Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων (γέφυρα μακροσκοπικών και μικροσκοπικών ποσοτήτων) Εμπειρικές σχέσεις Boyle, Gay-Lussac, Charles, υπόθεση Avogadro «όταν δυο ή περισσότερα αέρια έχουν τα ίδια V, P και Τ περιέχουν τον ίδιο αριθμό ατόμων ή μορίων» 1 mol N A (=6.0x10 3 άτομα) Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
Θερμική κίνηση Brown (το παρακάτω παράδειγμα δεν αφορά σε ιδανικό αέριο)
Παραδοχές Μονοατομικό αδρανές αέριο Τεράστιος αριθμός μορίων (~10 3 μόρια/mol) Μικρά μόρια αμελητέου όγκου Μόρια σε συνεχή άτακτη κίνηση Ελαστικές συγκρούσεις Ομαλή κίνηση μεταξύ συγκρούσεων Απουσία έλξεων/απώσεων μεταξύ μορίων Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
N: αριθμός μορίων, m: μοριακή μάζα (μάζα ενός μορίου) m total : μάζα δείγματος Μ: γραμμομοριακή μάζα (μάζα 1 γραμμομορίου (1mol)) M(He)=0.004 kg/mol M(Ne)=0.0 kg/mol M(O )=0.03 kg/mol M(N )=0.08 kg/mol M(αέρα)~0.09 kg/mol n N total A m m total N M mn A
Υπολογισμός της πίεσης Μεταβολή της ορμής ανά κρούση Δύναμη που ασκεί ένα μόριο στα τοιχώματα Α και Α Έστω κρούσεις μόνο με τα τοιχώματα dp m ( m ) m F 1, x x x x x x 4 x x dp m m dt dt l (dt=l/υ x ) Δύναμη που ασκεί ένα μόριο σε όλα τα τοιχώματα F 1 m x y z m m m l l l l Δύναμη που ασκούν όλα τα μόρια Πίεση που εξασκούν τα μόρια F N P mn 1... mn F N A l N l <υ >: μέση τετραγωνική ταχύτητα mn 3V (1) Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
Υπολογισμός της θερμοκρασίας Αρχή ισοκατανομής της ενέργειας: «κάθε βαθμός ελευθερίας κίνησης συνδέεται με ενέργεια k B T/» 1 1 m 3 k T m 3k B () Από (1)+() και } PV N nn Nk T A B A PV nn k T nrt B Παγκόσμια σταθερά των αερίων: 3 1 3 R NAkB 6.03 10 ( mol ) 1.38110 ( J / K) 8.314 J / Kmol Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
Μια εφαρμογή: N. Boyle ιδανικών αερίων Γ. Ζαρδαλίδης, Θ. Κουκούλης
Μια πρόβλεψη της κινητικής θεωρίας PV PV nrt Nm 3 } Για 1 mol αερίου: P P RT Nm 3 (3) (4) από (3) και (4): RT N Am M 3 3 3RT M Θεωρητικά, μέση ταχύτητα των μορίων με ένα θερμόμετρο! Π.χ. He σε θ=7 0 C (T=300.15 K) (M=0.004 kg/mol), μέση ταχύτητα 1370 m/s Ne σε θ=7 0 C (T=300.15 K) (M=0.0 kg/mol), μέση ταχύτητα 610 m/s Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
Μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων Παρατήρηση: Τα μόρια έχουν υψηλές ταχύτητες αλλά απομακρύνονται αργά!! Απ. : Λόγω διαδοχικών κρούσεων μεταξύ τους (αν τα μόρια ήταν σημεία δεν θα συγκρούονταν μεταξύ τους) Μέση ελεύθερη διαδρομή λ: N/V: πυκνότητα μορίων, σ: μοριακή διάμετρος Σύγκρουση για r=σ σ σ Όγκος κυλίνδρου: Αριθμός μορίων στον κύλινδρο: 1 1 ~, ~ N V 1 V s t t V N N Αριθμός συγκρούσεων στον κύλινδρο: t V Μήκος σε χρ. Δt t 1 Μέση ελεύθερη διαδρομή = Αριθμ. συγκρ. σε Δt N t V Α st N V Σε χρόνο Δt το μόριο Α σαρώνει κύλινδρο μήκους Δs και ακτίνας σ. N V
Μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων λ αέρα στην επιφάνεια της θάλασσας~0.1 μm λ αέρα σε ύψος 100 km ~ 0 cm λ αέρα σε ύψος 300 km ~ 0 km
Κατανομή μοριακών ταχυτήτων Maxwell-Boltzmann Κατανομή ταχυτήτων σε 1-διεύθυνση (πυκνότητα πιθανότητας) ( ) x (,, ) d d d ( ) ( ) ( ) d d d x y z x y z x y z x y z m kt B m kt B 3/ 1/ e m x /k T Κατανομή ταχυτήτων σε 3-διευθύνσεις (θεώρημα σύνθετης πιθανότητας: η σύνθετη πιθανότητα είναι το γινόμενο των μερικών πιθανοτήτων) m /kbt e d xd yd z B (συμμετρική κατανομή) φ υ x Κατανομή μοριακών ταχυτήτων σε 1-διεύθυνση x y z Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
Απλοποίηση με χρήση πολικών συντεταγμένων Στοιχειώδης όγκος σε καρτεσιανές συντεταγμένες = dxdydz Στοιχειώδης όγκος σε πολικές συντεταγμένες = (rημθdφ)(rdθ)dr =r ημθ dφdθdr r x y z xr y r z r dx dy dz r dr d d r, x, y z x y, z m kt B 3/ m /kbt ( ) e d d d Θερμοδυναμική Γ. Φλούδας
Εύρεση πιθανότητας για ταχύτητες μεταξύ υ και υ+dυ 3/ m m /kbt d e d d d ( ) kt 0 0 B m kt B m kt B 3/ m /k T 3/ m 4 kt B B e d d d e m /k T 3/ m /kbt e d B 0 0 d Μη-συμμετρική κατανομή 1 ( x) dx x a Κατανομή μοριακών ταχυτήτων MB: 3/ M M / RT ( ) 4 e RT
Κατανομή μοριακών ταχυτήτων Maxwell-Boltzmann φ(υ) 3/ M M / RT ( ) 4 e RT υ x 10 - (m/s)
Εύρεση της μέσης ταχύτητας <υ>, της μέσης τετραγωνικής ταχύτητας <υ > 1/ και της πιθανότερης ταχύτητας υ π 0 0 3/ M / RT d e d ( ) 4 RT M a 4 RT 3/ RT M 0 3 bx x e 3/ M RT 1 4 RT M dx 3 bx dx xe 8RT M 0 1 b 3/ M / RT ( ) d 4 e d RT 0 0 dφ/dυ=0 RT M n 1 n bx dx xe n1 0 b 1/ 3RT M
Σχέση των τριών ταχυτήτων RT M 8RT M φ(υ) 1/ 3RT M υ x 10 - (m/s)
Ασκήσεις [1] Να βρεθεί ο αριθμός των ατόμων του αέρα σε ένα κυβικό μικρόμετρο (κανονικές συνθήκες και ιδανική συμπεριφορά) (Τ=300 Κ και P=1 atm) (1atm=1.01x10 5 Ν/m =1.01x10 5 Pa). [] Να υπολογισθεί η απόσταση των ατόμων ενός ιδανικού αερίου σε κανονικές συνθήκες (Τ=300 Κ και P=1 atm) (1atm=1.01x10 5 Ν/m =1.01x10 5 Pa). [3] Να βρεθεί η μέση ελεύθερη διαδρομή μορίων οξυγόνου σε κανονικές συνθήκες θερμοκρασίας (Τ=300 Κ) και πίεσης (P=1 atm) και ιδανική συμπεριφορά (μοριακή διάμετρος=.9å) (1atm=1.01x10 5 Ν/m =1.01x10 5 Pa). [4] Στον παρακάτω πίνακα η πρώτη σειρά δίνει την πίεση ενός αερίου σε θερμόμετρο αερίου σταθερού όγκου όταν το αέριο περιβάλλεται από μια συσκευή νερού στο τριπλό σημείο. Η δεύτερη σειρά δίνει την πίεση του ίδιου αερίου όταν το θερμόμετρο αερίου σταθερού όγκου περιβάλλει ένα υλικό άγνωστης θερμοκρασίας. Υπολογίστε τη θερμοκρασία ιδανικού αερίου T του υλικού. P TP (kpa) : 133.3 99.99 66.661 33.331 P (kpa): 04.69 153.54 10.37 51.190