ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Κεντρικό: Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ ΕΔΟΥΑΡΔΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KETΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr www.edlag.gr Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr Η συνάρτηση Ω ενός υποθετικού αερίου έστω ότι είναι: 4 π A Ω(E, V, ) E V (3)! Cp όπου Α μια σταθερά. Να βρεθεί ο λόγος γ του υποθετικού αυτού αερίου. C v Υπενθυμίζουμε τον τρόπο υπολογισμού των ποσοτήτων E Cv T όπου Η είναι η ενθαλπία, H E PV. V και C C v και p C p : H T Θα υπολογίσουμε μέσω της Ω την εντροπία S και στην συνέχεια τις εκφράσεις E ET, V, και H HT,P,. Δηλαδή, Επομένως: S K lω K l B(V,)E K l B K l E S K E KT T E E V, Cv K Για τον υπολογισμό της Η, χρειαζόμαστε τον όρο PV. Όμως, P S. Τώρα θεωρούμε: T V S K l Γ(E, )V Τελικά: και επομένως: P K PV KT T V H E PV 4KT Cp 4K Cp 4K γ Cv K P
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr Τέλειο αέριο από Ν κλασικά σωμάτια καταλαμβάνει επιφάνεια εμβαδού Α. (α) Υποθέστε ότι η επιφάνεια είναι τετραγωνική και υπολογίστε την κανονική συνάρτηση επιμερισμού του αερίου Ζ (Τ, Α, Ν). (β) Να βρεθεί μέσω της Ζ, η μέση ενέργεια του αερίου <Ε>=f (T, A, ) και να υποδείξετε ένα ακόμη εναλλακτικό τρόπο ή μεθοδολογία (αναφέροντας σύντομα και χωρίς αποδείξεις όλες τις απαιτούμενες σχέσεις) που θα μπορούσαν να σας οδηγήσουν σε μια ανάλογη σχέση. (γ) Υποθέστε τώρα ότι η επιφάνεια είναι σφαιρική και επαναλάβατε τον υπολογισμό του ερωτήματος (α). Σχολιάστε το αποτέλεσμά σας. Υποδείξεις: Δίνεται η Hamltoa ενός ελεύθερου σωματιδίου σε σφαιρικές συντεταγμένες: H p θ p φ mr mr s θ και επίσης το ολοκλήρωμα: x e dx π (α) Υπολογίζουμε καταρχήν την συνάρτηση επιμερισμού Z για ένα σωματίδιο με p. Η συνολική συνάρτηση Ζ (Τ, Α, Ν) θα είναι px y H m m Z Z. Συνεπώς:! βh βp βp x/m y /m x y x y Z e dx dy dp dp Z dx dy e dp e dp h Όμως dx dy A, ενώ θέτοντας ξ β/ m px Συνεπώς, έχουμε ότι: Z, έχουμε: βp x /m m ξ x m e dp e dξ π β β A mπ mπ mπakt, όπου β / KT h β β h mπakt Z(T, A, )! h (β) Η μέση ενέργεια <Ε> με την βοήθεια της Ζ υπολογίζεται ως εξής: Z l Z E Z β β Όμως, mπa l Z l l! βh και άρα 3
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr l Z βh mπa β mπa h β β Άρα <Ε> = ΝΚΤ Έναν εναλλακτικό τρόπο υπολογισμού μας προσφέρει το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας σύμφωνα με το οποίο: «κάθε ανεξάρτητος τετραγωνικός όρος της Η συνεισφέρει κατά KT στη μέση ενέργεια». Εδώ η H έχει δύο τετραγωνικούς όρους, άρα η Η έχει Ν τετραγωνικούς όρους. Επομένως: E KT KT (γ) Θα είναι: βh Z e dθ dφ dp θdpφ h Δηλαδή: Όμως π θ0 π π βp βp θ /mr φ/mr s θ θ φ Z dφ e dp e dp dθ h 0 θ0 pφ π mr mr s θ π mr Z π π π dθ Z s θdθ h β β h β s θdθ cosθ. Τελικά: π 0 θ0 θ0 Z 8mπ R h β Η επιφάνεια της σφαίρας Α είναι 4πR και β / KT, επομένως: mπakt Z h Όπως βλέπουμε, το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο της γεωμετρίας του προβλήματος και του είδους των γενικευμένων μεταβλητών. π Σύστημα αποτελείται από μαγνητικές ροπές μέτρου μ μσ ( σ κατάλληλη παράμετρος με,,..., ) οι οποίες αλληλεπιδρούν με εξωτερικό μαγνητικό πεδίο έντασης B αλλά όχι μεταξύ τους. Η Χαμιλτονιανή του συστήματος είναι της μορφής H μb σ. 4
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr (α) Εάν κάθε μαγνητική ροπή έχει τρεις δυνατούς προσανατολισμούς έτσι ώστε σ, 0,, υπολογίστε την αντίστοιχη συνάρτηση επιμερισμού Z, T, V. (β) Θεωρείστε τώρα ότι κάθε μαγνητική ροπή έχει δυο δυνατούς προσανατολισμούς (παράλληλα και αντιπαράλληλα προς το πεδίο) έτσι ώστε σ,. (β) Υπολογίστε την αντίστοιχη συνάρτηση επιμερισμού Z, T, V. (β) Βρείτε τη μέση ενέργεια, θερμοχωρητικότητα με σταθερό πεδίο και εντροπία. (β3) Μελετείστε τη συμπεριφορά της θερμοχωρητικότητας σε χαμηλές και υψηλές θερμοκρασίες. Με τι ισούται η εντροπία υψηλών θερμοκρασιών μέσω του αριθμού των διαθεσίμων καταστάσεων; (α) Για τον υπολογισμό της συνάρτησης επιμερισμού Z, T, V του συστήματος ακολουθούμε την εξής μέθοδο: αρχικά υπολογίζουμε την συνάρτηση επιμερισμού για το σωματίδιο, δηλαδή τη Z, T, V. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τη σχέση Z Z για τον υπολογισμό της συνάρτησης επιμερισμού του συστήματος: βe Για Z e, όπου E μb σ με σ, 0,. βμb βμb0 βμb βμβ βμβ Z e e e Z e e. Για το σύστημα σωματιδίων: βμβ βμβ Z Z e e, όπου β. kt (β) Θεωρούμε ότι σ,. (β) Η συνάρτηση επιμερισμού Z γίνεται τώρα: (β) βμβ β μβ βμβ βμβ Z e e e e βμβ βμβ Z Z e e Για τον υπολογισμό της E χρησιμοποιούμε τη σχέση Z e e μβ e e β E βμβ βμβ βμβ βμβ Z Z β, όπου: e e βμβ βμβ βμβ βμβ βμβ βμβ e e E e e μβ e e E μβ βμβ βμβ e βμβ e βμβ Χρησιμοποιώντας γνωστές σχέσεις θα απλοποιήσουμε την έκφραση της E. Ισχύει: x x e e cosh x x x e e sh x 5
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr sh βμβ sh βμβ E μβ E μβ cosh βμβ cosh βμβ Η θερμοχωρητικότητα ορίζεται: E E β CB T β T, όπου β kt Επομένως: E cosh βμβμβ sh βμβμβ μ B μ B β cosh βμβ cosh βμβ Τελικά: μ B CB μb cosh βμβ kt kt cosh βμβ (β3) Μελετάμε τη συμπεριφορά της C B στις χαμηλές θερμοκρασίες, δηλαδή για: kt μb x βμb. x e Γνωρίζουμε ότι για x έχουμε coshx, δηλαδή το cosh x. Άρα το cosh x 0. Tελικά η CB 0 για τις χαμηλές θερμοκρασίες, αποτέλεσμα το οποίο συμφωνεί με τον τρίτο νόμο της θερμοδυναμικής. Στη συνέχεια μελετάμε τη συμπεριφορά της C B στις υψηλές θερμοκρασίες, δηλαδή για kt μb x βμb μ B μ B 4 μ B 4 CB C B C Β βμβ βμβ kt cosh βμβ kt k T e e βμβ βμβ e e x Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor : e x για x η έκφραση της C B για τις υψηλές θερμοκρασίες γίνεται: μ B 4 CΒ. k T βμβ βμβ Άρα : μ B CΒ kt Παρατηρούμε ότι καταλήξαμε στο γνωστό Νόμο Cure.. Έστω τρισδιάστατο ιδανικό κβαντικό αέριο φερμιονίων με πυκνότητα μονοσωματιδιακών / καταστάσεων Δε AVε, A σταθερά. (α) Να αποδειχθεί η παραγοντοποίηση της μεγάλης συνάρτησης επιμερισμού στις επί μέρους συναρτήσεις επιμερισμού ξ των μονοσωματιδιακών καταστάσεων. Υπολογίστε τα ξ για το εν λόγω αέριο. 6
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr (β) Μέσω των ξ να υπολογισθεί ο μέσος αριθμός κατάληψης μιας μονοσωματιδιακής κατάστασης. Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει αυτός ο αριθμός; Δώστε τη μορφή του o μέσου αριθμού κατάληψης στη θερμοκρασία T 0 K ; (γ) Τι είναι ενέργεια Ferm; Να δειχθεί ότι είναι συνάρτηση της συγκέντρωσης / V των φερμονίων. Να υπολογισθεί η πίεση P PT 0 0 συναρτήσει της συγκέντρωσης. (α) Στη μεγαλοκανονική συλλογή, ορίζεται η μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Ξ ως εξής: βμ βe Ξ e e, όπου και επίσης E ε, r με τον αριθμό κατάληψης της κάθε μονοσωματιδιακής κατάστασης ε. Γράφουμε λοιπόν: βμ... β ε ε... βμ ε β μ ε, δηλαδή Ξ e e Ξ e e... Άρα Ξ ΞΞ..., Ξ ΠΞ,,,...,,... β με β με Ξ e e... βμε Ξ e. Για τα φερμιόνια ισχύει 0, αφού υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Paul. βμ ε βμ ε Ξ e Ξ e (β) 0, Ορίζεται ο μέσος αριθμός κατάληψης:, όπου P P 0 P 0 P e β με βμε e P βμε βεμ e e Η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο μέσος αριθμός κατάληψης είναι η μονάδα, Για T 0 K Ξ.. βε μ e Ορίζεται β. Άρα για T 0 το β. Όμως για T 0 το χημικό δυναμικό μ των kt φερμιονίων ισούται με E F, η οποία ορίζεται ως η ανώτερη ενεργειακή στάθμη δηλαδή EF ε. βεef Άρα ε μ ε EF 0. Επομένως e 0. Οπότε. 7
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr o (γ) Για T 0 K η ενέργεια των φερμιονίων παίρνει τιμές 0 EF με E F την ανώτερη κατειλημένη ενεργειακή στάθμη. Ο μέσος αριθμός των φερμιονίων υπολογίζεται από την παρακάτω σχέση: Όμως για o T 0 K ε /3. EF E F 0 Δ ε ε dε. EF / 3/ F. Δ ε dε A Vε dε A V E 3 0 0 3 Δηλαδή EF, όπου A V V. /3 3 EF. A Υπολογισμός της πίεσης. Ορίζουμε το μεγάλο δυναμικό J JT, V,μ. Παρατηρούμε ότι εξαρτάται από τον όγκο V ο οποίος είναι εκτατική μεταβλητή. Άρα μπορούμε να γράψουμε J C V, όπου C τυχαία θετική σταθερά. J J Οπότε C. Όμως P και συνεπώς C P. Επομένως: V V τ,μ J P V Γνωρίζουμε ότι: J k TlΞ P V k Tl Ξ Όμως δείξαμε ότι Ξ Π Ξ lξ l Π Ξ lξ lξ. Αλλά P V P V kt l Ξ k T. Από την ισοδυναμία των συλλογών συμπεραίνουμε ότι: l Ξ Στο συνεχές φάσμα η σχέση γίνεται: 8
με ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr βμε βμε Ξ e lξ l e. 0 P V k T Δ ε l Ξdε, / βμε. 0 P V k T A V ε l e dε Χρησιμοποιώντας την παραγοντική ολοκλήρωση βρίσκουμε: Για T 3/ βμε / βμε P V k T A V ε βe dε P V A V εε dε βεμ 3 e 3 e 0 0 3 e 3 3 / PV ε A V ε dε P V ε Δ ε ε dε P V E β ε μ 0 0 o 0 K ισχύει: Οπότε: E E F 5/ ε Δ εdε, αφού ε E A V E 0 P V A V E 3 5 5/ 0 F 5/3, με F. 5 E F 3 A 4 3 4 3 P0 V A V P0 A 5 A 5 A /3 5 3 Θεωρούμε ένα τρισδιάστατο ανοικτό σύστημα με μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού Ξβ, λ, V. (α) Δείξετε ότι l Ξ λ λ β,v, όπου λ βμ e και μ χημικό δυναμικό. (β) Να βρεθεί ο μέσος αριθμός κατάληψης Bose-Este. (γ) Ποια είναι η μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού για το συνολικό Μποζονικό αέριο; (δ) Τι είναι η θερμοκρασία συμπύκνωσης Bose-Este; Να περιγράψετε ποιοτικά τη συμπεριφορά του αερίου αυτού για θερμοκρασίες μικρότερες αυτής. (α) Γνωρίζουμε ότι ισχύει για τη μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού: 9
Αντικαθιστώντας Όμως ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr λ βμ e έχουμε: β,v βμ βe Ξ e e Ξ βe λ e βe βe λ e λ e lξ λ λ βe λ e βe λ e βe λ e βe λ e βe β,v λ e βe λ e lξ λ λ Ξ Ξ Ορίζεται η μεγαλοκανονική πιθανότητα: Επομένως P β,v βe λe Ξ lξ λ P λ (β) Ορίζεται η παρακάτω συνδυασμένη πιθανότητα: Επομένως P P e βμε Ξ βμε e Ξ Ξ e βμε όμως η μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού για το συνολικό μποζονικό αέριο είναι η εξής: Ξ e β μ ε Άρα βμε βμε βμε β με e e e e Ισχύει x x x x x Με χρήση της παραπάνω σειράς, καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα: 0
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr βμε βμε e β β με ε μ e e e (γ) Χρησιμοποιήθηκε ήδη η μεγάλη συνάρτηση επιμερισμού. Ακολουθεί η απόδειξη της έκφρασής της: Ορίζεται η σειρά 0 x. x βμε βμε Ξ e e Ξ e β μ ε (δ) Η θερμοκρασία συμπύκνωσης Bose Este χημικό δυναμικό του μποζονικού αερίου και ξεκινά η συμπύκνωση των μποζονίων. T c είναι η θερμοκρασία όπου μηδενίζεται το Ψύχοντας το μποζονικό αέριο, για θερμοκρασίες μικρότερες της T c, τα μποζόνια ξεκινούν να συσσωρεύονται στην θεμελιώδη στάθμη: το φαινόμενο είναι επιτρεπτό αφού τα μποζόνια δεν υπακούουν στην απαγορευτική αρχή του Paul.
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mal: edlag@oteet.gr, www.edlag.gr Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο