Τ.Ε.Ι ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Του ΝΤΑΤΑΛΙΚΑ ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ Α.Μ. : 374 Πτυχιακή εργασία που υποβάλλεται προς μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων για την απόκτηση του πτυχίου Επόπτης Καθηγητής : Μαγκαφάς Λυκούργος ΚΑΒΑΛΑ 008
ΠΕΡΙ ΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 8 Κεφάλαιο : Εισαγωγή στα φίλτρα. Οι συναρτήσεις των κυκλωμάτων..9. Τοπολογική θεώρηση των κυκλωμάτων...4.. Νόμος ρευμάτων Kirchhoff....4.. Νόμος τάσεων Kirchhoff....5..3 Το θεώρημα του Tellegen...6.3 Η θετική πραγματική ιδιότητα...7.4 Κλιμακώσεις και κανονικοποίηση.9.4. Κλιμάκωση αντίστασης (impedance scaling).9.4. Κλιμάκωση συχνότητος (frequency scaling)...4.3 Κανονικοποίηση (normalization).5 Ιδανική μετάδοση χωρίς παραμόρφωση 7.6 Ιδανικά και πραγματικά φίλτρα.9.7 Τοπολογίες και τεχνολογίες φίλτρων.33.8 Τάξη κυκλώματος..34.9 Ευαισθησία 36.9. Ορισμός της ευαισθησίας 38.9. Ιδιότητες της ευαισθησίας ης τάξης...40.9.3 Αποκλίσεις λόγω ταυτόχρονης μεταβολής πολλών στοιχείων 4 Κεφάλαιο : Ενεργά φίλτρα R ης τάξης. Εισαγωγή...43. Συναρτήσεις μεταφοράς ης τάξης.44.. Βαθυπέρατη συνάρτηση μεταφοράς ης τάξης...45.. Υψιπερατή συνάρτηση μεταφοράς ης τάξης 48..3 Ζωνοδιαβατή συνάρτηση μεταφοράς ης τάξης.50..4 Συνάρτηση αποκοπής ζώνης ης τάξης..5..5 Ολοπερατή συνάρτηση ης τάξης..53.3 Ενεργά-RC κυκλώματα ης τάξης.54.3. Κλιμάκωση αντίστασης και συχνότητας...54.3. Ο μετασχηματισμός RC-CR ή ΒΠ-ΥΠ..55.4 Κυκλώματα Sallen and Key...56.4. Βαθυπερατό Φίλτρο ης τάξης Sallen and Key..56.4. Ενεργό ΥΠ φίλτρο ης τάξης Sallen and Key 59.4.3 Το ζωνοδιαβατό Sallen and Key 59.5 Κυκλώματα Δεληγιάννη 6.6 Κυκλώματα πολλαπλής ανάδρασης (Multiple Feedback,MF)...64.6. Βαθυπερατά φίλτρα πολλαπλής ανάδρασης..64.6. Υψιπερατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης 65.6.3 Ζωνοδιαβατό φίλτρο πολλαπλής ανάδρασης.65
.6.4 Φίλτρο αποκοπής ζώνης τύπου notch πολλαπλής ανάδρασης...66.7 Άλλα κυκλώματα ης τάξης....67.7. Το διττετράγωνο κύκλωμα GIC.67.8 Κυκλώματα 3 τελεστικών ενισχυτών.69.8. Το κύκλωμα Tow-Thomas.69.8. Το κύκλωμα KHN (Kerwin-Huelsman-Newcomb)...73.8.3 Το παγκόσμιο (universal) κύκλωμα...74.9 Δημιουργία μηδενικών...76 Κεφάλαιο 3:Σχεδίαση ενεργών-rc φίλτρων(σύνθεση της συνάρτησης μεταφοράς) 3. Εισαγωγή...8 3. Σχεδίαση ενεργών-rc βαθυπερατών (ΒΠ) φίλτρων.83 3.3 Σχεδίαση ενεργών-rc υψιπερατών (ΥΠ) φίλτρων...90 3.4 Σχεδίαση ενεργών-rc ζωνοδιαβατών (ΖΔ) φίλτρων 95 3.4. Μετασχηματισμός ΒΠ-ΖΔ πραγματικού πόλου s= -ωr..97 3.4. Μετασχηματισμός ΒΠ-ΖΔ φανταστικού ζεύγους μηδενικών s=± jωz... 97 3.4.3 Μετασχηματισμός ΒΠ-ΖΔ ζεύγους συζυγών μιγαδικών πόλων σp =± jωp....97 3.5 Σχεδίαση ενεργών RC φίλτρων αποκοπής ζώνης (ΑΖ)...04 3.5. Μετασχηματισμός ΒΠ-ΑΖ πραγματικού πόλου s= -ωr 05 3.5. Μετασχηματισμός ΒΠ-ΑΖ ζεύγους συζυγών μιγαδικών πόλων σq ± jωq...06 Κεφάλαιο 4: Παθητικά Φίλτρα 4. Δίθυρα κυκλώματα..4 4.. Περιγραφή με την μήτρα Ζ (Παράμετροι αντιστάσεων με ανοιχτοκυκλώματα).5 4.. Περιγραφή με την μήτρα Υ (Παράμετροι μιγαδικών αγωγιμοτήτων με βραχυκυκλώματα) 6 4..3 Περιγραφή με την μήτρα Ι (Παράμετροι μετάδοσης αλυσίδας ή παράμετροι ABCD).8 4..4 Περιγραφή με την μήτρα h (Υβριδικές παράμετροι)...9 4..5 Περιγραφή με την μήτρα g (Αντίστροφες υβριδικές παράμετροι)...0 4..6 Ισοδυναμία παραμέτρων.. 4..7 Ισοδυναμία διθύρων. 4..8 Σύνθεση διθύρων.4 4..9 Χρήσιμες συναρτήσεις διθύρων..6 4. Δυικά κλιμακωτά κυκλώματα..7 4.3 Ισχύς και Προσαρμογή 8 4.4 Οι ενεργές παράμετροι (παράμετροι μετάδοσης) 34 4.4. Η ενεργός εξασθένηση.35 4.4. Η ανακλώμενη ισχύς και ο συντελεστής ανάκλασης ρ(s)...36 4.4.3 Η συνάρτηση μετάδοσης Τ(s) και η χαρακτηριστική συνάρτηση K(s)...37 4.4.4 Σχέση T(s) και P(s)..38 4.5 Η Διαδικασία Σύνθεσης Παθητικών Φίλτρων.40 4.6 Υπολογισμός της Ζ(s) από την Τ(s) ή την P(s)...4 4.6. Υπολογισμός της Ζ(s) από τον συντελεστή ανάκλασης ρ(s)..4 4.6. Υπολογισμός της Ζ(s) από την Τ(s) μέσω των παραμέτρων ABCD..44
Κεφάλαιο 5: Σύνθεση και Σχεδίαση Παθητικών Φίλτρων 5. Προδιαγραφές παθητικών φίλτρων..54 5. Η προσέγγιση Butterworth...57 5.. Υπολογισμός των τιμών με ανάλυση...6 5.. Η συνάρτηση μετάδοσης Τ(s) των κανονικοποιημένων ΒΠ Butterworth...65 5..3 Συναρτήσεις μετάδοσης προτύπων βαθυπερατών φίλτρων Butterworth.67 5..4 Υπολογισμός των φίλτρων Butterworth με σύνθεση...68 5.3 Η προσέγγιση Chebyshev 7 5.3. Υπολογισμός των τιμών με ανάλυση...78 5.3. Η συνάρτηση μετάδοσης Τ(s) των κανονικοποιημένων ΒΠ Chebyshev.80 5.3.3 Υπολογισμός των φίλτρων Chebyshev με σύνθεση 8 5.4 Σχεδίαση ΒΠ φίλτρων με βοηθήματα..89 5.4. Νομογράμματα και κατάλογοι φίλτρων Butterworth...89 5.4. Νομογράμματα και κατάλογοι βαθυπερατών φίλτρων Chebyshev.9 5.5 Μετασχηματισμοί συχνότητας.94 5.5. Σχεδίαση παθητικών υψιπερατών φίλτρων..94 5.5. Σχεδίαση παθητικών ζωνοδιαβατών φίλτρων..97 5.5.3 Σχεδίαση παθητικών φίλτρων Αποκοπής Ζώνης (ΑΖ) 0 5.5.4 Μη συμμετρικές (ασύμμετρες) προδιαγραφές ΖΔ και ΑΖ...05
Εισαγωγή Οι δύο µεγάλοι κλάδοι της Θεωρίας ικτύων ή Κυκλωµάτων (Network ή Circuit Theory) είναι η ανάλυση και η σύνθεση. Στην ανάλυση στόχος είναι ο υπολογισµός των µεταβλητών (π.χ.τάσεων και ρευµάτων) δεδοµένου κυκλώµατος κάτω απο δεδοµένες συνθήκες διέγερσης. Αντίθετα, στη σύνθεση, δεδοµένα είναι η διέγερση και η απόκριση (ή µεταξύ τους σχέση σε µορφή ενός συνόλου προδιαγραφών) και ο στόχος είναι ο προσδιορισµός του κυκλώµατος. Χαρακτηριστικό της ανάλυσης κυκλωµάτων είναι ότι στα επιλύσιµα κυκλώµατα οδηγεί σε µια µοναδική λύση. Αντίθετα η σύνθεση µπορεί να µην οδηγήσει σε καµµιά λύση (µη πραγµατοποιήσιµες προδιαγραφές) ή να οδηγεί σε πολλές λύσεις, απο τις οποίες είναι δυνατόν να επιλεγεί η βέλτιστη υπό συγκεκριµένα κριτήρια (π.χ. κόστος, κατανάλωση ισχύος, ευαισθησία, καταλληλότητα για µια συγκεκρι- µένη τεχνολογία κ.λπ.). Θα έλεγε κανείς ότι η σύνθεση είναι η βασική δουλειά του Ηλεκτρονικού Μηχανικού, όπως η µελέτη και κατασκευή µιας γέφυρας, είναι η δουλειά του Πολιτικού Μηχανικού, ο οποίος σπάνια καλείται να αναλύσει µια υπάρχουσα κατασκευή, να υπολογίσει δηλ. εκ των υστέρων τις ροπές και τις τάσεις σε κρίσιµα σηµεία της. Συνήθως µε δεδοµένες τις προδιαγραφές του έργου, συνθέτει, σχεδιάζει και µελετάει την δοµή πριν κατασκευαστεί. Καλός µηχανικός είναι αυτός που µελετάει και σχεδιάζει στο χαρτί µια κατασκευή (µια γέφυρα ή ένα φίλτρο) έτσι που εκτός από το να πληροί τις προδιαγραφές: να µην υπάρχει αβεβαιότητα για το αν η συµπεριφορά του υλοποιηµένου έργου θα είναι ακριβώς αυτή που έχει υπολογιστεί από την µελέτη, η υλοποίηση να µπορεί να ανατεθεί σε κοινό τεχνικό προσωπικό Ο στόχος της σύνθεσης και σχεδίασης κυκλωµάτων είναι να οδηγεί µε σιγουριά στο επιθυµητό αποτέλεσµα ώστε να µην περιµένει κανείς την υλοποίηση ώστε να επιβεβαιωθεί η ορθότητα. Η κατασκευή ενός πρωτοτύπου ή η προσοµοίωση σε υπολογιστή αποτελεί απλά το "δεύτερο µάτι" και ποτέ δεν δείχνει κάτι διαφορετικό από αυτό που έχει προβλέψει µια σωστή σχεδίαση. Εις το παρελθόν, αλλά και σήµερα από κάποιους τεχνίτες, η σύνθεση κυκλωµάτων γινόταν ευριστικά, δηλ. µε την µέθοδο trial and error, αρχίζοντας από ένα δοκιµαστικό κύκλωµα, µε προβλέψεις που στηρίζονταν στην εµπειρία και την στιγµιαία έµπνευση του σχεδιαστή. Μια τέτοια προσέγγιση, εκτός απο το ότι είναι αδύνατο να διδαχτεί (και ότι δεν διδάσκεται είναι εν πολλοίς άχρηστο), στερεί την δυνατότητα συστηµατικής εξεύρεσης πολλών λύσεων, από τις οποίες µπορεί να επιλεγεί η καλύτερη. Η ευριστική µέθοδος µπορεί µετά από πολλή προσπάθεια να δώσει ένα κύκλωµα, που κάνει πρωτογενώς τη δουλειά, όπως την προσδιορίζουν οι προδιαγραφές, δεν παρέχει όµως την δυνατότητα προσδιορισµού του βέλτιστου κυκλώµατος. Η µη συστηµατικότητά της, ανάγει την σύνθεση σε µια µυστηριώδη διαδικασία, σαν αυτές που στο παρελθόν έδιναν στους αρχιτεχνίτες την αίγλη ανάµεσα στα νεαρά µέλη της συντεχνίας. Η σύνθεση κυκλωµάτων έχει εδώ και πολλά χρόνια συστηµατικοποιηθεί σε αρκετά µεγάλο βαθµό έτσι ώστε να µπορεί να διδάσκεται χωρίς µυστικισµό και απαίτηση ειδικού ταλέντου, αλλά µόνο ειδικών γνώσεων, πολλές από τις οποίες παρουσιάζονται στις σηµειώσεις αυτές, προσφέροντας τις απαραίτητες µεθόδους για την σύνθεση και σχεδίαση παθητικών και ενεργών φίλτρων. Πολλές από τις διαδικασίες σύνθεσης και σχεδίασης φίλτρων, είτε έχουν τυποποιηθεί και συµπεριληφθεί σε εξειδικευµένα προγράµµατα ή είναι δυνατόν να απλοποιηθούν µε την χρήση πακέτων λογισµικού. Με την χρήση λογισµικού ανάλυσης και προσοµοίωσης κυκλωµάτων καθώς και µαθηµατικού λογισµικού, η επίλυση κάποιων προβληµάτων µηχανικού ανάγεται στην απλή γνώση των κατάλληλων πληκτρισµών. Βέβαιο όµως είναι ότι όποιος δεν γνωρίζει µαθηµατικά δεν µπορεί να χρησιµοποιήσει αποτελεσµατικά τα παντοδύναµα σύγχρονα µαθηµατικά πακέτα όπως το MATLAB ή το Mathcad, τα οποία φυσικά αδυνατούν να καλύψουν τις µαθηµατικές αδυναµίες των χρηστών. Ούτε είναι σε θέση ένας ανίδεος να αξιοποιήσει τις δυνατότητες προγραµµάτων ανάλυσης / προσοµοίωσης όπως το PSpice, το οποίο µπορεί να κάνει τα πάντα, για όποιον έχει την απαιτούµενη θεωρητική υποδοµή. Η αξία των εξειδικευµένων προγραµµάτων έγκειται στην επέκταση των ορίων που θέτουν οι υπολογισµοί µε το χέρι και η αχρηστία τους καταδεικνύεται όταν ένα πρόβληµα πρέπει να λυθεί άµεσα σε τόπο που δεν υπάρχει υπολογιστής, όπως για παράδειγµα σε ένα εργοτάξιο ή σε µια αίθουσα εξετάσεων... Θα προσφύγουµε πολλές φορές στο PSpice για την επίλυση προβληµάτων ανάλυσης / προσοµοίωσης και στο Mathcad, το οποίο βρίσκουµε πιό πρακτικό και εύχρηστο από το MATLAB, για την θεωρητική επίλυση προβληµάτων ηλέκτρονικού µηχανικού. Θεωρώντας εποµένως δεδοµένη την γνώση χρήσης του PSpice και του Mathcad, θα προσφύγουµε πολλές φορές σ αυτά για την γρήγορη και εποπτική επίλυση σχετικών προβληµάτων.
Κεφάλαιο Εισαγωγή στα φίλτρα. Οι συναρτήσεις των κυκλωµάτων Ας θεωρήσουµε ένα γραµµικό κύκλωµα µε διακριτά στοιχεία όπως στο σχήµα., που έχει n+ κόµβους που συνδέονται µεταξύ τους µε ένα η περισσότερους κλάδους, ο καθένας από τους οποίους είναι απλός, δηλ. R, C ή L. Οι κόµβοι αριθµούνται από 0 έως n και ο κόµβος µε n=0 θεωρείται ως κόµβος αναφοράς. Το κύκλωµα θεωρούµε ότι δέχεται διεγέρσεις µε την µορφή ρευµάτων J k σε µερικούς ή όλους τους κόµβους του. Ο κάθε κόµβος έχει ένα δυναµικό V k ως προς έναν κόµβο αναφοράς, τον οποίο εδώ συµβολίζουµε µε γείωση. Με τις θεωρήσεις αυτές µπορούµε να γράψουµε n εξισώσεις µε n άγνωστα δυναµικά V k, που είναι γνωστές ως εξισώσεις κόµβων, ως εξής: Y Y Y 3... Y k... Y n V J Y Y Y 3... Y k... Y n V J.............. Y k Y k Y k3... Y kk... Y kn.. V k.. J k (.).................. Y n Y n Y n3... Y nk... Y nn V n J n ΣΧΗΜΑ. Oλες οι ποσότητες Y ij, V i και J i είναι µετασχηµατισµένες κατά Laplace και εποµένως συναρτήσεις του s: Y ij (s), V i (s) και J i (s). Οι όροι Y kλ είναι τα αθροίσµατα των αγωγιµοτήτων των κλάδων που είναι συνδεµένοι µεταξύ των κόµβων k και λ, που φυσικά θα είναι της µορφής: Y kλ j R i % s j C i % s j L i 9
δηλ. ρητές συναρτήσεις του s. Αντίστοιχη είναι και η µορφή των ιδίων αγωγιµοτήτων Y kk (k=,..n) µε την διαφορά ότι για κάθε k αθροίζονται µόνον οι αγωγιµότητες των κλάδων που είναι συνδεµένοι στον κόµβο k. Στο κύκλωµα για παράδειγµα του παρακάτω σχήµατος, αν γράψουµε τις εξισώσεις κόµβων παίρνουµε: ΣΧΗΜΑ. R % s & s 0 V J & s R 3 % s % sc 4 % sl 3 & sc 4 V J 0 & sc 4 R 5 % sc 4 Η εξίσωση αυτή είναι της µορφής της. και όλα τα στοιχεία της µήτρας είναι ρητές συναρτήσεις του s της µορφής της σχέσης.. Απο τις γενικές εξισώσεις κόµβων. είναι δυνατός ο προσδιορισµός οποιασδήποτε τάσης κόµβου µε τον κανόνα του Cramer. Για παράδειγµα: V k (s) k (s) (.3α) (s) J (s) % k (s) (s) J (s) %...% nk (s) (s) J n (s) όπου (s) είναι η ορίζουσα της µήτρας µε στοιχεία τα Υ kλ όπως εµφανίζονται στην παραπάνω εξίσωση και kλ ο συµπαράγοντας kλ, δηλ. η ορίζουσα (s) χωρίς τη σειρά k και τη στήλη λ, πολλαπλασιασµένη επι τον όρο (-) k+λ. Ας θεωρήσουµε τώρα κυκλώµατα µε µια µόνο διέγερση στον κόµβο, δηλ. µόνο το J 0 και όλα τα J k =0 για k. Τότε φυσικά η σχέση.3α δίνει: V k (s) k (s) J (.3β) (s) (s) Απο τη σχέση αυτή µπορούµε να ορίσουµε την µετασχηµατισµένη (µιγαδική) αντίσταση µεταφοράς Ζ k (s) µεταξύ κόµβου και k : Z k V k (s) J (s) k (s) (s) V 3 0 (.3γ) Φυσικά, αφού οι παράγοντες Y kλ (s) είναι ρητές συναρτήσεις του s και οι ορίζουσες k (s) και (s) υπολογίζονται µε προσθαφαιρέσεις και πολλαπλασιασµούς, αυτό σηµαίνει ότι οι όροι k (s), (s) και φυσικά Ζ k (s) είναι ρητές συναρτήσεις του s. Για k= έχουµε ότι: V (s) (s) (s) J (s) και µπορούµε να ορίσουµε έτσι την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Ζ (s) του κυκλώµατος µεταξύ κόµβου, που εφαρµόζεται η διέγερση και κόµβου αναφοράς (γείωσης): Z (s) V (s) J (s) (s) (s) (.4) Η Z (s) είναι κι αυτή ρητή συνάρτηση του s. Ρητή συνάρτηση του s θα είναι επίσης και η αντίστροφη συνάρτηση, η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος: 0
Y (s) Z & (s) J (s) V (s) (s) (s) Οι οδηγούσες εποµένως συναρτήσεις αντίστασης και αγωγιµότητας, όπως ορίστηκαν για την γενική περίπτωση κυκλωµάτων RLC, είναι ρητές συναρτήσεις του s. Αποδεικνύεται ότι το ίδιο ισχύει και αν το κύκλωµα περιλαµβάνει τελεστικούς ενισχυτές, αµοιβαίες επαγωγές και µετασχηµατιστές, αφού τα στοιχεία αυτά αντιµετωπίζονται µε αντίστοιχα γραµµικά µοντέλα. ΕΦΑΡΜΟΓΗ. ΣΧΗΜΑ.3 Γράφοντας για το κύκλωµα του σχήµατος.3 τις εξισώσεις των κόµβων µε κόµβο αναφοράς την γείωση παίρνουµε: % sc & s 0 R & s R 3 % s % sc 4 % sl 3 & sc 4 0 & sc 4 R 5 % sc 4 V V V 3 J 0 0 Σύµφωνα µε τα παραπάνω (σχέση.4), η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου µεταξύ κόµβου και γής θα είναι: Z (s) (s) (s) Οι σχετικοί υπολογισµοί δίνουν τελικά : 0 / 0 0 / % s % sc 4 % R 3 sl 3 & sc 4 / 0 & sc 4 % sc R 4 5 % sc & s 0 & s R 3 % s % sc 4 % sl 3 & sc 4 0 & sc 4 R 5 % sc 4 / 0 µε : Z (s) A s3 % B s % C s% D A s 3 % B s % s% D
A R R 3 R 5 L 3 C 4 B R L 3 (R 3 C 4 % R 5 C 4 % R 3 ) C R (L 3 %R 3 R 5 C 4 ) D R R 3 A L 3 C 4 (R R 3 % R R 5 % R 5 R 3 ) B R 5 C 4 L 3 % R 3 L 3 ( % C 4 )% R L 3 % R R 3 R 5 C 4 L 3 % R 3 R 5 C 4 % R R 3 D R 3 Φυσικά θα µπορούσε κανείς να υπολογίσει την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης, συνθέτοντας τους κλάδους: Z (s) sc 4 % R 5 // για να βρεί το ίδιο αποτέλεσµα (επιβεβαιώστε το!) sr 3 L 3 R 3 %sl 3 % s // R Αποδείξαµε ότι οι οδηγούσες συναρτήσεις των κυκλωµάτων RLCM µε διακριτά στοιχεία (διακεκριµένες παραµέτρους) είναι ρητές συναρτήσεις του s. Η διαπίστωση αυτή αποδεικνύεται ότι ισχύει και στην περίπτωση ενεργών-rc κυκλωµάτων. Με αντίστοιχες µεθόδους αποδεικνύεται ότι και οι συναρτήσεις µεταφοράς είναι ρητές συναρτήσεις. Γενικά όλες οι συναρτήσεις των γραµµικών κυκλωµάτων µε διακριτά στοιχεία είναι ρητές, λόγοι δηλ. δύο πολυωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές, της µορφής: F(s) N(s) D(s) a n s n % a n& s n& % a n& s n& %...a s % a 0 b m s m % b m& s m& % b m& s m& %...b s % b 0 µε a i και b i ανεξάρτητους του s πραγµατικούς αριθµούς. Οι ρίζες κάθε πολυωνύµου µπορεί να είναι πραγµατικές ή συζυγή µιγαδικά ή φανταστικά ζεύγη. Οι ρίζες z i του πολυωνύµου N(s) του αριθµητή είναι τα µηδενικά της F(s) και οι ρίζες p i του παρονοµαστού D(s), οι πόλοι της F(s). Eτσι η συνάρτηση F(s) µπορεί να εκφραστεί ως γινόµενο παραγόντων συναρτήσει των πόλων και των µηδενικών ως εξής: F(s) K (s & z )(s & z )(s & z 3 )...(s & z n ) (s & p )(s & p )(s & p 3 )...(s & p m ) µε K a n b m Με την µορφή των πόλων και µηδενικών καθώς και µε τη θέση τους στο s-επίπεδο (διάγραµµα πόλων- µηδενικών) θα µας δοθεί η ευκαιρία να ασχοληθούµε πολύ συχνά στο βιβλίο αυτό. Πρός στιγµήν θα αντιµετωπίσουµε τις συναρτήσεις των κυκλωµάτων απλώς ως ρητές συναρτήσεις του s. Στα πραγµατικά προβλήµατα σύνθεσης, δίνονται ορισµένες προδιαγραφές γιά µια η περισσότερες συναρτήσεις του ζητούµενου κυκλώµατος. Ο µηχανικός καλείται να προσδιορίσει ένα κύκλωµα, του οποίου οι συναρτήσεις να ικανοποιούν τις προδιαγραφές. Το πρώτο λοιπόν βήµα είναι να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αυτές ως ρητές συναρτήσεις του s, που αφενός να πληρούν τις προδιαγραφές και αφετέρου να είναι πραγµατοποιήσιµες από κάποιο πραγµατικό κύκλωµα. Η πραγµατοποιησιµότητα µιας ρητής συνάρτησης από παθητικό κύκλωµα RLCM ή ενεργό-rc κύκλωµα εξαρτάται και εκφράζεται κατά κύριο λόγο από την θέση των πόλων της και των µηδενικών της στο επίπεδο-s. Για παράδειγµα, µια οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης Z(s), όπως θα δούµε, δεν είναι πραγµατοποιήσιµη αν έχει πόλους στο δεξί ηµιεπίπεδο. Μη πραγµατοποιήσιµες, ως συναρτήσεις µεταφοράς, είναι επίσης και ρητές συναρτήσεις µε πόλους στο δεξί ηµιεπίπεδο. Γενικά, κάθε είδος συνάρτησης κυκλώµατος (µεταφοράς ή οδηγούσα) πρέπει να ικανοποιεί ένα σύνολο αναγκαίων και ικανών συνθηκών για να είναι πραγµατοποιήσιµη στην συγκεκριµένη κατηγορία κυκλωµάτων. Ο προσδιορισµός µιας συνάρτησης κυκλώµατος απο τις προδιαγραφές λέγεται προσέγγιση και είναι ένα πρόβληµα µε πολλές λύσεις. Το αποτέλεσµα της προσέγγισης θα πρέπει να είναι µια πραγµατοποιήσιµη συνάρτηση και για τον λόγο αυτό αποτελεί βασική ανάγκη η διατύπωση των αναγκαίων και ικανών συνθηκών πραγµατοποιησιµότητας. Η πραγµατοποίηση ενός κυκλώµατος από µια πραγµατοποιήσιµη συνάρτηση είναι το κυρίως πρόβληµα της σύνθεσης. ΕΦΑΡΜΟΓΗ. (.5) (.6)
ΣΧΗΜΑ.4 Η συνάρτηση µεταφοράς τάσης G(s)=V (s)/e(s) του κυκλώµατος του σχήµατος υπολογίζεται ότι ειναι: s L G(s) C % L C R s 3 % L %L C % R R s % (R % L R )s % % R R ΣΧΗΜΑ.5 Γιά και R =0, στο κύκλωµα δεν υπάρχει πλέον ο αντιστάτης R και η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος του σχήµατος.5 είναι πλέον: s L G(s) C % L ( % C )s % L R s% µε µηδενικά s±j και πόλους L C s L ( % C ) & L R ± j 4L ( % C )& L Υποθέσαµε ότι %C )> L ώστε οι πόλοι να είναι µιγαδικοί. Στην περίπτωση που C, οι % C )# L 4( 4( πόλοι θα είναι πραγµατικοί και εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αρνητικοί για όλες τις τιµές των στοιχείων (αποδείξτε το). Παρατηρήστε ότι τα µηδενικά της παραπάνω συνάρτησης µεταφοράς παραµένουν πάνω στον jω-άξονα ανεξάρτητα από τις τιµές των στοιχείων, ενώ το πραγµατικό µέρος των πόλων, όταν αυτοί είναι µιγαδικοί, είναι πάντοτε αρνητικό, ανεξάρτητα από τις τιµές των στοιχείων. Η αλλαγή των τιµών των στοιχείων, µπορεί µόνον να µετακινεί τα µηδενικά πάνω στον jω-άξονα και τους πόλους στο αριστερό ηµιεπίπεδο, αφου αυτοί έχουν πάντα αρνητικό πραγµατικό µέρος ή είναι αρνητικοί πραγµατικοί. ΣΧΗΜΑ.6 Το κύκλωµα εποµένως αυτό (και κανένα άλλο κύκλωµα RLCM) δεν µπορεί να πραγµατοποιήσει την 3
συνάρτηση µεταφοράς G(s) s %, η οποία έχει ένα ζεύγος συζυγών µιγαδικών πόλων s s, & s% 4 ±j 7 4 στο δεξί ηµιεπίπεδο, όπως δείχνει το σχήµα.6α. Μπορεί όµως να υλοποιήσει την G(s) s % s % s %, η οποία έχει τους πόλους της s, & στο αριστερό ηµιεπίπεδο (σχήµα.6α), µε L = C = =, 4 ±j 7 4 R= ή L = C = =0.5, R= και εν γένει µε οποιαδήποτε τιµή για το R, L =R και C = =/R. Γιά τις σχέσεις του τύπου L =R ή C = =/R, οι οποίες φαίνονται λανθασµένες από πλευράς µονάδων, θα µιλήσουµε αργότερα στο κεφάλαιο αυτό.. Τοπολογική θεώρηση των κυκλωµάτων Εχοντας ένα κύκλωµα µε n κόµβους και b κλάδους µπορούµε να το προσανατολίσουµε, µε την έννοια του να βάλλουµε σε κάθε κλάδο µια τυχαία φορά του ρεύµατος. Σε ένα προσανατολισµένο κύκλωµα, µπορούµε να σχηµατίσουµε την µήτρα προσπτώσεως A, που έχει n σειρές, που αντιστοιχούν στους n κόµβους και b στήλες που αντιστοιχούν στους b κλάδους. Τα στοιχεία της µήτρας προσπτώσεως a ij είναι: a ij = 0 ο κλάδος j δεν προσπίπτει στον κόµβο i a ij = το ρεύµα του κλάδου j φεύγει απο τον κόµβο i a ij = - το ρεύµα του κλάδου j εισέρχεται στον κόµβο i Γιά παράδειγµα, η µήτρα προσπτώσεως (incidence matrix) των κυκλωµάτων του σχήµατος.7 είναι:! 0 0 0 A 0! 0 0 0 0! 0! 0! Γίνεται σαφές ότι η µήτρα προσπτώσεως περιγράφει την τοπολογία µόνο του κυκλώµατος, άσχετα µε τι στοιχείο είναι στον κάθε κλάδο και αν η µελέτη γίνεται στο πεδίο του χρόνου ή στο πεδίο συχνοτήτων. Κάθε γραµµή της µήτρας προσπτώσεως αντιστοιχεί σε ένα κόµβο, ενώ κάθε στήλη σε ένα κλάδο. ΣΧΗΜΑ.7 Βλέποντας λοιπόν την µήτρα µπορούµε να ξέρουµε από ποιόν κόµβο αρχίζει και σε ποιόν καταλήγει κάθε κλάδος. Εκτός από το ότι η χρήση της µήτρας προσπτώσεως αποτελεί ένα πολύ καλό τρόπο περιγραφής της τοπολογίας του κυκλώµατος, µε την µήτρα αυτή τάξεως n b, µπορούµε να εκφράσουµε τους νόµους του Kirchhoff ως εξής:.. Νόµος ρευµάτων Kirchhoff Ο νόµος ρευµάτων του Kirchhoff γιά όλους τους κόµβους ενός κυκλώµατος εκφράζεται µε την βοήθεια της µήτρας προσπτώσεως ως εξής: A i 0 (.6) 4
όπου είναι το διάνυσµα των ρευµάτων των b κλάδων (µε εκθέτη Τ συµβοi [ i i i 3...i b ] T λίζουµε την ανάστροφη µήτρα). Τα ρεύµατα, ανάλογα µε το αν η µελέτη γίνεται στο πεδίο του χρόνου ή στο πεδίο συχνοτήτων, είναι συναρτήσεις του χρόνου ή του s αντίστοιχα. Γιά το κύκλωµα του σχήµατος.7α θα έχουµε λοιπόν:! 0 0 0 i A i 0! 0 0 0 0! 0! 0! i i 3 i 4 i 5 0 δηλ. & i % i 0 & i % i 3 % i 4 0 & i 4 % i 5 0 i & i 3 & i 5 0 ΣΧΗΜΑ.7α ΣΧΗΜΑ.7β.. Ο Νόµος τάσεων Kirchhoff Ο νόµος τάσεων Kirchhoff εκφράζεται συναρτήσει της µήτρας προσπτώσεως ως εξής: v A T e όπου v[ v v v 3...v b ] T το διάνυσµα των τάσεων των κλάδων και e [ e e e 3...e T n ] το διάνυσµα των τάσεων των κόµβων ως πρός τον κόµβο αναφοράς (σχ..7β). Οι τάσεις, ανάλογα µε το αν η µελέτη γίνεται στο πεδίο του χρόνου ή στο πεδίο συχνοτήτων, είναι συναρτήσεις του χρόνου ή του s αντίστοιχα. Γιά το κύκλωµα του σχήµατος.7α θα έχουµε: va T e Y v v v 3 v 4 v 5 & 0 0 & 0 0 0 0 & 0 & 0 0 0 & e e e 3 e 4 5
ΣΧΗΜΑ.7 γ..3 Το θεώρηµα του Tellegen Στο πεδίο του χρόνου, όλα τα µεγέθη που υπεισέρχονται στις σχέσεις είναι συναρτήσεις του χρόνου t και εποµένως η στιγµιαία ισχύς στον κλάδο k θα είναι v k (t)i κ (t) και η στιγµιαία ισχύς του κυκλώµατος θα είναι: Η άθροιση αυτή µπορεί να γραφτεί ως: b j v k (t)i k (t) k b jv k i k v T i (A T e) T i e T A i 0 αφού A i 0 k Από την σχέση αυτή προκύπτει η διατήρηση της ισχύος στα ηλεκτρικά κυκλώµατα. (.7) b j k ΣΧΗΜΑ.8 Ας θεωρήσουµε τώρα δύο κυκλώµατα µε την ίδια ακριβώς τοπολογία και προσανατολισµό κλάδων (δηλ. ταυτόσηµη µήτρα προσπτώσεως A), αλλά µε διαφορετικά είδη κλάδων, όπως για παράδειγµα στο σχήµα.8. Με τονούµενα σύµβολα συµβολίζουµε τα µεγέθη και τα διανύσµατα του δευτέρου κυκλώµατος. Για το πρώτο κύκλωµα του σχήµατος.8α έχουµε: A i = 0 και ν = Α T e Για το δεύτερο κύκλωµα του σχήµατος.8β, όπου ΑN = Α, έχουµε: A in=0 και νn=α Τ en Αν σχηµατίσουµε την άθροιση των, χωρίς νόηµα, µεγεθών v κ i k (δηλ. των γινοµένων τάσεων v k του πρώτου µε τα ρεύµατα in k των αντίστοιχων κλάδων του δευτέρου κυκλώµατος) έχουµε: και v k i ) k vt i ) (A T e ) ) T i e T Ai ) 0 b j v ) k i k v )T i (A T e ) ) T i e )T Ai 0 k Οι παραπάνω εκφράσεις για δύο κυκλώµατα µε κοινή µήτρα προσπτώσεως (και εποµένως µε την ίδια τοπολογία) αποτελεί µιά έκφραση του θεωρήµατος του Tellegen. Γιά τα δύο κυκλώµατα του σχήµατος.8 µπορεί κανείς να γράψει: ) ) ) ) vi % vi % v3i3 % v4i4 και v ) i % v ) i % v ) 3 i 3 % v ) 4 i 4 0 (.8) 6
Το θεώρηµα του Tellegen, ένα απο τα βασικότερα θεωρήµατα της θεωρίας κυκλωµάτων, χρησιµοποιείται γιά την απόδειξη η κατανόηση αλλών θεωρηµάτων και εννοιών και βρίσκει πρακτική εφαρµογή τόσο στην ανάλυση όσο και στον υπολογισµό της ευαισθησίας των κυκλωµάτων..3 Η Θετική Πραγµατική ιδιότητα Οι νόµοι του Kirchhoff όπως εκφράζονται µε την βοήθεια της µήτρας προσπτώσεως ισχύουν τόσο στο πεδίο του χρόνου, όσο και στο πεδίο συχνοτήτων µε τις αντίστοιχες µετασχηµατισµένες κατά Laplace ποσότητες. Ετσι έχουµε για το νόµο τάσεων του Kirchoff: V(s) A T E(s) ή V T (s) E T (s)a και για το νόµο ρευµάτων AI(s)0 ή παίρνοντας το συζυγές AI ( (s)0 Μεταπολλαπλασιάζοντας την δεύτερη έκφραση του νόµου τάσεων επι το συζυγές Ι * (s) του I(s), βρίσκουµε: b V T (s)i ( (s)e T (s)ai ( (s) δηλ. j V k (s)i ( k (s)0 k (.9) ή V (s)i ( (s)&v (s)i ( (s)&...&v b (s)i ( b (s) και τελικά V (s)i ( b (s)& j V k (s)i ( k (s) k Z (s) V (s)i ( ΙΝ (s) I ΙΝ (s)i ( ΙΝ (s) ΣΧΗΜΑ.9 Αν το κύκλωµα έχει µια είσοδο και συγκεκριµένα τον κλάδο, τότε θα είναι της µορφής του σχήµατος.9α ή.9β, ανάλογα αν έχει διέγερση τάσεως η ρεύµατος. Και στις δύο περιπτώσεις I IN (s)=-ι (s), οπότε η σχέση.9 γράφεται: b V (s)i ( ΙΝ (s) j V k (s)i ( k (s) (.0) k Ορίζοντας ως οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου Ζ (s) την Z (s) V (s) I ΙΝ (s) βρίσκουµε ότι: V (s)i ( ΙΝ (s) I ΙΝ (s) I ΙΝ (s) b j V k (s)i ( k (s) k Με ανάλογες σκέψεις βρίσκουµε ότι η οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος εισόδου είναι: Y (s) I ΙΝ (s) b (.) V (s) V (s) j V ( k (s)i k (s) k Και στις δύο σχέσεις το b παριστάνει τον αριθµό των κλάδων. Ο γενικός κλάδος ενός κυκλώµατος RLCM είναι της µορφής του σχήµατος.9γ, για τον οποίο: 7
V k (s) R k % sl k % sc k I k (s) % j b λ λ k sm kλ I λ (s) Λαµβάνοντας υπόψη την παραπάνω σχέση, η γενική σχέση της οδηγούσας συνάρτησης αντίστασης εισόδου γίνεται: Z (s) I ΙΝ (s) b j R k I k (s) % b k s j k C k I k (s) % s j b k I ( b k (s) L k I k (s) % j M kλ I λ (s) λ λ k Ορίζοντας τις συναρτήσεις ενέργειας του κυκλώµατος F o (s), V o (s) και Μ o (s): b b F o (s) j R k I k (s) V o (s) j I k (s) C k k k M o (s) j b k I ( b b k (s)l k I k (s) % j j k λ λ k η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου γίνεται: M kλ I ( b b k (s)i λ (s) j L k I k (s) % j k k j b Z (s) F 0 (s) % I ΙΝ (s) s V 0 (s) % sm 0 (s) Με τελείως αντίστοιχη διαδικασία ξεκνώντας από την σχέση., υπολογίζεται ότι: Y (s) V (s) F 0 (s) % s (V 0 (s) % s ( M 0 (s) λ λ k M kλ I ( k (s)i λ (s) Από τον ορισµό τους, οι F o (s) και V o (s) είναι θετικές πραγµατικές ποσότητες για κάθε τιµή του s, πραγµατική ή µιγαδική. Η συνάρτηση Μ o (s), όταν δεν υπάρχουν αµοιβαίες επαγωγές, δηλ. Μ kλ =0, γίνεται : b M o (s) j L k I k (s) k (.α) (.β) που είναι και αυτή θετική πραγµατική για κάθε τιµή του s, πραγµατική ή µιγαδική. Αποδεικνύεται επίσης ότι και όταν ακόµα υπάρχουν ζεύξεις (κάποιες δηλ. ή όλες οι αµοιβαίες επαγωγές Μ kλ 0), η Μ o (s) είναι και πάλι θετική και πραγµατική για κάθε τιµή του s, αφού είναι ανάλογη της µέσης µαγνητικής ενέργειας õ Μ που αποθηκεύεται στους συζευγµένους επαγωγείς. Γιά τις οδηγούσες συναρτήσεις γνωρίζουµε µέχρι τώρα ότι είναι ρητές συναρτήσεις του s µε πραγµατικούς συντελεστές. Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει µια ακόµα βασική ιδιότητά τους, η οποία θα µας απασχολήσει στο επόµενο κεφάλαιο, αφού αποτελεί βασική συνθήκη πραγµατοποιησιµότητος. Η Z (s) για s=σ+jω γίνεται (σχέση.α) : Z (σ% jω) F 0 (σ% jω) I ΙΝ (σ% jω) % σ% jω V 0 (σ % jω) I ΙΝ (σ% jω) % (σ% jω) M 0 (σ % jω) I ΙΝ (σ% jω) Z (σ% jω) F 0 (σ% jω) % σ&jω I ΙΝ (σ% jω) σ % ω V 0 (σ% jω) I ΙΝ (σ% jω) % (σ% jω) M 0 (σ% jω) I ΙΝ (σ% jω) Το πραγµατικό µέρος της Z (s) θα είναι φυσικά: 8
Re[Z (s)] F 0 (σ% jω) I ΙΝ (σ% jω) % σ V 0 (σ% jω) σ % ω I ΙΝ (σ% jω) % σm 0 (σ% jω) I ΙΝ (σ% jω) το οποίο είναι θετικό για κάθε τιµή του σ$0, αφού οι ποσότητες F o, V o και M o είδαµε ότι είναι πάντα θετικές πραγµατικές.. Φυσικά το αντίστοιχο συµπέρασµα βγαίνει και γιά την οδηγούσα συνάρτηση αγωγιµότητος: Y (s)=z - (s) Συγκεκριµένα, αν Z (s)=r+jx τότε: Y (s) Z (s) R&jX %X Y Re[Y (s)] R %X Re[Z (s)] $0 γιά σ$0 % X Εύκολα λοιπόν καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι οι οδηγούσες συναρτήσεις αντίστασης Z (s) και αγωγιµότητος Y (s) κυκλωµάτων RLCM έχουν µη αρνητικό πραγµατικό µέρος γιά s=σ+jω µε σ$0 δηλαδή : Re[Z (σ+jω)]$0 και Re[Y (σ+jω)]$0, γιά κάθε σ$0 Η ιδιότητα αυτή των ρητών συναρτήσεων του s, να έχουν δηλαδή µη αρνητικό πραγµατικό µέρος για κάθε µη αρνητικό σ, ονοµάζεται Θετική Πραγµατική (ΘΠ) ιδιότητα. Η παραπάνω απόδειξη για την οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου, µπορεί να επαναληφθεί και για κάθε άλλη οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης ή αγωγιµότητος µε αποτέλεσµα να αποδειχθεί ότι όλες οι οδηγούσες συναρτήσεις αντίστασης ή αγωγιµότητος έχουν την ΘΠ ιδιότητα. Οι οδηγούσες λοιπόν συναρτήσεις κυκλωµάτων RLCM είναι ρητές συναρτήσεις του s και έχουν την ΘΠ ιδιότητα. Η διατύπωση αυτή αναφέρεται στην βιβλιογραφία ως θεώρηµα του Otto Brune επειδή διατυπώθηκε από αυτόν το 93 στην διδακτορική του διατριβή στο ΜΙΤ (η οποία έγινε υπό την εποπτεία και του W. Cauer), θέτοντας την βάση για τις συνθήκες πραγµατοποιησι- µότητος µια συνάρτησης του s ως οδηγούσας συνάρτησης ενός RLCM κυκλώµατος. Η ΘΠ ιδιότητα είναι αναγκαία συνθήκη, δηλ. αν µια ρητή συνάρτηση F(s) δεν έχει την ΘΠ ιδιότητα, δεν µπορεί να υλοποιηθεί ως οδηγούσα συνάρτηση κυκλώµατος RLCM. Ο Brune όµως απέδειξε ότι η ΘΠ ιδιότητα είναι και ικανή συνθήκη πραγµατοποιησιµότητος, δηλ. ότι για κάθε ρητή ΘΠ συνάρτηση του s, µπορεί να συντεθεί ένα κύκλωµα RLCM, το οποία να την έχει ως οδηγούσα συνάρτηση. Με αυτό θα ασχοληθούµε σε επόµενο κεφάλαιο. Πολλά προβλήµατα σύνθεσης καταλήγουν τελικά σε µια ρητή συνάρτηση, από την οποία πρέπει να συντεθεί ένα κύκλωµα, το οποίο να την έχει ως οδηγούσα συνάρτηση. Πριν όµως προχωρήσει κανείς στην σύνθεση, θα πρέπει να ελέγξει αν η προς σύνθεση συνάρτηση είναι ή δεν είναι ΘΠ. Αν δεν είναι, αυτό σηµαίνει ότι δεν είναι πραγµατοποιήσιµη µε κύκλωµα RLCM, αφού οι οδηγούσες συναρτήσεις των κυκλωµάτων αυτής της κατηγορίας είναι ΘΠ. Αν είναι, τότε µόνον θα πρέπει να προχωρήσει κανείς στην περιπέτεια της σύνθεσης. Είναι εποµένως καθοριστικής σηµασίας να µπορεί κανείς να ελέγξει αν η προς σύνθεση ρητή συνάρτηση είναι ΘΠ..4 Κλιµακώσεις και Κανονικοποίηση Στη µελέτη, ανάλυση και σύνθεση κυκλωµάτων, οι τιµές που εµφανίζονται ποικίλουν από πολύ µικρές (π.χ. pf=0 - F) έως πολύ µεγάλες της τάξεως του 0 9 (π.χ. GHz). Η µεγάλη αυτή διασπορά των τιµών, οδηγεί σε δυσκολία υπολογισµών, µεγάλη πιθανότητα σφάλµατος ή ακόµα, αν χρησιµοποιείται υπολογιστής, σε υπέρβαση των αριθµητικών ορίων (over- ή underflow). Το πρόβληµα µπορεί να παρακαµφθεί µε την χρήση της κλιµάκωσης (scaling) της αντίστασης και της συχνότητας και της κανονικοποίησης (normalization), η οποία εκτός από την απλοποίηση των υπολογισµών, διευκολύνει εν γένει όλες τις διαδικασίες ανάλυσης και σύνθεσης..4. Κλιµάκωση αντίστασης (impedance scaling) Ας θεωρήσουµε το κύκλωµα του σχήµατος.0, το οποίο έχει συνάρτηση µεταφοράς: 9
H(s) LCs % R S C% L s% % R S s % LC R % R S S L % C s% LC και αντίσταση εισόδου : Ζ(s) s % R S L % % R S C s% LC s% C L ΣΧΗΜΑ.0 Ας διαιρέσουµε τώρα όλες τις µετασχηµατισµένες αντιστάσεις του µε k. Η αντίσταση του φορτίου θα γίνει n k και η αντίσταση R s θα γίνει R sn R s. Η αντίσταση του επαγωγέα από sl θα γίνει s L, που ανιστοιχεί σε k k διαίρεση του L µε k για να δηµιουργηθεί ο κλιµακωµένος επαγωγέας L n L, ενώ η αντίσταση του k πυκνωτή από θα γίνει, που αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό του C µε k για την δηµιουργία του sc sck κλιµακωµένου πυκνωτή C n kc. Το σχήµα. δείχνει το κύκλωµα µετά την κλιµάκωση µε k. ΣΧΗΜΑ. Τι άλλαξε στο κύκλωµα; Παρατηρούµε ότι : Η συνάρτηση µεταφοράς δεν µεταβλήθηκε αφού στα εµφανιζόµενα γινόµενα αναιρείται η διαίρεση µε το k. Η αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος µε διαιρεµένες µε k τις αντιστάσεις, µεταβλήθηκε, µε πάρα πολύ όµως απλό τρόπο: διαιρέθηκε µε k, δηλ. το κύκλωµα του σχήµατος.6β, έχει πλέον αντίσταση εισόδου Z n (s) Z(s). Το ίδιο ισχύει για κάθε άλλη αντίσταση του κυκλώµατος, π.χ. για την αντίσταση k εξόδου. Φανταστείτε τώρα ότι επιλέγουµε το k να είναι ένας καθαρός αδιάστατος αριθµός. Στην περίπτωση αυτή η διαίρεση των µετασχηµατισµένων αντιστάσεων µε k, οδηγεί σε µια απλή κλιµάκωση των τιµών των στοιχείων: Ένας αντιστάτης R=00 Ω, µετά την κλιµάκωση µε k=600 γίνεται R n R ενώ αν 600 00 Ω 600 Ω είχε τιµή 600Ω, µετά την κλιµάκωση θα έχει τιµή Ω. Ένας επαγωγέας L=0 mh, µετά την κλιµάκωση µε k=600 γίνεται L n 0 mh0. mh 600 Ένας πυκνωτής C = 5 nf, µετά την κλιµάκωση µε k=600 γίνεται C n 5@ 600 nf3µf. 0
Υπενθυµίζεται ότι µε την κλιµάκωση αντίστασης δεν µεταβάλλεται η συνάρτηση µεταφοράς. Αν το k επιλεγεί να έχει διαστάσεις και µονάδες αντίστασης, είναι π.χ. k=r o =600 Ω, τα κλιµακωµένα µεγέθη αντίστασης που προκύπτουν είναι αδιάστατα, δηλ. καθαροί αριθµοί. Στο παράδειγµά µας, τα κλιµακωµένα µεγέθη R sn R s, n είναι αδιάστατα, όπως αδιάστατατες είναι και οι κλιµακωµένες R o R o µετασχηµατισµένες αντιστάσεις του επαγωγέα και του πυκνωτή, s L και αντίστοιχα. Αυτό R o scr o σηµαίνει ότι τα κλιµακωµένα µεγέθη L n L και C έχουν πλέον διαστάσεις χρόνου και παρ όλα R n R o C o αυτά, δεν µεταβάλλεται η συνάρτηση µεταφοράς. Το κύκλωµα βέβαια πλέον δεν είναι υλοποιήσιµο αλλά αποτελεί ένα µοντέλο που διευκολύνει την µελέτη του, όπως θα δούµε παρακάτω. Μπορεί βέβαια κανείς να αντιστρέψει την διαδικασία και να πολλαπλασιάσει όλες τις µετασχηµατισµένες αντιστάσεις µε όποιο R o επιθυµεί και να πάρει ένα πραγµατικό κύκλωµα. Η διαδικασία αυτή αποκλιµάκωσης αντίστασης σηµαίνει ότι οι κλιµακωµένοι αντιστάτες και επαγωγείς πολλαπλασιάζονται επί R o και οι κανονικοποιηµένοι πυκνωτές διαιρούνται µε R o..4. Κλιµάκωση συχνότητος (frequency scaling) Ας εξετάσουµε τώρα τι συµβαίνει σε ένα κύκλωµα αν αφήσουµε τους αντιστάτες του αµετάβλητους και πολλαπλασιάσουµε τους επαγωγείς L και τους πυκνωτές C µε ω ο. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται κλιµάκωση συχνότητας και τα κλιµακωµένα κατά συχνότητα στοιχεία είναι L n =ω ο L και C n =ω o C. Χρησιµοποιώντας το κύκλωµα του παραδείγµατος (σχήµα.0), το οποίο έχει συνάρτηση µεταφοράς: H(s) LCs R S C% L s% % R S % αυτή, µετά την κλιµάκωση συχνότητος, την αντικατάσταση δηλ. του L µε ω ο L και του C µε ω ο C, γίνεται: H n (s) LC(ω ο s) % R S C% L ω ο s% % R S H(ω o s) Η διαδικασία δηλ. της κλιµάκωσης συχνότητος µε ω ο, απλώς κλιµακώνει την ανεξάρτητη µεταβλητή s της συνάρτησης µεταφοράς. Ότι δηλ. συµβαίνει στο κύκλωµα πριν την κλιµάκωση για s, στο κλιµακωµένο s µε ω ο κύκλωµα συµβαίνει στο και εποµένως, ότι συµβαίνει πριν στη συχνότητα ω, συµβαίνει µετά την ω ο ω κλιµάκωση στη συχνότητα, την οποία ονοµάζουµε κανονικοποιηµένη συχνότητα Ω ω. ω ο ω ο Αντίστοιχη κλιµάκωση υφίστανται όλες οι συναρτήσεις του κυκλώµατος, π.χ. η οδηγούσα συνάρτηση αντίστασης εισόδου από Z(s) γίεται µε την κλιµάκωση Z(ω ο s)..4.3 Κανονικοποίηση (Normalization) Με τον όρο κανονικοποίηση περιγράφεται η διαδικασία ταυτόχρονης κλιµάκωσης αντίστασης και συχνότητος µε κατάλληλα επιλεγµένες τιµές R o και ω ο. Οι δύο σταθερές κλιµάκωσης R o (Ω) και ω ο (rad/sec) µπορούν να θεωρηθούν ως οι νέες µονάδες µέτρησης της αντίστασης και της κυκλικής συχνότητας αντίστοιχα. Στην κανονικοποίηση, συνδυάζοντας τις δύο κλιµακώσεις, τα πλήρως κανονικοποιηµένα στοιχεία µε δείκτη n, δίνονται από τις σχέσεις: R n R R ο L n ω ο R ο L C n ω ο R ο C (.3α)
που είναι αδιάστατοι καθαροί αριθµοί. Στο πλήρως κλιµακωµένο κύκλωµα, στο οποίο πλέον η κανονικοποιηµένη κυκλική συχνότητα είναι Ω ω ω ο, έχει αυτόµατα κλιµακωθεί και ο χρόνος και η συχνότητα, που είναι πλέον καθαροί αριθµοί: Ω ω ω ο t n ω o π t F n π ω o f (.3β) Πολλές φορές τίθεται το ερώτηµα πως επιλέγονται οι παράµετροι κλιµάκωσης ω ο και R ο. Η απάντηση είναι απλή: Ως νέα µονάδα αντίστασης R ο επιλέγεται µια χαρακτηριστική αντίσταση του κυκλώµατος, όπως για παράδειγµα η αντίσταση του φορτίου, µε αποτέλεσµα η κανονικοποιηµένη της τιµή να γίνει ίση µε. Ως νέα µονάδα για την κυκλική συχνότητα ω ο επιλέγεται µια χαρακτηριστική συχνότητα του κυκλώµατος, συνήθως µια συχνότητα συντονισµού ή αποκοπής, της οποίας η τιµή µετά την κανονικοποίηση είναι ίση µε. ΣΧΗΜΑ. Με την λογική αυτή, το βαθυπερατό φίλτρο του σχήµατος. µε αντίσταση τερµατισµού (φορτίο), συχνότητα αποκοπής ω C και συνάρτηση µεταφοράς: LC H(s) LCs % R S C% L s% % R S s % R % R S S L % C s% LC µπορεί να κανονικοποιηθεί µε ω ο =ω C και R ο = και να δώσει το κανονικοποιηµένο φίλτρο του σχήµατος.3 µε συνάρτηση µεταφοράς:. H n (s) s % R Sn L n % L n C n % R Sn R s% Ln n C n L n C n ΣΧΗΜΑ.3 Στο κανονικοποιηµένο αυτό φίλτρο, η συνάρτηση µεταφοράς είναι ακριβώς η ίδια µε αυτήν του µη κανονικοποιηµένου µέ διαφορετικές όµως τιµές των στοιχείων. Αν στην Η n (s) αντικαταστήσουµε τις κανονικοποιηµένες τιµές µε: R Sn R S n L n ω C L C n ω C C
προκύπτει ότι : H n (s) LC ω C s % R % R S S L % C ω C s % LC δηλαδή η συνάρτηση µεταφοράς του κανονικοποιηµένου κυκλώµατος είναι: H n (s)h(ω C s) Η διαπίστωση ότι η κανονικοποίηση είχε ώς αποτέλεσµα: H n (s)h(ω C s) και φυσικά H n (jω)h(jωω C ) είναι γενική και σηµαίνει ότι : αν G(ω) H(jω) τότε G n (ω) H(jωω C ) G(ω C ω) και (.4) αν φ(ω)ëη(jω) τότε φ n (ω)ëh n (jω)φ(ωω C ) δηλαδή µε την κανονικοποίηση δεν άλλαξαν τα χαρακτηριστικά πλάτους και φάσης της H(s) αλλά υπέστησαν απλά κλιµάκωση συχνότητος κατά ω C. Αυτό σηµαίνει ότι αν για µια συχνότητα ω το µέτρο της H(jω ) είναι ίσο µε k και η φάση της φ(ω )=θ, το µέτρο της H n (jω) γίνεται k και η φάση της θ, για την τιµή της κανονικοποιηµένης συχνότητας Ω n ω ω C Οταν έχουµε ένα κανονικοποιηµένο κύκλωµα, µπορούµε να το αποκανονικοποιήσουµε, αποκανονικοποιώντας όλα του τα στοιχεία µε τους σχετικούς τύπους αποκανονικοποίησης: ωω o Ω RR o R n L R o ω o L n C ω o R o C n ff n ω o π tt n π ω o (.5) Στις παραπάνω σχέσεις, µε δείκτη n είναι οι κανονικοποιηµένες τιµές και µε δείκτη o, τα επίπεδα αποκανονικοποίησης. Σηµειώνεται ότι τα επίπεδα αποκανονικοποίησης R o και ω o επιλέγονται ώστε να εξυπηρετούν την εφαρµογή αφού δίνουν την δυνατότητα να οδηγήσουµε το επίπεδο της αντίστασης φορτίου και την συχνότητα αποκοπής από το σε όποια τιµή επιθυµούµε.. ΣΧΗΜΑ.4 Για παράδειγµα, αν θέλουµε το κανονικοποιηµένο κύκλωµα του σχήµατος.4, που έχει κυκλική συχνότητα αποκοπής και φορτίο, να αποκτήσει φορτίο 600 Ω και συχνότητα αποκοπής π7500 rad/sec (δηλ. f C =7500 Ηz), τότε θα αποκανονικοποιήσουµε τα στοιχεία του χρησιµοποιώντας : R 0 =600 Ω και ω 0 = π7500 rad/sec. Αν όµως θέλουµε φορτίο 300 Ω και συχνότητα αποκοπής π3000 rad/sec (δηλ. f C =3000 Ηz), τότε θα αποκανονικοποιήσουµε τα στοιχεία του χρησιµοποιώντας : R 0 =300 Ω και ω 0 = π3000 rad/sec. Τα κανονικοποιηµένα φίλτρα σχεδιάζονται ώστε να έχουν κανονικοποιηµένο φορτίο ίσο µε την µονάδα και κανονικοποιηµένη κυκλική συχνότητα αποκοπής ίση µε. Κατά την αποκανονικοποίηση χρησιµοποιούµε τις κατάλληλες τιµές ώστε η µοναδιαία συχνότητα αποκοπής να γίνει όσο θέλουµε και το µοναδιαίο φορτίο να πάει στο επίπεδο που επιθυµούµε. Η κανονικοποίηση προσφέρει εκτός των άλλων πλεονεκτηµάτων και την δυνατότητα πινακοποίησης των φίλτρων όπως θα δούµε στα επόµενα. 3
ΕΦΑΡΜΟΓΗ.3 Για το βαθυπερατό φίλτρο του σχήµατος,.9, να υπολογιστεί η συχνότητα αποκοπής f C, στην οποία το κέρδος πέφτει κατά 3 db κάτω από το κέρδος για f=0. ΣΧΗΜΑ.5 Mετά κατασκευαστεί ένας πίνακας που να δίνει το C για όλους τους συνδυασµούς τιµών: f C από -6 KHz ανά KHz R S από 00-400Ω ανά 00 Ω από 00-400Ω ανά 00 Ω. ΛΥΣΗ Το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω είναι το κέρδος G(ω). G(ω) H(jω) / 0 % R S % jω R S C /0 4 (% R S ) % ω R S και G(0) R.S% Στη συχνότητα ω C = πf C στην οποία το κέρδος πέφτει κατά 3 db από την τιµή G(0) θα ισχύει: G(ω C )G(0) R S % Από τη σχέση αυτή βρίσκουµε τελικά ότι f C R S % : και εποµένως : πr S C C R S % πr S f C Τώρα θα πρέπει να υπολογίσουµε την τιµή του πυκνωτή C για όλους τους συνδυασµούς των R S, και f C, ώστε να συµπληρώσουµε τον πίνακα. f C (ΚΗz) R ((Ω) R S (Ω) C (µf) f C (ΚΗz) R ((Ω) R S (Ω) C (µf).0 00 3.83 4.0 00 0.796.0 00.387 4.0 00 0.597 00 00.0 300. 4.0 300 0.53.0 400.989 4.0 400 0.497.0 00.387 4.0 00 0.597.0 00.59 4.0 00 0.398 00 00.0 300.36 4.0 300 0.33.0 400.94 4.0 400 0.98.0 00. 4.0 00 0.53.0 00.36 4.0 00 0.33 300 300.0 300.06 4.0 300 0.65.0 400 0.98 4.0 400 0.3.0 00.989 4.0 00 0.497.0 00.94 4.0 00 0.98 400 400.0 300 0.98 4.0 300 0.3.0 400 0.796 4.0 400 0.99.0 00.59 5.0 00 0.637.0 00.94 5.0 00 0.477 00 00.0 300.06 5.0 300 0.44.0 400 0.995 5.0 400 0.398.0 00.94 5.0 00 0.477.0 00 0.796 5.0 00 0.38 00 00.0 300 0.663 5.0 300 0.65.0 400 0.597 5.0 400 0.39.0 00.06 5.0 00 0.44.0 00 0.663 5.0 00 0.65 300 300.0 300 0.53 5.0 300 0..0 400 0.464 5.0 400 0.86.0 00 0.995 5.0 00 0.398 400 400.0 00 0.597 5.0 00 0.39
f C (ΚΗz) R ((Ω) R S (Ω) C (µf) f C (ΚΗz) R ((Ω) R S (Ω) C (µf).0 300 0.464 5.0 300 0.86.0 400 0.398 5.0 400 0.59 3.0 00.06 6.0 00 0.53 3.0 00 0.796 6.0 00 0.398 00 00 3.0 300 0.707 6.0 300 0.354 3.0 400 0.663 6.0 400 0.33 3.0 00 0.796 6.0 00 0.398 3.0 00 0.53 6.0 00 0.65 00 00 3.0 300 0.44 6.0 300 0. 3.0 400 0.398 6.0 400 0.99 3.0 00 0.707 6.0 00 0.354 3.0 00 0.44 6.0 00 0. 300 300 3.0 300 0.354 6.0 300 0.79 3.0 400 0.309 6.0 400 0.55 3.0 00 0.663 6.0 00 0.33 3.0 00 0.398 6.0 00 0.99 400 400 3.0 300 0.309 6.0 300 0.55 3.0 400 0.65 6.0 400 0.33 Ο πίνακας είναι τεράστιος για ένα τόσο απλό κύκλωµα και για τόσο λίγους συνδυασµούς τιµών. Η χρησιµότητα εξάλλου του πίνακα αυτού εξαντλείται σε λίγες συγκεκριµένες τιµές της συχνότητος αποκοπής. Σηµειώνεται ότι οι πίνακες χρησιµοποιούνται όταν είναι πολύ δύσκολος ο υπολογισµός των αποτελεσµάτων και ας µην παρασυρθεί κανείς από το γεγονός ότι στην συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε την αναλυτική έκφρση για την τιµή του πυκνωτή. Για να καταλάβει κανείς την χρησιµότητα και αναγκαιότητα των πινάκων θα πρέπει να φανταστεί ότι δεν έχει πρόσβαση στις αντίστοιχες σχέσεις υπολογισµού ή αν έχει, είναι τόσο πολύπλοκες που είναι πολύ δύσκολο να χρησιµοποιηθούν. Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να κανονικοποιήσουµε το κύκλωµα µε R ο = και ω ο =ω C (συχνότητα αποκοπής). ΣΧΗΜΑ.6 Το κανονικοποιηµένο κύκλωµα έχει συχνότητα αποκοπής ίση µε την µονάδα και αντίσταση φορτίου ίση µε την µονάδα και η τιµή του κανονικοποιηµένου πυκνωτή C n δίνεται πλέον από την σχέση: C n R Sn % n R Sn % (Καθαρός αριθµός!!!) R Sn n ω ωcn R Sn Η τιµή του κανονικοποιηµένου πυκνωτή C n εξαρτάται µόνον από την R Sn και µπορεί εύκολα να πινακοποιηθεί ως εξής: R Sn C n.000000.500000 3.333333 4.50000 / 3.000000 /3 4.000000 /4 5.000000 /3.500000 4/3.750000 3/4.333333 3/.666666 Ο µηχανικός που θέλει να σχεδιάσει το κύκλωµα µε R S =400 Ω και =00 σχεδιάζει το κανονικοποιηµένο µε R Sn =, παίρνει από την αντίστοιχη σειρά για R Sn = την τιµή του κανονικοποιηµένου πυκνωτή C n =.5 και έχει το κανονικοποιηµένο κύκλωµα : 5
ΣΧΗΜΑ.7 Το κανονικοποιηµένο κύκλωµα µπορεί τώρα να αποκανονικοποιηθεί για όποιαδήποτε συχνότητα αποκοπής f C και γιά όποιο επίπεδο αντίστασης R o επιθυµεί, διαδικασία που διατηρεί φυσικά την σχέση R S / =: @ R o R S R Sn @ R o @ R o C C n ω o R o Για παράδειγµα για συχνότητα αποκοπής π000 rad/sec και αντίσταση φορτίου 000 Ω, θα χρησιµοποιηθεί στις παραπάνω σχέσεις R o =000 Ω και ω ο =π000 rad/sec για να πάρουµε: @ R o 000Ω R S R Sn @ R o (R o 000Ω. C C n.5 ω o R o π@ 000@000 79.6nF ΕΦΑΡΜΟΓΗ.4 Να σχεδιαστεί βαθυπερατό φίλτρο µε αντίσταση φορτίου =000Ω που να οδηγείται από πηγή εσωτερικής αντίστασης R s =000Ω, µε συχνότητα αποκοπής f c =000Hz (ω c =π000) µέχρι την οποία η εξασθένηση να µην ξεπερνά την α max =0.5 db ενώ από την f s =4000Hz (ω s =π4000) και µετά η εξασθένηση να είναι τουλάχιστον α min =5 db. Κανονικοποιώντας µε : ω ο =ω c =π000rad/sec και R ο = =000Ω παίρνουµε: Ω c = R s = = και α max =.5dB α min =5 db Η εξασθένηση δεν επηρεάζεται από την διαδικασία της κανονικοποίησης αφού, όπως είδαµε, δεν µεταβάλλονται τα χαρακτηριστικά πλάτους και φάσης της συνάρτησης µεταφοράς. Με τις κανονικοποιηµένες προδιαγραφές µπορούµε ευκολότερα να σχεδιάσουµε το φίλτρο που τελικά βρίσκουµε ότι είναι αυτό του σχήµατος.8α. Προς στιγµήν µην σας απασχολεί πως σχεδιάστηκε το φίλτρο. ΣΧΗΜΑ.8α Με την διαδικασία της αποκανονικοποίησης µπορούµε µετά να πάρουµε το τελικό φίλτρο. Η αποκανονικοποίηση µπορεί να γίνει για οποιοδήποτε επίπεδο αντίστασης και για οποιαδήποτε συχνότητα αποκοπής. Επειδή εδώ θέλουµε η συχνότητα αποκοπής να είναι 000Hz και το φορτίο 000Ω, αποκανονικοποιούµε µε: ω ο =ω c =π000rad/sec και R ο = =000Ω χρησιµοποιώντας τους σχετικούς τύπους αποκανονικοποίησης. C C 3 C n 0.7043@ 000 ω 0 R ο π@ 000@ 000 nf L L n R ο.4085@ 000 4.mH ω 0 π @ 000 R s R@ R ο @ 000000Ω ΣΧΗΜΑ.8β 6
Τονίζεται και πάλι στο σηµείο αυτό ότι οι κανονικοποιηµένες τιµές των στοιχείων είναι καθαροί αριθµοί χωρίς µονάδες. Ετσι, στα κανονικοποιηµένα κυκλώµατα µπορεί κανείς να βλέπει εκτός από τιµές περίεργες, όπως C=0 (όχι Farrad φυσικά!) και σχέσεις όπως C=L ή L=3R. Τέτοιες σχέσεις ισχύουν µόνον σε κανονικοποιηµένα κυκλώµατα και παύουν να ισχύουν µετά την αποκανονικοποίηση, αφού κάθε στοιχείο αποκανονικοποιείται µε διαφορετκό τρόπο που καθορίζει ο αντίστοιχος τύπος..5 Ιδανική µετάδοση χωρίς παραµόρφωση Οταν το κέρδος (απόκριση πλάτους, µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς G(ω)=*Η(jω)*) ενός κυκλώµατος δεν παραµένει σταθερό για όλες τις συχνότητες ενδιαφέροντος αλλά εξαρτάται από την συχνότητα, οι διάφορες συχνότητες που περιέχει η διέγερση (αρµονικές) περνάνε µε µε διαφορετικό κέρδος µε αποτέλεσµα η απόκριση να είναι διαφορετική από την διέγερση. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται παραµόρφωση πλάτους. Οταν η απόκριση φάσης ενός κυκλώµατος, δηλ. η φ(ω)=ëη(jω) δεν είναι γραµµική συναρτήσει της συχνότητος, οι διάφορες συχνότητες που περιέχει η διέγερση περνάνε µε διαφορετική καθυστέρηση µε αποτέλεσµα η απόκριση να είναι διαφορετική από την διέγερση. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται παραµόρφωση φάσης. Οταν η χρονική απόκριση y(t) ενός κυκλώµατος µε διέγερση x(t) είναι της µορφής y(t)ax(t& t o ) το σύστηµα δηλ. εισάγει µόνον ένα ανεξάρτητο της συχνότητος κέρδος και µια σταθερή καθυστέρηση, λέµε ότι έχουµε µετάδοση χωρίς παραµόρφωση ή ιδανική µετάδοση. Στην µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, η απόκριση είναι της ίδιας µορφής µε την διέγερση, µετατοπισµένη κατά t o, τον χρόνο δηλ. που χρειάζεται το σήµα για να περάσει από το σύστηµα. Ο χρόνος αυτός ονοµάζεται καθυστέρηση και για κάθε συχνότητα καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Fourier των δύο µερών της παραπάνω σχέσης έχουµε: Y(jω)AX(jω)e &jωt o και εποµένως η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος που υλοποιεί µετάδοση χωρίς παραµόρφωση είναι: H(jω) Y(jω) X(jω) Ae&jωt o µε απόκριση πλάτους G(ω) H(jω) A και απόκριση (φάσµα) φάσης φ(ω)ëh(jω)&ωt o Η καθυστέρηση οµάδος (group delay) D(ω), είναι η χρονική καθυστέρηση που εισάγει το σύστηµα και ορίζεται ως: D(ω)& d dω φ(ω) (sec) Στην συγκεκριµένη περίπτωση συστήµατος µε µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, η καθυστέρηση οµάδος είναι: D(ω)& d (.6) dω φ(ω)& d dω [&ωt o ]t o (sec) ΣΧΗΜΑ.9: Σύστηµα µετάδοσης χωρίς παραµόρφωση Γιά να εξασφαλίζει εποµένως ένα κύκλωµα µετάδοση χωρίς παραµόρφωση, πρέπει να έχει ανεξάρτητο της συχνότητας κέρδος και γραµµική φάση (σταθερή καθυστέρηση). Οι προϋποθέσεις αυτές φαίνονται παραστατικά στο σχήµα.9. Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο ονοµάζεται ένα κύκλωµα µε συνάρτηση µεταφοράς H(jω), του οποίου η απόκριση πλάτους είναι: *Η(jω)*= για *ω*# ω C και *Η(jω)*=0 για *ω* >ω C 7
και η απόκριση φάσης είναι γραµµική, δηλ.της µορφής: ËΗ(jω)= φ(ω)= -ωt o. h(t) π ω C π 4 H(jω)e jωt dω H(jω) e &jωto e jωt dω e jω(t&to) dω π π &ω C &ω C sinω C (t&t o ) f (t&t o )ω C sinc[f C (t&t o )] όπου f C ω C C π &4 ΣΧΗΜΑ.0 Η γραµµική φάση εξασφαλίζει ότι όλες οι συχνότητες περνούν από το σύστηµα µε την ίδια καθυστέρηση t o. H συχνότητα ω C >0 ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής. Μια τέτοια συνάρτηση µεταφοράς ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου επιτρέπει στις συχνότητες τις µικρότερες της συχνότητος αποκοπής ω C να φτάνουν στην έξοδο µε αµετάβλητο πλάτος, ενώ αποκόπτει εντελώς τις µεγαλύτερες. Το σχήµα.0 δείχνει τα χαρακτηριστικά του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου, το οποίο θα επιθυµούσα- µε να µπορεί να υλοποιείται από τα ηλεκτρονικά φίλτρα, όταν θέλουµε να αποκόψουµε τις υψηλότερες της συχνότητος αποκοπής αρµονικές ενός σήµατος. Στη συνέχεια όµως αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο φίλτρο δεν είναι πραγµατοποιήσιµο. Η συνάρτηση µεταφοράς µε τα παραπάνω χαρακτηριστικά δεν είναι άλλη από την : e &jωt o για ω #ω c H(jω) 0 για ω >ω c Η κρουστική απόκριση του συστήµατος µε την παραπάνω συνάρτηση µεταφοράς, υπολογίζεται παίρνοντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier της: ω C ω C ΣΧΗΜΑ. Η παράσταση της κρουστικής απόκρισης h(t)f C sinc[f C (t&t o )] του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου δίνεται στο σχήµα.. Η πρώτη παρατήρηση έγκειται στο ότι ενώ η διέγερση στο σύστηµα είναι µηδενική για t<0 και η κρουστική δ(t) εφαρµόζεται την χρονική στιγµή t=0, υπάρχει απόκριση του συστήµατος για t<0, πριν δηλ. εφαρµοστεί η διέγερση! Αυτό κάνει το σύστηµα µη αιτιοκρατικό (non causal), δηλ. µη πραγµατοποιήσιµο. Το ιδανικό εποµένως βαθυπερατό φίλτρο δεν υπάρχει στην πράξη. Παρόµοια συµπεράσµατα περί µη πραγµατοποιησιµότητος του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου µπορούν να αποδειχθούν και για τις άλλες κατηγορίες ιδανικών φίλτρων, υψιπερατών, ζωνοδιαβατών κ.λπ.. 8
Μια δεύτερη παρατήρηση είναι ότι όταν η συχνότητα αποκοπής τείνει στο άπειρο, η διάρκεια του κυρίως λοβού της κρουστικής απόκρισης τείνει στο µηδέν και το µέγιστο της κρουστικής απόκρισης τείνει στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή η κρουστική απόκριση του φίλτρου γίνεται ένα καθυστερηµένο κρουστικό σήµα δ(t-t ο ), που µπορεί να είναι απόκριση αιτιοκρατικού συστήµατος. Οταν όµως το ω C τείνει στο άπειρο, το φίλτρο γίνεται ένα ιδανικό ολοπερατό (all-pass) φίλτρο που περνάει όλες τις συχνότητες, εισάγοντας απλώς µιά σταθερή καθυστέρηση και εποµένως το ιδανικό ολοπερατό φίλτρο είναι πραγµατοποιήσιµο..6 Ιδανικά και πραγµατικά φίλτρα Ενα φίλτρο παρεµβάλλεται µεταξύ δύο βαθµίδων ενός ηλεκτρονικού συστήµατος µε σκοπό να ελέγξει την ισχύ που µεταφέρεται από την πρώτη βαθµίδα στην δεύτερη, µε ένα τρόπο που εξαρτάται από την συχνότητα. Με το φίλτρο δηλ. µπορούµε να οδηγούµε µόνον τις επιθυµητές συχνότητες στην επόµενη βαθµίδα µε ελάχιστη εξασθένηση, ενώ τις υπόλοιπες µε τόσο µεγάλη εξασθένηση, που να θεωρείται ότι δεν περνούν. Συνήθως παριστάνουµε την προηγούµενη του φίλτρου βαθµίδα µε το ισοδύναµο Thevenin, το οποίο αποτελεί την "πηγή". Παριστάνοντας τις επόµενες του φίλτρου βαθµίδες µε το ισοδύναµο Thevenin, καταλήγουµε σε αυτό που το φίλτρο "βλέπει" ως φορτίο. Η θεώρηση αυτή φαίνεται στο σχήµα.5. Η εσωτερική αντίσταση της πηγής καθώς και το φορτίο, παριστάνονται µε ωµικές αντιστάσεις. ΣΧΗΜΑ.5 Το φίλτρο παρεµβαλλόµενο µεταξύ της πηγής και του φορτίου, όπως στο σχήµα.5, εισάγει µια εξαρτώµενη από την συχνότητα εξασθένηση λόγω των χαρακτηριστικών µε τα οποία έχει σχεδιαστεί. Η εξάρτηση αυτή των χαρακτηριστικών πλάτους (εξασθένησης) από την συχνότητα ονοµάζεται επιλεκτικότητα. Η επιλεκτικότητα παίρνει την µορφή, στην ιδανική περίπτωση, µηδενικής (ή πολύ µικρής) εξασθένησης γιά ορισµένες ζώνες (περιοχές) συχνοτήτων, και άπειρης (ή πολύ µεγάλης) εξασθένησης γιά κάποιες άλλες ζώνες συχνοτήτων. Οι ζώνες συχνοτήτων µε µηδενική ή πολύ µικρή εξασθένηση ονοµάζονται ζώνες διέλευσης, ενώ οι ζώνες άπειρης ή πολύ µεγάλης εξασθένησης, ζώνες αποκοπής. Αν η συνάρτηση µεταφοράς του κυκλώµατος είναι: H(s) V (s) E(s) η συνάρτηση µετάδοσης είναι το αντίστροφό της, δηλ. : T(s) H(s) E(s) V (s) Η συνάρτηση κέρδους είναι το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς για s=jω : G(ω) H(jω) V (jω) E(jω) ενώ η συνάρτηση λογαριθµικού κέρδους ορίζεται ως : G db (ω)0log G(ω) db και η λογαριθµική εξασθένηση α(ω) σε db, ορίζεται από την σχέση: α(ω)0log T(jω) 0log &0 log G(ω) db H(jω) Φυσικά το λογαριθµικό κέρδος σε db είναι ακριβώς το αντίθετο της εξασθένησης, δηλ. εξασθένηση 6 db αντιστοιχεί σε κέρδος -6 db ενώ η τιµή αυτή αντιστοιχεί σε κέρδος 0.5. Ως προς την διαφορά φάσης εισόδου-εξόδου στα ιδανικά φίλτρα, όπως είδαµε είναι απόλυτα γραµµική ως προς την συχνότητα και η καθυστέρηση οµάδας 9
D(ω)& d dω φ(ω) είναι σταθερή. Η φάση όµως αποτελεί τις περισσότερες φορές δευτερεύον χαρακτηριστικό των φίλτρων, τα οποία συνήθως σχεδιάζονται γιά να ικανοποιήσουν δεδοµένες προδιαγραφές πλάτους που εκφράζονται ως κέρδος ή εξασθένηση. Βαθυπερατά φίλτρα Είδαµε στο προηγούµενο εδάφιο ότι ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο είναι αυτό του οποίου το κέρδος και η φάση είναι της µορφής του σχήµατος.6 και η συνάρτηση µεταφοράς δίνεται από την σχέση : H(jω) H o e &jωt o για ω #ω c 0 για ω >ω c ΣΧΗΜΑ.6 Στην ανάλυση και σύνθεση κυκλωµάτων, εµφανίζουµε τις καµπύλες απόκρισης πλάτους και φάσης για τις µη αρνητικές τιµές του ω χωρίς απώλεια πληροφορίας, αφού γνωρίζουµε ότι η µεν απόκριση πλάτους *Η(jω)* είναι άρτια συνάρτηση του ω και η απόκριση φάσης φ(ω), είναι περιττή συνάρτηση του ω. ΣΧΗΜΑ.7: Ιδανικό Βαθυπερατό φίλτρο Για το ιδανικό ΒΠ φίλτρο απεδείχθη ότι δεν είναι πραγµατοποιήσιµο, επειδή δεν περιγράφει ένα αιτιοκρατικό (causal) σύστηµα. Πρακτικά µπορεί να πει κανείς ότι η µη πραγµατοποιησιµότητα οφείλεται σε δύο παράγοντες: Το κέρδος των φυσικών ηλεκτρικών συστηµάτων δεν µπορεί να παραµένει σταθερό Η ο ή 0 σε µια µεγάλη ζώνη συχνοτήτων και εν είναι δυνατόν να υπάρχουν ασυνέχειες σαν το πήδηµα από Η ο στο 0. Το ιδανικό όµως βαθυπερατό φίλτρο µπορεί να προσεγγιστεί µε πραγµατικά κυκλώµατα µε προκαθορισµένες ανοχές: - στη ζώνη διέλευσης επιτρέπεται το κέρδος να είναι από Η ο έως Η c, το ελάχιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη διέλευσης. - στη ζώνη αποκοπής επιτρέπεται το κέρδος να είναι µέχρι και Η s, το µέγιστο επιτρεπόµενο κέρδος στη ζώνη αποκοπής. - Για την προσέγγιση της ασυνέχειας, καθορίζεται µια συχνότητα ω s, µέχρι την οποία το κέρδος θα πρέπει να έχει πέσει τουλάχιστον στο Η s. Η συχνότητα αυτή ορίζει µια ζώνη ω s -ω c, την ονοµαζόµενη ζώνη µετάβασης, στην οποία το κέρδος µεταβαίνει από το επίπεδο κέρδους διέλευσης, στο επίπεδο του κέρδους αποκοπής. Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήµα.8 30 ΣΧΗΜΑ.8 Τα µεγέθη Η O, Η C, Η S, ω C και ω S σε συνδυασµό µε το σχήµα.8, ορίζουν τις προδιαγραφές πλάτους του πραγµατοποιήσιµου βαθυπερατού φίλτρου. Σε πολύ λίγες περιπτώσεις σχεδίασης φίλτρων είναι απαραίτητο να ασχοληθεί κανείς και µε την