KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

Σχετικά έγγραφα
2. Η μέθοδος του Euler

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

Κεφάλαιο 1. Αριθµητική ολοκλήρωση συνήθων διαφορικών εξισώσεων και συστηµάτων

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Κεφ. 7: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Γεώργιος Ακρίβης. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

1 Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Η ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ GALERKIN

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

Ύπαρξη και Mοναδικότητα Λύσης Μη γραμμικών ΔΕ

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

ιαφορικές Εξισώσεις 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Πεπερασμένες Διαφορές.

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Σηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Βιομαθηματικά BIO-156

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Παράδειγµα Θεωρείστε το σύστηµα: αυτοκίνητο επάνω σε επίπεδη επιφάνεια κάτω από την επίδραση δύναµης x( t ) : v(t)

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

0.4 ιαφόριση συναρτήσεων

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

εύτερο παράδειγµα ΓΧΑ συστήµατος. Κύκλωµα RLC.

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ' Λυκείου 2001

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

KΕΦΑΛΑΙΟ 3. H κυµατική εξίσωση.

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

Transcript:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[ α, b] : y () t = f(, t y()) t, α t b. () y( α ) = y 0 Η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων µελετά συνθήκες στην f που εξασφαλίζουν την ύπαρξη και µοναδικότητα της λύσης, καθώς επίσης και την εξάρτηση της λύσης από τα δεδοµένα, π.χ. εάν y y είναι µικρή, τότε η διαφορά y y πόση µικρή είναι. Ειδικά στην y t δηλαδή: περίπτωση που η f είναι πολυώνυµο ου βαθµού ως προς η δ.ε. είναι γραµµική, µε λύση y ( t) = p( t) y( t ) q( t ) t s p( t ) dt t α p( r ) dr α yt () = e y0 qse ds. α Για γενική f όµως όχι µόνο δεν µπορούµε να δώσουµε λύση σε κλειστή µορφή, αλλά ούτε να εγγυηθούµε την ύπαρξη και µοναδικότητά της. Προβλήµατα µε µη µονοσήµαντη λύση είναι δύσκολο να προσεγγισθούν αριθµητικά. Στην περίπτωση µοναδικής λύσης τα πράγµατα είναι αρκετά απλούστερα. Θεώρηµα Έστω [ α, ] f C b είναι µία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη Lipchitz δηλαδή: L 0: t [ α, b] y, y f( t, y ) f( t, y ) L y y, τότε το πρόβληµα () λύνεται µονοσήµαντα 0

Η συνθήκη αυτή είναι περιοριστική. Αντικαθιστώντας την µε µία «τοπική» συνθήκη Lipchitz, τα πράγµατα γίνονται καλύτερα. Έτσι: Θεώρηµα Εστω fc[ α, b] [ y c, y c ] και L 0: t [ α, b] y, y [ y c, y c ] fty (, ) fty (, ) Ly y, 0 τότε το πρόβληµα αρχικών τιµών λύνεται µονοσήµαντα τουλάχιστον c στο διάστηµα [ α, ] b = mi b, α, A = max f( t, y). α) Μέθοδος Eüler b, όπου { } A α t b y c y y c Υποθέτουµε ότι το πρόβληµα των αρχικών τιµών λύνεται µονοσήµαντα. Θεωρούµε έναν οµοιόµορφο διαµερισµό α = t < t <...tn = b του [ α, b ]. Εστω y,...,y N είναι οι προσεγγίσεις των πραγµατικών τιµών y(t ), =0,...,N- της λύσης της δ.ε. (), τότε οι y,...,y N προσδιορίζονται από τον αναδροµικό τύπο: y = y hf(t,y ) =0,...,N-. Αυτό τεκµηριώνεται ως εξής: Αν h 0, τότε: f( x h) f( x) f ( x) f( x h) f( x) hf ( x), h οπότε εάν t, t,...,t N οµοιόµορφος διαµερισµός, τότε t = t h, συνεπώς χρησιµοποιώντας την παραπάνω µε ισότητα αντί γράφουµε: όπου y=yt. = = y y hy y hf t,y, =0,...,N-, Θεώρηµα 3 Αν y,...,y N είναι οι προσεγγίσεις τις οποίες δίνει η µέθοδος Eüler για τον οµοιόµορφο διαµερισµό του [ α, b ] µε βήµα b α h =, τότε: Ν M Lb ( α ) max y y( t) ( e ) h L 0

όπου M = max y ( t ) και L η ανισότητα στη συνθήκη Lipchitz. t [ α, b] Απόδειξη: Aπό το πολυώνυµο Taylr ου βαθµού έχουµε: άρα: h yt = yt hy ( t) y ( ξ ), ξ t, t ` h y( t = ( ) ) y y( t) y h f( t, y( t)) f( t, y) y ( ξ) Επειδή όµως: M e e hl y( x) y h M = ( ) M e e hl e h Lh e h ( ) Mh e Lh e έχουµε: δ δ e d ( δ ) d K d de K δ Lh e e e hl Mh e hl και επειδή h b c έχουµε τελικά e Mh e Lb ( α ) L. Το παραπάνω σφάλµα που υπολογίσαµε είναι το λεγόµενο ολικό σφάλµα που είναι της τάξης. Το σφάλµα: ( yt hf( t, yt )) y( t ) δ = καλείται τοπικό σφάλµα και αν αναπτύξουµε µε Taylr την () y t για t = t παίρνουµε: 03

( ξ ) f ( ξ ) y δ = ( ( )) y t hf t, y t y t y ( t) h h =, δηλαδή το τοπικό σφάλµα είναι τάξης και αυτό είναι ένα γενικό φαινόµενο, διότι τα σφάλµατα συσσωρεύονται. Παράδειγµα ίνεται η διαφ. εξίσωση y(t) = t y( t), y ( 0) =. Θεωρείστε έναν οµοιόµορφο διαµερισµό του [ 0, ] µε βήµα h = 0.5 και υπολογίστε τις προσεγγίσεις της λύσης y της δ.ε. στα σηµεία του διαµερισµού µε τη µέθοδο του Eüler. Στη συνέχεια χρησιµοποιήστε την παρεµβολή Newt για να προσεγγίσετε τη λύση της δ. ε. Λύση: Eφαρµόζουµε τον αναδροµικό τύπο της µεθόδου Eüler: ( ) y = y hf t, y t = 0.5 i(i0i ) =.5 0 0 0 y = y hf t, y =.5 0.5 i(i0.5i.5 ) =.6565 y = y hf t, y =.6565 0.5(i0.5i.6565 ) =.984375 3 y = y hf t, y =.984375 0.5(i0.75i.984375 ) = 7.09796 4 3 3 3 και έτσι σχηµατίζουµε τον ακόλουθο πίνακα τιµών της προσεγγιστικής λύσης της δ.ε. στα σηµεία 0, 0.5, 0.5, 0.75, : t 0 t t t 3 T 4 t 0 0.5 0.5 0.75 y.5.6565.984375 7.09796 y 0 y y y 3 y 4 Στη συνέχεια εφαρµόζουµε την µέθοδο παρεµβολής του Newt (βλέπε Κεφ. 5) για τα προαναφερθέντα σηµεία και παίρνουµε: 0.5 0.5.5 8.6667 0.5.6565.65 7.375 0.75.984375 5.35.34 9.86 7.09796 6.496.64559 04

άρα η προσεγγιστική λύση της δ.ε. είναι η ακόλουθη: y ( x) = ( x 0).5( x 0 )( x 0.5) 8.6667( x 0)( x 0.5)( x-0.5 ).64559( x 0)( x 0.5)( x 0.5)( x 0.75 ). Ευστάθεια της µεθόδου Eüler Έστω f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήµατος. Συνεπώς για δοσµένες αρχικές τιµές y, z τα προβλήµατα αρχικών τιµών: y () t = f t, y() t z () t = f t, z() t y( α) = y z( α) = z έχουν µονοσήµαντες λύσεις y, z C[ α, b ]. Έστω ε () = () () t y t z t, τότε έχουµε: () t = () t ( t) = f ( t y t ) f ( t z t ) ε y z,,, άρα: d ε ε ε ε dt () t = () t () t = () t f ( t, y( t) ) f ( t, z( t) ) Aν λοιπόν ϕ() t = ε () άρα η Lt ϕ () () t f ( t y t ) f ( t z t ) ( t) L y t z t L () t ε, (), () ε () () = ε. t, τότε: ϕ L ϕ 0 Lt ϕ () ϕ Lt d = ( Lt e t L ( t) e e ϕ() t ) 0 dt e t είναι φθίνουσα t [ α, ] b, άρα: οπότε: L α ϕ( α) e Lt ϕ t e, Lb ( α ) { Lt ( α ) et () e e ( α ) max y t z t e y z. 05

Η έννοια αυτή δεν είναι πολύ χρήσιµη στην πράξη. Έστω y () t = λy() t, λ < 0, t [0, ) y(0) = είναι γραµµική δ.ε. η οποία έχει µοναδική λύση t = h, τότε: λ = t 0 t y e. Έστω λt y = y hyλ = ( hλ) y = ( hλ) = e Στην πράξη οι υπολογισµοί γίνονται µε µικρό αλλά θετικό h. Έτσι: y 0 αν hλ < = < hλ < < h λ < 0 Λέµε ότι η µέθοδος είναι απόλυτα ευσταθής για h > 0, αν όταν εφαρµοσθεί σ αυτό το πρόβληµα δίνει προσεγγίσεις που τείνουν στο µηδέν όταν. Γενικότερα: Έστω το πρόβληµα λt. y = λ () t y () t, λ, Re( λ ) < 0 y(0) = () Μία αριθµητική µέθοδος επίλυσης προβλήµατος αρχικών τιµών καλείται απόλυτα ευσταθής για κάποιο h > 0 αν όταν εφαρµοσθεί στο πρόβληµα () δίνει προσεγγίσεις για τις οποίες y 0. Η περιοχή του µιγαδικού ηµιεπιπέδου S = { z :Re( z ) < 0} ώστε η µέθοδος να είναι απόλυτα ευσταθής αν hλ S καλείται περιοχή απόλυτης ευστάθειας της µεθόδου.. Μέθοδος Ruge-Kutta Η µέθοδος Eüler είναι ειδική περίπτωση της κατηγορίας Ruge-Kutta. Μία µέθοδος Ruge-Kutta µε q ενδιάµεσα στάδια, υπολογίζει το y από το y µέσω ενός τύπου: (, ) y = y h b f t y q j, j, j j = 06

όπου οι b ( j= ) j,..., q είναι δοσµένες σταθερές. Οι q ενδιάµεσες τιµές y,j και t,j δίνονται από τις σχέσεις q y = y h α f t, y i =,..., q i, ij, j, j j = όπου tj, = t Tjh, T j, a ij δεδοµένες σταθερές. Έτσι µία µέθοδος Ruge- Kutta µε q στάδια ορίζεται από q q σταθερές γραµµένες ως εξής: α α q T α q α qq T q b b q Η κλασσική µέθδος Ruge-Kutta ορίζεται από τις κάτωθι σταθερές: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 3 3 6 Έχουµε λοιπόν: q y = y α f t, y i =,..., q i, ij, j, j i = ft (, y,) 0 0 0 0 y, y h f t, y, y 0 0 0, = y, y,3 y h 0 0 0 f t, y,3 y,4 y 0 0 0 f ( t h, y,4 ) άρα: 07

= 4 (, ) y y b f t y i, i, i i = = y f t y f t y f t y f t y 6 3 3 6 (,,,) (,,, ) (,3,,3 ) (,4,,4 ) = y f ( t, y ) f t h, y 6 3 z,, h f t, y f t h, y 3 a 6,3,4. 08