Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού με V και R Εξετάστε αν το V να αποτελεί R διανυσματικό χώρο Πρέπει να ελέγξουμε αν ισχύουν οι ακόλουθες 8 ιδιότητες για κάθε, yz, V, ab, R ) y y ) ( y) z ( yz) ) O: OO 4) ( ) : ( ) O 5) ( ab) a( b) 6) a ( y) aay 7)( ab) ab 8) Έχουμε: ) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας δίνει: y y Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: y y y Επομένως η πρώτη ιδιότητα ισχύει ) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας δίνει: yz y z ( y) z yz Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: ( yz) yz yz yz Άρα και η δεύτερη ιδιότητα ισχύει ) Αναζητούμε το μηδενικό διάνυσμα O V τέτοιο ώστε O O O O Παρατήρηση: H απλοποίηση της σχέσης O για κάθε V είναι εφικτή γιατί το σύνολο V όπως δίνεται στην εκφώνηση δεν περιέχει το. Άρα υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα: O ώστε για κάθε να ισχύει O Επειδή ισχύει η πρώτη ιδιότητα θα είναι προφανώς και O Επομένως και η τρίτη ιδιότητα ισχύει. 4) Αναζητούμε το αντίθετο διάνυσμα ( ) τέτοιο ώστε ( ) O

( ) O ( ) ( ) (Υπενθυμίζουμε ότι είναι για κάθε V ) Άρα για κάθε υπάρχει το αντίθετο διάνυσμα: ( ) Επομένως ισχύει και η τέταρτη ιδιότητα 5) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 5 δίνει: ( ab) ab ( ab) Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: b b a ba ab ab ( ) a Επομένως ισχύει και η πέμπτη ιδιότητα 6) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 6 δίνει: a a a a ( y) a y y y Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: a a a a a ay y y Επομένως ισχύει και η έκτη ιδιότητα 7) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 6 δίνει: a b ( ab) Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: a b a b a b a b Επομένως ισχύει και η έβδομη ιδιότητα 8) Προφανώς ισχύει ότι Άρα ισχύει και η όγδοη ιδιότητα Επομένως τελικά το V αποτελεί R διανυσματικό χώρο Παράδειγμα Να εξετασθεί αν τα σύνολα U (, y, z) R : yz και a) b) W (, y, z) R :yz αποτελούν υποχώρους του R α) Παρατηρούμε το μηδενικό στοιχείο (,,) ανήκει στο U (επαληθεύει τον περιορισμό yz ) επομένως U Έστω δύο διανύσματα u (, y, z) και u (, y, z) με u, u U. Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός ku lu των u,u με kl, R ανήκει στο U. Έχουμε u U y z () uu y z () Θέλουμε να δείξουμε ότι τα διάνυσμα:

,,,,,, kulu k y z l y z kl kyly kz lz () Ικανοποιεί τη συνθήκη: yz δηλ k l ky ly kz lz (4) Εργαζόμαστε με το αριστερό μέλος της (4) και έχουμε διαδοχικά: kl kylykzlz kl kyly kzlz kky kzl ly lz k( y z ) l( y z ) Η παράσταση αυτή λόγω των () και () ισούται με, επομένως επαληθεύεται η (4). Άρα το U αποτελεί υποχώρο του R b) Παρατηρούμε ότι το μηδενικό στοιχείο (,,) δεν ανήκει στο W (δεν επαληθεύει τον περιορισμό yz ), επομένως το W δεν αποτελεί υποχώρο του R Παράδειγμα Δείξτε ότι span{ u, u, u } R αν u (,,), u (,, ), u (,,) Ο χώρος που παράγεται από τα u,u,u είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών τους: span{ u, u, u} u u u :,, R Θέλουμε να γράψουμε το τυχόν στοιχείο του R : (,y,z) στην μορφή αυτή. Με άλλα λόγια θέλουμε το σύστημα: y z να έχει λύση ως προς,, για κάθε,y,z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο A b y z Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε τον y yz Επομένως το σύστημα έχει λύση για κάθε,y,z Άρα span{ u, u, u } R

Παράδειγμα 4 Δείξτε ότι span{ u, u, u } R αν u (,, 5), u (,, 7), u (,, ) Εργαζόμαστε όπως και στο παράδειγμα span{ u, u, u} u u u :,, R 5 7 7 Θέλουμε το σύστημα: y 57 z να έχει λύση ως προς,, για κάθε,y,z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο A b y 5 7 z Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε τον y yz Άρα το σύστημα έχει λύση μόνον αν ισχύει yz και όχι για κάθε,y,z Επομένως span{ u, u, u } R Παράδειγμα 5 Γράψτε το διάνυσμα v=( 4,6,5) ως γραμμικό συνδυασμό των u=(,,7), u=(4,,) και u=(,7,) ο v θα πρέπει να ανήκει στο span{u,u,u}. Επομένως θα πρέπει να βρούμε τις τιμές των σταθερών,, ώστε να ισχύει: u u u v Θα είναι u u u v 4 4 7 6 7 5 4 4 7 6 7 5 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι:

4 4 A b 7 6 7 5 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα: 4 4 8.5 8 6.5 ο οποίος αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα: 4 4 8.5 8 6.5 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε τελικά: Επομένως vuu u Παράδειγμα 6 Γράψτε το πολυώνυμο P ( ) 5 7 ως γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων P( ) 4, P ( ), P( ) 5 Πρέπει να βρούμε τις τιμές των σταθερών,, R ώστε να ισχύει P( ) P( ) P( ) P( ) Έχουμε: P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) 5 7 4 5 5 7 4 5 Εξισώνοντας τους συντελεστές τον ίδιων δυνάμεων του δημιουργείται το ακόλουθο σύστημα: 5 4 5 7 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 5 A b 4 5 7 H απαλοιφή Gauss δίνει

5 / / 4/6 4/6 που αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα: 5 4 4 6 6 η λύση του οποίου είναι: 4 Επομένως P( ) P( ) 4 P( ) P( ) Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,) d) v=(, ), v=(,,4) e) v=(,4,,), v=(4,,,), v=(,,,), v4=(,,,5) α) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Υπάρχουν μεθοδολογίες που μπορούμε να ακολουθήσουμε: i) Ξεκινούμε από την σχέση: v v v O,,, R Εκτελούμε τις πράξεις και προκύπτει ένα ομογενές σύστημα ως προς,, το οποίο πρέπει να επιλύσουμε. Αν το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, τότε τα v,v,v είναι γραμμικά ανεξάρτητα, διαφορετικά αν έχει άπειρες λύσεις είναι γραμμικά εξαρτημένα Έχουμε λοιπόν:

v v v O 7 4 6 7 4 6 7 4 6 O πίνακας των συντελεστών του συστήματος είναι ο 7 A 4 6 Όπως προκύπτει ο πίνακας αυτός δημιουργείται αν γράψουμε τα δοσμένα διανύσματα ως στήλες του. Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: 7 U (Με κόκκινο χρώμα δηλώνονται οι οδηγοί κάθε γραμμής) Επειδή έχουμε λιγότερους οδηγούς από τις άγνωστες μεταβλητές και το σύστημα είναι ομογενές, συνεπάγεται ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. (Διαφορετικά για να είχαμε μοναδική λύση θα έπρεπε το πλήθος των οδηγών να ήταν ίσο με το πλήθος των στηλών του πίνακα). Επομένως τα διανύσματα v,v,v είναι γραμμικά εξαρτημένα Παρατήρηση: Επειδή ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός, αντί για απαλοιφή Gauss θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα, η οποία είναι ίση με μηδέν. Επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. (Αν ήταν γραμμικά ανεξάρτητα θα έπρεπε η ορίζουσα να βγει διάφορη του μηδενός) ii) Γράφουμε τα διανύσματα ως γραμμές ενός πίνακα Στη συνέχεια εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss παίρνοντας έναν άνω κλιμακωτό πίνακα U. Αν στον U υπάρχει μηδενική γραμμή τότε τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Έχουμε λοιπόν: 4 6 A 7 Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον Α και παίρνουμε τελικά τον ισοδύναμο άνω κλιμακωτό πίνακα U:

4 6 U Επειδή υπάρχει μηδενική γραμμή, τα v,v,v είναι γραμμικά εξαρτημένα Προσοχή: Το τέχνασμα με τη μηδενική γραμμή ισχύει μόνον αν αρχικά τα διανύσματα γραφούν ως γραμμές του Α. Αν γραφούν ως στήλες του, τότε εξετάζουμε αν οι οδηγοί είναι ίσοι με το πλήθος των στηλών ή όχι. b) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Επειδή η διάσταση του χώρου είναι και εμείς έχουμε διανύσματα, αυτά είναι οπωσδήποτε γραμμικά εξαρτημένα. Αυτό φαίνεται και αν πάρουμε τον πίνακα: 4 A που περιέχει τα διανύσματα v,v,v ως γραμμές και τον φέρουμε στην άνω 4 κλιμακωτή μορφή: 4 U 5 Επειδή υπάρχει μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Επίσης στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε αν γράψουμε αρχικά τον πίνακα λαμβάνοντας τα διανύσματα v,v,v ως στήλες του: A 4 Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: U 4 5 6 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι μικρότερο από το πλήθος των στηλών, συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. ) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Τοποθετούμε τα διανύσματα σε ένα πίνακα ως γραμμές A 5 5 H απαλοιφή Gauss δίνει:

U 8 Επειδή δεν υπάρχουν μηδενικές γραμμές τα διανύσματα v,v,v είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Στο ίδιο συμπέρασμα, βέβαια, καταλήγουμε και όταν ο πίνακας Α δημιουργείται από τα v,v,v ως στήλες: 5 5 A Σε αυτή την περίπτωση η απαλοιφή Gauss δίνει: 5 5 U 8 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι ίσο με το πλήθος των στηλών συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. d) Πρόκειται για διανύσματα διαφορετικών χώρων (R και R ) και επομένως δεν μπορούμε να τα συγκρίνουμε e) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R 4 Επειδή ανάμεσά τους υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα, είναι γραμμικά εξαρτημένα. Παράδειγμα 8 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα πινάκων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι α) A, A, A b) A 5, A, A 8 : a) Πρόκειται για στοιχεία του χώρου M ( R ) Ξεκινούμε από τη σχέση: A A A O,,, R Θα επιλύσουμε το ομογενές σύστημα που προκύπτει ως προς τις σταθερές,, Αν αυτό έχει μοναδική λύση (τη μηδενική) τότε οι δοσμένοι πίνακες είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Έχουμε

A A A O Ο πίνακας του συστήματος Α= είναι ο A με Με απαλοιφή Gauss ο Α γίνεται τελικά: 6 U Με κόκκινο χρώμα συμβολίζονται οι οδηγοί κάθε γραμμής. Επειδή κάθε στήλη έχει οδηγό και το σύστημα είναι ομογενές συνεπάγεται ότι υπάρχει μοναδική λύση (η μηδενική) Επομένως οι πίνακες A, A, Aείναι γραμμικά ανεξάρτητοι. b) Πρόκειται για στοιχεία του χώρου M ( R ) Εργαζόμαστε όπως και στο (a) υποερώτημα: A A A O 5 8 5 8 O πίνακας συντελεστών του συστήματος είναι ο 5 A 8 Με απαλοιφή Gauss δίνει τελικά:

7 7 U Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι μικρότερο από τον αριθμό των στηλών συνεπάγεται πως το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Άρα το σύνολο των δοσμένων πινάκων είναι γραμμικά εξαρτημένο. Παράδειγμα 9 Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f f e f e ( ), ( ), ( ) είναι γραμμικά ανεξάρτητες Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της Βρονσκιανής. f( ) f( ) f( ) e e W( ) f'( ) f'( ) f'( ) e e e f ''( ) f ''( ) f ''( ) e 4e Επομένως οι δοσμένες συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες Παρατήρηση: Αν ήταν W()= για κάθε, δεν θα μπορούσαμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα. Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,,,4), v=(,4,,6,8), v=(,,,,6), v4=(,4,5,,8), v5=(,7,,,9). a) Να βρεθεί μία βάση του W b) Να επεκταθεί η προηγούμενη βάση ώστε να παράγει τον R 5 ) Να βρεθεί μία βάση του W, η οποία να αποτελείται αποκλειστικά από ένα υποσύνολο των δοθέντων διανυσμάτων a) Δημιουργούμε τον πίνακα ο οποίος αποτελείται από τα v,v,v,v4,v5 ως γραμμές 4 4 6 8 A 6 4 5 8 7 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα

4 5 4 5 U O υποχώρος που παράγεται από τα v,v,v,v4,v5 αποτελείται από όλους τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αυτών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και ο χώρος γραμμών του πίνακα Α δηλ ο RA ( ) Επειδή η απαλοιφή Gauss δεν επηρεάζει το χώρο γραμμών του πίνακα Α, o RA ( ) θα ισούται και με το χώρο γραμμών του U, επομένως μία βάση του U θα αποτελεί βάση και του RA ( ) και κατά συνέπεια και του W span{ v, v, v, v4, v5} Η βάση αυτή αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U Επομένως η ζητούμενη βάση είναι η B=, 5, 4/ 4 5/ και ο W έχει διάσταση b) Απαιτούνται 5 διανύσματα για να κάνουν μία βάση του R 5, επομένως η επέκταση της βάσης B μπορεί να γίνει αν την συμπληρώσουμε με διανύσματα τέτοια ώστε το σύνολο να είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αυτό επιτυγχάνεται γενικώς συμπληρώνοντας την βάση με διανύσματα που παίρνουμε από την κανονική βάση του R 5 και στη συνέχεια ελέγχοντας αν το νέο σύνολο είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Αν δεν είναι, επιλέγουμε κάποια άλλα διανύσματα της κανονικής βάσης και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο. Στην περίπτωσή μας λόγω της μορφής του U είναι εύκολο να τον συμπληρώσουμε με διανύσματα της κανονικής βάσης φροντίζοντας να υπάρχει οδηγός σε κάθε στήλη (επομένως το σύνολο θα είναι γραμμικά ανεξάρτητο) Έχουμε λοιπόν: 4 5 4 5 U Άρα η ζητούμενη βάση του R 5 είναι η B=, 5, 4/,, 4 5/

) Η μεθοδολογία που ακολουθήσαμε στο ερώτημα (α) μας δίνει μία βάση του W, αλλά δεν αποτελείται αποκλειστικά από διανύσματα του συνόλου {v,v,v,v4,v5} Θα πρέπει να ακολουθήσουμε άλλη μεθοδολογία: Δημιουργούμε τον πίνακα ο οποίος αποτελείται από τα v,v,v,v4,v5 ως στήλες: 4 4 7 A 5 6 4 8 6 8 9 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα U 4 O υποχώρος W span{ v, v, v, v4, v5} αποτελείται από όλους τους δυνατούς γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων αυτών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα δίνει και ο χώρος στηλών του πίνακα Α δηλ ο RA ( ) Ο χώρος στηλών του πίνακα U δεν είναι ίδιος με τον RA ( ), αλλά οι στήλες στις οποίες υπάρχει οδηγός στον πίνακα U αντιστοιχούν στις γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του πίνακα A. Έτσι ως τη ζητούμενη βάση παίρνουμε τα διανύσματα που βρίσκονται στις στήλες, και 5 του πίνακα Α δηλ: 7 B=,, { v, v, v5} 4 6 9 Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A 4 6. Να υπολογισθούν οι 4 θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους. Οι τέσσερις θεμελιώδεις υποχώροι είναι οι ακόλουθοι: Ο μηδενοχώρος N( A ) O χώρος στηλών RA ( ) O αριστερός μηδενοχώρος N( A ) O χώρος γραμμών RA ( )

Αρχικά γράφουμε τον πίνακα Α σε κλιμακωτή μορφή εφαρμόζοντας απαλοιφή Gauss: U Παρατηρούμε ότι υπάρχει μόνον ένας οδηγός. Αυτό μας λέει ότι η βαθμίδα του πίνακα ισούται με. Επίσης μας δίνει και τη διάσταση του χώρου στηλών καθώς και τη διάσταση του χώρου γραμμών του Α: dim RA ( ) dim RA ( ) ranka ( ) o πλήθος των στηλών του πίνακα είναι n=, επομένως η διάσταση του μηδενοχώρου είναι: dim N( A) n rank( A) Επίσης ο U δίνει άμεσα μία βάση του χώρου γραμμών RA ( ). Αυτή αποτελείται από όλες τις μη μηδενικές γραμμές του U. Έτσι το σύνολο αποτελεί μία βάση του RA ( ) O μηδενοχώρος αποτελείται από το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος: A O A ή ισοδύναμα του U Εκτελώντας τις πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση: Υπάρχουν δύο ελεύθερες μεταβλητές (όσες και το dim N( A ) ) που αντιστοιχούν στις στήλες του πίνακα U οι οποίες δεν έχουν οδηγό, δηλ. είναι οι μεταβλητές, Εκφράζοντας τις ελεύθερες μεταβλητές με παραμέτρους παίρνουμε τη γενική λύση του ομογενούς συστήματος: s t s, s, t R t Επομένως ο μηδενοχώρος είναι το ακόλουθο σύνολο: N( A) s t, s, t: s, tr ή και Η βάση του μηδενοχώρου θα αποτελείται από διανύσματα (όσα το dim ( ) N A ) Για να βρούμε μία βάση του μηδενοχώρου θέτουμε, στη γενική λύση του ομογενούς συστήματος, με τη σειρά κάθε παράμετρο ίση με τη μονάδα μηδενίζοντας τις υπόλοιπες παραμέτρους: s=, t= => (/,,) s=,t= => (/,,)

/ / Επομένως το σύνολο, αποτελεί μία βάση του μηδενοχώρου. Ο χώρος στηλών ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του πίνακα Α δηλ. RA ( ) span,, :,, R 4 6 4 6 4 6 H διάστασή του όπως είδαμε ισούται με, άρα μία βάση του αποτελείται από ένα διάνυσμα. Το διάνυσμα αυτό είναι η στήλη του πίνακα Α, η οποία αντιστοιχεί στη στήλη του οδηγού στον πίνακα U. Επομένως μία βάση του RA ( ) είναι το σύνολο 4 Ο χώρος γραμμών ισούται με το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των γραμμών του πίνακα Α δηλ. 4 4 4 RA ( ) span, :, R 6 6 6 H διάσταση και μία βάση του έχουν ήδη δοθεί παραπάνω. Μένει να υπολογίσουμε τον αριστερό μηδενοχώρο, ο οποίος ισούται με τις λύσεις του ομογενούς συστήματος AO A H διάστασή του ισούται με το πλήθος στηλών () μείον τη βαθμίδα του πίνακα Α. Επομένως dim N( A ) Είναι 4 A 6 Γράφουμε τον πίνακα A σε κλιμακωτή μορφή εφαρμόζοντας απαλοιφή Gauss: 4 U Το ισοδύναμο σύστημα είναι το U το οποίο δίνει: 4 Έχουμε μία ελεύθερη μεταβλητή (όπως φαίνεται από τη διάσταση dim N( A ) ) την Έτσι η γενική λύση του συστήματος είναι

t, t R t Επομένως N( A ) ( t, t): t R Θέτοντας t= παίρνουμε μία βάση του N( A ), η οποία είναι το σύνολο Συνοψίζοντας έχουμε: Βαθμίδα πίνακα Α rank( A) Μηδενοχώρος N( A) R N( A) s t, s, t: s, tr dim N( A) / / Βάση:, Χώρος στηλών RA ( ) R R( A) :,, R 4 6 dim RA ( ) Βάση: 4 Αριστερός μηδενοχώρος N( A ) ( t, t): t R dim N( A ) Βάση: N( A ) R Xώρος γραμμών RA ( ) R 4 RA ( ) :, R 6 dim RA ( )

Βάση: Παρατήρηση: Ο πίνακας Α αποτελείται από m= γραμμές και n= στήλες Επομένως μπορούμε να επαληθεύσουμε τις ισότητες: dim RA ( ) dim NA ( ) n και dim RA ( ) dim NA ( ) m Επίσης μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι οι χώροι N ( A ) και RA ( ) καθώς και οι χώροι N( A ) και RA ( ) είναι ορθογώνιοι. 4 6 π.χ. Έστω v N( A) και u R( A ) τότε το εσωτερικό τους γινόμενο δίνει : 9 6 vu4 46 ( ) ( 9) [] 9 Το ίδιο ισχύει για κάθε vn( A), u R( A ) 6 4 Αντίστοιχα έστω v N( A ) και u R( A) 8 4 δίνει : vu6 46( 8) [] 8 Το ίδιο ισχύει για κάθε vn( A ), u R( A) τότε το εσωτερικό τους γινόμενο Παράδειγμα Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση των υποχώρων RA ( ) και RA ( ) για τον πίνακα 4 5 4 6 9 8 A 6 9 9 7 4 5 4 Φέρνουμε τον Α σε κλιμακωτή μορφή: 4 5 4 6 U 5 Έχουμε οδηγούς, άρα rank( A) dim R( A) dim R( A )

Μία βάση του RA ( ) προκύπτει από τις μη μηδενικές γραμμές του πίνακα U δηλαδή είναι το σύνολο: 4,, 5 4 6 5 Μία βάση του RA ( ) προκύπτει από τις στήλες του Α που αντιστοιχούν στις στήλες με οδηγό του U επομένως είναι το σύνολο: 4 5 9 8,, 9 9 4 5 Παράδειγμα Έστω δύο υποχώροι του R 4 : U span{ u, u, u} και W span{ w, w} όπου u (,,,), u (,4,, ), u (,6,, 7) και v (,, 4,), v (, 4, 5,4). Να δείξετε ότι U W Πρέπει να δείξουμε ότι όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί των u,u,u δίνουν το ίδιο σύνολο με όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς των w,w ή ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι οι πίνακες που περιέχουν τα σύνολα διανυσμάτων ως γραμμές, έχουν τους ίδιους χώρους γραμμών. Οι δύο πίνακες είναι οι A 4 4 και B 4 5 4 6 7 Θα δείξουμε ότι RA ( ) RB ( ) Για να συμβαίνει αυτό αρκεί να φέρουμε και τους δύο πίνακες σε ανηγμένη κλιμακωτή μορφή και να συγκρίνουμε τις μη μηδενικές γραμμές τους. Αν αυτές ταυτίζονται τότε θα είναι ( RA) RB ( ) Η ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του Α είναι ο πίνακας: / 8/ και του Β είναι ο πίνακας:

/ 8/ Επομένως οι μη μηδενικές γραμμές τους ταυτίζονται. Άρα τελικά U W Παράδειγμα 4 Δίνονται υποχώροι του R 4 : U{( abd,,, ) : bd } και W {( a, b,, d) : ab, d} Βρείτε μία βάση του: a)u b) W ) U W a) O χώρος U μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι οι λύσεις του ομογενούς συστήματος (το οποίο αποτελείται από μία μόνον εξίσωση): bd Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Επομένως U N( A) Έχουμε έναν οδηγό και τέσσερις στήλες, άρα dimn(a)=dimu=4 = Ελεύθερες μεταβλητές: ad,, Η γενική λύση του συστήματος είναι η a s b t w, s, tw, R t d w Εύρεση βάσης: s, t, w u (,,,) s, t, w u (,,, ) s, t, w u (,,,) Επομένως το σύνολο { u, u, u } αποτελεί μία βάση του U b) O χώρος W μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι οι λύσεις του ομογενούς συστήματος: ab ab d d Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Επομένως W N( A) Έχουμε δύο οδηγούς και τέσσερις στήλες, άρα dimn(a)=dimw=4 = Ελεύθερες μεταβλητές: bd, Η γενική λύση του συστήματος είναι η

a s b s, s, tr t d t Εύρεση βάσης: s, t w (,,, ) s, t w (,,,) Επομένως το σύνολο { w, w } αποτελεί μία βάση του W ) o σύνολο U W θα περιλαμβάνει τους περιορισμούς και των δύο υποχώρων. Έτσι το ομογενές σύστημα που δημιουργείται είναι το ακόλουθο: ab b d d Ο πίνακας συντελεστών είναι ο A (είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή) Έχουμε τρεις οδηγούς και τέσσερις στήλες, άρα dim N( A) dim( UW) 4 Ελεύθερες μεταβλητές: d Η γενική λύση του συστήματος είναι η a t b t, tr t d t Εύρεση βάσης: t v (,,,) Επομένως το σύνολο { v } αποτελεί μία βάση του χώρου U W