6. Η κβαντική διεμλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr Σύνοψη Η κβαντική διεμλοκή και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr δεν σχετίζονται άμεσα μεταξύ τους, αοτελούν όμως τη βάση ολλών κβαντικών υολογισμών. Αοτελούν τη βάση και του σουδαιότερου κβαντικού αλγορίθμου, του κβαντικού αλγορίθμου του Shor, τον οοίο θα εριγράψουμε στο εόμενο κεφάλαιο. Προααιτούμενη γνώση Γραμμική άλγεβρα, το ρώτο, δεύτερο, τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο του βιβλίου αυτού. 6. Η κβαντική διεμλοκή Η κβαντική διεμλοκή έχει τις ρίζες της σε ένα άρθρο των lbrt Enstn, ors Podolsky και Nathan Rosn ου δημοσιεύτηκε το 95 (Enstn, Podolsky & Rosn, 95). Σ αυτό είχαν ως στόχο να αοδείξουν ότι η κβαντική μηχανική δεν είναι μία λήρης φυσική θεωρία, αλλά ότι αό την κβαντική εριγραφή της φύσης λείουν κάοιες αράμετροι, οι οοίες αργότερα ονομάστηκαν «κρυμμένες μεταβλητές» (ohm, 95). Ως μοντέλο για την αόδειξή τους οι Enstn, Podolsky και Rosn χρησιμοοίησαν ένα θεωρητικό είραμα στο οοίο δύο κβαντικά συστήματα, αφού αλληλειδράσουν μεταξύ τους αομακρύνονται το ένα αό το άλλο. Τα δύο αυτά κβαντικά συστήματα αραμένουν διασυνδεδεμένα το ένα με το άλλο με έναν άγνωστο μη κλασικό τρόο. Αυτό έχει ως αοτέλεσμα η μέτρηση μίας φυσικής οσότητας του ενός να καθορίζει το αοτέλεσμα της μέτρησης της ίδιας φυσικής οσότητας του άλλου. Το θεωρητικό είραμα ου εριγράφεται στο άρθρο αυτό είναι γνωστό ως «EPR» αό τα αρχικά των ειθέτων των τριών ερευνητών ή ως «αράδοξο EPR». Το αράδοξο EPR ροκάλεσε συζητήσεις, διαμάχες και ολλές ροσάθειες για να αοδειχθεί ότι η κβαντική μηχανική είναι μια λήρης φυσική θεωρία και ότι δεν υάρχουν κρυμμένες μεταβλητές. Η διαμάχη συνεχίστηκε ώσου με άρθρο του, ου δημοσιεύτηκε το 964, ο John ll αέδειξε με τη χρήση ανισοτήτων (ου είναι λέον γνωστές ως «ανισότητες ll») ότι δεν υάρχουν κρυμμένες μεταβλητές και ότι η κβαντική μηχανική είναι μία λήρης φυσική θεωρία (ll, 964). Η ανισότητες ll αοδείχτηκαν αργότερα και ειραματικά (spt, Dalbard & Rogr, 98). Ο Erwn Shrödngr σε άρθρο του ου δημοσιεύτηκε το 95, για να εριγράψει την άγνωστη μη κλασική διασύνδεση μεταξύ δύο κβαντικών συστημάτων τα οοία, αφού αλληλειδράσουν, αομακρύνονται το ένα αό το άλλο, χρησιμοοίησε το Γερμανικό όρο «vrshränkung» ου έχει την έννοια «σταυρώνω (τα χέρια)» (Shrödngr, 95). Ο όρος αοδόθηκε στα Αγγλικά ως «ntanglmnt» και στα Ελληνικά μορεί να αοδοθεί ως «διαλοκή» ή «διεμλοκή». Στο βιβλίο αυτό ο όρος «ntanglmnt» θα αοδίδεται ως «διεμλοκή». Η κβαντική διεμλοκή είναι ίσως η ιο αινιγματική λευρά της κβαντικής μηχανικής και δεν έχει κλασικό ανάλογο. Κάθε χρόνο ολλές δεκάδες άρθρα δημοσιεύονται σε ειστημονικά εριοδικά και εριγράφουν ειστημονικές εργασίες ου έχουν ως στόχο την κατανόηση, το χειρισμό και τον υολογισμό της κβαντικής διεμλοκής. Για τους κβαντικούς υολογιστές η κβαντική διεμλοκή είναι ένας φυσικός όρος, όως η ενέργεια, τον οοίο μορούμε να χρησιμοοιήσουμε για να εκτελέσουμε κβαντικούς υολογισμούς και να ανατύξουμε κβαντικούς αλγορίθμους (Nsn & Chuang, 4). Αυτό ου έχει δηλαδή σημασία, δεν είναι να κατανοήσουμε τη φύση της κβαντικής διεμλοκής (ράγμα ου είναι ίσως αδύνατο), αλλά να μάθουμε να την αράγουμε και να τη χρησιμοοιούμε. Ας ορίσουμε λοιόν την κβαντική διεμλοκή με έναν αλό, αλλά χρήσιμο για εμάς τρόο: Ορισμός: Δύο κβαντικά συστήματα βρίσκονται σε κβαντική διεμλοκή, όταν η κατάστασή τους δεν μορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο των βασικών τους καταστάσεων. Ας θεωρήσουμε ότι τα δύο κβαντικά συστήματα είναι ubts και ας δούμε τι σημαίνει αυτός ο ορισμός. Θεωρούμε δύο ubts το και το ου βρίσκονται στην κατάσταση η οοία δίνεται αό: s s s ( ) (6.) 7 s
Η s μορεί να γραφεί: s ( ) ( ) (6.) s s Δηλαδή, οι καταστάσεις των και είναι: s (6.) s ( ) και η s γράφεται: s s s Δηλαδή, η s μορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων των δύο ubts, οότε τα s και s δεν βρίσκονται σε κβαντική διεμλοκή αλλά σε υέρθεση καταστάσεων. Θεωρούμε άλλα δύο ubts το και το τα οοία βρίσκονται στην κατάστασή ου δίνεται αό: ( ) (6.4) και εξής: Η δεν μορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων των δύο ubts, οότε τα βρίσκονται σε κβαντική διεμλοκή. Η διαφορά μεταξύ της υέρθεσης και της διεμλοκής είναι η Αν μετρήσουμε την κατάσταση του ubt της κατάστασης,θα βρούμε σίγουρα ότι βρίσκεται στην κατάσταση. Μετά τη μέτρηση αυτή, το ubt μορεί να βρίσκεται στην κατάσταση ή με ιθανότητα,5 για την κάθε μία ερίτωση. Δηλαδή, η μέτρηση της κατάστασης του ενός ubt δεν καθορίζει την κατάσταση του άλλου. Αν μετρήσουμε την κατάσταση του ubt της κατάστασης, θα βρούμε με ιθανότητα,5 ότι βρίσκεται στην κατάσταση κατάσταση, τότε, αν μετρήσουμε την κατάσταση του ubt και με ιθανότητα,5 ότι βρίσκεται στην κατάσταση. Αν το βρούμε την, θα βρούμε σίγουρα ότι βρίσκεται και αυτό στην κατάσταση. Αν βρούμε την κατάσταση, τότε, αν μετρήσουμε την κατάσταση του ubt s, θα βρούμε σίγουρα ότι βρίσκεται και αυτό στην κατάσταση. Δηλαδή, αφού τα δύο ubts βρίσκονται σε διεμλοκή, η μέτρηση της κατάστασης του ενός ubt καθορίζει την κατάσταση του άλλου. s s 8
Δώσαμε και εξηγήσαμε τον ορισμό της κβαντικής διεμλοκής. Ας δούμε τώρα ώς μορούμε να φέρουμε δύο ubts σε διεμλοκή, δηλαδή ώς να αράγουμε κβαντική διεμλοκή (Hss, ). Για να το ετύχουμε αυτό χρειαζόμαστε δύο μόνο κβαντικές ύλες, την Η και την CNOT. Το κβαντικό κύκλωμα για την αραγωγή διεμλοκής φαίνεται στο Σχήμα 6-(α). (α) (β) Σχήμα 6-. (α) Το κβαντικό κύκλωμα για την κβαντική διεμλοκή δύο ubts. (β) Η ροσομοίωση της διεμλοκής αό τον ροσομοιωτή QCS. Ας κάνουμε τον κβαντικό υολογισμό ου εριγράφεται αό το κβαντικό κύκλωμα του Σχήματος 6-: 9
H I CNOT (6.5) Η ροσομοίωση του κβαντικού υολογισμού με τον ροσομοιωτή QCS φαίνεται στο Σχήμα 6-(β). Μορούμε να φέρουμε δύο ubts σε τέσσερις διαφορετικές καταστάσεις κβαντικής διεμλοκής, μία για κάθε έναν αό τους τέσσερις δυνατούς συνδυασμούς των αρχικών τους καταστάσεων: E E E E (6.6) Το βέλος με το Ε συμβολίζει τη δράση του κυκλώματος του Σχήματος 6-(α) ου φέρνει δύο ubts σε κβαντική διεμλοκή. Οι τέσσερις καταστάσεις κβαντικής διεμλοκής της (6.6) ονομάζονται «καταστάσεις ll» ή «ζεύγη EPR».
Μορούμε να φέρουμε σε κατάσταση κβαντικής διεμλοκής ερισσότερες καταστάσεις των ubts με τη χρήση κβαντικών υλών Η και CNOT. Στο Σχήμα 6-(α) φαίνεται ένα κβαντικό κύκλωμα ου φέρνει σε κατάσταση κβαντικής διεμλοκής τρία ubts. Ο κβαντικός υολογισμός ου εριγράφεται αό αυτό το κύκλωμα είναι: (6.7) ( I CNOT )( CNOT I)( H I I) ( ) Η ροσομοίωση του κβαντικού υολογισμού με τον ροσομοιωτή QCS φαίνεται στο Σχήμα 6-(β) (Karafyllds, 4). Μορούμε να φέρουμε τρία ubts σε οκτώ διαφορετικές καταστάσεις κβαντικής διεμλοκής, μία για κάθε έναν αό τους οκτώ δυνατούς συνδυασμούς των αρχικών τους καταστάσεων. Οι καταστάσεις κβαντικής διεμλοκής τριών ubts είναι γνωστές και ως «καταστάσεις GHZ» αό τα αρχικά των ονομάτων των ερευνητών Grnbrgr, Horn και Zlngr. Στο Σχήμα 6- φαίνεται το κβαντικό κύκλωμα με το οοίο μορούμε να φέρουμε σε κατάσταση κβαντικής διεμλοκής ερισσότερα αό τρία ubts. (α) (β) Σχήμα 6-. (α) Το κβαντικό κύκλωμα για την κβαντική διεμλοκή τριών ubts. (β) Η ροσομοίωση της διεμλοκής αό τον ροσομοιωτή QCS.
Σχήμα 6-. Το κβαντικό κύκλωμα για την κβαντική διεμλοκή οοιουδήοτε αριθμού ubts. Ορίσαμε την κβαντική διεμλοκή και μάθαμε ώς να φέρνουμε ubts σε κατάσταση κβαντικής διεμλοκής. Τη χρήση της κβαντικής διεμλοκής θα τη δούμε στο εόμενο κεφάλαιο, όου θα εριγράψουμε τον κβαντικό αλγόριθμο του Shor. 6. Ο τελεστής υκνότητας Όως ξέρουμε, η κατάσταση ενός ubt, ενός κβαντικού καταχωρητή και γενικά ενός κβαντικού συστήματος εριγράφεται αό το διάνυσμα κατάστασης. Μορούμε όμως να εριγράψουμε την κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος και με έναν άλλο τρόο: χρησιμοοιώντας τον τελεστή υκνότητας, ου συμβολίζεται με: ρ. Στην Κβαντική Υολογιστική ο τελεστής υκνότητας χρησιμοοιείται για τον υολογισμό της διεμλοκής μεταξύ των ubts και μεταξύ των κβαντικών καταχωρητών (Nsn & Chuang, 4). Ο τελεστής υκνότητας χρησιμοοιείται είσης και για την εριγραφή συστημάτων των οοίων η κατάσταση δεν είναι λήρως γνωστή, καθώς και για την εριγραφή μικτών συστημάτων για τα οοία είναι στατιστικά γνωστές όλες ή κάοιες αό τις ιθανότητες να βρίσκεται το σύστημα σε μία κατάσταση, η οοία ανήκει σε ένα σύνολο ιθανών καταστάσεων του συστήματος. Ας υοθέσουμε για αράδειγμα ότι ένα ubt μορεί να βρίσκεται σε μία αό τις αρακάτω καταστάσεις: (6.8)
Δεν γνωρίζουμε σε οια αό τις δύο καταστάσεις βρίσκεται, αλλά γνωρίζουμε τις ιθανότητες ου έχει να βρίσκεται σε κάθε μία αό αυτές. Γνωρίζουμε ότι βρίσκεται στην κατάσταση με ιθανότητα p /, και στην κατάσταση με ιθανότητα p /. Δηλαδή αυτό το ubt βρίσκεται σε μία μικτή (mxd) κατάσταση ου αοτελείται αό το σύνολο καθαρών (pur) καταστάσεων {, }. Η μικτή αυτή κατάσταση, είναι ένα στατιστικό μίγμα των καθαρών (pur) καταστάσεων και, και εριγράφεται λήρως αό τον τελεστή υκνότητας, ρ, ου ορίζεται ως: ρ p p p (6.9) Γενικά, ένα κβαντικό σύστημα ου έχει ιθανότητες p, p,, p n να βρίσκεται σε μία αό τις καθαρές καταστάσεις,,, n, βρίσκεται σε μία μικτή κατάσταση ου εριγράφεται αό τον τελεστή υκνότητας: ρ n p (6.) Μορούμε να ορίσουμε τον τελεστή υκνότητας και για τις εριτώσεις όου ένα ubt ή ένας κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται σε μία καθαρή κατάσταση. Μορούμε τότε να ούμε ότι όλες οι ιθανότητες της (6.) είναι μηδέν εκτός αό εκείνη ου ολλαλασιάζει την καθαρή κατάσταση, στην οοία βρίσκεται το ubt ή ο κβαντικός καταχωρητής. Η ιθανότητα αυτή είναι ίση με. Τότε ο τελεστής υκνότητας, ρ, γίνεται: ρ (6.) Ο τελεστής υκνότητας εριγράφεται αό έναν ίνακα, ο οοίος ονομάζεται ίνακας υκνότητας. Για αράδειγμα, ο ίνακας υκνότητας του τελεστή της (6.9) είναι: ρ p p / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 (6.) Αν ένα ubt βρίσκεται στην καθαρή κατάσταση: α β (6.) Ο ίνακας υκνότητας για το ubt αυτό δίνεται αό:
* α α αβ * * ρ α β * β βα β (6.4) Παρακάτω εριγράφονται χωρίς αόδειξη οι οιο σημαντικές ιδιότητες του τελεστή και του ίνακα υκνότητας (Nsn & Chuang, 4): Ο τελεστής υκνότητας είναι Ερμιτιανός: ρ ρ Το ίχνος ενός ίνακα υκνότητας είναι άντα ίσο με : Tr( ρ ) Αν η κατάσταση είναι μικτή τότε: Tr( ρ ) < Αν η κατάσταση είναι καθαρή τότε: Tr( ρ ) Για κάθε ιδιοτιμή, λ, του ίνακα υκνότητας ισχύει: λ Ο τελεστής υκνότητας χρησιμοοιείται και για την εριγραφή κβαντικών υοσυστημάτων ου είναι μέρη ενός κβαντικού συστήματος. Μορεί δηλαδή να εριγράψει την κατάσταση ενός ubt ου είναι μέρος ενός κβαντικού καταχωρητή των δύο ubts. Έστω ένα κβαντικό σύστημα ου αοτελείται αό δύο υοσυστήματα, το Α και το Β, για το οοίο είναι γνωστός ο τελεστής υκνότητας του συστήματος ρ ΑΒ. Μορούμε να υολογίσουμε τον τελεστή υκνότητας του υοσυστήματος Α, τον ρ Α, ως εξής: ( ρ ) ρ Α Tr (6.5) όου Tr είναι το μερικό ίχνος στο υοσύστημα Β και δίνεται αό: Tr ρ Tr a a b b a a Tr b b a a b b (6.6) Στην (6.6) οι a και a είναι οι βασικές καταστάσεις του υοσυστήματος Α και οι b και b είναι οι βασικές καταστάσεις του υοσυστήματος. Με όμοιο τρόο μορούμε να υολογίσουμε τον τελεστή υκνότητας του υοσυστήματος Β. Το αρακάτω αράδειγμα θα αοσαφηνίσει τη χρήση του μερικού ίχνους. Παράδειγμα 6. Ένας κβαντικός καταχωρητής των δύο ubts βρίσκεται στην κατάσταση: ΑΒ ( ) Ο ίνακας υκνότητας του ubt δίνεται αό: ( ρ ) Tr (( )) (( ) ) Α ρ Tr Tr( ) ( Tr( ) Tr( ) Tr( ) Tr( ) ) (( ) ( ) ( ) ( )) Λαμβάνοντας υόψη ότι οι βασικές καταστάσεις είναι ορθογώνιες έχουμε: 4
ρ Α ( ) Ο αντίστοιχος ίνακας υκνότητας είναι: ρ Α Δηλαδή, ενώ τα δύο ubts του κβαντικού καταχωρητή βρίσκονται σε κατάσταση διεμλοκής το ubt ( ) Tr ρ <. βρίσκεται σε μία μικτή κατάσταση, διότι 6. Εντροία von Numann και υολογισμός της διεμλοκής Έχουμε ήδη μάθει ώς μορούμε να φέρουμε σε κατάσταση διεμλοκής δύο ή ερισσότερα ubts. Η αραγωγή, διαχείριση και ο υολογισμός της διεμλοκής αοτελούν μεγάλες ροκλήσεις για την Κβαντική Υολογιστική. Για τον λόγο αυτό έχουν ανατυχθεί θεωρητικά εργαλεία ου μας βοηθούν να βρούμε αν δύο ubts ή δύο κβαντικοί καταχωρητές βρίσκονται σε κατάσταση διεμλοκής ή όχι και να υολογίσουμε την «οσότητα» της διεμλοκής τους. To σημαντικότερο θεωρητικό εργαλείο για τον υολογισμό της διεμλοκής είναι η εντροία von Numann. Για κάθε κβαντικό σύστημα ου αοτελείται αό υοσυστήματα, η διεμλοκή του συστήματος ροσδιορίζεται αό την εντροία von Numann. Η μονάδα «μέτρησης» της διεμλοκής είναι το ntangld bt το οοίο για συντομία αναφέρεται ως bt. Όως θα δούμε αμέσως αρακάτω η οσότητα της διεμλοκής είναι ένας ραγματικός αριθμός. Δηλαδή η οσότητα της διεμλοκής μορεί να είναι ίση με έναν μη ακέραιο αριθμό bts (rylnsk & Goong, ). Στους κβαντικούς υολογισμούς οι κβαντικοί καταχωρητές βρίσκονται (σχεδόν άντα) σε καθαρές καταστάσεις, στις οοίες τα ubts τους βρίσκονται σε υέρθεση ή διεμλοκή. Θεωρούμε ένα κβαντικό σύστημα (έναν κβαντικό καταχωρητή) ου αοτελείται αό δύο υοσυστήματα, τα Α και Β. Τα υοσυστήματα αυτά μορεί να είναι ubts ή δύο μικρότεροι κβαντικοί καταχωρητές. Ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται στην καθαρή κατάσταση διεμλοκής ψ η οοία δεν μορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων των δύο υοσυστημάτων: ψ ψ ψ (6.7) αό: Η διεμλοκή μίας καθαρής κατάστασης ψ μετριέται αό την εντροία της διεμλοκής, Ε, ου δίνεται E ( ψ ) S( ρ ) S( ρ ) (6.8) Όου S ( ρ) είναι η εντροία von Numann. Δηλαδή η οσότητα της διεμλοκής του συστήματος είναι ίση με την εντροία von Numann οοιουδήοτε αό τα δύο υοσυστήματα. S S ( ρ ) Tr ( ρ log ρ ) ( ρ ) Tr ( ρ log ρ ) (6.9) όου ρ και ρ είναι οι ίνακες υκνότητας των υοσυστημάτων, ου υολογίζονται με τη χρήση του μερικού ίχνους: 5
ρ ρ Tr Tr ( ψ ψ ) ( ψ ψ ) (6.) ως εξής: Η εντροία von Numann μορεί εύκολα να υολογιστεί αό τις ιδιοτιμές { λ } του ίνακα υκνότητας S Tr ( ρ ρ) ρ λ log log λ (6.) Όως είαμε, η διεμλοκή Ε μετριέται σε bts και όως φαίνεται αό την αραάνω εξίσωση, μορεί να είναι και μη ακέραιος αριθμός. Σχήμα 6-4. Η μεταβολή της διεμλοκής κατά τους κβαντικούς υολογισμούς: αριστερά του Σχήματος 6- και δεξιά του Σχήματος 6-. Ο ροσομοιωτής κβαντικού υολογιστή QCS, υολογίζει τη διεμλοκή σε κάθε βήμα του κβαντικού υολογισμού. Στα αριστερά κα στα δεξιά του Σχήματος 6-4 φαίνεται η μεταβολή της διεμλοκής κατά τους κβαντικούς υολογισμούς των Σχημάτων 6- και 6- αντίστοιχα. Στο άνω τμήμα του Σχήματος 6-5 φαίνεται το κβαντικό κύκλωμα ενός κβαντικού υολογισμού, στο μεσαίο η ροσομοίωση του υολογισμού και στο κάτω η μεταβολή της διεμλοκής, όως αυτά υολογίστηκαν με χρήση του QCS. 6.4 Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr είναι ένας ορθομοναδιαίος τελεστής του χώρου Hlbrt. Αοτελεί τη βάση για αρκετούς κβαντικούς αλγορίθμους, δρα σε κβαντικούς καταχωρητές μεταβάλλοντας τα λάτη ιθανότητας και τις φάσεις των καταστάσεών τους, αοκαλύτει την εριοδικότητα συναρτήσεων και ροκαλεί αλληλειδράσεις μεταξύ ubts και μεταξύ κβαντικών καταχωρητών (Karafyllds, ). Παρακάτω θα ορίσουμε τον κβαντικό μετασχηματισμό Fourr. 6
Σχήμα 6-5. Στο άνω τμήμα του σχήματος φαίνεται το κβαντικό κύκλωμα ενός κβαντικού υολογισμού, στο μεσαίο η ροσομοίωση του υολογισμού και στο κάτω η μεταβολή της διεμλοκής, όως αυτά υολογίστηκαν με χρήση του QCS. 7
Θεωρούμε έναν κβαντικό καταχωρητή ου αοτελείται αό n ubts. Όως γνωρίζουμε, οι βασικές καταστάσεις του στη δεκαδική ανααράσταση είναι: n,,, a, N, N όου N (6.) Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr της τυχαίας βασικής κατάστασης a δίνεται αό: N a N a (6.) N όου το (a ) στον εκθέτη είναι ο ολλαλασιασμός των δύο δεκαδικών αριθμών a και. Εκτός αό τις βασικές καταστάσεις, ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr μορεί να δράσει και σε υερθέσεις των βασικών καταστάσεων ενός κβαντικού καταχωρητή. Θεωρούμε την υέρθεση βασικών καταστάσεων: x x x x a x N x a (6.4) N a N a a Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr της υέρθεσης αυτής δίνεται αό: N N N a N N a a a N a N x a x y (6.5) όου το y, είναι ο κλασικός μετασχηματισμός Fourr του x a και δίνεται αό: N a a N y x (6.6) a Για να καταλάβουμε καλύτερα τη δράση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr θα δούμε τρία αραδείγματα. Παράδειγμα 6. Ποια είναι η δράση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr σε ένα ubt; Ας υοθέσουμε ότι το ubt βρίσκεται στην κατάσταση. Τότε : Αν το ubt βρίσκεται στην κατάσταση, τότε: N ( ) ( ) ( ) Δηλαδή ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr δρα σε ένα ubt όως η ύλη H. Για το λόγο αυτό η ύλη Hadamard αναφέρεται και ως «μετασχηματισμός Hadamard». 8
9 Παράδειγμα 6. Στο αράδειγμα αυτό θα δούμε τη δράση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr σε έναν κβαντικό καταχωρητή ου αοτελείται αό δύο ubts και βρίσκεται στην κατάσταση ου αντιστοιχεί στο δεκαδικό : 4 4 Αν ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται στην κατάσταση, τότε: 4 4 Παράδειγμα 6.4 Στο αράδειγμα αυτό θα δούμε τη δράση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr σε έναν κβαντικό καταχωρητή ου αοτελείται αό τρία ubts και βρίσκεται στην κατάσταση ου αντιστοιχεί στο δεκαδικό : 7 6 5 4 8 7 6 5 4 8 8 7 5 7 8 Δηλαδή ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr μετασχηματίζει μία βασική κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή σε υέρθεσή όλων των βασικών καταστάσεων, όου όλες οι βασικές καταστάσεις έχουν το ίδιο λάτος ιθανότητας αλλά διαφορετικές φάσεις. Ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr είναι ένας ορθομοναδιαίος τελεστής ου δρα στα διανύσματα καταστάσεως των ubts και των κβαντικών καταχωρητών. Η (6.) μορεί να γραφεί και ως εξής: N a a N ω (6.7) όου : N ω (6.8) Μετά αό αυτό ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr των βασικών καταστάσεων ενός κβαντικού καταχωρητή γράφεται ως εξής:
( Ν Ν ) ( Ν) ( ω ω ω ω Ν ) Ν Ν Ν 4 6 ( Ν) ( ω ω ω ω Ν ) 6 9 ( Ν) ( ω ω ω ω Ν ) ( Ν) ( Ν) ( Ν) ( Ν)( Ν) ( ω ω ω ω ) Ν Ν Ν (6.9) Οι εξισώσεις (6.9) μορούν να γραφούν και με μορφή ινάκων: ( Ν) ω ω ω ω 4 6 ( Ν ) ω ω ω ω 6 9 ( Ν) ω ω ω ω Ν ( Ν) ( Ν) ( Ν) ( Ν)( Ν) ω ω ω ω Ν (6.) Αό (6.) ροκύτει ότι ο ίνακας ου εριγράφει τον ορθομοναδιαίο τελεστή του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr, και συμβολίζεται με QFT και είναι o: QFT ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ( Ν) ( Ν ) 4 6 ω ω ω ω 6 9 ( Ν) ( Ν) ( Ν) ( Ν) ( Ν)( Ν) (6.) Όως κάθε ορθομοναδιαίος τελεστής, έτσι και ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr εριγράφεται αό ένα κβαντικό κύκλωμα. Για να βρούμε το κύκλωμα αυτό θα γράψουμε τον κβαντικό μετασχηματισμό Fourr με έναν διαφορετικό τρόο. Θεωρούμε έναν κβαντικό καταχωρητή με n ubts, τα οοία αριθμούμε αό έως n. Γνωρίζουμε ότι οι βασικές του καταστάσεις έχουν την αρακάτω μορφή: x x x x x x x x x x x (6.) j n j n Η κατάσταση x x του ubt j μορεί να είναι ή. Αν ο κβαντικός καταχωρητής έχει μόνο ένα ubt, το j, τότε ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr είναι:
x x (6.) Αν x, τότε : ( ) (6.4) Αν x, τότε : ( ) ( ) (6.5) Αν ο κβαντικός καταχωρητής έχει δύο ubts, τα x x, τότε ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr μορεί να γραφεί ως εξής: x x x 4 x x (6.6) Θα εφαρμόσουμε την (6.6) στην ερίτωση ου η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι η όως στη δεύτερη ερίτωση του Παραδείγματος 6.: 4 / ( ) ( ) / / ( ) ( ) (6.7) Θα χρησιμοοιήσουμε τον κλασματικό δυαδικό συμβολισμό: xk k (6.8) m [. x x x xm] Με τον συμβολισμό αυτό : k [. x ] ( Προσοχή εδώ m ) [. x x ] x x x (6.9) Χρησιμοοιώντας τον συμβολισμό αυτό η (6.6) γράφεται:
[ ] (. x [ ] ). x x x x (6.4) Ακολουθώντας αυτόν τον συμβολισμό, ο κβαντικός μετασχηματισμός Fourr για τη γενική ερίτωση ενός κβαντικού καταχωρητή με n ubts γράφεται: [. xn] [. xn xn] x x x j xn N. xn j xn j xn j xn [. x x x xn] ( ) (6.4) Αό την (6.4) φαίνεται ότι το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr θα εριλαμβάνει ύλες Hadamard ου θα φέρνουν τα ubts σε υερθέσεις των βασικών καταστάσεων και αό ύλες ελεγχόμενης μετατόισης φάσης ου θα συνεισφέρουν τους εκθετικούς όρους. Το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr φαίνεται στο Σχήμα 6-6. Στο κύκλωμα αυτό η ελεγχόμενη μετατόιση φάσης, Φκ, δίνεται αό: Φ k k (6.4) Σχήμα 6-6. Το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr. Το αοτέλεσμα του κβαντικού υολογισμού του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr είναι το τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων στα δεξιά (στην «έξοδο») του κυκλώματος. Η σειρά των όρων του τανυστικού αυτού γινομένου θα ρέει να τακτοοιηθεί για να υάρχει αντιστοιχία με τις αρχικές καταστάσεις. Παράδειγμα 6.5 Το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr των καταστάσεων ενός κβαντικού καταχωρητή με δύο ubts x x φαίνεται στο αρακάτω σχήμα:
Σχήμα 6-7. Το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr για έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο ubts. Ο ίνακας του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr είναι: QFT ω ω ω 4 6 ω ω ω 6 9 ω ω ω Βιβλιογραφία spt., Dalbard J., & Rogr G., Exprmntal tst of ll s nualts usng tm-varyng analyzrs, Physal Rvw Lttrs, vol. 49, pp. 84-87, 98. ll J. S., On th Enstn-Podolsky-Rosn paradox, Physs, vol., pp. 95-, 964. ohm D. suggstd ntrprtaton of th uantum thory n trms of Hddn varabls, Physal Rvw, vol. 85, pp. 66-79, 95. rylnsk R. K., & Goong Ch. (Eds), Mathmats of uantum omputaton, Chapman and Hall/CRC,. Enstn., Podolsky., & Rosn N., Can uantum-mhanal dsrpton of physal ralty b onsdrd omplt?, Physal Rvw, vol. 47, pp. 777-78, 95. Hss, D. (Ed.), Fundamntals of uantum nformaton, Sprngr,. Karafyllds, Ι.G., Vsualzaton of th uantum Fourr transform usng a uantum omputr smulator, Quantum Informaton Prossng, vol., pp. 7-88,. Karafyllds, I. G., Smulaton of ntanglmnt gnraton and varaton n uantum omputaton, Journal of Computatonal Physs, vol., pp. 8-97, 4. Nsn M.., & Chuang I. L., Quantum omputaton and nformaton, Cambrdg Unvrsty Prss, 4. Shrödngr E., Probablty rlatons btwn sparatd systms, Prodngs of th Cambrdg Phlosophal Soty, vol., pp. 555-56, 95. Ασκήσεις
Άσκηση 6. Να ειβεβαιώσετε την αραγωγή των καταστάσεων ll: E ( ) E ( ) E ( ) εκτελώντας τους κβαντικούς υολογισμούς και χρησιμοοιώντας τον ροσομοιωτή QCS. Άσκηση 6. Να δείξετε ότι η αρακάτω κατάσταση δεν είναι κατάσταση κβαντικής διεμλοκής. ( ) Άσκηση 6. Να δείξετε ότι η αρακάτω κατάσταση είναι κατάσταση κβαντικής διεμλοκής. ( ) Άσκηση 6.4 Να χρησιμοοιήσετε τον ροσομοιωτή QCS, για να αράγετε καταστάσεις GHZ, όταν οι αρχικές καταστάσεις των ubts είναι και. Άσκηση 6.5 Να χρησιμοοιήσετε τον ροσομοιωτή QCS, για να αράγετε καταστάσεις κβαντικής διεμλοκής τεσσάρων ubts, όταν οι αρχικές τους καταστάσεις είναι και. Άσκηση 6.6 Δίνεται η κατάσταση ενός ubt: φ snϑ osϑ. Να βρείτε τον ίνακα υκνότητας, να αοδείξετε ότι είναι Ερμιτιανός και να υολογίσετε το ίχνος του. 4
Άσκηση 6.7 Δίνονται οι αρακάτω καταστάσεις δύο ubts: ( ) Να βρείτε την κατάσταση: καθαρή., να υολογίσετε τον ίνακα υκνότητας και να βρείτε αν είναι μικτή ή Άσκηση 6.8 Δίνονται οι αρακάτω καταστάσεις δύο ubts: ( ) Οι δύο αυτές καταστάσεις αοτελούν μία μικτή κατάσταση με p p,5. Να υολογίσετε την εντροία von Numann της μικτής κατάστασης. Άσκηση 6.9 Να υολογίσετε τη δράση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr σε έναν κβαντικό καταχωρητή ου αοτελείται αό δύο ubts και βρίσκεται στην κατάσταση. Άσκηση 6. Να υολογίσετε τη δράση του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr σε έναν κβαντικό καταχωρητή ου αοτελείται αό τρία ubts και βρίσκεται στην κατάσταση. Άσκηση 6. Να σχεδιάσετε το κβαντικό κύκλωμα του κβαντικού μετασχηματισμού Fourr των καταστάσεων ενός κβαντικού καταχωρητή με τρία ubts, να γράψετε τον ίνακα και βρείτε το αοτέλεσμα του κβαντικού υολογισμού. 5