ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΜΟΣ ος ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ --

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου Τόμου Περιεχόμενα Κεφάλαιο Ι Στοιχεώδεις Πιθανότητες Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Ι. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι 5 Ι..Α. Δειγματοχώρος και Ενδεχόμενα 5 Ι..Β. Ένωση, Τομή, Συμπλήρωμα και Διαφορά Ενδεχομένων. Νόμοι De Morgan 7 Ι..Γ. Ορισμός Πιθανότητας κατά Laplace. Πρώτες Βασικές Ιδιότητες. Προσθετικό Θεώρημα. 9 Ι..Δ. Δεσμευμένες Πιθανότητες και Πολλαπλασιαστικός Τύπος Πιθανοτήτων. Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα Ι..Ε. Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Τύπος του Bayes 7 Ι.. Συνδυαστική 44 Κεφάλαιο II Ι..Α. Παραγοντικό, Διωνυμικός Συντελεστής, Τρίγωνο του ascal. Στοιχειώδη Αποτελέσματα Βασικά I..Β. Συνδυασμοί, Διατάξεις και Πολυωνυμικοί Συντελεστές 47 Ι..Γ. Το Πρόβλημα της Τοποθέτησης S Σφαιριδίων σε N Κελλιά: Επαναληπτικές Διατάξεις και Επαναληπτικοί Συνδυασμοί των S ανά N I..Δ. Δειγματοληψίες Άνευ και Μετ Επαναθέσεως. Αναφορά στην Υπεργεωμετρική Κατανομή Ι..Ε. Η Πολλαπλασιαστική Αρχή 6 Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών 66 ΙΙ.. Τυχαίες Μεταβλητές. Συνάρτηση Κατανομής 66 Σελ. 5 44 5 55 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ ΙΙ..Α. Βασικοί Ορισμοί: Διακριτές και Συνεχείς Μεταβλητές. Συνάρτηση Πιθανότητας και Πυκνότητα Πιθανότητας ΙΙ..Β. Κατανομή Πιθανότητας: Ορισμός και Πρώτα Γενικά Αποτελέσματα 75 II.. Οι Κυριότερες Διακριτές Κατανομές 8 ΙΙ..Α. Η Υπεργεωμετρική Κατανομή 8 II..Β. Η Διωνυμική Κατανομή 8 II..Γ. Η Γεωμετρική Κατανομή II..Δ. Η Κατανομή ascal 4 II..Ε. Η Kατανομή osson 7 II.. Οι Κυριότερες Συνεχείς Κατανομές 8 II.4. ΙΙ..Α. Η Κανονική Κατανομή 8 ΙΙ..Β. Η Εκθετική Κατανομή 49 ΙΙ..Γ. Γενίκευση: η Κατανομή γ n 59 II..Δ. Η Κατανομή χ 6 ΙΙ..Ε. Η Λογαριθμικο-Κανονική Κατανομή 7 ΙΙ..ΣΤ. Η Ομοιόμορφη Κατανομή 7 ΙΙ..Ζ. Η Κατανομή Βήτα 7 ΙΙ..Η. Η Κατανομή Cauchy 7 II..Θ. Η Κατανομή Student 7 ΙΙ..Ι. Η Κατανομή Snedecor 7 Αξιοπιστία της Προσαρμογής Θεωρητικών Μοντέλων Κατανομών στα Δεδομένα Παρατηρήσεων ΙΙΙ.4.Α. Ορισμός και Κατανομή Πιθανότητας για την Απόσταση μεταξύ Παρατηρηθείσας Κατανομής και της Αντίστοιχης Θεωρητικής Κατανομής ΙΙΙ.4.Β. Ο Έλεγχος χ 8 66 7 75 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Κεφάλαιο Στοιχειώδεις Πιθανότητες, Απαριθμητοί Δειγματοχώροι Αφού δώσουμε βασικούς ορισμούς και θεμελιώδεις τύπους της κλασσικής Θεωρίας Πιθανοτήτων, συνοδευόμενους από κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα, θα παρουσιάσουμε στοιχειώδη αποτελέσματα της Συνδυαστικής Θεωρίας που θα χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Ι.. Βασικοί Ορισμοί και Τύποι Α. ΔΕΙΓΜΑΤΟΧΩΡΟΣ ΚΑΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων μίας φάσης ενός πειράματος (ή φαινομένου) τύχης καλείται δειγματοχώρος και συνήθως εδώ θα συμβολίζεται με το κεφαλαίο γράμμα. Τα ατομικά (αδιαίρετα) αποτελέσματα καλούνται στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα (ή ακόμη σημεία ή περιπτώσεις). Όταν το είναι αριθμήσιμο σύνολο σημείων, ο δειγματοχώρος λέγεται απαριθμητός. Ενδεχόμενα (ή τυχαία γεγονότα) ονομάζονται τα υποσύνολα του. Πραγματοποίηση ενδεχομένου A σημαίνει την εμφάνιση ενός από τα σημεία του A. Ι... Παράδειγμα. Έστω ο δειγματοχώρος που ορίζεται από τις εύστοχες και άστοχες ρίψεις τριών βολών. Εάν το γράμμα αναπαριστά κάθε εύστοχη ρίψη βολής, ενώ το γράμμα κάθε άστοχη ρίψη βολής, τότε τα σημεία του (: στοιχειώδη ή απλά ενδεχόμενα) μπορούν να αποδοθούν ως εξής: ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ,,,,,,,. Προφανώς, ο συγκεκριμένος δειγματοχώρος είναι απαριθμητός. Το ενδεχόμενο κατά το οποίο ρίπτονται α κ ρ ι β ώ ς δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο,,, ενώ το ενδεχόμενο κατά το οποίο ρίπτονται τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν δύο άστοχες βολές είναι το σύνολο,,,. Ακόμη, το ενδεχόμενο κατά το οποίο ρίπτεται άστοχη βολή όταν προηγουμένως έχει ριφθεί τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν μία εύστοχη βολή είναι το σύνολο,,. Τέλος, το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη βολή είναι άστοχη δίνεται από το σύνολο,,,, ενώ το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη και η δεύτερη βολή δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα είναι το σύνολο,,,. Ι... Παράδειγμα. Τα δρομολόγια για τον ανεφοδιασμό τριών (πολεμικών) μονάδων πρόκειται να καθορισθούν έτσι ώστε κάθε μία από τις μονάδες αυτές να ανεφοδιάζεται δύο φορές ημερησίως. Να καθορισθεί το ενδεχόμενο κατά το οποίο η πρώτη και η τελευταία επίσκεψη θα γίνουν στην ίδια μονάδα. Απάντηση. Εάν, και αναπαριστούν τις πράξεις του ανεφοδιασμού της πρώτης, δεύτερης και τρίτης μονάδας αντιστοίχως, τότε το ζητούμενο ενδεχόμενο καθορίζεται από το σύνολο 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ,,,,,. Β. ΕΝΩΣΗ, ΤΟΜΗ, ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ. ΝΟΜΟΙ DE MORGAN Ένωση των ενδεχομένων,...,,, συμβολιζόμενη με καλείται η εμφάνιση (: πραγματοποίηση) τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν ενός από τα ενδεχόμενα,,...,. Τομή (ή γινόμενο) των ενδεχομένων,,...,, συμβολιζόμενη με (ή... ) καλείται η ταυτόχρονη πραγματοποίηση τούτων. Συμπλήρωμα (ή αντίθετο) του ενδεχομένου, συμβολιζόμενο με c (ή είναι το ενδεχόμενο μη εμφάνισης του. Η διαφορά δύο ενδεχομένων και ορίζεται ως ' ) c (: το ενδεχόμενο της πραγματοποίησης του και ταυτόχρονης μη πραγματοποίησης του Β). Έτσι, c A. Βέβαιο γεγονός λέγεται ο δειγματοχώρος, ενώ αδύνατο γεγονός λέγεται το c συμπλήρωμα του, δηλαδή το κενό σύνολο Ø. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Παρατήρηση. Οι ανωτέρω έννοιες μπορούν να περιγραφούν σχηματικά από τα γνωστά διαγράμματα Venn. Ι..4. Παράδειγμα. Έστω το σύνολο των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων, και έστωσαν,, και 4 τα σύνολα των πρωτοετών, δευτεροετών, τριτοετών και τεταρτοετών Ευελπίδων, αντιστοίχως. Επί πλέον, έστω το σύνολο των σπουδαστριών και το σύνολο των αλλοδαπών σπουδαστών. Εκφράστε με λόγια τι ακριβώς αναπαριστούν τα ακόλουθα σύνολα Απάντηση. Έχουμε ' ' ' ' ',,,., το σύνολο όλων των Γ-ετών και Δ-ετών σπουδαστριών, ' το σύνολο των μη αλλοδαπών σπουδαστριών όλων των ετών, ' το σύνολο των Α-ετών αρρένων αλλοδαπών σπουδαστών, ' το σύνολο των Γ-ετών μη αλλοδαπών σπουδαστριών και το σύνολο των Α-ετών και Β-ετών αλλοδαπών σπουδαστριών. Ι..5. Παρατήρηση.). Για οιαδήποτε ενδεχόμενα ). )., και δειγματοχώρου, ισχύουν οι σχέσεις,. ). Επίσης, ισχύουν οι Νόμοι του De Morgan: 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ). ). ). ). ' ' ' : ό ' ' ' : ό ' ' : ό ' ' : 4 ό. Γ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ LALACE. ΠΡΩΤΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι..6. Ορισμός. Η πιθανότητα ( ή συνάρτηση πιθανότητας) είναι μία συνάρτηση ωρισμένη επί του δυναμοσυνόλου (: δηλαδή, του συνόλου των υποσυνόλων) του δειγματοχώρου η οποία πληροί τα Αξιώματα του Kolmogorov: )., : R:, ). για κάθε ενδεχόμενο (: υποσύνολο του ), ισχύει, ). για κάθε ακολουθία ξένων (: ασυμβιβάστων) ανά δύο ενδεχομένων,,...,,... (δηλαδή ενδεχομένων τα οποία είναι τέτοια ώστε Αξίωμα της Πλήρους (ή ) Προσθετικότητας των πιθανοτήτων: j Ø, για κάθε j ), ισχύει το............ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ οποία Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση των ισοπίθανων ενδεχομένων, κατά την ο δειγματοχώρος είναι πεπερασμένος: και ισχύει η σχέση: Τότε, τα,,..., N, για κάθε,,..., N. N καλούνται ισοπίθανα σημεία (ή ισοπίθανες περιπτώσεις), και έχουμε τον ακόλουθο ορισμό πιθανότητας κατά Laplace του ενδεχομένου,..., : N ό ί ό ό ί ό ϊ ώ ώ. ό ό ώ N Οι πιθανότητες που υπολογίζονται κατ αυτόν τον τρόπο ονομάζονται κλασσικές πιθανότητες. Επισημαίνουμε τις παρακάτω τρείς θεμελιώδεις Ιδιότητες: Εάν και είναι ενδεχόμενα σε κοινό δειγματοχώρο, τότε η Ιδιότητα. ' η Ιδιότητα. η Ιδιότητα (Προσθετικό Θεώρημα). ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Η η Ιδιότητα έπεται από το Αξίωμα και το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από το γεγονός ότι τα ενδεχόμενα και ξένα μεταξύ τους (: ' =Ø): Η η ' ' '. ' είναι Ιδιότητα έπεται και πάλι από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθώς και από την παρατήρηση ότι με τα ενδεχόμενα και να είναι ξένα μεταξύ τους:. Τέλος, η η Ιδιότητα αποτελεί γενίκευση του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 στην περίπτωση που τα ενδεχόμενα και δ ε ν είναι ξένα μεταξύ τους. Η απόδειξη της Ιδιότητας αυτής έπεται από την παρατήρηση ότι η ένωση των (όχι απαραιτήτως ξένων μεταξύ τους) ενδεχομένων και ισούται με την ένωση των ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων και, και ακολούθως από τη διαδοχική εφαρμογή του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6 και της ης ως άνω Ιδιότητας:. Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα εφαρμογής των όσων προηγήθηκαν. Ι..7. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι να προσδιορισθούν οι πιθανότητες 4 6, και, ', ', ', ' ' και ' '. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Απάντηση. α. '. (από την η Ιδιότητα) β. ' ' ' (από την η Ιδιότητα) (από την η Ιδιότητα 6 5 6 καθώς και την παρατήρηση ότι, λόγω της ης Ιδιότητας, ισχύει. ' ) γ. Ομοίως δ. ' ' ' 4 ' ' ' 6. (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από την η Ιδιότητα) 4 6 7. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ε. Ομοίως, ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) 5. 6 6 Ι..8. Παράδειγμα. Με δεδομένο ότι 4 και 8 4 )., 8 8 ).. Απόδειξη. Προφανώς, ισχύουν οι σχέσεις και, δηλαδή, να δειχθεί ότι και max,., και επομένως Εν προκειμένω, καθώς 4 8, έχουμε max, 4 άρα η ανισότητα έπεται. Ομοίως, από τις σχέσεις, δηλαδή και, συνάγεται ότι mn,., και και Εν προκειμένω, καθώς 4 8, έχουμε mn, 8 άρα η δεξιά ανισότητα 8 από τις ανισότητες έπεται., και ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Εξ άλλου, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), έχουμε, και επειδή. Όμως, καθ όσον, συμπεραίνουμε ότι max,., λαμβάνουμε Εν προκειμένω, καθώς 4 8, έχουμε max, 8 και άρα η αριστερή ανισότητα 8 από τις ανισότητες έπεται. max Στην περίπτωση κατά την οποία και 4,, έχουμε,, mn, 4, max,, και, ως εκ τούτου, από τις ανωτέρω πλαισιωμένες σχέσεις προκύπτουν οι ακόλουθες ανάλογες ανισότητες των και : 4, και. Ι..9. Παράδειγμα. Για οιαδήποτε ενδεχόμενα και, δείξτε ότι ' ' ' '. Απόδειξη. Έχουμε, αφενός ' (από την η Ιδιότητα) ' ' ' (επειδή ' 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ και, από την η Ιδιότητα, ) και αφετέρου ' ' Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει η ζητούμενη. (από την η Ιδιότητα) ' ' (επειδή ' και, από την η Ιδιότητα, ). Ι... Παράδειγμα. (Ανισότητα Bonferon) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα,......,, ισχύει η ανισότητα:, '... n. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε την ανισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της Μαθηματικής Επαγωγής επί του v. Για v, η ζητούμενη ανισότητα εκφυλλίζεται στην προφανή ισότητα '. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Για v, κατ αρχάς παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα), ισχύει Είναι όμως., και έτσι, δηλαδή, για v ισχύει η ζητούμενη ανισότητα. Ας υποθέσουμε τώρα ότι η ζητούμενη ανισότητα ισχύει για v : Αρκεί να δειχθεί ότι αυτή ισχύει για v : Προς τούτο, παρατηρούμε ότι έχουμε................. (κατόπιν εφαρμογής της ήδη αποδειχθείσας ανισότητας για v ) (κατόπιν εφαρμογής της επαγωγικής υπόθεσης για v ) 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ( ), δηλαδή, για v ισχύει η ζητούμενη ανισότητα, και η Απόδειξη είναι πλήρης. Ι... Παράδειγμα. Για οιαδήποτε τρία ενδεχόμενα, και, ν αποδειχθεί ότι. Απόδειξη. Είναι (σύμφωνα με το Προσθετι- κό Θεώρημα: η Ιδιότητα) (σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα: Όμως, και πάλι σύμφωνα με το Προσθετικό Θεώρημα (: η Ιδιότητα). Έτσι, συνδυάζοντας τις δύο προκύψασες σχέσεις, λαμβάνουμε: )., και η Απόδειξη ολοκληρώθηκε. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι... Εφαρμογή. Τα ποσοστά των σπουδαστών της Στρατιωτικής Σχολής Ευελπίδων οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τρία Μαθήματα, και μετά την πρώτη τους εξέταση είναι τα ακόλουθα: : 5%, : 4%, : 5%, : % : 5%, : % ( ή ί M ή ) :5%. Ποιο είναι το ποσοστό των σπουδαστών οι οποίοι επέρασαν επιτυχώς τουλάχιστον ένα από τα τρία Μαθήματα; Απάντηση. Σύμφωνα με τον Τύπο που αποδείχθηκε στο προηγούμενο Παράδειγμα Ι.., έχουμε ά έ Mά.5.4..5.5..5.55. Ι... Παράδειγμα. Ένας Στόχος έχει δεχθεί N Βλήματα. Ta Βλήματα αυτά ερρίφθησαν σε N αριθμημένες και διάφορες μεταξύ τους χρονικές στιγμές κατά την διάρκεια μίας ώρας. Ανασύρουμε, εκ των υστέρων, τυχαίως ένα από τα Βλήματα αυτά.. Ποια είναι η πιθανότητα να ανασύρουμε Βλήμα το οποίο ερρίφθηκε σε αριθμημένη χρονική στιγμή η οποία διαιρείται δια του ή του 4 ;. Εξετάστε την περίπτωση κατά την οποία N. 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ποιο είναι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν N ; Απάντηση.. Λόγω του Προσθετικού Θεωρήματος (: η ισούται με Ιδιότητα), η ζητούμενη πιθανότητα όπου 4 N N 4 p p 4 p 4 p, N N p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται διά του ή του 4, 4 p αναπαριστά την πιθανότητα κατά την οποία ο ακέραιος N διαιρείται N και διά του και διά του 4 (δηλαδή, διά του ), και οποία ο ακέραιος N διαιρείται δια του ακεραίου. Επειδή ισχύει η σχέση p N N N, N p N είναι η πιθανότητα κατά την όπου x αναπαριστά το ακέραιο μέρος του x, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι p N N N N N 4 4.. Εφόσον στην ανωτέρω σχέση θέσουμε N, θα λάβουμε p N 4 5 8 4.. Ομοίως, εφόσον στην ίδια ως άνω σχέση θεωρήσουμε ότι ο ακέραιος N αυξάνεται απεριορίστως, προκύπτει ότι το όριο της ανωτέρω πιθανότητας όταν p 4 4. N είναι ίσο με ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..4. Παράδειγμα. Για κάθε,,,, να εκφράσετε τις ακόλουθες πιθανότητες, συναρτήσει των,,,, και : ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν ακριβώς από τα ενδεχόμενα ). την πιθανότητα κατά την οποία συμβαίνουν τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα, και, Χρησιμοποιήστε τα εξαγόμενα για να υπολογίσετε τα ποσοστά των σπουδαστών της Εφαρμογής Ι.., οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα, μόνον δύο Μαθήματα. Απάντηση.. Έστω p ύ ώ ό ό,,,,. Τότε, ισχύουν τα παρακάτω p ' ' ' δηλαδή ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από, και. τον Τύπο του Παραδείγματος Ι..),. p p ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα ', ' και ' ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) (από την η Ιδιότητα) (από την Παρατήρηση Ι..5..α ). p (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα), p ' ' ' ' ' ' ( από το Αξίωμα της Πλήρους Προσθετικότητας των Πιθανοτήτων, επειδή τα ', ' ' και ' είναι ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα) (από την η Ιδιότητα), δηλαδή ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ. p p.. Είναι σαφές ότι ύ ά ό ό,,. για κάθε,,,. Εφαρμόζοντας τους ανωτέρω Τύπους στα δεδομένα της Εφαρμογής Ι.. για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) ένα Μάθημα (=ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον ένα Μάθημα), καθώς και για τον υπολογισμό της πιθανότητας κατά την οποία ένας σπουδαστής περνά επιτυχώς μόνον (:ακριβώς) δύο Μαθήματα (=ποσοστό σπουδαστών οι οποίοι πέρασαν επιτυχώς μόνον δύο Μαθήματα), λαμβάνουμε και ( έ ή ά ώ ό έ ά ) p.5.4..5.5..5.5.5.5..5 p ( έ ή ά ώ ό ύ ή) p.5. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δ. ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Μία πολύ σημαντική έννοια για όλη την συνέχεια είναι η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας: Ι..5. Ορισμός. Για δύο ενδεχόμενα και σε κοινό δειγματοχώρο, η δεσμευμένη (υπό συνθήκη) πιθανότητα του δοθέντος του ορίζεται από την σχέση: /. Aπό τον Ορισμό αυτόν έπεται αμέσως η Γενικότερα, 4 η Ιδιότητα (Πολλαπλασιαστικός Τύπος των Πιθανοτήτων) / /. / / /....... Είναι λογικό τώρα να αναρωτηθούμε για το πότε δύο ενδεχόμενα και μπορούν να αλληλοεπηρεάζονται, υπό την έννοια ότι: Προφανώς, εάν / ε ί τ ε /. / κ α ι /, τότε η πιθανότητα εμφάνισης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα δεν επηρεάζεται καθόλου από προαπαιτούμενη εμφάνιση του άλλου. Έτσι, στην περίπτωση αυτή τα ενδεχόμενα και είναι, και ονομάζονται, ανεξάρτητα μεταξύ τους. Δίνουμε συναφώς τους ακόλουθους γενικότερους Ορισμούς περί την έννοια της (πιθανοθεωρητικής) ανεξαρτησίας: ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ι..6. Ορισμός. ). Δύο ενδεχόμενα και σε κοινό δειγματοχώρο καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς ανεξάρτητα), εάν ). Γενικότερα, τα ενδεχόμενα ανεξάρτητα), εάν για κάθε.,...,, καλούνται ανεξάρτητα (ή στοχαστικώς... r r... r και κάθε r. ). Έστωσαν,,..., πειράματα τύχης και,,..., οι αντίστοιχοι δειγματοχώροι. Τα καλούνται στοχαστικώς (ή στατιστικώς) ανεξάρτητα, όταν για κάθε,,,..., ισχύει η σχέση:.... Ας δώσουμε κάποια ενδεικτικά Παραδείγματα διαχείρισης των εννοιών αυτών. Ι..7. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, τότε ). τα ενδεχόμενα και ). τα ενδεχόμενα ). τα ενδεχόμενα ' είναι ανεξάρτητα, ' και είναι ανεξάρτητα, ' και ' είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, ισχύει η σχέση:. Είναι. (από την σχέση ' (από την η Ιδιότητα), ' (από την η Ιδιότητα) ) 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ δηλαδή τα ενδεχόμενα και. Ομοίως, ' είναι ανεξάρτητα. δηλαδή τα ενδεχόμενα. Τέλος, (από την η Ιδιότητα) (από την σχέση ' (από την η Ιδιότητα), ' και είναι ανεξάρτητα. ) ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) ' (από την η Ιδιότητα) ' (από την σχέση ' ' ' (από την η Ιδιότητα) ' ' ' (από την η Ιδιότητα), και άρα τα ενδεχόμενα (από το Προσθετικό Θεώρημα: η Ιδιότητα) ' και ' είναι ανεξάρτητα. ) Ι..8. Παράδειγμα. Εάν τα ενδεχόμενα ). τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα, ). τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα. Απόδειξη. Εφόσον τα ακόλουθες σχέσεις:, και είναι τελείως ανεξάρτητα, τότε, και είναι τελείως ανεξάρτητα, ισχύουν, εξ ορισμού, οι ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ και,,. Από την πρώτη και τρίτη κατά σειρά από αυτές τις σχέσεις, λαμβάνουμε, Δηλαδή αποδεικνύουμε ότι τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα. Ομοίως αποδεικνύονται και οι άλλοι δύο ισχυρισμοί του Παραδείγματος., Ι..9. Παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι για τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα Εάν, ' ' ' και ' ' '. ' ' x, τότε να δειχθεί ότι η πιθανότητα x ικανοποιεί την εξίσωση Απόδειξη. Έχουμε και άρα x x x. ' ' ' (από τον ο Νόμο De Morgan) (από την η Ιδιότητα) (από την Παρατήρηση Ι..5..α), και, έχουμε (από το Προσθετικό Θεώρημα: η (από την ανεξαρτησία x των ενδεχομένων. () Ιδιότητα), και ), 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Επίσης δηλαδή Τέλος, ' ' ' ' ' ' (επειδή από την ανεξαρτησία των, και επομένως και έπεται η ανεξαρτησία των ', ' και (από την η Ιδιότητα), ' ' ' ' (από την η Ιδιότητα). () (από τον 4 ο Νόμο De Morgan) ', ακριβώς αναλόγως όπως αποδεί- χθηκε στο Παράδειγμα Ι..8..) (από την ανεξαρτησία των,, :Ορισμός Ι..7.). () Έτσι, συνδυασμός των () και () δίνει x x x x. (4) x Επι πλέον, από τις () και (4), λαμβάνουμε x x x x x x x x x. x (5) x ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ Αντικαθιστώντας τώρα τις εκφράσεις (4) και (5) μέσα στην (), συμπεραίνουμε ότι, x x x x x x x x δηλαδή, x x x x ή, x x x x που οδηγεί στην ζητούμενη εξισωτική σχέση. x x Να σημειωθεί ότι, επειδή το x αναπαριστά πιθανότητα, πρέπει αμφότερες οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι θετικές, συνεπώς και το άθροισμά τους, ήτοι δηλαδή πρέπει να ισχύει. Η Απόδειξη είναι πλήρης. Ι... Παράδειγμα.(Πρόβλημα του Huyghens) Δύο (αντίπαλα ή μη) Πολεμικά Αεροσκάφη ρίπτουν α λ λ η λ ο δ ι α δ ό χ ω ς βόμβες εναντίον διαδοχικών διαφορετικών Στόχων έκαστος των οποίων απαρτίζεται από διακριτά σημεία. Τα σημεία αυτά έχουν χωρισθεί και διαβαθμισθεί από το <<>> έως το << 6 >> αναλόγως της σπουδαιότητάς τους, έτσι ώστε να υπάρχουν συνολικά ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με <<>>, ακριβώς δύο σημεία σπουδαιότητας ίσης με << >>, κ. ο.κ.

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Το ο Αεροσκάφος θεωρείται ότι επιτυγχάνει στην αποστολή του, εάν σε μία ρίψη καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 6 >> π ρ ο τ ο ύ το ο Αεροσκάφος καταφέρει να προσβάλλει διακριτά σημεία ενός Στόχου του με άθροισμα πόντων σπουδαιότητας των προσβληθέντων σημείων ίσο με << 7 >> περίπτωση κατά την οποία θεωρείται ότι το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του. Εάν το ο Αεροσκάφος αρχίζει πρώτο τις ρίψεις του, ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει στην αποστολή του; Απάντηση. Προφανώς, η ζητούμενη πιθανότητα είναι (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ) Ακόμη, σύμφωνα με τον Πολλαπλασιαστικό Τύπο των Πιθανοτήτων (: 4 η Ιδιότητα), έχουμε (<<το ο οστού Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη του ( ) = ( <<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> και Στόχου>>). Στόχου>>) <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες = (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις ρίψεις βομβών>>) προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / Όμως, λόγω της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων, έχουμε <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) (<< τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ = (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις (<< το ο Αεροσκάφος δεν επιτυγχάνει στην αποστολή του καθ όλες τις q q = και προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη βόμβας>> / = p, όπου p και q <<τα δύο Αεροσκάφη δεν επιτυγχάνουν στις αποστολές τους καθ όλες τις προηγούμενες ρίψεις βομβών>>) : (<<το οστό Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του κατά την ρίψη : p,. Δεδομένου ότι, εξ υποθέσεως, έχουμε καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι 5 6 p και p, 6 6 (<<το ο Αεροσκάφος επιτυγχάνει στην αποστολή του>>) q q p p q q 5. 6 6 6 6 βόμβας>> ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ι... Παράδειγμα. Τρεις Σκοπευτές, και βάλλουν έκαστος άπαξ, κατά την ανωτέρω σειρά, εναντίον αντιστοίχων Στόχων, με πιθανότητα επιτυχίας ίση με, μέχρις ότου ένας από τους Σκοπευτές πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο Στόχο. Τότε θα θεωρείται ότι ο Σκοπευτής αυτός θα έχει ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του, ενώ οι άλλοι δύο ότι απέτυχαν. Με δεδομένο ότι ο Στόχος θα προσβληθεί οπωσδήποτε επιτυχώς από κάποιον Σκοπευτή, να υπολογισθεί η πιθανότητα εκάστου να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του. Απάντηση. Έστωσαν και Επειδή :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο ο :<<το ενδεχόμενο άστοχης βολής του μπορούμε να γράψουμε Έτσι, εάν θέσουμε θα πλήξει επιτυχώς τον αντίστοιχο >>,. και, και.,,, τότε, σύμφωνα με το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), θα έχουμε, / καθότι, άπαξ και αστοχήσει ο, ο βάλλει πρώτος και επομένως. / Στόχο >>,, ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Ομοίως,, / καθόσον τα ενδεχόμενα και είναι ανεξάρτητα και άρα καθότι, άπαξ και αστοχήσoυν οι και, ο βάλλει πρώτος και επομένως. / Επειδή, εξ υποθέσεως ο Στόχος θα προσβληθεί οπωσδήποτε επιτυχώς από κάποιον Σκοπευτή, μπορούμε να θεωρήσουμε και την επί πλέον σχέση: Συνδυασμός όλων των παραπάνω (εντός πλαισίων) Σχέσεων, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι. 4, και. 7 7 7 4 4 Ι... Παράδειγμα. N Σκοπευτές,...,, N πυροβολούν εναντίον Στόχου κατά την ανωτέρω σειρά, έκαστος άπαξ με πιθανότητα επιτυχίας ίση με p, μέχρις ότου ένας από αυτούς προσβάλλει επιτυχώς τον Στόχο. Τότε θεωρείται ότι ο Σκοπευτής αυτός ολοκλήρωσε επιτυχώς την αποστολή του, και η όλη διαδικασία τερματίζεται με όλους τους υπολοίπους να θεωρείται ότι απέτυχαν. Ποια η πιθανότητα εκάστου Σκοπευτή να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του; Απάντηση. Όπως στο προηγούμενο Παράδειγμα, θέτουμε ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο ο θα προσβάλλει επιτυχώς τον Στόχο >>,,..., N και :<<το ενδεχόμενο άστοχης βολής του Ακόμη, θέτουμε >>,,..., N. Ẽ: <<το ενδεχόμενο κατά το οποίο κανείς Σκοπευτής δεν θα προσβάλλει επιτυχώς τον Επειδή, προφανώς,,,..., N... N και Ẽ... N μπορούμε να γράψουμε... Έτσι, εισάγοντας τους συμβολισμούς,,,..., N N N και Ẽ... N, N,..., και ε ( Ẽ ), Ẽ. Στόχο >>. και εφαρμόζοντας το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), διαπιστώνουμε ότι, σύμφωνα με το ίδιο σκεπτικό με αυτό του προηγούμενου Θεωρήματος, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: q, q,.. N N q, N ε ( Ẽ ) N q (: η πιθανότητα κατά την οποία όλοι οι Σκοπευτές θα αστοχήσουν), όπου χρησιμοποιήσαμε τον συμβολισμό q p. Όμως ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ... N ε, και επομένως, βάσει των ανωτέρω Σχέσεων, έχουμε N N N q N q q... q q q q. p q Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή του μέσα στις παραπάνω Σχέσεις, συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα κάθε Σκοπευτή επιτυχώς τον Στόχο, είναι ίση με να ολοκληρώσει επιτυχώς την αποστολή του, προσβάλλοντας p q N,,..., N και ε q. Ι... Παράδειγμα. Τρία Άρματα, και ρίπτουν άπαξ τα πυρά τους κατά την ως άνω σειρά σημαδεύοντας έκαστο εξ αυτών τον δικό του Στόχο. Κάθε Στόχος αποτελείται από έξι 6 επί μέρους συνιστώσες. Το πρώτο από τα τρία Άρματα που θα καταφέρει να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του θεωρείται ότι επέτυχε στην αποστολή του, και η όλη διαδικασία τερματίζεται με τα υπόλοιπα δύο να θεωρείται ότι απέτυχαν. ). Ποια η πιθανότητα ενός εκάστου από τα τρία Άρματα να επιτύχει στην αποστολή του; ).Με δεδομένο ότι κάποιο από τα τρία αυτά Άρματα θα καταφέρει οπωσδήποτε να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του, να υπολογισθεί η πιθανότητα ενός εκάστου από τα τρία Άρματα να επιτύχει στην αποστολή του. Απάντηση. Έστωσαν και :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο το Άρμα θα καταφέρει να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του>> :<<το ενδεχόμενο κατά το οποίο το Άρμα δεν θα καταφέρει να πλήξει και,, 4 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Θέτουμε τις έξι συνιστώσες του Στόχου του>>,,. Επειδή Ẽ: <<το ενδεχόμενο κατά το οποίο κανένα Άρμα δεν θα καταφέρει να πλήξει και μπορούμε να γράψουμε και Ẽ,,, τις έξι συνιστώσες του Στόχου του>>., και Ẽ αντιστοίχως. Έτσι, εισάγοντας τους συμβολισμούς,, και ε ( Ẽ ), και εφαρμόζοντας το Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα (: 4 η Ιδιότητα), έχουμε 5 /. () 6 Η τελευταία ισότητα προκύπτει γιατί 5 6 και γιατί, άπαξ και το Άρμα δεν καταφέρει να πλήξει και τις έξι 6 συνιστώσες του Στόχου του, το Άρμα θα δοκιμάσει πρώτο και επομένως Ομοίως,. / 5 /. () 6 Ẽ Η τελευταία ανισότητα προκύπτει αφενός από την ανεξαρτησία των ενδεχομένων και, σύμφωνα προς την οποία ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 5

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ 5 6 5 6 5 6, και αφετέρου γιατί, άπαξ και τα Άρματα και δεν καταφέρουν να πλήξουν και τις έξι 6 συνιστώσες των Στόχων τους, το Άρμα θα δοκιμάσει πρώτο και επομένως. / Τέλος, η πιθανότητα κατά την οποία όλα τα Άρματα δεν θα καταφέρουν να πλή- ξουν και τις έξι συνιστώσες των Στόχων τους είναι ίση με Ẽ ), ε ( 5 5 () 6 6 λόγω της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων, και. Καθώς διαπιστώνουμε ότι ε, 5 5 5 6 6 6 9. 6 Με άλλα λόγια η πιθανότητα κατά την οποία το πρώτο από τα τρία Άρματα θα καταφέρει να πλήξει και τις έξι συνιστώσες του Στόχου του και να επιτύχει στην αποστολή του ισούται με 9. 546 Επί πλέον, βάσει των ανωτέρω Σχέσεων (),() και (), συμπεραίνουμε ότι. Κατά την ίδια λογική με το Μέρος, έχουμε 455 75 5, και ε. 76 9656 6 6 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5 5 και. 6 6 Όμως τώρα. Συνδυασμός των Σχέσεων αυτών οδηγεί στο συμπέρασμα ότι 6, 9 5 και. 9 9 Ε. ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ BAYES Ολοκληρώνουμε την αναφορά μας στο παρόν Εδάφιο περί βασικών Ορισμών και Τύπων των στοιχειωδών πιθανοτήτων σε απαριθμητούς δειγματοχώρους με την παράθεση των δύο τελευταίων θεμελιωδών Ιδιοτήτων: τότε και 5 η Ιδιότητα (Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας). Εάν j Ø j,, j,,... και..., /... /. / 6 η Ιδιότητα (Τύπος ή Θεώρημα Bayes). Εάν j Ø j,, j,,... και..., τότε / / / /... /. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 7

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ν.ΔΑΡΑΣ Η 5 η Ιδιότητα είναι ευθεία απόρροια του Ορισμού Ι..5 καθώς και του Αξιώματος της Πλήρους Προσθετικότητας των πιθανοτήτων του Ορισμού Ι..6, καθόσον και επί πλέον τα ενδεχόμενα /,...,, είναι ξένα μεταξύ τους:... / /... /. H 6 η Ιδιότητα είναι άμεση συνέπεια της 5 ης Ιδιότητας και του Ορισμού Ι..5, επειδή και επειδή /... / / / : / / /... / / / /... /. Ι..4. Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι μία εστία φωτιάς μπορεί να διαδοθεί δημιουργώντας, ή νέες εστίες με πιθανότητες 4, και εστίες φωτιάς, η αρχική εστία θεωρείται ότι εξαφανίζεται. Αρχίζοντας με μία μόνον εστία φωτιάς, ας συμβολίσουμε με φωτιάς που θα προκύψουν τοιουτοτρόπως κατά την εστιών. αντιστοίχως. Μόλις δημιουργήσει τις νέες ή τον αριθμό των εστιών διάδοση και δημιουργία νέων 8 ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ

Ν. ΔΑΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Να υπολογισθούν ). η πιθανότητα, ).η πιθανότητα κατά την οποία με δεδομένο ότι. Απάντηση.. Προφανώς, λόγω της ης Ιδιότητας, έχουμε. Εξ άλλου, σύμφωνα προς το Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας (: 5 η Ιδιότητα), / Όμως, εξ υποθέσεως, είναι / 4, /,, /, 4 /., /, 4 4 4 και άρα η πιθανότητα κατά την οποία οι εστίες φωτιάς δ ε ν θα εξαληφθούν κατά την η διαδικασία διάδοσης της φωτιάς και δημιουργίας νέων εστιών ισούται με 4 8 64 5 64 9 64 6.. Σύμφωνα προς το Θεώρημα του Bayes (: 6 η Ιδιότητα), έχουμε / / / /. ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 9