Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση. Συγκεκριμένα Μια απεικόνιση α με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών και τιμές στο Β δηλαδή: : B καλείται μια ακολουθία στοιχείων του συνόλου Β Αν B Rτότε η α καλείται ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η τιμή της α στο ν δηλαδή η τιμή μιας ακολουθίας συμβολίζεται (δηλαδή ο φυσικός αριθμός ν γράφεται σαν κάτω δείκτης του α) και μιλάμε για την ακολουθία ( ). Οι τιμές μιας ακολουθίας α καλούνται όροι της ακολουθίας και μπορούν να καταχωρηθούν σε έναν πίνακα ως εξής:............ Συνήθως όμως παραλείπεται η πρώτη γραμμή και γράφονται μόνο οι όροι της ακολουθίας...... όπου ος όρος νιοστός όρος ή γενικός όρος της ακολουθίας. Η συνάρτηση αποδίδει την τιμή στη νιοστή θέση. Αυτή είναι η βασική ιδέα των ακολουθιών: υπάρχει συνάρτηση που τοποθετεί τον κάθε αριθμό της ακολουθίας στην κατάλληλη διατεταγμένη θέση του. Προσοχή: Το ν εκφράζει την τάξη του όρου και το εκφράζει την τιμή του όρου. Παράδειγμα Πεδίο ορισμού ν Πεδίο τιμών 4 6 ν Η συνάρτηση που δρα εδώ αποδίδει την τιμή ν στη ν-στή θέση. Γραφική παράσταση ακολουθίας Αφού η ακολουθία είναι συνάρτηση προφανώς μπορούμε να κάνουμε γραφική παράσταση μιας ακολουθίας σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων όπως ακριβώς κάνουμε με τις συναρτήσεις.
Προσοχή: Στις ακολουθίες το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων. Στα παρακάτω παραδείγματα θα απεικονίσουμε τις ακολουθίες με δύο τρόπους. Αριστερά θα απεικονίσουμε τους όρους στον οριζόντιο άξονα και δεξιά θα απεικονίσουμε τα σημεία ( ) στο επίπεδο. Ταυτόχρονα στα παρακάτω σχήματα μπορούμε να παρακολουθήσουμε την σύγκλιση ή απόκλιση της αντίστοιχης ακολουθίας.. Έστω η ακολουθία Η ακολουθία. Έστω η ακολουθία αποκλίνει Οι όροι μικραίνουν διαρκώς και προσεγγίζουν το μηδέν καθώς το αυξάνει. Οπότε η ακολουθία συγκλίνει στο.. Έστω η ακολουθία c Οι όροι της ακολουθίας ανεξάρτητα από την τιμή του έχουν την ίδια τιμή που είναι ίση με άρα η ακολουθία συγκλίνει στο.
Σύγκλιση Απόκλιση - Όριο ακολουθίας Ορισμένες ακολουθίες καθώς το αυξάνει προσεγγίζουν μια μοναδική οριακή τιμή l και άλλες δεν εμφανίζουν τέτοια συμπεριφορά. Ορισμός: Η ακολουθία συγκλίνει στον αριθμό l αν σε κάθε θετικό αριθμό αντιστοιχεί ακέραιος τέτοιος ώστε για κάθε l. Αν δεν υπάρχει τέτοιος ακέραιος l λέμε ότι η αποκλίνει. Αν η συγκλίνει στο l γράφουμε l ή απλούστερα l και καλούμε το l όριο της ακολουθίας. Βασικά συμπεράσματα για τις υπακολουθίες:. Αν μία ακολουθία συγκλίνει στο l τότε όλες οι υπακολουθίες της ακολουθίας συγκλίνουν στο l.. Αν κάποια υπακολουθία της ακολουθίας αποκλίνει ή αν δύο υπακολουθίες της ακολουθίας έχουν διαφορετικά όρια τότε η ακολουθία αποκλίνει.. Η ουρά μιας ακολουθίας είναι μία υπακολουθία της ακολουθίας. Προσοχή: Η σύγκλιση ή η απόκλιση μιας ακολουθίας δεν έχει καμμία σχέση με τη συμπεριφορά των πρώτων όρων. Η σύγκλιση ή η απόκλιση μιας ακολουθίας εξαρτάται μόνο από την συμπεριφορά της ουράς της.
4 Ιδιότητες συγκλινουσών ακολουθιών. αν. αν. αν 4. αν φραγμένη. αν 6. αν R 7. R 8. αν 9. αν. αν. Αν με για κάθε ν = τότε και γενικά αν k είναι ένας σταθερός θετικός ακέραιος τότε.. αν συγκλίνουν και τότε. αν 4.. κριτήριο παρεμβολής θεώρημα σάντουιτς : αν (Για τη μονοτονία φραγμένες και όρια μπορείτε επίσης να βρείτε υλικό: Λογισμός μιας Μεταβλητής Ενότ..4 σελ. ΣΕΥ Λογισμός Ακολουθίες.6.-.6. και ΣΕΥ Λογισμός Ακολουθίες. καθώς και.4.-.4.4.4.7)
Παρατήρηση: Όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος με το βαθμό του παρανομαστή το κλάσμα έχει όριο το λόγο των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων αριθμητή και παρανομαστή. 4 7 Παράδειγμα: Για τον υπολογισμό του παραπάνω ορίου εργαζόμαστε ως εξής: Διαιρούμε αριθμητή και παρανομαστή με τη μεγαλύτερη δύναμη του ν δηλαδή με το οπότε 4 7 4 7 4 7 4 7 Παράδειγμα (βγάζουμε κοινό παράγοντα) 7 7 7 7 4 4 4 4 4 4 γιατί Παρατήρηση: Όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος του βαθμού του παρανομαστή το κλάσμα έχει όριο το μηδέν. Παράδειγμα 4 : Παράδειγμα (αριθμητική πρόοδος)... Να υπολογίσετε το όριο: Λύση Ξέρουμε ότι... (Η ακολουθία...... είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ( ) και άθροισμα των πρώτων όρων ( ) ( ) ( ) που δίνεται από τον τύπο: S Επομένως :...
Σημαντικά όρια Το x παραμένει σταθερό καθώς το... l 4. x. x 6. x x x 7. 8. (στους τύπους που υπάρχει x) x x x x (τυχόν x) ( ( ) ( ) x 9. γιατί x.! Πρόταση (κριτήριο του λόγου): Αν... Παραδείγματα l l l τύπος 4 τύπος τύπος 6 και 4 τύπος για! τύπος για x x και x τύπος 9 για x 6
7 Παράδειγμα (χρήση του ) Φραγμένες ακολουθίες Μια ακολουθία λέγεται άνω φραγμένη όταν: M για κάποιο R M. Ο αριθμός M είναι τότε ένα άνω φράγμα της ακολουθίας. Μια ακολουθία λέγεται κάτω φραγμένη αν R m m Ο αριθμός m είναι τότε ένα κάτω φράγμα της ακολουθίας. Μια ακολουθία λέγεται φραγμένη αν είναι συγχρόνως άνω και κάτω φραγμένη δηλαδή αν M m για κάποιο R M m. Προσοχή: Μία φραγμένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη. Παρατήρηση: Μια ακολουθία απολύτως φραγμένη είναι και φραγμένη Παραδείγματα φραγμένων ακολουθιών. Η ακολουθία είναι φραγμένη..... Η ακολουθία είναι φραγμένη..... Η ακολουθία... είναι φραγμένη.
Μονότονες ακολουθίες Ορισμός : Μια ακολουθία με την ιδιότητα για κάθε καλείται μη φθίνουσα ακολουθία (δηλαδή...) Ορισμός : Μια ακολουθία καλείται μη αύξουσα αν για κάθε. Ορισμός : Μια ακολουθία που είναι είτε μη φθίνουσα είτε μη αύξουσα καλείται μονότονη. Παραδείγματα: Η ακολουθία 4...... είναι μη φθίνουσα. Η ακολουθία 9...... είναι μη φθίνουσα. Η ακολουθία...... είναι μη 4 8 9 7 αύξουσα Μονότονες ακολουθίες-σύγκλιση Έχουμε ήδη αναφέρει ότι: Μία φραγμένη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη. Επίσης μία μονότονη ακολουθία δεν συγκλίνει κατ ανάγκη. Π.χ. η ακολουθία των φυσικών αριθμών είναι μονότονη αλλά αποκλίνει. Θεώρημα μονότονων ακολουθιών Κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία είναι συγκλίνουσα στο R. Παράδειγμα. Η ακολουθία συγκλίνει γιατί είναι μη φθίνουσα και άνω φραγμένη. Πράγματι είναι άνω φραγμένη γιατί: άρα η φράσσεται από τον αριθμό M. Η είναι μη φθίνουσα ακολουθία γιατί: Έστω πράγμα το οποίο ισχύει άρα μη φθίνουσα. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα μονότονων ακολουθιών η έχουμε: : συγκλίνει. Οπότε Παράδειγμα Η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα Λύση Για να είναι η ακολουθία γνησίως φθίνουσα πρέπει:. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να αποδείξουμε ότι. Έχουμε: Άρα η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα. 8
Παράδειγμα (αναδρομική ακολουθία) Να δείξετε ότι η ακολουθία και είναι γνησίως αύξουσα φραγμένη και. Λύση i. Θα αποδείξουμε επαγωγικά ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή θα αποδείξουμε ότι ισχύει για κάθε.. Έχουμε Αποδεικνύουμε ότι ισχύει για k : Πράγματι Έστω ότι ισχύει για k έστω δηλ. έστω Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για k δηλ. ότι ισχύει. Επειδή θα έχουμε: Άρα ισχύει... γνησίως αύξουσα. ii. Θα αποδείξουμε ότι η ακολουθία είναι και άνω φραγμένη με άνω φράγμα το. Η απόδειξη θα γίνει πάλι επαγωγικά. Αποδεικνύουμε για k : Πράγματι Έστω ότι ισχύει για k έστω δηλ. έστω Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για k δηλ. ότι ισχύει. Επειδή θα έχουμε: 4 4 4 δηλαδή και συνεπώς η ακολουθία είναι άνω φραγμένη. iii. Από γνωστό Θεώρημα (βλέπε: Λογισμός μιας Μεταβλητής Ενότ..4 σελ. Θεώρημα) αφού η ακολουθία είναι αύξουσα και άνω φραγμένη θα έχουμε ότι συγκλίνει. Επίσης είναι γνωστό ότι: τότε γιατί. Έτσι έχουμε: Έστω οπότε ( ). Άρα. Επειδή πρέπει θα ισχύει. Άρα. 9
Μηδενική ακολουθία: Μια ακολουθία... θα είναι μηδενική αν Παραδείγματα: Η σταθερή ακολουθία... είναι μηδενική. Η ακολουθία... είναι μηδενική Ιδιότητες μηδενικών ακολουθιών ) Αν και ) Αν τότε και η ακολουθία που προκύπτει από αυτή με προσθήκη ή με διαγραφή πεπερασμένου πλήθους όρων είναι επίσης μηδενική. ) Κάθε μηδενική ακολουθία είναι φραγμένη. Το αντίστροφο δεν ισχύει. 4) Το άθροισμα και η διαφορά μηδενικών ακολουθιών είναι μηδενική ακολουθία. Αν και ) Το γινόμενο μηδενικής ακολουθίας επί φραγμένη είναι μηδενική ακολουθία. Αν 6) Το γινόμενο μηδενικών ακολουθιών είναι μηδενική ακολουθία. 7) Αν τότε R 8) R αν 9) Αν και τότε (δηλαδή η ακολουθία είναι μηδενική αν φράσσεται απολύτως από μηδενική ακολυθία) Παραδείγματα. τότε η 4.. Δείξτε ότι (εφαρμογή της 9 με ) 4. (εφαρμογή της 9 με )