ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΓΟΠΟΙΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΓΟΠΟΙΗΣΕΙΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ Μ.Δ.Ε. ΣΤΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ Επιβλέπων: Γεωργίου Δημήτριος - Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΑΤΡΑ 2011

Περιεχόμενα Περιεχόμενα... σελ. iii Εισαγωγή... σελ. v Κεφ. 1 Ιστορική αναδρομή... σελ. 7 1.1. Γενικά στοιχεία... σελ. 7 1.2. Φωτογραφίες τοπολόγων... σελ. 11 Κεφ. 2 - Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας - Θεωρίας Συνόλων... σελ. 13 2.1. Τοπολογικοί χώροι... σελ. 13 2.2. Ανοικτή περιοχή - Σημείο επαφής - Κλειστή θήκη... σελ. 15 2.3. Σύνορο - Εσωτερικό - Παράγωγος - Υπόχωρος... σελ. 17 2.4. Βάση και υπόβαση τοπολογίας... σελ. 18 2.5. Απεικονίσεις... σελ. 19 2.6. Ακολουθίες Moore-Smith... σελ. 21 2.7. Αξιώματα διαχωρισιμότητας... σελ. 22 2.8. Αξιώματα αριθμησιμότητας... σελ. 26 2.9. Γινόμενο τοπολογικών χώρων... σελ. 27 2.10. Στοιχεία θεωρίας συνόλων - Λήμμα του Zorn... σελ. 29 2.11. Φίλτρα... σελ. 29 2.12. Σύγκλιση φίλτρων... σελ. 31 Κεφ. 3 - Συμπαγείς Τοπολογικοί Χώροι... σελ. 33 3.1. Ορισμός και βασικές ιδιότητες συμπαγών χώρων... σελ. 33 3.2. Συνεχείς απεικονίσεις συμπαγών χώρων... σελ. 39 3.3. Φίλτρα... σελ. 42 3.4. Τοπικά συμπαγείς χώροι... σελ. 45 3.5. Συναφείς έννοιες με την Συμπαγικότητα... σελ. 48 3.6. Παρασυμπαγείς χώροι... σελ. 50 - iii -

Κεφ. 4 - Συμπαγοποιήσεις... σελ. 53 4.1. Aleandroff συμπαγοποίηση... σελ. 54 4.2. Stone-Čech συμπαγοποίηση... σελ. 57 4.3. Ισοδύναμες εκφράσεις της Stone- Čech συμπαγοποίησης... σελ. 67 4.4. Παρατηρήσεις πάνω στις συμπαγοποιήσεις... σελ. 68 4.5 Εφαρμογές της Stone- Čech συμπαγοποίησης... σελ. 69 4.6. Wallman type συμπαγοποίηση... σελ. 71 Βιβλιογραφία... σελ. 89 - iv -

Εισαγωγή Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών «Μαθηματικά και σύγχρονες εφαρμογές», του Τομέα των Θεωρητικών Μαθηματικών, της Σχολής Θετικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών. Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη των συμπαγών τοπολογικών χώρων και των συμπαγοποιήσεων. Η εργασία αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια ιστορική αναδρομή στη Γενική Τοπολογία και στην εξέλιξη της έννοιας της Συμπαγοποίησης. Στο Κεφάλαιο 2 αναφέρονται όλες οι απαραίτητες εισαγωγικές έννοιες που χρειάζονται έτσι, ώστε να γίνει κατανοητό χωρίς ασάφειες το κυρίως μέρος της εργασίας. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφονται και αναλύονται οι συμπαγείς τοπολογικοί χώροι. Κατά σειρά εξετάζονται: οι συμπαγείς χώροι, οι συνεχείς απεικονίσεις πάνω σε συμπαγείς χώρους και οι τοπικά συμπαγείς χώροι. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται έννοιες συναφείς με τη συμπάγεια. Στο Κεφάλαιο 4 ορίζεται η έννοια της συμπαγοποίησης ενός τοπολογικού χώρου και μελετώνται κατά σειρά η συμπαγοποίηση ενός σημείου, η συμπαγοποίηση Stone Čech και η Wallman-type συμπαγοποίηση. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον ομότιμο καθηγητή κ. Σταύρο Ηλιάδη, καθώς και στον καθηγητή κ. Βασίλειο Τζάννες που ως διδάσκοντες στις προπτυχιακές μου σπουδές αλλά και κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών με βοήθησαν τόσο με τις συμβουλές τους, όσο και με τις επιστημονικές παρατηρήσεις τους. Ιδιαίτερα δε, νιώθω την ανάγκη να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου και τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες στον επιβλέποντα αναπληρωτή καθηγητή κ. Δημήτριο Γεωργίου για την καθοδήγησή του, τις πολύτιμες συμβουλές του και τις παρατηρήσεις του. Τέλος δε θα μπορούσα να μην εκφράσω τις ευχαριστίες μου στη γυναίκα μου Μαρία και στις κόρες μου Ανδριανή και Ιωάννα, για την υπομονή και συμπαράσταση που μου προσφέρουν σε καθημερινή βάση. Πετρόπουλος Βασίλης Πανεπιστήμιο Πατρών - Τμήμα Μαθηματικών Ιούνιος 2011 - v -

- vi -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ιστορική αναδρομή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στη Γενική Τοπολογία, στους συμπαγείς χώρους και στις συμπαγοποιήσεις. 1.1. Γενικά στοιχεία Η τοπολογία προέκυψε από την μελέτη ποιοτικών γεωμετρικών προβλημάτων. Το άρθρο του Ελβετού μαθηματικού Leonard Euler (δημοσιεύτηκε το 1736) για τις «Επτά Γέφυρες του Königsberg» (σημερινό Καλίνιγκραντ) θεωρείται ως ένα από τα πρώτα αποτελέσματα που δεν εξαρτώνται από κανέναν τύπο μέτρησης, δηλαδή ως ένα από τα πρώτα τοπολογικά αποτελέσματα. Η εμφάνιση της τοπολογίας ήταν κυρίως όμως το αποτέλεσμα της αναδόμησης των θεμελίων της ανάλυσης που συντελέστηκε κατά τον 19 ο αιώνα. Έρευνες πάνω σε γεωμετρικά θέματα και σε προβλήματα της μηχανικής, στα οποία είχαν αναφερθεί οι Newton και Leibniz, οδήγησαν στον ακριβή ορισμό του ορίου (D Alembert και Cauchy), στην τυποποίηση των κριτηρίων σύγκλισης για άπειρες σειρές (Gauss) και στην αποσαφήνιση της έννοιας της συνεχούς συνάρτησης (Bolzano και Cauchy). Η ανάγκη να στηριχτεί η ανάλυση σε ισχυρότερες βάσεις έγινε αντιληπτή όταν εμφανίστηκαν διάφορα παθολογικά φαινόμενα στη σύγκλιση των τριγωνομετρικών σειρών (Abel, Dirichlet και Du Bois - Reymond), καθώς και τα πρώτα παραδείγματα των συνεχών και πουθενά παραγωγίσιμων συναρτήσεων (Bolzano, Riemann, Weierstrass).

Σελίδα 8 Κεφάλαιο 1 Κατοπινά παραδείγματα οδήγησαν στην αναθεώρηση της έννοιας του αριθμού και στην αυστηρή θεμελίωση των πραγματικών αριθμών. Η θεμελίωσή τους αναπτύχθηκε ανεξάρτητα από τους Meray και Cantor. Στη θεωρία αυτή, οι πραγματικοί αριθμοί ορίζονται σαν κλάσεις ισοδυναμίας ακολουθιών Cauchy, ρητών αριθμών. Ο Dedekind επίσης θεμελίωσε τους πραγματικούς αριθμούς σαν τομές ρητών αριθμών. Και οι δύο θεωρίες δίνουν μια περιγραφή της τοπολογίας των πραγματικών αριθμών. Η Γενική Τοπολογία γεννήθηκε μέσα από μια σειρά άρθρων του Cantor, τα οποία δημοσιεύθηκαν κατά την περίοδο 1879-1884. Ο Cantor μελέτησε και όρισε, πάνω σε υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου, μερικές από τις πιο θεμελιώδεις αρχές της τοπολογίας. Περαιτέρω βασικές έννοιες, επίσης πάνω στον Ευκλείδειο χώρο, διατυπώθηκαν κατά την περίοδο 1893-1905 απ τους Jordan, Poincaré, Borel, Baire και Lebesque. Η μετάβαση από τους Ευκλείδειους χώρους σε πιο γενικούς είχε πρωτεργάτη τον Riemann. Το 1854 εισήγαγε και μελέτησε τις πολλαπλότητες δύο διαστάσεων. Παράλληλα έδωσε τη δυνατότητα της μελέτης των πολλαπλοτήτων μεγαλύτερων διαστάσεων, όπως αυτής των συναρτησιακών χώρων. Γύρω στα 1900, όταν θεμελιώδεις αρχές της τοπολογίας είχαν ήδη διατυπωθεί, εμφανίστηκαν διάφορα άρθρα στα οποία υπήρχαν τοπολογικές δομές διαφόρων ειδικών συνόλων, όπως το σύνολο των καμπυλών (Ascoli), το σύνολο των συναρτήσεων (Arzelà, Volterra, Hilbert, Fredholm) και το σύνολο των ευθειών και των επιπέδων στο χώρο των τριών διαστάσεων (Borel). Χώροι με τοπολογική δομή εισήχθηκαν για πρώτη φορά από τους Fréchet (1906) και Rietz (1907 και 1908). Ο πρώτος όμως ικανοποιητικός ορισμός του τοπολογικού χώρου δόθηκε από τον Hausdorff το 1914. Ο ορισμός αυτός ήταν αποτέλεσμα της προσπάθεια του να γενικεύσει την έννοια του μετρικού χώρου στηριζόμενος σε μια ιδέα που υπήρχε σε άρθρα των Hilbert και Weyl. Με τον ορισμό αυτό ο Hausdorff όρισε τον χώρο που φέρει το όνομά του. Ο ορισμός του τοπολογικού χώρου που είναι αποδεκτός ακόμα και σήμερα δόθηκε από τον Kuratowski το 1922. Η ιδέα των ανοικτών και κλειστών συνόλων καθώς και του περιβλήματος και του εσωτερικού ενός συνόλου όμως δόθηκε από τον Cantor, όταν μελετούσε τις κλάσεις των υποσυνόλων των Ευκλείδειων χώρων. Οι συνεχείς απεικονίσεις και οι ομοιομορφισμοί μελετήθηκαν αρχικά από τον Fréchet το 1910. Υπό μια πιο στενή έννοια οι ομοιομορφισμοί είχαν παρουσιασθεί νωρίτερα από τον Poincaré. Η πρώτη συστηματική μελέτη όμως έγινε απ τον Hausdorff το 1914. Η έννοια της Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Ιστορικά στοιχεία Σελίδα 9 κλειστής απεικόνισης παρουσιάσθηκε από τους Hurewicz το 1926 και Aleandroff το 1927. Οι Stoilow και Weyl παρουσίασαν την έννοια της ανοικτής απεικόνισης το 1913 και 1928 αντίστοιχα. Οι Τ 0 -χώροι παρουσιάσθηκαν απ τον Kolmogorov (σύμφωνα με αναφορές των Aleandroff και Hopf). Οι Τ 1 -χώροι παρουσιάσθηκαν απ τον Riesz το 1907 και οι Τ 2 -χώροι από τον Hausdorff το 1914. Ο Vietoris όρισε τους κανονικούς χώρους το 1921. Ο Urysohn, το 1925, τυποποίησε τους Τ 3½ -χώρους, αλλά η διεξοδική τους μελέτη έγινε από τον Tychonoff το 1930. Οι φυσικοί χώροι παρουσιάσθηκαν απ τον Tietze το 1923 και απ τους Aleandroff και Urysohn το 1924. Ο Hausdorff ξεκίνησε την μελέτη των τοπολογικών υπόχωρων το 1914. Το άθροισμα των τοπολογικών χώρων εμφανίσθηκε για πρώτη φορά σε άρθρο του Tietze το 1923. Ο Steinitz ορίζει το 1908 το καρτεσιανό γινόμενο πεπερασμένων σε πλήθος πολλαπλοτήτων, ενώ ο Fréchet όρισε το καρτεσιανό γινόμενο σε γενικευμένους χώρους το 1910. Ο Tychonoff, όμως ήταν εκείνος που όρισε το καρτεσιανό γινόμενο σε τοπολογικούς χώρους το 1930. Ο όρος Topologie εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην Γερμανία το 1847 απ τον Johann Benedict Listing στο περίφημο άρθρο του «Vorstudien zur Topologie», Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen. Ο Listing χρησιμοποιούσε τον όρο για τουλάχιστον μια δεκαετία πριν τον χρησιμοποιήσει επίσημα. Η Αγγλική μορφή του όρου Topology, εμφανίστηκε για πρώτη φορά το 1883 στο περιοδικό Nature (Βρετανικό επιστημονικό περιοδικό) και χρησιμοποιήθηκε για την διάκριση μεταξύ της ποιοτικής και της κλασσικής γεωμετρίας. Απ τα μέσα περίπου του 19 ου αιώνα αρκετοί μαθηματικοί δούλευαν πάνω σε θέματα που σήμερα τα ξέρουμε ως ιδιότητες της ευθείας των πραγματικών αριθμών. Αναφέρουμε για παράδειγμα τους Bolzano και Weierstrass, οι οποίοι μελετούσαν συναρτήσεις πάνω σε ακολουθίες πραγματικών αριθμών και τους Heine, Borel και Lebesque οι οποίοι μελετούσαν τις τοπολογικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών και ειδικότερα καλύψεις συνόλων από ανοικτές περιοχές. Το 1870 ο Heine απέδειξε ότι μια συνεχής απεικόνιση ορισμένη σε κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι ομοιόμορφα συνεχής. Στην απόδειξή του χρησιμοποίησε το εξής λήμμα «από μια οποιαδήποτε αριθμήσιμη κάλυψη του διαστήματος, με μικρότερα διαστήματα, είναι δυνατό να επιλεγεί ένα πεπερασμένο πλήθος τέτοιων διαστημάτων τα οποία καλύπτουν το αρχικό διάστημα». Η αξία αυτού του λήμματος αναγνωρίσθηκε από τον Borel το 1895 και γενικεύτηκε σε αυθαίρετες συλλογές διαστημάτων από τους Cousin το 1895 και Lebesque το 1904. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Σελίδα 10 Κεφάλαιο 1 Όμως ο Fréchet είναι αυτός που θεωρείται ο πατέρας του όρου της συμπάγειας. Παράλληλα η Ρώσικη σχολή, με τους Aleandroff και Urysohn, έδινε τον δικό της ορισμό χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των Borel-Lebesque. Η έννοια της συμπάγειας όπως την όρισε η Ρώσικη σχολή ήταν πιο κοντά στον σημερινό ορισμό. Το 1913 ο Janiszewski έκανε μια προσπάθεια να ορίσει συμπαγείς χώρους. Ο Vietoris εισήγαγε την έννοια του κανονικού συμπαγή χώρου, το 1921. Την ίδια εποχή οι Aleandroff και Urysohn όρισαν τους συμπαγείς χώρους όπως τους γνωρίζουμε και σήμερα. Ο Aleandroff επίσης όρισε το 1923 τους τοπικά συμπαγείς χώρους. Ο Riemann ήταν που έδωσε το πρώτο παράδειγμα συμπαγοποίησης. Η συμπαγοποίηση του Riemann, πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, είναι γνωστή σήμερα ως συμπαγοποίηση ενός σημείου. Ο Καραθεοδωρή, το 1913, μελέτησε την συμπαγοποίηση των ανοικτών περιοχών του επιπέδου, χρησιμοποιώντας αναλυτικές συναρτήσεις. Ο von Neumann, ο οποίος προσπαθούσε να θεμελιώσει αξιωματικά την κβαντική μηχανική, έδωσε την ιδέα για μια μέγιστη συμπαγοποίηση. Η συμπαγοποίηση Stone-Čech παρουσιάσθηκε, ανεξάρτητα απ τον Čech και από τον Stone το 1937. Ο Čech όρισε την μέγιστη συμπαγοποίηση αξιοποιώντας μια ιδέα ενός άρθρου του Tychonoff (1930), ενώ ο Stone έδωσε μέθοδο κατασκευής για τη συμπαγοποίηση αυτή. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Ιστορικά στοιχεία Σελίδα 11 1.2. Φωτογραφίες Τοπολόγων Sir Isaac Newton 1643-1727 Gottfried Leibniz 1646-1716 Leonard Euler 1707-1783 Jean le Rond d' Alembert 1717-1783 Johann Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Bernard Bolzano 1781-1848 Augustin-Louis Cauchy 1789-1857 Niels Henrik Abel 1802-1829 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805-1859 Johann Benedict Listing 1808-1882 Karl Theodor Wihelm Weierstrass 1815-1897 Heinrich Eduard Heine 1821-1881 Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826-1866 Paul Du Bois-Reymond 1831-1889 Julius Wilhelm Richard Dedekind 1831-1916 Marie Ennemond Camille Jordan 1838-1922 Georg Ferdinand Ludvwig Philipp Cantor 1845-1918 Cesare Arzelà 1847-1912 Jules Henri Poincaré 1854-1912 David Hilbert 1862-1943 Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Σελίδα 12 Κεφάλαιο 1 Feli Hausdorff 1868-1942 Féli Édouard Justin Émile Borel 1871-1956 Κων. Καραθεοδωρή 1873-1950 Simion Stoilow 1873-1961 Rene-Louis Baire 1874-1932 Henri Leon Lebesque 1875-1941 Maurice René Fréchet 1878-1973 Heinrich Franz Friedrich Tietze 1880-1964 Wacław Franciszek Sierpiński 1882-1969 Hermann Weyl 1885-1955 Leopold Vietoris 1891-2002 Eduard Čech 1893-1960 Kazimierz Kuratowski 1896-1980 Pavel Sergeyevich Aleandroff 1896-1982 Pavel Samuilovich Urysohn 1898-1924 John von Neumann 1903-1957 Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1903-1987 Marshall Harvey Stone 1903-1989 Witold Hurewicz 1904-1956 Andrey Nikolaevich Tychonoff 1906-1993 Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΑΣ - ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΛΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό δίνονται όλα εκείνα τα στοιχεία της γενικής τοπολογίας και της θεωρίας συνόλων στα οποία θα αναφερθούμε στα επόμενα κεφάλαια. 2.1 Τοπολογικοί χώροι Ορισμός 2.1.1. Έστω Χ ένα σύνολο και τ ένα σύνολο υποσυνόλων του Χ. Το σύνολο τ καλείται τοπολογία επί του Χ (ή λέμε ότι ορίζει τοπολογία επί του Χ ) αν ισχύουν τα παρακάτω α- ξιώματα (αξιώματα της τοπολογίας): (1) Τα σύνολα Χ και ανήκουν στο τ. (2) Η ένωση οποιουδήποτε πλήθους στοιχείων του τ ανήκει στο τ. (3) Η τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του τ ανήκει στο τ. Το ζευγάρι (Χ, τ) καλείται τοπολογικός χώρος ή απλά χώρος. Τα στοιχεία του συνόλου Χ καλούνται σημεία του χώρου (Χ, τ), ενώ τα στοιχεία του συνόλου τ ονομάζονται ανοικτά σύνολα του τοπολογικού χώρου. Παραδείγματα 2.1.2. (1) Έστω Χ μετρικός χώρος. Το σύνολο τ που αποτελείται από όλα τα ανοικτά σύνολα (όπως αυτά ορίζονται από τη μετρική του χώρου) ορίζει τοπολογία στο χώρο Χ. Η τοπολογία αυτή λέγεται τοπολογία επαγόμενη από την μετρική. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 14 Κεφάλαιο 2 (2) Έστω Χ τυχαίο σύνολο και τ το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Το σύνολο τ ορίζει τοπολογία επί του Χ, η οποία καλείται διακριτική τοπολογία. Ο χώρος (Χ, τ) καλείται διακριτικός χώρος. (3) Έστω Χ τυχαίο σύνολο και τ = {Χ, }. Το σύνολο τ ορίζει μία τοπολογία επί του Χ, η οποία καλείται τετριμμένη τοπολογία. Ο χώρος (Χ, τ) καλείται τετριμμένος. (4) Έστω Χ ένα σύνολο αποτελούμενο από δύο μόνο σημεία α και β, δηλαδή Χ = {α, β}. Τότε το τ = {Χ,, {α}} ορίζει τοπολογία στο Χ. Ο χώρος (Χ, τ) καλείται χώρος του Sierpinski και η τ καλείται τοπολογία του Sierpinski. Ορισμός 2.1.3. Ένα σύνολο F ενός τοπολογικού χώρου Χ καλείται κλειστό αν το Χ \ F είναι ανοικτό. Πρόταση 2.1.4. Έστω Χ χώρος, τότε ισχύουν τα εξής: (1) Τα σύνολα Χ και είναι κλειστά. (2) Η τομή οποιουδήποτε πλήθους κλειστών συνόλων του Χ είναι κλειστό σύνολο. (3) Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών συνόλων του Χ είναι κλειστό σύνολο. Ορισμός 2.1.5. Έστω τ 1 και τ 2 τοπολογίες επί ενός συνόλου Χ. Λέμε ότι η τ 1 είναι μικρότερη ή ίση της τ 2 και γράφουμε τ 1 τ 2 αν και μόνο αν το σύνολο τ 1 περιέχεται στο σύνολο τ 2. Δηλαδή όταν τ 1 Õ τ 2. Ορισμός 2.1.6. Ένα σύνολο ψ υποσυνόλων ενός χώρου Χ καλείται κάλυψη του Χ αν η ένωση όλων των στοιχείων του ψ είναι το Χ. Η κάλυψη ψ καλείται ανοικτή (αντίστοιχα κλειστή) αν όλα τα στοιχεία της ψ είναι ανοικτά (αντίστοιχα κλειστά) υποσύνολα του Χ. Ορισμός 2.1.7. Μια κάλυψη ψ του χώρου Χ καλείται υποκάλυψη μιας κάλυψης ψ του Χ αν κάθε στοιχείο της ψ είναι στοιχείο της ψ, δηλαδή ψ Õ ψ. Ορισμός 2.1.8. Έστω ψ και π δύο καλύψεις ενός χώρου Χ. Λέμε ότι η κάλυψη π είναι μία εκλέπτυνση της κάλυψης ψ αν κάθε στοιχείο της π περιέχεται σ ένα στοιχείο της ψ. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 15 Ορισμός 2.1.9. Έστω π οικογένεια υποσυνόλων ενός χώρου Χ. Λέμε ότι η οικογένεια αυτή έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής αν η τομή οποιουδήποτε πεπερασμένου πλήθους στοιχείων της π είναι μη κενή. Ορισμός 2.1.10. Έστω ψ και π δύο καλύψεις ενός χώρου Χ. Λέμε ότι η κάλυψη π είναι μία πεπερασμένη εκλέπτυνση της κάλυψης ψ αν ισχύουν τα παρακάτω: (1) κάθε στοιχείο της π περιέχεται σ ένα στοιχείο της ψ, (2) Για κάθε Œ Χ υπάρχει U ανοικτή περιοχή του στο χώρο Χ η οποία τέμνει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων της κάλυψης π. Ορισμός 2.1.11. Έστω Χ τοπολογικός χώρος και π μία οικογένεια υποσυνόλων του Χ. Τότε η οικογένεια π καλείται τοπικά πεπερασμένη αν για κάθε Œ Χ υπάρχει μία περιοχή U του που τέμνει το πολύ πεπερασμένο πλήθος στοιχείων της π. 2.2. Ανοικτή περιοχή-σημείο επαφής-κλειστή θήκη Στα επόμενα το Χ είναι τοπολογικός χώρος. Ορισμός 2.2.1. Έστω α σημείο του Χ. Κάθε ανοικτό σύνολο που περιέχει το α καλείται ανοικτή περιοχή ή απλώς περιοχή του α. Ορισμός 2.2.2. Έστω α σημείο του Χ. Το σύνολο όλων των περιοχών του σημείου α καλείται φίλτρο περιοχών του α και συμβολίζεται με N τ (a) ή με N(α) αν δεν είναι απαραίτητο να α- ναφέρεται η τοπολογία τ του χώρου. Είναι δηλαδή N(α) = {U Œ Χ : α Œ U}. Ορισμός 2.2.3. Έστω Α υποσύνολο του Χ. Ένα σημείο α του Χ καλείται σημείο επαφής του Α αν κάθε ανοικτή περιοχή U α του α περιέχει σημείο του Α, δηλαδή U α «Α. Ορισμός 2.2.4. Το σύνολο όλων των σημείων επαφής ενός υποσυνόλου Α του Χ καλείται κλειστή θήκη (ή περίβλημα) του Α και συμβολίζεται με Cl Χ (Α) ή απλά Cl(A). Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 16 Κεφάλαιο 2 Πρόταση 2.2.5. Έστω Α υποσύνολο του Χ. Τότε ισχύουν τα εξής: (1) Αν το Α είναι κλειστό, τότε Cl(A) = A. (2) Το σύνολο Cl(A) είναι κλειστό. (3) Το σύνολο Cl(A) συμπίπτει με την τομή όλων των κλειστών συνόλων του Χ που περιέχουν το Α. Πρόταση 2.2.6. Έστω Α και Β υποσύνολα του Χ. Τότε ισχύουν τα εξής: (1) Α Õ Cl(A). ( ) Cl( A) (2) Cl Cl( A) =. (3) Cl(A» Β) = Cl(A)» Cl(B). Πρόταση 2.2.7. Έστω Χ σύνολο και έστω ότι σε κάθε υποσύνολο Α του Χ αντιστοιχεί ένα υποσύνολο A του Χ για το οποίο ισχύουν: (1) Α Õ A. (2) A = A. (3) =. (4) A» B= A» B. Τότε υπάρχει μία και μόνο μία τοπολογία τ επί του Χ τέτοια ώστε η κλειστή θήκη Cl(A) κάθε υποσυνόλου Α του χώρου (Χ, τ) να συμπίπτει με το σύνολο A. Πρόταση 2.2.8. Έστω Χ τοπολογικός χώρος και π μία τοπικά πεπερασμένη οικογένεια υποσυνόλων του Χ. Ισχύουν τα εξής: (1) Κάθε υποοικογένεια της π είναι τοπικά πεπερασμένη. (2) Η οικογένεια {Cl(A) : Α Œ π} είναι τοπικά πεπερασμένη. (3) Cl (»{A:A Œ }) =» { Cl(A):AŒ } π π. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 17 2.3 Σύνορο-Εσωτερικό-Παράγωγος-Υπόχωρος Έστω Χ τοπολογικός χώρος και Α Õ Χ. Ορισμός 2.3.1. Ένα σημείο α του Χ καλείται συνοριακό σημείο του Α αν κάθε ανοικτή περιοχή U του α τέμνει τα σύνολα Α και Χ \ Α. Το σύνολο των συνοριακών σημείων του Α καλείται σύνορο του Α και συμβολίζεται με Bd X (A) ή πιο απλά Bd(A). Ορισμός 2.3.2. Ένα σημείο α του Χ καλείται εσωτερικό σημείο του Α αν υπάρχει ανοικτή περιοχή U του α τέτοια ώστε U Õ Α. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του Α καλείται εσωτερικό του Α και συμβολίζεται με Int X (A) ή πιο απλά Int(A). Ορισμός 2.3.3. Ένα σημείο α του Χ καλείται οριακό σημείο του Α αν κάθε ανοικτή περιοχή του α περιέχει σημείο του συνόλου Α \ {α}. Το σύνολο όλων των οριακών σημείων του Α καλείται παράγωγος του Α και συμβολίζεται με Α d. Πρόταση 2.3.4. Ισχύουν τα εξής: (1) Cl(A) = A» Bd(A). (2) Int(A) = A \ Bd(A). (3) Bd(A) = Cl(A) «Cl(X \ A), συνεπώς το Bd(A) είναι κλειστό. (4) Bd(A) = Cl(A) \ Int(A). (5) Χ \ Bd(A) = Int(A)» Int(Χ \ A). (6) Το Α είναι κλειστό αν και μόνο αν Bd(A) Õ A. (7) Το Α είναι ανοικτό αν και μόνο αν Bd(A) «A =. (8) A d \ A = Bd(A) \ A. (9) Το Α είναι κλειστό αν και μόνο αν A d Õ Α. (10) Το σύνολο Α» A d είναι κλειστό. Συμβολισμός 2.3.5. Έστω Α υποσύνολο ενός χώρου (Χ, τ). Με τ Α συμβολίζουμε το σύνολο όλων των υποσυνόλων V του Α για τα οποία υπάρχει στοιχείο U της τ τέτοιο ώστε V=Α«U, δηλαδή τ Α = {U «Α : U Œ τ}. Πρόταση 2.3.6. Το σύνολο τ Α ορίζει τοπολογία επί του Α. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 18 Κεφάλαιο 2 Ορισμός 2.3.7. Η τοπολογία τ Α καλείται σχετική τοπολογία επί του Α. Ορισμός 2.3.8. Ένας χώρος (Υ, τ(υ)) καλείται υπόχωρος του χώρου (Χ, τ) αν το σύνολο Υ είναι υποσύνολο του Χ και η τοπολογία τ(υ) συμπίπτει με την τοπολογία τ Υ. Πρόταση 2.3.9. Αν ο χώρος (Β,τ(Β)) είναι υπόχωρος του χώρου (Α,τ(Α)) και ο χώρος (Α,τ(Α)) είναι υπόχωρος του (Χ, τ), τότε και ο χώρος (Β,τ(Β)) είναι υπόχωρος του (Χ, τ). 2.4. Βάση και υπόβαση τοπολογίας Ορισμός 2.4.1. Έστω (Χ, τ) τοπολογικός χώρος. Ένα υποσύνολο β του τ καλείται βάση της τοπολογίας ή βάση του χώρου Χ αν κάθε ανοικτό υποσύνολο του Χ είναι ένωση στοιχείων του β. Προφανώς κάθε χώρος (Χ, τ) έχει σαν βάση το σύνολο τ. Πρόταση 2.4.2. Ένα υποσύνολο β του τ είναι βάση του χώρου (Χ,τ) αν και μόνο αν για κάθε ŒΧ και για κάθε ανοικτή περιοχή U του υπάρχει στοιχείο V του β τέτοιο ώστε Œ V Õ U. Πόρισμα 2.4.3. Έστω βάση β ενός χώρου Χ. Τότε ισχύουν τα εξής: (1) Η ένωση όλων των στοιχείων του β είναι το σύνολο Χ. (2) Αν U, V Œ β και Œ U «V, τότε υπάρχει στοιχείο W Œ β τέτοιο ώστε Œ W Õ U «V. Πρόταση 2.4.4. Έστω β σύνολο υποσυνόλων του Χ με τις ιδιότητες του παραπάνω πορίσματος. Τότε υπάρχει μία και μόνο μία τοπολογία τ επί του Χ για την οποία το σύνολο β είναι βάση. Ορισμός 2.4.5. Έστω υποσύνολο γ της τοπολογίας τ ενός χώρου Χ. Το σύνολο γ καλείται υ- πόβαση της τοπολογίας τ (ή του χώρου Χ ) αν το σύνολο το αποτελούμενο από τις πεπερασμένες τομές στοιχείων του γ είναι βάση της τοπολογίας τ. Πρόταση 2.4.6. Έστω σύνολο Χ και γ σύνολο υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα: η ένωση όλων των στοιχείων του γ είναι το σύνολο Χ. Τότε υπάρχει μία και μόνο μία τοπολογία τ επί του Χ για την οποία το σύνολο γ είναι υπόβαση. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 19 2.5. Απεικονίσεις Ορισμός 2.5.1. Έστω (Χ, τ(χ)) και (Υ, τ(υ)) δύο χώροι. Κάθε απεικόνιση f : X Y του συνόλου Χ στο σύνολο Υ καλείται και απεικόνιση του χώρου (Χ, τ(χ)) στον χώρο (Υ, τ(υ)). Ορισμός 2.5.2. Έστω f : Χ Υ απεικόνιση ενός χώρου Χ σ ένα χώρο Υ. Η απεικόνιση f καλείται συνεχής σ ένα σημείο του χώρου Χ αν για κάθε ανοικτή περιοχή U του σημείου f() στο χώρο Υ υπάρχει ανοικτή περιοχή V του σημείου στο χώρο Χ τέτοια ώστε f( V) (Βλέπε Σχήμα 2.1). Õ U. X f Y V U f(v) f() Σχήμα 2.1 Ορισμός 2.5.3. Μία απεικόνιση f ενός χώρου Χ σ ένα χώρο Υ καλείται συνεχής αν αυτή είναι συνεχής σε κάθε σημείο του χώρου Χ. Πρόταση 2.5.4. Η απεικόνιση f του χώρου Χ στο χώρο Υ είναι συνεχής αν και μόνο αν για -1 κάθε ανοικτό σύνολο U του χώρου Υ, το σύνολο f ( U) είναι ανοικτό στο χώρο Χ. Πρόταση 2.5.5. Η απεικόνιση f του χώρου Χ στον χώρο Υ είναι συνεχής αν και μόνο αν για -1 κάθε κλειστό σύνολο F του χώρου Υ, το σύνολο f ( F) είναι κλειστό στο χώρο Χ. Πρόταση 2.5.6. Έστω απεικόνιση f από ένα χώρο Χ σ ένα χώρο Υ. Οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: (1) Η απεικόνιση f είναι συνεχής. (2) Για κάθε υποσύνολο Α του Χ ισχύει: f Cl( A) (3) Για κάθε υποσύνολο Β του Υ ισχύει: ( ) ( ) Cl( f ( A) ) Õ. - - ( ) ( ) 1 1 ( ) Cl f B Õ f Cl B. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 20 Κεφάλαιο 2 Ορισμός 2.5.7. Κάθε απεικόνιση ενός χώρου Χ στο καλείται συνάρτηση του χώρου Χ. Ορισμός 2.5.8. Μία ένα προς ένα (1-1) απεικόνιση f ενός χώρου Χ επί ενός χώρου Υ καλείται ομοιομορφισμός αν η f και η f -1 είναι συνεχείς απεικονίσεις. Τότε λέμε ότι οι χώροι Χ και Υ είναι ομοιόμορφοι. Ορισμός 2.5.9. Μία απεικόνιση f ενός χώρου Χ επί ενός χώρου Υ καλείται ανοικτή (αντίστοιχα κλειστή) αν για κάθε ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) υποσύνολο Α του Χ, το σύνολο f ( A ) είναι ανοικτό (αντίστοιχα κλειστό) στο χώρο Υ. Πρόταση 2.5.10. Έστω f μία 1-1 συνεχής απεικόνιση ενός χώρου Χ επί ενός χώρου Υ. Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: (1) Η απεικόνιση f είναι ομοιομορφισμός. (2) Η απεικόνιση f είναι ανοικτή. (3) Η απεικόνιση f είναι κλειστή. Πρόταση 2.5.11. Αν f : Χ Æ Υ είναι μία κλειστή (ανοικτή) απεικόνιση, τότε για κάθε υπόχωρο L Õ Υ ο περιορισμός L -1 f :f (L) Æ L είναι κλειστή (ανοικτή) απεικόνιση. Ορισμός 2.5.12. Έστω Χ, Υ τοπολογικοί χώροι, { Α : Α X, λ Λ} και { f :λ Λ} λ λ λ Õ Œ κάλυμμα του χώρου Χ Œ οικογένεια συνεχών απεικονίσεων, όπου f λ : Α λ ÆΥ. Λέγεται ότι οι απεικονίσεις f λ, λ Œ Λ είναι συμβατές αν για κάθε ζεύγος λ 1, λ 2 του Λ ισχύει: f = f. λ1 Αλ «Α 1 λ λ 2 2 Αλ «Α 1 λ2 Γράφοντας f() = f λ (), για Œ Α λ και λ Œ Λ, έχουμε τον επόμενο ορισμό. Ορισμός 2.5.13. Ορίζουμε την απεικόνιση f από το χώρο Χ στο χώρο Υ, f : Χ Æ Υ, η οποία καλείται συνδυασμός των απεικονίσεων { f :λ Λ} λ Œ και συμβολίζεται ως fλ. Αν το σύνολο των δεικτών Λ είναι πεπερασμένο, τότε γράφουμε f 1 f 2... f n. λœλ Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 21 Πρόταση 2.5.14. Έστω δύο τοπολογικοί χώροι Χ και Υ. Αν { U :λ Λ} κάλυψη του χώρου Χ και { f :λœ Λ} λ λ Œ είναι μία ανοικτή, όπου f λ : U λ ÆΥ, μια οικογένεια συνεχών συμβατών απεικονίσεων, τότε η απεικόνιση f = στον χώρο Υ. f είναι μια συνεχής απεικόνιση από τον χώρο Χ λœλ λ Πρόταση 2.5.15. Μία απεικόνιση από έναν τοπολογικό χώρο Χ σ έναν τοπολογικό χώρο Υ, είναι συνεχής αν και μόνο αν για κάθε Œ Χ υπάρχει ανοικτή περιοχή U τέτοια ώστε ο περιορισμός της f U να είναι συνεχής. Πρόταση 2.5.16. Αν {F λ : λ Œ Λ} είναι ένα τοπικά πεπερασμένο κλειστό κάλυμμα του χώρου Χ και { f :λœ Λ} λ, όπου f λ : U λ ÆΥ, είναι μια οικογένεια συμβατών συνεχών απεικονίσεων τότε η απεικόνιση f = f είναι μία συνεχής απεικόνιση από το χώρο Χ στο χώρο Υ. λœλ λ 2.6 Ακολουθίες Moore-Smith Ορισμός 2.6.1. Μια διμελής σχέση σ ένα σύνολο Α καλείται σχέση μερικής διάταξης αν ισχύουν οι συνθήκες: (1) για κάθε Œ Α (ανακλαστική ιδιότητα). (2) Αν y και y τότε = y,, y Œ Α (αντισυμμετρική ιδιότητα). (3) Αν y και y z, τότε z,, y, z Œ Α (μεταβατική ιδιότητα). Το ζεύγος (Α, ) καλείται μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Παρατήρηση. Σ ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο (Α, ), δεν είναι απαραίτητο οποιαδήποτε δύο στοιχεία να είναι συγκρίσιμα. Δηλαδή αν, y Œ Α, μπορεί να μην ισχύει καμία από τις y ή y. Ορισμός 2.6.2. Ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο Λ καλείται κατευθυνόμενο αν για κάθε δύο στοιχεία του λ 1 και λ 2 υπάρχει στοιχείο λ Œ Λ τέτοιο ώστε λ 1 λ και λ 2 λ. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 22 Κεφάλαιο 2 Ορισμός 2.6.3. Έστω χώρος Χ. Μία απεικόνιση S ενός κατευθυνόμενου συνόλου Λ στο χώρο Χ καλείται ακολουθία Moore-Smith του Χ (M-S) και συμβολίζεται με S = { λ : λ Œ Λ}. Το Λ καλείται πεδίο ορισμού της ακολουθίας M-S. Το σύνολο που αποτελείται από όλα τα σημεία λ, λ Œ Λ, καλείται πεδίο τιμών της S. Αν το πεδίο τιμών περιέχεται σ ένα υποσύνολο Α του Χ, τότε θα λέμε ότι η S είναι και ακολουθία M-S του Α. Ορισμός 2.6.4. Έστω { λ : λ Œ Λ} ακολουθία M-S ενός χώρου Χ. Λέγεται ότι η ακολουθία αυτή συγκλίνει σ ένα σημείο Œ Χ αν για κάθε ανοικτή περιοχή U του, υπάρχει λ 0 Œ Λ τέτοιο ώστε λ Œ U, για κάθε λ λ 0. Το σημείο καλείται όριο της ακολουθίας αυτής. Ορισμός 2.6.5. Έστω { λ : λ Œ Λ} ακολουθία M-S ενός χώρου Χ. Ένα σημείο Œ Χ καλείται οριακό σημείο της M-S ακολουθίας αν για κάθε ανοικτή περιοχή U του στο Χ και για κάθε λ 0 Œ Λ, υπάρχει λ Œ Λ με λ λ 0 τέτοιο ώστε λ Œ U. Θεώρημα 2.6.6. Έστω Χ τοπολογικός χώρος και Α Õ Χ. Ένα σημείο του Χ ανήκει στην Cl(A) αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία M-S του Α που συγκλίνει στο σημείο. Θεώρημα 2.6.7. Έστω Χ και Υ τοπολογικοί χώροι. Μία απεικόνιση f : Χ Υ είναι συνεχής στο Œ Χ αν και μόνο αν για κάθε M-S ακολουθία { λ : λ Œ Λ} του Χ η οποία συγκλίνει στο, η M-S ακολουθία ( ) { f,λ Λ} λ Œ του Υ συγκλίνει στο σημείο ( ) f. 2.7 Αξιώματα διαχωρισιμότητας Ορισμός 2.7.1. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται Τ 0 -χώρος αν για κάθε δύο σημεία του και y, διάφορα μεταξύ των, υπάρχει ανοικτό σύνολο U του Χ που περιέχει το ένα εκ των και y και δεν περιέχει το άλλο. (Βλέπε σχήμα 2.2). Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 23 X U y Σχήμα 2.2 Ορισμός 2.7.2.Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται Τ 1 -χώρος αν για κάθε δύο σημεία του και y, διάφορα μεταξύ των, υπάρχει ανοικτό σύνολο U του Χ που περιέχει το σημείο, δηλαδή το πρώτο, και δεν περιέχει το δεύτερο σημείο y. (Βλέπε σχήμα 2.3). U V X y Σχήμα 2.3 Ορισμός 2.7.3. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται Τ 2 -χώρος ή χώρος Hausdorff αν για κάθε δύο σημεία του και y, διάφορα μεταξύ των, υπάρχουν ξένες μεταξύ τους ανοικτές περιοχές U και V, δηλαδή U «V =. Στην περίπτωση αυτή η τοπολογία του χώρου Χ καλείται τοπολογία Hausdorff. (Βλέπε σχήμα 2.4). X U V y Σχήμα 2.4 Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 24 Κεφάλαιο 2 Θεώρημα 2.7.4. Ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι Τ 1 -χώρος αν και μόνο αν για κάθε σημείο του Œ Χ το μονοσύνολο {} είναι κλειστό. Ορισμός 2.7.5. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται Τ 3 -χώρος αν για κάθε σημείο Œ Χ και για κάθε κλειστό υποσύνολο F του Χ που δεν περιέχει το, υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε Œ U, F Õ V και U «V =. (Βλέπε σχήμα 2.5). X U V F Σχήμα 2.5 Ορισμός 2.7.6. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται κανονικός (regular) χώρος αν αυτός είναι ταυτόχρονα Τ 1 -χώρος και Τ 3 -χώρος. Ορισμός 2.7.7. Έστω τοπολογικός χώρος Χ και Α, Β δύο ξένα μεταξύ τους κλειστά υποσύνολά του. Λέμε ότι τα σύνολα Α και Β διαχωρίζονται με συνάρτηση αν υπάρχει συνεχής απεικόνιση f : Χ I = [0, 1], τέτοια ώστε f( ) = 0 για κάθε Œ Α και f( y ) = 1 για κάθε y Œ Β. Ορισμός 2.7.8. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται Τ 3½ -χώρος αν για κάθε σημείο Œ Χ και για κάθε κλειστό σύνολο F του Χ που δεν περιέχει το, τα σύνολα {} και F διαχωρίζονται με συνάρτηση. Δηλαδή υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : Χ Ι = [0,1] τέτοια ώστε f( ) = 0 και f( y ) = 1 για κάθε y Œ F. Ορισμός 2.7.9. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται πλήρως κανονικός ή χώρος Tychonoff αν ο χώρος αυτός είναι Τ 1 -χώρος και Τ 3½ -χώρος. Θεώρημα 2.7.10. Κάθε χώρος Tychonoff είναι κανονικός χώρος. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 25 Ορισμός 2.7.11. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται Τ 4 -χώρος αν για κάθε ζεύγος Α και Β ξένων μεταξύ των κλειστών συνόλων του Χ υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V τέτοια ώστε Α Õ U, Β Õ V και U «V =. (Βλέπε σχήμα 2.6). U A V X B Σχήμα 2.6 Ορισμός 2.7.12. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται φυσικός (normal) χώρος αν είναι Τ 1 - χώρος και Τ 4 -χώρος. Θεώρημα 2.7.13. (Λήμμα Urysohn) Έστω Χ φυσικός χώρος και Α και Β δύο ξένα μεταξύ τους κλειστά σύνολα του Χ. Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση f του Χ τέτοια ώστε f() = 0 για κάθε Œ Α και f(y) = 1 για κάθε y Œ Β. Πόρισμα 2.7.14. Κάθε φυσικός χώρος είναι χώρος Tychonoff. Θεώρημα 2.7.15. Κάθε μετρικός χώρος είναι φυσικός χώρος. Θεώρημα 2.7.16. Για κάθε ζεύγος συνεχών απεικονίσεων f, g από έναν τοπολογικό χώρο Χ { } σ έναν Hausdorff χώρο Υ, το σύνολο Χ :f( ) g( ) Œ = είναι κλειστό στον Χ. Θεώρημα 2.7.17. Κάθε υπόχωρος ενός Τ i χώρου, i = 1, 2, 3, 3½, είναι Τ i χώρος. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 26 Κεφάλαιο 2 Ορισμός 2.7.18. Έστω Χ, Υ τοπολογικοί χώροι, Μ υπόχωρος του Χ και f : Μ Æ Υ συνεχής συνάρτηση. Αν υπάρχει συνεχής συνάρτηση F : Χ Æ Υ τέτοια, ώστε F M = f, τότε λέγεται ότι η συνάρτηση f επεκτείνεται συνεχώς στο χώρο Χ. Στην περίπτωση αυτή λέγεται ότι η F είναι η συνεχής επέκταση της συνάρτησης f στο χώρο Χ. Πρόταση 2.7.19. (Tietze - Urysohn). Έστω Μ υπόχωρος ενός φυσικού χώρου Χ. Κάθε συνεχής συνάρτηση f : Μ Æ, έχει συνεχή επέκταση στο χώρο Χ. 2.8. Αξιώματα αριθμησιμότητας Ορισμός 2.8.1. Βάρος ενός χώρου Χ καλείται ο ελάχιστος πληθάριθμος για τον οποίο υ- πάρχει μία βάση β του Χ με ισχύ, δηλαδή β =. Το βάρος του Χ συμβολίζεται με ω(χ). Ορισμός 2.8.2. Έστω χώρος Χ. Λέμε ότι ο Χ πληρεί το δεύτερο αξίωμα αριθμησιμότητας αν ω(χ) 0. Ορισμός 2.8.3. Ένα υποσύνολο Α ενός τοπολογικού χώρου Χ καλείται παντού πυκνό αν κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του Α. (Σχήμα 2.7). Το σύνολο Α καλείται πουθενά πυκνό αν κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο του Χ περιέχει μη κενό ανοικτό σύνολο που δεν τέμνει το Α. (Σχήμα 2.8). A X A X Σχήμ 2.7 Σχήμα 2.8 Ορισμός 2.8.4. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται διαχωρίσιμος αν ο χώρος έχει παντού πυκνό υποσύνολο που είναι το πολύ αριθμήσιμο. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 27 Θεώρημα 2.8.5. Έστω Χ τοπολογικός χώρος με ω(χ) =. Τότε υπάρχει παντού πυκνό υποσύνολο Α του Χ με ισχύ. Πόρισμα 2.8.6. Κάθε χώρος που πληρεί το δεύτερο αξίωμα αριθμησιμότητας είναι διαχωρίσιμος. Ορισμός 2.8.7. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται χώρος Lindelöf αν κάθε ανοικτή κάλυψη του Χ περιέχει υποκάλυψη που είναι το πολύ αριθμήσιμη. Ορισμός 2.8.8. Έστω Χ τοπολογικός χώρος και Œ Χ. Ένα σύνολο β() ανοικτών περιοχών του καλείται βάση του χώρου Χ στο σημείο αν για κάθε ανοικτή περιοχή U του υπάρχει V Œ β() ώστε Œ V Õ U. Ορισμός 2.8.9. Χαρακτήρας ενός τοπολογικού χώρου Χ καλείται ο ελάχιστος πληθάριθμος τέτοιος ώστε για κάθε σημείο του Χ να υπάρχει βάση β() του Χ στο με β(). Ο χαρακτήρας του χώρου Χ συμβολίζεται με χ(x). Ορισμός 2.8.10. Έστω Χ τοπολογικός χώρος. Λέμε ότι ο χώρος Χ ικανοποιεί το πρώτο αξίωμα αριθμησιμότητας αν ο χαρακτήρας του χώρου Χ είναι 0, δηλαδή όταν ο χώρος Χ σε κάθε σημείο του έχει το πολύ αριθμήσιμη βάση. 2.9. Γινόμενο τοπολογικών χώρων Ορισμός 2.9.1. Έστω Χ και Υ δύο τοπολογικοί χώροι με τοπολογίες τ 1 και τ 2 αντίστοιχα. Το σύνολο β όλων των υποσυνόλων W του Χ Υ της μορφής U V, όπου U Œ τ 1 και V Œ τ 2, είναι βάση τοπολογίας επί του συνόλου Χ Υ. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 28 Κεφάλαιο 2 Ορισμός 2.9.2. Έστω Χ και Υ δύο τοπολογικοί χώροι με τοπολογίες τ 1 και τ 2 αντίστοιχα. Η τοπολογία τ που έχει σαν βάση το σύνολο β όλων των υποσυνόλων του Χ Υ το οποίο είναι της μορφής U V, με U Œ τ 1 και V Œ τ 2, ονομάζεται γινόμενο των τοπολογιών τ 1 και τ 2 και συμβολίζεται με τ 1 τ 2. Ο τοπολογικός χώρος Χ Υ, δηλαδή το σύνολο Χ Υ εφοδιασμένο με την τοπολογία τ 1 τ 2 καλείται (τοπολογικό) γινόμενο των χώρων Χ και Υ. Ορισμός 2.9.3. Έστω Χ, Υ δύο χώροι και Ζ = Χ Υ. Οι απεικονίσεις p: Ζ Χ και q: Ζ Υ με p(, y) = και q(, y) = y καλούνται πρώτη και δεύτερη προβολή αντίστοιχα. Θεώρημα 2.9.4. Έστω Χ και Υ δύο χώροι. Οι προβολές p: Χ Υ Χ και q: Χ Υ Υ είναι συνεχείς και ανοικτές απεικονίσεις. Θεώρημα 2.9.5. Έστω Χ και Υ δύο τοπολογικοί χώροι με τοπολογίες τ 1 και τ 2 αντίστοιχα. Η τοπολογία τ 1 τ 2 επί του Χ Υ είναι η ελάχιστη τοπολογία επί του Χ Υ για την οποία οι προβολές p: Χ Υ Χ και q: Χ Υ Υ είναι συνεχείς. Ορισμός 2.9.6. Έστω η οικογένεια συνόλων φ = {Χ λ : λ Œ Λ}. Το σύνολο όλων των απεικονίσεων f: Λ»{ Χ λ : λ Œ Λ} με f ( λ) λ = Œ Χ λ καλείται γινόμενο των συνόλων της οικογένειας φ και συμβολίζεται με { X ŒΛ } λ : λ Αν κάποιο τουλάχιστον από τα σύνολα Χ λ είναι κενό, τότε θεωρούμε ότι το γινόμενο είναι το κενό σύνολο. Το σημείο λ καλείται λ-συντεταγμένη της f. Η f συμβολίζεται και με { λ } λ Œ Λ ή απλά { λ }. Ορισμός 2.9.7. Η απεικόνιση ( ) με { } p λ λ λ =, δηλαδή ( ) λ λ : λ Χ λ, λ Œ Λ p λ : { X ŒΛ } p f = καλείται λ-προβολή ή απλά προβολή. λ Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 29 Ορισμός 2.9.8. Έστω {Χ λ : λ Œ Λ}, οικογένεια τοπολογικών χώρων. Η ελάχιστη τοπολογία τ επί του γινομένου { X Œ Λ } λ : λ για την οποία όλες οι προβολές p λ, λ Œ Λ, είναι συνεχείς ονομάζεται τοπολογία γινομένου ή τοπολογία Tychonoff. Το σύνολο { X Œ Λ } λ : λ εφοδιασμένο με την τοπολογία γινομένου ονομάζεται γινόμενο των τοπολογικών χώρων Χ λ. 2.10. Στοιχεία θεωρίας συνόλων Λήμμα Zorn Ορισμός 2.10.1. Έστω (Α, ) μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Λέμε ότι το 0 είναι μέγιστο στοιχείο (maimum), αν για κάθε Œ A είναι 0. Ορισμός 2.10.2. Έστω (Α, ) μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Λέμε ότι το 0 είναι maimal (μεγιστικό) όταν από τη σχέση 0, με Œ Α, έχουμε = 0. Ορισμός 2.10.3. Ένα διατεταγμένο σύνολο (Χ, ) καλείται αλυσίδα ή ολικά διατεταγμένο αν y ή y για κάθε, y Œ Χ. Λήμμα 2.10.4. (Zorn Kuratowski) Έστω (Χ, ) μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Αν κάθε α- λυσίδα του Χ έχει άνω φράγμα στο Χ, τότε το Χ έχει ένα τουλάχιστον μεγιστικό (maimal) στοιχείο. 2.11. Φίλτρα Ορισμός 2.11.1. Έστω Χ μη κενό σύνολο. Ένα φίλτρο επί του Χ (filter on Χ) είναι μια μη κενή οικογένεια F υποσυνόλων του Χ, δηλαδή F Õ P(X), που ικανοποιεί τα παρακάτω α- ξιώματα: (1) (" F)[ FŒF ÆF ] (2) (" F )(" F )[ F ŒF ŸF ŒF Æ F «F ŒF ] 1 2 1 2 1 2 (3) (" F )(" F )[ F ŒF ŸF ÕF Õ Χ ÆF ŒF ] 1 2 1 1 2 2 Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 30 Κεφάλαιο 2 Παρατήρηση. Από το Αξίωμα (3) προκύπτει ότι Χ Œ F. Ορισμός 2.11.2. Αν F 1, F 2 είναι δύο φίλτρα σ έναν χώρο Χ και F 1 Õ F 2, τότε λέγεται ότι το φίλτρο F 1 είναι ασθενέστερο του φίλτρου F 2 ή ότι το φίλτρο F 2 είναι ισχυρότερο από το φίλτρο F 1. Πρόταση 2.11.3. Έστω Χ σύνολο και Α μη κενό υποσύνολο του Χ. Τότε, η οικογένεια είναι φίλτρο επί του Χ. F Α = {F Œ P(Χ) : A Õ F} Ορισμός 2.11.4. Έστω Χ μη κενό σύνολο και Α μη κενό υποσύνολο του Χ. Το φίλτρο F A επί του Χ καλείται πρωτεύον φίλτρο επί του Χ που παράγεται από το Α (principal filter on Χ generated by Α). Εάν A = {α}, τότε γράφουμε F α και λέμε ότι το φίλτρο F α παράγεται από το στοιχείο α. Ορισμός 2.11.5. Ένα φίλτρο F επί ενός συνόλου Χ καλείται maimal (μεγιστικό) εάν για κάθε φίλτρο F επί του Χ με F Õ F έχουμε F = F. Πρόταση 2.11.6. Έστω Χ μη κενό σύνολο και α Œ Χ. Τότε, το φίλτρο είναι maimal. { ( Χ ) } Fα = F ŒP :α ŒF Ορισμός 2.11.7. Έστω Χ μη κενό σύνολο. Μία βάση φίλτρου στο Χ (filter-base in Χ) είναι μια οικογένεια B υποσυνόλων του Χ, δηλαδή B Õ P(X), που ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα: (1) (" B)[ BŒB ÆB ] (2) (" B )(" B ) ÈB ŒBŸB ŒBÆ ( $ B )[ B ŒB Ÿ B ÕB «B ] Î 1 2 1 2 3 3 3 1 2 Πρόταση 2.11.8. Έστω B βάση φίλτρου σ' ένα σύνολο Χ. Τότε, η οικογένεια F B = {F Œ P(Χ) : υπάρχει Β Œ B ώστε Β Õ F} είναι φίλτρο επί του Χ. (Λέμε ότι το φίλτρο F B παράγεται από τη βάση φίλτρου B) Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας και Θεωρίας Συνόλων Σελίδα 31 Πρόταση 2.11.9. Έστω σύνολο Χ, F maimal φίλτρο επί του Χ και Α Œ P(X) με Α œ F. Τότε, υπάρχει F Œ F ώστε A «F =. Πόρισμα 2.11.10. Έστω Χ σύνολο και F maimal φίλτρο επί του Χ. Εάν Α, Β Œ P(X) με Α «Β = και A» Β Œ F, τότε A Œ F ή Β Œ F. Ορισμός 2.11.11. Ένα φίλτρο F επί ενός συνόλου Χ καλείται υπερφίλτρο (ultrafilter) εάν για κάθε A Õ Χ είτε A Œ F είτε Χ \ Α Œ F. Πρόταση 2.11.12. Ένα φίλτρο F επί ενός συνόλου Χ είναι υπερφίλτρο εάν και μόνο εάν είναι maimal. 2.12. Σύγκλιση Φίλτρων Ορισμός 2.12.1. Έστω (Χ, τ) ένας τοπολογικός χώρος, σημείο του Χ και έστω F ένα φίλτρου του Χ. Λέγεται ότι το φίλτρο F συγκλίνει στο σημείο ή ότι το είναι όριο του φίλτρου F, αν το σύνολο των περιοχών του περιέχεται στο φίλτρο F, δηλαδή N() Õ F. Συμβολισμός: Το σύνολο των ορίων ενός φίλτρου F συμβολίζεται με limf. Αν το σημείο είναι όριο του φίλτρου F γράφουμε F Æ ή Œ limf. Αν το σημείο είναι το μοναδικό ό- ριο του φίλτρου F, αντί για limf = {} γράφουμε limf =. Πρόταση 2.12.2. Έστω F επί ενός χώρου Χ και Œ Χ. Τότε το φίλτρο F συγκλίνει στο αν και μόνο αν για κάθε σύνολο V Õ N() υπάρχει F Œ F τέτοιο, ώστε F Õ V. Πρόταση 2.12.3. Αν ένα φίλτρο F συγκλίνει στο σημείο του χώρου Χ, τότε και κάθε φίλτρο ισχυρότερο του F συγκλίνει στο. Παραδείγματα 2.12.4. (1) Αν (Χ, τ) είναι ένας τοπολογικός χώρος και ένα σημείο του. Τότε N() Æ. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Σελίδα 32 Κεφάλαιο 2 ( ) (2) Έστω ο διακριτικός χώρος Χ, τ ( Χ) = P. Τότε κάθε φίλτρο επί του Χ συγκλίνει το πολύ σ ένα σημείο. (3) Έστω ο τετριμμένος χώρος Χ, τ { Χ, } ( ) =, F ένα φίλτρο επί του Χ και Œ Χ. Τότε κάθε φίλτρο F επί του χώρου Χ συγκλίνει σε κάθε σημείο του Χ. Ορισμός 2.12.5. Έστω χώρος (Χ, τ), Œ Χ και F φίλτρο επί του Χ. Αν Œ I Cl(F), τότε το FŒ F σημείο καλείται οριακό σημείο του φίλτρου F. Συμβολισμός: Το σύνολο των οριακών σημείων ενός φίλτρου F συμβολίζεται με limf. Αν δηλαδή το είναι οριακό σημείο του F γράφουμε Œ limf. Αν το είναι το μοναδικό οριακό σημείο του φίλτρου F, τότε γράφουμε limf =, αντί για limf = {}. Πρόταση 2.12.6. Αν F ένα φίλτρο επί του Χ. Τότε το σημείο του Χ είναι οριακό σημείο του F αν και μόνο αν για κάθε V Œ N() και για κάθε F Œ F ισχύει ότι V «F. Πρόταση 2.12.7. Έστω F φίλτρο επί του χώρου Χ. Τότε limf Õ limf. Πρόταση 2.12.8. Έστω F φίλτρο επί του χώρου Χ και σημείο του χώρου. Τότε το είναι οριακό σημείο του φίλτρου F αν και μόνο αν υπάρχει φίλτρο G επί του Χ τέτοιο ώστε F Õ G και G Æ. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι Σελίδα 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε τους συμπαγείς τοπολογικούς χώρους και βασικές έννοιες αυτών. Επίσης εξετάζονται έννοιες συναφείς με τη συμπάγεια. 3.1. Ορισμός και βασικές ιδιότητες συμπαγών χώρων. Ορισμός 3.1.1. Ένας τοπολογικός χώρος Χ καλείται συμπαγής εάν κάθε ανοικτή κάλυψη του Χ περιέχει πεπερασμένη υποκάλυψη. Πρόταση 3.1.2. Ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι συμπαγής αν και μόνον αν κάθε οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής έχει μη κενή τομή. Απόδειξη. Έστω ότι ο χώρος Χ είναι συμπαγής, θα αποδείξουμε ότι κάθε οικογένεια π κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής έχει μη κενή τομή. Ας υποθέσουμε το αντίθετο, ότι δηλαδή μία τέτοια οικογένεια π = {F λ : λ Œ Λ} έχει κενή τομή. Θεωρούμε την οικογένεια ψ = {Χ \ F λ : λ Œ Λ}. Τα στοιχεία της ψ είναι ανοικτά. Θα δείξουμε ότι η ψ είναι κάλυψη του Χ. Πράγματι, επειδή { F :λ Λ} «Œ =, έχουμε { \F :λ Λ} λ» Χ Œ = Χ. λ Τώρα, επειδή ο χώρος Χ είναι συμπαγής, για την ανοικτή κάλυψη ψ υπάρχει πεπερασμένη Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Σελίδα 34 Κεφάλαιο 3 υποκάλυψη { λ λ } ψ1 = Χ \F,..., Χ \F, 1 n της ψ. Οπότε Χ =» { Χ \F :i= 1,...,n} και συνεπώς { F :i 1,...,n} λ i λ i «= =. Άρα η οικογένεια π δεν έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής, που είναι άτοπο. Συνεπώς, η τομή των στοιχείων της π είναι μη κενή. Αντιστρόφως, έστω ότι κάθε οικογένεια π κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής έχει μη κενή τομή. Θα αποδείξουμε ότι ο χώρος Χ είναι συμπαγής. Ας υποθέσουμε το αντίθετο, ότι δηλαδή ο χώρος δεν είναι συμπαγής. Τότε, υπάρχει ανοικτή κάλυψη { U :λ Λ} ψ = Œ, του Χ που δεν έχει πεπερασμένη υποκάλυψη. λ Θεωρούμε την οικογένεια π = { Χ \U λ : λœ Λ}. Προφανώς, τα στοιχεία της π είναι κλειστά. Θα αποδείξουμε ότι η π έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Πράγματι, έστω λ 1,...,λ 2, Œ Λ. Τότε, { Χ λ } Χ { λ } «\U :i= 1,...,n = \» U :i= 1,...,n. i Επειδή»{ U λ i :i= 1,...,n} Χ, έχουμε ότι Χ \» U :i= 1,...,n =«Χ \U :i= 1,..,n { λ } { λ } i που σημαίνει ότι η οικογένεια π έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Οπότε, λόγω υποθέσεως, έχουμε { Χ \U :λ Λ} «Œ. Άρα { } λ λ» U :λœλ Χ Αυτό σημαίνει ότι η ψ δεν είναι κάλυψη του Χ, άτοπο. Άρα ο χώρος Χ είναι συμπαγής. i i Πρόταση 3.1.3. Κάθε κλειστός υπόχωρος ενός συμπαγούς χώρου είναι συμπαγής. Απόδειξη. Έστω Υ κλειστός υπόχωρος ενός συμπαγούς χώρου Χ. Θα αποδείξουμε ότι ο Υ είναι συμπαγής. Έστω π οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Υ με την ιδιότητα της πεπερασμένης το- Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι Σελίδα 35 μής. Επειδή κάθε κλειστό υποσύνολο του Υ είναι και κλειστό υποσύνολο του Χ, η οικογένεια π είναι μία οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ με την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Άρα, σύμφωνα με την Πρόταση 3.1.2, η τομή των στοιχείων της είναι μη κενή. Συνεπώς, ο υπόχωρος Υ σύμφωνα με την ίδια πρόταση, είναι συμπαγής. Πρόταση 3.1.4. Ένας υπόχωρος Υ ενός τοπολογικού χώρου Χ είναι συμπαγής εάν και μόνον εάν κάθε οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του Χ που η ένωσή τους περιέχει το Υ, έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων που η ένωσή τους περιέχει το Υ. Απόδειξη. Έστω Υ συμπαγής υπόχωρος του Χ και { U : Λ} ψ = λ Œ οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του Χ τέτοια ώστε λ Υ Õ» { U λ :λ Œ Λ } Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει πεπερασμένη υποοικογένεια { U :i 1,...,n} { U :i 1,...,n} Υ Õ» =. Θεωρούμε την οικογένεια ψ = { Υ «U : λœ Λ } Η Υ λ i λ λ i = της ψ, τέτοια ώστε ψ Υ είναι ανοικτή κάλυψη του Υ. Επειδή Υ συμπαγής υπόχωρος του Χ υπάρχει πεπερασμένη υποοικογένεια της Υ { U,..., U } ψ = Υ «Υ «Υ λ1 λn ψ τέτοια ώστε Υ { Υ U :i 1,..,n} =» «=. Οπότε { U :i 1,...n} λ i λ i Υ Õ» =. Αντιστρόφως, έστω ότι κάθε οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του Χ που η ένωσή τους περιέχει το Υ έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων που η ένωσή τους περιέχει το Υ. θα αποδείξουμε ότι ο υπόχωρος Υ είναι συμπαγής. Έστω = { U : ŒΛ} ψ λ ανοικτή κάλυψη του Υ. Για κάθε λ Œ Λ υπάρχει ανοικτό υποσύνολο V λ του Χ τέτοιο ώστε Uλ = Υ «Vλ. ψ = Œ. Θεωρούμε την οικογένεια { V :λ Λ} Τότε { V :λ Λ} λ Υ Õ Œ. Εξ υποθέσεως υπάρχουν στοιχεία λ 1,..., λ η του Λ τέτοια ώστε λ λ Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Σελίδα 36 Κεφάλαιο 3 { V :i 1,...,n} Υ Õ» =. Οπότε { U :i 1,...,n} Άρα, το σύνολο { λ λ } είναι συμπαγής. 1 n λ i Υ =» =. λ i U,...,U είναι πεπερασμένη υποκάλυψη της ψ και συνεπώς ο χώρος Υ Πρόταση 3.1.5. Έστω F l,..., F n κλειστά υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου Χ. Ο υπόχωρος F = F 1»...» F n είναι συμπαγής εάν και μόνον εάν κάθε υπόχωρος F i, i = 1,..., n, είναι συμπαγής. Απόδειξη. Έστω ότι ο υπόχωρος F είναι συμπαγής. Επειδή το σύνολο F i, i = l,.., n, είναι κλειστό υποσύνολο του F, ο υπόχωρος F i είναι συμπαγής. Αντιστρόφως, έστω ότι για κάθε i = 1,...,n ο υπόχωρος F i είναι συμπαγής. Θα αποδείξουμε ότι και ο υπόχωρος F είναι συμπαγής. Πράγματι, έστω ψ οικογένεια ανοιχτών υποσυνόλων του Χ που η ένωση τους περιέχει το F. Τότε, η ένωση αυτή περιέχει και το σύνολο F i για κάθε i = 1,.., n. Επειδή ο υπόχωρος F i είναι συμπαγής, σύμφωνα με την Πρόταση 3.1.4, υπάρχει πεπερασμένη υποοικογένεια ψ i της ψ τέτοια ώστε η ένωση των στοιχείων αυτής να περιέχει το F i. Τότε, η οικογένεια ψ που περιέχει όλα τα ανοικτά σύνολα της οικογένειας ψ i, i = 1,,n, είναι πεπερασμένη και περιέχει το F. Άρα, από την Πρόταση 3.1.4, ο υπόχωρος F είναι συμπαγής. Πρόταση 3.1.6. Έστω Α και Β δύο υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου Χ με κενή τομή, δηλαδή Α «Β. Ισχύουν τα εξής: (1) Εάν ο χώρος Χ είναι κανονικός, ο υπόχωρος Α συμπαγής και το σύνολο Β κλειστό, τότε υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε A Õ U, Β Õ V και U «V=. (2) Εάν ο χώρος Χ είναι Hausdorff χώρος και οι υπόχωροι Α και Β συμπαγείς, τότε υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε A Õ U, Β Õ V και U «V =. Απόδειξη. (1) Έστω Œ Α. Τότε, œ Β. Επειδή ο χώρος Χ είναι κανονικός, υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε Œ U, Β Õ V και U «V =. Η οικογένεια = { U :ŒA} ψ έχει την ιδιότητα ότι η ένωση όλων των στοιχείων της περιέχει το Α. Επειδή ο υπόχωρος Α είναι συμπαγής, από την Πρόταση 3.1.4 προκύπτει ότι υπάρ- Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι Σελίδα 37 χει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων U,...,U της ψ τέτοιο ώστε 1 n A Õ U»...» U. 1 n Θέτουμε U = U»...» U και V = 1 n V «...«V. 1 n Τότε A Õ U και Β Õ V. Θα αποδείξουμε ότι U «V =. Πράγματι, εάν y Œ U «V, τότε υπάρχει i, 1 i n, τέτοιο ώστε Œ U i και Œ V i το οποίο είναι άτοπο. Άρα, U «V =. (2) Έστω Œ Α. Για κάθε σημείο y Œ Β υπάρχουν ανοικτές περιοχές y αντιστοίχως, τέτοιες ώστε U y y U και «Vy =. Για την οικογένεια { V y :y B} { y } BÕ» V :yœ B. Œ έχουμε V y των και Επειδή ο υπόχωρος Β είναι συμπαγής, υπάρχουν περιοχές y1 yn V,...,V τέτοιες ώστε Β Õ y1 yn V»...» V. y y Θέτουμε U = U 1 «...«U n και y1 yn V = V»...» V. Τότε, έχουμε Œ U, B Õ V και U «V =. Θεωρούμε την οικογένεια { U :Œ A}. Τότε A { U : A} Õ» Œ. Επειδή Α συμπαγής υπόχωρος υπάρχουν U,...,U τέτοιες ώστε A Õ 1 n U»...» U. 1 n Θέτουμε U = U»...» U και V = V 1 «...«V n. Προφανώς, A Õ U και Β Õ V. Όπως 1 n και στην πρώτη περίπτωση αποδεικνύεται ότι U «V =. Πρόταση 3.1.7. Κάθε συμπαγής υπόχωρος ενός Hausdorff χώρου Χ είναι κλειστό υποσύνολο του Χ. Απόδειξη. Έστω Α συμπαγής υπόχωρος του Χ. Για να αποδειχθεί ότι ο υπόχωρος Α είναι κλειστό υποσύνολο του Χ αρκεί να αποδειχθεί ότι το σύνολο Χ \ Α είναι ανοικτό. Έστω Œ Χ \ Α δηλαδή œ Α. Από την Πρόταση 3.1.6 (2) προκύπτει ότι υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε A Õ U, {} Õ V (παρατηρούμε ότι ο υπόχωρος {} είναι συμπαγής και Α «{} = ) και U «V =. Άρα, Α «V =, δηλαδή V Õ Χ \ Α. Συνεπώς, το σημείο έχει ανοικτή περιοχή V που περιέχεται στο σύνολο Χ \ Α. Οπότε το σύνολο Χ \ Α είναι ανοικτό και επιπλέον το σύνολο Α είναι κλειστό. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών

Σελίδα 38 Κεφάλαιο 3 Πρόταση 3.1.8. Κάθε συμπαγής Hausdorff χώρος Χ είναι φυσικός. Απόδειξη. Ο χώρος Χ είναι Τ 1 -χώρος. Άρα, αρκεί να αποδειχθεί ότι ο χώρος Χ είναι Τ 4 -χώρος. Έστω Α και Β δύο κλειστά υποσύνολα του Α τέτοια ώστε Α «Β=. Επειδή ο χώρος Χ είναι συμπαγής, από την Πρόταση 3.1.3 προκύπτει ότι οι υπόχωροι Α και Β είναι συμπαγείς. Από την Πρόταση 3.1.6 (2) προκύπτει ότι υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V του Χ τέτοια ώστε A Õ U, Β Õ V και U «V =. Συνεπώς ο χώρος Χ είναι Τ 4 -χώρος. Πρόταση 3.1.9. Έστω Χ Tychonoff χώρος, Α συμπαγής υπόχωρος του Χ και Β κλειστό υποσύνολο του Χ τέτοιο ώστε Α «Β =. Τότε, υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : Χ Æ I = [0,1] τέτοια, ώστε f(z) = 0 για κάθε z Œ Α και f(z) = 1 για κάθε z Œ Β. Απόδειξη. Έστω Œ Α. Τότε œ Β. Επειδή ο χώρος Χ είναι Tychonoff χώρος, για κάθε Œ Α υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : Χ I τέτοια ώστε f ( ) = 0 και ( ) Θέτουμε - ÊÈ 1 ˆˆ = ËÎ. 1 U f ÁÍ 0, 2 f z = 1 για κάθε z Œ Β. Το σύνολο U είναι ανοικτή περιοχή του. Οπότε, το σύνολο ψ = {U : Œ Α} είναι μία οικογένεια ανοικτών συνόλων του Χ που η ένωση όλων των στοιχείων της περιέχει το Α. Επειδή το Α είναι συμπαγές, από την Πρόταση 3.1.4 προκύπτει ότι υπάρχουν U,...,U Œ ψ τέτοια ώστε AÕ U»...» U. 1 n { } Θέτουμε ( ) ( ) ( ) g = min f,...,f,œ Χ. 1 n Η συνάρτηση g : Χ Ι έχει τις ιδιότητες: g( A ) Õ Ορίζουμε μία συνάρτηση f : Χ I ως εξής: ( ) È 1 Í 0, ˆ 2 Î και ( ) 1 n g z = 1, για κάθε z Œ Β. Ï 1 f = 2ma Ìg() -,0,ŒΧ. Ó 2 Η f είναι συνεχής συνάρτηση, f ( z) = 0, για z Œ Α και f ( z) = 1, για z Œ Β. Παραδείγματα 3.1.10. (1) Κάθε τοπολογικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος ανοικτών συνόλων είναι συμπαγής. (2) Κάθε πεπερασμένο σύνολο (με οποιαδήποτε τοπολογία) είναι συμπαγής χώρος. Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι και Συμπαγοποίηση

Συμπαγείς τοπολογικοί χώροι Σελίδα 39 (3) Ένα άπειρο σύνολο με τη διακριτική τοπολογία δεν είναι συμπαγής χώρος. (4) Ο υπόχωρος I = [0,1] του χώρου των πραγματικών αριθμών είναι συμπαγής. (5) Έστω Χ μετρικός χώρος με diam(χ) =. Τότε, ο χώρος αυτός δεν είναι συμπαγής. (6) Ο χώρος n για κάθε n = 1,2,... δεν είναι συμπαγής χώρος, αφού diam( n ) =. (7) Ο υπόχωρος [1, ) του δεν είναι συμπαγής χώρος, αφού diam( [ 1, )) =. (8) Έστω α, β Œ και α < β. Τότε, οι υπόχωροι (α, β), [α, β) και (α, β] δεν είναι συμπαγείς, ενώ ο υπόχωρος [α, β] είναι συμπαγής. (9) Κάθε φραγμένο και κλειστό υποσύνολο του χώρου n είναι συμπαγής υπόχωρος. 3.2. Συνεχείς απεικονίσεις συμπαγών χώρων. Πρόταση 3.2.1. Έστω f συνεχής απεικόνιση ενός συμπαγούς χώρου Χ επί ενός τοπολογικού χώρου Υ. Τότε ο χώρος Υ είναι συμπαγής (η συνεχής εικόνα συμπαγούς χώρου είναι συμπαγής χώρος). Απόδειξη. Έστω ψ = {V λ : λ Œ Λ} μία ανοικτή κάλυψη του Υ. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη. { f V λ :λ Λ} - Θεωρούμε το σύνολο π 1 ( ) = Œ. Το σύνολο π είναι ανοικτή κάλυψη του Χ. Επειδή ο χώρος Χ είναι συμπαγής, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη Δηλαδή Χ - { 1 - f ( V λ1),...,f 1 ( Vλn) } ( λ ) ( λ ) -1-1 1 n = f V»...» f V. Τότε, είναι -1-1 Υ = f( Χ) = f f V»...» f V = V»...» V. Δηλαδή το σύνολο { λ λ } είναι συμπαγής. 1 n ( ( ) ( )) λ1 λn λ1 λn V,...,V είναι πεπερασμένη υποκάλυψη της π. Συνεπώς, ο χώρος Υ. Πανεπιστήμιο Πατρών τμήμα Μαθηματικών