίσωση r cosθ Γενικά, για άρτιο η r cosθ έχει φύλλα. Σχ. 5- y Σχ. 5-

SECTION Επικυκλοειδής (Σχ. 5-) y Ο µικρός κύκλος κυλάει στο εξωτερικό του µεγάλου. Το σηµείο P είναι σταθερό ως προς το µικρό κύκλο, απέχει c από το κέντρο του και γράφει την καµπύλη. Εξισώσεις ( )cosfccos y ( )sifcsi f f f Σχ. 5- P Στο Σχ. 5- η περίπτωση c. Υπoκυκλοειδής (Σχ. 5-) y Ο µικρός κύκλος κυλάει στο εσωτερικό του µεγάλου. Το σηµείο P είναι σταθερό ως προς το µικρό κύκλο, απέχει c από το κέντρο του και γράφει την καµπύλη. Εξισώσεις ( )cosf ccos y sifcsi f f f Σχ. 5- P Στο Σχ. 5- η περίπτωση c. Κυκλοειδής (Σχ. 5-4) y Ο κύκλος (Κ, ) κυλάει πάνω στον άξονα O. Το σηµείο P είναι σταθερό στην περιφέρεια και γράφει την καµπύλη. Εξισώσεις P K f O Σχ. 5-4 A (φ siφ), y ( cosφ) Τετµηµένη του A πα Μήκος του τόξου OA 8 Εµβαδό ενός τµήµατος E π

SECTION Τροχοειδής (Σχ. 5-5) Ο κύκλος µε ακτίνα κυλάει πάνω στον άξονα O. Το σηµείο P είναι σταθερό ώς προς τον κύκλο, απέχει απόσταση από το κέντρο και γράφει την καµπύλη. y O P Σχ. 5-5α Εξισώσεις φ siφ, y cosφ Αν < έχουµε το Σχ. 5-5α. Αν > α, το Σχ. 5-5β. Αν, παίρνουµε την κυκλοειδή του Σχ. 5-4. y P Σχ. 5-5β Σπείρες (Σχ. 5-6) Γραµµική (του Αρχιµήδη) Παραβολική Λογαριθµική Εξίσωση Εξίσωση Εξίσωση r θ r 4θ r e θ y y y Σχ. 5-6α Σχ. 5-6β Σχ. 5-6γ Ενειλιγµένη κύκλου (Σχ. 5-7) Το Ρ είναι το άκρο ενός σχοινιού που είναι τυλιγµένο σε έναν κύκλο ακτίνας. Το σχοινί ξετυλίγεται και το P γράφει την καµπύλη. Εξισώσεις (cosφ φsiφ) y (siφ φcosφ) y O f P A Μήκος τόξου s!φ Σχ. 5-7

SECTION Αλυσοειδής (Σχ. 5-8) y Το σχήµα µιας οµογενούς αλυσίδας αναρτη- µένης από τα σηµεία Α και Β. Εξίσωση y e e ( / / ) Μήκος από - έως s sih(/) Σχ. 5-8 Έλκουσα (Σχ. 5-9) Η καµπύλη αρχίζει από το σηµείο A(, ). Η εφαπτόµενη στο τυχόν σηµείο P τέµνει τον άξονα O στο B. Το µήκος PB παραµένει σταθερό και ίσο µε. Εξισώσεις f cosf l t y si f A y P Σχ. 5-9 f B 5. Σε τρεις ιαστάσεις Συστήµατα συντεταγµένων Στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο χρησιµοποιούνται συστήµατα συντεταγµένων µε τρεις συντεταγµένες. Οι καρτεσιανές συντεταγµένες, y, z ονο- µάζονται αντίστοιχα τετµηµένη, τεταγµένη και κατηγµένη και µετριώνται από την αρχή Ο κατά µήκος τριών ορθογώνιων αξόνων O, Oy, Oz. Ένα σηµείο P παριστάνεται από µία τριάδα τιµών (, y, z ), που ορίζουν τρία συντεταγµένα επίπεδα, y y, z z. z O z r Σχ. 5-4 Στις διευθύνσεις των αξόνων O, Oy, Oz ορίζουµε αντίστοιχα τα µοναδιαία διανύσµατα βάσης i, j, k. Κάθε σηµείο αντιστοιχεί σε ένα διάνυσµα θέσης P y y

SECTION r i yj zk Το µήκος ή µέτρο του διανύσµατος r συµβολίζεται µε r ή r και είναι r y z r Γενικότερα, η θέση ενός σηµείου στο χώρο µπορεί να καθοριστεί από τρεις καµπυλλόγραµµες συντεταγµένες,,, οι οποίες συνδέονται µε τις, y, z και µετριώνται κατά µήκος τριών συντεταγµένων καµπυλών (που µε τη σειρά τους ορίζονται ως τοµές των τριών συντεταγµένων επιφανειών σταθ., σταθ., σταθ.). Το σύστηµα συντεταγµένων που θα χρησιµοποιηθεί επιλέγεται έτσι ώστε να γίνει απλούστερη η περιγραφή του φυσικού συστήµατος. Οι συχνότερα χρησιµοποιούµενες συντεταγµένες (µετά τις καρτεσιανές) είναι οι κυλινδρικές και οι σφαιρικές συντεταγµένες. Κυλινδρικές συντεταγµένες z rcosf y rsi f ή z z r y f t ( y/ ) z z (, y, z) καρτεσιανές συντεταγµένες O f r P z y (ρ, φ, z) κυλινδρικές συντεταγµένες Σφαιρικές συντεταγµένες Σχ. 5-4 ή rsi ucosf y rsiusi f z rcosu r y z y f t u cos z y z O f z u r Σχ. 5-4 P y (, y, z) καρτεσιανές συντεταγµένες (r, φ, θ) σφαιρικές συντεταγµένες

4 SECTION Σηµεία Απόσταση δύο σηµείων (Σχ. 5-4) d r r ( ) ( y y ) ( z z ) z z P P ( i, y i, z i ) καρτεσιανές συντεταγµένες του σηµείου P i (i,, ). O y y Απόσταση σηµείου από επίπεδο d A By Cz D A B C Σχ. 5-4 όπου P(, y, z ) είναι το σηµείο και A By Cz D το επίπεδο. Ευθεία Εξισώσεις ευθείας που περνάει από δύο σηµεία P (, y, z ) και P (, y, z ) Τα συνηµίτονα κατεύθυνσης είναι y y y y z z z z y y z l cos, m cos, cos g d d z d όπου α, β, γ οι γωνίες της ευθείας P P µε τους θετικούς ηµιάξονες, y, z και d το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος P P. Είναι cos α cos β cos γ ή l m Οι εξισώσεις της ευθείας γράφονται επίσης y y z z l m ή lt, y y mt, z z t όπου t παράµετρος. Με διανύσµατα οι εξισώσεις της ευθείας γράφονται r r r r κ(r r ) ή r r λ όπου r r και κ και λ παράµετροι.

SECTION 5 Ευθεία από σηµείο και παράλληλη σε διάνυσµα y y z z ή r r vt X Y Z όπου r (, y, z ) είναι το σηµείο και v (X, Y, Z) το παράλληλο διάνυσµα. Ευθεία από σηµείο και κάθετη σε επίπεδο y y z z ή A B C At, y y Bt, z z Ct όπου (, y, z ) το σηµείο και A By Cz D το επίπεδο. Γωνία δύο ευθειών Για τη γωνία ψ µεταξύ δύο ευθειών µε συνηµίτονα κατεύθυνσης l, m, και l, m, ισχύει cosψ l l m m Αν οι παραµετρικές εξισώσεις των ευθειών είναι r r λ, r r λ, τότε ( είναι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων) cosc Απόσταση σηµείου από ευθεία { } [( ) ] / r r r r v d όπου r είναι το σηµείο, r ένα σηµείο της ευθείας και v µοναδιαίο διάνυσµα κατά µήκος της ευθείας. Επίπεδο Γενική εξίσωση A By Cz D ή A r D, όπου A (A, B, C) είναι το κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο. Επίπεδο από τρία σηµεία y y zz y y z z y y z z ή [(r r )(r r )(r r )] όπου ( i, y i, z i ), i,,, είναι οι συντεταγµένες των τριών σηµείων και [c] το τριπλό µικτό γινόµενο τριών διανυσµάτων.

6 SECTION Επίπεδο από τις τοµές µε τους άξονες z y z c Κανονική µορφή της εξίσωσης ενός επιπέδου cosα ycosβ zcosγ d O c P y όπου d είναι η απόσταση του Ο από το επίπεδο και α, β, γ οι γωνίες της κάθετης ΟΡ µε τους θετικούς άξονες O, Oy, Oz. Σχ. 5-44 Μετασχηµατισµοί συντεταγµένων Οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων που ακολουθούν είναι όλοι γραµµικοί. Συνεπώς, ένα οποιοδήποτε πολυώνυµο βαθµού των, y, z παραµένει πολυώνυµο βαθµού των ', y', z' µετά το µετασχηµατισµό. z z' Μεταφορά y y y ή y y y z z z z zz (, y, z) συντεταγµένες ως προς το σύστηµα Ο (', y', z') συντεταγµένες ως προς το σύστηµα Ο' (, y, z ) συντεταγµένες του σηµείου Ο' ως προς το σύστηµα Ο Στροφή ή l ly lz y m my mz z y z l my z y l my z z l my z z' O ' O' Σχ. 5-45 z O ' Σχ. 5-46 όπου (l, m, ), (l, m, ), (l, m, ) είναι τα συνηµίτονα κατεύθυνσης των αξόνων O', Oy', Oz' ως προς το σύστηµα Ο. y y' y y'

SECTION 7 Μεταφορά και στροφή z z' l ly lz y m my mz y O' z y z z O l( ) m( y y) ( zz) ' ή y l( ) m( y y) ( zz) z l m y y z z Σχ. 5-47 (, y, z ) συντεταγµένες του σηµείου Ο' ως προς το σύστηµα Ο. ιαδοχικοί µετασχηµατισµοί ύο ή περισσότεροι γραµµικοί µετασχηµατισµοί (µεταφορές, στροφές ή συνδυασµοί αυτών) ισοδυναµούν µε έναν κατάλληλο γραµµικό µετασχηµατισµό. Επιφάνειες y y' Σφαίρα (Σχ. 5-48) z Εξίσωση επιφάνειας σε καρτεσιανές συντεταγµένες ( ) (y y ) (z z ) R (, y, z ) κέντρο της σφαίρας R ακτίνα της σφαίρας Κάθε τοµή µε επίπεδο που απέχει από το κέντρο λιγότερο από R είναι κύκλος. Ελλειψοειδές (Σχ. 5-49) Εξίσωση επιφάνειας O z Σχ. 5-48 c r y ( ) ( y y) ( z z) c (, y, z ) κέντρο,, c ηµιάξονες O Σχ. 5-49 Κάθε πραγµατική τοµή µε επίπεδο είναι κλειστή δευτεροβάθµια καµπύλη, άρα είναι έλλειψη (µε ειδική περίπτωση τον κύκλο). y

8 SECTION Ελλειπτικός κύλινδρος (Σχ. 5-5) z Για κύλινδρο παράλληλο προς τον άξονα Oz η εξίσωση της επιφάνειας είναι y y όπου, οι ηµιάξονες της ελλειπτικής διατοµής. Κάθε τοµή µε επίπεδο µη παράλληλο προς τον άξονα των z είναι έλλειψη (µε ειδική περίπτωση τον κύκλο). Ελλειπτικός κώνος (Σχ. 5-5) Για κώνο µε άξονα παράλληλο προς τον άξονα Oz η εξίσωση της επιφάνειας είναι y z c Μια τοµή µε επίπεδο είναι έλλειψη (αν είναι κλειστή καµπύλη), υπερβολή (αν έχει δύο τµήµατα) ή παραβολή (αν είναι ανοικτή µε ένα τµήµα). Σχ. 5-5 z c Σχ. 5-5 z y Μονόχωνο υπερβολοειδές (Σχ. 5-5) Εξίσωση επιφάνειας y z c Οι οριζόντιες τοµές είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τοµές (µε επίπεδο της µορφής A By C ) είναι υπερβολές. ίχωνο υπερβολοειδές (Σχ. 5-5) Σχ. 5-5 z y Εξίσωση επιφάνειας z c y c y Οι οριζόντιες τοµές για z > c είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τοµές (µε επίπεδο της µορφής A By C ) είναι υπερβολές. Σχ. 5-5

SECTION 9 Ελλειπτικό παραβολοειδές (Σχ. 5-54) Εξίσωση επιφάνειας y z c Οι τοµές µε επίπεδο (οριζόντιες µε z > ή πλάγιες) είναι ελλείψεις. Οι κατακόρυφες τοµές (µε επίπεδο της µορφής A By C ) είναι παραβολές. z Σχ. 5-54 y Υπερβολικό παραβολοειδές (Σχ. 5-55) Εξίσωση επιφάνειας y z c z y Οι τοµές µε επίπεδο είναι υπερβολές, αν έχουν δύο τµήµατα (π.χ. οριζόντιες τοµές µε z σταθ.) ή παραβολές, αν έχουν ένα τµήµα (π.χ. κατακόρυφες τοµές µε σταθ. ή y σταθ.).. Σχ. 5-55

SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση (αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο στοιχείο του R. Τα D και R ονοµάζονται πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών αντίστοιχα και αποτελούν αναπόσπαστο µέρος του ορισµού της συνάρτησης. Συνήθως τα D και R είναι σύνολα αριθµών (π.χ. ένα ευθύγραµµο τµήµα ή ένα δισδιάστατο χωρίο). Μια συνάρτηση αποδίδεται µε το συµβολισµό f : X Y ή απλούστερα y f(), όπου η ανεξάρτητη µεταβλητή µπορεί να περιστάνει µία ή περισσότερες πραγµατικές ή µιγαδικές µεταβλητές µε y την αντίστοιχη τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής. Η τιµή απεικονίζεται µονοσήµαντα στην τιµή y. Όρια Μια συνάρτηση y f() µιας ανεξάρτητης µεταβλητής έχει όριο το L (ή τείνει στο L) όταν το τείνει στο, αν για οποιοδήποτε θετικό αριθµό ε υπάρχει ένας θετικός αριθµός δ τέτοιος ώστε η < < δ να έπεται την f() L < ε. Γενικά, το όριο συµβολίζεται µε lim f L. Ο ορισµός ισχύει και για ή, εφόσον για οποιοδήποτε θετικό αριθµό ε υπάρχει αριθµός Μ τέτοιος ώστε η > M να έπεται την f() L < ε. Μια συνάρτηση y f() τείνει στο (στο ) όταν το τείνει στο, αν για οποιοδήποτε θετικό (αρνητικό) αριθµό Μ υπάρχει αριθµός δ τέτοιος ώστε η < < δ να έπεται την f() > M (f() < M). Ιδιότητες των ορίων lim[ f g] lim f lim g lim[ f ] lim f lim[ f g] lim flim g lim lim f f [lim g ] g lim g

SECTION Αξιοσηµείωτα όρια / lim lim( ) e. 788 lim c l c lim lim l lim l lim e [ > ] lim si lim t lim sih lim th Απροσδιόριστες µορφές Ο υπολογισµός ορίων οδηγεί µερικές φορές σε εκφράσεις χωρίς σαφή σηµασία, όπως οι /, /,,,,,. Μια τέτοια έκφραση µπορεί να αναχθεί στην / (µε διαίρεση ή λογαρίθµιση) και να υπολογιστεί µε τον ακόλουθο κανόνα του L Hôitl: Έστω ότι οι συναρτήσεις f() και g() είναι παραγωγίσιµες σ ένα ανοικτό διάστηµα (, ) που περιλαµβάνει το και ότι f( ) g( ), αλλά g'() σε κάθε σηµείο του (, ) εκτός ίσως από το. Τότε f lim ( ) f lim ( ) g g µε την προϋπόθεση ότι το όριο στο δεξιό µέλος υπάρχει. Το ίδιο ισχύει αν το είναι ή. Παράγωγος Αν y f (), η παράγωγος της y ή της f () ως προς στο σηµείο (, y) ορίζεται µε τη σχέση y f h f f f y lim lim h y f όπου h. Η παράγωγος συµβολίζεται ακόµα µε f'(), dy/d ή df/d. Η παράγωγος µιας συνάρτησης y f () σε ένα σηµείο ισούται µε την εφαπτόµενη της γωνίας φ που σχηµατίζει η εφαπτόµενη ευθεία στο σηµείο αυτό µε τον άξονα, δηλαδή y' tφ. f Σχ. 6-

SECTION Από την ιδιότητα αυτή αλλά και τον ορισµό είναι φανερό ότι η y' εκφράζει ουσιαστικά το ρυθµό µεταβολής της y στο σηµείο. 6. Γενικοί Κανόνες Παραγώγισης Στους παρακάτω τύπους α) u, υ, w είναι συναρτήσεις του, β) c, είναι σταθερές, γ) e.788 είναι η βάση των φυσικών λογαρίθµων, δ) lu είναι ο φυσικός λογάριθµος του u (όπου δεχόµαστε u > ) και όλες οι γωνίες είναι σε ακτίνια. d d c d d ( c) c d d [ ακέραιος ή πραγµατικός] d ( d u ± y ± w ± ) du ± dy ± dw ± d d d d ( d cu ) c du d d ( d u y) ud y y du d d d ( d uw y ) u y dw uw d y yw du d d d d d u y( du / d) u( dy/ d) y y d d u u du d d d d (/ ) d dy d du d dy du du d [παράγωγος σύνθετης συνάρτησης] d / du [παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης]

4 SECTION dy d dy d dy / dt d / dt F/ F/ y [αν η συνάρτηση δίνεται σε παραµετρική µορφή (t), y y(t)] [αν η συνάρτηση y f() δίνεται σε πλεγµένη µορφή F(, y) ] d d u d d e l u e l u d ( yl u) yu du u lu d y d d d y y y y y εύτερη παράγωγος Τρίτη παράγωγος Παράγωγος τάξης d dy d y f y d d d d d y d y f y d d d d d d d y d y f y d d d ( ) 6. Παράγωγοι Στοιχειωδών Συναρτήσεων Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις d si cos d d cos si d d t d cos d cot d si d d si si d d cos cos d si d si

SECTION 5 d cos [ cos ] d d d t < t < d cot [ < cot < ] d [si, cos, t, cot παριστάνουν τους πρωτεύοντες κλαδους.] Εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις d d e d log d e c d d c c l c logc e c, d l d l ( )! d d Υπερβολικές συναρτήσεις d sih cosh d d cosh sih d d d th cosh d coth d sih d sih d

6 SECTION d cosh d cosh >, > cosh <, > d d th < d coth > d 6.4 Μερικές Παράγωγοι Αν f (, y) είναι µια συνάρτηση ανεξάρτητων µεταβλητών και y, η µερική παράγωγος της f (, y) ως προς ορίζεται µε τη σχέση f f y f y lim (, ) (, ) µε y σταθ. Όµοια, η µερική παράγωγος της f (, y) ως προς y ορίζεται µε τη σχέση f f y y f y lim (, ) (, ) µε σταθ. y y Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης µπορούν να ορισθούν ως εξής: f f f f,, y y y f f y y, f f y y Οι δύο προηγούµενες σχέσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα, αν η συνάρτηση και οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς. Στην περίπτωση αυτή δεν έχει σηµασία η σειρά παραγώγισης. Γενικά, η µερική παράγωγος ως προς µια ανεξάρτητη µεταβλητή βρίσκεται µε απλή παραγώγιση ως προς τη µεταβλητή αυτή θεωρώντας τις άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές σαν σταθερές. Το διαφορικό της f (, y) ορίζεται µε τη σχέση df f d f y dy όπου d και dy y. Επέκταση σε συναρτήσεις πολλών µεταβλητών γίνεται εύκολα.

SECTION 7 Κανόνες παραγώγισης Γενικά, για τον υπολογισµό µερικών παραγώγων ισχύουν οι κανόνες παραγώγισης της Παραγ. 6.. Επιπλέον διακρίνουµε τις επόµενες περιπτώσεις: Αν y f(u, υ,..., w), όπου u, υ,..., είναι συναρτήσεις µίας µόνο ανεξάρτητης µεταβλητής, τότε df d f u du d f d f y y d w Αν y f(u, υ,..., w), όπου u, υ,..., είναι συναρτήσεις των ανεξάρτητων µεταβλητών,,...,, τότε f 6.5 ιαφορικά dw d f u f y f w για k,,..., u y w k k k k Αν y f () είναι µια συνάρτηση, για µια αύξηση της ανεξάρτητης µεταβλητής κατά η εξαρτηµένη µεταβλητή αυξάνει κατά y f ( ) f (). Ορίζουµε ιαφορικό της : d ιαφορικό της y: dy f'()d y Είναι f( ) f dy f e e d όπου ε, όταν. Συνεπώς y f'() ε d(u ± υ ± w ) du ± dυ ± dw d(uυ) udυ υdu d u ydu udy y y d(u ) u du d(siu) cosudu d(cosu) siudu

SECTION 7 ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 7. Ορισµοί Μία συνάρτηση f() έχει αόριστο ολοκλήρωµα (ή παράγουσα ή αντιπαράγωγο) F f d στο διάστηµα (, ) αν και µόνο αν υπάρχει µια συνάρηση F() τέτοια ώστε να υπάρχει η παράγωγος F'() και να είναι F'() f(). Αν η F() είναι αόριστο ολοκλήρωµα της f(), τότε και κάθε συνάρτηση της µορφής F() c, όπου c αυθαίρετη σταθερή, είναι αόριστο ολοκλήρωµα της f(). Η f() καλείται ολοκληρωτέα συνάρτηση και η µεταβλητή ολοκλήρωσης. Εφόσον F'() f(), µπορούµε να γράψουµε και την ταυτοτική σχέση 7. Γενικοί Κανόνες F ( ) F ( ) d df d d df f d f f d f d udy uy ydu ( u ± y) d ud ± yd f ( gd ) f( g ) f( g ) ( d ) f ( ) gd f ( ) g f ( ) g f ( ) g fg d } κατά Ολοκλήρωση παράγοντες u y u y d u y y u y u y d l u uy y

SECTION f d f( u) du όπου u g { f ( )} d g u d du du gu f du όπου u f () 7. Μέθοδοι Υπολογισµού Αόριστων Ολοκληρωµάτων Στην πράξη µπορεί ένα ολοκλήρωµα να αναχθεί σε άλλο απλούστερο µε µια αλλαγή της µεταβλητής ολοκλήρωσης ή της ολοκληρωτέας συνάρτησης, δηλαδή µε ένα µετασχηµατισµό του ολοκληρώµατος. Αν η µεταβλητή ολοκλήρωσης εµφανίζεται µε µία συγκεκριµένη παράσταση u στην ολοκληρωτέα συνάρτηση, τότε δοκιµάζουµε ως νέα µεταβλητή ολοκλήρωσης την u. Έτσι έχουµε τις ακόλουθες σχέσεις: f( ) d f( u) du f d f d f µε u uf ( u) du µε u u f ( u ) du µε u c d d d c f u u du ( ) µε u ( cu ) c d Αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση εξαρτάται µόνο από µία παράσταση της µορφής ( ± ) /, τότε δοκιµάζουµε κάποια τριγωνοµετρική συνάρτηση του. f d f ( cos u)cos udu µε siu f d f cosu u du cos µε tu Αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση εξαρτάται µόνο από µία παράσταση της µορφής ( ± ) /, τότε δοκιµάζουµε κάποια υπερβολική συνάρτηση του. f d f( sih u)sih udu µε coshu f d f( cosh u)cosh udu µε sihu

SECTION Αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση περιέχει µόνο e ή l ή si, κτλ. χρησιµοποιούµε την παράσταση αυτή ως νέα µεταβλητή ολοκλήρωσης. Έτσι f u f ( e ) d u du µε u e u f (l ) d f ( u) e du µε u l f si ( d f u udu ) cos µε u si (όµοια για άλλες αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις) Αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση περιέχει µόνο si και cos, χρησιµοποιούµε ως νέα µεταβλητή ολοκλήρωσης την t(/). f(si, cos ) d f u, u du u u u µε u t Οµοια, αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση περιέχει µόνο sih και cosh, χρησιµοποιούµε ως νέα µεταβλητή ολοκλήρωσης την th(/). f(sih, cosh ) d f u, u du u u u µε u th Αν η f() είναι ρητή συνάρτηση του (δηλαδή λόγος δύο πολυωνύµων), µπορεί να αναλυθεί σε άθροισµα πολυωνύµου του και όρων της µορφής c c d k ( ), ( ) και να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωµα ως το άθροισµα των ολοκληρωµάτων αυτών των όρων. Αν η f() περιέχει το σε µια παράσταση της µορφής m ( ) δοκιµάζουµε τις εξής αντικαταστάσεις: Αν (m )/ ακέραιος, θέτουµε u και συνεχίζουµε µε παραγοντική ολοκλήρωση ή θέτουµε u w. Αν (m )/ ακέραιος, θέτουµε u και συνεχίζουµε µε παραγοντική ολοκλήρωση ή θέτουµε u w. Αν ακέραιος, αναπτύσσουµε τη δύναµη. Αν η f() περιέχει την παράσταση ( c) / δοκιµάζουµε την αντικατάσταση u ( )/ 4c /. m

4 SECTION 7.4 Στοιχειώδη Ολοκληρώµατα d, d l, si d cos cos d si t dlcos cot d l si si d si ( sicos ) 4 cos d si ( sicos ) 4 t d t cot d cot ed e d > l,, sih d cosh cosh d sih th d l cosh

SECTION 5 coth d lsih sih sih d (sih cosh ) 4 sih cosh d (sih cosh ) 4 th d th coth d coth d t d l ( ) coth d l ( ) th d d si l ( ) sih d l ( ) d cos >, > d l d l