2.2. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ 8 ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σπός Σπός της ενότητας αυτής είναι να παρυσιάσει σύντμα αλλά περιετιά τυς τρόπυς με τυς πίυς παρυσιάζνται τα στατιστιά δεδμένα. Πρσδώμενα απτελέσματα Όταν έχετε μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να μπρείτε: Να εντπίζετε σε άθε πίναα τν τίτλ, τις επιεφαλίδες αι τ ύρι σώμα. Να μελετάτε τυς πίναες στατιστιών δεδμένων Να ατασευάζετε πίναες στατιστιών δεδμένων. ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Τι περιέχυν ι γενιί πίναες στατιστιών δεδμένων αι τι ι ειδιί; Οι γενιί πίναες περιέχυν όλες τις πληρφρίες πυ πρύπτυν από μια στατιστιή έρευνα αι απτελύν πηγές στατιστιών πληρφριών στη διάθεση των επιστημόνων ερευνητών για παραπέρα ανάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτων. Οι ειδιί πίναες περιέχυν αι αυτί πληρφρίες από μια στατιστιή έρευνα, αλλά είναι πι συνπτιί αι σαφείς. Τα στιχεία τυς συνήθως λαμβάννται από τυς γενιύς πίναες. www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 138
Τι πρέπει να περιέχει ένας πίναας στατιστιών δεδμένων ώστε να είναι σωστά ατασευασμένς; Κάθε πίναας πυ έχει ατασευαστεί σωστά περιέχει: α. Τν τίτλ πυ γράφεται στ πάνω μέρς αι δηλώνει με σαφήνεια αι συνπτιά τ περιεχόμεν τυ πίναα. β. Τις επιεφαλίδες των γραμμών αι των στηλών, πυ δείχνυν συνπτιά τη φύση αι τις μνάδες μέτρησης των δεδμένων. γ, Τ ύρι σώμα, πυ περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές αι στις στήλες τα στατιστιά δεδμένα. δ. Την πηγή, πυ γράφεται στ άτω μέρς τυ πίναα αι δείχνει την πρέλευση των στατιστιών στιχείων, έτσι ώστε αναγνώστης να ανατρέχει σ αυτήν για επαλήθευση στιχείων ή για λήψη περισσότερων πληρφριών. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Οι παραάτω ερωτήσεις (α ως η) αφρύν ένα δείγμα μεγέθυς ν, τυ πίυ εξετάζυμε μια μεταβλητή Χ η πία παίρνει τιμές x, x,...x, ν. 1 2 α. Τι νμάζεται (απόλυτη) συχνότητα ν της τιμής Συχνότητα ν της τιμής πόσες φρές εμφανίζεται η τιμή σύνλ των παρατηρήσεων. x ( 1, 2,..., ) = ; x είναι ένας φυσιός αριθμός πυ δείχνει x της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στ β. Με τι ισύται τ άθρισμα όλων των συχντήτων; Τ άθρισμα όλων των συχντήτων ν, = 1,2,..., ισύται με τ μέγεθς τυ δείγματς. Δηλαδή: ν +ν + +ν =ν 1 2... www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 139
Παρατήρηση: Τ άθρισμα ν 1+ν 2 +... +ν γράφεται συνπτιά: ν άρα = 1 = 1 ν =ν γ. Τι νμάζεται αθριστιή συχνότητα Ν της τιμής Η αθριστιή συχνότητα της τιμής παρατηρήσεων πυ είναι μιρότερες ή ίσες της τιμής Παρατηρήσεις: x x είναι ίση με τ πλήθς των x. Δηλαδή: Αν x1 < x 2 <... < x τότε Ν =ν 1+ν 2 +... +ν 1. Η αθριστιή συχνότητα αφρά μόν πστιές μεταβλές, διότι στις πιτιές μεταβλητές δεν υπάρχει διάταξη τιμών. 2. Ισχύυν: Ν 1 =ν1, Ν 2 =ν 1+ν 2 =Ν 1+ν 2,..., Ν =ν +ν +... +ν =Ν +ν, = 1,2,..., Πρφανώς ισχύει 1 2 1 Ν = V. Από τα παραπάνω πρύπτει ότι: Ν Ν 1 =ν δ. Τι νμάζεται σχετιή συχνότητα f της τιμής Σχετιή συχνότητα συχνότητας ν της τιμής x; f της τιμής x x πρς τ μέγεθς τυ δείγματς. Άρα: λέγεται τ πηλί της f ν = ν Παρατήρηση: Συνήθως ι σχετιές συχνότητες f εφράζνται επί τις εατό αι συμβλίζνται με f 0 0. Δηλαδή ισχύει: f 0 0 = 100 f www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 140
ε. Να δείξετε ότι:. 0 f 1 για = 1,2,...,. f1+ f 2 +... + f = 1 Απόδειξη:. Επειδή ν 0 αι ν > 0, έχυμε: Όμως ν ν, άρα ν f = 0 ν ν f = 1 με συνέπεια: ν. 0 f 1 ν1 ν2 ν ν 1+ν 2 +... +ν ν f1+ f 2 +... + f ν = + +... + = = ν ν ν ν ν f + f +... + f = 1 1 2 ν Παρατηρήσεις: 1. Συνπτιά: = 1 f = 1 2. Αν ι σχετιές συχνότητες εφράζνται επί τις εατό, ισχύει: Συνπτιά: f + f +... + f = 100 0 0 0 1 0 2 0 0 = 1 f = 100 0 0 στ. Τι νμάζεται αθριστιή σχετιή συχνότητα F της τιμής Η αθριστιή σχετιή συχνότητα F της τιμής x; x, με τ πσστό των παρατηρήσεων πυ είναι μιρότερες ή ίσες της τιμής x. Αν x1 < x 2 <... < x τότε F = f1+ f 2 +... + f, = 1,2,..., ν www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 141
Παρατηρήσεις: 1. Η αθριστιή σχετιή συχνότητα F αφρά μόν πστιές μεταβλητές. 2. Ισχύυν: F = f, F = f + f = F + f,..., F = f + f +... + f = F + f με = 1,2,...,. Πρφανώς έχυμε: F = 1 Από τα παραπάνω, εξάγεται ότι: F F = f 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3. Αν ι σχετιές συχνότητες εφράζνται επί τις εατό, ισχύυν: F = f + f +... + f, F F = f, F = 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 ζ. Τι είναι πίναας ατανμής συχντήτων μιας μεταβλητής Χ ; Οι πσότητες x, ν,f για ένα δείγμα συγεντρώννται σ ένα συνπτιό πίναα πυ νμάζεται πίναας ατανμής συχντήτων ή απλά πίναας συχντήτων. η. Τι νμάζεται ατανμή συχντήτων αι τι ατανμή σχετιών συχντήτων; Κατανμή συχντήτων μιας μεταβλητής Χ, λέγεται τ σύνλ των ζευγών: x, ν, = 1, 2,..., ( ) Κατανμή σχετιών συχντήτων λέγεται τ σύνλ των ζευγών: ( ) 0 ( ) x,f ή x,f, = 1,2,..., 0 www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 142
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Τι είναι τ ραβδόγραμμα αι πότε αυτό χρησιμπιείται; Απάντησή Τ ραβδόγραμμα χρησιμπιείται για τη γραφιή παράσταση των τιμών μιας πιτιής μεταβλητής. Απτελείται από ρθγώνιες στήλες πυ ι βάσεις τυς βρίσνται πάνω στν ριζόντι ή τν αταόρυφ άξνα. Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστιχεί μια ρθγώνια στήλη με ύψς ίσ με την αντίστιχη συχνότητα, αν πρόειται για ραβδόγραμμα συχντήτων. Στ ραβδόγραμμα σχετιών συχντήτων τ ύψς της ρθγώνιας στήλης είναι ίσ με την αντίστιχη σχετιή συχνότητα. Τι είναι τ διάγραμμα συχντήτων αι πότε αυτό χρησιμπιείται; Τ διάγραμμα συχντήτων χρησιμπιείται για τη γραφιή παράσταση των τιμών μιας πστιής διαριτής μεταβλητής. Στν ριζόντι άξνα τπθετύμε τις τιμές της μεταβλητής Χ σε αύξυσα σειρά ( x1 < x 2 <... < x ) αι σε άθε τιμή φέρνυμε μια γραμμή παράλληλη στν αταόρυφ άξνα με ύψς ίσ με τη συχνότητα της μεταβλητής. Παρατηρήσεις: 1. Ενώνντας τα σημεία ( ) x,ν (δηλαδή τις ρυφές των αταόρυφων γραμμών πυ φέραμε) έχυμε τ πλύγων συχντήτων 2. Ανάλγα ατασευάζυμε διάγραμμα σχετιών συχντήτων αι πλύγων σχετιών συχντήτων. Στ διάγραμμα σχετιών συχντήτων τ ύψς των γραμμών είναι ίσ με f, ενώ για να ατασευάσυμε τ πλύγων σχετιών συχντήτων ενώνυμε τα x,f σημεία ( ) Παράδειγμα: Σε μια έρευνα, για τν αριθμό των παιδιών σε 50 ιγένειες, τα απτελέσματα ήταν τα εξής: 0 παιδιά είχαν 12 ιγένειες 1 παιδί είχαν 26 ιγένειες 2 παιδιά είχαν 10 ιγένειες 3 παιδιά είχαν 2 ιγένειες www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 143
Τι είναι τ υλιό διάγραμμα αι πότε αυτό χρησιμπιείται; Τ υλιό διάγραμμα χρησιμπιείται για τη γραφιή παράσταση τόσ πιτιών όσ αι πστιών μεταβλών. Τ υλιό διάγραμμα είναι ένας υλιός δίσς χωρισμένς σε υλιύς τμείς τα τόξα των πίων (άρα αι τα εμβαδά) είναι ανάλγα πρς τις συχνότητες ν ή τις σχετιές συχνότητες f των τιμών x της μεταβλητής. Αν συμβλίσυμε με αντιστιχεί στην τιμή x, τότε: α την τιμή τυ τόξυ, σε μίρες, πυ 360 ν α =ν = 360 = f 360, = 1,2,..., V V Παράδειγμα: Από τις 50 παραβάσεις πυ ατέγραψε λιμάι της τρχαίας σε συγεριμέν σημεί ι 10 αφρύσαν σε παραβίαση ερυθρύ σηματδότη, ι 20 δεν φρύσαν ζώνη ασφαλείας, 7 δεν φρύσαν ράνς αι ι υπόλιπες αφρύσαν στην υπερβλιή ταχύτητα. Ο πληθυσμός είναι ι δηγί αυτινήτων αι μτσιλετών. Τ χαρατηριστιό (μεταβλητή) πυ εξετάζυμε είναι ι παραβάσεις, επμένως είναι πιτιή μεταβλητή αι ι τιμές πυ παίρνει είναι: ε.σ. Ερυθρός σηματδότης 10 παραβάσεις ζ.α. Ζώνη ασφαλείας 20 παραβάσεις ρ. Κράνς 7 παραβάσεις υ.τ. Υπερβλιή ταχύτητα 13 παραβάσεις www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 144
Τ ραβδόγραμμα συχντήτων φαίνεται στ σχήμα 1. Τα ύψη των ρθγωνίων είναι ίσα με τις συχνότητες των τιμών της μεταβλητής. Τ ραβδόγραμμα των σχετιών συχντήτων φαίνεται στ σχήμα 3. Τα ύψη των ρθγωνίων είναι ίσα με τα ύψη των αντίστιχων σχετιών συχντήτων. Στ σχήμα 4 φαίνεται τ υλιό διάγραμμα, όπυ έχυμε: 10 α1 ( εσ..) 360 = 72 50 20 α2 ( ζα..) 360 = 144 50 www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 145
7 3 ( ) 360 α ρ = 50, 4 50 13 α4 ( υτ..) 360 = 93,6 50 Τι είναι τ σημειόγραμμα αι πότε αυτό χρησιμπιείται; Τ σημειόγραμμα χρησιμπιείται όταν αριθμός των παρατηρήσεων είναι μιρός. Σ αυτό ι τιμές παριστάννται με σημεία πάνω από τν ριζόντι άξνα των τιμών της μεταβλητής. Παράδειγμα: Οι βαθμί 10 μαθητών στ μάθημα της αστρνμίας, ήταν: Τ αντίστιχ σημειόγραμμα είναι: 16, 18, 16, 15, 16, 17, 17, 18, 16, 15 Τι είναι χρνόγραμμα ή χρνλγιό διάγραμμα αι πότε αυτό χρησιμπιείται; Απάντηση Τ χρνόγραμμα χρησιμπιείται για τη γραφιή απειόνιση της διαχρνιής εξέλιξης ενός μεγέθυς (ινμιύ, δημγραφιύ.α.). Συνήθως ριζόντις άξνας είναι άξνας μέτρησης τυ χρόνυ ενώ άθετς είναι άξνας μέτρησης της τιμής τυ μεγέθυς πυ εξετάζυμε. Παράδειγμα: Η τιμή της μετχής της εταιρείας ΦΟΥΣΚΑ Α.Ε. από τ Ιανυάρι ως τν Ιύλι τυ 2007 ήταν: Ιαν. φεβ. Μαρ. Απρ. Μαϊ Ιυν. Ιυλ. τυ 2007 2,3 2,6 2,5 2, 4 1,9 2,1 2,3 σε Euro Τ αντίστιχ χρνόγραμμα πυ απεινίζει την εξέλιξη της μετχής είναι: www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 146
www.arnos.gr e-mal : nfo@arnos.gr 147