Έστω διάστημα B= ( b ) Df όπου D f το πεδίο ορισμού της f ( x) και διαμέριση ( B) = { t i n: t < t r n t = t = b} Τότε θα έχουμε n i r r+ n n ( b ] ( x x ] = Το ολοκλήρωμα της = f ( x) στο B άθροισμα του εμβαδού ( Π i ) των n παραλληλογράμμων i ύψος f ( x i ) και μήκος βάσης xi = xi+ xi i= i i+ = θα είναι περίπου ίσο για μεγάλο n με το Π για i n με b n n x= f x x Π = f x x i i i i= i= με συντεταγμένες ( ) Τα σημεία A i για i n xi f x i ανήκουν στην καμπύλη = x : x D = f x και καθορίζουν τα ύψη των { f } παραλληλογράμμων Π i Όταν πάρουμε το όριο για n του παραπάνω αθροίσματος (τότε x= supi xi ) ζητάμε το όριο f ( xi) xi = l να είναι ένας μοναδικός i= πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του τρόπου που έγινε η διαμέριση n ( B) B Τότε το ολοκλήρωμα κατά Riemnn της = f ( x) στο B θα είναι n f ( x) = xlim f ( xi) xi = l n B i = του Prtition Υποθέτουμε ότι η f έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών στο B Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
διάστατη γενίκευση του ολοκληρώματος κατά Riemnn: Έστω παραλληλόγραμμο του { } = x < x< bc< < D και διαμέριση ( x) ( ) ( B ) B nm n m = όπου B ( x) ( b ) = και διαμερίσεων των B ( ) ( x) B και : f = ( c ) και η ( ) B Το διπλό ολοκλήρωμα της z f( x ) nm Τότε θα έχουμε ( b ] ( c n m ] ( x i x i ] ( j + j+ = i= j= είναι το καρτεσιανό γινόμενο των = στο παραλληλόγραμμο που έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών θα είναι περίπου ίσο για μεγάλα n και m με Π για i n και το άθροισμα του όγκου Vol ( Π ij ) των nm πρισμάτων ij j m με ύψος f ( xi j) και εμβαδόν βάσης xi j = ( xi+ xi)( j+ xj) b n m n m x= = c ( ) ( ) f x x Vol Π = f x x ij i j j i i= j= i= j= Τα σημεία A ij για i n και j m με συντεταγμένες x f ( x ) i j i j 3 3 { xx : x Df f x } ανήκουν στην επιφάνεια και είναι τα ύψη των πρισμάτων = = Π ij Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
Όταν πάρουμε το όριο για nm (τότε x= sup x και = sup ) του παραπάνω διπλού αθροίσματος ζητάμε το όριο λ ( ) i i f xi j j xi να i= j= = είναι ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός ανεξάρτητος του τρόπου που έγινε η z= f x διαμέριση ( ) του Τότε το ολοκλήρωμα κατά Riemnn της nm στο θα είναι j j n m ( ) lim ( ) f x x = f x x = λ n m i = j = i j j i n m m n Επειδή Vol ( Π ij ) = Vol ( Πij ) δηλαδή ο τρόπος που αθροίζουμε τους i= j= j= i= όγκους Vol ( Π ij ) δεν παίζει ρόλο στον υπολογισμό του λ θα έχουμε ότι b b ( ) = λ = ( ) f x x f x x x= = c = c x= Το ίδιο θα ισχύει εάν το παραλληλόγραμμο έχει άπειρο εμβαδό δηλαδή κάποιο από τα ή c (ή και τα δύο) τείνει στο ή (ή και ταυτόχρονα) κάποιο από τα b ή (ή και τα δύο) τείνει στο + Για παράδειγμα εάν η f( x ) είναι πυκνότητα και ( ) F x η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι εμφανές από τα παραπάνω ότι θα έχουμε: f x x = f x x = x= = = x= x f u v vu = f u v uv = F x x u= v= v= u= x Τα ίδια ισχύουν και για οποιαδήποτε διάστατη ( ) γενίκευση του ολοκληρώματος κατά Riemnn Παρατηρήστε ότι τότε υπάρχουν! τρόποι εναλλαγής της ολοκλήρωσης που όλοι όμως εφόσον το πεδίο ολοκλήρωσης = b b οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα είναι της μορφής Έστω τώρα ότι το πεδίο ολοκλήρωσης είναι γενικά καμπυλόγραμμο δηλαδή για = Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
{( x ) : x b fl( x) fh( x) } ( x) c g( ) x g( ) = < < < < { : l h } = < < < < Τότε θα έχουμε ότι το ολοκλήρωμα f ( ) x x (είτε το f ( ) σημαίνει το ίδιο πράγμα) θα είναι η κοινή τιμή των ολοκληρωμάτων x x που b fh( x) gh( ) f ( x ) x = f ( x ) x l l x= = f x = c x= g Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση = ( ) = + για ( ) z f x x x Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της z f( x ) = ( x ) : < x< < < 4 = στο χωρίο { } (η ολοκλήρωση να γίνει και με τους δύο τρόπους εξωτερικά ως προς x και εξωτερικά ως προς ) Να βρεθεί η πυκνότητα f ( ) f( x ) δηλαδή η f ( ) Cf( x ) ( x ) f ( x ) x με στήριγμα το που αντιστοιχεί στην x θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε = για σταθερό C > αλλου Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
3 Να βρεθεί η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής F ( ) Χρησιμοποιώντας την F ( x ) βρείτε τις περιθώριες αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής F ( x ) και F ( ) x Το ολοκλήρωμα της z f( x ) = στο χωρίο θα είναι: 4 63 63 f x x = x + x = 3x + x = 7 + = 8 3 3 x= = x= 4 4 7 63 f x x = x + x = + = 7 + = 8 3 3 = x= x= Θέλουμε f ( x ) ( ) C x + x = elsewhere Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης στο παίρνουμε = f ( x ) x = C ( x + ) x = 8C C = 8 και η ζητούμενη πυκνότητα είναι: ( x + ) ( x ) f x = 8 elsewhere 3 Θα δείξουμε ότι η F ( ) = {( x ) : < x< < < 4} που είναι το στήριγμα της f ( ) l = {( x ) : x < < 4} u = {( x ) : < x< 4} = ( ) : 4 { } m x x x έχει διαφορετική αναπαράσταση στα χωρία x Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5
x F ( x ) = ( u + v ) vu 8 x u= v= = u ( ) + ( ) u = ( x )( ) + ( x )( ) 8 3 8 3 3 u= 3 3 3 ϕ( ) ϕ( x ) 7 3 F ( x ) = ( ) ( ) l u + v vu = + 8 8 3 3 u= v= x 4 3 63 F ( x ) = ( ) ( ) u u + v vu = x + x 8 8 3 u= v= 4 ϕ( 4) ϕ( x4) 63 F ( x ) = 7 m u + v vu = + = 8 8 3 u= v= έτσι παίρνουμε: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6
3 3 ( x)( ) + ( x)( ) ( x ) 8 3 3 7 3 ( ) + ( ) ( x ) l 8 3 3 3 63 F ( x ) = ( x ) + ( x ) ( x ) u 8 3 ( x ) m αλλού Παρατηρούμε ότι 4 = = + = 3 + 63 f ( x) f ( x ) ( x ) x 8 8 3 = = 63 + < < f ( x) = 8 3 αλλού x 3x x x 63 63 F x f u u u u x x F x u 8 3 8 3 3 = = 3 + = ( ) + ( ) = ( ) u= u= οπότε και 3 63 ( x ) + ( x ) < x< 8 3 lim F ( x ) = F( x) = x αλλού Επίσης έχουμε ότι x= x= 7 f( ) = f ( x ) = ( x + ) x = + 8 8 3 7 f ( ) = 8 3 4 αλλού + < < 7 F f v v v v F x l 8 3 8 3 3 = = + = ( ) + ( ) = ( ) v= v= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7
από όπου 3 ( ) + ( ) < < 4 8 3 lim F ( x ) = F ( ) = 4 x αλλού Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση = ( ) = + για ( ) z f x x x Να βρεθεί το ολοκλήρωμα της z f( x ) = ( x ) : < x< < < x = στο καμπυλόγραμμο χωρίο { } (η ολοκλήρωση να γίνει και με τους δύο τρόπους) Να βρεθεί η αντίστοιχη πυκνότητα f x με στήριγμα στο 3 Να βρεθούν οι περιθώριες πυκνότητες f ( x ) και Το ολοκλήρωμα της z= f( x ) στο χωρίο θα είναι: f { x : x x } = < < < < x 6 f ( x ) x = ( x + ) x = x ( x ) + ( x ) x 3 x= = x= 6 4 6 = x + x x x = 3 3 5 x= Επειδή έχουμε { } { } = x : < x< < < x = x : < x< < < 4 θα 4 4 f x x x x x 3 = x= = 5/ 3/ 7 6 + + x = 3 3 5 3/ / ( ) = ( + ) = ( 7 ) + ( ) 4 = Θέλουμε f ( x ) ( ) C x + x = elsewhere Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8
ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης στο παίρνουμε 6 5 = f ( x ) = C ( x + ) x = C C = 5 6 5 και η ζητούμενη πυκνότητα είναι ( x + ) ( x ) f x = 6 elsewhere 3 Για την f x έχουμε x 5 5 f x f x x x x x 6 6 3 3 = = ή ότι 5 6 4 x + x x < x< f ( x) = 6 3 3 elsewhere f έχουμε 6 4 = ( ) = ( + ) = + Για την 5 5 f f x x x x x x x 6 6 3 3 x= x= ή ότι 5 5/ 3/ 7 + + < < 4 f ( ) = 6 3 3 elsewhere 6 4 = ( ) = ( + ) = + Οι περιθώριες πυκνότητες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9
Άσκηση Δίνεται η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής για F ( x ) x b ( e )( e )( x ) + = elsewhere > και b > Να βρεθεί η από κοινού σππ f ( ) P{ + < } Να βρεθούν οι πιθανότητες P{ } P{ < < } και P{ > > } καθώς και οι πιθανότητες P{ } και { } x καθώς και η πιθανότητα P > ( ) F ( x ) ( x+ b) f x = = be x για x> { } ( ) P f x x + < = όπου { x : x x } = + < < < < < Για b και εσωτερική ολοκλήρωση ως προς έχουμε x x b P{ + < } = be e x x= = ( ) x b x x b x = x= x= = e e x = e e x Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
e be e = e x e e x = e e = b b x b ( bx ) b x= x= b b Εναλλακτικά για b αλλά με εσωτερική ολοκλήρωση ως προς x θα έχουμε x b P{ + < } = be e x = x= ( ) b x b = b e e = b e e x x= = = b bx b ( ) e be e = b e x be e x = e be = b b = = Για = b παίρνοντας το όριο για b έχουμε b be e P + < = lim = lim e + e b b b e e = + e b { } = + Παρατήρηση: Εμφανώς ισχύει e > + για κάθε > b b < + e < εφόσον είναι γνωστό ότι Η εξίσωση του επιπέδου που περνάει από τα σημεία ( ) ( ) 3 P ( b c ) του 3 3 3 3 P b c P b c και Υποθέτουμε ότι τα σημεία P P και P 3 δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία δηλαδή ορίζουν ένα επίπεδο ( ) στον 3 Έστω r r και r 3 τα διανύσματα θέσης των σημείων P P και P 3 δηλαδή r s = i s + b s j+ ck s για 3 P xz με διάνυσμα θέσης r θα έχουμε ότι ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα τρία διανύσματα PP = r r PP = r rκαι PP 3= r3 rθα είναι s = Εάν x b zc V = PP PP PP = rr r r r r = b b c c 3 3 b b c c 3 3 3 Επειδή όμως τα σημεία P P και P 3 ορίζουν ένα επίπεδο στον 3 θα έχουμε V = και η εξίσωση του επιπέδου ( ) που περνάει από τα σημεία P P και P 3 θα είναι: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
: x b zc b b c c = b b c c Παράδειγμα 3 3 3 Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου ( ) που περνάει από τα σημεία P( ) P ( b ) και P ( c ) 3 x z b b b = ( x) + z = c c c bc( x ) + c + bz = x + + z = b c x z = xz : + + = b c Έτσι έχουμε ότι 3 Η εξίσωση της ευθείας ( ) που περνάει από τα σημεία P( b ) P ( b ) 3 του Έστω r r τα διανύσματα θέσης των σημείων P P δηλαδή rs = i s + bs j για s = Εάν Px ( ) ( ) με διάνυσμα θέσης r θα έχουμε ότι i j k x b x b x b k b b b b b b = = = x b = b b b b x b = x : = b b b b Έτσι έχουμε ότι Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ( ) που περνάει από τα σημεία P( ) P ( b ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
θέτοντας = b = b = b = x η προηγούμενη εξίσωση δίνει + = b Παράδειγμα Να βρεθούν οι ομοιόμορφες κατανομές στα παρακάτω χωρία: { x : x bc } { } { x : x } { xz 3 : x z } { x : x x } { x z 3 : x z x z } 3 4 5 6 = < < < < { } = x : < x< < < x = x : < x< < < 4 = < < < = < < < < = < < < < + < = < < < < < < + + < x = x : < x< < < b + < b x z = xz : < x< < < b < z< c + + < b c = x : x + < R 7 8 3 { } { xz 3 : x z R } 9 = + + < Σε όλες τις περιπτώσεις ζητάμε C > τέτοιο ώστε στις δύο διαστάσεις να έχουμε f ( x ) ( x) C = με C = A elsewhere και A = x ενώ στις τρείς C ( xz ) fz xz = με C = V elsewhere και V διαστάσεις b b C = A = x = ( c) x = ( b )( c) x= = c x= έτσι έχουμε ότι < x< bc < < f ( x ) ( b )( c = ) elsewhere = x b b c < < c< < = x z Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
Οι περιθώριες πυκνότητες είναι: f x = < x< b c< < = < x< b = x b ( ) b c b = και παρατηρούμε ότι ισχύει c f x = f x f δηλαδή οι τμ και είναι ανεξάρτητες Προφανώς και f ( ) = ( c< < ) = ( c) x 4 C = A = x = x x = 3 ( ) x= = x= 4 4 ή ισοδύναμα ( ) f ( x) 4 C = x = = 3 έτσι έχουμε = x= x= 3 < x< < < x = 4 elsewhere Οι περιθώριες πυκνότητες είναι: x και 3 3 f ( x) = = ( x ) < x < 4 4 = Εμφανώς f ( x) f ( x) f ( ) 3 3 f = x = < < 4 4 4 x= και οι τμ και είναι εξαρτημένες C = A = x = x x = 3 ισοδύναμα x= = x x= C = x = = = x= x= < x< < f ( x ) = elsewhere C = V = z x = x = 4 ισοδύναμα C 6 x= = x z= x= = x z = z x = 6 z= = x= 6 3 < x< < z < fz ( xz ) = elsewhere 3 3 Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
x C = A = x = x x = 5 x= = x= x+ < < x< < < f ( x ) = elsewhere x x x 6 = = = (( ) ) C V z x x x x= 3 = ( x) x = 6 x= = z= x= = 6 3 x+ + z < < x< < < < z < fz ( xz ) = elsewhere 7 x b x C A x b x b = = = = x= = x= x + < < x< < < b f ( x ) = b b elsewhere 8 x x x b c b b x C V z x c x = = = b x= = z= x= = x x bc x bc = c b b x = x b = 6 x= x= 6 x z + + < < x< < < b < z < c fz ( xz ) = bc b c elsewhere 9 R R x R C = A = 4 x = 4 R x x x= = x= θέτοντας x= Rsin ( ϑ ) έχουμε ότι R x = Rcos( ϑ ) και x R cos( ϑ ) π / = 4 cos ( ϑ) ϑ Επειδή ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) ( ϑ) C R ϑ= π / ϑ= ( ) C = R + cos ϑ ϑ = πr και = που δίνει cos = cos sin = cos έχουμε Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5
x + < R f ( x ) = π R elsewhere R R x R x R R x C = V = 8 z x = 8 R x x θέτοντας R x sin ( ϑ ) x= = z= x= = = έχουμε ότι = sin ( ϑ) = cos( ϑ) και = R x cos ( ϑ ) R x R x R x που δίνει R π/ R π/ 4 3 ( ϑ) ϑ ( ϑ) ϑ π και C = 8 R x cos x = 8 R x x cos = R 3 x= ϑ= x= ϑ= 3 x + + z < R 3 fz ( xz ) = 4π R elsewhere Συνδιασπορά (covrince) και συντελεστής συσχέτισης (correltion coefficient) H συνδιασπορά είναι ένα μέτρο της από κοινού μεταβολής δύο τυχαίων μεταβλητών και ορίζεται σαν { } ( ) = ( )( ) Cov Εάν Cov( ) = λέμε ότι οι τμ και είναι (γραμμικά) ασυσχέτιστες Εάν = τότε ( ) { } Cov = = Vr που είναι η μέση τιμή της τετραγωνικής απόκλισης της από τον μέσο όρο της Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι Πρόταση Εάν και από κοινού συνεχείς ( ) ~ f ( ) είτε από κοινού ~ p έχουμε ότι: διακριτές Cov( ) = ( ) ( ) ( ) Εάν και ανεξάρτητες τμ Cov( ) = (το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6
{ } ( ( ) )( ( ) ) = { + } = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) Για κάθε συνάρτηση g των τμ και ισχύει ότι ( ) ~ ( ) { ( )} ( ) ( ) f g g x f x x = x= = = ( ) ~ p ( ) { g( )} g( x ) p ( x ) x Έτσι για παράδειγμα έχουμε ότι στη από κοινού συνεχή περίπτωση { } = x f ( x ) x = x f ( x ) x = x f ( x) x x= = x= = x= και στην από κοινού διακριτή περίπτωση { } = xp ( x ) = x p ( x ) = xp( x) x x x Εάν και ανεξάρτητες τμ θα έχουμε x= = x= = { } = = x f x x x f x f x { } { } x= = = x f x x f = Cov = Παρομοίως στην από κοινού διακριτή περίπτωση { } = xp ( x ) = xp ( x) p ( ) x x { } { } Cov( ) = = Παράδειγμα Για τις παρακάτω διακριτές συναρτήσεις να υπολογιστεί το είναι συναρτήσεις μάζας πιθανότητας C > έτσι ώστε να p ( x ) p ( x ) ( x) { } C = elsewhere ( x) { } { } C = elsewhere Να υπολογιστεί και στις δύο περιπτώσεις το covrince των και Είναι οι και ανεξάρτητες; Υπολογίζουμε εύκολα ότι C = /3 Οι περιθώριες κατανομές είναι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7
~ /3 /3 /3 και ~ /3 /3 ( ) ( ) ( ) Cov( ) = = /3 = /3 = ενώ οι τμ και είναι εξαρτημένες εφόσον υπάρχει τουλάχιστον ένα p x p x p για παράδειγμα ( xγια ) το οποίο p ( ) = p( ) p( ) = 3 3 Υπολογίζουμε εύκολα ότι C = /6 Οι περιθώριες κατανομές είναι ~ /3 /3 /3 και ~ / / p x p x p 6 3 ( ) = = = για κάθε ( ) { } { } και είναι ανεξάρτητες από όπου και Ορίζουμε τον συντελεστή συσχέτισης σαν x δηλαδή οι Cov = ( ) Vr ( ) Cov ρ ( ) = ή συντομογραφικά Vr ρ σ = σ σ Πρόταση Ανισότητα Cuch Schwrtz: Ισχύει ότι ρ ( ) ( ) ( ) ( ) { } Ορίζουμε τη μη αρνητική συνάρτηση g ( ) ( ) g = + * * = = g ( ) ( ) ενώ = ( ) * * g ( ) = ( ) > min g( ) = g( ) = ( ) από όπου και ( ) ( ) ( ) ( ) ότι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8
Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι ( ) ( ) ( ) g Disc = 4 4 από όπου και πάλι U = Θέτουμε V = τότε από Cuch Schwrtz για τις τμ U και V έχουμε ( UV ) ( U ) ( ) {( )( )} { } ( ) { } Vr ( ) Cov Cov( ) Vr ( ) Vr ( ) ρ ( ) Vr Correltion is expresse on rnge from + to - known s the correltion coefficient In perfect positive correltion expresse s + n increse or ecrese in one vrible lws preicts the sme irectionl chnge for the secon vrible If two vribles sometimes but not lws chnge in tnem the correltion is expresse s greter thn zero but less thn + Vlues below zero express negtive correltion: As the vlue of one vrible increses the other ecreses Zero inictes lck of correltion: There is no tenenc for the vribles to fluctute in tnem either positivel or negtivel Exmples of positivel correlte vribles inclue: Hours spent stuing n gre point verges Euction n income levels 3 Povert n crime levels 4 Evlute stress levels n bloo pressure reings 5 Smoking n lung isese There s common tenenc to think tht correltion between vribles mens tht one cuses or influences the chnge in the other one However correltion oes not impl custion There m be n unknown fctor tht influences both vribles similrl Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9
Για παράδειγμα εάν οι τμ και είναι θετικές δηλαδή P{ > } b P> { } = και παρατηρήσουμε log ( ) = log ( ) + b = e Παράδειγμα Δείξτε ότι εάν b > sgn ( ) = > < = και = + τότε Cov ( ) = Vr ( ) και ( ) sgn ( ) ( ) = ( + ) = ( ( + )) ( + ) Cov Cov b b b = + b b = Vr Vr ( ) Vr ( ) ρ ( ) = = = sgn ( ) Vr ρ = όπου Πρόταση Εάν ο μετασχηματισμός = T x είναι ένα προς ένα για x B έχουμε: f ( x) x = f ( T ( ) ) T ( ) = f ( T ( ) ) x B T B T B T ( ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
όπου το διάστημα T( B ) είναι προσανατολισμένο κατά την έννοια ότι εάν B= ( b ) και T τότε T( B) = ( T( ) T( b) ) ενώ εάν T τότε T( B) = ( T( b) T( ) ) Πράγματι εάν B= ( b ) T b B x= = T ( ) b T f ( x) x = f ( x) x = f ( T ( ) ) Εάν T T ( ) T ( ) = και T( ) T( b) < που δίνει T ( ) f ( x) x = f ( T ( ) ) με T( B) = ( T( ) T( b) ) B T B Εάν T T ( ) T ( ) = και T( ) T( b) > που δίνει T b ( ) b T f ( x) x = f ( x) x = f ( T ( ) ) B x= = T T( ) = T b T B T T = f ( T ( ) ) = f ( T ( ) ) όπου T( B) ( T( b) T( ) ) = Μετασχηματισμοί πυκνοτήτων Εάν είναι συνεχής τμ έτσι ώστε ~ f ( ) και ο μετασχηματισμός = T( ) είναι αντιστρέψιμος 3 ( Ω) στο χώρο καταστάσεων της τμ τότε ορίζουμε την πυκνότητα της τμ με τον εξής τρόπο: f ( ) = f ( T ( ) ) T ( ) και ο χώρος καταστάσεων της τμ είναι T( ) Ω = Ω 3 Δηλαδή το T είναι συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
Πράγματι = { } = { } F P PT { } ( ) P T T F T T = = P{ T } T F ( T ) T Παραγωγίζοντας ως προς παίρνουμε: ( ) f T T / T f ( ) = f ( T ) T ( ) / T = f ( T ( ) ) T ( ) ( Ω ) = T( ( Ω )) Η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή T( T ( ) ) = T ( T ( ) )( T ) ( ) = ( T ) ( ) = T ( T ( ) ) που σημαίνει ότι T και ( T ) έχουν το ίδιο πρόσημο άρα T και T έχουν την ίδια μονοτονία Την τελευταία εξίσωση χρησιμοποιώντας διαφορικά μπορούμε x να την γράψουμε και ως = / x Πρόταση Εάν η τμ παρακάτω: Z έχει συνάρτηση κατανομής F Z που αντιστρέφεται τότε έχουμε τα Έστω ότι ~ ( ) τότε η τμ F Z ( ) Z συμβολικά F Z ( ) = Z Αντίστροφα η τμ = FZ ( Z) ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο συμβολικά F ( Z ) = ( ) ( ) : Για να δείξουμε ότι Z = Z { Z } { } F x = P x = P F x = έχει την ίδια κατανομή με την τμ αρκεί να δείξουμε ότι F ( x) F ( x) = : Z Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση
και επειδή Z F παίρνουμε FZ ( x) { } F x = P F x = f Z Όμως ~ ( ) f ( ) = ( < < ) και F ( x) ( ) FZ x FZ x Z F x = < < = = F x που δίνει ( ) : Για να δείξουμε ότι F ( Z) ( ) αρκεί να δείξουμε ότι για < < Πράγματι = Z = ( ) ( ) = = ( Z ) ( Z ) f f F F f F F F Z Z Z Z Z Z Z fz F = = f F Z εφόσον Z F f = < < f > και Z : [ ] Z f = είναι ένα προς ένα Έτσι παίρνουμε ότι Εάν ο μετασχηματισμός T δεν είναι αντιστρέψιμος στο χώρο καταστάσεων Ω της τμ τότε θα πρέπει να αθροίσουμε τον μετασχηματισμό της πυκνότητας πάνω σε κάθε κλάδο x= T i ( ) της αντίστροφης στο αν η T ( ) έχει s κλάδους στο ( Ω ) θα έχουμε ( ) s s f x f Ti f ( ) = = = f Ti Ti = Tx T x i= T T ( ) i= i( i ) { } ( j ) j όπου x T ( ) Ts ( ) ιδιότητα T T ( ) x Άσκηση Εάν η τμ τμ T( ) Ω δηλαδή οι κλάδοι 4 (προεικόνες) του x που έχουν την = για = s έχει πυκνότητα f και στήριγμα το να βρεθεί η πυκνότητα της = στις εξής περιπτώσεις: 4 Brnches ή pre imges Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
T ( ) = + b όπου και b πραγματικοί αριθμοί k T 3 T( ) = = b T( ) T ( ) T ( ) = = = = b f ( ) = f ( T ( ) ) T ( ) = f = k = ρ + = T T ( ) / k = { ± } k = ρ k k = ρ + k + k / k f ( ) = f ( ) < < k / k k + k k = ρ k+ k+ k+ / k / k / k / k { } k k f = f + f = k f + f > k k k 3 Επειδή σε αυτή την περίπτωση η T( x) = T( ) = T ( ) { ± } T ( ) = = ( ) + > f f f Αλλιώς = δεν είναι αντιστρέψιμη θα έχουμε = { } = { } = { } = { } { < } F P P P P P Επειδή P{ } F ( ) < = αλλά F παντού συνεχής έχουμε ότι P{ < } = F ( ) και έτσι F ( ) = F ( ) F ( ) Παραγωγίζοντας την προηγούμενη εξίσωση ως προς έχουμε: f = f + f Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
Παράδειγμα Εάν ~ ( ) και = T ( ) = + b δείξτε ότι ( b + b) > f ( ) = ( + bb ) < Επίσης να βρεθεί η κατανομή της τμ όταν = T( ) = e Εάν ~ N ( ) και = T( ) = δείξτε ότι f ( ) G ( / /) 3 Εάν ~ N ( ) και = T = δείξτε ότι = / f = HN = e > (όπου το HN σημαίνει hlf norml) π Επειδή = T ( x) = x + b έχουμε x T ( ) f ( ) b = = που δίνει b b b = = < < b< < + b > b + b > = = + b< < b < + b b < x Όταν = T( x) = e έχουμε x T ( ) log ( ) = = τότε ( ) f ( log ) log ( log ) = = < < = ( < < e) Επειδή T( x) x = = έχουμε x T { } = με αποτέλεσμα = ( ) + ( ) ( ) f N N / = N( ) = e > π Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 5
Επίσης επειδή Γ ( /) = π και / ( /) Γ( /) / / f = e = G b G b e Γ ( / /) b = > ( ) παίρνουμε Παρατήρηση: Η πυκνότητα f ( ) G ( / /) = είναι ειδική περίπτωση της οικογένειας κατανομών χι τετράγωνο 5 με n βαθμούς ελευθερίας χ n ( ) = G ( n //) Εδώ έχουμε f ( ) = χ ( ) 3 f ( ) = f ( ) + f ( ) = N( ) + N( ) / / = e = e > π π Άσκηση Εάν ~ N ( ) και = = + δείξτε ότι f ( ) N( µσ ) T σ µ = Εάν ~ N ( ) και = T = σ + µ δείξτε ότι exp µ µ > f ( ) = σ π σ otherwise Επίσης δείξτε ότι σε αυτή περίπτωση έχουμε f ( ) N( µσ ) ( > µ ) Δηλαδή η τμ είναι η περικομμένη (truncte) κανονική κατανομή στο µ διάστημα ~ N µσ και 3 Εάν Επειδή = T( x) = σ x+ µ έχουμε x T ( ) µ µ f ( ) = N σ σ µ = exp = N( µσ ) σ π σ = T = e να βρεθεί η κατανομή της µ = = που δίνει σ 5 Chi squre with one egree of freeom Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 6
Επειδή = T x = σ x + µ έχουμε = σ x + µ > µ έτσι παίρνουμε: µ > = = σ και µ < = = σ x x+ T+ x x T f ( ) = f T ( ) T + f T T ( + ) + ( ) µ µ = N + N σ σ σ σ exp µ µ µ > = N = σ π σ σ σ otherwise Έστω ότι f ( ) N( µσ ) ( µ ) f ( ) CN( µσ ) ( µ ) > τότε υπάρχει C > τέτοιο ώστε = > Ολοκληρώνοντας στο έχουμε ( µσ ) ( µ ) = f = C N > C = C N ( µσ ) = C = από όπου = µ exp µ > µ f = N µσ ( > µ ) = σ π σ otherwise x 3 Όταν = T( x) = e έχουμε x T ( ) log ( ) = = τότε log log µ f ( ) = N( log ( ) µσ ) = exp > σ π σ Η προηγούμενη πυκνότητα είναι η πυκνότητα της λογαριθμοκανονικής ~ LN µσ (lognorml) κατανομής και συμβολίζεται με Άσκηση Δείξτε ότι Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 7
π π εάν ~ τότε T ( ) ( ) C = = tn ~ Ποίος είναι ο μετασχηματισμός T για τον οποίο έχουμε Z T ( ) ~ C( b) b ; Δείξτε ότι εάν ~ C ( ) τότε και / ~ C ( ) f ( ) = rctn ( ) rctn ( ) = για > και π π π rctn π = < < = < π π < = + + C Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό και έχουμε z z b fz ( z) = C = = C b b b π b + z Δηλαδή ( ) tn T = T T Z = T = b + με b > Z = T T = b + και ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο Εάν Z = / θα έχουμε z fz ( z) = f ( ( z) ) = f = f = = f z = C z z z z z z z π + z Άσκηση Να βρεθεί μετασχηματισμός / f ( ) ( ) = < < και f ( x) e x ( x ) ( ) T τέτοιος ώστε = T( ) ~ f για ~ f με = > Υποθέτοντας ότι ο άγνωστος μετασχηματισμός T είναι αντιστρέψιμος και u = x= T έχουμε ότι θέτοντας u / u / e u = e u = για < < και u( ) x = > Ολοκληρώνοντας παίρνουμε ολοκλήρωσης Εκτελώντας τα ολοκληρώματα παίρνουμε u / e u = + C όπου C η σταθερά της Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 8
e C u C u / / = =log ενώ θα πρέπει να ισχύει e / C > ή ότι < C Επειδή θα πρέπει < θέτουμε C = από όπου παίρνουμε u / = και επειδή u( ) Εναλλακτικά Η ασκ της είναι F ( x) ( e x ) ( x ) F = e = ( ) = x τελικά θα έχουμε = ( e x ) = > και γνωρίζουμε ότι Η ασκ της είναι F ( ) ( ) ( ) = = < < + τότε ( ) ( ) ( ) Έτσι F = < < + = = e = ή ότι ( e ) Παρατήρηση: Η προηγούμενη ισότητα είναι ισότητα σε κατανομή (ή στοχαστική ισότητα) Μπορούμε να κάνουμε όλες τις σύνηθεις πράξεις ταυτόχρονα και στα δύο μέλη της στοχαστικής εξίσωσης που ισοδυναμεί με το ότι εάν = και g( ) = g( ) για κάθε g: ( Ω) Όμως δεν μπορούμε να αλλάξουμε μέλη δηλαδή εάν = τότε αυτό δεν σημαίνει ότι = ούτε να πολλαπλασιάσουμε ας πούμε και τα δύο μέλη με το δηλαδή εάν = τότε αυτό δεν σημαίνει ότι = Για παράδειγμα εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές δηλαδή έχουμε = = N ( και C( ) = Ορίζουμε την υπό συνθήκη κατανομή της τμ ~ F δοθέντος του P( { x} B) ενδεχομένου B σαν FB ( x B) = P{ x B} = P B Η F B είναι συνάρτηση κατανομής της τμ = [ B] P( { } B) P( B) FB ( B) = = = P( B) P( B) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 9
P( { } B) P( B) FB ( B) = = = P( B) P( B) P( { < b} B) ({ } \{ }) 3 P{ < b B} = = P( B) P( B) P( { b} B\ { } B) P( { b} B) P( { } B) = = P( B) P( B) P( B) = F ( b B) F ( B) B B Παράδειγμα: Να δειχθεί ότι εάν B { α β} x F ( x) F ( ) FB x B = α < x β F ( β ) F ( ) x β ( ) f ( x B) f ( x) ( α < x β) B 3 ( ) B = ( B ) ( ) B P b B = < και ~ F τότε Από τον ορισμό της υπό συνθήκη κατανομής της τμ ~ F δοθέντος του P( { x} { α < β} ) ενδεχομένου B έχουμε FB ( x B) = και επειδή P α < β x { x} { α < β} = { α < x} α < x β { α < β} x β παίρνουμε ( ) { } { } P x FB ( x B) = P α < x α < x β P{ α < β} P α < β x β { } Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
x x F ( x) F ( ) F ( x) F ( ) = α < x β = α < x β F ( β) F ( ) F ( β) F ( ) F x β F β x β F ( β ) F ( ) Για την πυκνότητα της υπό συνθήκη κατανομής έχουμε x f ( x) fb ( x B) = α < x β β f ( x) α x β f ( x) = ( α < x β) f ( x) ( α < x β β ) f x α 3 Για την υπό συνθήκη μέση τιμή θα έχουμε B = x f B x B x = x f ( x) ( α < x β) x β f = x f β α f u u α και επειδή β x x α ( x) β x B f x x f x x f x x ( ) = ( ) = = B B α ( ) = ( ) = = x B x f x x x f x x x f x x B B α τελικά παίρνουμε ( ) B = ( B ) ( ) B β Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
Εφαρμογή Στη θεωρία χρηματοπιστωτικού κινδύνου ορίζουμε την κατανομή F των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου (istribution of portfolio returns or profit n loss istribution) Επίσης ορίζουμε ως Vlue t Risk για επίπεδο εμπιστοσύνης α την ποσότητα VR α α ( ) = Percentile( ; α ) Το VR ( ) θεωρείται ένα μέτρο κινδύνου για το χαρτοφυλάκιο Εμφανώς εάν q = VR α ( ) τότε { } q F q = P q = f x x = Ένα άλλο μέτρο κινδύνου που βασίζεται στο Vlue t Risk είναι το Expecte α α ES = VR Shortfll που ορίζεται σαν α Τότε ( ) ( { } q ) q ( { q} ) f q ES = q = = x f ( x) x u u Πρόταση Εάν ο μετασχηματισμός T( x) T : είναι ένα προς ένα για κάθε x T = με x D T τότε υπάρχει μοναδική = Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες των x και έχουμε: λύση = όπου x= ( x x ) και ( ) ( ) ( ) ( ) = x x x = x T : T : = x x x = x ( ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 3
Εάν f x x x x = το ολοκλήρωμα της συνάρτησης z f ( x x ) μπορεί να αποδειχθεί ότι = στο χωρίο D T Τότε = T ( ) ( ( ) ( )) f x x Jc T Όπου Jc ( T ) ( x x ) ( ) et x i = = η ορίζουσα του Ιακωβιανού πίνακα j x i του αντίστροφου μετασχηματισμού j Συμβολικά θα είχαμε: ( ) = = = ( ) f x x f x T f x Jc T x T T Πολυδιάστατοι μετασχηματισμοί πυκνοτήτων Έστω ότι = ( ) και ( ) = δύο διανυσματικές τμ που συνδέονται με τον αντιστρέψιμο μετασχηματισμό T : κατά την έννοια Δηλαδή T( ) T ( ) T ( ) Ω Ω Ω = T Ω = = και χρησιμοποιώντας συντεταγμένες έχουμε: ( ) ( ) ( ) = x x x = x T : T : = x x x = x ( ) Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν ο T είναι ένα προς ένα στο χωρίο ( Ω) θα έχουμε: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 33
όπου Jc ( T ) ( T ) ( ) = ( ) ( ) f f x x J c η ορίζουσα του Ιακωβιανού (Jcobin) πίνακα του αντίστροφου μετασχηματισμού Για την Ιακωβιανή ορίζουσα ισχύει ότι Jc T ( ) ( ) xi i x x = et = Jc T = et j x j Παράδειγμα Να βρεθούν οι ομοιόμορφες κατανομές στα παρακάτω χωρία χρησιμοποιώντας πολικές και σφαιρικές συντεταγμένες { x : x R } { xz 3 : x z R } = + < = + + < ( ρϕ ) ρcos( ϕ) ( ρϕ ) ρsin ( ϕ) x x x x = = T : Jc ( T ρ ϕ ) = = ρ = = ρ ϕ π R = C f ( x ) x = C ρ ρϕ = C π R C = πr x= = ϕ= ρ= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 34
( ρϕϑ ) ρcos( ϕ) sin ( ϑ) ( ρϕϑ ) ρcos( ϑ) x= x = x x x ρ ϕ ϑ ρ ϕ ϑ T : = ρϕϑ = ρsin ϕ sin ϑ Jc T = = ρ sin ϑ z z zρ zϕ z = = ϑ π = C f x z zx = C ρ sin ϑ ρϑϕ Z x= = z= ϕ= ϑ= ρ= π π R 4 3 ϕ sin ( ϑ) ϑ ρ ρ π 3 ϕ= ϑ= ρ= = C = C R Εάν ο T δεν είναι ένα προς ένα στο χωρίο ( Ω ) τότε όπως και στην μονοδιάστατη περίπτωση θα έχουμε: ( x) f f ( ) = f x( ) Jc T Tx Jc T = = = Tx π R Η πυκνότητα της W = + : Δίνονται οι τμ ~ f και ~ f που είναι οι συντεταγμένες τμ (περιθώριες) της από κοινού ( ) ~ f Θέλουμε να βρούμε την πυκνότητα της W = + Θεωρούμε τον μετασχηματισμό w = w x = x+ x = x wz = z T T Jc ( T ) = = z = z x = x = wz = w z : : Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι f wz = f x wz wz JcT = f zw z WZ Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : f της τμ W περιθωριοποιούμε την f W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 35
W z= = ( ) f w f z w z z Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: = ( ) f w f z f w z z W z= Σε αυτή την περίπτωση η πυκνότητα f είναι η συνέλιξη των πυκνοτήτων W f και f f = f = f f W + Είναι εμφανές ότι η συνέλιξη είναι αντιμεταθετική δηλαδή f f = f f εφόσον f+ = f+ Για να το δούμε αυτό αρκεί να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό u = w z ( ) = ( ) = ( ) f f w f z f w z z f w u f u u z= u= z= = f w z f z z = f z f w z z = f f w z= Παράδειγμα Δίνονται οι ανεξάρτητες εκθετικές τμ πυκνότητα της τμ W = + ~ Exp ( ) και ~ Exp b να βρεθεί η = ( ) = ( ) = ( ) ( ) f w f f w f z f w z z Exp z Exp w z b z W z= z= z b wz bw b z = e z > be w z > z = be e z > w z > z z= w bw ( b ) z be e z z= = z= Έχουμε ότι > και b > Πιο συγκεκριμένα εάν = b= λ λw λ λ λw f w = f f w = e z = we w > W w z= Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 36
Και αναγνωρίζουμε ότι W ~ G ( λ ) νόμος της τμ W είναι = + Δηλαδή για = b= λ έχουμε ότι ο ( λ) ( λ) ( λ) W = + ~ G + G ~ G Για θετικά b έχουμε w bw ( bz ) b w bw fw ( w) = ( f f)( w) = be e z = ( e e ) w > b z= Συνολικά λοιπόν για την κατανομή της W = + έχουμε ( λ) G w = b = λ fw( w) = f+ ( w) = b w bw ( e e ) b b Παρατηρούμε ότι: bw w b b w bw > b fw ( w) e e w> C = fw ( w) = ( e e ) b b w b b bw ( w < b f bw W w e e w> C = fw w = e e ) b b Δείξαμε ότι εάν οι τμ ~ G ( λ ) και ~ ( ) + είναι G ( ) κατανομή του αθροίσματος ii δείξουμε επαγωγικά ότι εάν i ~ ( ) G λ είναι ανεξάρτητες η G λ για i n λ Δεν είναι δύσκολο να n i i= = τότε ~ G ( n λ ) Άσκηση Εάν δίνονται οι ανεξάρτητες τμ ~ G ( λ ) και ~ ( ) G b λ δείξτε ότι: W = + ~ G ( λ) + G ( b λ) G ( + b λ) B( b ) που ορίζεται σαν ( ) = ( ) = και ότι το ολοκλήρωμα bet b για B b w w w > και b > μπορεί να εκφρασθεί με τη χρήση gmm συναρτήσεων στην μορφή: Γ( ) Γ( b) B( b ) = Γ + b Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 37
( ) ( k ) k = για k E λ λ M t = t < λ λ t k και λ λx f x x e x = > Γ ( ) b λ b λ f e ( b) = > Γ Η τμ W = + έχει πυκνότητα f που είναι η συνέλιξη των W f και f = ( ) = ( ) = ( λ) ( λ) f w f f w f z f w z z G z G w z b z W z= b λ λz λ ( ) z= b λ( wz) b = z e z > wz e w z > Γ Γ z= + b λ = < < Γ z= w ( ) Γ( b) b λw z w z e z w z + b + b λw w b λw λ e b λ = z ( w z) e z = z ( w z) z Γ Γ b Γ Γ b z= z= b b λw λ + + b z= wx w e = Γ( ) Γ( b) x= ( ) x x x b Θέτοντας B ( b) = x ( x) x παίρνουμε W v= ( ) ( ) Γ( b) = Γ b B b λ + + b λw f w w e Θα υπολογίσουμε την ποσότητα B( b ) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η f W είναι πυκνότητα ( ) λ + ( ) ( b) B b = = Γ Γ b + b λw fw w w w e w w= w= + b + b ( ) B ( b τ ) + b τ τ= λw B b λ τ τ e = = Γ( ) Γ( b) λ λ ( ) ( b τ= Γ Γ ) τ= B( b ) Γ( ) Γ( b) ( b) από όπου B( b ) ( ) Γ( b) ( b) = Γ Γ + τ = Γ + e τ Αντικαθιστώντας την έκφραση για το B( b ) στην f έχουμε W λ Γ + + b + b λw fw ( w) = w e = G w + b ( b) ( λ ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 38
και έτσι W = + ~ G ( + b λ ) k k k λ λx λ + k λx x x ( ) ( = = ) x= + k + k τ + k τ E = x f x x = x x e x = x e x Γ Γ τ= λx λ τ τ λ e = = Γ( ) λ λ x ( ) λ = Γ x= Γ ( + k) ( + k )( + k ) ( + )( ) Γ( ) k k Γ( ) λ Γ( ) λ ( + k )( + k ) ( + )( ) ( ) ( k ) = = = = k λ k λ τ e τ ( ) ( ) ( k ) k k t t k t k t M ( t) = E( e ) = E( ) = = k k= k! k= k! λ k= k! λ Επειδή ( ) ( k ) ( + k )( + k ) ( + )( ) = k! k! ( ) ( ) k k+ k ( = = ) k! k παίρνουμε ( k ) t k k t t M t λ = = t λ k k! λ k = + = < = k= λ λ λ t Άσκηση Δείξτε ότι ισχύει: { S T t} { S t} { T t} { S t T t} { S T t} = { S t} { T t} = = ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S T t ω { S T t} S( ω) T( ω) t T S t ω ( { S t} { T t} ) \ ( { S t} { T t} ) ({ S t} { T t} ) = { S t} { T t} k Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 39
ω { } ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) S tt > t S T t S T t S T t T t S > t T S t Από τις περιπτώσεις S( ω) T( ω) t και T( ω) S( ω) t έχουμε ότι ω { S t} { T t} Από την S( ω) tt ( ω) > tέχουμε { S t} { T > t} = { S t} { T t} ω και T t S t { S t} { T t} { S t} { T t} Συνολικά λοιπόν ω { S T t} είναι ισοδύναμο με το ω ({ } { } ) ({ } { }) { } { } ω ω > ω > = { } { } S t T t S t T t S t T t = S t T t Πρόταση Η πυκνότητα της περιπτώσεις: W ( ) = g όταν και από κοινού συνεχείς στις g( ) = g( ) = / 3 g( ) = min { } 4 g( ) = mx { } Έχουμε ~ f και ~ βρούμε την πυκνότητα της W f για τις περιθώριες της από κοινού = Θεωρούμε τον μετασχηματισμό ~ f Θα w w( x ) x x= x wz = z = = T T Jc ( T ) w z z z : : w = = z= zx = x = ( wz ) = z Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι w fwz wz = f x wz wz JcT = f z z z Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : f της τμ W περιθωριοποιούμε την f W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
w fw( w) = f z z z z z= Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: w fw ( w) = f ( z) f z z z z= Για την πυκνότητα της W = / Θεωρούμε τον μετασχηματισμό: x= x wz = z w= wx ( ) = x/ z T T Jc ( T ) z w w w : : z = = z= zx = x = ( wz ) = w Η πυκνότητα W Z f της δτμ ( ) W Z είναι z z f ( wz ) = f ( x( wz ) ( wz )) JcT = f z w w WZ Για να βρούμε την πυκνότητα W προς Z : Κάνοντας τον μετασχηματισμό z f της τμ W περιθωριοποιούμε την f w z fw( w) = f z z z w z= = uw έχουμε για w > u f w f uw u wu f uw u u u = ( ) = ( ) W w u= u= Ενώ για w < u f w f uw u wu f uw u u u = ( ) = ( ) W w u= u= Δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις έχουμε: fw ( w) = f ( uw u) u u u= W Z wz ως Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
Στην ειδική περίπτωση που και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες έχουμε: f w = f uw f u u u W u= Σημειώνουμε ότι μπορούμε να πάρουμε κατ ευθείαν το προηγούμενο αποτέλεσμα εάν θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό w= x/ και z = (αντί για z = x) Πράγματι w = w x = x / x = x w z = wz z w : : = = z = z x = = wz = z T T Jc T z f wz = f x wz wz JcT = f wzz z WZ f w = f zw u z z Που δίνει: W z= 3 Για την πυκνότητα της min { } { w} = { w} { w} Παίρνοντας πιθανότητες έχουμε W W= = Θεωρούμε το ενδεχόμενο = ({ } { }) = { } + { } ({ } { }) { } { } { } ( ) F w P w w P w P w P w w = P w + P w P w w = F w + F w F w w Δηλαδή η ασκ της W = είναι F ( w) = F ( w) + F ( w) F ( ww) Παραγωγίζοντας έχουμε την πυκνότητα της W W ( ) ( ) F x F x fw ( w) = f ( w) + f ( w) x x= w x= w = w = w Όπου για την παράγωγο ως προς w της F ( ) FGx ( ( ) H( x )) F G F H αποτέλεσμα = + x G x H x ww χρησιμοποιήσαμε το γνωστό Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 4
Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες F ( x) = F ( xf ) ( ) πυκνότητα απλοποιείται = + f w f w f w f w F w f w F w W θα έχουμε και η ( ) = f w F w + f w F w = f w S w + f w S w Όπου = = και S w F w f u u S w u= w = F w = f u u u= w οι συναρτήσεις επιβίωσης (survivl) των και αντιστοίχως Επίσης παρατηρούμε ότι εάν και είναι ανεξάρτητες = = + F ( w) F w S w S w S w F w F w F w F w F w W W ( )( ) = = 4 Για την πυκνότητα της mx { } { w} = { w} { w} Παίρνοντας πιθανότητες έχουμε W W= = Θεωρούμε το ενδεχόμενο ({ } { }) { } ( ) F w = P w w = P w w = F w w και η ασκ της W = είναι F ( w) F ( ww) W = Παραγωγίζοντας έχουμε την πυκνότητα της W f W ( w) ( ) ( ) F x F x = + x x= w x= w = w = w Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τότε F ( w) F ( w) F ( w) γίνεται f w = f w F w + f w F w W = η πυκνότητα W Παρατηρήστε ότι: οι κατανομές των minimum και mximum των τμ των και στην περίπτωση που και είναι ανεξάρτητες έχουν τις εξής συμμετρίες: Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 43
W W = = + SW w S w S w = min { } fw w f w S w f w S w = = + FW w F w F w = mx { } fw w f w F w f w F w Στην ακόμα πιο ειδική περίπτωση όπου οι και είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεμημένες (IID inepenent n ienticll istribute) εάν F η κοινή ασκ S η κοινή σε και f η κοινή σππ τότε W W = = SW w S w = min { } fw w f w S w = = FW w F w = mx { } fw w f w F w Άσκηση Δίνονται οι ανεξάρτητες εκθετικές τμ πυκνότητα της τμ W όταν: ~ Exp ( ) και ~ Exp b να βρεθεί η g( ) = g( ) = / 3 g( ) = min { } 4 g( ) = mx { } Άσκηση Εάν οι τμ και είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές δηλαδή έχουμε = N και C( ) = = τότε = Θα δείξουμε ότι N( ) = Θα δείξουμε ότι C( ) Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 44
Μετασχηματισμοί μαζών πιθανότητας Εάν είναι διακριτή τμ έτσι ώστε ~ p P{ } μετασχηματισμός = T( ) είναι αντιστρέψιμος 6 ( Ω) = = και ο στο χώρο καταστάσεων της τμ τότε ορίζουμε την μάζα της τμ με τον εξής τρόπο: p = p T και ο χώρος καταστάσεων της μετασχηματισμένης τμ είναι T( ) Ω = Ω Παράδειγμα Εάν η τμ ~ Po( λ ) ακολουθεί την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ και = T( ) = 3 τότε = T ( ) = ( + 3) και ( ( 3 ) ) p = p T = Po + λ λ ( 3) λ + + e = 3 = { 3 5 5 } ( + 3 )! Εάν = ( ) και ( ) = δύο από κοινού διακριτές δτμ που συνδέονται με τον αντιστρέψιμο μετασχηματισμό T : κατά την έννοια T Ω Ω Ω = T Ω Για κάθε x ( Ω) θα έχουμε T( x) x T ( ) συντεταγμένες: ( ) ( ) = = ή χρησιμοποιώντας ( ) = f x x x = g T : T : = f x x x = g ( ) 6 Δηλαδή το T είναι συνάρτηση Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 45
Τότε η συνάρτηση μάζας πιθανότητας p ( ) = P { = = } δίνεται από την σχέση ( ) = { = = } ( ) ( ) p P { } = P f = f = Λύνοντας το σύστημα ( ) ( ) f = f = f ( ) = ως προς παίρνουμε τη μοναδική λύση ( ) ( ) = g = g = g ( ) Έτσι μπορούμε να εκφράσουμε το από κοινού ενδεχόμενο { f( ) = f ( ) = } στη μορφή { = g( ) = g ( ) } Τελικά παίρνοντας πιθανότητες έχουμε: ( ) = ( ( ) ( )) p p g g Σ Ι Χατζησπύρος Πιθανότητες ΙΙ Εισαγωγή στην ολοκλήρωση 46