Επιρροή στρέβλωσης και διατμητικής παραμόρφωσης στο χωρικό στοιχείο δοκού με εφαρμογή σε χωρικές κατασκευές

Επιρροή στρέβλωσης και διατμητικής ς στο χωρικό στοιχείο δοκού με εφαρμογή σε χωρικές κατασκευές Ε.Ι. Σαπουντζάκης Επίκ. Καθηγητής. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ. Β.Γ. Μώκος Υποψ. Διδάκτορας. Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ. Λέξεις κλειδιά: Ανομοιόμορφη στρέψη, ομογενής, στρέβλωση, δοκός, στρέψη, μέθοδος συνοριακών στοιχείων, μητρώο δυσκαμψίας, διατμητική ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην εργασία αυτή η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (ΒΕΜ) εφαρμόζεται για τον υπολογισμό του 14x14 μητρώου δυσκαμψίας και του αντίστοιχου μητρώου επικόμβιας φόρτισης, λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή τόσο της στρέβλωσης όσο και της διατμητικής ς της ομογενούς τυχούσας διατομής χωρικού στοιχείου δοκού. Το στοιχείο αποτελείται από ομογενές υλικό το οποίο μπορεί να περικλείει πεπερασμένο αριθμό οπών. Για να ληφθούν υπόψη οι διατμητικές παραμορφώσεις χρησιμοποιείται η έννοια των συντελεστών διατμητικής ς. Στην έρευνα αυτή ο ορισμός των συντελεστών αυτών πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας ενεργειακή προσέγγιση, αντί για τους ορισμούς των Tmoshenko και Cowper, για τους οποίους πολλοί συγγραφείς έχουν επισημάνει ότι καταλήγουν σε μη ικανοποιητικά αποτελέσματα. Με τη βοήθεια μιας αμιγούς Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων, η οποία χρησιμοποιεί μόνο συνοριακή διακριτοποίηση, μορφώνονται και επιλύονται επτά προβλήματα συνοριακών τιμών αναφορικά με τη μεταβλητή κατά μήκος του στοιχείου γωνία στροφής, την πρωτογενή συνάρτηση στρέβλωσης, μια πλασματική συνάρτηση, τις κάθετες μετατοπίσεις της δοκού και δυο τασικές συναρτήσεις. Ο υπολογισμός των συντελεστών διατμητικής ς πραγματοποιείται από τις προαναφερθείσες τασικές συναρτήσεις εφαρμόζοντας μόνο συνοριακή ολοκλήρωση. Η αποτελεσματικότητα και η ακρίβεια της μεθόδου παρουσιάζονται μέσα από αριθμητικά παραδείγματα. Η επιρροή της στρέβλωσης ιδιαίτερα στην περίπτωση ανοικτών διατομών αναλύεται μέσα από παραδείγματα καταδεικνύοντας την αναγκαιότητα συνυπολογισμού των πρόσθετων βαθμών ελευθερίας λόγω στρέβλωσης κατά την ανάλυση χωρικού πλαισίου. Επίσης, η απόκλιση τόσο των μετατοπίσεων όσο και των εσωτερικών εντατικών μεγεθών χωρικού στοιχείου δοκού που οφείλεται στην παράλειψη της διατμητικής ς καθιστά απαραίτητο τον συνυπολογισμό της πρόσθετης αυτής επιρροής, ιδιαίτερα στις περιπτώσεις χονδρότοιχων διατομών. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις εφαρμογές του μηχανικού συχνά συναντάται η ανάλυση ευθύγραμμων ή καμπύλων στοιχείων ομογενούς διατομής που ανήκουν σε φορείς υποκείμενους σε στρεπτική φόρτιση. Η ακριβής ανάλυση κιβωτιοειδών γεφυρών ή πλακών ενισχυμένων με δοκούς είναι δύσκολο να επιτευχθεί για δυο λόγους. Ο πρώτος λόγος είναι ότι η πλειονότητα των χρησιμοποιούμενων προγραμμάτων ανάλυσης φορέων του εμπορίου λαμβάνουν υπόψη έξι βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο χωρικού στοιχείου δοκού, αγνοώντας έτσι την επιρροή της στρέβλωσης που προκαλείται από τη δέσμευση του αντίστοιχου βαθμού ελευθερίας στα άκρα του στοιχείου (Μurn and Kuts 00). Η ανάλυση στις περιπτώσεις αυτές είναι πιθανόν να οδηγήσει σε υποεκτίμηση της αναπτυσσόμενης 1

στρεπτικής έντασης κι επομένως σε μη συντηρητικό σχεδιασμό του φορέα, μια και λαμβάνεται υπόψη μόνο η επιρροή της στρεπτικής αντίστασης κατά Sant Venant. Πολλοί ερευνητές μέχρι σήμερα προσπάθησαν να ξεπεράσουν την προαναφερθείσα ανακρίβεια σε χωρικά στοιχεία σταθερής ομογενούς λεπτότοιχης διατομής μορφώνοντας ένα 14x14 μητρώο δυσκαμψίας, το οποίο περιλαμβάνει τους πρόσθετους βαθμούς ελευθερίας στα άκρα του στοιχείου λόγω στρέβλωσης της ανοικτής διατομής του και υποθέτοντας απλές (Waldron 1986, Barsoum and Gallagher 1970, Relly 197) ή και πιο σύνθετες στρεπτικές συνοριακές συνθήκες (Ahmed and Wesgerber1996, Yang and McGure 1984). Σύμφωνα με το δεύτερο λόγο, τα προαναφερθέντα εμπορικά προγράμματα αγνοούν τις διατμητικές παραμορφώσεις επειδή δεν είναι σε θέση να υπολογίσουν τους συντελεστές διατμητικής ς. Παρόλο που οι παραμορφώσεις αυτές στις περισσότερες εφαρμογές του πολιτικού μηχανικού έχουν σχετικά μικρό μέγεθος, μπορεί να έχουν κυρίαρχο ρόλο σε ορισμένες περιπτώσεις, όπου οι καμπτικές ροπές είναι μικρές σε σχέση με τις διατμητικές δυνάμεις που δρουν στο στοιχείο. Το γεγονός αυτό ισχύει στην περίπτωση δοκών μικρού ανοίγματος ή σε περιπτώσεις στατικών συστημάτων όπως είναι οι γέφυρες κυβωτιοειδούς μορφής. Στην εργασία αυτή η Μέθοδος των Συνοριακών Στοιχείων (ΒΕΜ) (Katskadels, 00) εφαρμόζεται για τον υπολογισμό του 14x14 μητρώου δυσκαμψίας και του αντίστοιχου μητρώου επικόμβιας φόρτισης, λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή τόσο της στρέβλωσης όσο και της διατμητικής ς της ομογενούς τυχούσας διατομής χωρικού στοιχείου δοκού. Το στοιχείο αποτελείται από ομογενές υλικό, το οποίο μπορεί να περικλείει πεπερασμένο αριθμό οπών. Για να ληφθούν υπόψη οι διατμητικές παραμορφώσεις, χρησιμοποιείται η έννοια των συντελεστών διατμητικής ς. Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν πολλοί ορισμοί των συντελεστών αυτών. Στην έρευνα αυτή εφαρμόζεται η μαθηματική προσέγγιση των Bach Baumann (194) και Stojek (1964), η οποία βασίζεται στην ενέργεια τροπής, αντί για τους ορισμούς των Tmoshenko και Cowper, για τους οποίους πολλοί συγγραφείς έχουν επισημάνει ότι καταλήγουν σε μη ικανοποιητικά αποτελέσματα, ή τους ορισμούς άλλων συγγραφέων, σύμφωνα με τους οποίους οι συντελεστές αυτοί λαμβάνουν αρνητικές τιμές. Με τη βοήθεια μιας αμιγούς Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων, η οποία χρησιμοποιεί μόνο συνοριακή διακριτοποίηση, μορφώνονται και επιλύονται επτά προβλήματα συνοριακών τιμών αναφορικά με τη μεταβλητή κατά μήκος του στοιχείου γωνία στροφής, την πρωτογενή συνάρτηση στρέβλωσης, μια πλασματική συνάρτηση, τις κάθετες μετατοπίσεις της δοκού και δυο τασικές συναρτήσεις. Η αποτελεσματικότητα και η ακρίβεια της μεθόδου παρουσιάζονται μέσα από αριθμητικά παραδείγματα. Η επιρροή της στρέβλωσης ιδιαίτερα στην περίπτωση ανοικτών διατομών αναλύεται μέσα από παραδείγματα καταδεικνύοντας την αναγκαιότητα συνυπολογισμού των πρόσθετων βαθμών ελευθερίας λόγω στρέβλωσης κατά την ανάλυση χωρικού πλαισίου. Επίσης, η απόκλιση τόσο των μετατοπίσεων όσο και των εσωτερικών εντατικών μεγεθών χωρικού στοιχείου δοκού που οφείλεται στην παράλειψη της διατμητικής ς καθιστά απαραίτητο τον συνυπολογισμό της πρόσθετης αυτής επιρροής, ιδιαίτερα στις περιπτώσεις χονδρότοιχων διατομών. ΜΌΡΦΩΣΗ ΜΗΤΡΏΟΥ ΔΥΣΚΑΜΨΊΑΣ ΚΑΙ ΜΗΤΡΏΩΝ ΕΠΙΚΌΜΒΙΩΝ ΜΕΤΑΚΙΝΉΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΡΆΣΕΩΝ Θεωρούμε χωρικό πρισματικό στοιχείο μήκους L και σταθερής τυχούσας διατομής αποτελούμενης από ομογενές, ισότροπο και γραμμικά ελαστικό υλικό, με μέτρο ελαστικότητας E και μέτρο διάτμησης G, το οποίο καταλαμβάνει περιοχή Ω του επιπέδου y,z (εικόνα 1). Το υλικό της περιοχής αυτής μπορεί να περικλείει πεπερασμένο αριθμό οπών, ενώ τόσο το σύνορο του χωρίου Γ K+1 όσο και τα σύνορα των οπών Γ j (j=1,,κ), τα οποίο είναι λεία, μπορεί να περιλαμβάνουν πεπερασμένο αριθμό γωνιών. Προκειμένου να συμπεριλάβουμε τη συμπεριφορά έναντι στρέβλωσης κατά τη μελέτη του προαναφερθέντος στοιχείου, εισάγουμε στα δύο άκρα του στοιχείου έναν έβδομο βαθμό

ελευθερίας στους ήδη γνωστούς έξι β.ε. του κλασικού στοιχείου χωρικού πλαισίου. Ο πρόσθετος αυτός β.ε. είναι η πρώτη παράγωγος κατά τον άξονα του στοιχείου της γωνίας στροφής θx = dθx / dx, δηλώνει τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας στροφής θ x κατά μήκος του στοιχείου ή αλλιώς τη στρεπτική καμπυλότητα (εικόνα ) της διατομής και ονομάζεται συστροφή. Έτσι, το μητρώο των επικόμβιων μετακινήσεων του στοιχείου στο τοπικό σύστημα αξόνων, όπως φαίνεται και στην εικόνα 1, μπορεί να γραφεί ως M, θ (4) xj N,u (1) j xj xj % Q yj () u yj % () M, θ (5) (j) yj % yj % M, θ (7) wj xj (C: Κέντρο βαρους M: Κέντρο διάτμησης Κέντρο στρέψης) z% u zj % (3) z M j C j () Q(3) zj M, θ (6) zj % zj % p z % = pz( % x % ) y L y% mx ( x) (k) M, θ (13) C k zk % zk % Q zk(10) (Ω) M k x% u zk % (10) k x N,u (8) xk % Q yk(9) M, θ (1) yk % yk % M, θ (11) xk M, θ (14) wk xk u yk % (9) Εικόνα 1. Ομογενής πρισματική δοκός τυχούσας διατομής. Cyz %% είναι το κύριο κεντροβαρικό σύστημα αξόνων, ενώ Myz το σύστημα αξόνων που αντιστοιχεί στο κέντρο διάτμησης. T { D } = { uxj % uyj % uzj θxj θyj % θzj θxj uxk % uyk % uzk θxk θyk % θzk θxk } % % % % (1) και το αντίστοιχο μητρώο των επικόμβιων δράσεων ως T { F} = { Nj Qyj % Qzj Mtj Myj % Mzj Mwj Nk Qyk % Qzk Mtk Myk % Mzk Mwk } όπου M t S Mt Mt M t % % % % () είναι η στρεπτική ροπή στα άκρα του στοιχείου και η οποία δίδεται ως = + (3) και M w η καμπτική ροπή λόγω στρεπτικής καμπυλότητας (δίρροπο) στις ίδιες διατομές και η οποία δίδεται ως d θ x w M M M = EC = EC θ x (4) dx Στην εξίσωση (3) t M είναι η πρωτογενής στρεπτική ροπή, η οποία ορίζεται ως η συνισταμένη της κατανομής των πρωτογενών διατμητικών τάσεων και M t είναι η δευτερογενής στρεπτική ροπή, η οποία ορίζεται ως η συνισταμένη της κατανομής των δευτερογενών διατμητικών τάσεων λόγω στρέβλωσης και οι οποίες δίδονται ως (Sapountzaks and Mokos 003) S xk 3

dθ M x t = GIt = GIt dx θ x 3 S d θ M x t ECM EC 3 Mθ x dx = = (5α,β) όπου ( ϕ ) C M = Ω M dω (6) ϕ I M ϕ M t = z + y + z y d Ω y z Ω είναι αντίστοιχα οι σταθερές στρέψης και στρέβλωσης της ομογενούς διατομής και ϕ M y,z η πρωτογενής συνάρτηση στρέβλωσης στο χωρίο Ω ως προς το κέντρο διάτμησης M της διατομής του στοιχείου (βλ. εικόνα 1), η οποία υπολογίζεται από την επίλυση του ακόλουθου προβλήματος Neumann (Sapountzaks and Mokos 003) ( (7) ) είναι Εικόνα. Στρεπτική καμπυλότητα ορθογωνικής και κοίλης ορθογωνικής διατομής. ϕ M = 0 στο χωρίο Ω (8) M n ϕ όπου = ynx xny στο σύνορο Γ (9) = / y + / z είναι ο αρμονικός τελεστής Laplace, Ω είναι το χωρίο της ομογενούς διατομής, K + 1 Γ = U Γ είναι το συνολικό σύνορο της διατομής που περιλαμβάνει το j= 1 j σύνορο του χωρίου και τα σύνορα των οπών και / n δηλώνει την παράγωγο κατά το κάθετο στο σύνορο διάνυσμα n. Το διάνυσμα n είναι θετικό όταν η φορά του είναι προς το εξωτερικό Γ j του χωρίου Ω, ή προς το εσωτερικό των οπών. Αξίζει εδώ να σημειωθεί ότι στην περίπτωση κατά την οποία η αρχή O του συστήματος συντεταγμένων είναι σημείο του επιπέδου y,z διάφορο του κέντρου διάτμησης, η συνάρτηση O στρέβλωσης αναφορικά με το σημείο αυτό ϕ υπολογίζεται πρώτα από το πρόβλημα Neumann των εξισώσεων (8), (9) αντικαθιστώντας τη συνάρτηση υπολογισθείσα συνάρτηση στρέβλωσης ϕ O, η συνάρτηση μετασχηματισμού που δίδεται από τη σχέση (Wndsch 1967) M ϕ με την ϕ O. Χρησιμοποιώντας την ϕ M προκύπτει με τη βοήθεια του 4

ϕ ( ) ϕ ( ) M y,z = O y,z zym + yzm c όπου + (10) y = y ym, z = z zm, y M,z M είναι οι συντεταγμένες του κέντρου διάτμησης M ως προς το σύστημα συντεταγμένων Oyz (βλ. εικόνα 1) και είναι σταθερά ολοκλήρωσης. Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (5α,β) στην εξίσωση (3) λαμβάνουμε την έκφραση της συνολικής στρεπτικής ροπής για το στοιχείο με ομογενή σταθερή διατομή ως Mt GItθx ECMθx = (11) Τα μητρώα επικόμβιων μετακινήσεων και επικόμβιων δράσεων, που δίδονται από τις εξισώσεις (1), (), συνδέονται με το 14x14 τοπικό μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου χωρικού πλαισίου, το οποίο γράφεται ως c k11 0 0 0 0 0 0 k18 0 0 0 0 0 0 0 k 0 0 0 k6 0 0 k9 0 0 0 k, 13 0 0 0 k33 0 k35 0 0 0 0 k310, 0 k31, 0 0 0 0 0 kt1 0 0 kt 0 0 0 kt1 0 0 kt5 0 0 k53 0 k55 0 0 0 0 k510, 0 k51, 0 0 0 k6 0 0 0 k66 0 0 k69 0 0 0 k6, 13 0 0 0 0 k 0 0 0 0 0 0 0 k T kt3 kt kt4 = k81 0 0 0 0 0 0 k88 0 0 0 0 0 0 0 k9 0 0 0 k96 0 0 k99 0 0 0 k9 13 0, 0 0 k10, 3 0 k10, 5 0 0 0 0 k1010, 0 k101, 0 0 0 0 0 kt1 0 0 kt 0 0 0 kt5 0 0 kt5 0 0 k1, 3 0 k1, 5 0 0 0 0 k110, 0 k11, 0 0 0 k13, 0 0 0 k13, 6 0 0 k13, 9 0 0 0 k1313, 0 0 0 0 kt5 0 0 kt4 0 0 0 kt5 0 0 k T6 (1) Αναφορικά με το μητρώο επικόμβιων δράσεων, θεωρώντας ότι το χωρικό στοιχείο δοκού m = m x, ο υποβάλλεται στην τυχούσα συγκεντρωμένη ή κατανεμημένη στρεπτική φόρτιση ( ) υπολογισμός των στοιχείων του μητρώου που αφορούν στη στρεπτική ροπή και την καμπτική (λόγω στρεπτικής καμπυλότητας) ροπή, επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των σχέσεων (4), (11) χρησιμοποιώντας τις παραγώγους της γωνίας στροφής θ x, οι οποίες υπολογίζονται μετά την επίλυση του πιο κάτω προβλήματος συνοριακών τιμών ECMθx GItθx mt αx1θx αxmt αx3 βx1θx βxm w βx3 = στο εσωτερικό του στοιχείου (13) + = (14α) + = στα άκρα του στοιχείου x = 0,L (14β) για κατάλληλες τιμές των συντελεστών a x, β x ( = 13,, ) και πιο συγκεκριμένα για ax1 = βx1 = 1, ax = ax3 = βx = βx3 = 0 στα άκρα του στοιχείου x = 0 και x = L. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι σχέσεις (14α,β) αποτελούν τις πλέον γενικές γραμμικές στρεπτικές συνοριακές συνθήκες, συμπεριλαμβανομένης και της ελαστικής στήριξης. Είναι προφανές ότι όλα τα είδη των t t 5

συμβατικών στρεπτικών συνοριακών συνθηκών (πάκτωση, απλή στρεπτική στήριξη, ελεύθερο ή καθοδηγούμενο άκρο) μπορούν να προκύψουν από τις σχέσεις αυτές θέτοντας κατάλληλες τιμές στους συντελεστές a x και β x. k lm Οι συντελεστές (l,m=1,,3,5,6,8,9,10,1,13) του μητρώου της σχέσης (1) είτε προέρχονται από το γνωστό 1x1 μητρώο δυσκαμψίας του κλασικού στοιχείου χωρικού πλαισίου, σύμφωνα με την κλασική θεωρία δοκού, είτε προκύπτουν από τη λεγόμενη θεωρία δοκού Tmoshenko, η οποία λαμβάνει υπόψη την επιρροή της διατμητικής ς. Στην παρούσα έρευνα εφαρμόζεται η δεύτερη προαναφερθείσα θεωρία οδηγώντας στο ακόλουθο σύστημα διαφορικών εξισώσεων που αφορά καμπτόμενη δοκό κατά τους άξονες y% και z%, αντίστοιχα u 0 1 0 1 GA z % z % uz % 0 d θ y 0 0 1 EI y 0 θ y 0 % % % = + dx % M y 0 0 0 1 M % y 0 % Q z 0 0 0 0 Q p % z z % % u 0 1 0 1 GA y % y % uy % 0 d 0 0 1 EIz 0 z z 0 θ% % θ% = + dx % M z 0 0 0 1 M % z 0 % Qy 0 0 0 0 Qy p % % y % (15α) (15β) μια και οι αντίστοιχες συνιστώσες μετατόπισης u z % και u y %, εκτός από το τμήμα που οφείλεται στην κάμψη, περιλαμβάνουν και τη συμβολή της διατμητικής ς. Επομένως στις σχέσεις (15α,β) u z %, u y % είναι οι συνιστώσες της συνολικής μετατόπισης που οφείλονται στην κάμψη και τη διάτμηση, θ z %, θ y % είναι οι συνιστώσες στροφής εξαιτίας της κάμψης και pz % = pz % ( x % ), py % = py % ( x % ) υποδηλώνουν την τυχούσα κατανεμημένη εγκάρσια φόρτιση κατά τη διεύθυνση των αξόνων y% και z% (βλ. εικόνα 1), αντίστοιχα. Επιπλέον I y %, I z % είναι οι καμπτικές ροπές αδράνειας της ομογενούς διατομής κατά τους άξονες y% και z%, αντίστοιχα, οι οποίες ορίζονται ως y % = % Ω I z dω z % = y % dω (16α,β) Ω I Σύμφωνα με τη θεωρία Tmoshenko η προαναφερθείσα συμβολή της διατμητικής ς λαμβάνεται υπόψη με τη βοήθεια των ορισμών των επιφανειών διάτμησης κατά τη διεύθυνση των αξόνων y% και z%, οι οποίοι δίδονται κατά αντιστοιχία ως 1 Ay % = κ y % A= ay % A 1 Az % = κ z % A= az % A (17α,β) όπου κ y %, κ z % είναι οι διορθωτικοί συντελεστές διάτμησης, a y %, a z % είναι οι συντελεστές διατμητικής ς και Α είναι το εμβαδόν της επιφάνειας της διατομής, η οποία δίδεται ως 6

A = d Ω Ω (18) Οι συντελεστές διατμητικής ς a y %, a z % που αντιστοιχούν στο κύριο κεντροβαρικό σύστημα αξόνων Cyz %% υπολογίζονται εξισώνοντας τον προσεγγιστικό τύπο της ενέργειας διατμητικής τροπής ανά μονάδα μήκους (Schramm et.al. 1997) U appr. aq y % y % aq z % z % AG AG = + (19) με τον αντίστοιχο ακριβή τύπο που δίδεται από τη σχέση U exact = τxz %% + τxy %% d Ω (0) Ω G και προκύπτουν ως (Sapountzaks and Mokos 005) 1 A ay % = E( Θ ) ( Θ ) d κ = Ω y EΔ e e Ω (1α) % 1 A az % = E( Φ ) ( Φ ) κ = Ω EΔ d d dω (1β) % z όπου y y+ z z είναι ένα συμβολικό διάνυσμα με y %, z % τα μοναδιαία διανύσματα κατά τους άξονες y% και z%, αντίστοιχα, η ποσότητα Δ δίδεται από τη σχέση ( ν) 1 ΙyΙz Δ= + % % () ν είναι ο λόγος osson του υλικού της διατομής, e και d είναι διανύσματα που ορίζονται ως y % z % = νiy + ( νi % y ) y % % yz %% z % e ( νi yz) και Θ ( y,z % % ), ( y,z) z % y % d = z + νi %%% y % z % % z (3α,β) Φ % % είναι τασικές συναρτήσεις, οι οποίες υπολογίζονται από την επίλυση του ακόλουθου προβλήματος συνοριακών τιμών τύπου Neumann (Sapountzaks and Mokos 005) y Θ = I % y % στο χωρίο Ω (4α) Θ = n e στο σύνορο Γ (4β) n z Φ = I % z % στο χωρίο Ω (j=1,,,k) (5α) Φ = n d στο σύνορο Γ (5β) n 7

όπου n είναι το εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στο σύνορο Γ. Στην περίπτωση κατά την οποία οι διατμητικές παραμορφώσεις είναι αμελητέες ισχύει az % = ay % = 0. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι οι συνοριακές συνθήκες (9), (4β) και (5β) έχουν προκύψει λαμβάνοντας υπόψη ότι στο σύνορο Γ ο ελκυστής των τάσεων κατά τη διεύθυνση του κάθετου διανύσματος n μηδενίζεται (φυσικές συνοριακές συνθήκες). Αναφορικά με το μητρώο επικόμβιων φορτίσεων, θεωρώντας ότι η δοκός υποβάλλεται στην τυχούσα συγκεντρωμένη ή κατανεμημένη εγκάρσια φόρτιση pz % = pz % ( x % ) και py % = py % ( x % ), ο υπολογισμός των στοιχείων του μητρώου που αφορούν τις διατμητικές δυνάμεις και τις καμπτικές ροπές επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των σχέσεων (15α,β) χρησιμοποιώντας τις παραγώγους των μετατοπίσεων u % και u %, οι οποίες υπολογίζονται μετά την επίλυση των ακόλουθων προβλημάτων συνοριακών τιμών z y EI y % EIy % u z % = pz % az % p z % GA στο εσωτερικό της δοκού (6) αz % 1uz % + αz % Qz % = αz % 3 (7α) βz % 1θy % + βz % M y % = βz % 3 στα άκρα της δοκού x = 0, L (7β) EI z zu % % y % = py % ay % p y % GA στο εσωτερικό της δοκού (8) α y % 1uy % + αy % Qy % = αy % 3 (9α) β y % 1θz % + βy % M z % = βy % 3 στα άκρα της δοκού x = 0, L (9β) για κατάλληλες τιμές των συντελεστών αz %, α y % και βz %, β y % ( = 13,, ) και πιο συγκεκριμένα για αz % 1 = βz % 1 = 1, α y % 1 = β y % 1 = 1 και αz % = αz % 3 = βz % = βz % 3 = 0, α y % = αy % 3 = βy % = βy % 3 = 0 στα άκρα του στοιχείου x = 0 και x = L. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι σχέσεις (7α,β) και (9α,β) αποτελούν τις πλέον γενικές γραμμικές συνοριακές συνθήκες που σχετίζονται με το πρόβλημα, συμπεριλαμβάνοντας την ελαστική στήριξη ή δέσμευση. 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ - ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ο υπολογισμός της γωνίας στροφής θ x, της συνάρτησης στρέβλωσης ϕ O και των τασικών συναρτήσεων Θ ( y,z) και Φ ( y,z) επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων (Katskadels 00), όπως αυτή εφαρμόζεται στις εργασίες των Sapountzaks and Mokos (001), Sapountzaks (000), Sapountzaks and Mokos (003) και Sapountzaks and Mokos (005). Πίνακας 1. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά του φορέα του Παραδείγματος 1. Διατομή A [ m ] A z % [ m ] I 4 y % [ m ] I 4 t [ m ] C 6 M [ m ] Κλειστή 11.80.601 19.066 4.573 6.500 Ανοικτή 1.748 0.74 0.343 0.038 0.361 8

Μήκος τόξου L ΑE : 91.8m = 600kN x = λ L, λ [ 0,1] C y = h1 ( 4λ + 4 λ) y h B D h h h 1 =0.00m 15.00m 15.00m x h A h Τετραγωνική παραβολή E 0.0m L=80.00m 0.0m (α) 0.60 3.45 0.45 0.75 0.30 0.45 0.30.00 3.30.50 3.50 3.75 3.65 4.50 0.30 7.60m (β) 1.0m 0.0m 0.05m 0.10m 0.10m 0.60m 0.0m 1.30m 0.15m 0.0m 0.50m 3.60m (γ) Εικόνα 3. Κάτοψη (a) και εναλλακτικές περιπτώσεις της κλειστής (β) και ανοικτής (γ) διατομής της δοκού του παραδείγματος 1. M maxϕ = 4.88m (α) M maxϕ = 1.93m (β) Εικόνα 4. Συνοριακή κατανομή της ϕ M της κλειστής (α) και ανοικτής (β) διατομής του Παραδ. 1. 9

Διατομή Πίνακας. Μέγιστες βυθίσεις max u z % ( cm) της δοκού του Παραδείγματος 1. Μητρώο δυσκαμψίας 14x14 Με διατμητική Χωρίς διατμητική Μητρώο δυσκαμψίας 1x1 Με διατμητική Χωρίς διατμητική Κλειστή 0.1003 0.0750 0.1004 0.0751 Ανοικτή 5.9050 5.8000 6.530 6.410 0.0 0.01 0.00-0.01-0.0 Βέλος κάμψης (cm) -0.03-0.04-0.05-0.06-0.07-0.08-0.09-0.10-0.11 0 0 40 60 80 100 Μητρώο 1x1 χωρίς την επιρροή των έργων από διάτμηση Μήκος (m) Μητρώο 1x1 με την επιρροή των έργων από διάτμηση Μητρώο 14x14 χωρίς την επιρροή των έργων από διάτμηση Μητρώο 14x14 με την επιρροή των έργων από διάτμηση Εικόνα 5. Βυθίσεις κατά μήκος της δοκού για την περίπτωση κλειστής διατομής του Παραδείγματος 1. 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΊΓΜΑΤΑ Με βάση τις αναλυτικές και αριθμητικές διαδικασίες που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους, συντάχθηκε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή και μελετήθηκαν αντιπροσωπευτικά παραδείγματα, προκειμένου να διαπιστωθούν η αποτελεσματικότητα, η ακρίβεια και το εύρος εφαρμογής της προτεινόμενης μεθόδου. Παράδειγμα 1 Προκειμένου να διαπιστωθούν η αποτελεσματικότητα και το εύρος εφαρμογής της μεθόδου, ως πρώτο παράδειγμα μελετήθηκε μια δοκός προβολικού μήκους L=80.0m, τετραγωνικής 10

παραβολικής κάτοψης (εικόνα 3α), πακτωμένη στα άκρα της A, E, δεσμευμένη ως προς την κατακόρυφη μετατόπιση στα σημεία B, D και φορτιζόμενη με κατακόρυφο συγκεντρωμένο φορτίο = 600kN στο σημείο C. Εξετάστηκαν δύο εναλλακτικές περιπτώσεις της ομογενούς διατομής, από σκυρόδεμα (E C =3.0x10 7 ka, G C =1.5x10 7 ka), αποτελούμενης από ορθογωνική πλάκα ενισχυμένης με δοκούς σχηματίζοντας με τον τρόπο αυτό είτε κλειστή διατομή κιβωτοειδούς μορφής (εικόνα 3β) είτε ανοικτή διατομή μορφής Π (εικόνα 3γ). Στον πίνακα 1 παρουσιάζονται τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της κλειστής και της ανοικτής διατομής, ενώ στην εικόνα 4 απεικονίζεται το στατικό προσομοίωμα και η φόρτιση του φορέα. Στην εικόνα 4 παρουσιάζονται οι κατανομές της πρωτογενούς συνάρτησης στρέβλωσης ϕ M κατά μήκος του συνόρου της κλειστής (εικόνα 4α) και της ανοικτής (εικόνα 4β) διατομής. Από τη σύγκριση των δυο κατανομών εύκολα επιβεβαιώνονται τα πλεονεκτήματα επιλογής κλειστής διατομής για φορέα υποβαλλόμενο σε στρεπτική φόρτιση. Επίσης, στον πίνακα παρουσιάζονται οι μέγιστες βυθίσεις και στις εικόνες 5, 6 απεικονίζονται οι βυθίσεις κατά μήκος της δοκού κλειστής και ανοικτής διατομής, αντίστοιχα, για τις περιπτώσεις που λαμβάνουμε υπόψη ή αγνοούμε τις επιρροές της διατμητικής ς και της στρεπτικής καμπυλότητας. Από τα προκύπτοντα αποτελέσματα επισημαίνεται η σημαντική επιρροή των διατμητικών παραμορφώσεων για την περίπτωση της κλειστής διατομής, καθώς επίσης και η αξιοσημείωτη επίδραση της στρεπτικής καμπυλότητας στη στατική απόκριση του φορέα για την περίπτωση της ανοικτής διατομής. 1.0 0.0-1.0 Βέλος κάμψης (cm) -.0-3.0-4.0-5.0-6.0-7.0 0 0 40 60 80 100 Μητρώο 1x1 χωρίς την επιρροή των έργων από διάτμηση Μήκος (m) Μητρώο 1x1 με την επιρροή των έργων από διάτμηση Μητρώο 14x14 χωρίς την επιρροή των έργων από διάτμηση Μητρώο 14x14 με την επιρροή των έργων από διάτμηση Εικόνα 6. Βυθίσεις κατά μήκος της δοκού για την περίπτωση ανοικτής διατομής του Παραδείγματος 1. Παράδειγμα Στο παράδειγμα αυτό μελετάται ο φορέας του Σχ.7, ο οποίος αποτελείται από επίπεδη πλάκα μήκους L x = 0.0m και πλάτους L y = 4.8m. Η πλάκα ενισχύεται κατά τη διαμήκη διεύθυνση με 11

τρεις νευρώσεις ίδιας διατομής (εικόνα 7α), ενώ κατά την εγκάρσια διεύθυνση με τρεις διαδοκίδες μήκους.4m, δυο στα άκρα και μια στο μέσον (εικόνα 7β). Ο φορέας θεωρείται πλήρως πακτωμένος στα άκρα του και φορτίζεται έκκεντρα με έξι κατακόρυφα φορτία = 100kN, τοποθετημένα συμμετρικά ως προς τον εγκάρσιο άξονα συμμετρίας. Το υλικό από το οποίο 7 7 αποτελείται είναι σκυρόδεμα ποιότητας C0/5 ( EC0.9 10 ka, G 1.1 10 ka ) = =. Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της εγκάρσιας διατομής και της συνολικής διαμήκους (δια)τομής παρουσιάζονται στον πίνακα 3, ενώ στην εικόνα 8 απεικονίζεται το στατικό προσομοίωμα, μορφής εσχάρας, καθώς και η φόρτιση του φορέα. 1.0m C0/5 0.60m 0.10m 0.10m 0.05m 0.10m 0.10m 0.60m 0.0m 1.30m 0.15m 0.0m 0.50m 3.60m 1.0m 4.80m C0/5 (α) 1.30m 0.0m 0.30m 0.60m 0.0m Εικόνα 7. Εγκάρσια (α) και διαμήκης (β) τομή του φορέα του Παραδείγματος. (β) Αξίζει να σημειωθεί ότι τα γεωμετρικά μεγέθη των στοιχείων της εσχάρας εκτιμώνται ως ποσοστά των αντίστοιχων συνολικών γεωμετρικών μεγεθών της διατομής λαμβάνοντας υπόψη το λόγο του εμβαδού επιρροής του στοιχείου προς τη συνολική επιφάνεια της διατομής. Στις εικόνες 9 και 10 παρουσιάζονται αντίστοιχα οι παραμορφωμένες επιφάνειες και τα διαγράμματα καμπτικών ροπών μαζί με τις μέγιστες τιμές τους, λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή της διατμητικής ς και αγνοώντας ή συμπεριλαμβάνοντας τη στρεπτική καμπυλότητα των στοιχείων της εσχάρας. Επίσης στον πίνακα 4 παρουσιάζονται οι μέγιστες βυθίσεις των διαμήκων δοκών I, II, III (εικόνα 8) για τις περιπτώσεις που λαμβάνονται υπόψη ή αγνοούνται οι επιρροές της διατμητικής ς και της στρεπτικής καμπυλότητας. Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι τόσο ο σημαντικός ρόλος της στρεπτικής καμπυλότητας όσο και η επιρροή της διατμητικής ς είναι αξιοσημείωτη. Πίνακας 3. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά της εγκάρσιας και διαμήκους διατομής του φορέα του Παραδείγματος. Διατομή A [ m ] A z % [ m ] I 4 y % [ m ] I 4 t [ m ] C 6 M [ m ] Εγκάρσια 1.975 0.7070 0.3734 0.045 0.449 Διαμήκης 5.6500 0.1917 0.673 0.14 40.199 1

z 1m 1m y 43 44 45 3 46 =100kN O 1 4 47 5 48 3 6 49 4 7 50 5 8 51 6 9 5 x 7 30 31 53 8 54 9 3 55 10 33 56 11 34 57 1 35 58 13 36 59 14 37 60 Δοκός III 15 38 61 6 16 39 17 40 63 Δοκός II 18 41 19 4 0m 0 Δοκός I 1 Εικόνα 8. Στατικό προσομοίωμα του φορέα του Παραδείγματος 3. 1.m 1.m (α) (β) Εικόνα 9. Παραμορφωμένες επιφάνειες και αντίστοιχες μέγιστες τιμές βυθίσεων του φορέα του Παραδείγματος, αγνοώντας (μητρώο 1x1) ή (β) συμπεριλαμβάνοντας (μητρώο 14x14) τη στρεπτική καμπυλότητα των στοιχείων της εσχάρας. Πίνακας 4. Μέγιστες βυθίσεις max u z % ( cm) των διαμήκων δοκών I, II, III του φορέα του Παραδείγματος 3. Δοκός Μητρώο δυσκαμψίας 14x14 Με διατμητική Χωρίς διατμητική Μητρώο δυσκαμψίας 1x1 Με διατμητική Χωρίς διατμητική I 0.4 0.6 0.139 0.17 II 0.64 0.7 0.67 0.7 III 0.7 0.8 0.373 0.36 13

(α) (β) Εικόνα 10. Διαγράμματα καμπτικών ροπών του φορέα του Παραδείγματος, αγνοώντας (μητρώο 1x1) ή (β) συμπεριλαμβάνοντας (μητρώο 14x14) τη στρεπτική καμπυλότητα των στοιχείων της εσχάρας. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Η προτεινόμενη μέθοδος προσφέρεται για την ανάλυση χωρικού στοιχείου δοκού υποβαλλόμενου σε τυχούσα εγκάρσια ή στρεπτική φόρτιση με τη βοήθεια Η/Υ, λαμβανομένων υπόψη των πρόσθετων βαθμών ελευθερίας λόγω στρέβλωσης και της επιρροής της διατμητικής ς της τυχούσας διατομής.. Η σημαντική απόκλιση των αποτελεσμάτων τόσο των εντατικών όσο και των παραμορφωσιακών μεγεθών, που προκύπτει από τη χρήση των δύο μητρώων δυσκαμψίας (14x14 ή 1x1), καταδεικνύει την αναγκαιότητα συνυπολογισμού των πρόσθετων βαθμών ελευθερίας λόγω στρέβλωσης, κατά την ανάλυση χωρικού πλαισίου (χρήση μητρώου δυσκαμψίας 14x14).. Η απόκλιση τόσο των μετατοπίσεων όσο και των εσωτερικών εντατικών μεγεθών χωρικού στοιχείου δοκού που οφείλεται στην παράλειψη της διατμητικής ς καθιστά απαραίτητο τον συνυπολογισμό της πρόσθετης αυτής επιρροής, ιδιαίτερα στις περιπτώσεις χονδρότοιχων διατομών 14

v. Η προτεινόμενη μέθοδος προσφέρεται για τον ακριβή υπολογισμό της στρέβλωσης κατά τη διεύθυνση του πάχους των τοιχωμάτων, η οποία δεν μπορεί να υπολογισθεί ούτε με χρήση κελυφωτών πεπερασμένων στοιχείων. Μοναδικό εναλλακτικό τρόπο (έναντι της ακριβούς θεωρίας στρέψης) υπολογισμού της στρέβλωσης των διατομών λεπτότοιχων ή χοντρότοιχων ράβδων αποτελεί η αριθμητική επίλυση του προβλήματος της τριδιάστατης θεωρίας ελαστικότητας, όπου όμως παρουσιάζονται σημαντικά αριθμητικά προβλήματα. Υπενθυμίζεται ότι η θεωρία λεπτότοιχων διατομών υποθέτει σταθερή τη στρέβλωση κατά τη διεύθυνση του πάχους των τοιχωμάτων. v. Η ένταση των ορθών τάσεων, που προκύπτουν από στρέβλωση (παραπλήσιες των ορθών τάσεων από κάμψη), καταδεικνύουν την αναγκαιότητα συνυπολογισμού των πρόσθετων βαθμών ελευθερίας λόγω στρέβλωσης κατά την ανάλυση χωρικού πλαισίου (χρήση μητρώου δυσκαμψίας 14x14), ιδιαίτερα σε φορείς με διατομή μειωμένης στρεπτικής δυσκαμψίας. v. Η σημαντική απόκλιση των αποτελεσμάτων καμπτικής και στρεπτικής έντασης, που προκύπτει από τη χρήση των δύο μητρώων δυσκαμψίας (14x14 ή 1x1), καταδεικνύει την αναγκαιότητα συνυπολογισμού των πρόσθετων βαθμών ελευθερίας λόγω στρέβλωσης, κατά την ανάλυση φορέα με τη μέθοδο της εσχαροποίησης (χρήση μητρώου δυσκαμψίας 14x14). v. Όπως αναμενόταν, επιβεβαιώνονται τα πλεονεκτήματα των κλειστών διατομών έναντι των ανοικτών, για φορείς υποβαλλόμενους σε στρεπτική φόρτιση. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ahmed, M.Z. and Wesgerber, F.E., (1996). Torson constant for matrx analyss of structures ncludng warpng effect. Int. J. Solds Structures, 33, 361-374. Bach, C. and Baumann, R., (194). Elastztät und Festgket, 9th edn., Sprnger, Berln. Barsoum R.S. and Gallagher R.H., (1970). Fnte element analyss of torsonal-flexural stablty problems. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng,, 335-35. Katskadels, J.T., (00). Boundary Elements: Theory and Applcatons, Elsever, Amsterdam- London. Murn, J. and Kuts, V. (00). 3D-beam element wth contnuous varaton of the cross-sectonal area, Computers and Structures, 80, 39-338. Relly, R.J., (197). Stffness analyss of grd ncludng warpng. ASCE J. Struct. Dr., 7, 1511-153. Sapountzaks, E.J. (000). Soluton of Nonunform Torson of Bars by an Integral Equaton Method, Computers and Structures, 77, 659-667. Sapountzaks, E.J. and Mokos, V.G. (003). Warpng Shear Stresses n Nonunform Torson by BEM, Computatonal Mechancs, 30(), 131-14. Sapountzaks, E.J. and Mokos, V.G. (005). A BEM Soluton to Transverse Shear Loadng of Beams, Computatonal Mechancs, 36, 384-397. Schramm, U., Rubenchk, V. and lkey, W. D. (1997). Beam Stffness Matrx Based on the Elastcty Equatons, Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, 40, 11 3. Stojek, D., (1964). Zur Schubverformung m Begebalken, Zetschrft für Angewandte Mathematk und Mechank, 44, 393 396. Yang, Y. and McGure W. (1984). A procedure for analyzng space frames wth partal warpng restrant. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, 0, 1377-1398. Waldron,., (1986). Stffness analyss of thn-walled grders. ASCE J. Struct. Dv., 6, 1366-1384. Wndsch, E. (1967), Ene Numersche Methode zur Lösung des Torsonsproblems I, Acta Mechanca, 4, 191-199. 15