Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Αν μια ωμική αντίσταση διαρρέεται από ημιτονοειδές ρεύμα: i(t) I σύμφωνα με το νόμο του Ωμ αναπτύσσεται τάση στα άκρα της: v(t) R V R v(t)=i(t) R V=I R Αν εκφράσουμε την τάση και το ρεύμα της αντίστασης στο πεδίο της συχνότητας ισχύει ο νόμος του Ωμ σε διανυσματική μορφή: όπου η τάση και το ρεύμα εκφράζονται ως στρεφόμενα διανύσματα.
Έχουμε ένα πηνίο που διαρρέεται από ημιτονοειδές ρεύμα: i(t) I Το ρεύμα στο πεδίο της συχνότητας γράφεται: v(t) L V L di( t) v( t) L dt V j L Ι Θα αναπτυχθεί στα άκρα του μια τάση η οποία είναι ανάλογη του χρονικού ρυθμού μεταβολής του ρεύματος: Η τάση προηγείται του ρεύματος κατά 90 μοίρες.
Η σχέση τάσης ρεύματος προκύπτει απλούστερα στο πεδίο της συχνότητας: i(t) I v(t) L V L di( t) v( t) L dt V j L Ι Η τάση είναι ανάλογη του ρεύματος. Ο συντελεστής αναλογίας αφενός είναι φανταστικός αριθμός και αφετέρου περιλαμβάνει τη γωνιακή συχνότητα:
Η ποσότητα Z L έχει διαστάσεις αντίστασης (Ω). Η διαφορική σχέση τάσης ρεύματος του πηνίου στο πεδίο της συχνότητας γίνεται γραμμική. Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι μιγαδικός αριθμός, με μηδενικό πραγματικό μέρος, που έχει μέτρο ίσο με ωl και γωνία 90 μοίρες. V Im 90 φ 0 I Re Στη σχέση τάσης ρεύματος του πηνίου όλες οι ποσότητες είναι μιγαδικοί αριθμοί. Το ρεύμα είναι το διάνυσμα: Η τάση είναι το διάνυσμα: Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι το διάνυσμα:
Η τάση και το ρεύμα είναι στρεφόμενα διανύσματα, δηλαδή περιέχουν και τον όρο, που παραλείπουμε να γράψουμε. Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι "ακίνητο" διάνυσμα, δηλαδή δεν περιέχει τον όρο. Ακίνητο διάνυσμα Χ Στρεφόμενο διάνυσμα = Στρεφόμενο διάνυσμα Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ακίνητο διάνυσμα και στρεφόμενο διάνυσμα. Μπορούμε να προσθέτουμε στρεφόμενα διανύσματα (τάσεις ή ρεύματα). Μπορούμε να προσθέτουμε ακίνητα διανύσματα (αντιστάσεις). Πολλαπλασιάζοντας στρεφόμενα διανύσματα βρίσκουμε στρεφόμενο διάνυσμα διπλάσιας συχνότητας (ισχύς).
Έχουμε έναν πυκνωτή που διαρρέεται από ημιτονοειδές ρεύμα: i(t) I Στο πεδίο της συχνότητας: v(t) C V C Αναπτύσσεται στα άκρα του μια τάση η οποία είναι ανάλογη του ολοκληρώματος του ρεύματος: 1 1 v ( t) i( t) dt V Ι C j C Η τάση έπεται του ρεύματος κατά 90 μοίρες.
Η σχέση τάσης ρεύματος προκύπτει απλούστερα στο πεδίο της συχνότητας: i(t) I v(t) C V C 1 1 v ( t) i( t) dt V Ι C j C Η τάση είναι ανάλογη του ρεύματος. Ο συντελεστής αναλογίας αφενός είναι φανταστικός αριθμός και αφετέρου περιλαμβάνει τη γωνιακή συχνότητα:
Η ποσότητα Z C έχει διαστάσεις αντίστασης (Ω). Η διαφορική σχέση τάσης ρεύματος του πυκνωτή στο πεδίο της συχνότητας γίνεται γραμμική. Η σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή είναι μιγαδικός αριθμός, με μηδενικό πραγματικό μέρος, που έχει μέτρο ίσο με 1/ωC και γωνία 90 μοίρες. 0 Im φ 90 I V Re Στη σχέση τάσης ρεύματος του πυκνωτή όλες οι ποσότητες είναι μιγαδικοί αριθμοί. Το ρεύμα είναι το διάνυσμα: Η τάση είναι το διάνυσμα: Η σύνθετη αντίσταση του πηνίου είναι το διάνυσμα:
Μπορούμε να αντιμετωπίζουμε το πηνίο και τον πυκνωτή σαν αντιστάσεις, των οποίων η τιμή όμως είναι φανταστικός αριθμός. Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και οι σύνθετες αγωγιμότητες. Η σύνθετη αγωγιμότητα του πηνίου είναι: Η σύνθετη αγωγιμότητα του πυκνωτή είναι:
Εάν έχουμε Ν σύνθετες αντιστάσεις συνδεδεμένες σε σειρά μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία ισοδύναμη αντίσταση με τιμή ίση με το άθροισμα των αντιστάσεων: V s I Z 1 V 1 Z 2 V 2 V Ṉ Z N Εάν έχουμε Ν σύνθετες αντιστάσεις συνδεδεμένες παράλληλα μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία ισοδύναμη, με τιμή που δίνεται από τη σχέση: Για δύο σύνθετες αντιστάσεις παράλληλα:
Σχέσεις μετατροπής αστέρα σε τρίγωνο: α Ι α V γα Z α V αβ Z γ Z β β Ι γ γ V βγ Ι β Εάν οι σύνθετες αντιστάσεις είναι ίσες: V γα Ι α α V αβ Z γα Z αβ Ι γ γ Z βγ β Ι β V βγ
Σχέσεις μετατροπής τριγώνου σε αστέρα: α Ι α V γα Z α V αβ Z γ Z β β Ι γ γ V βγ Ι β Ι α Εάν οι σύνθετες αντιστάσεις είναι ίσες: V γα α V αβ Z γα Z αβ Ι γ γ Z βγ β Ι β V βγ
Έχουμε ένα πηνίο με σύνθετη αντίσταση: Το συνδέουμε σε σειρά με μία ωμική αντίσταση 10 Ω. Η συνολική σύνθετη αντίσταση της συνδεσμολογίας είναι: Οι σύνθετες αντιστάσεις που έχουν θετικό φανταστικό μέρος λέγονται επαγωγικές αντιστάσεις. Μία επαγωγική αντίσταση όταν εκφράζεται σε πολική μορφή έχει θετική γωνία μεταξύ των 0 και των 90 μοιρών. Αν συνδέσουμε το πηνίο παράλληλα με την ωμική αντίσταση, η ισοδύναμη αντίσταση του παράλληλου συνδυασμού είναι:
Έχουμε έναν πυκνωτή με σύνθετη αντίσταση ίσου μέτρου: Το συνδέουμε σε σειρά με μία ωμική αντίσταση 10 Ω. Η συνολική σύνθετη αντίσταση της συνδεσμολογίας είναι: Οι σύνθετες αντιστάσεις που έχουν αρνητικό φανταστικό μέρος λέγονται χωρητικές αντιστάσεις. Μία χωρητική αντίσταση όταν εκφράζεται σε πολική μορφή έχει αρνητική γωνία μεταξύ των 0 και των 90 μοιρών. Αν συνδέσουμε τον πυκνωτή παράλληλα με την ωμική αντίσταση, η ισοδύναμη αντίσταση του παράλληλου συνδυασμού είναι:
Έστω ότι συνδέουμε το πηνίο σε σειρά με τον πυκνωτή. Η ισοδύναμη αντίσταση είναι: Αν συνδέσουμε το πηνίο παράλληλα με τον πυκνωτή: Οι συνδεσμολογίες σύνθετων αντιστάσεων μπορεί να δώσουν και παράξενα ίσως αποτελέσματα.
Παράδειγμα 112: Το κύκλωμα τροφοδοτείται από ημιτονοειδή πηγή τάσης πλάτους 10 V. Να υπολογισθούν οι τάσεις στα άκρα των στοιχείων του κυκλώματος. Ο πυκνωτής και η αντίσταση συνδέονται σε σειρά. Η ισοδύναμη σύνθετη αντίστασή τους είναι: V s i(t) R=40 Ω V R Z C =j30 Ω Το ρεύμα του κυκλώματος είναι:
Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι: i(t) R=40 Ω V R Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι: V s Z C =j30 Ω Οι ζητούμενες τάσεις θα μπορούσαν να υπολογιστούν και με την εφαρμογή της σχέσης του διαιρέτη τάσης:
i(t) R=40 Ω Im V R V s V R Z C =j30 Ω 0 36,87 53,13 I V s =V R Re Οι τάσεις στο πεδίο του χρόνου είναι:
Σύμφωνα με το νόμο τάσεων του Kirchhoff: Το διανυσματικό άθροισμα των τάσεων ισούται με το διάνυσμα της τάσης της πηγής, Το αλγεβρικό άθροισμα των στιγμιαίων τιμών των τάσεων ισούται με τη στιγμιαία τιμή της τάσης της πηγής, 0 Im I 36,87 53,13 V R V s =V R Re Το άθροισμα των μέτρων (δηλ. του πλάτους) των τάσεων της αντίστασης και του πυκνωτή δεν ισούται με το μέτρο της τάσης της πηγής.
Παράδειγμα 113: Το κύκλωμα τροφοδοτείται από ημιτονοειδή πηγή τάσης πλάτους 10 V. Να βρεθούν οι τάσεις και τα ρεύματα του κυκλώματος. V s i s (t) 30 Ω V R i R (t) i C (t) j30 Ω 30 Ω Η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι: Το ρεύμα που δίνει η πηγή είναι:
Το ρεύμα του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος: i s (t) 30 Ω V R i R (t) i C (t) V s j30 Ω 30 Ω Το ρεύμα της αντίστασης είναι:
Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι: i s (t) 30 Ω i R (t) V R i C (t) Εναλλακτικά: V s j30 Ω 30 Ω Η τάση στα άκρα της αντίστασης που συνδέεται σε σειρά με την πηγή τάσης υπολογίζεται από το νόμο του Ωμ:
Σύμφωνα με το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff θα πρέπει το άθροισμα του ρεύματος του πυκνωτή και της αντίστασης να ισούται με το ρεύμα της πηγής: V s i s (t) 30 Ω V R i R (t) i C (t) j30 Ω 30 Ω Σύμφωνα με το νόμο τάσεων του Kirchhoff θα πρέπει το άθροισμα της τάσης του πυκνωτή και της αντίστασης να ισούται με την τάση της πηγής:
Τα διανύσματα των ρευμάτων της αντίστασης και του πυκνωτή είναι κάθετα μεταξύ τους. i s (t) 30 Ω V R i R (t) i C (t) V s j30 Ω 30 Ω Τα διανύσματα των τάσεων που αθροίζονται για να δώσουν την τάση της πηγής σχηματίζουν γωνία 45 μοιρών.
Παράδειγμα 114: Έστω ότι το κύκλωμα του προηγούμενου παραδείγματος τροφοδοτείται από πηγή ημιτονοειδούς ρεύματος με πλάτος 1 Α. Να βρεθούν οι τάσεις και τα ρεύματα του κυκλώματος. I s i s (t) V s 30 Ω V R i R (t) i C (t) j30 Ω 30 Ω Είχαμε υπολογίσει τη συνολική σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος: Η τάση που αναπτύσσεται στα άκρα της πηγής ρεύματος είναι: Η τάση που αναπτύσσεται στα άκρα της αντίστασης που συνδέεται σε σειρά με την πηγή ρεύματος είναι:
Τα ρεύματα του πυκνωτή και της αντίστασης που συνδέονται παράλληλα μπορούν να υπολογισθούν από τη σχέση του διαιρέτη ρεύματος: I s i s (t) V s 30 Ω V R i R (t) i C (t) j30 Ω 30 Ω
Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι: i s (t) 30 Ω i R (t) V R i C (t) I s V s j30 Ω 30 Ω
Συγκρίνετε τα διανυσματικά διαγράμματα: Είναι ίδιο με του προηγούμενου παραδείγματος, με τη διαφορά ότι έχει περιστραφεί δεξιόστροφα κατά 18,43 0, ενώ είναι και σε άλλη κλίμακα (όλα τα μεγέθη είναι πολλαπλασιασμένα επί 4,74).
Παράδειγμα 115: Να υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις του κυκλώματος. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από ημιτονοειδή πηγή τάσης πλάτους 10 V. Η συνολική σύνθετη αντίσταση που βλέπει η πηγή είναι: V s i s (t) V L1 j10 Ω i R (t) V R i C (t) 10 Ω j10 Ω V L2 j10 Ω Το ρεύμα που δίνει η πηγή είναι:
Τα ρεύματα των δύο άλλων κλάδων μπορούν να υπολογιστούν με χρήση της σχέσης του διαιρέτη ρεύματος: i s (t) V L1 j10 Ω i R (t) V R i C (t) 10 Ω V s j10 Ω V L2 j10 Ω Η τάση στα άκρα του πρώτου πηνίου είναι: Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι: Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι:
Η τάση στα άκρα του δεύτερου πηνίου είναι: i s (t) V L1 j10 Ω i R (t) V R i C (t) 10 Ω V s j10 Ω V L2 j10 Ω
Παράδειγμα 116: Να υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις του κυκλώματος. Το κύκλωμα τροφοδοτείται από δύο ημιτονοειδείς πηγές τάσης πλάτους 10 V και ίδιας φάσης. V s1 i s1 (t) α V L j10 Ω γ V R i C (t) 10 Ω j10 Ω i s2 (t) β V s2 Θα μετατρέψουμε τον αστέρα που σχηματίζουν οι τρεις σύνθετες αντιστάσεις σε τρίγωνο. Έχουμε Z α =j10, Z β =10 και Z γ =j10. Οι σχέσεις μετατροπής είναι:
Έτσι: i s1 (t) V L V R i s2 (t) α j10 Ω i C (t) 10 Ω β V s1 j10 Ω V s2 γ Το πηνίο δεν διαρρέεται από ρεύμα διότι η τάση στα άκρα του είναι μηδέν. Το ρεύμα της αντίστασης είναι: i s1 (t) α i j10 Ω L (t) i R (t) i C (t) i s2 (t) β V s1 10 Ω j10 Ω V s2 γ
Το ρεύμα που δίνει η αριστερή πηγή τάσης προκύπτει από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο α: i s1 (t) α V L j10 Ω V R i C (t) 10 Ω i s2 (t) β Το ρεύμα που δίνει η δεξιά πηγή προκύπτει από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο β: V s1 γ j10 Ω V s2 Επανερχόμενοι στο αρχικό κύκλωμα το ρεύμα που διαρρέει τον πυκνωτή είναι: V s1 i s1 (t) α i L (t) i R (t) j10 Ω i C (t) i s2 (t) 10 Ω j10 Ω V s2 β γ
Η τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του πηνίου είναι: Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι: V s1 i s1 (t) α V L j10 Ω γ V R i C (t) 10 Ω j10 Ω i s2 (t) β V s2 Η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι: i s1 (t) i L (t) j10 Ω i s2 (t) α i R (t) i C (t) β V s1 10 Ω j10 Ω V s2 γ