Ταλαντωτές ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 1 q Εξετάσαμε τον απλό αρμονικό ταλαντωτή!!q + ω 2 q = 0 q Εξετάσαμε δυο διαφοροποιήσεις: ταλαντωτή με απόσβεση και διεγείρουσα δύναμη!!q + ω 2 q + ω Q!q = F t q = q οµογ. + q ειδ. q Μεθοδική λύση με χρήση της συνάρτησης Green: G!! + ω 2 G + ω G Q! = δ t t q Γενική λύση t = d q t t G( t, t )F( t ) = δ t t q Αυτό επιτυγχάνεται γιατί η Δ.Ε. είναι γραμμική q Δεν ισχύει για μη γραμμικές εξισώσεις
F t ω ω a = F 0 sinat ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 2 Ταλαντωτές εξαναγκασµένη φθίνουσα ταλάντωση q Έστω η περίπτωση ενός ταλαντωτή με απόσβεση στον οποίο εφαρμόζεται μια εξωτερική δύναμη της μορφής: α: συχνότητα διεγείρουσας δύναμης!!q + ω 2 q + ω!q = F sinat : φυσική συχνότητα του ταλαντωτή Q : συχνότητα του αποσβένοντα ταλαντωτή ω = ω 1 1 4Q 2 : συχνότητα διεγείρουσας δύναμης q Τρεις συχνότητες στο πρόβλημα: q Η συμπεριφορά της γενική λύσης της ομογενούς Δ.Ε. δηλώνει ότι το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται με τον χρόνο q Θέλουμε την ειδική λύση της μη ομογενούς εξίσωσης Ø Αντιστοιχεί στην σταθερή κατάσταση του συστήματος όταν οι λύσεις της ομογενούς εξίσωσης έχουν παύσει να υπάρχουν q Δυο τρόποι να συνεχίσουμε στην λύση της Δ.Ε. Ø Χρησιμοποίηση της μεθοδολογίας των συναρτήσεων Green Ø Πολύπλοκο ολοκλήρωμα στο τέλος :-( Ø Μαντεύουμε την λύση
Eξαναγκασµένη φθίνουσα ταλάντωση ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 3 q Ένα νέο trick ωστόσο: Ø Χρήση μιας μιγαδικής δύναμης αντί της F t F = F 0 e iat μιγαδική δύναμη q Με την μορφή αυτή της δύναμης, η Δ.Ε. γίνεται: = F 0 sinat Ø Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής θα είναι μιγαδικές Ø Το πραγματικό μέρος των λύσεων περιγράφει την απόκριση του ταλαντωτή στην δύναμη Ø Το μιγαδικό μέρος των λύσεων περιγράφει την απόκριση του ταλαντωτή στην δύναμη q Υποθέτουμε τώρα ότι η λύση είναι της μορφής: q Αντικατάσταση στην Δ.Ε. θα δώσει:!!q + ω 2 q + ω Q!q = F 0e iat F t = F 0 cosat F( t) = F 0 sinat q = q 0 e iat a 2 + ω 2 + i ω Q a q 0e iat = F 0 e iat (q 0 μιγαδική σταθερά) q 0 = F 0 a 2 + ω 2 + i ω Q a Μιγαδικό πλάτος ταλάντωσης
Eξαναγκασµένη φθίνουσα ταλάντωση ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 4 q Η λύση της σταθερής κατάστασης (μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα) Ø Ταλαντώνεται με συχνότητα α Ø και μιγαδικό πλάτος q 0 q Συνήθως εξετάζουμε το μέτρο του πλάτους και την φάση: q 0 = F 0 a 2 + ω 2 + i ω Q a q 0 = F 0 ( a 2 + ω 2 ) 2 + ω 2 a 2 Q 2 a 2 + ω 2 iω a Q q H φάση του ταλαντωτή θα είναι: q 0 = Ae iϕt I q ϕ = tan 1 0 R q 0 aω ϕ = tan 1 Q ω 2 a 2
Eξαναγκασµένη φθίνουσα ταλάντωση q Το γράφημα φάσης θα μοιάζει με: Ø Διαφορά φάσης του ταλαντωτή ως προς F a 0 ϕ 0 a ω ϕ π 2 σε φάση ταλαντωτής-δύναμη διαφορά φάσης ¼ ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 5 ϕ F( t) = cosat a a A = ϕ π q Το πλάτος της ταλάντωσης: F 0 ( ω 2 a 2 ) 2 + a2 ω 2 Q 2 q Η ενέργεια της ταλάντωσης: Ø Μεγιστοποιείται όταν: a = ω 1 1 2Q 2 διαφορά φάσης ½ περιόδου E A 2 da da = 0 Συντονισμός ταλάντωση E( a) a
Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 6 q Όλα τα μονοδιάστατα συστήματα είναι επιλύσιμα: q Θεωρήστε ένα μονοδιάστατο σύστημα που περιγράφεται Ø Η lagrangian είναι ανεξάρτητη του χρόνου Ø Η ενέργεια E = H = L!q!q L Ø Η εξίσωση κίνησης L = T V d dt L!q σταθερή L q = 0 E = T + V de dt = 0 Ø Αυτό γιατί και ενώ dl Ø Βοηθά να βρούμε την λύση του προβλήματος q Θεωρήστε σύστημα που περιγράφεται από την q Η ενέργεια επομένως θα είναι: E = 1 2!q2 + V q dt = 0 Ø Η εξίσωση αυτή προσδιορίζει πλήρως την λύση!e = 0 L = 1 2!q2 V q L = L q,!q!q = ± 2 E V ( q) dt = ± 2 E V dt = ± 2 E V t = ± 2 E V
Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 7 t = ± E < E 0 q 1 q 0 ( ) 2 E V q q Μπορούμε να μαντέψουμε την δυναμική του συστηματος από ( )!q = ± 2 E V q q όταν E 1 E 1 > E > E 0 είτε q όταν t ± E > E 1 q t ± Όχι πάντοτε επιλύσιμο Μερικές φορές δεν μπορούμε να βρουμε την q(t) απο την t(q) t ± E 0 ή ταλαντώνεται ως προς το q 1 V q 1 q E!q = 0 E = V Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από την ενέργεια Ε 1 E
Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 8 q Ας θεωρήσουμε το εκκρεμές L = 1 2 ml 2!θ 2 + mgl cosθ θ m q Ευσταθή σημεία ισορροπίας V ( θ ) θ = 2nπ q Ασταθή σημεία ισορροπίας θ = ( 2n +1)π q Αν η ενέργεια έχει τιμές mgl > E > mgl 0 π 2π 3π θ Ø Ταλάντωση ως προς ευσταθές σημείο q Αν η ενέργεια έχει τιμές E > mgl Ø Θ θα είναι μονότονη: θα αυξάνει ή θα ελαττώνεται το εκκρεμές θα περιστρέφεται πάντοτε
Φασικός χώρος ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 9 q Χρήσιμο να περιγράψουμε την δυναμική στο φασικό χώρο q Για το εκκρεμές αυτό θα είναι ένα επίπεδο θ, p θ q Η ενέργεια είναι σταθερή, το σύστημα θα κινείται σε σταθερές καμπύλες q Για το εκκρεμές: E = 1 2 ml 2!θ 2 mgl cosθ E = p 2 θ mgl cosθ 2 2ml E q Φασικός χώρος (θ,p θ ): Ø καμπύλες σταθερής ενέργειας Ø Όταν E < mgl E = mgl κλειστές καμπύλες p θ E > mgl > mgl Ø Όταν E = mgl σημείο p θ =0,θ=0 δεν υπάρχει ταλάντωση Ø Όταν E > mgl ανοικτές καμπύλες p θ >0 περιστροφή δεξιόστροφα p θ <0 περιστροφή αριστερόστροφα -π<θ<π Ø Για E = mgl μια καμπύλη διαχωριστική θ
ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 10 Φασικός χώρος V q Στην διαχωριστική καμπύλη Το εκκρεμές είναι ανάποδα θα κυλήσει προς τα κάτω και θα πάρει άπειρο χρόνο για να ανέβει Μπορείτε από το ολοκλήρωμα του χρόνου να δείτε ότι απειρίζεται για να βρεθεί και πάλι στην θέση ανάποδα q Κοντά σε σημείο ευσταθούς ισορροπίας Ø Ελλείψεις π 3π θ q Κοντά σε σημεία ασταθούς ισορροπίας Ø Υπερβολές διαχωριστικές
Λύση του ολοκληρώµατος ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 11 q Μπορούμε να βρούμε τον χρόνο για να πάει από ένα σημείο σε άλλο = ± t q 0,q 1 q 1 q 0 2 E V q Για απλό αρμονικό ταλαντωτή ο χρόνος για μια ταλάντωση ο χρόνος είναι ανεξάρτητος του πλάτους q Για το εκκρεμές η περίοδος εξαρτάται από το πλάτος Ø Πολύ κοντά στο σημείο ευσταθούς ισορροπίας μοιάζει με αρμονικό ταλαντωτή
= ± Λύση του ολοκληρώµατος t q 0,q 1 q Θεωρούμε την Lagrangian q Αναπτύσουμε το cosθ L = 1 2!q2 V ( q) cosθ = 1 1 2 θ 2 + 1 24 θ 4 +! V ( q) = 1 2 q2 + ε 4 q4 q 1 q 0 L = 1 2 ml 2!θ 2 + mgl cosθ q Οι 3 αυτοί όροι ορίζουν τον αναρμονικό ταλαντωτή ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 12 2 E V q max V q max q Ο χρόνος που απαιτείται για να πάει από το qmax στο qmax ξανά q T = 4 0 q max 2 E 1 2 q2 ε 4 q4 x = όπου H περίοδος εξαρτάται από το q max q To ολοκλήρωμα: q T = 4 q max E = 1 2 q 2 max 1 0 + ε 4 q 4 max dx ( 1 x 2 ) + εq 2 max 2 ( 1 x 4 )
Αναρµονικός ταλαντωτής ΦΥΣ 211 - Διαλ.21 13 q Για μικρά ε αναπτύσουμε κατά Taylor: 1 dx T = 4 1 ε 0 1 x 2 2 x = sinu π 2 T = 4 du 1 ε ( 1+ sinu2 ) +! 2 0 3 π T = 2π 2 ε 2 2 = 2π 1 3 4 ε +! q Θέτoυμε T = 2π ω ε = 1 6 1+ θ 2 max 16 +! ( 1+ x2 ) +! όπου ε = ε q2 max 2 q Αν ε>0 η περίοδος γίνεται μικρότερη του απλού αρμονικου ταλαντωτή q Αν ε<0 η περίοδος γίνεται μεγαλύτερη q Για το εκκρεμές