Πολλαπλές λύσεις Δημιουργικότητα σε Προβλήματα Μαθηματικών

Transcript

1 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Ερασία Πλλαπλές λύσεις Δημιυρικότητα σε Πρβλήματα Μαθηματικών Διάσκων: Αθανάσις αάτσης Εκπαιευτικός: Άωνις Κυριάκυ, ΑΤ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ

2 Περιεχόμενα 1 Εισαωή Πρβλήματα Πρσωπικές απόψεις 10

3 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι 1 Εισαωή Αν θέλυμε να ρίσυμε απλά και σύντμα την έννια "ημιυρικότητα", μπρύμε να πύμε ότι "ημιυρικότητα είναι η ικανότητα να φέρνεις στ φως κάτι νέ, κάτι πυ εν έχει παρυσιαστεί ξανά" Αν η ημιυρικότητα εκφράζεται με κίνηση, τότε ρίζεται ως κινητική ημιυρικότητα και ως ημιυρικό πρϊόν τ απτέλεσμα της ελεύθερης και αυθόρμητης έκφρασης τυ παιιύ, πυ πρέπει να είναι νέ και πρωτότυπ όχι ως πρς μία μάα ανθρώπων ή ως πρς την κινωνία αλλά ως πρς τ ίι τ παιί Κάθε παιί ιαθέτει ημιυρικές ικανότητες ι πίες μπρύν να εκφραστύν κάτω από ειικές συνθήκες Η ημιυρικότητα μπρεί να κινητπιηθεί, να καλλιερηθεί, να αναπτυχθεί και να εκφραστεί μέσα σε συκεκριμέν περιβάλλν απχής, ελευθερίας και επικινωνίας με τα κατάλληλα πιτικά και πστικά ερεθίσματα Η ανακαιότητα ια ενίσχυση της ημιυρικότητας των παιιών στην τάξη, ε θα πρέπει να αντιμετωπίζεται με νώμνα την πρώθηση μιας μικρής μάας πρικισμένων παιιών με ιιαίτερες ικανότητες, αλλά με βάση την ανθρωπιστική πρόθεση να ενσταλάξυμε σε κάθε παιί τη μέιστη υνατότητα και τις απαραίτητες πρϋπθέσεις πρκειμένυ να ξειπλώσει ημιυρικά την πρσωπικότητά τυ Έτσι, σε αυτή την περίπτωση ενείκνυται μια πρσέιση βασιζόμενη στη ιαικασία της ημιυρικότητας και όχι στην αξιλόηση τυ τελικύ απτελέσματς Πως θα μπρύσαμε λιπόν να ιεείρυμε τη φαντασία, να πρκαλέσυμε τη ημιυρική σκέψη στα Μαθηματικά; Κάτι τέτι θα ινόταν εφικτό παρακινώντας και ενθαρρύνντας τα παιιά στην επίλυση Μαθηματικών πρβλημάτων με πλλαπλές λύσεις (Krutetskii, Ervynck, Silver) Η ιαφρετικότητα των λύσεων αυτών, καθρεφτίζεται στ εκάσττε περιεχόμεν της ιαικασίας επίλυσης, η πία μπρεί να βασιστεί: σε ιαφρετικές αναπαραστάσεις της έννιας πυ θα χρησιμπιηθεί, σε ιαφρετικές ιιότητες και θεωρήματα σε ένα μάθημα ή μια ενότητα των Μαθηματικών, ή σε ιαφρετικά εραλεία, όπως θεωρήματα και πρτάσεις, από ξεχωριστές νωστικές περιχές των Μαθηματικών (άλεβρα, εωμετρία, ανάλυση κλπ) - 1 -

4 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Οι πλλαπλές λύσεις σε πρβλήματα των Μαθηματικών εν πρέπει να θεωρύνται ως φρτικές, περιττές και συχυστικές Αντίθετα, πράυν τη νώση, αναπτύσσυν την αιτιλόηση και τη μαθηματική απόειξη (πυ πρώτι ι Έλληνες εισήααν στην ιστρία των Μαθηματικών), ηύν στην έμπρακτη ιαχείριση των νώσεων πυ ιάσκεται μαθητής, ι πίες συχνά απτελύν μια πηή ανεπεξέραστων πληρφριών Επίσης, μια λύση κμψή και σύντμη είναι πλλές φρές αρκετή ια να πρσφέρει στ μαθητή τη χαρά της ανακάλυψης και της ευρηματικότητας, ενισχύντας έτσι τη συναισθηματική νημσύνη αυτύ, αλλάζντας τις στάσεις και τις πεπιθήσεις τυ πρς τα Μαθηματικά Μέσα από τις πλλαπλές λύσεις σε έρα των Μαθηματικών, ιαφαίνεται η ημιυρική σκέψη τυ υπκειμένυ (μαθητή), η πία μπρεί να χαρακτηριστεί από την ευελιξία στν αριθμό των λύσεων πυ παραθέτει, την καιντμία πυ πηάζει από την πρωττυπία των λύσεων και από τη σαφήνεια πυ ιέπει τη ιαικασία επίλυσης τυ πρβλήματς και μεταξύ των λύσεων Η Μαθηματική ημιυρικότητα μπρεί να εξεταστεί σε τρεις χώρυς λύσεων σύμφωνα με την Leikin: Εξειικευμένι χώρι λύσεων: 1 Τυπικί, συμβατικί χώρι λύσεων 2 Πρωτότυπι, μη συμβατικί χώρι λύσεων Ατμικί χώρι λύσεων: 1 Πρσωπικί χώρι λύσεων 2 Δυνατί, ενεχόμενι χώρι λύσεων Ομαικί, Συλλικί χώρι λύσεων Πι κάτω ιατυπώνυμε τρία νωστά απτελέσματα στν κόσμ των Μαθηματικών και ια τ κάθε ένα παραθέτυμε κάπιες απείξεις πυ μπρύν να θεωρηθύν ως πλλαπλές λύσεις έβαια, με κανένα τρόπ αυτές εν μπρύν να χαρακτηριστύν ως μναικές! Πλλές απείξεις μπρύν αν υπάρχυν, αρκεί να σκεφτεί κανείς πως ια τ Πυθαόρει Θεώρημα έχυν συκεντρωθεί (Ελευθέρις Αρυρόπυλς, πηή internet) περίπυ 525 ιαφρετικές απείξεις - 2 -

5 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι «Η φαντασία, είναι σημαντικότερη από τη νώση Η νώση είναι ριακή, η φαντασία περικυκλώνει λόκληρ τν κόσμ» Albert Einstein 2 Πρβλήματα 1 Αν ένα σύνλ έχει ν, ( ν ) ν των υπσυνόλων τυ είναι 2 0, στιχεία, να είξετε ότι τ πλήθς όλων i) Έστω Α σύνλ με ν στιχεία Αν ν = 0, τότε Α = και τ μόν υπσύνλ 0 τυ Α είναι τ Α, ηλαή έχει 2 = 1 υπσύνλ ii) ια τις απείξεις πι κάτω ας είναι ν 1 Απόειξη 1 η : Συνυαστική Διωνυμικό Ανάπτυμα Τ πλήθς των υπσυνόλων τυ Α με 0, 1, 2, 3,, ν στιχεία είναι αντιστίχως, ν ν ν ν ν = 1,,,,, ν Άρα τ πλήθς όλων των υπσυνόλων τυ συνόλυ Α είναι: ν ν ν ν ν Ως νωστόν όμως, από τ ιωνυμικό ανάπτυμα έχυμε, ν ν ν ν ν ν ( ) ν ν ν 1 ν 2 2 ν 3 3 ν α + β = α + α β + α β + α β + + β ν ν ν ν ν τ πί ια α = β = 1, ίνει 2 = ν, - 3 -

6 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Απόειξη 2 η : Άλεβρα (Χρήση Συνάρτησης) Έστω Α Θεωρύμε τη συνάρτηση, φ : Α { 0, 1}, όπυ 1, αν χ χ Α, φ( χ) = 0, αν χ Είναι φανερό ότι, αφύ τ σύνλ Α έχει ν στιχεία, τότε μπρύμε να φτιάξυμε τόσα υπσύνλα ια τ Α, όσες είναι ι τιμές της συνάρτησης φ καθώς τ χ ιατρέχει τ Α Τ πλήθς αυτών των τιμών είναι 2 ν ν = 2 Απόειξη 3 η : Άλεβρα (Επαωή) Με επαωή στ ν Αν ν = 1, τότε Α = { α} τ πί έχει 1 2 = 2 υπσύνλα, τ Α και τ Έστω ότι ια ν κ = κ, κάθε σύνλ με κ στιχεία έχει 2 υπσύνλα Ας είναι τώρα = + Α { α, α,, α, α } ν κ 1 και = 1 2 κ κ+1 Τότε, Α = { α, α,, α } { α } και τ { } 1 2 κ κ+1 κ α, α,, α έχει 2 υπσύνλα, λόω 1 2 κ υπόθεσης της επαωής Οπότε, αν σε καθένα από τα υπσύνλα τυ κ α, α,, α συμπεριλάβυμε και τ α κ + 1, θα πάρυμε ακόμα 2 υπσύνλα { } 1 2 κ ια τ υπσύνλα { } { } Α = α, α,, α α Άρα τ Α θα έχει 1 2 κ κ+1 κ κ κ κ = 2 2 = 2 + Σχόλι: Η πρόταση απτελεί νωστό θεώρημα της Θεωρίας Συνόλων Από τις απείξεις πυ παρυσιάζνται, η τρίτη είναι η πι ικεία και συμβατική Ιιαίτερ ενιαφέρν παρυσιάζυν ι πρώτες υ Η πρώτη είναι περισσότερ συνθετική και κατά τη νώμη μυ η πι κμψή και πρωτότυπη είναι η εύτερη - 4 -

7 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι 2 Να απείξετε ότι κάθε εεραμμένη ωνία πυ βαίνει σε ημικύκλι είναι ρθή Απόειξη 1 η : Θεώρημα επίκεντρης και αντίστιχης εεραμμένης Είναι νωστό ότι κάθε εεραμμένη ωνία είναι ίση με τ μισό της αντίστιχης επίκεντρης Άρα, A Ο 180 Α = = = Ο Απόειξη 2 η : Θεώρημα ρθωνίυ τριώνυ Φέρυμε την ΑΟ η πία είναι ιάμεσς τυ τριώνυ Α, καθώς Ο = Ο Τότε, στ Α ισχύει: A ΑΟ = ιάμεσς = ΑΟ 2 Α 90 = Ο Απόειξη 3 η : ωνίες Φέρυμε την ΑΟ Τότε, τα τρίωνα ΑΟ, ΑΟ είναι ισσκελή ιότι ΑΟ = Ο = Ο A ψ χ Επμένως είναι ΟΑ = ΟΑ = ψ και ΟΑ = ΟΑ = χ Τ άθρισμα των ωνιών τυ Α είναι ίσ με 180, πότε ψ Ο χ 2χ + 2ψ = 180 χ + ψ = 90 Α=90 Απόειξη 4 η : Αναλυτική εωμετρία Θεωρύμε τη ιάμετρ ως τν άξνα ΧΧ σε ρθώνι σύστημα αξόνων και ως άξνα ΨΨ την ευθεία πυ περνά από τ Α και είναι κάθετη στην Θεωρύμε τ κέντρ τυ κύκλυ να είναι τ α, 0 Εκ κατασκευής είναι α > 0 με σημεί ( ) R > α Α ψ Ο (α, 0) χ - 5 -

8 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Η εξίσωση τυ κύκλυ είναι ( ) χ α + ψ = R Στα σημεία και είναι ψ = 0, πότε από την εξίσωση παίρνυμε Α είναι χ = 0, πότε παίρνυμε ότι ( R + α, 0) και ( R α, 0) ψ Επιπλέν στ 2 = R α 2, ηλ Α ( 0, R ) 2 α 2 Τότε R α R α R α λα λα = = = 1 Α Α Α = R α α R α R Απόειξη 5 η : Θεώρημα τριώνων Από τ Ο φέρυμε κάθετη ΟΔ στη χρή Α Ως νωστό τ απόστημα ιχτμεί τη χρή Α, ηλ ΑΔ = Δ Επιπλέν, Ο = Ο Άρα στ Α ισχύει: A Ο Δ Δ μέσ της Α Ο μέσ της ΟΔ // Α Α = 90 Απόειξη 6 η : Τριωνμετρία Εφαρμόζυμε τ νόμ συνημιτόνων στ ΟΑ : R R συ ν = = συν = (1) 2R 2R α A Ο α = 2R β Ομίως στ Α : 2 2 α + β 2 συ ν = (2) 2α Οι (1) και (2) ίνυν: α = α + β 2 α = α + β α = + β Η τελευταία σχέση υπηλώνει ότι τ τρίων είναι ρθώνι με Α = 90 (Δε χρησιμπιήσαμε τ νόμ ημιτόνων ιότι η απόειξη τυ στηρίζεται στ απτέλεσμα της πρς απόειξη πρότασης) Σχόλι: Η πρόταση απτελεί ένα από τα βασικά θεωρήματα της εωμετρίας τυ κύκλυ Η πρώτη απόειξη κάνει χρήση τυ ενικότερυ θεωρήματς Η εύτερη είναι ιιαίτερα κμψή και σύντμη Η τρίτη είναι πι τυπική λύση, ενώ η τέταρτη είναι κατασκευαστική, όμως πρωτότυπη Η πέμπτη λύση είναι αρκετά έξυπνη και σύντμη όπως και η τελευταία ρίσκω την πέμπτη λύση να είναι αυτή πυ συνυάζει συντμία και φαντασία - 6 -

9 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι 3 Αν Α και είναι ενεχόμενα ενός ειματικύ χώρυ (πειράματς) Ω, να είξετε ότι ΡΑ ( ) = ΡΑ ( ) + Ρ ( ) ΡΑ ( ) Απόειξη 1 η : Άλεβρα Θεωρύμε τυς πληθάριθμυς των συνόλων Α, και Α ως εξής: ν Α = χ, ν = ψ, ν Α = ω ( ) ( ) ( ) Τότε πρφανώς, θα έχυμε ότι ν( Α ) = χ ω+ ω+ ψ ω = χ + ψ ω, επμένως από τν ρισμό τυ Laplace παίρνυμε, να ( ) ΡΑ ( ) = νω ( ) χ + ψ ω = νω ( ) χ ψ ω = + νω ( ) νω ( ) νω ( ) Ω Α χ - ω ω ψ - ω = ΡΑ ( ) + Ρ ( ) ΡΑ ( ) Απόειξη 2 η : εωμετρία 1 Έστω Ω ένα τετράων πλευράς 1 Θεωρύμε τα ενεχόμενα τυ Ω ως ρθώνια και ρίζυμε τ εμβαόν ως αντίστιχη πιθανότητα Α χ ω Ε ψ Ζ Τα εμβαά των ρθωνίων ΑΕΘΔ, ΕΘ και ΖΗ είναι 1 α Ε ( ΑΕΘΔ) = α ( χ + ω ), Ε ( ΕΘ) = αω και ΕΖΗ ( ) = αψ ( + ω) Τότε Ω Δ Θ Η Ε ( ΑΕΘΔ) + Ε ( ΖΗ ) Ε ( ΕΘ ) = α ( χ + ω) + α ( ψ + ω) αω = αχ + αω + αψ + αω αω = α( χ + ψ+ ω ) Από την άλλη, έχυμε Ε( ΑΖΗΔ) = ( ΑΔ) ( ΑΖ) α( χ ω ψ) = + + Από τα πι πάνω πρκύπτει Ε ( ΑΖΗΔ) = Ε ( ΑΕΘΔ) + Ε ( ΖΗ) Ε ( ΕΘ ), ηλ ΡΑ ( ) = ΡΑ ( ) + Ρ ( ) ΡΑ ( ) - 7 -

10 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Απόειξη 3 η : Ανάλυση Θεωρύμε τη ραφική παράσταση μιας συνάρτησης f συνεχής και ρισμένης στ ιάστημα [ α, ], 0 α <, τέτια ώστε 0 f( χ ) 1, χ [ α, ] Θεωρύμε ια ειματικό χώρ, τ χωρί (ρθώνι) πυ περικλείεται μεταξύ των αξόνων και των ευθειών χ =, ψ = 1 1/ ψ f (χ) 0 α β χ Θεωρύμε τα ενεχόμενα τυ Ω ως χωρία πυ περικλείνται μεταξύ της καμπύλης f(χ), τυ άξνα ΧΧ και κατακόρυφων ευθειών της μρφής χ = χ 1 ια τ κάθε ενεχόμεν, ρίζυμε την αντίστιχη πιθανότητα να είναι τ εμβαόν τυ αντίστιχυ χωρίυ Αν 0 α < β < <, από τις ιιότητες τυ ρισμένυ λκληρώματς, ισχύει β α α β β α β α β β α β α β f( χ ) dχ = f( χ ) dχ + f( χ ) dχ + f( χ ) dχ f( χ ) dχ + f( χ ) dχ = f( χ ) dχ + f( χ ) dχ + f( χ ) dχ + f( χ ) dχ f( χ ) dχ + f( χ ) dχ = f( χ ) dχ + f( χ ) dχ f( χ ) dχ = f( χ ) dχ + f( χ ) dχ f( χ) dχ α α β β Επμένως έχυμε ΡΑ ( ) = ΡΑ ( ) + Ρ ( ) ΡΑ ( ) - 8 -

11 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι Απόειξη 4 η : Διανύσματα Θεωρύμε τα ιανύσματα χ 0, 1 ( ) Παριστάνυμε τ κάθε υπσύνλ τυ Ω { } νω ως ένα ιάνυσμα, όπυ ι μνάες καθρίζυν ιατακτικά τα στιχεία τυ Ω πυ ανήκυν στ υπσύνλ αυτό Πρφανώς ειματικός χώρς Ω θα παριστάνεται από τ ιάνυσμα Τ σύνλ Α ω = 1,, 1,, 1 ( ) Ω θα παριστάνεται με τ ιάνυσμα α = 1, 1,, 1, 0,, 0 κ θέση Ομίως ια τ σύνλ Ω έχυμε β = 0,, 0, 1,, 1, 0,, 0 ( κ-ν ) θέση ( κ+ μ ) θέση Πρφανώς τ σύνλ Α ενώ τ σύνλ Α, θα παριστάνεται από τ ιάνυσμα α β = 0,, 0, 1,, 1, 0,, 0, ( κ-ν ) θέση κ θέση, θα παριστάνεται από τ ιάνυσμα α β = 1,, 1, 0,, 0 ( κ+μ ) θέση Ορίζυμε ως πιθανότητα κάθε συνόλυ Α τ 2 α, α α ΡΑ ( ) = = Τότε είναι, νω ( ) νω ( ) Από την άλλη είναι ( ) κ + μ κ κ ν 1 κ + μ+ ν + 1 ΡΑ ( ) + ΡΑ ( ) = + = νω ( ) νω ( ) νω ( ) ( κ + μ) ( κ ν 1) κ κ + μ+ ν + 1 ΡΑ ( ) + Ρ ( ) = + = νω ( ) νω ( ) νω ( ) Επμένως ισχύει Ρ( Α ) = ΡΑ ( ) + Ρ ( ) ΡΑ ( ) Σχόλι: Η πρόταση απτελεί μια από τις βασικές ιιότητες των πιθαντήτων Η πρώτη απόειξη είναι η περισσότερ νωστή και πρσειωμένη Η εύτερη είναι πλύ κμψή και πρωτότυπη όπως και η τρίτη Η τέταρτη είναι πι πρχωρημένης φαντασίας και ακόμα ρωτώ τν εαυτό μυ πως την σκέφτηκε Θεωρώ και τις τρεις τελευταίες πλύ έξυπνες και αυθεντικές - 9 -

12 ΠΡΥ025: Διακτική Μαθηματικών Ι 3 Πρσωπικές απόψεις Αν ρωτήσεις κάπιν να συ πει τη νώμη τυ ια τα Μαθηματικά, ασφαλώς θα πρέπει να είσαι ιιαίτερα αισιόξς να πιστέψεις ότι θα πάρεις μια απάντηση πυ θα αππνέει ικανπίηση Οι περισσότερες απαντήσεις θα περιστρέφνται ύρω από τις υσάρεστες ή ακόμα και τις τραυματικές εμπειρίες ρισμένων, πυ τυς πρξένησε τ πλήθς των ακατανόητων συμβόλων Έτσι, ενιές μαθητών πέρασαν και συνεχίζυν να περνύν, έχντας στ μυαλό τυς ια τα Μαθηματικά τη ζφερή εικόνα μιας φρμαλιστικής επιβλής Δυστυχώς τ κλίμα μέσα στ πί ιάσκνται τα Μαθηματικά είναι ένα κλίμα άκρατυ φρμαλισμύ, στ πί αναπτύσσνται τεχνικές πυ πλλές φρές θυμίζυν συνταές μαειρικής Συνταές ι πίες σε καθηύν ια τ πώς να λύσεις μια μάα ασκήσεων, ανάντας έτσι τα Μαθηματικά σε ένα ηό μαειρικής με υλικά ιάφρα σύμβλα και στόχ τα «καλά απτελέσματα» στις εξετάσεις Είναι πράματι τα Μαθηματικά ένα πλήθς συμβόλων και πρτάσεων πυ φαίνεται να απτελεί τη λώσσα ενός ανύπαρκτυ κόσμυ; Θα λεα πως όχι νώση εν είναι πληρφρία, είναι η ικανότητα να μπρείς να επεξεράζεσαι την πληρφρία και αξιλώντας την να μπρείς να την κρίνεις και να ημιυρείς Κάτι τέτι απαιτεί τη υνατότητα να σκέφτεσαι και η σκέψη εν πρκύπτει αφ εαυτής Απκτάται με την άσκηση τυ Νυ Να ένας λιπόν από τυς ρόλυς των Μαθηματικών Ξεκινώντας από τ Δημτικό, είναι στη φύση των παιιών να μη φβύνται να κάνυν λάθς Δεν εννώ ότι τ να κάνεις λάθς είναι τ ίι με τ να είσαι ημιυρικός Αυτό πυ νωρίζω όμως είναι πως αν εν είσαι έτιμς να κάνεις λάθς, ε μπρείς να κάνεις κάτι τ αυθεντικό Καθώς τα παιιά μεαλώνυν, αυτή τυς η ικανότητα να ψάχνυν και να κρίνυν ξεθωριάζει Διευθύνυμε και κατευθύνυμε ένα εκπαιευτικό σύστημα με τρόπ, όπυ τα λάθη είναι τ χειρότερ πυ μπρείς να κάνεις Τ απτέλεσμα είναι να εκπαιεύυμε ανθρώπυς κάνντάς τυς να ξεχνύν τις ημιυρικές τυς ικανότητες Τελειώνντας τ Πανεπιστήμι, αναρωτήθηκα πλλές φρές: «Δε θα ξεχάσω κάπτε αυτά πυ έχω μάθει; Και όταν με τ πέρασμα τυ χρόνυ τα ξεχάσω, θα νιώθω χρήσιμς και παραωικός;» Πέρασαν ρισμένα χρόνια ια να απαντήσω στν εαυτό μυ και να πω πως: «τώρα, μπρώ να επιλύω ένα πρόβλημα με ένα, υ και τρεις τρόπυς, ιατί απλά, κέρισα αυτό πυ πτέ εν κατάφερα σαν μαθητής έμαθα να σκέφτμαι, να ημιυρώ» Ελπίζω λιπόν πως τ αναλυτικό πρόραμμα, θα μπρέσει κάπια στιμή να ενθαρρύνει μια νέα πρσπάθεια στ περιεχόμεν των Μαθηματικών, κάνντάς τ περισσότερ ιασκεαστικό και ευχάριστ, ικανό να φλερτάρει με τη ημιυρική σκέψη τυ μαθητή