ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 5 Ορισμοί.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Εαπτομένη οξείας γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάετη πλευρά µε την προσκείμενη κάετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορογωνίου τριγώνου, είναι πάντοτε σταερός και λέγεται εαπτομένη της γωνίας ω. εω = απέναντι κάετη πλευρά της γωνίας ω προσκείμενη κάετη πλευρά της γωνίας ω πέναντι κάετη πλευρά ω Προσκείμενη κάετη πλευρά Κλίση της ευείας με εξίσωση =α Η κλίση α της ευείας µε εξίσωση = α είναι ίση µε την εαπτομένη της γωνίας ω, που σχηματίζει η ευεία µε τον άξονα '. εω = = = α Ο A(,) Ο ω
54 ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ 1. Στο διπλανό σχήμα είναι ε = 15 100 :, 15 :, : 100, Δ : 15 100 Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. Η σωστή απάντηση είναι το γιατί η εαπτομένη της γωνίας είναι η απέναντι κάετη πλευρά στη γωνία,δηλαδή προς την προσκείμενη κάετη πλευρά,δηλαδή 100. απέναντι κάετη πλευρά της γωνίας ε = =. προσκείμενη κάετη πλευρά της γωνίας 100. Στο διπλανό σχήμα είναι: α) ε =. 4 4 :, :, :, Δ : 4 5 5 Δ β) ε =... : 4, :, :, Δ : 4 4 Ε Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση. α) Η σωστή απάντηση είναι το γιατί όπως αίνεται στο σχήμα στο ορογώνιο τρίγωνο Δ η γωνία έχει απέναντι κάετη πλευρά Δ=4 και προσκείμενη πλευρά Δ=. β) Η σωστή απάντηση είναι το Δ γιατί όπως αίνεται στο σχήμα στο ορογώνιο τρίγωνο Ε η γωνία έχει απέναντι κάετη πλευρά Ε=4 και προσκείμενη πλευρά Ε=.
ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 55. Σε κάε γωνία,, ω, ψ του διπλανού σχήματος να αντιστοιχίσετε την εαπτομένη της. ωνία Εαπτομένη 5 5 ω 1 ψ, ε = = 1 εω =, εψ = 5 ε = 5 Ε Δ Ζ ω ω ψ πό τα ορογώνια τρίγωνα ΔΕ, Θ, ΔΖ, Η. Οι γωνίες,, ω, ψ είναι ίσες με τις αντίστοιχες στα παραπάνω τρίγωνα ως εντός εναλλάξ. ψ Θ Η Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ΣΚΗΣΗ 1 Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε το μήκος : α) 17 Ζ β) 1 Η 0 0 5 0 Δ Λ Ε 5 0 Θ 8 0 Μ Κ γ) δ) 1 Ι 10
56 ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ α) ε0 = α) Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της 1 οξείας γωνίας των 0 0. = 1.ε0 ντικαιστούμε την ε0=0,58 από τους = 1.0,58 πίνακες των τριγωνομετρικών αριμών. = 6,96 β) ε5 = 17 = 17.ε5 = 17.0,7 = 11,9 1 γ) ε8 =.0,78 = 1 1 = 0,78 = 16,67 δ) ε45.1 = 10 = 10 = 10 ΣΚΗΣΗ Να σχεδιάσετε μια γωνία με εω=0,7. β) Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 5 0. ντικαιστούμε την ε5=0,7 από τους πίνακες των τριγωνομετρικών αριμών. γ) Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 8 0. ντικαιστούμε την ε8=0,78 από τους πίνακες των τριγωνομετρικών αριμών. δ) Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 45 0. ντικαιστούμε την ε45=1 από τους πίνακες των τριγωνομετρικών αριμών. νωρίζουμε ότι είναι: 7 εω = 0,7 = 10 Κατασκευάζουμε ένα ορογώνιο τρίγωνο που η μία κάετη πλευρά του να είναι ίση με 7 και η άλλη κάετη πλευρά ίση με 10. ια τη γωνία ω ισχύει 7 εω = =. 10
ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 57 ΣΚΗΣΗ Ποια στοιχεία μπορείτε να υπολογίσετε σε ορογώνιο τρίγωνο µε μια οξεία γωνία 0, αν η απέναντι κάετη πλευρά έχει μήκος 4 εκατοστά; 4 ε0 =.ε0 = 4.0,58 = 4 4 = = 6,9 cm 0,58 = + 4 = 6,9 + 4 64 = 8 cm ΣΚΗΣΗ 4 Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 0 0. ντικαιστούμε την ε0=0,58 από τους πίνακες των τριγωνομετρικών αριμών. Άρα αν η άλλη κάετη πλευρά την βρίσκουμε. ν η υποτείνουσα του τριγώνου την υπολογίζουμε και αυτή χρησιμοποιώντας το πυαγόρειο εώρημα. Επίσης βρίσκουμε και την άλλη οξεία γωνία του τριγώνου αν 90 0-0 0 =60 0. Άρα υπολογίζουμε όλα τα στοιχεία του τριγώνου. Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε την απόσταση των δύο πλοίων.
58 ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 40 ε4 = 40 0,6745 = 0,6745 = 40 = 59, m ε = 40 0,445 = 40 0,445 = 40 = 94, m πόσταση δύο πλοίων : - ΣΚΗΣΗ 5 = 4,9 m Υποέτουμε ότι είναι η απόσταση του πλοίου που είναι πλησιέστερα στον άρο και η απόσταση του πιο απομακρυσμένου πλοίου από τον άρο. Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 4 0 για να υπολογίσουμε την απόσταση. Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 0 για να υπολογίσουμε την απόσταση. Η απόσταση των δύο πλοίων είναι η διαορά των αποστάσεων -. Ένας τουρίστας βλέπει την κορυή ενός πύργου από σημείο µε γωνία 40 και τη βάση του πύργου µε γωνία 18. ν γνωρίζετε ότι = m, να υπολογίσετε το ύψος του πύργου. Δ ε18 = 0, = 0,.Δ = Δ Δ Δ = 9, m ΕΔ ΕΔ ε40 = 0,84 = ΕΔ = 0,84.9, Δ 9, ΕΔ = 7,8 m = ΕΔ + Δ = 7,8 + = 10,8 m Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 18 0 στο ορογώνιο τρίγωνο Δ για να υπολογίσουμε την απόσταση Δ. Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 40 0 στο ορογώνιο τρίγωνο ΔΕ για να υπολογίσουμε την απόσταση ΕΔ. Το ύψος του πύργου είναι το άροισμα των αποστάσεων ΕΔ και Δ.
ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 59 ΣΚΗΣΗ 6 Την Κααρή Δευτέρα ο Λάκης και ο Σάκης βλέπουν το χαρταετό του Μάκη µε γωνίες 55 και 85 αντίστοιχα. Ο Λάκης και ο Σάκης βρίσκονται σε α- πόσταση 80 m. Να βρείτε σε τι ύψος από το έδαος έχει ανέβει ο χαρταετός του Μάκη, αν γνωρίζουμε ότι τα µάτια του Λάκη και του Σάκη βρίσκονται σε ύψος 1,40 m. ε55 = 1,4. = ε85 = 11,4. = + 1,4 = 80 + = 1,4 11,4 = = 11,4 11,44 1,4 = = 80 11,44. + 11,44. = 80.11,44 1,4 11,44 8 + = 915, 9 = 915, = 101,69 m ύψος αετού = 101,69 + 1,4 = 10,09 m Υποέτουμε ότι είναι η απόσταση του Λάκη από την κατακόρυη του ύψους του αετού και η απόσταση του Μάκη από την κατακόρυη του ύψους του αετού Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 55 0 για να υπολογίσουμε την απόσταση. Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της οξείας γωνίας των 85 0 για να υπολογίσουμε την απόσταση. Το άροισμα των αποστάσεων και είναι ίσο με την απόσταση των δύο παιδιών,δηλαδή 80 m. Λύνουμε την εξίσωση με άγνωστο το που προκύπτει. Το ύψος του αετού είναι το άροισμα των αποστάσεων και 1,4.
60 ΜΕΡΟΣ.1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ ΣΚΗΣΗ 7 Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε ένα τραπέζι του μπιλιάρδου. δύο µπάλες και είναι τοποετημένες έτσι ώστε Ε = 90 cm, = 5 cm, Ε= 5 cm και Ε = cm. Ένας παίκτης έλει να χτυπήσει τη µπάλα µε τη µπάλα ακολουώντας τη διαδρομή του σχήματος. α) Να εκράσετε την απόσταση ως συνάρτηση του. β) Στο τρίγωνο να εκράσετε την ε ως συνάρτηση του. γ) Στο τρίγωνο Ε να εκράσετε την ε ως συνάρτηση του. δ) Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω συµπεράσµατα των ερωτημάτων (β) και (γ) αποδείξτε ότι το είναι λύση της εξίσωσης 5(90 ) = 5. Προσδιορίστε τον αριμό. 5 cm A Δ 90 cm Ε 5 cm α) Δ = ΔΕ - Ε = 90 - α) Εκράζουμε την απόσταση Δ ως διαορά των δύο αποστάσεων ΔΕ και Ε. Δ 5 β) ε = ε = () 1 β ) Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της Δ 90 - οξείας γωνίας των 0 στο ορογώνιο τρίγωνο Δ. Ε 5 γ) ε = ε = ( ) γ) Χρησιμοποιούμε την εαπτομένη της Ε οξείας γωνίας των 0 στο ορογώνιο τρίγωνο Ε. 5 5 δ) = δ) Εξισώνουμε τα δεύτερα μέλη των δύο 90 - παραπάνω ισοτήτων 1 και. 5( 90 ) = 5. Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα των αναλογιών. 150 5 = 5 Λύνουμε την εξίσωση με άγνωστο το. 5 + 5 = 150 60 = 150 = 5,5 cm