Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας 1. Να κατανοήσετε την έννοια της ευστάθειας των συστημάτων ελέγχου. 2. Να περιγράφετε τα αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας. 3. Να αντιληφθείτε το κριτήριο ευστάθειας Nyquist. 4

Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγικές γνώσεις Γενικές έννοιες Αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας Κριτήριο ευστάθειας NYQUIST Τυπολόγιο Ασκήσεις και Λύσεις Ασκήσεων 5

Γενικές έννοιες (1) Ένα σύστημα είναι ευσταθές, αν για φραγμένη είσοδο, η έξοδός του είναι φραγμένη. Η έξοδος ενός ευσταθούς συστήματος βρίσκεται μέσα σε επιτρεπτά όρια (σχήμα 1) ενώ η έξοδος ενός ασταθούς συστήματος αυξάνει θεωρητικά προς το άπειρο (σχήμα 2). 6

Γενικές έννοιες (2) Η ευστάθεια ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου συνδέεται άμεσα με τις θέσεις των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης (πόλων) της συνάρτησης μεταφοράς. Όταν οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο τότε η απόκριση του στα διάφορα σήματα διαταραχής εμφανίζεται ελαττούμενη. Όταν υπάρχουν πόλοι επάνω στον φανταστικό άξονα ή στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, τότε η απόκριση του σε σχέση με μία είσοδο διαταραχής εμφανίζεται σταθερή ή αυξανόμενη. 7

Γενικές έννοιες (3) Ένα σύστημα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο είναι ευσταθές (stable), αν οι πόλοι του συστήματος κλειστού βρόχου βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο (δηλαδή έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη), ενώ είναι ασταθές (unstable) αν έστω και ένας πόλος βρίσκεται στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο. 8

Γενικές έννοιες (4) Αν η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος έχει ρίζες στο φανταστικό άξονα με όλες τις άλλες ρίζες να βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο, τότε η έξοδος του στη μόνιμη κατάσταση θα εκτελεί αμείωτες ταλαντώσεις πεπερασμένου πλάτους όταν η είσοδος του είναι μία πεπερασμένη συνάρτηση. Μία τέτοια συμπεριφορά καθιστά το σύστημα οριακά ευσταθές (marginally stable). Οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για τον έλεγχο της ευστάθειας είναι: Η μέθοδος του μιγαδικού επιπέδου Η μέθοδος στο πεδίο του χρόνου Η μέθοδος στο πεδίο της συχνότητας 9

Αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ROUTH Το κριτήριο ευστάθειας Routh (Routh s stability criterion 1887), προσδιορίζει τον αριθμό των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο s. Ας θεωρήσουμε τη Χ.Ε της μορφής: 10

Πίνακας ROUTH (1) Εφ όσον όλοι οι συντελεστές είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ, σχηματίζουμε τον πίνακα του Routh 11

Πίνακας ROUTH (2) 12

Κριτήριο του ROUTH (1) Σύμφωνα με το κριτήριο του Routh για να είναι ευσταθές ένα σύστημα πρέπει οι όροι της πρώτης στήλης του πίνακα Routh να είναι ΟΜΟΣΗΜΟΙ. Ο αριθμός των ριζών της Χ.Ε που βρίσκονται στο δεξιό ημιεπίπεδο s ισούται με τον αριθμό αλλαγών του προσήμου των συντελεστών της πρώτης στήλης του πίνακα Routh. 13

Κριτήριο του ROUTH (2) Παράδειγμα: 14

Κριτήριο ευστάθειας ROUTH Αν ένα σύστημα ικανοποιεί το κριτήριο Routh οπότε είναι απολύτως ευσταθές, είναι επιθυμητό να προσδιοριστεί και η σχετική ευστάθεια (relative stability). Δηλαδή πρέπει να διερευνηθεί η σχετική απόσβεση κάθε μίας από τις ρίζες της Χ.Ε (πόλους) του συστήματος. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση ενός πόλου από τον άξονα (προς το αριστερό ημιεπίπεδο) τόσο μεγαλύτερη η σχετική της ευστάθεια από ένα πόλο που βρίσκεται κοντύτερα. 18

Ειδικές περιπτώσεις (1) 1. Όταν ένας όρος της πρώτης στήλης είναι μηδέν, ενώ οι υπόλοιποι όροι της σειράς είναι διάφοροι του μηδενός ή δεν υπάρχουν, τότε, αντικαθίσταται ο μηδενικός όρος, από ένα πολύ μικρό αριθμό ομόσημο με τους προηγούμενους της πρώτης στήλης και συνεχίζεται η ανάπτυξη του πίνακα. Τα συμπεράσματα για την ευστάθεια του νέου πολυωνύμου ισχύουν και για το αρχικό πολυώνυμο. 2. Όταν όλοι οι όροι μίας σειράς του πίνακα Routh είναι μηδενικοί, ο πίνακας συμπληρώνεται με την τοποθέτηση, αντί των μηδενικών όρων της σειράς, των όρων της παραγωγισμένης βοηθητικής εξίσωσης της αμέσως προηγούμενης σειράς. 19

Ειδικές περιπτώσεις (2) 3. Όταν τουλάχιστον δυο σειρές έχουν μηδενικούς όρους, τότε το σύστημα είναι ασταθές και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει δύο αντίθετους πραγματικούς πόλους με βαθμό πολλαπλότητας ίσο με 2. 4. Για την εύρεση της κρίσιμης (οριακής) τιμής του K για ευστάθεια (marginal value of K) αρκεί να μηδενιστεί ο όρος της σειράς s 1 και να λυθεί η εξίσωση ως προς K=Kc. 5. Για την εύρεση της οριακής συχνότητας ταλαντώσεων του συστήματος (critical frequency of oscillation) αρκεί να λυθεί η βοηθητική εξίσωση της σειράς s 2 του πίνακα Routh ως προς ω=ωc. 20

Κριτήριο ευστάθειας HURWITZ (1) Το κριτήριο ευστάθειας Hurwitz (Hurwitz stability criterion 1895) προσδιορίζει αν υπάρχουν πόλοι της Χ.Ε στο δεξιό ημιεπίπεδο ή επάνω στον άξονα s=jω αλλά δεν προσδιορίζει το πλήθος τους. Ας θεωρήσουμε τη Χ.Ε της σχέσης (3) Το κριτήριο Hurwitz εφαρμόζεται αν σχηματιστούν οι ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Hurwitz (Hurwitz determinants) και είναι θετικές ( δηλαδή πρέπει Di > 0, i=1,2,,n) 21

Κριτήριο ευστάθειας HURWITZ (2) 22

Κριτήριο των συνεχών κλασμάτων (1) Το κριτήριο των συνεχών κλασμάτων, προσδιορίζει αν βρίσκονται πόλοι της Χ.Ε στο δεξιό ημιεπίπεδο s ή στον άξονα s=jω. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο χωρίζεται σε δύο πολυώνυμα όπως παρακάτω: 23

Κριτήριο των συνεχών κλασμάτων (2) 24

Κριτήριο ευστάθειες NYQUIST (1) Το κριτήριο ευστάθειας Nyquist (Nyquist stability criterion 1932) βασίζεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s)H(s), για ένα ειδικό κλειστό δρόμο στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s και παρέχει πληροφορίες όχι μόνο για την ευστάθεια των κλειστών συστημάτων αλλά και για τη σχετική ευστάθεια τους. Ο ειδικός κλειστός δρόμος ονομάζεται δρόμος Nyquist (Nyquist path) ή διιάγραμμα Nyquist και περικλείει όλο το δεξιό ημιεπίπεδο s. Το περίγραμμα Nyquist περιλαμβάνει ολόκληρο τον άξονα jω από ω = - ω = + έως και μια ημικυκλική διαδρομή με άπειρη ακτίνα στο δεξιό ημιεπίπεδο, διανύεται δε δεξιόστροφα. 25

Κριτήριο ευστάθειες NYQUIST (2) 26

Κριτήριο ευστάθειες NYQUIST (3) Βάσει του ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Nyquist για να είναι το κλειστό σύστημα ευσταθές πρέπει Ζ=0 δηλαδή: Ν -P (8) Πράγμα που σημαίνει ότι το περίγραμμα G(jω)H(jω) περικυκλώνει το σημείο 1+j0 P φορές, με φορά αριστερόστροφη. 27

Παρατηρήσεις (1) Αν P=0 δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς ανοικτού βρόχου G(s)H(s) δεν έχει πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο s, αρκεί να χαραχτεί το διάγραμμα στο επίπεδο GH που αντιστοιχεί στο τμήμα των θετικών συχνοτήτων δηλαδή ω 0 έως και ω Η ευστάθεια αυτού του συστήματος βρίσκεται από το αν το σημείο 1+j0 περικυκλώνεται από το διάγραμμα Nyquist της G(jω)Η(jω). 28

Παρατηρήσεις (2) 1. Στα σχήματα 6 και 7 απεικονίζονται ένα ευσταθές και ένα ασταθές σύστημα αντίστοιχα. 29

Παρατηρήσεις (3) 30

Παρατηρήσεις (4) 31

Πίνακας 1 (1) Μεταβατικές χρονικές αποκρίσεις των εκθετικών όρων που αντιστοιχούν σε διάφορες θέσεις πόλων στο μιγαδικό επίπεδο s 32

Πίνακας 2 Αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας (1) 36

Πίνακας 3 Κριτήριο Nyquist 39

Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Κριτήριο ROUTH Κριτήριο NYQUIST 40

Άσκηση 1 Ποια τα συμπεράσματα για την ευστάθεια των συστημάτων για τα οποία δίνεται η χαρακτηριστική εξίσωση: 41

Λύση της άσκησης 1 (1) 42

Άσκηση 2 Δίνεται το σύστημα αυτομάτου ελέγχου του σχήματος: Να προσδιοριστεί η περιοχή τιμών της παραμέτρου Κ ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές 46

Λύση της άσκησης 2 (4) Για K=7.5 οι ρίζες της Χ.Ε είναι: -5 και ±1.22j για K=7.5 => Το σύστημα είναι οριακά σταθερό για K=7.5-4.06 και 0.47 ±1.7j για K=13-1.90 και 1.54 ±3.27j για K=25 => Το σύστημα είναι σταθερό για K=13 και K=25 50

Άσκηση 3 Ποια η μέγιστη τιμή της παραμέτρου k, ώστε το σύστημα του σχήματος να είναι σταθερό. 52

Άσκηση 4 58

Άσκηση 5 63

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

Άσκηση 1 71

Άσκηση 2 72

Άσκηση 3 73

Άσκηση 4 74

Τέλος Ενότητας