ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και τις κατανομές που εκτιμήθηκαν Πληροφορίες για τα λήψη αποφάσεων στο σχεδιασμό τεχνικών έργων
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη σχεδίαση πειραμάτων Δεν περιλαμβάνεται στην ύλη του προπτυχιακού μαθήματος
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για την ανάλυση διασποράς Δεν περιλαμβάνεται στην ύλη του προπτυχιακού μαθήματος
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Η αβεβαιότητα Οφείλεται σε περιορισμένο διάθεσιμο αριθμό δεδομένων Οφείλεται σε σφάλματα εκτίμησης παραμέτρων Οφείλεται σε ατελή σχεδιασμό των μοντέλων που περιγράφουν το φαινόμενο
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Η αβεβαιότητα Άρα η αβεβαιότητα οφείλεται 1. στη σύμφυτη (ή φυσική) μεταβλητότητα 2. και στα σφάλματα στις διαδικασίες πρόβλεψης.
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Τ.Μ. Χ λαμβάνει τιμές στην πραγματική ευθεία με κατανομή f X (x)
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Τ.Μ. Χ λαμβάνει τιμές στην πραγματική ευθεία με κατανομή f X (x) Δειγματοληψία : Δείγμα {x 1, x 2,. x n }
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Τ.Μ. Χ λαμβάνει τιμές στην πραγματική ευθεία με κατανομή f X (x) Δειγματοληψία : Δείγμα {x 1, x 2,. x n } Υπόθεση για τον πραγματικό πληθυσμό
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Δειγματοληψία : Δείγμα {x 1, x 2,. x n } Τ.Μ. Χ λαμβάνει τιμές στην πραγματική ευθεία με κατανομή f X (x) Διάγραμμα Συχνότητας Υπόθεση για τον πραγματικό πληθυσμό
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Δειγματοληψία : Δείγμα {x 1, x 2,. x n } Τ.Μ. Χ λαμβάνει τιμές στην πραγματική ευθεία με κατανομή f X (x) Διάγραμμα Συχνότητας Υπόθεση για τον πραγματικό πληθυσμό μ x σ 2 s 2 x = (1/n) Σx i s 2 = (1/n-1)Σ(x -x i ) 2
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: ΕΚΤΊΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΈΤΡΩΝ Εκτίμηση παραμέτρων της κατανομής τυχαίας μεταβλητής που εκφράζει ένα συγκεκριμένο πληθυσμό με χρήση ενός δείγματος στοιχείων από τον πληθυσμό αυτό.
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Εκτίμηση Παραμέτρων Σημειακή εκτίμηση Μέθοδος των ροπών Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Τεχνική δειγματοληψίας ΑΜΕΡΟΛΗΨΙΑ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤ ΙΚΟΤΗΤΑ ΕΠΑΡΚΕΙΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Τεχνική δειγματοληψίας ΑΜΕΡΟΛΗΨΙΑ Περισσότερες πληροφορίες ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤ ΙΚΟΤΗΤΑ Αν η προσδοκώμενη τιμή είναι ίση με την παράμετρο που εκτιμάται ΕΠΑΡΚΕΙΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Τεχνική δειγματοληψίας ΑΜΕΡΟΛΗΨΙΑ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤ ΙΚΟΤΗΤΑ Μεγαλύτερο δείγμα συνεπάγεται ικρότερο σφάλμα εκτίμησης ΕΠΑΡΚΕΙΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Τεχνική δειγματοληψίας ΑΜΕΡΟΛΗΨΙΑ Αποτελεσματικότερη είναι η εκτιμήτρια με τη μικρότερη διασπορά ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤ ΙΚΟΤΗΤΑ ΕΠΑΡΚΕΙΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ: Τεχνική δειγματοληψίας ΑΜΕΡΟΛΗΨΙΑ Όταν αξιοποιεί όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες για την εκτίμησή της ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ- ΤΙΚΟΤΗΤΑ ΕΠΑΡΚΕΙΑ
Μέθοδος των ροπών # Δοκιμίου xi xi2 1 5,60 31,36 2 5,30 28,09 3 4,00 16,00 4 4,40 19,36 5 5,50 30,25 6 5,70 32,49 7 6,00 36,00 8 5,60 31,36 9 7,10 50,41 10 4,70 22,09 11 5,50 30,25 12 5,90 34,81 13 6,40 40,96 14 5,80 33,64 15 6,70 44,89 16 5,40 29,16 17 5,00 25,00 18 5,80 33,64 19 6,20 38,44 20 5,60 31,36 21 5,70 32,49 22 5,90 34,81 23 5,40 29,16 24 5,10 26,01 25 5,70 32,49 140,00 794,52 Στον πίνακα δίνονται τα αποτελέσματα μετρήσεων της τάσης πυκνωτή. Ο υπολογισμός της δειγματικής μέσης τιμής και της δειγματικής μεταβλητότητας γίνεται ως ακολούθως. x= 5,6 ksi s 2 = 0,438333 ksi 2
Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας Αν «στρίψουμε» 1000 φορές ένα νόμισμα ποια είναι η propabity ότι θα βγει κεφάλι; Αν «στρίψουμε» 1000 φορές ένα νόμισμα και έρθει κεφάλι 100 φορές, ποια είναι η likelihood ότι το νόμισμα είναι δίκαιο; ΒΛΕΠΕ Κουγιουμτζή, Πολυτεχνική ΑΠΘ ΒΛΕΠΕ Valdez, University of Connecticut ΒΛΕΠΕ Wikipedia
Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας 1 η Εφαρμογή Στον πίνακα σημειώνονται τα διαστήματα μεταξύ διαδοχικών αφίξεων λεωφορείων σε σταθμό εντός πόλεως. Υποθέτουμε ότι οι χρόνοι ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Διαστήματα 1,2 3 6,3 10,1 5,2 2,4 7,1 35,3
Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας 1 η Εφαρμογή (συνέχεια)
Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας 2 η Εφαρμογή Τριαξονικό δοκίμιο κορεσμένης άμμου υποβάλλεται σε επαναληπτικές κάθετες Φορτίσεις. Ο αριθμός των κύκλων των φορτίσεων, μέχρι αστοχίας του δοκιμίου, για πέντε ανεξάρτητα δοκίμια είναι 25, 20, 28, 33, 26 κύκλοι Αν υποθέσουμε λογαριθμική κανονική κατανομή για τον αριθμό των κύκλων μέχρι αστοχίας του δοκιμίου, να εκτιμηθούν οι παράμετροι λ και ζ με τη μέθοδο της μεγίστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μεγίστης πιθανοφάνειας 2 η Εφαρμογή (συνέχεια)
Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού όταν είναι γνωστή η διασπορά. Δειγματοληπτικός έλεγχος σε δείγμα μεγέθους 60 παρατηρήσεων έδωσε δειγματική μέση τιμή 48,2 και τυπική απόκλιση 9,6 Να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής του πληθυσμού σε επίπεδο 0,95
Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού όταν είναι γνωστή η διασπορά. Δειγματοληπτικός έλεγχος σε δείγμα μεγέθους 60 παρατηρήσεων έδωσε δειγματική μέση τιμή 48,2 και τυπική απόκλιση 9,6 Να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής του πληθυσμού σε επίπεδο 0,95 Η τυπική απόκλιση της δειγματικής μέσης τιμής είναι: S. E.( x) 9.6 60
Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού όταν είναι γνωστή η διασπορά. Δειγματοληπτικός έλεγχος σε δείγμα μεγέθους 60 παρατηρήσεων έδωσε δειγματική μέση τιμή 48,2 και τυπική απόκλιση 9,6 Να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής του πληθυσμού σε επίπεδο 0,95 Η τυπική απόκλιση της δειγματικής μέσης τιμής είναι: S. E.( x) 9.6 60 Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή του πληθυσμού είναι (48,2-1,961,24, 48,2+1,96 1,24) = (45,8, 50,6)
Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού όταν είναι άγνωστη η διασπορά. Έστω ότι 30 μετρήσεις για το διαλυμένο οξυγόνο στον ποταμό έδειξαν x 2,52mg / l και 2 s 4,2 ( mg / l) 2
Υπολογισμός μονόπλευρου διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού. Εργαστηριακές μετρήσεις σε δοκίμια χάλυβα Α36 έδειξαν μέση δειγματική τιμή 2200 kp/cm 2 και υπική απόκλιση 220 kp/cm 2. Ο κατασκευαστής επιθυμεί να προσδιορίσει το κατώτατο όριο εμπιστοσύνης της μέσης τιμής μ της τάσης ροής του χάλυβ α σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%
Υπολογισμός μονόπλευρου διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού. (Συνέχεια)
Υπολογισμός μονόπλευρου διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού. Στον πίνακα καταχωρήθηκαν δεδομένα μετρήσεων βροχόπτωσης και απορροής όμβριων στην περιοχή της γέφυρας της Εγνατίας οδού επί του Αξιού ποταμού, # καταιγίδας Βροχόπτωση Απορροή # καταιγίδας Βροχόπτωση Απορροή # καταιγίδας Βροχόπτωση Απορροή (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) (cm) 1 1,14 0,99 12 1,65 1,5 23 1,91 1,76 2 1,37 1,22 13 1,24 1,09 24 1,26 1,11 3 1,6 1,45 14 1,43 1,28 25 3,18 3,03 4 1,83 1,68 15 1,41 1,26 5 2,06 1,91 16 2,9 2,75 6 2,29 2,14 17 2,2 2,05 7 2,43 2,28 18 2,28 2,13 8 2,57 2,42 19 1,26 1,11 9 2,45 2,3 20 1,93 1,78 10 2,33 2,18 21 2,09 1,94 11 2,21 2,06 22 2,96 2,81
Υπολογισμός μεγέθους δείγματος όταν είναι γνωστή η διασπορά, η δειγματική μέση τιμή και το επίπεδο εμπιστοσύνης. Συσκευή μέτρησης της ταχύτητας οχήματος καταχωρεί με τυχαία δειγματοληψία τιμές της ταχύτητας οχήματος. Να προσδιοριστεί το μέγεθος του δείγματος ώστε η εκτίμηση της μέσης ταχύτητας να έχει ανεκτό σφάλμα 1 km/h σε επίπεδο εμπιστοσύνης 99%. Προηγούμενη δειγματοληψία έδειξε τυπική απόκλιση 3,58 km/h.
Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης μέσης τιμής πληθυσμού όταν είναι γνωστή η διασπορά.
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Σύνθετων Μετρήσεων Εκτίμηση εμβαδού επιφανείας παραλληλογράμμου οικοπέδου με χρήση 20 μετρήσεων που προηγήθηκαν Μήκος Αριθμός μετρήσεων Μέση δειγματική τιμή Δειγματική Διασπορά Χ 12 72 μέτρα 0,74 μέτρα 2 Υ 5 63 μέτρα 0,81 μέτρα 2 Ζ 3 71 μέτρα 0,82 μέτρα 2 Υ Ζ Χ
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Σύνθετων Μετρήσεων Εκτίμηση εμβαδού επιφανείας Α = Χ(Υ+Ζ) Ā = 72(63+71) = 9782 Η διάδοση Σφάλματος είναι =71 2 (0,81/3)+63 2 (0,82/5)+72 2 (0,74/12) = 2331,67 m 4 2 2 2 2 3 1 2 ) ( Â Â] [ z y x i x x z y x Var x i i
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Σύνθετων Μετρήσεων σ Ā 2 = 48,29 m 2 Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης αντιστοιχεί στο εκατοστιαίο σημείο της Ν(0,1) k α/2 = 1,96 <Ā> = [9782-1,96(48,29), 9782+1,96(48,29)]
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Διασποράς του πληθυσμού Υπολογίζετε τη δειγματική διασπορά s 2. Η δειγματική διασπορά είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς του πληθυσμού : Ε(s 2 )= σ 2. (Απόδειξη) Η διασπορά της δειγματικής διασποράς s 2 είναι:
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Διασποράς του πληθυσμού Υπολογίζετε τη δειγματική διασπορά s 2. Η δειγματική διασπορά είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς του πληθυσμού : Ε(s 2 )= σ 2. (Απόδειξη) Η διασπορά της δειγματικής διασποράς s 2 είναι: 2 4 Var ( s ) 4 n 4 n n 3 1
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Διασποράς του πληθυσμού Υπολογίζετε τη δειγματική διασπορά s 2. Η δειγματική διασπορά είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια της διασποράς του πληθυσμού : Ε(s 2 )= σ 2. (Απόδειξη) Η διασπορά της δειγματικής διασποράς s 2 είναι: 2 4 Var ( s ) 4 n 4 Όπου μ 4 = Ε[(Χ-μ) 4 ], η ροπή τέταρτης τάξης ως προς την μέση τιμή. n n 3 1
Παράδειγμα: Εκτίμησης Διαστήματος Εμπιστοσύνης Διασποράς του πληθυσμού # δοκιμίου x i 2 x i 1 6,9 47,61 2 4,2 17,64 3 5,5 30,25 4 6,7 44,89 5 4,1 16,81 6 4,4 19,36 7 4,7 22,09 8 6,3 39,69 9 6 36 10 4 16 11 6,8 46,24 12 4,5 20,25 13 5,4 29,16 14 4,5 20,25 15 6,9 47,61 16 4,8 23,04 17 6,4 40,96 18 4,3 18,49 19 6,8 46,24 20 5,8 33,64 21 4,8 23,04 22 6,8 46,24 23 4,2 17,64 24 5,6 31,36 25 4,7 22,09 136 764,82 Υπολογισμός αντοχής θραύσης σκυροδέματος s 2 =30,82 To 95% διάστημα εμπιστοσύνης είναι (30,82/(1+1,96x2/24, 30,82/(1-1,96x2/24 )
Ακριβή όρια εμπιστοσύνης για την σ 2 Καθώς οι βαθμοί ελευθερίας αυξάνουν η κατανομή chi squared τείνει στην κανονική κατανομή Αν ο πληθυσμός είναι κανονικός το ανώτατο όριο εμπιστοσύνης της διασποράς σ 2 προσδιορίζεται Ρ[(n-1) s 2 / σ 2 c a, n-1 ] = 1-α
Παράδειγμα: Ακριβή όρια εμπιστοσύνης για την σ 2 Παραδειγμα 5.13 Η θερμική αγωγιμότητα μετρήθηκε 25 φορές και υπολογίστηκε η δειγματική διασπορά s 2 =0,44. Αν υποτεθεί ότι το εξεταζόμενο υλικό παρουσιάζει αγωγιμότητα που κατανέμεται κανονικά, να εκτιμηθεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης της διασποράς σ 2 του πληθυσμού Πίνακες χ 2