ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς (Θεώρηµα 3..3). Το κύριο αποτέλεσµα σχετίζεται µε το Κεφάλαιο και περιγράφει τη δοµή των απλών δακτυλίων του Art (Θεώρηµα Wedderbur-Art). Αυτοί είναι σηµαντικοί γιατί το πεπερασµένα ευθέα γινόµενά τους παρέχουν όλους τους ηµιαπλούς δακτυλίους. Στο κεφάλαιο 6 θα εφαρµόσουµε πολλές φορές το θεώρηµα των Wedderbur-Art. 3.. Πρότυπα της Noether και πρότυπα του Art. 3.. Ορισµός Ένα R-πρότυπο Μ λέγεται πρότυπο της Noether (αντίστοιχα, του Art) αν κάθε αύξουσα...(αντίστοιχα, φθίνουσα...) ακολουθία υποπροτύπων του γίνεται τελικά σταθερή, δηλαδή αν = + =... για κάποιο. Ένας δακτύλιος καλείται δακτύλιος της Noether (αντίστοιχα, του Art) αν ικανοποιεί την αντίστοιχη συνθήκη ως R-πρότυπο, δηλαδή αν κάθε αύξουσα (αντίστοιχα, φθίνουσα) ακολουθία ιδεωδών του R γίνεται τελικά σταθερή. Παραδείγµατα ) Ο δακτύλιος Z είναι της Noether, γιατί η µοναδική παραγοντοποίηση ενός a, ± σε γινόµενο πρώτων αριθµών σηµαίνει ότι το ιδεώδες (α) περιέχεται σε πεπερασµένου πλήθους ιδεώδη. (Για µια άλλη δικαιολόγηση, δες την Πρόταση 3.. () παρακάτω). Με παρόµοιο τρόπο, βλέπουµε ότι κάθε περιοχή κυρίων ιδεωδών είναι δακτύλιος της Noether. ) Ο Z δεν είναι του Art αφού () ( ) ( ).... 3) Κάθε πεπερασµένος δακτύλιος είναι και της Noether και του Art, γιατί το πλήθος των ιδεωδών είναι πεπερασµένο. Για τον ίδιο λόγο κάθε δακτύλιος διαίρεσης είναι 3

4 και της Noether και του Art. 4) Ο δακτύλιος των πολυωνύµων Z [ x, x,...] στις απείρου πλήθους µεταβλητές x,... δεν είναι ούτε της Noether ούτε του Art, γιατί έχουµε τις αλυσίδες x ιδεωδών ( x ) ( x, x ) ( x, x, x3)... και ( x ) ( x ) ( x ).... 3 3.. Πρόταση. Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα. () Το Μ είναι της Noether. () Κάθε µη κενό υποσύνολο προτύπων του Μ έχει µέγιστο στοιχείο. () Κάθε υποπρότυπο του Μ είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Απόδειξη: ( ) (). Έστω X ένα σύνολο υποπροτύπων του. Έστω. Αν το δεν είναι µέγιστο, τότε υπάρχει X µε. Αν το δεν είναι µέγιστο, τότε υπάρχει X µε. Συνεχίζουµε λαµβάνοντας µια αύξουσα ακολουθία υποπροτύπων του Μ. Από την υπόθεση αυτή κάπου τερµατίζει, = + =... Προφανώς το είναι µέγιστο στοιχείο του Χ. () (). Έστω Ν υποπρότυπο του Μ και Χ το σύνολο των πεπερασµένα παραγόµενων υποπροτύπων του Ν. Φυσικά X. Έστω N ένα µέγιστο στοιχείο του Χ σύµφωνα µε την υπόθεση. Θα δείξουµε ότι N = N. Αρκεί να δείξουµε N N : Έστω a N. Το πρότυπο N + a είναι πεπερασµένα παραγόµενο και N N + a. Άρα N + a = N, απ όπου παίρνουµε a N. Άρα N N. ( ) (). Έστω... µια αύξουσα ακολουθία υποπροτύπων του Μ. Το πρότυπο N = είναι πεπερασµένα παραγόµενο από την υπόθεση, N = a,..., a. Υπάρχουν m µε a, =,...,. Θέτοντας m m = max{ m,..., m } έχουµε = λόγω της αλυσίδας. Άρα m = m + =.... m Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται η εξής πρόταση. 3..3 Πρόταση. Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα. () Το Μ είναι του Art. () Κάθε µη κενό σύνολο υποπροτύπων του Μ έχει ελάχιστο στοιχείο.

43 Απόδειξη: Άσκηση. Συνεπώς σ ένα δακτύλιο της Noether (αντίστοιχα, του Art) κάθε µη κενό σύνολο ιδεωδών έχει µέγιστο (αντίστοιχα, ελάχιστο) στοιχείο. Επίσης σ ένα δακτύλιο της Noether κάθε ιδεώδες είναι πεπερασµένα παραγόµενο. 3..4 Πρόταση. Έστω f L N µια ακριβής ακολουθία R-προτύπων. Τότε το Μ είναι πρότυπο της Noether (αντίστοιχα, του Art) αν και µόνο αν τα L και Ν είναι πρότυπα της Noether (αντίστοχα, του Art). g Απόδειξη: Θα ασχοληθούµε µε πρότυπα της Noether µόνο καθώς η περίπτωση των προτύπων του Art είναι παρόµοια. Έστω ότι το Μ είναι της Noether. Θεωρούµε αύξουσες αλυσίδες L L... και N N... () υποπροτύπων του L και N αντίστοιχα. Παίρνουµε αντίστοιχες ακολουθίες υποπροτύπων του Μ f L ) f ( L )... και g N ) g ( N )..., () ( ( που τελικά είναι σταθερές λόγω της υπόθεσης στο Μ. Αν f ( L ) f ( ) =... = L + παίρνουµε L = + =..., γιατί ο f είναι µονοµορφισµός. Επίσης αφού το g είναι L ( m = m+ m m+ επιµορφισµός, έχουµε g N ) g ( N ) =... N = N =.... Αντίστροφα, έστω ότι τα L,N είναι της Noether, και έστω... αύξουσα ακολουθία υποπροτύπων του Μ. Απ αυτή παίρνουµε τις ακολουθίες f ) f ( )..., g ) g( )... ( που είναι τελικά σταθερές. Άρα υπάρχει µε ( = m + ( f ) f ( ) =..., g ( ) g( ) =.... = + Θα δείξουµε ότι = + =.... Έστω x k+, όπου k. Τότε g ( x) g( k+ ) = g( k ). Άρα g ( x) = g( y), για κάποιο y k. Συνεπώς g ( x y) = και x y ker g = Im f. Άρα x y Im f k+ και f ( x y) f ( k+ k ) = f ( ), απ όπου παίρνουµε x y k. Άρα x k. Αποδείξαµε

44 ότι k+ k, και συνεπώς k+ = k. Σύµφωνα µε τη µια κατεύθυνση της προηγούµενης πρότασης, οι ιδιότητες πρότυπο της Noether και πρότυπο του Art κληρονοµούνται στα υποπρότυπα και στα πηλίκα. 3..5 Πόρισµα. Έστω,..., R-πρότυπα. Τότε το είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art) αν και µόνο αν κάθε Art). = είναι της Noether (αντίστοιχα, του Απόδειξη: Επαγωγή στο. Για = το πόρισµα είναι προφανές. Έστω > και θεωρούµε την ακριβή ακολουθία π...... όπου a ) = ( a,,...,) και π a,..., a ) = ( a,..., a ), a. Από την Πρόταση ( ( 3..4, το... είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art) αν και µόνο αν τα και... είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art). Αλλά από την επαγωγική υπόθεση, το και µόνο αν τα,...,... είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art) αν είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art). 3..6 Πόρισµα. Κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι και της Noether και του Art. Απόδειξη: Επειδή κάθε απλό πρότυπο είναι προφανώς και της Noether και του Art, το ζητούµενο προκύπτει από το Πόρισµα 3..5 και την Παρατήρηση..4. 3..7 Πόρισµα. Έστω R ένας δακτύλιος της Noether (αντίστοιχα, του Art). Τότε κάθε πεπερασµένα παραγόµενα R-πρότυπο είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art). Απόδειξη: Έστω Μ ένα πεπερασµένα παραγόµενο R-πρότυπο. Τότε υπάρχει επιµορφισµός F, όπου το F είναι ελεύθερο και µάλιστα της µορφής F R, <. (Πρόταση.3. ) και η απόδειξή της). Από το Πόρισµα 3..5 το F είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art) και άρα (Πρόταση 3..4) το Μ είναι της Noether (αντίστοιχα, του Art). =

45 Σηµείωση: Το Πόρισµα 3..5 δεν ισχύει για = (γιατί;). Επίσης το Πόρισµα 3..7 δεν ισχύει γενικά για πρότυπα που δεν είναι πεπερασµένα παραγόµενα (γιατί;). 3.. Συνθετικές Σειρές. Έχοντας εισάγει στην προηγούµενη παράγραφο τις έννοιες του προτύπου της Noether και του προτύπου του Art, είναι εύλογο να ρωτήσουµε ποιά πρότυπα είναι και της Noether και του Art. Το θεώρηµα που θα αποδείξουµε εδώ χαρακτηρίζει τα προαναφερθέντα πρότυπα και θα εφαρµοστεί στην απόδειξη του Θεωρήµατος 4..4 του επόµενου κεφαλαίου. 3.. Ορισµός. Μια συνθετική σειρά ενός R-προτύπου Μ είναι µια (πεπερασµένη) ακολουθία υποπροτύπων του Μ... = = όπου κάθε πηλίκο / + είναι απλό πρότυπο. Παραδείγµατα ) Κάθε ηµιαπλός δακτύλιος έχει συνθετική σειρά: αν R = I... I, όπου κάθε I είναι απλό ιδεώδες (Παρατήρηση..4), τότε έχουµε τη συνθετική σειρά I I I... I... I = R. ) Μια συνθετική σειρά του Z -προτύπου Z 6 είναι και µία άλλη είναι Z Z 6 Z3 Z 6. Άρα οι όροι σε µια συνθετική σειρά δεν είναι µοναδικοί. Όµως το µήκος και τα διαδοχικά πηλίκα είναι. Ακριβέστερα ισχύει: 3.. Θεώρηµα (Jorda Hölder). Έστω δύο συνθετικές σειρές του Μ Τότε m... =... =. m = και υπάρχει µετάθεση π, έτσι ώστε

46 / + π ( ) / π ( ) +. Η απόδειξη του προηγούµενου θεωρήµατος είναι λέξη προς λέξη ίδια για τις οµάδες που περιέχεται σε κάθε εισαγωγικό βιβλίο θεωρίας οµάδων και δεν θα µας απασχολήσει εδώ. εν θα χρησιµοποιήσουµε το προηγούµενο θεώρηµα παρά µόνο σε ασκήσεις. Ερχόµαστε τώρα να απαντήσουµε στο ερώτηµα που θέσαµε πριν. 3..3 Θεώρηµα. Ένα πρότυπο έχει συνθετική σειρά αν και µόνο αν είναι πρότυπο και της Noether και της Art. Απόδειξη: Θα δώσουµε µια απόδειξη ανεξάρτητη από το θεώρηµα Jorda-Hölder. " " Έστω ότι το Μ έχει συνθετική σειρά και έστω το µήκος της. Θα εφαρµόσουµε επαγωγή στο ξεκινώντας από την τετριµµένη περίπτωση =. Έστω και η συνθετική σειρά... =. = Από το 3ο θεώρηµα ισοµορφισµών προτύπων (Πρόταση..3. ) διαπιστώνουµε ότι =... είναι µια συνθετική σειρά του /. Αφού το µήκος είναι, η επαγωγική υπόθεση δίνει ότι το / είναι πρότυπο και της Noether και του Art. Το ίδιο = συµβαίνει και για το (γιατί είναι απλό). Από την ακριβή ακολουθία / και την Πρόταση 3..4 συµπεραίνουµε ότι το Μ είναι και της Noether και του Art. " " Έστω ότι το Μ είναι και της Noether και του Art. Έστω ότι δεν είναι απλό. Κατασκευάζουµε µια συνθετική σειρά κατά τον ακόλουθο προφανή τρόπο: Έστω µέγιστο γνήσιο υποπρότυπο του Μ (υπάρχει τέτοιο λόγω της Πρότασης 3..) οπότε το πηλίκο / είναι απλό. Αν το δεν είναι απλό, έστω ένα µέγιστο γνήσιο υποπρότυπο του (υπάρχει, γιατί το ως υποπρότυπο προτύπου της Noether είναι της Noether-Πρόταση 3..4) οπότε το πηλίκο / είναι απλό. Συνεχίζουµε... =. Η διαδικασία τερµατίζει µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων γιατί το Μ είναι

47 πρότυπο του Art. 3.3. Απλοί δακτύλιοι του Art. Υπενθυµίζουµε ότι ο δακτύλιος (D),όπου D δακτύλιος διαίρεσης είναι απλός (Λήµµα.3.) και δακτύλιος του Art (Πόρισµα 3..6). Ποιοί είναι οι απλοί δακτύλιοι του Art; Το Θεώρηµα των Wedderbur-Art λέει ότι πέρα από τους (D) δεν υπάρχουν άλλοι. Στο θεώρηµα αυτό θα δώσουµε διάφορους χαρακτηρισµούς των απλών δακτυλίων του Art και για το λόγο αυτό χρειαζόµαστε τον εξής ορισµό. Υπενθυµίζουµε ότι αν Μ είναι ένα R-πρότυπο, ο µηδενιστής του Μ είναι A = { r R rm =, m }. Το A είναι ένα αµφίπλευρο ιδεώδες του. Ένα R-πρότυπο λέγεται πιστό αν A =. Για παράδειγµα, κάθε µη µηδενικό πρότυπο πάνω από δακτύλιο διαίρεσης είναι πιστό. Πιο γενικά, κάθε µη µηδενικό πρότυπο Μ πάνω από απλό δακτύλιο R είναι πιστό, αφού το A είναι µη µηδενικό αµφίπλευρο ιδεώδες του R και άρα τετριµµένο. Για m >, το πρότυπο. Z m δεν είναι πιστό Z - 3.3. Θεώρηµα (Wedderbur-Art). Για ένα δακτύλιο R τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: ) R είναι απλός δακτύλιος του Art ) R έχει απλό πιστό πρότυπο και είναι δακτύλιος του Art. 3) R, για κάποιο απλό πρότυπο Μ 4) R είναι ηµιαπλός και όλα τα απλά πρότυπα είναι ισόµορφα 5) R (D), όπου D είναι δακτύλιος διαίρεσης Απόδειξη: ) ). Παρατηρούµε ότι αν είναι ένα R-πρότυπο, τότε A =, γιατί το A είναι ένα µη µηδενικό αµφίπλευρο ιδεώδες του απλού δακτυλίου R. Έστω τώρα ένα υποπρότυπο του R. Aν το Μ είναι απλό, δεν

48 υπάρχει τίποτα να αποδείξουµε. Αν όχι, τότε υπάρχει, µε απλό. Αν το είναι απλό δεν υπάρχει κάτι να αποδείξουµε. Αν όχι, συνεχίζουµε. Με τον τρόπο αυτό λαµβάνουµε µια φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών... Από την υπόθεση του Art, η ακολουθία αυτή είναι της µορφής Το απλό.... ) 3) Έστω Μ πιστό και απλό. Θα δείξουµε ότι ο R είναι ισόµορφο µε υποπρότυπο του k για κάποιο k και άρα είναι ισόµορφο µε για κάποιο k. Θεωρούµε όλους του R-οµοµορφισµούς k R, όπου k, και επιλέγουµε έναν µε ελάχιστο πυρήνα, έστω f k : R. (Η υπόθεση της συνθήκης του Art το επιτρέπει, Πρόταση 3..3). Ισχυριζόµαστε ότι ο f είναι µονοµορφισµός. Πράγµατι αν f ( r) = µε r, τότε υπάρχει m µε rm, γιατί το Μ είναι πιστό. Ορίζουµε έναν οµοµορφισµό k g : R, x ( f ( x), xm). Ισχύει ker g ker f, γιατί r ker g. Αυτό είναι άτοπο. Έτσι ο f είναι µονοµορφισµός. 3) 4) Ο R είναι ηµιαπλός από την Πρόταση... Ότι όλα τα απλά πρότυπά του είναι ισόµορφα έπεται για παράδειγµα, από την παρατήρηση ότι κάθε απλό πρότυπο είναι της µορφής πηλίκο του R / I (Ι µέγιστο ιδεώδες του R, άσκηση.) και συνεπώς είναι, και άρα είναι ισόµορφο µε το Μ. 4) 5) Πρόταση.3.4. 5) ) Λήµµα.3. και Πόρισµα 3..6. Είδαµε ότι κάθε απλός δακτύλιος του Art είναι ηµιαπλός. Στο επόµενο παράδειγµα έχουµε έναν απλό δακτύλιο που δεν είναι ηµιαπλός. 3.3. Παράδειγµα Θεωρούµε την άλγεβρα { x, y} C των πολυωνύµων στις µη

49 µεταθετικές µεταβλητές,. παράγεται από το yx xy ηµιαπλός. x y Έστω I το αµφίπλευρο ιδεώδες του { x, y} και { } C που R = C xy, / I. Τότε ο R είναι απλός αλλά όχι Περιγράφουµε παρακάτω τα κύρια βήµατα της απόδειξης και αφήνουµε τις λεπτοµέρειες για άσκηση. Με Χ,Υ συµβολίζουµε τις εικόνες x + I, y+ I των x, y αντίστοιχα στο R. Τότε έχουµε τη σχέση YX XY =. m. Ως διανυσµατικός χώρος ο R παράγεται από τα µονώνυµα X Y, m,... m m + m YX Y = X Y + mx Y για κάθε m,. Y X = XY + Y για κάθε. 3. Έστω I ένα αµφίπλευρο ιδεώδες του R και f I, f. Έστω Z m = X Y το µονώνυµο µεγίστου βαθµού που εµφανίζεται στο f (σε µια ανάλυση του f που προβλέπεται από το.) ως προς τη διάταξη XY XY ) a< c ή ) a = c και b d. a b c d Ορίζουµε τα εξής στοιχεία του Ι. X = YZ ZY X = YX X Y... X = YX X Y m m m Τότε χρησιµοποιώντας τη σχέση. προκύπτει ότι το του Y βαθµού (δεν εµφανίζεται Χ). X m είναι πολυώνυµο 4. Με τους προηγούµενους συµβολισµούς ορίζουµε τα εξής στοιχεία του Ι. Y = XmX XX Y = Y X XY... Y = Y X XY m. Τότε χρησιµοποιώντας το. και 3. προκύπτει ότι το Y είναι µια µη µηδενική σταθερά και άρα I = R. Συνεπώς ο R είναι απλός δακτύλιος. 5. Ο R δεν είναι ηµιαπλός. Πράγµατι, από το Πόρισµα 3..6 αρκεί να δείξουµε Μια βάση διανυσµατικού χώρου { x, y} a, b. Ο πολλαπλασιασµός της άλγεβρας C{ x, y} a b a b k k C αποτελεί το σύνολο των λέξεων x y... x y, όπου δίνεται από την παράθεση λέξεων.

5 ότι ο R δεν είναι δακτύλιος του Art. Έχουµε την αλυσίδα ιδεωδών ( Y) ( Y ) ( Y 3 ).... Σηµείωση: Θεωρούµε την άλγεβρα C [ x] των πολυωνύµων µιας µεταβλητής. Αποδεικνύεται ότι η άλγεβρα R του παραδείγµατος είναι ισόµορφη µε την υποάλγεβρα Β της Ed ( [ x] ) C C που παράγεται από τις γραµµικές απεικονίσεις ) h = πολλαπλασιασµός µε το x και ) d = παραγώγιση ως dx προς x. Ο δε ισοµορφισµός R B επάγεται από την αντιστοιχία d X h, Y. Από τον κανόνα του γινοµένου της παραγώγου έχουµε dx d d h h = C [ x ], πράγµα που εξηγεί τη σχέση YX XY = στο R. dx dx Η άλγεβρα Β είναι ένα παράδειγµα των αλγεβρών Weyl (βλ. J.A.Beachy, Itroductory lectures o Rgs ad odules, Cambrdge Uv. Press, 999). Αυτές έχουν σηµαντικές εφαρµογές στην Άλγεβρα, Ανάλυση και Κβαντική Φυσική. Ασκήσεις. Θεωρώντας αύξουσες αλυσίδες δεξιών ιδεωδών ορίζεται η έννοια του δακτυλίου που είναι δεξιά της Noether. Αποδείξετε ότι ο δακτύλιος a b a Z, b, c Q c είναι δεξιά της Noether αλλά όχι αριστερά της Noether.. Αν ο R είναι δακτύλιος της Noether (αντίστοιχα, Art) τότε ( R ) είναι της Noether (αντίστοιχα Art). 3. ) Έστω f : µονοµορφισµός όπου Μ είναι πρότυπο του Art. Τότε ο f είναι ισοµορφισµός. ) Έστω f : επιµορφισµός όπου Μ είναι πρότυπο της Noether. Τότε ο f είναι ισοµορφισµός.

5 Υπόδειξη: Im f Im f.... και ker f ker f... 4. Αν το Μ έχει συνθετική σειρά, ονοµάζουµε το µήκος του Μ (συµβολικά ( ) ) το µήκος της. Είναι καλά ορισµένο από το θεώρηµα Jorda-Hölder. Aν η ακολουθία R-προτύπων... είναι ακριβής και κάθε έχει συνθετική σειρά, τότε ( ) ( ) =. = 5. Έστω N, N υποπρότυπα του Ν που έχει συνθετική σειρά τότε, ) N + N ) = ( N ) + ( N ) ( N ) ( N ) N / N N ) = ( N / N ) + ( N / N ) ( N / N + ). ( N 6. Ποιό είναι το µήκος του ( H ) ως ( ) H πρότυπο; Ως H -πρότυπο; Ως C - πρότυπο; 7. Έστω R µία C -άλγεβρα και Μ ένα απλό R-πρότυπο µε dmc <. Αποδείξτε ότι: ) Ed ( ) = C R ) H απεικόνιση R EdC ( ), r πολλαπλασιασµός µε το r, είναι επί. Υπόδειξη: για το ) εφαρµόστε το θεώρηµα Wedderbur-Art θεωρώντας το Μ ως πιστό R / A -πρότυπο. 8. Αληθεύει ότι κάθε απλός δακτύλιος του Art έχει πεπερασµένο πλήθος ιδεωδών; Υπόδειξη: R= ( ). 9. Έστω R ένας δακτύλιος της Noether και ab, R τέτοια ώστε ab =. Αποδείξτε ότι ba =. Υπόδειξη: ος τρόπος: A b ( ) A( b )... όπου A( b) { r R rb } = =. ος τρόπος: άσκηση 3 ).

5. (Λήµµα του Fttg) Έστω Μ ένα R-πρότυπο µήκους (βλ. άσκηση 4). Αποδείξτε ότι για κάθε f Ed, έχουµε Im( f ) ker( f ). R. Ένα πρότυπο λέγεται µη αναλύσιµο αν κάθε µη µηδενικό γνήσιο υποπρότυπό του δεν είναι ευθύς προσθετέος του. Για παράδειγµα, το Z είναι µη αναλύσιµο Z - πρότυπο ενώ το Z 6 δεν είναι µη αναλύσιµο Z -πρότυπο αφού Z6 Z Z 3. Έστω Μ ένα µη αναλύσιµο R-πρότυπο µε µήκος (βλ. άσκηση 4) και f Ed. Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες. R. η f είναι -. η f είναι επί 3. η f δεν είναι µηδενοδύναµη. Υπόδειξη: άσκηση.. ) Αληθεύει ότι κάθε µη µηδενικό R -πρότυπο περιέχει γνήσιο µεγιστικό υποπρότυπο; ) Αληθεύει ότι κάθε µη µηδενικό R -πρότυπο περιέχει ελάχιστο µη µηδενικό µεγιστικό υποπρότυπο; 3. ώστε ένα παράδειγµα δακτυλίου του Art που δεν έχει απλό πιστό πρότυπο. Υπόδειξη: Βλ Θεώρηµα 3..3 και θεωρείστε το δακτύλιο Z m για κατάλληλο m.